Перистальтические и пульсационные течения, поведение пузырька и частицы в условиях заданного давления на границе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Мингалев, Станислав Викторович

• Мингалев, Станислав Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мингалев, Станислав Викторович

1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................4

1.1. Влияние свойств стенки на перистальтический транспорт..........................7

1.2. Частицы в перистальтическом потоке..........................................................12

1.3. Эндоскоп в перистальтическом потоке.........................................................13

1.4. Перистальтическое течение неныотоновских жидкостей..........................14

1.5. Перистальтический транспорт в пористых и многослойных средах.........18

1.6. Влияние магнитного и гравитационного поля на перистальтический транспорт.................................................................................................................19

1.7. Влияние температуры на перистальтический транспорт............................20

1.8. Влияние сжимаемости на перистальтический транспорт...........................21

1.9. Течение в пульсирующих каналах................................................................22

1.11. Поведение пузырька и частицы в звуковом поле......................................23

1.10. Общая характеристика работы....................................................................25

1.11. Актуальность.................................................................................................26

1.12. Цели работы...................................................................................................27

1.13. Научная новизна результатов......................................................................27

1.14. Представленные к защите результаты........................................................28

1.15. Достоверность результатов..........................................................................29

1.16. Публикации....................................................................................................29

1.17. Личный вклад автора....................................................................................31

1.18. Апробация работы.........................................................................................31

1.19. Практическая ценность.................................................................................31

1.20. Методы исследования...................................................................................32

2. УПРАВЛЯЕМЫЙ ДАВЛЕНИЕМ ПЕРИСТАЛЬТИЧЕСКИЙ ПОТОК..............33

2.1.Решение общей задачи........................................................................................34

2.1.1. Постановка задачи........................................................................................34

2.1.2. Малые амплитуды колебания давления на стенке....................................37

2.1.3. Решение в длинноволновом приближении................................................44

2.2. Влияние продольных вибраций на перистальтику.........................................49

2.2.1. Постановка задачи........................................................................................49

2.2.2. Общее решение.............................................................................................49

2.2.3. Решение при м?, близких к 1........................................................................51

2.3. Поведение частицы.............................................................................................57

2.3.1. Постановка задачи........................................................................................57

2.3.2. «Прилипание»...............................................................................................58

2.4.Вывод ы..................................................................................................................63

3. ТЕЧЕНИЕ В ПУЛЬСИРУЮЩИХ КАНАЛАХ......................................................64

3.1. Несжимаемая жидкость......................................................................................67

3.1.1. Постановка задачи........................................................................................67

3.1.2. Малые частоты пульсаций..........................................................................73

3.1.3. Малые амплитуды пульсаций.....................................................................83

3.2.Сжимаемая жидкость..........................................................................................99

3.2.1. Постановка задачи........................................................................................99

3.2.2. Приближение малых амплитуд.................................................................102

3.3. Выводы...............................................................................................................115

4. ПОВЕДЕНИЕ ПУЗЫРЬКА И ЧАСТИЦЫ В ЗВУКОВОМ ПОЛЕ....................116

4.1 .Постановка задачи.............................................................................................116

4.2.Влияние звука на радиус столкновения..........................................................122

4.3.Вывод ы................................................................................................................126

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................127

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................128

Приложение №1 к параграфу 2.1.3. Программа для нахождения решения..........143

Приложение №2 к параграфу 3.1.2. Программа для нахождения решения..........146

Приложение №3 к параграфу 3.2.2. Коэффициенты в решении............................148

1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию перистальтического транспорта, течению жидкости в пульсирующих каналах и изучению влияния звука на взаимодействие падающей твердой частицы и всплывающего газового пузырька в жидкости.

Перистальтический транспорт возникает в сосудах, по поверхности которых распространяются бегущие волны. Перистальтический транспорт составляет основу работы многих биологических систем, таких как желудочно-кишечный тракт и мочевыводящие пути, что делает его исследование важным для понимания причин заболеваний, связанных с этими органами. Первые исследования, проводившиеся в 60-ых, 70-ых годах 20 века, были посвящены перистальтическому транспорту вязкой ньютоновской жидкости в канале и круглой трубе. А. X. Шапиро, М.Я. Джеффрин и С.Л. Вейнберг [1] рассматривали решение линеаризованной задачи о перистальтическом транспорте в предельном случае бесконечно больших длин волн. Линейное решение позже было модифицировано М.Я. Джеффриным [2] так, чтобы можно было учесть малые нелинейные эффекты. Он нашёл решение в виде ряда для случая малого числа Рейнольдса в длинноволновом приближении. Результаты его исследования согласуются с экспериментами, проведёнными С.Л. Вейнбергом, Е.Ц. Экшейном и А. X. Шапиро [3].

Предполагая амплитуду колебаний стенок малой в сравнении с толщиной пограничного слоя, возникающего около стенок, В.Х. Лин [4| исследовал усреднённый по времени пульсирующий поток и обнаружил ячеистую структуру течения. Его исследование было продолжено А. Канеко и X. Хонджи [5], которые включили в рассмотрение члены более высокого порядка, что позволило им детально изучить ячеистую структуру течения; результаты этого исследования

согласуются с экспериментальными данными. Ж.К. Рассел [6] исследовал структуру течения и способность его переносить твёрдые частицы.

Описанные выше работы посвящены механическим системам; одновременно проводились исследования направленные на создание моделей органов, основу работы которых составляет перистальтический транспорт. Г1.С. Ликойд и Р. Рус [7], а также Я.Ц. Фунг [8] анализировали работу мочеточника, трубки, соединяющей почку с мочевым пузырём. Их интересовало давление, возникающее на закрытом конце этой трубки. Решая совместно уравнения Павье-Стокса и уравнение для мембраны трубки, они сделали вывод о том, что градиент давления, возникающий благодаря перистальтическим волнам, очень мал, и, следовательно, перистальтические волны оказываются неспособными освободить мочеточник в случае его закупорки. В их работе также отмечается, что перистальтический перенос вещества в мочеточнике возникает благодаря солитонам, уединённым волнам, а не синусоидальным волнам, которые рассматриваются в большинстве исследований. Детальное исследование течения, возникающего в случае уединённых волн, было проведено Дж. Джиминез-Лозано [9]. Решение в этом исследовании искалось в виде разложения по амплитуде колебаний стенок. В [10] Кх. С. Мекхеимер рассматривал влияние внешнего магнитного поля на перистальтический транспорт, для чего использовал магнитогидродинамическое приближение. Это исследование направлено на создание физических основ метода лечения мочекаменной болезни с помощью магнитных полей. Позднее Кх. С. Мекхеимер в [11] учел влияние на перистальтический транспорт поля, возникающего из-за движения жидкости. Исследование закупорки мочеточечника у собак проводилось Х.Л. Ким и др. в [12]. Они наблюдали за перистальтикой мочеточника, выделением мочи, развитием гидронефроза (заболевания почек, вызванного нарушением оггока мочи), расширением мочеточника и движением искусственного камня, который вводился ими в уретру на уровне между вторым и четвёртым поясничным позвонками.

Кроме перистальтического транспорта, бегущие по поверхности сосуда волны приводят к рефлюксу (возвратному движению) и явлению захвата частиц потоком. Первый эффект состоит в том, что некоторые лагранжевы частицы в среднем двигаются в направлении противоположном средней скорости потока, что является причиной попадания бактерий и токсических веществ из мочевого пузыря в почки. Такой эффект возникает после достижения критического значения перепада давления на концах канала [13, 14]. Эффект захвата заключается в том, что некоторые лагранжевы частицы движутся со скоростью волны. Увеличение расхода жидкости приводит к увеличению размера области захвата [15]. В жидкостях Оствальда-Деваале, Максвелла и некоторых других неныотоновских жидкостях также может наблюдаться изменение направления течения жидкости в целом [16] при сохранении неизменного направления бегущей волны. В случае живого организма это приведет к извержению содержимого желудка наружу. Эти два эффекта обсуждаются в большинстве исследований, посвященных перистальтическому транспорту.

В качестве параметров влияющих на перистальтический перенос вещества обычно выделяют амплитуду колебаний стенки, волновое число, длину трубы и число Рейнольдса. Увеличение амплитуды колебаний стенки приводит к увеличению расхода жидкости [17, 18] и КПД насоса [17]. Сила трения, действующая на стенку, с увеличением амплитуды колебаний уменьшается 117, 18]. При этом происходит увеличение продольной компоненты градиента давления [19]. При увеличении волнового числа расход жидкости сначала растет [20, 21, 22, 23], достигает максимума, потом начинает уменьшаться [20, 21, 22], а потом снова расти [20]. С увеличением числа Рейнольдса расход жидкости в случае больших волновых чисел уменьшается [24], а в случае малых -увеличивается [24, 25]. Шун-Фа Хщанг и Ю-Шиуан Шиу [26] экспериментально показали, что изменение длины канала не приводит к изменению расхода жидкости.

Влияние геометрии задачи проявляется в том, что при одинаковых условиях расход жидкости в плоском канале оказывается меньше, чем в цилиндрической трубе [27]. Задача о перистальтических течениях в сужающихся и расходящихся каналах рассматривалась в [28]. Кроме геометрии задачи на силу трения и расход жидкости также оказывают влияние свойства жидкости: например, в микрополярной жидкости сила трения, действующая на стенку канала, всегда меньше, чем в ньютоновской жидкости, а расход жидкости больше [29].

В биологических системах и технических устройствах, использующих перистальтический механизм переноса вещества, на концах канала часто существует перепад давления. Наличие этого перепада приводит к тому, что если градиент давления направлен в сторону противоположную направлению распространения бегущих волн, то в пористых средах расход жидкости уменьшается с ростом числа Дарси [19]. Зависимость расхода жидкости в случае наличия переменного перепада давления имеет резонансный характер, расход жидкости достигает максимума при совпадении частоты изменения перепада давления на концах канала и частоты бегущих волн [30].

Исследования перистальтического транспорта, выполненные в последние годы, можно условно разбить на шесть направлений: перистальтический транспорт неныотоновских жидкостей, перистальтический транспорт многослойных жидких систем, влияние магнитного и гравитационного поля, различные включения в перистальтическом потоке, влияние свойств стенок на перистальтический транспорт.

1.1. Влияние свойств стенки на перистальтический транспорт

В большинстве случаев рассматриваются течения с заданными колебаниями стенки сосуда. В реальных биологических системах движение стеики обусловлено работой гладких мышц, а это значит, что для реалистичного описания необходимы более сложные модели, учитывающие реологические свойства

мышц. В [31] для связи главных напряжений и главных удлинений мышц использовалось уравнение вязкоупругого активного тела -

о-, = Ш) + м ~+ Иг,,

ОТ V у

где £ - главные удлинения в активном материале, <т; - главные напряжения, (//(г,/) - параметр активации. Бегущие волны на поверхности сосуда возникали за счёт введения в уравнение вязкоупругого тела слагаемого с параметром активации, заданным в виде бегущей волны, что и обеспечивало возникновение перистальтического транспорта. Д. Такаги [32] использовал значительно более простое уравнение

д"

где г - радиус сосуда в определенной точке, а Я - параметр, характеризующий среднее положение стенок.

Случай п = О соответствует линейной упругости трубы, а случай п = 4 -трубе с конечной жесткостью на изгиб. Добавка асоБ^-у) соответствует внешней силе, действующей на поверхность сосуда. Труба при этом разбивается на две части: пучность и сужение. Причем поперечный размер пучности увеличивается, а продольный уменьшается с увеличением амплитуды.

В дальнейшем Д. Такаги и др. [33] исследовали поведение включений в перистальтическом потоке. Ими было показано, что бесконечный твердый стержень, расположенный в центре трубы не может быть сдвинут ни при какой величине точечной внешней силы. Для частиц конечного размера было обнаружено наличие порогового значения точечной силы, выше которого скорость частицы становится равной скорости волны (это хорошо известный эффект захвата). Пороговое значение силы растет с удалением частицы от оси канала. Отсюда молено сделать вывод, что область захвата частиц волной растет с увеличением амплитуды точечной силы. С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [341

исследовали течение в канале с использованием предложенных в [35] динамических граничных условий, заданных в виде

Их-** =

0 г д2 „

т—- + — л-В—т-Т—т +АГ. д(2 81 дх4 дх2 1

1ж

% + а соэ — - с/), А

где т - масса элемента поверхности стенки, отнесенная к его площади, (I -коэффициент затухания, Кх - жесткость пружины, Т - продольное напряжение, В - жесткость при изгибе. Они также задавали закон изменения координаты стенки, считая, что она изменяется по закону

„ 2ж

£ = -(Х- С/).

Л

Для ньютоновской жидкости такое количество граничных условий является избыточным, но С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34] исследовали неныотоновскую жидкость, уравнение движения которой имеет четвертый порядок по координате:

— + (ц. у)й = - ^ + уУ2й+ у^й. д( р

Из графиков в [34] можно сделать вывод о том, что увеличение волнового числа сначала ведет к увеличению средней скорости жидкости, а потом к уменьшению. Увеличение К и Т, уменьшение вязкости у ведет к увеличению модуля средней скорости. Увеличение и V, ведет к уменьшению скорости, и

при больших значениях этих параметров жидкость начинает в среднем двигаться в направлении, противоположном тому, в котором происходит распространение бегущей волны. В [36] Т. Хаят и др. использовали для исследования перистальтического транспорта жидкости Джефри такие же граничные условия, как С.К. Пандеи и М.К. Чаубе в [34]. В этом случае одно граничное условие является избыточным (второй закон Ньютона для жидкости Джефри является дифференциальным уравнением второго порядка по координате), но, несмотря на это, приближенно-аналитическими методами им удалось получить решение, удовлетворяющее всем граничным условиям. Результаты Т. Хаята и др. |36],

состоящие в том, что увеличение К, Т и m ведет к увеличению модуля средней скорости, подтверждают выводы С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34]. В дальнейшем Т. Хаят и М. Явед [37] при исследовании течения степенной жидкости отказались от использования условия отсутствия проскальзывания на границе. В результате они нашли, что увеличение всех характеризующих стенку параметров m, d, К и Т ведет к росту расхода жидкости (согласно [34] увеличение, параметра d, характеризующего необратимые потери энергии при деформации стенки, приводит к уменьшению расхода жидкости). Приравняв нулю коэффициенты В и К в динамическом условии из статьи С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34], A.B. Рамана Кумари и Г. Радхакришнамачаря в [38] использовали его для исследования перистальтического транспорта ньютоновской жидкости. Они не могли задать три условия на границе, и поэтому отказались от условия равенства нулю нормальной компоненты скорости. Такой выбор граничных условий никак не обсуждается, возможно он связан с тем, что стенки считаются проницаемыми. Ими было получено, что, как и в [34], увеличение параметров d, Т и m ведет к увеличению расхода жидкости. В дальнейшем Г. Радхакришнамачаря совместно с Г. Ц. Санкадом в [39], с Д. Сринивасачаря и Ч. Сринивасулу в [40] и с K.M. ГГрасадом в [41] проводил исследования в рамках подхода (использованного Т. Хаят и М. Явед в [37]), в котором убирается граничное условие отсутствия проскальзывания. Полученные ими результаты подтвердили выводы, сделанные Т. Хаят и М. Явед в [37]. Г. Радхакришнамачаря и др. было также найдено, чю увеличение параметров Т [39, 41], d и m [40] приводит к увеличению размера области захват. Помимо этого ими было обнаружено, что при увеличении параметра Т уменьшается значение амплитуды колебаний стенки, при которой исчезает рефлюкс [40]. П. Мутху и др. [42], исследуя микрополярную жидкость, ставили такие же граничные условия, как и Т. Хаят в [37]. Приближенно-аналитическими методами они нашли, что уменьшение m ведет к уменьшению расхода жидкости. Ими было также обнаружено, что при больших значениях параметра d рядом со стенкой появляется область захвата, в которой лагранжевы частицы движутся со скоростью перистальтической волны.

