Постановка и решение задач в напряжениях методом граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Семенов Даниил Аркадьевич

• Семенов Даниил Аркадьевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Семенов Даниил Аркадьевич

Введение

Глава 1. Обзор исследований и методов расчета по теме диссертационного исследования

1.1 Краткая история развития метода граничных элементов

1.2 Классические постановки МГЭ

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Постановки стационарных задач относительно производных

2.1 Постановка плоской задачи теории потенциала относительно производных

2.2 Граничные интегральные уравнения относительно вектора теплового потока

2.3 Постановка плоской задачи статической теории упругости в напряжениях

2.4 Граничные интегральные уравнения для плоской задачи теории упругости относительно напряжений

2.4.1 Интегральное представление тензора напряжений для плоской задачи

2.4.2 Граничные интегральные уравнения в напряжениях плоской задачи теории упругости

2.5 Использование МГЭ для постановок относительно производных в прикладных задачах

2.6 Выводы по второй главе

Глава 3. Постановка нестационарных, динамических задач относительно производных

3.1 Нестационарная задачи теплопроводности. Постановка относительно вектора теплового потока

3.2 Граничные интегральные уравнения относительно вектора теплового потока

3.3 Использование МГЭ для постановок относительно производных при

решении нестационарных задач

3.4 Выводы по третьей главе

Глава 4. Численная реализация МГЭ для постановок в производных

4.1 Основная программа и структура исходных данных

4.2 Дискретное представление граничных интегральных уравнений, построение матриц влияния

4.3 Решение систем уравнений

4.4 Выводы по четвертой главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Программы расчета на ЭВМ

Приложение Б. Данные о регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Постановка и решение задач в напряжениях методом граничных элементов»

Введение

Диссертация посвящена развитию и совершенствованию метода граничных элементов применительно к решению задач строительной механики и смежных областей в новых постановках, в которых неизвестными величинами выступают производные искомых функций - такие как механические напряжения, тепловые потоки и другие параметры, характеризующие поведение конструкций и материалов.

Актуальность темы исследования. Проектирование объектов (конструкций, сооружений, оснований) зачастую сопровождается выполнением расчетных обоснований. Значимое место занимает анализ напряженно -деформированного состояния, особенно в зонах концентрации напряжений.

Традиционно применяемый метод конечных элементов (МКЭ), основанный на постановках в перемещениях, обладает высокой универсальностью, однако требует дискретизации всего объема, что приводит к значительным вычислительным затратам, особенно при моделировании бесконечных областей. Это ограничивает его эффективность при решении задач, где важна детальная оценка локальных напряжений при больших размерах расчетной области.

Метод граничных элементов (МГЭ), основанный на интегральных представлениях решений дифференциальных уравнений, позволяет существенно сократить количество неизвестных, понижая размерность задачи на единицу. Это обеспечивает значительное уменьшение объема вычислений при сохранении высокой точности результатов.

Традиционные подходы в строительной механике и теории упругости для численных алгоритмов МГЭ основываются на формулировках, где в качестве основных неизвестных выбираются функции перемещений или температурные поля. Такой выбор, хотя и хорошо себя зарекомендовал, имеет ряд ограничений: он требует дополнительного вычислительного этапа для нахождения производных (напряжений) и в некоторых случаях приводит к интегральным уравнениям, решение которых относится к классу некорректных задач.

Использование постановок задач в производных (напряжениях) имеет особое значение, так как позволяет определять компоненты градиента функции (напряжений) напрямую, без промежуточного определения самой функции (перемещений), что повышает точность в зонах концентрации и сокращает накопление погрешностей.

Таким образом, исследование, направленное на постановку и решение задач в производных (напряжениях) методом граничных элементов, является актуальным с точки зрения повышения точности и эффективности инженерных расчетов в механике, а полученные результаты могут найти широкое применение при выполнении расчетных обоснований.

Степень разработанности темы исследования

Проблематика постановки и решения задач строительной механики и смежных дисциплин имеет давнюю историю и хорошо разработанную теоретическую базу. В классической теории упругости фундаментальные результаты были получены в работах А.И. Лурье, Н.И. Мусхелишвили, С.П. Тимошенко, где были сформулированы постановки и аналитические методы решения задач плоской задачи теории упругости, а также обоснованы свойства краевых задач.