Другой подход к включению свойств стенки в задачу был предложен Б. Вахиди и др. в [43]. Они считали, что стенка состоит из двух слоев: твердого, который двигается по заданному закону и упругого, который может растягиваться и сжиматься. Непосредственно с жидкостью взаимодействует только упругий слой. Вахиди и др. было найдено, что увеличение модуля Юнга приводит к уменьшению расхода жидкости.

Используемое повсеместно условие отсутствие проскальзывания (равенство нулю тангенциальной компоненты скорости на границе) экспериментально выполняется лишь приближенно, а поскольку перистальтический транспорт связан с воздействием стенки на жидкость, то учет этого оказывается важным для описания поведения системы. С увеличением длины проскальзывания, расход жидкости и КПД перистальтического насоса уменьшаются [17, 44], напорное давление падает [45, 46], а область обратного движения жидкости (рсфлюкса) растет [47]. Кроме того увеличение длины проскальзывания приводит к уменьшению области захвата, в которой лагранжевы частицы движутся со скоростью перистальтической волны [47]. Влияние проскальзывания на течение в магнитогидродинамическом приближении рассматривалось для симметричного канала в [48, 49] и для асимметричного в [50, 51]. Е.Ф. Елшехавей и др. в |52] при исследовании влияния проскальзывания на перистальтические течения использовали граничное условие Саффмана:

г> ди а1

К — = —т== и, если у - ± ду л/5а

г. - • 2л- ,

Я -(х-с()

л

(где Я - средний радиус канала, ах - параметр проскальзывания, Ба - число Дарси, и - продольная скорость жидкости, Б - амплитуда колебания стеиок). Ими было найдено, что увеличение параметра проскальзывания а{ ведет к уменьшению расхода жидкости, а числа Дарси - к увеличению.

Существенное влияние на перистальтические течения оказывает форма волны, бегущей по поверхности стенок. В [53, 54] было проведено сравнение

влияния синусоидальных волн и волн, представляющих собой линии с квадратными, треугольными и трапециевидными выступами. Было показано, что область захвата оказывается наименьшей для волн с треугольными выступами. Аналогичный результат был получен в [55, 56]. Для волн с квадратными выступами расход жидкости оказался наименьшим, а сила трения, действующая на стенки наибольшей [54]. В [55] было найдено, что ситуация изменяется на противоположную в жидкости Сиско: волны с треугольными выступами приводят к возникновению наибольших сил трения и наименьшего напорного давления, а волны с квадратными выступами - наименьших сил трения и наибольшего напорного давления. Если стенки изменяют свою координату по гармоническому закону, но имеют разные фазы, то наибольшее значение расхода жидкости наблюдается при противофазных колебаниях, а наименьшее - при синфазных) 5 7, 58, 59, 60, 37, 61, 62, 63]. Также в [61] было обнаружено, что изменение сдвига фаз позволяет подавить рефлюкс и уменьшить область захвата.

1.2. Частицы в перистальтическом потоке

Очень часто в жидкости содержатся включения: минеральные частицы, микроорганизмы, пузырьки, медицинские приборы, которые различным образом взаимодействуют с перистальтическими течениями.

В [40] Д. Сринивасачаря и др., используя для описания поведения частиц в жидкости уравнение:

где - скорость частицы, й - скорость потока жидкости, получили, что увеличение числа частиц приводит к уменьшению области захвата и амплитуды колебаний стенки, при которой исчезает рефлюкс.

Г. Радхакришнамачаря и Р. Шарма в [64] исследовали перемещение совершающего волнообразные движения листка конечной толщины в перистальтическом потоке. Ими было обнаружено уменьшение скорости движения листка с увеличением амплитуды колебаний стенок и толщины листка.

При большом количестве частиц их движение в перистальтическом потоке обычно исследуется в приближении сплошной среды, когда вместо движения отдельных включений, рассматривается изменение их концентрации. Увеличение концентрации одинаковых частиц ведет к уменьшению скорости в центре канала [44, 15], при этом эффективность перистальтического насоса увеличивается |44|, сила трения, действующая со стороны стенок, уменьшается [65, 62, 66], а область захвата частиц течением [44] и амплитуда колебаний давления растет |45]. Если вычислять напорное давление, а не расход жидкости, то оно растет с увеличением концентрации частиц [62, 66]. Отметим, что в большинстве случае напорное давление и расход жидкости пропорциональны друг другу [62, 66, 55, 671. Увеличение коэффициента диффузии броуновских частиц ведет к росту концентрации частиц в центре канала, а коэффициента термодиффузии - к уменьшению [53]. Воздействие магнитного поля приводит к уменьшению коэффициент дисперсии частиц с ростом числа Гартмана [68, 57]. Дисперсия частиц возрастает с увеличением амплитуды колебаний стенок [681. Концентрация частиц минимальна около стенок [69].

1.3. Эндоскоп в перистальтическом потоке

В медицине для исследования пищевода, мочеиспускательного канала и желудка часто используют эндоскоп, который представляет собой отический прибор на гибком стержне. Ясно, что его наличие приводит к существенному изменению перистальтических течений в этих органах. Обычно эндоскоп моделируется бесконечным стержнем. Увеличение его размера приводит к уменьшению напорного давления [70]. В [71] утверждается, что может

наблюдаться не уменьшение, а увеличение напорного давления, в случае если эндоскоп имеет температуру большую, чем стенки трубки, по которой бегут волны, и для жидкости используется модель Джеффри. В той же работе [71] утверждается, что коэффициент теплопередачи энергии от эндоскопа к трубке уменьшается с увеличением радиуса эндоскопа. Увеличение разницы температур эндоскопа и трубки приводит к увеличению напорного давления [721. Зависимость напорного давления от разницы концентраций включений па эндоскопе и стенке аналогична зависимости от разницы температур [72]. В [731 исследовалось влияние изменения параметры Соре на течение, и было найдено, что его увеличение приводит к росту концентрации частиц в пространстве между эндоскопом и стенками. Сила трения, действующая па эндоскоп, увеличивается с увеличением амплитуды колебания стенок и уменьшением радиуса эндоскопа [70, 72], при этом она всегда остается меньше силы, действующей па стенки сосуда [72, 74].

1.4. Перистальтическое течение неныотоновских жидкостей

В биологических системах по перистальтическому механизму переносятся лимфа, моча, химус и некоторые другие жидкости. Из статей [75, 76] следует, чю моча здорового человека представляет собой ньютоновскую жидкость с коэффициентом вязкости 1.2-1.4 сПуаз. При патологических состояниях её свойства могут сильно изменяться, приводя к значительному увеличению вязкости. Химус обычно рассматривают как вязкоупругое тело и моделируют его жидкостью Олдройда [77, 78]. В вязкоупругой жидкости Олдройда-Б, которая задается уравнением

т + А,

дт_ д1

л Г Г

= М\ Ах +Л5

У V V

^-(Уи)-А,-Аг(Уй)г от

У )

А{ = (Уй)+(Уи)7

(где т - вязкий тензор напряжений, Л45 - материальные константы), период

колебаний частиц относительно их усредненной по периоду траектории оказывается тем меньшим, чем больше число Вайсенберга (расчеты проводились для чисел Вайсенберга, меньших 10 (число Вайсенберга пропорционально Л4)), т.е. чем в большей степени происходит отклонение от ньютоновской модели жидкости [79, 59]. Аналогичный результат был получен для жидкости Максвелла в [21]. Увеличение Л4 и уменьшение Л5 в жидкости Олдройда-Б ведет к увеличению расхода жидкости [80, 77].

В [16] для описания движения химуса в кишечнике использовалась степенная модель Оствальда-Деваале (она может вести себя как псевдопластическая, ньютоновская и дилатантная жидкость). Показано, что наиболее эффективно по перистальтическому механизму переносится псевдопластическая жидкость. Кроме того, найдено, что длина волны давления, возникающая из-за перистальтических волн, в псевдопластической жидкости оказывается в два раза меньше, чем в ньютоновской и дилатантной жидкостях.

Для крови обычно используются модели Хершеля-Беркли [81, 82] и Кэссона [83, 84]. Из [85] следует, что первая модель в большей степени соответствует результатам экспериментов, чем вторая. Тем не менее, в большинстве случаев для описания крови используется модель Кэссона. Для жидкости Кессона, которая задается уравнением:

расход жидкости при транспорте её по перистальтическому механизму оказывается меньше, чем для ньютоновской жидкости [84]. Связь между напорным давлением и расходом жидкости для жидкости Кессона в отличие от ньютоновской жидкости является нелинейной [86].

Для описания поведения крови в небольших капиллярах (диаметр которых меньше 0.02 см) часто используется степенная модель [87, 88], а также двухслойная модель [89], пристеночный слой в которой считается ньютоновской

жидкостью, а жидкость в центральной части рассматривается как жидкость Кэссона. Такой подход базируется на том, что эритроциты в небольших сосудах концентрируются в середине, а в пристеночном слое остается только плазма крови, которую можно считать ньютоновской жидкостью.

В [90] было показано, что скорость течения в области рефлюкса растет при увеличении степенного параметра в законе Хершеля-Беркли. В исследованиях, в которых в качестве модели крови рассматривалась жидкость Вильямсопа, показано, что увеличение числа Вильямсона ведет к уменьшению расхода жидкости [91]. Также для моделирования течения крови иногда используется модель вязкоупругой жидкости Уолтера-Б. Увеличение параметра жидкости Уолтера-Б, характеризующего её отличие от ньютоновской жидкости (при равенстве нулю, получается ньютоновская жидкость), приводит к уменьшению напорного давления [70, 55]. Для жидкости Джеффри, для которой выполняется уравнение -

4 д(

т =/¿(г + ¿зГ) >

увеличение параметров Я2 [63,73] и Я, [36] приводит к уменьшению расхода жидкости и КПД насоса[92]. Для комбинированного течения, порождаемого как перепадом давления, так и бегущими волнами, в случае градиента давления направленного противоположно направлению распространения бегущей волны, существуют критическое значение перепада давления, при достижении которого расход жидкости начинает расти с увеличением Я2 и Я, [92]. В жидкости

Максвелла среднее значение скорости уменьшается с увеличением времени релаксации [93, 94], и при очень больших значениях этого параметра средний поток может оказаться направленным противоположно направлению распространения бегущей волны [93, 95]. Подобное изменение направления движения потока жидкости можно наблюдать также в жидкости Джеффри [95]. Для степенных жидкостей увеличение показателя неныотоновости приводит в большинстве случаев к увеличению расхода жидкости [59, 43, 37]. В [46]

рассматривался перистальтический транспорт жидкости Бюргерса, для которой выполняется уравнение -

Л

д{ ' д?

(5 5

где г - тензор вязких напряжений, Л123 - материальные константы. При уменьшении Х2 или увеличении параметров Хх и Я3 напорное давление уменьшается, а сила трения, действующая на поверхность сосуда со стороны жидкости, увеличивается. В [54] рассматривалась модель Эйрипга-Пауэла, для которой выполняется уравнение -

Г 1 л

т = иу + — эшЬ 1

А

1

—г

Vе! У

где т - тензор вязких напряжений, /?, и с, - материальные константы. При увеличении с, и /?, напорное давление растет. Сила трения, действующая па стенки, уменьшается с уменьшением Д.

В [96] было найдено, что увеличение числа Вайсенберга для вязкоуиругой жидкости Сиско приводит к увеличению напорного давления [96| (напорное давление в большинстве случаев связано линейной зависимостью с расходом жидкости). В [97] для жидкости Курро, эффективная вязкость которой задается уравнением

и-1

для малых значений числа Вайсенберга было получено увеличение расхода жидкости. Увеличение параметра п от 0.1 до 0.7 ведет к увеличению расхода. В [98] для жидкости Джонсона-Сегалмана было также найдено, что при увеличении числа Вайсенберга расход жидкости увеличивается. Г. Д. Ценицсрос и Ё. Е. Фишер обнаружили, что для больших чисел Вайсенберга существует пороговое

значение амплитуды колебаний, при достижении которого увеличении числа Вайсенберга ведет не к увеличению расхода, а к его уменьшению [99].

1.5. Перистальтический транспорт в пористых и многослойных средах

Помимо движения различных неныотоновских жидкостей в рамках исследования перистальтического транспорта также рассматриваются пористые среды, которые моделируются с использованием закона Дарси. Уменьшение числа Дарси приводит к увеличению расхода жидкости [90, 17, 57, 100, 70, 58, 71, 18], эффективность перистальтического насоса при этом падает [17], сила трения, действующая со стороны стенки на жидкость, растет [100, 18], продольная компонента градиента давления растет [19]. Увеличение числа Дарси позволяет уменьшить противоток (рефлюкс), а также избежать возникновения эффекта захвата частиц [90, 44].

Другое направление исследований связано с перистальтическим транспортом в многослойных средах. Р. Хемадри Редди и др. [1011, изучая течение жидкости, заключенной в пористую трубку, сделали вывод о том, что увеличение толщины пористого слоя ведет к уменьшению расхода жидкости. 11ри малых значениях расхода жидкости сила трения, действующая на стенки, растет с увеличением толщины пористого слоя, а при больших - падает [101]. В |41 ] был рассмотрен случай, когда около стенок находится ньютоновская жидкость, а в центре канала микрополярная. Уменьшение толщины слоя ньютоновской жидкости приводит к увеличению расхода жидкости и силы трения, действующей на поверхность трубки. В [102], где рассматривалась трехслойная ньютоновская жидкость, было получено, что увеличение вязкости жидкости, текущей в центре, и уменьшение вязкости пристеночной жидкости приводит к увеличению расхода жидкости. Уменьшение вязкости жидкости, текущей между ними, также приводит к увеличению расхода жидкости, но эффект оказывается более слабым. Для

двухжидкостной модели наблюдается аналогичный эффект [27]. В двухслойной жидкости, в которой в центре находится жидкость Кессона а около стенок -ньютоновская жидкость, расход жидкости оказывается всегда меньше, чем при отсутствии пристеночного слоя жидкости Ныотона [86]. Для такой двухслойной жидкости напорное давление и сила трения, действующая па стенки, уменьшается с уменьшением вязкости пристеночного слоя [86].

1.6. Влияние магнитного и гравитационного поля на перистальтический транспорт

Многие биологические жидкости являются проводящими, и для учета связанных с этим особенностей их поведения в ряде статей течение жидкости рассматривается в магнитогидродинамическом приближении. В проводящих жидкостях было обнаружено увеличении продольной компоненты градиента давления [19], [59], напорного давления [92] и расхода жидкости с увеличением числа Гартмана [80, 100, 103, 58, 60, 104, 23]. Сила трения, действующая со стороны стенки на жидкость, сначала падает с увеличением числа Гартмана 1100,

10], а потом начинает расти [100]. Увеличение внешнего продольного магнитного поля приводит к росту расхода жидкости [105, 63], а поперечного - к уменьшению [67]. Используя внешнее магнитное поле можно уменьшить до нуля размер области захвата [63].

Если труба, по поверхности которой движутся бегущие волны, ещё и вращается относительно своей оси, то это приводит к увеличению расхода жидкости с ростом частоты вращения [106]. Наличие магнитного поля, направленного вдоль оси трубы, приводит к усилению этого эффекта [ 106, 105].

В гравитационном поле увеличение угла наклона трубки[68, 100, 63, 103,

11] и напряженности гравитационного поля [100, 98] приводит к тому, что часть расхода жидкости, возникающая за счет перистальтических воли, увеличивается. Максимума она достигает в случае совпадения направления распространения

перистальтической волны и направления силы тяжести. В этом случае также наблюдаются наибольшие градиенты давления [68]. При увеличении угла наклона также происходит увеличение области захвата [57].

1.7. Влияние температуры на перистальтический транспорт

В случае, когда стенки канала имеют разную температуру, увеличение разницы температур приводит к увеличению области захвата |47|, уменьшению напорного давления [45] и расхода жидкости [58]. При уменьшении перепада температур на стенках канала зависимость температуры от поперечной координаты стремится к линейной, а при увеличении профиль изгибается в сторону распространения перистальтической волны, приводя для больших разностей температур к тому, что температура в центре канала оказывается больше температуры стенок [45, 73]. Наличие гравитационного поля, направленного от холодной стенки к горячей, приводит к тому, что при увеличении числа Грасгофа области захвата частиц перистальтическим потоком и положение максимума продольной скорости смещается к более нагретой стенке [45]. Увеличение концентрации частиц приводит к смещению положения максимума продольной скорости к холодной стенке [45]. При наличии гравитационного поля, направленного по направлению распространения бегущей волны и градиента давления, направленного в противоположную сторону, увеличение числа Грасгофа приводит к увеличению расхода жидкости [58, 59[, [71]. Увеличение амплитуды колебаний стенок и сдвига фаз (если в качестве исходного берется сдвиг фаз, когда стенки колеблются в противофазе) приводит к увеличению теплопередачи от одной стенки к другой [58].

1.8. Влияние сжимаемости на перистальтический транспорт

При учете эффектов, связанных со сжимаемостью, необходимо добавлять к системе уравнений Навье-Стокса соотношения, связывающие давление и плотность. Если для этого используетсмя уравнение состояния жидкости вида

где к - изотермическая сжимаемость жидкости, то в пористой среде, насыщенной ньютоновской жидкостью [20, 107, 25] или жидкостью Максвелла [20] и в обычной ньютоновской жидкости, жидкости Максвелла [95], [107] или жидкости Джеффри [95] расход жидкости сначала растет с увеличением к, а после достижения некоторой максимальной величины начинает спадать. Для очень больших времен релаксации жидкости Максвелла расход жидкости всегда растет с увеличением к [20], [22]. Проскальзывание жидкости на границе приводит к тому, что даже при больших временах релаксации зависимость расхода жидкости от к имеет форму колокола [22]. В ньютоновской жидкости при больших значениях к расход жидкости начинает уменьшаться с увеличением числа Рейнольдса, а не увеличиваться, как это наблюдается в случае малой и нулевой изотермической сжимаемости [95]. В жидкости Максвелла при больших значениях к жидкость начинает двигаться в направлении, обратном направлению распространения бегущих волн [22], [107]. Этот эффект был предсказан A.M. Провостом и У.А. Счварзом [108] в 1994 году, и он возможен только в неныотоновских жидкостях. Если на одном из концов канала расположен источник звуковых волн, то зависимость расхода жидкости от частоты имеет форму колокола с максимумом при частоте, равной 10000 кГц |25].

1.9. Течение в пульсирующих каналах

Пульсирующий канал является предельным случаем, возникающим при устремлении длины волны, движущейся по стенке, к бесконечности. Этот случай исследовался в работах C.JI. Вейнберга [109] и М.С. Лонге-Хипенса |110|. Используя приближенно-аналитические и численные методы, они показали возможность усиления переноса жидкости за счет пульсаций.

Одно из первых исследований, посвященных исключительно изучению механизма увеличения расхода жидкости за счет пульсаций, было проведено И.В. Шуганом в рамках предположения о малости амплитуды колебаний стенок [111]. В дальнейшем в статье Г.А. Ляхова и И.В. Шуган [112] был сделан анализ энергетического баланса в таких течениях и рассмотрен вопрос о том, в каких случаях выгодно увеличивать расход жидкости за счет пульсаций.

Исследование течения жидкости в пульсирующем канале можно чакже связать с изучением особенностей функционирования кровеносной системы. В частности, у некоторых простейших организмов, лишённых сердца, наблюдаются пульсации кровеносных сосудов. Н.И. Аринчии пульсациями сосуда объяснял значительное увеличение кровоснабжения скелетных мышц при совершении ими работы [113]. В соответствии с его гипотезой мышечные волокна, асинхронно сокращаясь, ритмически пережимают кровеносные сосуды, расположенные в мышце, и тем самым способствуют продвижению крови по капиллярам.

Построенная в работах С.Л. Вейнберга, М.С. Лонге-Хиггенса, Г.А. Ляхова и И.В. Шуган теория описывает поведение системы только в случае малых частот пульсаций. К.Дж. Цвик и др.[114] экспериментально исследовали схожую проблему. Они изучали движение жидкости между двумя круглыми пластинами, на которые действует сила, состоящая из осциллирующей (с часто той 73, 100, 200, 230, 246 Гц) и постоянной составляющих, и не смогли обнаружить увеличения расхода жидкости, возникающего благодаря вибрациям пластин. Это означает, что эффект увеличения расхода жидкости благодаря пульсациям, обнаруженный

С.Л. Вайнбергом, М.С. Лонге-Хиггинсом, И.В. Шугаи, должен исчезать при больших частотах пульсаций.

1.11. Поведение пузырька и частицы в звуковом поле

Воздействие на жидкость звуковых колебаний приводит к возникновению, схлопыванию, осцилляциям и пульсациям пузырьков. При небольшой величине акустического давления малые пузырьки пульсируют с частотой акустических волн. Если интенсивность увеличить до некоторой критической величины, то пузырек в течение одного периода расширяется и схлопывается, что является причиной эрозии твердых поверхностей и диспергирования. Для любого значения акустического давления существует радиус пузырька, при превышении которого он схлопывается. Если радиус меньше этого критического значения, то пузырьки пульсируют с частотой акустических колебаний, благодаря чему между ними возникают силы Бъеркниса, приводящие к их притяжению 1115,116]. Для небольших значений акустического давления такое описание достаточно хорошо соответствует результатам экспериментов. При значениях акустического давления, превышающих 1 бар, оказывается необходимо учитывать взаимодействие пузырька с большим количеством соседей. В частности при таких высоких акустических давлениях в жидкости могут возникать стримеры, нитевидные структуры из пузырьков. В численных экспериментах похожие структуры были получены Р. Меттиным и др. [117]. При моделировании они предполагали пузыри симметричными и имеющими одинаковый радиус. Также они учли только первую и вторую силу Бьеркнеса и пренебрегли влиянием перемещения на пульсации. В дальнейшем А.А. Дойниковым и др.| 118,119], используя более точную модель, исследовали численно движение большого количества сферических пузырьков в акустическом поле и обнаружили, что для малых и средних акустических давлений пузырьки образуют пары, состоящие из пузырьков с одинаковым радиусом, расстояние между которыми почти не меняется. Построение модели, описывающей взаимодействие пузырьков в случае

несферических пульсаций, было выполнено в диссертации Л.И. Давлстшииа в 2010 году [120,121]. Им также была обнаружена возможность образования не только двоек, но и троек взаимодействующих пузырьков.

Звуковые волны, имеющие высокое акустическое давление, являются причиной возникновения между взвешенными частицами взаимодействий, приводящих к их столкновению и образованию агломераций. Объединение взвешенных частиц в поле ультразвука происходит в основном по ортокинетическому механизму. Основанная на этом механизме акустическая теория агломераций была создана Е.П. Медниковым[122] в 1960-ых годах. В [ 1231 JI. Сонг развил эту теорию, исследовав вопрос о привлечении малых частиц в обедненное из-за агломераций пространство вокруг больших частиц. Также им было получено выражение для количества частиц, которые присоединяются к частице за один цикл колебаний. В работе [124] Т.Д. Хоффмана и Ж.Д. Купмана в экспериментах со стеклянными сферами показали, что вызванное звуком взаимодействие стремится расположить частицы вдоль акустической оси. Исследование[125] показало, что стоячие акустические волны приводят к более быстрой агрегации частиц, чем бегущие. При малых значениях акустического давления взаимодействие между частицами и звуковыми волнами сводится в основном к рассеянию звуковых волн на частицах. В [126] дается решение задачи о монопольном, дипольном и ротационном рассеянии сферической частицей неоднородного гармонического по времени звукового поля в вязкой сжимаемой жидкости и в упругой среде.

Общую задачу о взаимодействии пузырьков и частиц в звуковом поле исследовал Т.А. Хей [127,128]. Основной целью Т.А. Хей было построение теории, а не её применение к решению реальных задач. Им был модифицирован Лагранжев формализм, развитый Ю.А. Ильинский и др в [129], чтобы получить модель, описывающую взаимодействие пузырьков и частиц. Построенная им модель имеет пятый порядок по параметру R/d, где R - характерный размер, a d -характерное расстояние между соседними пузырьками. Частицы и пузырьки рассматривают как сферические с неодинаковыми радиусами. Хотя

первоначально жидкость рассматривалась как несжимаемая, в дальнейшем исследование было расширено до первого порядка по акустическому числу Маха для кластера пузырьков и частиц и до второго порядка для одиночного пузырька.

В диссертационной работе Л.С. Клименко [130] рассмотрено взаимодействие всплывающего пузырька и падающей частицы в воде в сильном звуковом поле. Ей было получено, что благодаря звуку частицы притягиваются к пузырьку. Причем тяжелые частицы притягиваются сильнее, чем легкие. Для слабых звуковых полей подход, разработанный в диссертации Л.С. Клименко, приводит к выводу о том, что воздействие звука на движение пузырька и частицы пренебрежимо мало.

1.10. Общая характеристика работы

Диссертация состоит из введения, заключения и трех глав. Первая и вторая глава разбита на две части, которые в свою очередь подразделены на параграфы. Третья глава разбита на несколько параграфов. Во введении представлены обзор литературы, содержание и основные цели работы.

В первой главе рассматривается движение ньютоновской жидкости в канале с неизвестным законом колебаний стенки, но с заданным законом изменения давления на границе. Изменение координат стенки канала находится в ходе решения задачи. Давление на границе задается в виде гармонической бегущей волны. Это приводит к возникновению бегущих волн, распространяющихся по поверхности стенки, что в свою очередь ведет к возникновению перистальтического транспорта. С помощью метода малого параметра, рассматривается случай малых амплитуд колебаний давления на стенке и малых волновых чисел. Представлены зависимости расхода жидкости от параметров задачи в виде аналитических выражений и графиков, а также усредненные по времени профили скорость жидкости. Во второй части рассмотрено влияние продольных вибраций на управляемый давлением перистальтический поток.

Кроме того в ней рассмотрен эффект «прилипания» частицы к движущейся стенке.

Во второй главе рассматривается поведение жидкости в пульсирующем канале с заданным постоянным перепадом давления на концах капала. Эта задача является вырожденным случаем задачи о перистальтическом течении в пределе бесконечно больших длин волн. В первой части главы рассматривается несжимаемая жидкость, а во второй - сжимаемая. Приводятся зависимости от параметров задачи добавки к расходу жидкости, возникающей за счет пульсаций, даны профили скоростей.

В третье главе рассматривается влияния звука на взаимодействие падающей твердой частицы и всплывающего газового пузырька в жидкости. Приводятся зависимости радиуса столкновения пузырька и частицы от параметров задачи.

В заключении представлены основные выводы и результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перистальтические и пульсационные течения, поведение пузырька и частицы в условиях заданного давления на границе»

1.11. Актуальность

Диссертационная работа посвящена исследованию перистальтического течения жидкости в канале с заданной волной давления па границе. В большинстве работ о перистальтическом транспорте из соображений удобства задается закон изменения координаты стенки. Однако, в стенках полых органов (пищеводе, тонкой и толстой кишке, мочеточечнике, лимфатических сосудах), работа которых основана на переносе вещества по перистальтическому механизму, присутствуют барорецепторы - сенсоры, воспринимающие давление в пристеночном слое жидкости и рефлекторно регулирующие просвет сосудов. Для моделирования поведения таких биологических систем более адекватным представляется подход, в котором задается волна давления па границе. Такой подход, реализованный в диссертационной работе, позволяет обнаружить и описать новые, не исследованные ранее эффекты.

В диссертации также рассмотрено влияние поперечных пульсаций стенок

канала на перенос вещества под действием перепада давления. Такая задача возникает при определении вязкости жидкости методом сжимаемых каналов ("squeezing flow viscometry"). Подобные задачи также часто встречаются при исследовании различных биологических систем, в частности, движении смазки в суставах или в микрососудах работающих мышц.

Исследовано также влияние звука на взаимодействие падающей твердой частицы и всплывающего газового пузырька в жидкости. Актуальность этой задачи связана с важностью поиска путей повышения эффективности флотации, метода обогащения, основанного на захвате минеральных частиц пузырьками.

1.12. Цели работы

1. Изучить течения жидкости в канале с заданной волной давления на границе.

2. Исследовать влияние вибраций на течение жидкости в канале с заданной волной давления на границе.

3. Изучить влияние поперечных пульсаций стенок канала па перепое вещества в вертикальном канале под действием перепада давления и силы тяжести.

4. Исследовать влияние сжимаемости на течение жидкости под действием силы тяжести в вертикальном канале с пульсирующими стенками.

5. Исследовать влияние звука на радиус столкновения твердой частицы со всплывающим в жидкости газовым пузырьком.

1.13. Научная новизна результатов

1. Получено аналитическое решение задачи о течении жидкости в канале с заданной волной давления на границе, в случае произвольных скоростей распространения волны и волновых чисел. Определены зависимости расхода

жидкости от параметров задачи.