С развитием вычислительной математики в середине XX века широкое распространение получили универсальные численные методы, прежде всего метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). Основы МГЭ были заложены в трудах К. Бребии, П. Вробеля, Х. Домингеса, в которых была разработана теория граничных интегральных уравнений, методы дискретизации и алгоритмы численной реализации. В отечественной научной школе значительный вклад внесли С.Г. Михлин, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский, С.М. Алейников, А.М. Линьков, Д.Н. Низомов, занимавшиеся вопросами построения граничных интегральных уравнений и применением МГЭ в механике деформируемого твердого тела.

Особое место в развитии МГЭ занимают задачи, сводящиеся к уравнениям Лапласа и Пуассона. Для стационарных задач теплопроводности, фильтрации в

пористых средах, электростатики и задач кручения стержней (постановка Сен-Венана) разработаны строгие граничные формулировки. В последние десятилетия активно развиваются постановки для нестационарных задач.

Важным направлением развития являются постановки «в производных (напряжениях)», которые позволяют напрямую находить производную исходной функции. Вклад в развитие таких постановок внесла школа Б.Е. Победри, а также работы его последователей, где сформулированы теоретические основы постановки в напряжениях.

Несмотря на значительный прогресс, вопросы построения и реализации устойчивых и эффективных постановок в производных (напряжениях) остаются открытыми. Недостаточная разработанность этих методов, особенно применительно к МГЭ, определяют необходимость дальнейших исследований в данном направлении.

Объектом исследования являются распределения напряжений, тепловых полей в телах, описываемые уравнениями строительной механики, теории упругости и теплопроводности.

Предметом исследования являются постановки и численные методы решения задач в производных (напряжениях) с использованием метода граничных элементов, а также алгоритмы их применения при решении практических задач.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка постановок и методик решения краевых задач методом граничных элементов относительно производной исходной функции.

Задачи исследования:

1. Разработать постановки задач, описываемых уравнениями Лапласа и Пуассона, в которых в качестве неизвестных выступают производные от искомых функций (тепловые потоки и др.);

2. Получить интегральные представления и граничные интегральные уравнения для решения задач, описываемых уравнениями Лапласа и Пуассона, в производных;

3. Сформулировать дифференциальную и интегральную постановки плоской задачи теории упругости в напряжениях при произвольных граничных условиях;

4. Для плоской задачи теории упругости получить граничные интегральные уравнения относительно компонент тензора напряжений;

5. Разработать постановку и интегральные уравнения для нестационарной задачи теплопроводности с использованием компонент вектора теплового потока в качестве неизвестных;

6. Построить и реализовать вычислительные алгоритмы для решения задач в производных (напряжениях), обеспечивающие возможность анализа основных, внешних и смешанных краевых задач, а также задач в неодносвязных областях;

7. Провести серию вычислительных экспериментов для проверки сходимости, точности и устойчивости разработанных алгоритмов; сопоставить результаты с классическими постановками и показать области наиболее эффективного применения новых подходов.

Научная новизна работы заключается в разработке новых постановок стационарных и нестационарных задач строительной механики относительно производных (напряжений) и развитии численных схем МГЭ для разработанных постановок.

В ходе исследования получены следующие новые результаты:

1. Предложены новые постановки задач для уравнений Лапласа, Пуассона, нестационарной теплопроводности и плоской задачи теории упругости, в которых неизвестными являются производные искомых функций;

2. Для постановок в производных (напряжениях) получены интегральные представления и граничные интегральные уравнения (ГИУ), что обеспечивает возможность прямого вычисления производных (напряжений) без промежуточного определения самой функции. Полученные граничные интегральные уравнения (ГИУ) являются уравнениями второго рода для всех основных типов краевых задач и имеют ядра, аналогичные классическим постановкам МГЭ. Отличительной

особенностью разработанных постановок является возможность решения II краевой задачи (незакрепленное от жестких смещений тело) без добавления фиктивных связей;

3. Разработаны алгоритмы численного решения задач в производных с использованием метода граничных элементов.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии математического аппарата для постановки и решения задач в производных (напряжениях) в строительной механике.

Практическая значимость работы состоит в возможности применения разработанных моделей, алгоритмов МГЭ и программных средств для инженерных расчетов. Разработанная программа для ЭВМ по расчету напряжений при кручении стержней МГЭ зарегистрирована в Федеральной службе по интеллектуальной собственности (Роспатент).

Методология и методы исследования.

Методологической основой работы является комплексный подход к постановке и решению задач строительной механики, основанный на использовании метода граничных элементов (МГЭ) как эффективного численного инструмента для анализа напряженно-деформированного состояния упругих тел.

В исследовании использованы положения:

1) классической теории упругости;

2) теории потенциала и интегральных уравнений;

3) теории теплопроводности;

4) метода граничных интегральных уравнений;

5) численных методов аппроксимации и дискретизации;

6) алгоритмов линейной алгебры для решения систем уравнений.

Методология исследования базируется на следующих принципах:

1) постановка задач с использованием интегральных представлений относительно производной функции для различных типов областей (ограниченных, неограниченных, с внутренними включениями и отверстиями);

2) редукция размерности задачи путем перехода от плоской формулировки к граничной, что снижает размерность дискретизируемой области на единицу и сокращает вычислительные затраты;

3) использование классических фундаментальных решений для построения граничных интегральных уравнений относительно напряжений, что обеспечивает более точное воспроизведение локальных концентраций напряжений;

4) верификация результатов через сравнение с известными аналитическими решениями, результатами метода конечных элементов (МКЭ).

В ходе исследования использованы следующие методы.

Аналитические методы: получение интегральные представлений решения, преобразование граничных интегральных уравнений.

Численные методы: дискретизация интегральных уравнений методом граничных элементов.

Алгоритмические методы: разработка и программная реализация вычислительных алгоритмов решения задачи в напряжениях методом граничных элементов.

Методы вычислительного эксперимента: моделирование НДС, температурных полей для тел различной формы и сравнение с результатами альтернативных численных подходов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Дифференциальная постановка в производных для стационарных и нестационарных уравнений второго порядка (уравнения Лапласа и Пуассона);

2. Вывод интегральных представлений и граничных интегральных уравнений для задач, описываемых уравнениями второго порядка (уравнения Лапласа и Пуассона).

3. Дифференциальная постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях;

4. Вывод интегральных представления и ГИУ для тензора напряжений в плоской задаче теории упругости;

5. Результаты вычислительных экспериментов по решению тестовых задач методом граничных элементов в производных (напряжениях);

6. Разработка и программная реализация вычислительных алгоритмов решения задач в производных (напряжениях) методом граничных элементов.

Степень достоверности и обоснованности результатов.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается:

1. Строгой математической постановкой задачи в рамках классических теорий упругости и теплопроводности;

2. Использованием проверенных аналитических подходов для преобразований классических постановок задач и получения интегральных уравнений;

3. Применением устойчивых численных алгоритмов дискретизации и интегрирования, обеспечивающих сходимость и устойчивость решений при увеличении числа граничных элементов;

4. Сопоставлением результатов численных расчетов с известными решениями модельных задач, с результатами, полученными методом конечных элементов (МКЭ), опубликованными в научной литературе данными по аналогичным задачам;

5. Множественным вычислительным экспериментом, включающим анализ влияния шага дискретизации на погрешность результатов.

Обоснованность результатов подтверждается: соответствием разработанных моделей и алгоритмов законам механики деформируемого твердого тела; воспроизводимостью результатов при повторных вычислительных экспериментах; совпадением численных решений с известными аналитическими и численными результатами в пределах инженерной погрешности.

Соответствие паспорту специальности.

Диссертационное исследование соответствует требованиями паспорта научной специальности 2.1.9. Строительная механика:

п. № 2 «Линейная и нелинейная механика конструкций, зданий и сооружений, разработка физико-математических моделей их расчета»;

п. № 4 «Численные и численно-аналитические методы расчета зданий, сооружений и их элементов на прочность, жесткость, устойчивость при статических, динамических, температурных нагрузках и других воздействиях».

Апробация результатов работы.

Основные положения и выводы диссертации представлены на следующих конференциях:

1. IX Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», Пенза, 2025.

2. XXIV Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь. 2025 г.

3. XI Международная научно-практическая конференция «Устойчивое развитие региона: архитектура, строительство, транспорт», Тамбов, 2025.

4. XIII международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), Москва, 2025.

Публикации.