2. Впервые изучено влияние вибраций на течение жидкости в канале с заданной волной давления на границе. Определены условия, при которых вибрации способствуют увеличению транспорта жидкости по перистальтическому механизму. Установлено, что наибольшее влияние па перенос жидкости вибрации оказывают в случае совпадения частот вибраций и волны давления на стенке.

3. Исследовано влияние поперечных пульсаций стенок па перенос вещества под действием перепада давлений в случае конечных частот пульсаций. Обнаружено, что в этом случае пульсации уменьшают расход жидкости, а пе увеличивают, как это имеет место в исследованном ранее другими авторами случае малых частот.

4. Впервые исследовано влияние сжимаемости на перепое вещества под действием перепада давления в канале с пульсирующими стенками. Обнаружено возникновение независящей от времени неоднородности плотности в канале.

5. Исследовано влияние звука на взаимодействие твердой частицы и газового пузырька, всплывающего в потоке жидкости в гравитационном поле. Найдено, что воздействуя звуком, можно увеличить вероятность захвата частиц пузырьками определенного радиуса.

1.14. Представленные к защите результаты

1. Результаты исследования перистальтического течения с заданной волной давления на границе в случае произвольных скоростей распространения волны и волновых чисел.

2. Результаты исследования влияния вибраций на перистальтическое течение с заданной волной давления на границе.

3. Результаты исследования течения в канале с заданным перепадом давления при наличии поперечных пульсаций стенок в случае конечных частот пульсаций.

4. Результаты исследования влияния звука на взаимодействие твердой

частицы и газового пузырька, всплывающего в потоке жидкости в гравитационном поле

1.15. Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием известным теоретическим данным и согласием результатов, полученных разными методами и с использованием разных подходов.

1.16. Публикации

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 16 печатных работах: в 8 статьях, из которых 3 статьи опубликованы в рецензируемых научных журналах, включенных Высшей аттестационной комиссией России в список изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата паук и 8 тезисах:

1. Любимов Д.В., Мингалев С.В. Управляемый давлением перистальтический поток // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 2012. — №5. — С. 52-58.

2. Mingalev S., Lyubimov D. and Lyubimova Т. Dynamics of Particle Confined Between Oscillating and Fixed Walls // Microgravity Science and Technology. — 2011. — V. 23, N. 1. — P. 99-103.

3. Mingalev S.V., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Pressure-driven peristaltic flow // J. Phys.: Conf. Ser. — 2013. — V.416. — 012029.

4. Мингалев C.B., Любимов Д.В. Движение частиц в управляемом давлением перистальтическом потоке // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2010. Вып. 2. —С. 32-38.

5. Мингалев С.В., Любимов Д.В. Течение Пуазейля в пульсирующем канале // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2012. Вып. 4. — С. 145-

6. Мингалев C.B. Особенности столкновения лёгкой частицы с осциллирующей стенкой в случае упругого удара // Материалы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах. Пермь. — 2007. — С. 322-325.

7. Мингалев C.B. Управляемый давлением перистальтический ноток // Материалы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. — 2009. — С. 197-200.

8. Мингалев C.B. Управляемый давлением перистальтический поток. // Материалы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. — 2010. — С. 178-182.

9. Мингалев C.B. Расход жидкости управляемого давлением перистальтического потока // Тезисы конференции XVI-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. — 2009. — С. 242.

10. Мингалев С. В., Любимов Д. В. Физические основания использования вибрационной гипотезы для объяснения рабочей гиперемии скелетных мышц // Тезисы конференции XVII-я Зимняя школа по механике сплошных сред. 11ермь. — 2011. —С. 227,

11. Любимова Т.П. Мингалев C.B. Влияние продольных вибраций на управляемый давлением перистальтический поток// Тезисы конференции XVIIl-я Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь. — 2013. — С.249.

12. Мингалев C.B. Управляемый давлением перистальтический поток // Тезисы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах», Пермь. — 2009. — С. 101.

13. Мингалев C.B. Управляемый давлением перистальтический поток // Тезисы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. —2010. — С. 58.

14. Мингалев C.B., Любимов Д.В. Течение Пуазейля в пульсирующем канале // Тезисы всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. — 2012. — С. 52.

15. Lyubimov D., Mingalev S. Pressure-driven peristaltic flow of biological fluids in a channel with elastic walls // Book of Abstract IV France-Russia Conference NAMES-10. Nancy, France. — 2010. — P. 66.

16. Mingalev S., Lyubimov D., Lyubimova T. Dynamics of particle confined between two oscillating walls // Book of Abstract Sixth International Conference on Two-phase systems for ground and space applications. Cava de' Tirreni, Italy. — 2011. — P. 80.

1.17. Личный вклад автора

Автор проводил аналитические расчеты, участвовал в выборе теоретических моделей и методов решения и обсуждении результатов.

1.18. Апробация работы

Результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2007, 2009, 2010, 2012); конференциях «Зимняя школа по механике сплошных сред» (11ермь, ИМСС УрО РАН, 2009, 2011, 2013); ежегодной конференции Научно-образовательных центров Pan-REC 2008 (Н. Новогород, 2008), VI международной конференции «Two-phase systems for ground and space applications» (Кава-де-Тиррени, Италия, 2011) и IV французско-российской конференции «New Achievements in Materials and Environmental Sciences» (Нанси, Франция, 2010), Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (Пермь, ПГНИУ, 2012), семинаре лаборатории UMR 7359 GeoRessources (Нанси, Франция; 2013).

1.19. Практическая ценность

Результаты исследования перистальтического течения с заданной волной

давления на границе могут быть использованы для анализа причин возникновения патологий органов, работа которых основана на переносе вещества по перистальтическому механизму.

Результаты исследования течения в канале с заданным перепадом давления при наличии поперечных пульсаций стенок могут быть использованы для объяснения особенностей кровоснабжения работающих мышц. Их можно также использовать для повышения эффективности работы насосов и увеличения точности определения вязкости методом сжимаемых каналов.

Результаты исследования влияния звука на взаимодействие твердой частицы и газового пузырька, всплывающего в потоке жидкости, в гравитационном поле могут быть использованы для повышения эффективности процесса флотации.

1.20. Методы исследования

Течения жидкости исследуется на основании решения системы уравнений Навье-Стокса для сжимаемой и несжимаемой жидкости методами малого параметра и многих масштабов с использованием системы компьютерной алгебры Maple. Поведение пузырька и частицы исследуется па основании решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

2. УПРАВЛЯЕМЫЙ ДАВЛЕНИЕМ ПЕРИСТАЛЬТИЧЕСКИЙ ПОТОК

При исследовании перистальтических течений бегущая волна, приводящая к возникновению транспорта жидкости, обычно задается кинематическими граничными условиями. В этом случае скорость стенок канала жестко определена. Другой способ создания перистальтических течений связан с использованием динамических граничных условий, которые приводят к возникновению бегущих волн. В представленном в этой главе исследовании используется именно такой вид граничных условий: на границе задается сила, которая действует на стенку канала таким образом, чтобы давление на границах канала меняется по заданному закону. Такой подход связан с тем, что в живых организмах некоторые полые органы (например, лимфатические сосуды), основу работы которых составляет перистальтический транспорт, содержат в своих стенках барорецепторы. Этот тип рецепторов воспринимают давление на стенке, и позволяет осуществлять местную регуляцию тока биологической жидкости. 11ри исследовании делается предположение о том, что регуляция является абсолютно совершенной, и, следовательно, можно пренебречь всеми силами, кроме той, которая действует на стенку канала таким образом, чтобы давление па границах канала менялось по заданному закону.

Таким образом, в настоящей главе исследуется движение ньютоновской жидкости в двухмерном канале с неизвестным заранее законом колебаний стенки, но заданным законом изменения давления на ней. Закон изменения координат стенок канала находится в ходе решения задачи. В первой части этой главы рассматривается поведение самой исследуемой системы, во второй - влияние на неё продольных вибраций, в третьей - некоторые эффекты, связанные с движением частиц.

2.1.Решение общей задачи

2.1.1. Постановка задачи

Граничные условия. Сила, действующая на элемент поверхности стенки канала со стороны жидкости, задается формулой

Р,=рп, -г/

^dv,

-L —L

кдхк дх, j

пк = Рп,

dv dv ^ —- +—-

v дх дх1 j

nx-rj

dv, Svy

ду дх,

(2.1)

где хну- поперечная и продольная координаты, р - давление, /7 -динамическая вязкость, V, - скорость жидкости, пк - нормаль к поверхности. Если положение стенки канала задается уравнением

х = к + (2-2)

то нормаль к ней определяется выражением

п =

Подставляя (2.3) в (2.1), получим

Р =—R__п 2 ^ + ^

Х ф + ф + дх

rdv av,Л -+-1

У ду дх

(2.3)

(2.4)

dv dvx

—-н---

дх ду

>A+<r2 Vi+F ^

Вдоль оси ОХ на поверхность действует сила

ct — у

Рх = -к(р - a cos-),

А

(2.5)

(2.6)

которая стремится так изменить положение стенок, чтобы давление на границе Ш-ку

стало равно асоБ-—. Ьсли р, давление на поверхности, оказывается больше

2 71

асоз[(гу/ -ку) / 2тг], то сила будет стремиться уменьшить сечение канала, что

приведет к увеличению скорости и уменьшению давления. Подставляя (2.6) в (2.4), получим

-к{р-а eos-—) =

dv

p — 2r¡—- +

дх

5v dvt

---L

üy ÜX

(2.7)

Стенки не могут двигаться вдоль оси OY, поэтому второе уравнение (2.5) никакого нового граничного условия не дает. В настоящем исследовании будет рассмотрен случай к—>оо, в этом случае при отклонении давления от заданного генерируется очень большая сила, по сравнению с которой всеми остальными силами можно пренебречь. В пределе л:—>со уравнение (2.7) примет вид

с1~У п «л р~а eos-. (2. о)

А

Д. Такаги [32] вместо (2.8) ставил на стенках трубки (он исследовал не двухмерный канал, а трехмерную трубку) условие

psn -J

р\ -£ + ¿zsin — (y-ct), (2.9)

dz" A

где r - радиус сосуда, зависящий от координаты у, h - среднее положение стенок, а £ - отклонение от этого среднего положения. Условие Д. Такаги

д"

отличается от (2.8) наличием слагаемого К-которое введено для юго,

dz'1

чтобы смоделировать силу упругости. Д. Такаги рассмотрел предельный случай малых волновых чисел и скоростей распространения волны. В настоящей главе будет найдено более общее решение для произвольных волновых чисел и скоростей распространения волны.

Помимо динамического граничного условия (2.8) в исследовании, представленном в этой главе, на стенках ставится также кинематическое условие:

дЕ 1

х = ±к±£>\ у = ± —, и = 0, р = асоБ — (с( - у).

д1 Я

(2.10)

где и и V - продольная и поперечная скорости, х - поперечная координата, И -среднее положение стенок, а £ - отклонение от этого среднего положения.

Система уравнений. Поведение жидкости моделируется на основании уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости:

дм дм 1 ф

--ь v--ни--1---——v

д( дх ду р дх

f 12 -,2 Л о v о v

дх2 а/

= 0,

(2.11)

<3и ди ди \ дг>

--к V--ни--1---1— у

д1 дх ду р ду

/ -|2 а2 \ о и д и

+ ■

дх2 ду2

= 0.

(2.12)

¿V Л

— + — = 0. дх ду

(2.13)

Размерными параметрами задачи являются половина начального расстояния между стенками к, половина длины канала длина Я и скорость

распространения с волны давления на стенке, плотность жидкости р, амплитуда колебаний давления на стенке а, кинематическая вязкость V. Для того, чтобы перейти к безразмерным параметрам, введем единицы измерения. Поперечную к оси канала координату х будем измерять в к, продольную координату у - в Я,

время г1 - в Я/с, давление р - в рс1, продольную скорость и - в с, поперечную скорость v — в с/г/Я, отклонение от среднего положения стенки £ — в к. В результате уравнения (2.11)-(2.13) и граничного условия (2.10) примут вид

дм дм дм

-+ v — + и-

д1 дх ду

дх С

д1м с252ул + 5

дх1

ду'

0,

(2.14)

/

<Эи <3и 5и <Эр

-+ v--ь и — + —

сЛ дх ду ду

Л

( ъг

С

д~и

дх2

Л

д и

'ду2

0,

(2.15)

дм ди п — + — = 0, дх ду

(2.16)

х = ±1±£: \ = ± — , и = 0, р = Асоб(/ ~ у}1 (2-17)

Задача характеризуется четырьмя безразмерными параметрами: безразмерной скоростью распространения волны С = Ис/у, волновым числом 5 = к/Л, длиной канала Ь-ЬЧЛ и безразмерной амплитудой колебаний давления на стенке А = а / (рс2).

2.1.2. Малые амплитуды колебания давления на стенке

Вначале рассмотрим случай малых амплитуд колебаний давления па стенках. Решение будем искать в виде рядов по малому параметру А :

V = Ау1 +А2\2 + ..., и = Аи{ + А2и2 + ..., Система уравнений. Переходя к новым переменным:

х' = х!{\ + $) У' = У

(2.18)

получим граничные условия (2.17) в виде

.4

х' = ±1: V = и = 0, р = Асоб(1' - у'),

(2.19)

и уравнения (2.14)—(2.16) в виде

д\х а + 3 а д п , чЭи

— =--- + \к- уа-\ха) —

дГ СЗ дх'2 v ' дх'

Зд д2и ди 3 д2и др др

-и — +

-я-

С дх'ду' ду' Яе ду'2 дх' ду'

(2.20)

дм а2 + 32а2 д2\ , ч дм

— =----- + (к - у а - иа) —

дГ СЗ дх'2 к } дх'

„ За д2м дм 5 д2м а др

+ 2 —--и — +--—

С дх'ду' ду' Ке ду'2 З2 дх'

(2.21)

дм ди ди а — + а — + — = 0. дх' дх' ду'

(2.22)

где введены обозначения:

¿7* = а

2 а

-Г

х,

а =

1 + £

к = -ах

3

д^ ду2

- 2 а

Яе

■ + V

1д=-1

ц = -а — х . ду

(2.23)

В дальнейшем будем опускать штрихи над переменными.

Решение в первом порядке. В первом порядке по малому параметру задача (2.19) - (2.22) принимает вид

ду, | ф, = 8

а/ дх с

а V, с2 а V

дх2 ду1

I

/

(2.24)

ЗС

аи, [ ар, а/ ду

а2и,

дх"

3'

а2и,

ду"

(2.25)

дх ду

(2.26)

р, £г

х = ±1: v, = и,=0, р, =соб(/-.у).

а/

(2.27)

Вводя обозначения

Хх

= ]-^32+С2+3, щ = ]-ур72+С2 -3,

_ sinh X\ sin ú), _ cosh cos °>\

C, — - ~ ~ z , C2 — •

' i 2 2 ' 2 2 2

cos cox + sinh X\ cos coi + s,r)h X\

запишем решение системы уравнений (2.24)-(2.27) в виде

v.