Материалы исследования опубликованы в 9 печатных работах. Из них: 5 статей в журналах из актуального перечня рецензируемых научных изданий ВАК РФ, 1 статья в журналах SCOPUS и WoS.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего в себя 133 источника, в том числе 57 - на иностранном языке, и двух приложений. Объем диссертации составляет 156 страниц печатного текста без приложений. Работа содержит 57 рисунков и 5 таблиц.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведены основные методы исследования, а также аргументирована теоретическая и практическая значимость работы.

В первой главе представлен обзор литературы по проблеме исследования. Рассмотрены основные этапы развития метода граничных элементов (МГЭ), начиная с классических постановок для задач теории потенциала и упругости. Изложены математические основы метода, приведены типовые постановки

краевых задач и методы их численной реализации. Отдельное внимание уделено существующим ограничениям и недостаткам, в частности - трудностям при вычислении производной на границе. Отмечено, что классическая постановка МГЭ приводит к интегральному уравнению I рода при решении первой краевой задачи (на всей границе тела заданы перемещения).

Во второй главе демонстрируется получение постановок в производных (напряжениях) для уравнений второго порядка (уравнения Лапласа и Пуассона), а также для плоской задачи теории упругости. Сформулированы соответствующие дифференциальные и интегральные формы, получены граничные интегральные уравнения. Приведены примеры решения тестовых задач, подтверждающие корректность и эффективность предложенных подходов, а также показана возможность непосредственного вычисления напряжений и потоков без промежуточного определения перемещений или температур.

В третьей главе рассмотрены постановки в производных для нестационарных задач, в частности для задач теплопроводности. Получены дифференциальные и интегральные формы с выбором в качестве неизвестных компонент вектора теплового потока и скорости изменения температуры во времени. Показана применимость стандартных шаговых схем интегрирования по времени при численной реализации и проведено решение модельных задач, что позволило выявить особенности применения МГЭ для переходных процессов.

В четвертой главе проведено описание разработанных вычислительных алгоритмов и программной реализации метода граничных элементов для решения задач в производных, рассмотренных во второй и третьей главах. Подробно изложены структура программных модулей, методы аппроксимации и алгоритмы численного интегрирования.

В заключении подведены итоги исследования, сформулированы основные выводы и предложения, отражены научная новизна и практическая значимость работы.

Глава 1. Обзор исследований и методов расчета по теме диссертационного исследования

В данной главе рассматриваются основные этапы развития метода граничных элементов (МГЭ). Приведены математические основы метода, даны примеры классических постановок и описаны методы численной реализации.

Особое внимание уделено существующему недостатку МГЭ - определению производной на границе области. Показано, что именно это обстоятельство определяет необходимость разработки новых постановок в производных (напряжениях).

1.1 Краткая история развития метода граничных элементов

Решение двумерных и трехмерных задач механики на ЭВМ, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, как правило основано на применении численных методов. Одним из широко применяемых методов решения является метод граничных элементов (МГЭ), применяемый к постановкам краевых задачи в виде интегральных уравнений. До начала 1980-х годов метод граничных элементов был известен под названием метод граничных интегральных уравнений.

Как метод решения задач математической физики МГЭ берет свое начало в работе Г. Грина. В 1828 году Г. Грин сформулировал интегральное представление для решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа, введя так называемые функции Грина для этих задач. Однако основоположником МГЭ справедливо считают Э.И. Фредгольма. В 1903 году он первым применил сингулярные интегральные уравнения на границе для определения неизвестных граничных величин в задачах теории потенциала и доказал существование решение таких уравнений с использованием дискретного представления. Из-за трудностей в нахождении аналитических решений применение МГЭ было ограничено теоретическими исследованиями существования и единственности решения. Аналитические решения интегральных уравнений были получены лишь для областей с очень простой границей.

Первые работы, лежащие в основе МГЭ как нового численного метода, появились в начале 60-х годов. В 1963 году Джесуон и Симм [1, 2] впервые предложили численный подход к решению уравнений Фредгольма. Использованный ими подход состоял в разбиении границы на ряд малых участков (элементов) и предположении, что плотность источников постоянна на каждом участке. Далее с помощью метода коллокаций для отдельных точек, принадлежащих каждому из участков, записывалось уравнение и с использованием формулы Симпсона, приближенно подсчитывались коэффициенты влияния. Исключение делалось для сингулярных (обусловленных собственным влиянием каждого из участков) коэффициентов, которые определялись либо аналитически, либо путем сложения всех недиагональных коэффициентов и свободного члена. В результате получается система линейных алгебраических уравнений.

Применяя такой подход, Джесуон и Симм получили решения для простых двумерных задач Неймана и Дирихле. Ими была предложена общего вида численная методика решения задач Коши, основанная на применении третьей формулы Грина, которая приводит к гармоническому интегральному уравнению, где значения функции на границе и нормальные производные физических величин играют роль плотности фиктивных источников.

Харрингтон с соавторами [3] применили данный метод для решения некоторых двумерных задач электротехники, где имеется более общее граничное условие импедансного типа (условие Робина), линейная комбинация функции и ее нормальной производной.

В работах [4-13] представлена реализация метода граничных элементов для наиболее характерных процессов, описываемых уравнением Лапласа, для задач стационарной теплопроводности и фильтрации.

Метод граничных элементов нашел широкое применение при решении задачи о кручении стержней, так как при любой геометрии сечения стержня экстремальные значения касательных напряжений локализуются именно на границе. Следовательно, определение касательных напряжений на границе позволяет сделать однозначный вывод о прочности всего сечения. В работах

[14-21] приводятся результаты решения задачи о кручении для различных типов сечений (открытого и закрытого профилей, сечений с отверстиями, составных сечений), состоящих их нескольких материалов [22], с учетом инерционных сил [23-25] и пластического деформирования сечения [26, 27]. Также в результате решения задачи о кручении методом граничных элементов возможно определять жесткость сечения на кручение - величину, необходимую для оценки местной устойчивости стержня.

Одновременно с исследованиями решений уравнений Лапласа, предлагались интегральные постановки для решения задач теории упругости. Так в 1872 году Э. Бетти предложил общий метод интегрирования уравнений упругости и получения их решений в интегральной форме, фактически расширив подход Грина на уравнения Навье применительно к плоской задаче теории упругости. В 1885 году К. Сомильяна, используя теорему о взаимности работ Бетти, получил интегральное представление вектора перемещений для плоской задачи теории упругости, использование которого позволяет перейти к методу граничных элементов. Дальнейшее развитие МГЭ для теории упругости произошло в эпоху ЭВМ. Риццо [28] и Крузе [29] применили тождество Сомильяны к решению двумерных и трехмерных задача теории упругости. Риццо и Шиппи [30] учли анизотропию материала, Игнацак и Новацки [31] вывели интегральные уравнения термоупругости.

Как будет отмечено и показано в дальнейшем, метод граничных элементов эффективен при решении так называемых внешних задач или задач на бесконечной или полубесконечной области, в частности при решении задачи взаимодействия сооружения с грунтовым основанием [32-36]. Возможности МГЭ при решении подобных задач теории упругости, термоупругости представлены в работах [37-54], теории пластичности [55, 56], при расчете строительных конструкций [5770].

После формирования методов решения стационарных задач, начались попытки расширения области применения МГЭ на класс нестационарных задач. Так в 1970-е годы сложились два базовых подхода к решению нестационарных

задач. Первый из них основан на преобразовании Лапласа. Риццо и Шиппи [71], которые применили прямую формулировку метода граничных элементов в сочетании с преобразованием Лапласа к решению задач неустановившейся теплопроводности, Крузе и Риццо [72] сформулировали и решили задачу динамической теории упругости. В работе [73] исследовалась динамическая жесткость фундаментов, лежащих на упругом полупространстве, в работе [74] на слоистом основании. В предположении, что все входящие в задачу функции допускают преобразование Лапласа, граничное интегральное уравнение записывалось и решалось в пространстве изображений для последовательности действительных положительных значений параметра преобразования. Затем применялась численная процедура обратного преобразования для нахождения значений неизвестных в действительном пространстве. При использовании такого подхода временная зависимость задачи на какой-то период устранялась и вместо исходного уравнения параболического типа решалось более удобное уравнение в частных производных эллиптического типа. Основные недостатки этого подхода -обратное преобразование Лапласа и выбор значений параметра преобразования, существенно влияющие на точность и устойчивость решения. Более того, как отмечено в работе [75], такой подход будет неэффективным в том случае, если граничные условия имеют сложный характер поведения во времени.