= C0S4'XSÍr|X ~ZtC2)cos(í - у)-(со,С2 + Х\С,)sin(/ - 7)]

sinh 5х .

sm(t - у) + Sính 'COS2^X [(j,С, + co,C2) cos(/ - у) + (2.28)

д cosh S Х\ +0}\

-(j,C2 -íy,C,)sin(/-;;)]

для поперечной скорости cosh 5х

и, =

cos(/ - у) + sinh j,xsin (úxx[С, cos(/ - у)-С2 sin(/ - у)]

cosh¿ " (2.29)

+ cosh cos<d[x\C2 cos(/-^) + C, sin^-j)]

для продольной,

px = cosh(¿>x)cos(/-y)/cht> (2.30)

для давления,

^ = cosh ¿r, S,n., _ %ic2)s[n{t. у)Чщс2 + j, с,) cos ( / - у)]

X + Ц

sinh 8 , . sinh r, cos ¿y, r. _ . . .

+ --—cos(t - y) +-f-^-[(xA + co{C2)sm(t -y)+ (2.31)

о cosh о X\ + 03\

+ (XlC2-cD{C[)cos(t-y)].

для отклонения от среднего положения.

Раскладывая (2.31) в ряд по волновому числу, получим

£ =_££sin (t-y) + 0(S2). (2.32)

Д. Такаги получил в первом порядке по А для £ выражение, которое в используемых в этой главе обозначениях имеет вид:

S -^^-, (2.33)

где £) - безразмерный коэффициент упругости [32]. При £) = 0 выражения (2.33) и (2.32) будут отличаться численным коэффициентом, что связано с разной геометрией задач: Д. Такаги исследовал трубу, а не канал. Они также отличаются фазой, что связано с разной фазой в граничных условиях на давление (2.9) и (2.17) Для того, чтобы фазы в (2.33) совпадали необходимо сделать преобразование

71 0

^ —> ? — —. Зависимость же от параметров оказывается одинаковой.

Усредненный профиль течения. Из-за громоздкости уравнений во втором порядке разложения, решение для порядка, выше первого, в явном виде получить не удается. Однако, используя решение первого порядка, можно вычислить среднее значение продольной скорости и2 во втором порядке. Для этого необходимо усреднить по времени уравнение Навье-Стокса для продольной компоненты скорости и2 во втором порядке по А:

ди7 дЕ др. ф, <Эи, х8 д2Е <3и, 1 д2и7 —+ + —1 +--—I---± +

дг ду дх ду ду С ду дх С8 дх"

' * (2.34)

Э2и, 2x8 д2и, 5и, 8 д2и2 ди,

+ +---- + v, —----+

Ы„> о.

С8 дх" С ду дхду дх С ду дх

Решение в первом порядке зависит от {1-у), но не от времени ( и координаты у по отдельности. Будем считать, что решение во втором порядке также будет зависеть только от (1-у). Пользуясь этим, можно преобразовать уравнение (2.34) к виду

<Эи, дЕ др. др0 ди, х8 д2Е Эи, 1 <Э2и,

- X Ц.-!- +---1---2.+

дг ду дх д( й С ду2 дх С8 дх2

' ' (2.35)

2Е д2и, 2x8 дЕ д2и, 5и, 8 д\х. / , \ п + ——=*- +--^-— + v,—1---+ —Чу, , =0.

С8 дх2 С ду дхду дх С д12 дх v 1|д="и

<9и, <3р7 <3"и., ди. -При усреднении по времени слагаемые —-, —1—, —г=-, и,—!- обратятся в

д1 д1 дг д1

нуль. Если бы это было не так, то скорость, её квадрат или давление выросли бы

до бесконечности. В результате уравнение для усредненной по времени компоненты скорости П2 примет вид

1 дЧ = ф, | хЗ д2^ аи, | д\ |

СЗ бх2 ду дх С ду2 дх СЗ дх2

* (2.36)

2x8 д2и. ди, <3и, +---— + v]-1 + х- '

(V, и,).

С ду дхду дх дх где чертой обозначено усреднение по времени. Усредняя по времени (2.36), а

затем интегрируя получившееся выражение дважды по х, получим

СЗ

и2 = с, + с2х +

2 71

1л

' д^ др] ^ хЗ д2^ 5и, 2£, д2и1

V

ду дх С ду дх СЗ дхг

о

2x8 Э2и, <Эи, Зи, 4

(2.37)

+--—-- + —- + х—¡-V,

С ду дхду дх дх

скс1хс!х

У

Константы с, и сг определяются из условий на границе:

х = +1: й2 = 0. (2.38)

На рис.2.1 представлен профиль усреднённой по времени продольной скорости П2 во втором порядке (в первом порядке усредненная но времени продольная скорость равна нулю). Скорость П2 растет с уменьшением 8 и увеличением скорости волны С. При малых скоростях распространения волны г, профиль продольной скорости имеет форму колокола с максимумом в центре канала (рис.2.1а: кривые 3 и 4). При увеличении скорости распространения волны возникают плато в центральной части и пограничные слои вблизи стенок (рис.2.1а: кривые 1 и 2, и рис.2.1е-1). Толщина пограничного слоя с увеличением С и 8 уменьшается, при этом в центральной части расширяется область, где средняя скорость почти не меняется.

Расход жидкости. Транспорт жидкости характеризуется её расходом: объёмом жидкости, протекающим через поперечное сечение капала за единицу

Рис. 2.1. Зависимость усредненной по времени продольной скорости от поперечной координаты для ¿>=0.01 (а), ¿" = 0.1 (Ь), ¿> = 1 (с, с), ¿> = 10 (с1, 0 и для С = 20000 (1), С = 5000 (2), С = 1000 (3), С = 100 (4), С = 10 (5), с = 1 (6), С = 0.3 (7), С = 0.2 (8), С = 0.1 (9)

времени. Выражение для усредненного по времени расхода жидкости в исходной непреобразованной (нештрихованной (2.1 8)) системе координат имеет вид

Q = — [ [ ucbcdt.

2 7Г J J

2к \+£

(2.39)

После перехода к штрихованным координатам выражение для расхода жидкости приобретает вид

2 = Г и(1+ £)<&'<//'.

2л J J

2 п I

(2.40)

Подставляя в (2.40) разложения по малому параметру, получим формулу для расхода жидкости во втором порядке по А :

2л I

Q2 = — j J (u2 + )dx'dt\

0 -1

(2.41)

С помощью этой формулы были построены графики па рис. 2.2, которые представляют зависимость расхода жидкости от параметров задачи. Зависимость расхода от волнового числа немонотонна; существует максимальное значение

2.5 г

0

2.5

Ь

0

о

2000

0

Рис.2.2. Зависимости расхода жидкости от а: скорости волны С для ¿> = 0.01 (1), ¿ = 0.1 (2), ¿ = 1 (3), ¿ = 10 (4), и Ь: волнового числа ¿> для С = 20000 (I), С = 2000 (2), С = 100 (3), С = 1 (4)

расхода жидкости, которого можно добиться, меняя параметры задачи. Оно примерно равно 2.5, что для воды в сантиметровом канале соот ветствует скорости

порядка 1СГ3 м/с. Расход жидкости растет с увеличением скорости распространения волны и при больших значениях С выходит на горизонтальную асимптоту, что объясняется формированием пограничных слоев.

Рис.2.3. Зависимости сдвига фаз между волной давления на границе и бегущей по поверхности стенки волной от скорости волны(снлошная линия: (5 = 0.001, пунктирная: ¿" = 0.01, штриховая: ¿>=0.1, штрихпупктирная: ¿ = 1)

Сдвиг фаз. Одной из важных особенностей исследуемой системы является запаздывание волны, бегущей по поверхности стенки, (характеризуется величиной отклонением от среднего положения стенки) относительно полны давления на границе. Рис.2.3 показывает, что при уменьшении скорости волны С

сдвиг фаз стремится к при увеличении - к п. Увеличение волнового числа

ведет к тому, что сдвиг фаз быстрее выходит на асимптоту А(р = тс .

2.1.3. Решение в длинноволновом приближении

Использование граничного условия (2.17) на давление связано с существованием в стенках пищевода, тонкой и толстой кишке, мочеточсчпике барорецепторов - сенсоров, воспринимающих давление в пристеночном слое жидкости. По А. Д. Ноздрачсву [131] организацию перистальтики в этих органах осуществляет метасимпатическая нервная система. Рефлекторная дуга нервных

систем такого типа, включающая сенсорное звено, в качестве основы которого предполагается барорецептор, замыкается внутри стенок, т.е. её прямое подчинение центральной нервной системе отсутствует.

Толстая кишка имеет длину до 1.5 метра и радиус порядка 3 сантиметров, частота перистальтических волн в толстой кишке 0.2-0.6 с-1. Циркулярные мышцы, сокращаясь, образуют перетяжки размером 1-3 сантиметра, при этом содержимое кишки передвигается в соседний участок шириной 15-20 сантиметров. Вязкость ранжируется в широких пределах: наименьшая вязкость соответствует вязкости воды.

Таким образом, можно утверждать, что для толстой кишки

8-к! Л~0.1 = 0.2. (2.42)

Длина мочеточника составляет примерно 30 сантиметров, а диаметр - от 3 до 10 мм. Скорость волны составляет 2-3 см/минуту, частота от 0.02 до 0.1 с"1, длина волны от 2 до 15 см. Вязкость мочи 1^ = 0.007 см2/с [46].

Таким образом, можно утверждать, что для мочеточника

¿ = 0.001 = 0.1. (2.43)

Из полученных значений можно заключить, что волновое число 8 в большинстве случаев можно считать малым, поэтому естественно использовать это для поиска приближенного решения.

В длинноволновом приближении выражения для скоростей, давления и изменения координаты стенки ищутся в виде рядов по степеням малого параме тра

и = Ц[<5 + и2<52 + +..., у = + \282 + у3с>3 +... (2.44)

£ = £8 + £82 +£83 + ..., р = р,с>+р2с>2 +р3^3 + ... (2.45)

Процедура решения состоит в том, что ряды (2.44) и (2.45) подставляются в систему уравнений (2.14)-(2.17). Затем множители при одинаковых степенях 8 группируются, после чего коэффициенты при последовательных степенях 8

приравниваются нулю. Перед подстановкой рядов (2.44) и (2.45) в граничные условия (2.17), эти граничный условия раскладываются в ряд относительно х = ±1:

= ±1: p±f?E + LlL + „, = Acos(t-y)t

дх 2 дх

^ду <Е2 8Е „ <3и £2 д2и

v + ^ — + ---- + ... = ± —, и±£— + ---- + ... = 0.

дх 2 дх <Э/ дх 2 со-

программа для нахождения решения исследуемой системы уравнений в длинноволновом приближении приведена в Приложении №1. Найденная с помощью этой программы продольная скорость определяется выражением

АС5 I Ч/ 2

и = —-—Sin(/->')(x -1) +

А Г^^

[cos(f - у)(х2 - 1)(х2 - 5) + 8Л sin2 (t - у)] + 0{8¡),

(2.46)

24

поперечная -

ЛСЗ , 2 ,

v =-х(х -3)cos (t-y)-

6

АС232 г. 2 сч2

(2.47)

120

закон изменения координаты стенки -

ACS . . ^1,2 =£ =--— Sin(/-^) +

(x¿ - 5) - 80Acos(t - y) xsin(/ -y) + 0(¿J),

давление

AC2S2

+ [5Л - 2 cos(í - y)(5Acos(t -y)- 2)] + 0{S"),

AS2 , 2

(2.48)

p = A eos(t - y) + — (x1 -1) cos(/ - y) + 0{Sj). (2.49)

Выражение для расхода жидкости в длинноволновом приближении имеет

вид

2л 1+<?

<2 = — | | \xdxdt = Л2С2^>4 "

а2с2з2

+ ■

V

12

3

а1-

■ +

г25 .2 31л

63

(2.50)

+ 0(£6).

Рис.2.4 показывает, что при малых 3 и С приближение малых амплитуд, которое рассматривалось в предыдущем параграфе, и приближение длинных волн, используемое в настоящем параграфе, дают близкие результаты.

0.8

0

0

0

150

0

о.:

Рис.2.4. Зависимость расхода жидкости от а: скорости волны С для 3 = 0.01, Ь: волнового числа 5 для С = 100 (сплошная линия: приближение малых амплитуд, штриховая линия: приближение длинных волн (только главный порядок))

Д. Такаги, который решал задачу, близкую к рассматриваемой в настоящей работе, получил для расхода жидкости выражение (в используемых нами обозначениях)

б = л2сгд7 + 0{л\5\су), (2.5,)

16 + е)

где и - безразмерный коэффициент упругости [32]. При 73 = 0 выражения (2.51) и (2.50), если отбросить слагаемые со степенями 8 старше второй, отличаются только численным коэффициентом, что связано с разной геометрией задач: Д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мингалев, Станислав Викторович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shapiro А.Н. Jaffrine M.Y., Weinberg S.L. Peristaltic pumping with long wavelength at low Reynolds number // J.Fluid Mech. — 1969. — Vol. 37. — P. 799825.

2. Jaffrine M.Y. Inertia and streamline curvature effects on peristaltic pumping // Int.J.Eng.Sci. — 1971, —Vol. 11. — P. 681-699.

3. Weinberg S.L. Eckstein E.C. Shapiro A.M., An experimental study of peristaltic pumping//J.Fluid Mech. — 1971, —Vol. 49. — P. 461-479.

4. Lyne W.H. Unsteady viscous flow over a wavy wall // J. Fluid Mech. — 1971. — Vol. 50.— P. 33-48.

5. Kaneko A. Honji II. Double structures of steady streaming in the oscillatory viscous flow over a wavy wall // J. Fluid Mech. — 1978. — Vol. 93. — P. 727-736.

6. Russel G.K. Structure and particle transport in second-order Stokes flow // Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 61. — P. 6606-6620.

7. Lykoudis P.S. Roos R. The fluid mechanics of the ureter from lubrication point of view//J. Fluid Mech. — 1970, —Vol.43. —P. 661-674.

8. Fung Y.C. Peristaltic pumping: a bioengineering model // Urodynamics: Flydrodynamics of the Ureter and Renal Pelvis / book auth. Boyarsky S. — New York : Academic Press, 1971.

9. Jimenez-Lozano J. Sen M. Peristaltic flow with application to ureteral biomechanics. A Dissertation. — Notre Dame, USA, 2009.

10. Mekheimer Kh.S. Al-Arabi Т. H. Nonlinear peristaltic transport of MIID flow through a porous medium // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. —2003. —Vol. 2003, N. 26. —P. 1663-1682.

11.Mekheimer Kh.S. Peristaltic Flow of a Magneto-Micropolar Fluid: Effcct of Induced Magnetic Field // Journal of Applied Mathematic. —- 2008. — Vol. 2008. — P. 1-23.

12. Kim H.L. Labay P., Boyarsky S., Glen G.F. An experimental model of ureteral colic//J.Urol. — 1970. — Vol. 104.—P. 380-391.