Второй подход - формулировка интегральных уравнений, зависящих от времени. Чанг, Канг, Чен [76] использовали зависящие от времени фундаментальные решения в сочетании с прямым методом решения двумерных задач теплопроводности как в изотропной, так и в анизотропной средах. Дискретное представление граничного интегрального уравнения было выполнено с постоянными шагами по пространственным и временной координатам. Аналогичный подход к решению трехмерных задач использовал Шоу [77], который в основном рассмотрел аналитические, а не численные аспекты метода. Этот прием обсуждался впоследствии Вроубелом и Бреббия [78], исследовавшими возможность включения в рассмотрение интерполирующих функций высокого порядка от пространственных и временной переменных и тем самым рассмотрения

более важных с практической точки зрения задач. Они также исследовали численную процедуру для решения неустановившихся осесимметричных задач [79], где из-за сложности получения фундаментального решения потребовалось ввести разложение в ряды и аналитически вычислять интегралы по времени, входящие в граничное интегральное уравнение.

Используя описанные подходы в решении нестационарных задач, метод граничных элементов нашел применение в задачах динамической теории упругости [80-86], в численном решении волнового уравнения [87-88], для задач нестационарной теплопроводности или фильтрации [89-96].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенов Даниил Аркадьевич, 2025 год

Список литературы

1. Jawson, M.A. Integral equation methods in potential theory. I // Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1963. - Vol. 275. - Pp. 23-32.

2. Symm, G.T. Integral equation methods in potential theory. II. Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1963. - Vol. 275. - Pp. 33-46.

3. Harrington, R.F. Computation of Laplacian potentials by an equivalent-source method / R.F. Harrington, K. Pontoppidan, P. Abrahamsen, N.C. Albertsen // Proceedings of the Institution of Electrical Engineers. - 1969. - Vol. 116. - Pp. 1715-1720.

4. Fairweather, G. On the numerical solution of two-dimensional potential problems by an improved boundary integral equation method / G. Fairweather, F.J. Rizzo, D.J. Shippy, Y.S. Wu // Journal of Computational Physics. - 1979. - Vol. 31. - Pp. 96112.

5. Низомов, Д.Н. Метод граничных уравнений в решении задач строительной механики, сводящихся к уравнению Лапласа / Д.Н. Низомов, А.А. Ходжибоев, О.А. Ходжибоев, С.С. Зарифов, Б.Д. Фаттоев, Р.Р. Саидов, Ф.Х. Саидов // Вестник ТТУ. - 2015. - № 2. - С. 24-28.

6. Федотов, В.П. Применение модифицированного метода граничных элементов к решению задач теории потенциала / В.П. Федотов, А.В. Горшков // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. - 2012. - № 2. - С. 42-50.

7. Gu, Y. Analysis of three-dimensional anisotropic heat conduction problems on thin domains using an advanced boundary element method / Y. Gu, X. He, W. Chen, C. Zhang // Computers & Mathematics with Applications. - 2018. - Vol. 75. - Pp. 33-44.

8. Rana, S.K. A BEM formulation of two dimensional steady state heat conduction in exchanger tubes of arbitrary cross sections / S.K. Rana, A. Jena // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2017. - Vol. 106. - Pp. 195-211.

9. Telles, J.F.C. Boundary element solution for half-plane problems / J.F.C. Telles, C.A. Brebbia // International Journal of Solids and Structures. - 1981. -Vol. 17. - Pp. 1149-1158.

10. Chang, Y.P. The use of fundamental Green's functions for the solution of problems of heat conduction in anisotropic media /Y.P. Chang, C.S. Kang, D.J. Chen // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1973. - vol. 16. - Pp. 1905-1918.

11. Trevelyan, J. Boundary Elements for Engineers: Theory and Applications. -WIT Press. - 1994. - P. 228.

12. Dumont, N.A. Complex-variable, high-precision formulation of the consistent boundary element method for 2D potential and elasticity problems / N.A. Dumont // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2023. - Vol. 152. - Pp. 552-574.

13. Болюбов, А.Н. Функция Грина оператора Лапласа. Учебное пособие / А.Н. Болюбов, Н.Т Левашов, И.Е Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е Шапкина // М.: Физический факультет МГУ. - 2018. - 187 с.

14. Chen, H. Saint Venant's torsion of homogeneous and composite bars by the finite volume method / H. Chen, J. Gomez, M.J. Pindera // Composite Structures. - 2020.

- Vol. 242. - Pp. 112-128.

15. Ma, X. Spatially nonlocal instability modeling of torsionaly loaded nanobeans / X. Ma, K. Kiani // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2023. - Vol. 154.

- Pp. 29-46.

16. Chen, K.H. A new error estimation technique for solving torsion bar problem with inclusion by using BEM / K.H Chen, J.H. Kao, J.T. Chen, J.F. Liau // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2020. - Vol. 115. - Pp. 168-211.

17. Gil-Martin, L.M. Approximate expression of the Prandtl membrane analogy in linear elastic pure torsion of open thin-walled cross sections and regular polygons / L.M. Gil-Martin, A. Palomares, E. Hernandez- Montes // International Journal of Solids and Structures. - 2021. - Vol. 210-211. - Pp. 109-118.

18. Temis, Y. M. Boundary element technique in torsion problems of beams with multiply connected cross-sections / Y.M. Temis, V.V. Karaban // Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics. - 2001. - Vol. 5. - No. 2. - Pp. 39-51.

19. Казакова, А.О. Применение метода граничных элементов к численному моделированию кручения стержня / А.О. Казакова // Научные исследования: от теории к практике. - 2016. - Т. 3. - № 9. - С. 25-30.

20. Chen. F. Solution of torsional problems by BEM // WIT Transactions of Modelling and Simulations. 1993. - Vol. 1. - Pp. 1-9.

21. Cruz, J.M.F. Torsional analysis of thin-walled beams of open sections by the direct boundary element method / J.M.F. Cruz, A.V. Mendonça // Computers & Structures. - 2014. - Vol. 136. - Pp. 90-97.

22. Sapountzakis, E.J. Nonuniform torsion of multi-material composite bars by the boundary element method / E.J. Sapountzakis // Computers & Structures. - 2001. -Vol. 79. - Pp. 2805-2816.

23. Labaki, J. A model of the time-harmonic torsional response of piled plates using an IBEM-FEM coupling / J. Labaki, P.L. A Barros, E. Mesquita // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2021. - Vol. 125. - Pp. 241-249.

24. Sapountzakis, E.J. Torsional vibration analysis of bars including secondary torsional shear deformation effect by the boundary element method / E.J. Sapountzakis, V.J. Tsipiras, A.K. Argyridi // Journal of Sound and Vibration. - 2015. - Vol. 355. - Pp. 208-231.

25. Katsikadelis J.T. The Boundary Element Method for Engineers and Scientists. Theory and Applications. Athens: School of Civil Engineering. National Technical University of Athens. - 2016. - P. 445.

26. Tsiptsis, I.N. Bars under nonuniform torsion - Application to steel bars, assessment of EC3 guidelines / I.N. Tsiptsis, E.J. Sapountzakis // Engineering Structures. - 2014. - Vol. 60. - Pp. 133-147.

27. Friedman, Z. Torsion and flexure of a prismatic isotropic beam using the boundary element method / Z. Friedman, J.B. Kosmatka // Computers & Structures. -2000. - Vol. 74. - No.4. - Pp. 479-494.

28. Rizzo, F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quarterly of Applied Mathematics. - 1967. - Vol. 25. - Pp. 83-95.

29. Cruse, T. Numerical simulation in three-dimensional elastostatics // International Journal of Solids and Structures. - 2022. Vol. 5. - Pp. 1259-1274.

30. Rizzo, F.J. A method for stress determination in plane anisotropic elastic bodies / F.J. Rizzo, D. Shippy // Journal of Composite Materials. - 1970. - Vol. 4. - Pp. 36-61.

31. Ignaczak, J. Singular integral equations in thermoelasticity / J. Ignaczak, W. Nowacki // International Journal of Engineering Science. - 1966. - Vol. 4. - Pp. 53-68.

32. Кроник, Я.А. Прогноз термомеханического взаимодействия сооружений и оснований / Я.А. Кроник // Вестник МГСУ. - 2006. - № 1. - С. 73-82.

33. Абиров, Р.А. К расчету тоннелей с использованием метода граничных элементов / Р.А. Абиров, Ф.Ф. Адилов // Вестник международной ассоциации экспертов по сейсмостойкому строительству. - 2018. - № 5. - С. 13-14.