13. Elshehawey E.F. Wahed A. F., El-Sebaei Effects of Poiseuille flow on peristaltic transport // IJMMS. — 2001. — Vol. 26, N. 6. — P. 341-352.

14. Mekheimer Kh.S. Shehawey E. F. El, Elaw A. M. Peristaltic Motion of a Particle-Fluid Suspension in a Planar Channel // International Journal of Theoretical Physics. — 1998. —Vol. 37, N.l 1. -— P. 2895-2920.

15. Jimenez-Lozano J. Sen M., Corona E. Analysis of peristaltic two-phase flow with application to ureteral biomechanics // Acta Mech. — 2011. — Vol. 219. — P. 91-109.

16. Misra J.C. Maiti S. Peristaltic transport of rheological fluid: model for movement of food bolus through esophagus // Appl. Math. Mech. — 2012. — Vol. 33,N. 3. — P. 315-332.

17. Tripathi D. Peristaltic Hemodynamic Flow of Couple-Stress Fluids Through a Porous Medium with Slip Effect // Transp Porous Med. — 2012. — Vol. 92. — P. 559572.

18. Vijayaraj K. Krishnaiah G., Ravikumar M.M. Peristaltic pumping of a fluid of variable in a non-uniform tube with permeable wall // Journal of Theoretical and Applied Information Technology. — 2009. — Vol. 2009. — P. 82-91.

19. Suryanarayana-Reddy M. Sankar-Shekar-Raju G., Subba-Reddy M.V., Jayalakshmi K. Peristaltic MFID flow of a Bingham Fluid through a Porous Medium in a Channel // African Journal of Scientific Research. — 2011. — Vol. 3, N. 1. — P. 179203.

20. Eldesoky I.M. Mousa A.A. Peristaltic Pumping of Fluid in Cylindrical Tube and its Applications in the Field of Aerospace // 13th International Conference on aerospace sciences & aviation technology. — 2009. — Vol. 13. — P. 26-28.

21. Wang Y Hayat T., Hutter K. Peristaltic flow of a Johnson-Segalman fluid through a deformable tube // Theor. Comput. Fluid Dyn. — 2007. — Vol. 21. — P. 369-380.

22. Elshehawey E.F. El-Dabe N. T. , El-Desoky I. M. Slip effects on the peristaltic flow of a non-Newtonian Maxwellian fluid // Acta Mechanica. — 2006. — Vol. 186. — P. 141-159.

23. Mekheimer Kh.S. Non-linear peristaltic transport of magnetohydrodynamic flow in an inclined planar channel // Arabian Journal for Science and Engineering A. — 2003, —Vol.28, N. 2. — P. 183-201.

24. Muthu P. Rathish-Kumar B.V., Chandra P. Peristaltic motion of micropolar fluid in circular cylindrical tubes: Effect of wall properties // Applied Mathematical Modelling. — 2008. — Vol. 32. — P. 2019-2033.

25. Aarts A.C.T. Ooms G. Net flow of compressible viscous liquids induced by travelling waves in porousmedia // Journal of Engineering Mathematics. — 1998. — Vol. 34, —P. 435-450.

26. Shun-Fa Hwang Yu-Shiuan Shiu Fabrication and Characterization of Two-Chamber and Three-Chamber Peristaltic Micropumps // International journal of precision engineering and manufacturing. — 2010. — Vol. 11, N. 4. — P. 613-618.

27. Misra J.C. Pandey S.K. Peristaltic flow of a multilayered power-law fluid through a cylindrical tube // International Journal of Engineering Scicncc. — 2001. — T. 39. — C. 387-402.

28. Misra J.C. Maiti S. Peristaltic Pumping of Blood Through Small Vessels of Varying Cross-section // J. Appl. Mech. — 2012. — Vol.79, N.6. — 061003.

29. Srinivasacharya D. Mishra M., Ramachandra-Rao A. Peristaltic pumping of a micropolar fluid in a tube // Acta Mechanica. — 2003. — Vol. 161. — P. 165-178.

30. Rachid H. Ouazzani M.T. The Effect of a Pulsatile Flow on the Peristaltic Output: Case of a Newtonian Fluid // Adv. Studies Theor. Phys. — 2008. — Vol. 2, N. 6. — P. 291 -307.

31. Carew E.O. Pedley T.J. An active membrane model for peristaltic pumping. Part 1. Periodic activation waves in an infinite tube // Trans. ASME: J.Biomech. Eng. — 1997. —Vol. 119, N. 1, —P. 66-76.

32. Takagi D. GFD Proceedings Volume of WIIOI // Nonlinear peristaltic waves: a bitter pill to swallow. — 2009. — P. 2-25.

33. Takagi D. Balmforth N. J. Peristaltic pumping of rigid objects in an elastic tube // J. Fluid Mech. — 2011. — Vol. 672. — P. 219-244.

34. Pandey S.K. Chaube M.K. Study of wall properties on peristaltic transport of a couple stress fluid // Meccanica. — 2011. — Vol. 46. — P. 1319-1330.

35. Davies C. Carpenter P.W. Instabilities in a plane channel flow between compliant walls//J. Fluid Mech. — 1997. —Vol. 352, —P. 205-243.

36. Hayat T. Javed M., Ali N. MHD Peristaltic Transport of a Jeffcry Fluid in a Channel With Compliant Walls and Porous Space // Transp Porous Med. — 2008. — Vol. 74. —P. 259-274.

37. Hayat T. Javed M. Exact solution to peristaltic transport of power-law fluid in asymmetric channel with compliant walls // Appl. Math. Mech.. — 2010. — T. 31, №10, —C. 1231-1240.

38. Ramana-Kumari A.V. Radhakrishnamacharya G. Effect of slip on heat transfer to peristaltic transport // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. — 2011. — Vol. 6, N. 7. —P. 118-131.

39. Sankad G.C. Radhakrishnamacharya G. Influence of wall properties on the peristaltic motion of a Hershel-Bulkley fluid in a channel // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. — 2009. — Vol. 4, N.10. — P. 27-35.

40. Srinivasacharya D. Radhakrishnamacharya G., Srinivasulu C.II. The Effects of Wall Properties on Peristaltic Transport of a Dusty Fluid // Turkish J. ling. Env. Sci. — 2008. — Vol. 32. — P. 357 - 365.

41. Prasad K.M. Radhakrishnamacharya G. Effcct of Peripheral Layer on Peristaltic Transport of a Micropolar Fluid // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. — 2009. — Vol. 14, N. 1. — P. 103-113.

42. Muthu P. Rathish-Kumar B.V., Chandra P. On the influence of wall properties in the peristaltic motion of micropolar fluid // ANZIAM J. — 2003. — Vol. 45. — P. 245260.

43. Vahidi B. Fatouraee N., Imanparast A.A Mathematical Simulation of the Ureter: Effects of the Model Parameters on Ureteral Pressure/Flow Relations // Journal of Biomechanical Engineering. — 2011. — Vol. 133,N.3. — P. 14-21.

44. Tripathi D. Chaube M.K., Gupta P.K. Stokes flow of micro-polar fluids by peristaltic pumping through tube with slip boundary condition // Appl. Math. Mech. — 2011, —Vol.32, N.12. — P. 1587-1598.

45. Akbar N.S. Nadeem S., Hayat T., Ilendi A.A. Peristaltic flow of a nanofluid with slip effects // Meccanica. — 2012. — Vol. 47, N.5. — P. 1283-1294.

46. Tripathi D. Gupta P.K., Das S. Influence of slip condition on peristaltic transport of a viscoelastic fluid with fractional Burger's model // Thermal Science. — 2011. — Vol. 15, N.2. — P. 501-515.

47. Kalidas D. Slip effects on heat transfer and peristaltic pumping of a Johnson-Segalman fluid in an inclined asymmetric channel // Arab J. — 2012. — Vol. 1, N.2. — P. 159-174.

48. Srinivas S. Kothandapani M. The influence of heat and mass transfer on MI1D peristaltic flow through a porous space with compliant walls // Appl. Math. Comput. — 2009, —Vol.213. —P. 197-208.

49. Srinivas S. Gayathri R., Kothandapani M. The influence of slip conditions, wall properties and heat transfer on MHD peristaltic transport // Comput. Phys. Commun. — 2009, —Vol. 180. —P. 2115-2122.

50. Ebaid A. Effects of magnetic field and wall slip conditions on the peristaltic transport of a Newtonian fluid in an asymmetric channel // Phys. Eett. A. — 2008. — Vol. 2008. — P. 4493^4499.

51. Hayat T. Qureshi M.U., Ali N. The influence of slip on the peristaltic motion of a third order fluid in an asymmetric channel // Phys. Lett. A.. — 2008. — Vol. 372. — P. 2653-2664.

52. Elshehawey E.F. Ilusseny S. Z. A. Effects of porous boundaries on peristaltic transport through a porous medium // Acta Mechanica. — 2000. — T. 143. — C. 165177.

53. Akbar N.S. Nadeem S., Hayat T., Hendi A.A. Peristaltc How of a nanofluid in a non-uniform tube // Heat Mass Transfer. — 2012. —Vol. 48. — P. 451-459.

54. Nadeem S. Akbar N.S., Ali M. Endoscopic effects on the peristaltic flow of an Eyring-Powell fluid//Meccanica. — 2012, — Vol.47. — P. 687-697.

55. Nadeem S. Akbar N.S. Peristaltic flow of Walter's B fluid in a uniform inclined tube // J. Biorheol. — 2010. — Vol. 24. — P. 22-28.

56. Nadeem S. Akbar N.S. Effects of induced magnetic field on peristaltic flow of Johnson-Segalman fluid in a vertical symmetric channel // Appl. Math. Mech. — 2010. — Vol. 31, N.8. — P. 969-978.

57. Rami-Reddy G. Venkataramana S. Peristaltic transport of a conducting fluid through a porous medium in an asymmetric vertical channel // Adv. Appl. Sei. Res. — 2011, —Vol. 2, N.5. — P. 240-248.

58. Vasudev C. Rajeswara-Rao U., Subba-Reddy M.V., Prabhakara-Rao G. Ml ID peristaltic flow of a Newtonian fluid through a porous medium in an asymmetric vertical channel with heat transfer // International Journal of Science and Advanced Technology. — 2011, — Vol. 1, N.9. — P. 170-176.

59. Nadeem S. Akbar N.S. Magnetohydrodynamic peristaltic flow of a hyperbolic tangent fluid in a vertical asymmetric channel with heat transfer // Acta Mech. Sin.. — 2011. —Vol. 27, N.2. — P. 237-250.

60. Rami-Reddy G. Satya-Narayana P. V., Vcnkataramana S. Peristaltic Transport of a Conducting Fluid in an Inclined Asymmetric Channel // Applied Mathematical Sciences. — 2010. — Vol. 4, N.35. — P. 1729-1741.

61. Mishra M. Ramachandra-Rao A. Peristaltic transport of a Newtonian fluid in an asymmetric channel // Zeitschrift Angewandte Mathematik Physik. — 2003. — Vol. 54.

— P. 532-550.

62. Medhavi A. Singh U. K. Peristaltic Induced Flow of a Particulate Suspension in a Non-uniform Tube // e -Journal of Science & Technology . — 2011. — T. 2, №6. — C. 77-93.

63. Misra J.C. Maiti S., Shit G.C. Peristaltic Transport of a Physiological Fluid in an Asymmetric Porous Channel in the Presence of an External Magnetic Field // Journal of Mechanics in Medicine and Biology. — 2008. — Vol. 8, N.4. — P. 507-525.

64. Radhakrishnamacharya G. Sharma R. Motion of a Self-Propelling Microorganism in a Channel Under Peristalsis: Effects of Viscosity Variation // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. — 2007. — Vol. 12, N.3. — P. 409^118.

65. Medhavi A. Singh D., Yadav A. S., Gautam S.R. Peristaltic Induccd Mow of a Two-Layered Suspension in Non-Uniform Channel // AAM: Intern. J. — 2011. — Vol. 6, N.2. —P. 462-481.

66. Medhavi A. Peristaltic pumping of a particulate suspension in a cathcterized tube // e-Journal of Science & Technology. — 2010. — Vol. 7. — P. 77-93.

67. Hsu Y.C. Le N.B. Equivalent electrical network for performance characterization of piezoelectric peristaltic micropump // Microfluid Nanofluid. — 2009. — Vol. 7, N.2.

— P. 237-248.

68. Alemayehu H. Radhakrishnamacharya G. The Effects of Peristalsis on Dispersion of a Micropolar Fluid in the Presence of Magnetic Field // World Academy of Scicncc, Engineering and Technology. — 2011. — Vol. 75. — P. 1042-1048.

69. El-Dabe N. T. Abou-Zeid M. Y. The Wall Properties Effect on Peristaltic Transport of Micropolar Non-Newtonian Fluid with Heat and Mass Transfer // Hindawi

Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering. — 2010. — Vol. 2010.

— P. 1-40.

70. Nadeem S. Akbar N.S., Hayat Т., Hendi Л. A. Peristaltic flow of Walter's В fluid in endoscope // Appl. Math. Mech. — 2011. — Vol. 32, N.6. — P. 689-700.

71. Vasudev C. Rajeswara-Rao U., Subba-Reddy M.V., Prabhakara-Rao G. Effects of Heat Transfer on the Peristaltic Flow of Jeffrey Fluid through a Porous Medium in a Vertical Annulus // J. Basic. Appl. Sci. Res. — 2011. — Vol. 1, N.7. — P. 751 -758.

72. Elshehawey E.F. El-Dabe N.T.M., Ghaly A.Y., Sayed I I.M. Effects of Chemical Reaction, Heat, and Mass Transfer on Non-Newtonian Fluid Flow Through Porous Medium in a Vertical Peristaltic Tube // Transp Porous Med. — 201 1. — Vol. 89. — P. 185-212.

73. Nadeem S. Akbar N.S. Influence of heat and mass transfer on a peristaltic motion of a Jeffrey-six constant fluid in an annulus // Heat Mass Transfer. — 2010. — Vol. 46.

— P. 485-493.

74. Mekheimer Kh.S. Peristaltic transport of a Newtonian fluid through a uniform and non-uniform annulus // Arab. J. Sci. Eng. — 2005. — Vol. 30. — P. 69-83.

75. Фирсов H.H. Стюрева Г.М., Костин Г.М. Некоторые реологические эффекты функционирования почки в норме и патологии // Биомеханика. Тр. Риж. НИИИТиО. — Рига, 1975, —Т. 13. —С. 184-188.

76. Ройтман Е.В. Дементьева И.И., Колпаков П.Е. Вязкость мочи как оценка гомеостаза кардиохирургических больных в раннем послеоперационном периоде // Клин. лаб. диагностика. -— 1995. — Т. 4. — С. 29-31.

77. Hayat Т. Wang Y., Mutter К., Asghar S., Siddiqui A. M. Peristaltic transport of an Oldroyd-B fluid in a planar channel // Mathematical Problems in Engineering. — 2004.

— Vol. 2004, 4. — P. 347-376.

78. Elshehawey E.F. Sobh A. M. F. Peristaltic viscoelastic fluid motion in a tube // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2001. — Vol. 26, N. 1. — P. 21-34.

79. Chrispell J.C. Fauci L.J. Peristaltic pumping of solid particles immersed in a viscoelastic fluid // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2011. — Vol. 6, N.5. — P. 67-83.

80. Mohamed H.II. Effect of relaxation and retardation time on peristaltic transport of the Oldroydian viscoelastic fluid // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. — 2005. — Vol. 46, N.6. — P. 842-850.

81. Medhavi A. Peristaltic Pumping of a Non-Newtonian Fluid // Appl. Appl. Math. — 2008. —Vol. 3, N.l. — P. 137- 148.

82. Radhakrishnamacharya G. Flow of Flerschel-Bulkley fluid through an inclined tube of non-uniform cross-section with multiple stenoses // Arc. of Mech. — 2008. — Vol. 60, N.2. — P. 161-172.

83. Misra J.C. Pandey S.K. Peristaltic Transport of blood in small vessels- study of a mathematical model // Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — Vol. 43.—P. 1183 - 1119.

84. Mernone A.V. Mazumdar J.N., Lucas S.K. A mathematical study of peristaltic transport of a Casson fluid // Mathematical and Computer Modelling. — 2002. — Vol. 35, N.7. — P. 895-912.

85. Blair G.W.S. Spanner D.C. An Introduction to Biorheology. — Oxford and New York : Elsevier Biorheology Scient. Pub. Co, 1974.

86. Srivastava V.P. Saxena M. A two-fluid model of non-Newtonian blood How induced by peristaltic waves // Rheol Acta. — 1995. — Vol. 34. — P. 406-414.

87. Charm S.E. Kurland G.S. Viscometry of human blood for shear rates of 0-100, 000 sec//Nature. — 1965.—Vol.206. —P. 617-629.

88. Charm S.E. Kurland G.S. Blood Flow and Microcirculation. — New York : John Wiley, 1974.

89. Srivastava V.P. A Theoretical Model for Blood Flow in Small Vessels // An International Journal AAM. — 2007. — Vol. 2, N. 1. — P. 51 - 65.

90. Maiti S. Misra J.C. Peristaltic Transport of a Couple Stress Fluid: Some Applications to Hemodynamics // Journal of Mechanics in Medicine and Biolog. — 2012. —Vol. 12, N.l. — P. 1-21.

91.Kavitha A. Hemadri Reddy R., Sreenadh S., Saravana R. Peristaltic How of a Williamson fluid in an asymmetric channel throughn porous medium // International journal of innovative technology & creative engineering. — 2011. — Vol. 1, N.l. — P. 48-53.

92. Tripathi D. Ali N., Hayat T., Chaube M. K., Hendi A. A. Peristaltic flow of MUD Jeffrey fluid through finite length cylindrical tube // Appl. Math. Mech. — 2011. — Vol.32, N.10. — P. 1231-1244.

93. Tsiklauri D. Beresnev I. Non-Newtonian effects in the peristaltic flow of a Maxwell fluid//Physical review E. . — 2011, —Vol. 64.— P. 1-5.

94. Nadeem S. Akbar N.S. Peristaltic Flow of a Maxwell Model Through Porous Boundaries in a Porous Medium // Transp Porous Med.. — 2011. — Vol. 86. — P. 895-909.

95. Flayat T. Ali N., Asghar S. An analysis of peristaltic transport for flow of a Jeffrey fluid// Acta Mechanica. — 2007. — Vol. 193, —P. 101-112.

96. Wang Y. Hayat T., Ali N., Oberlack M. Magnetohydrodynamic peristaltic motion of a Sisko fluid in a symmetric or asymmetric channel // Physica A. — 2008. — Vol. 387. —P. 347-362.

97. Ellahi R. Riaz A., Nadeem S., Ali M. Peristaltic' flow of Carreau fluid in a rectangular duct through a porous medium // Mathematical Problems in Engineering. — 2012. — Vol. 2012. — P. 2-33.

98. Hayat T. Mahomed F. M., Asghar S. Peristaltic Flow of a Magnetohydrodynamic Johnson-Segalman Fluid // Nonlinear Dynamics. — 2005. — Vol. 40. — P. 375-385.

99. Ceniceros H.D. Fisher J.E. Peristaltic pumping of a viscoelastic fluid at high occlusion ratios and large Weissenberg numbers // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics.. —2012. —Vol. 172, —P. 31-34.

100. Krishna S.V.H.N. Kumari P, Kumar Y.V.K.R., Murthya M.V.R., Srccnadh S. Peristaltic Motion of a Fourth - Grade Fluid through a Porous Medium under Effect of a Magnetic Field in an Inclined Channel // J. Basic. Appl. Sci. Res. — 2011. — Vol. 1, N.9. — P. 1052-1064.

lOl.IIemadri Reddy R. Kavitha A., Sreenadh S., Hariprabakaran P. Effcct of thickness of the porous material on the peristaltic pumping when the tube wall is provided with non-erodible porous lining // Advances in Applied Science Research. — 2011,—Vol.2, N.2. — P. 1-16.

102. Elshehawey E.F. Gharsseldien Z.M. Peristaltic transport of three-layered flow with variable viscosity // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Vol. 153. — P. 417-432.

103. Nadeem S. Akbar N.S. Peristaltic flow of a couple stress fluid under the effect of induced magnetic field in an asymmetric channel // Arch Appl Mech.. — 201 1. — Vol. 81.—P. 97-109.

104. Subba-Reddy M. V. Perumal S.V., Nagendra N. Proceedings of the 37th National & 4th International Conference on Fluid Mechanics and Fluid Power. IIT Madras. India // Hydromagnetic flow of generalized Newtonian fluid through a vertical tube with peristalsis. — 2010. — P. 1-9.

105. Abd-Alla A.M. Yahya G.A., Mahmoud S.R., Alosaimi U.S. Effect of the rotation, magnetic field and initial stress on peristaltic motion of micropolar fluid // Meccanica. — 2012. — Vol. 47, N.6. — P. 1455-1465.

106. Abd-Alla A.M. Yahya G.A., A1 Osaimi PI .S. Peristaltic transport of micropolar fluid in a tubes under influence of magnetic field and rotation // International Journal of Engineering & Technology. — 2011. — Vol. 11, N.l. — P. 22-39.

107. Tsiklauri D. Beresnev I. Non-Newtonian effects in the peristaltic How of a Maxwell fluid // Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. — 2001. — Vol. 64. — P. 1 -7.

108. Provost A.M. Schwarz W.H. A theoretical study of viscous effects in peristaltic pumping // J. Fluid. Mech. — 1994. — Vol. 279. — P. 177-195.

109. Weinberg S.L. Eckstein E.C., Shapiro A.M. Peristaltic pumping in circular tubes: A numerical study of fluid transport and its efficiency // J. Fluid Mech. — 1982. — Vol. 12, N.2. — P. 439-465.

110. Longuet-Higgins M.S. Peristaltic pumping in water waves // J. Fluid Mech. — 1983, —Vol. 137. —P. 393-407.

111. Shugan I. Fluid mass transfer in a channel with vibrating elastic walls // Physics of Vibrations. — 1999.— Vol.7, N.2. — P. 107-117.

112. Ляхов Г.В. Шуган И.В. Энергетическая эффективность механизма ускорения массопереноса жидкости в канале // Письма в ЖТФ. — 2002. — Т. 28, №7. —С. 57-61.

ПЗ.Аринчин Н.И. Борисевич Г.Ф. Микронасосная деятельность скелетных мышц при их растяжении. —Минск : Наука и техника, 1986.

114. Zwick K.J. Ayyaswamy P.S. Cohen I.M. Oscillatory enhancement of the squeezing flow of yield stress fluids: A novel experimental result // J. Fluid Mech. — 1997. — Vol. 339. — P. 77-87.

115. Казанцев В. Ф. Движение газовых пузырьков под действием сил Бьеркниса, возникающих в аккустическом поле // Докл. All СССР. — 1959. — Т. 129. №1, — С. 64-67.

116. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. Взаимодействие пульсирующих пузырьков в вязкой жидкости //Аккуст. журн. — 1972. — Т. 18. №4. — С.565-570.

117. Mettin R., Ohl C.-D., Lauterborn W. Particle approach to structure formation in acoustic cavitation // Proc. NATO ASI Sonochemistry and Sonoluminescence. — 1999. — pp. 139-144.

118. Doinikov A. A. Translational motion of two interacting bubbles in a strong acoustic field // Phys. Rev. E. — 2001. — v.64, №2. — 026301.

119. Nikolaos A., Gaki A., Doinikov A., Tsamopoulos J.A. Secondary Bjerknes forces between two bubbles and the phenomenon of acoustic streamers// Journal of Fluid Mechanics. —2004. — pp 313-347.

120. Давлетшин А.И. Математическое моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук, Новосибирск, 2010.

121. Аганин А. А., Давлетшин А. И., Топорков Д. Ю. Взаимодействие газовых пузырьков в жидкости с учетом их малой несферичности. Математические методы и модели:теория, приложения и роль в образовании. Сборник научных трудов. Ульяновск, 2009. 3-8 стр.

122. Медников Е.П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. - М. Изд-во АН СССР, 1963 -264 с

123. Song L. Theoretical development of acoustic agglomeration of aerosol particles. J. Acoust. Soc. Am. Volume 85, Issue SI, 1989,pp. S135-S135.

124. Hoffmann T.L., Koopmann G.H. (1996), Visualization of acoustic particle interaction and agglomeration: Theory and Experiments, J. Acoust. Soc. Am., 99, 4, pp:2130-2141.

125. Chou К. H. , Lee P. S. and Shaw D. T. Aerosol agglomeration in high-intensity acoustic fields. Journal of Colloid and Interface Science, Volume 83, Issue 2, October 1981, Pages 335-353.

126. Scattering of spatially inhomogeneous sound waves by a spherical particle. Kobelev Yu.A. Acoustical Physics. 2009. T. 55. № 1. C. 17-26.

127. Hay T.A. A Model of the Interaction of Bubbles and Solid Particles under Acoustic Excitation. Dissertation for the Degree of Doctor of Philosophy. The University of Texas at Austin, 2008, 193 p.

128. Hay T. A., Plamilton M. F., Ilinskii Y. A., Zabolotskaya E. A.. Model of couplcd pulsation and translation of a gas bubble and rigid particle. J. Acoust Soc Am. 2009 March; 125(3): 1331-1339.

129. Yu. A. Ilinskii, M. F. Hamilton, and E. A. Zabolotskaya. Bubble interaction dynamics in Lagrangian and Hamiltonian mechanics. J. Acoust. Soc. Am., 121:786795, 2007.

130. Клименко Jl.C. Генерация течения и поведение частицы около пузырька в колеблющейся жидкости // Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Пермь. 2011.

131. Ноздрачев А.Д. Физиология вегетативной нервной системы. — Ленинград: Медицина, 1983.

132. Pustylnikov L.D. On Ulam Problem // Theor. Math. Phys. — 1983. — Vol. 57.

— P. 1035-1038.

133. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. — 1979. — Vol. 52, N.5. — P. 263-379.

134. Luck J.M. Mehta A. Bouncing ball with a finite restitution // Physical review E.

— 1993. — Vol. 48, N.5. — P. 3988-3997.

114. Zwick K.J. Ayyaswamy P.S. Cohen I.M. Oscillatory enhancement of the squeezing flow of yield stress fluids: A novel experimental result // J. Fluid Mech. — 1997. — Vol. 339. — P. 77-87.

135. Antunes J. Piteau Ph. A nonlinear analytical model for the squeeze-film dynamics of parallel plates subjected to axial flow // International Journal of Mechanical Sciences.— 2010, —Vol. 52.- 1491-1504.

136. Aristov S.N. Knyazev D.V. Viscous Fluid Flow between Moving Parallel Plates // Fluid Dynamics. — 2012. — Vol. 47, N.4. — P. 476-482.

137. Ishizawa S. The unsteady laminar flow between two parallel disks with arbitrary varying gap width // Bull. JSME. — 1966. — Vol. 9, N.35. — P. 533-550.

138. Wang C.Y. Watson L.T. Squeezing of a viscous fluid between elliptic plates // Appl. Sc. L. Res. — 1979. — Vol. 35. — P. 195-207.

139. Secomb T.W. Flow in a Channel with Pulsating Walls // J. Fluid Mech. — 1978.

— Vol. 88, N.2. — P. 273-288.

140. Hall P. Papageorgiou D.T. The onset of chaos in a class of Navier-Stokes solutions // J. Fluid Mech. — 1999. —Vol. 393. — P. 59-87.

141. Филиппов JI.O. Матииин А.С. Лехатииов Ч.А. Повышение кинетики флотации в многозонной флотационной машине типа реактор-сенаратор под влиянием импульсных воздействий в проточном режиме // Горный журнал. — 2012. —Т. 9. —С.102-106.

142. Аристов С.Н. Князев Д.В., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теор. основы химической технологии. — 2009.

— Т. 43, №5, —С. 547-566.

143. Рождественский В.В. Кавитация // Ленинград: Издательство "Судостроение", 1977. - 247 с.

144. Takemura F., Magnaudet J. The history forcc on a rapidly shrinking bubble rising at finite Reynolds number // Phys. Fluids. - 2004. - V. 16. - 3247.

145. Gaudin A.M. Flotation, 2nd ed //New York: McGraw-Hill - 1957. - 573 c.

146. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, drops and particlcs // New York: Academic Press. - 1978. - 380 c.

147. Mei R. Flow due to an oscillating sphere and an expression for unsteady drag on the sphere at finite Reynolds number // J. Fluid Mech. - 1994. - V.270. - pp. 133-174.

148. Takemura F., Magnaudet J. The history force on a rapidly shrinking bubble rising at finite Reynolds number // Phys. Fluids. - 2004. - V. 16. - 3247.

149. Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion for a small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. Fluids . - 1983. - V. 26, 4 - pp. 883 - 889.

Приложение №1 к параграфу 2.1.3. Программа для нахождения решения

Программа предназначена для выполнения в системе компьютерной алгебры Maple 16. Решение для продольной скорости записывается в uq, для поперечной -в vq, для давления - в pq, для отклонения от среднего положения стенки - в xiq.

Количество членов разложения

> N:=7:

Обезразмеривание уравнений

> eq 1 :=c/lambda:|:cliff(vx(t,x,y),t)+vx(t,x,y)/h*diff(vx(t,x,y),x)+vy(t,x,y)/lambda * diff(vx(t,x,y),y)+1 /h/rho * di ff(p(t,x,y),x)-nu* (l/h**2 * diff(vx(t,x,y), x$2) 4 /lambda**2 *diff(vx(t,x,y),y$2));

> eq2:= c/lambda*diff(vy(t,x,y),t)+vx(t,x,y)/h*diff(vy(t,x,y),x) +vy(t,x,y)/lambda* diff(vy(t,x,y) ,y)+l/lambda/rho*diff(p(t,x,y),y)-nu*(l/h:|:*2*diff(vy(t,x,y),x$2)i 1/lambda* *2*diff(vy(t,x,y),y$2));

> eq3 :=diff(vx(t,x,y),x)/h+diff(vy(t,x,y),y)/lambda;

> eq4:=expand(h/c**2*expand(subs(vx(t,x,y)=v(t,x,y)*c*h/lambda,vy(t,x,y) - u(t,x,y) *c,p(t,x,y)=nu*rho*c/h* *2* lambda*p 1 (t,x,y),eq 1)));

> eq5:=expand(h/c**2*expand(subs(vx(t,x,y)=v(t,x,y)*c*h/lambda,vy(t,x,y) =u(t,x,y) *c,p(t,x,y)=nu*rho*c/h**2*lambda*pl(t,x,y),eq2)));

> eq6:=expand(h/c**2*expand(subs(vx(t,x,y)=v(t,x,y)*c*h/Iambda,vy(t,x,y) =u(t,x,y)*c,p(t,x,y)=nu*rho*c/h**2*lambda*pl(t,x,y),eq3)));

> eq7:=expand(expand(subs(nu=h*c/Re,h=delta* lambda,eq4))*delta);

> eq8 :=expand(subs(nu=h*c/Re,h=delta* lambda,eq5));

> eq9:=expand(c/delta*expand(subs(nu=h*c/Re,h=delta* lambda,eq6))); Строим разложения в ряды

>uq:=0:vq:=0:xiq:=0:pq:=0: for i from 1 to N do

uq:=uq+ul [i](t,x,y)*delta**i: vq:=vq+vl [i](t,x,y)*delta**i: xiq:=xiq+xil[i](t,y)*delta**i: pq:=pq+pl [i](t,x,y)* delta* *i end do:

Закон изменения давления на стенке

> g(t-y):=A*Re*cos(t-y):

Подставляем разложения в исследуемые уравнения

> е 1 :=expand(subs(u(t,x,y)=uq,v(t,x,y)=vq,xi(t,y)=xiq,p 1 (t,x,y)=pq,eq7)):

> e2:=expand(subs(u(t,x,y)=uq,v(t,x,y)=vq,xi(t,y)=xiq,pl(t,x,y)=pq,cq8)):

> e3:=expand(subs(u(t,x,y)=uq,v(t,x,y)=vq,xi(t,y)=xiq,pl(t,x,y)=pq,eq9)):

> el:=convert(series(el,delta=0,N),polynom):

> e2:=convert(series(e2,delta=0,N),polynom):

> e3:=convert(series(e3,delta=0,N),polynom): Получение разложений для граничных условий

> Uplus:=uq:uqq:=uq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): Uplus:=Uplus+uqq*a**i/i!: end do:

> Uplus:=convert(series(subs(a=xiq,Uplus),delta=0,N),polynom):

> Uminus:=uq:uqq:=uq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): Uminus:=Uminus+uqq*a**i/i!: end do:

> Uminus:=convert(series(subs(a=-xiq,Uminus),delta=0,N),polynom):

> Vplus:=vq:uqq:=vq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): Vplus:=Vplus+uqq*a**i/i!: end do:

> Vplus:=convert(series(subs(a=xiq,Vplus),delta=0,N),polynom):

> Vminus:=vq:uqq:=vq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): Vminus :=Vminus+uqq*a* * i/i ! : end do:

> Vminus:=eonvert(series(subs(a=-xiq, Vminus),delta=0,N),polynom):

> pplus:=pq:uqq:=pq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): pplus:=pplus+uqq*a**i/i!: end do:

>pplus:=convert(series(subs(a=xiq,pplus),delta=0,N),polynom)-deltaít:g(t-y):

> pminus:=pq:uqq:=pq:

> for i from 1 to N do

uqq:=diff(uqq,x): pminus:==pminus+uqq*a**i/i!: end do:

> pminus:=convert(series(subs(a=-xiq,pminus),delta=0,N),polynom)-delta*g(t-y):

> for i from 1 to (N-l) do

pql 1 :=solve(int(coeff(e 1,delta**i),x)=0,pi [i](t,x,y)) i-C; С1 :=solve(subs( {p 1 [i](t,x,y)=subs(x= 1 ,pq 11 ),x= 1} ,coeff(pplus,delta* * i)),C); pql2:=subs(C=Cl,pql 1); pi [i](t,x,y):=simplify(pql2);

uq 11 :=solve(int(int(coeff(e2,delta* * i),x),x)+x* C+D1 ,u 11 i ](t,>c,y)); C2:=solve({subs({ul[i](t,x,y)=subs(x=l,uql l),x=l },eoeff(Uplus,delta**i)),subs( {u 1 [i](t,x,y)=subs(x=-1 ,uq 11 ),x=-1} ,eoeff(Uminus,delta* * i))}, {C,D 1} );

uql2:=subs(C2,uql 1); u 1 [i](t,x,y) :=simplify(uq 12);

vql l:=solve(int(coeff(e3,delta* *i),x)+C,vl[i](t,x,y));

C3 :=solve(subs( {v 1 [i](t,x,y)=subs(x= 1 ,vq 11 ),x= 1} ,coeff( Vplus, delta* * i))4 subs( { V1 [i](t,x,y)=subs(x=-1 ,vq 11 ),x=-1} ,eoeff(Vminus,delta* * i)),C); vql2:=subs(OC3,vqll); vl[i](t,x,y):=simplify(vql2);

xi 1 [i](t,y):=simplify(int(subs( {v 1 [i](t,x,y)=subs(x= 1 ,vq 12),x= 1} ,coeff(Vplus,dclt a**i)),t))-

int(simplify(int(subs({v 1 [i](t,x,y)=subs(x= 1 ,vq 12),x= 1},eoeff(Vplus,delta**i)),t)),t 0..

2*Pi)/2/Pi;

end do:

Приложение №2 к параграфу 3.1.2. Программа для нахождения решения

Программа предназначена для выполнения в системе компьютерной алгебры Maple 16.

Количество членов разложения в ряде >N := 12:

Инициализация решения в виде ряда по частоте для скоростей v, и и для функции от времени, стоящей в формуле для давления перед квадратом х

> vs := v[0]; as := а[0]; Cits := Clt[0];

for i to N do vs := vs+OmegaAi*v[i]; Cits := Clts+OmegaAi*Clt[i]; as := as+a[i]*OmegaAi: end do:

Вычисление скорости v в нулевом порядке(обозначена V0), когда частота равна 0. (Уравнение (3.31) в нулевом порядке (СИ - функция от времени, стоящая в формуле для давления перед квадратом х, С0,С1,С2 - неопределенные константы интегрирования))

> V0 := -(int(int(int(2*CltO, у), у), у))+С2*уЛ2+С1 *у+С0 :

Подстановка скорости v в нулевом порядке в граничные условия

>bl := subs(y = 1+A*sin(t), diff(V0, у)) = 0; Ь2 := subs(y = -1-A*sin(t), diff(V0, у)) = 0; ЬЗ := subs(y = -1-A*sin(t), V0) = -A*cos(t); b4 := subs(y = 1+A*sin(t), V0) = A*cos(t) : Вычисление Clt[0], C0,C1, C2

> Con := solve({bl, Ь2, ЬЗ, Ь4}, {CO, CI, CltO, C2}):

Подстановка найденных констант в скорость v в нулевом порядке

>v[0] := subs(Con, V0): >Clt[0] := subs(Con, CltO):

Вычисление коэффициентов разложения в ряде по частотам во всех остальных порядках вплоть до N-oro дляя скорости v и для функции от времени, стоящей в формуле для давления перед квадратом х >for i to N do

vT := -(l/3)*Clti*yA3+C2*yA2+Cl*y+CO+int(int(int(cocff(cxpand(Omega* expand(vs *(diff(vs, T(y, 2)))+diff(diff(vs, y), t)-(diff(vs, y))*(diff(vs, y)))), OmegaAi),

у), у), y);

bl := subs(y = 1+A*sin(t), diff(vT, y)) = 0;

b2 := subs(y = -1-A*sin(t), diff(vT, y)) = 0;

b3 := subs(y = -1-A*sin(t), vT) = 0;

b4 := subs(y = 1+A*sin(t), vT) - 0;

Con := solve({bl, Ь2, ЬЗ, b4}, {CO, CI, Clti, C2});

v[i] := simplify(subs(Con, vT), 'size');

Clt[i] := subs(Con, Clti) :

end do:

Вычисление зависящей от у константы в уравнении для давления

>C3s := int(convert(series(diff(vs, 2))-Omega^(diff(vs, t)+vs*(diff(vs, у))),

Omega = 0, N+l), polynom), у) :

Определение продольной скорости и в нулевом порядке >а[0] := -(l/2)*OmegaFr*(yA2-(l+A*sin(t))A2) : Вычисление скорости > for i to N do

aT := Cl+C2*y+int(int(coeff(expand(Omega*(diff(as, t)-as*(diff(vs, y))+vs* (diff(as, y)))), OmegaAi), у), y);

b4 := subs(y = 1+A*sin(t), aT); ЬЗ := subs(y = -1-A*sin(t), aT); Con := solve({b3, b4}, {CI, C2}); a[i] := subs(Con, aT): end do:

Вычисление полной продольной скорости и и давления

>us := as-x*(diff(vs, у)); ps := Clts*xA2+C3s:

Проверка полученных разложений подстановкой их в исходные, непреобразоваиные уравнения Навье-Стокса

>el := convert(series(Omega*(diff(us, t)+convert(series(us*(diff(us, х)), Omega = 0, N+l), polynom)+convert(series(vs*(diff(us, у)), Omega = 0, N+l), polynom))-(diff(us, T(y, 2)))-(diff(us, '$'(x, 2)))+diff(ps, x)-OmegaFr, Omega = 0, N+l), polynom): >e2 := convert(series(Omega*(diff(vs, t)+convert(series(us*(diff(vs, x)), Omega = 0, N+l), polynom)+convert(series(vs*(diff(vs, y)), Omega = 0, N+l), polynom))-(diff(vs, '$'(y. 2)))-(diff(vs, '$'(х, 2)))+diff(ps, y), Omega = 0, N+l), polynom): >e3 := convert(series(diff(vs, y)+diff(us, x), Omega = 0, N+l), polynom): >combine(simplify(series(el, Omega = 0, N+l))); combine(simplify(series(e2, Omega = 0, N+l))); combine(simplify(series(e3, Omega = 0, N+l)));

Приложение №3 к параграфу 3.2.2. Коэффициенты в решении

В параграфе 4.5 было найдено решение системы уравнений Павье-Стокса для сжимаемой жидкости в приближении малых амплитуд колебания стенок. В первом порядке по малому параметру продольная по отношению к оси канала скорость определяется формулой

и, = C]éb sin(/ + а» + С~е~а'у sin(t - Cl'y) + С+сеп'у cos(í + Q'y) + + C~e-a'y cos(/ - Cl'y) + U~e~ñy sin(t - yk) + U~ce~Sy cos(í - yk) +

+ U+seóy sin (t + yk) + Wcedy eos (t + yk) + y \U~se'dy sin(/ - yk) + +U;ce-Óy cos(t - yk) + U+yseSy sin(í + yk) + U\ceñy cos(í + yk) - ^2QFrsin t.

поперечная:

v, = V-e~äy sin(7 - у к) + V~e~0y eos (/ - yk)

+ V¿eSy sin(7 + yk) + V^ceSy cos(í + yk),

а плотность:

p, = R;se~Sy sin(/ - yk) + R;c eos(/ - yk) + R¡seSy sin(/ + yk) + R¡ceñy cos(/ + yk).

Здесь были введены обозначения:

¿> sin к cosh S — k cos к sinh 8

К = К =

К = К =

cosh 28- cos 2k k sin k cosh 8 + 8 cos k sinh 8 cosh 28 -cos 2k

y-- y+- cos&sinhJ y~ - y+- sin £ cosh £ lc u cosh 28- cos2k' u cosh 28 — cos 2k

u- = -£/* /Л32-к2) + 2У;^-к8)

yc yc (82 +k2)2 -88 kQ.'2 + 4Q'4 '

+ _ rr- + 2Vi;XQ'2-8k)

U,1 = -UZ. = 4Q Fr

У* Уs í & , 7,2\2 oc,,n'2 , л ГЛ'"

(8¿+k¿) -88кП'г+4П'

Uc =и: +2(U+yik~n'2FvR+)ö2 + {-2U+yck2 -4Q'2£T + 4kQ.,2FrR^)S

-4D'4Fr/?; +4QaU+yck + 2k3U;s + 2k2Q.'2FxR+c) / {(S2 +k2)2 -ШП'2 + 4ГУ4),

U; =U; =(-2S"U+yi ~2{U+yck + Q.'2VvR+s)ö2 + (-2 U^k2 +4 Q.'2U\C -4kQ.'2FxR'c)ö

+ 4íT4FrЛ; + 4Q'2U+yik - 2/t3i/;c + 2k2Q'2FrR;)) / ((<52 + X:2 )2 - 8£Ш'2 + 4Q" ),

a-s

с: = c; =

2еш' cos 4П' - e8Q -1

+ - í/;)cos(3fi' - *) - (-LT + i/;)sin(3Q' - ¿)}<?4Q'

2(ПЧЛ)

„6Q't-2¿>

- e2Ci'(U~ + í/;) cos(3Q' -k) + e2Q' (U~c + LT ) sin(3Q' - k)

)S s > У t V с >c

+(и; - tr ) COS(ív -k)+e4n (u;s - u; ) COS(3Q'+k) + (u;c - Wc )sin(Q'-к)-e4n'(U¡ -u;c)sin(3Q' + к) + 2FrQ'2(e2n4'y + e4Ci+d ) cos3Q' - 2FxD.'2 еш+д cosQ' + {(£/;, + и;)еш +e2"(u;~u;5)}cos(Q' + k)

+ {(U; +U;jeèÇ1' -e2S(U; ~U;c)}sm(Q' + k)-2FrQ'2ed cosiT a-d

с: = с: =

c 2еш' cos 4Q' - е8П -1

+ Uc )'cos(3Q' + + (LT + C/;)sin(3Q' + }e2(Q4'>

+ - £/;)cos(3n'- k) - (LT - f/;jsin(3Q'- А:)}^п'+2л

+ {(-LT -U+c)cos(Q'- *) + (Í/; + £/;)sin(Q'-*)} e6n'+2A

+ e2çi(U~ + )cos(3Q'-&) + е2П'(£Г + f/;)sin(3Q'-

+(¿c - i/; ) cos(^' - +e4Q' - ^ ) cos(3^,+k)

+ (K - U¡ ) sin(n' - к) + e (К - V+s ) sin(3Q' + к)

-2FxQ.'2e2ír+d sin 3Q' + 2FrQ'2<?4íy+,) sin3Q'-2FrQ'Y,n^ sin ГУ

+ + и; )еш - е2д (U; - )}cos(Q'+/с) +

+ {(£/;, + - e2l>4(/; - CT )}sin(Q' + /с) + 2FrQ'V sin Q'