34. Семенов, Д.А. Частотно-зависимая динамическая жесткость грунтового основания / Д.А. Семенов, А.А. Шокин, А.И. Чурикова // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2023. - Т. 6. - С.80-91.

35. Копейкин Ю.Д., Сысоева Е.В. Потенциалы и интегральные уравнения пластинки на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений.

- 1989. - №4. - С. 19-22.

36. Господариков, А.П. Применение метода граничных элементов при расчете параметров напряженно-деформированного состояния массива горных пород в окрестности выработок различного очертания / А.П Господариков, Л.А. Беспалов // Записки Горного института. - 2007. - С. 217-220.

37. Игумнов, Л.А. Варианты метода граничных элементов и метода граничных интегральных уравнений в линейной теории упругости / Л.А. Игумнов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Механика.

- 2000. - Т. 3. - № 2. - С. 11-21.

38. Dumont, N.A. The consistent boundary element method for potential and elasticity: Part I - Formulation and convergence theorem / N.A. Dumont // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2023. - Vol. 149. - Pp. 127-142.

39. Шляхов, С.М. Задача термоупругости для круглой плиты из пористого материала в одномерном поле температур / С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина //

Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2005. - №2 6.

- С. 59 68.

40. Низомов, Д.Н. Система разрешающих уравнений метода граничных уравнений для полупространства с подкрепленным отверстием / Д.Н. Низомов, А.А. Ходжибоев, О.А. Ходжибоев, Н.Г. Саломов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - №2. - С. 20-24.

41. Kuznetsov, S.V. Direct boundary integral equation method in the theory of elasticity // Quartaerly of Applied Mathematics - 1995. - vol. 53. - Pp.1-8.

42. Тягний, А.В. Решение методом граничных элементов плоской задачи теории упругости для анизотропного тела с гладкими свободными границами // Прикладная математика и техническая физика. - 2015. - №4. - С. 202-214.

43. Oliveira, M.F.F. Boundary element formulation of axisymmetric problems for an elastic halfspace / M.F.F. Oliveira, N.A. Dumont, A.P.S. Selvadurai // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2012. - vol. 36. - Pp. 1478-1492.

44. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно-неоднородных оснований. - М. Изд-во АСВ, 2000. - 754 с.

45. Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений / В сб.: Успехи механики деформируемых сред. - М.: Наука, 1975. - С. 3-24.

46. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986.

- 295 с.

47. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

48. Низомов, Д.Н. Численное решение пространственной внешней задачи теории упругости методом граничных уравнений / Низомов Д.Н., Ходжибоев А.А., Ходжибоев О.А. // Известия АН РТ. - 2014. - № 7. - С. 573-579.

49. Великанов, П.Г. Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном

двухпараметрическом упругом основании // Известия Саратовского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2008. - № 1. - С. 36-42.

50. Великанов, П.Г. Расчет ортотропных пластин и оболочек методом граничных элементов / Автореферат ...дис. к.т.н. - Казань, Казанский государственный университет, 2008. - 21 с.

51. Михайлов, Д.В. Основные подходы к вычислению интегралов при решении граничных интегральных уравнений в задачах теории упругости / Д.В. Михайлов, А.Б. Золотов, А.А. Кузнецов // Вестник МГСУ. - 2007. - № 1. - С. 136140.

52. Сагдатуллин, М.К. Некоторые численные свойства метода граничных элементов с использованием фундаментальных решений в полуплоскости в двумерной постановке / М.К. Сагдатуллин, Х.С. Гумерова // Вестник технологического университета. - 2025. - № 3. - С. 111-114.

53. Игумнов, Л.А. Варианты метода граничных элементов и метода граничных интегральных уравнений в линейной теории упругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2000. - № 2. - С. 11-21

54. Спевак, Л.Ф. Расчет напряженно-деформированного состояния при упругопластической деформации методом граничных элементов // Проблемы прочности и пластичности. - 2010. - № 72. - С. 170-176.

55. Telles, J.F.C. On the application of the boundary element method to plasticity / J.F.C Telles, C.A. Brebbia // Appl. Math. Modelling. - 1979. - vol. 3. - Pp. 466-470.

56. Тимохина, В.В. Применение метода граничных элементов для исследования НДС плоской задачи теории упругости с учетом физической нелинейности материала // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2007. - № 3. - С. 3-6.

57. Акимов, П.А. Дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций / П.А. Акимов, А.Б. Золотов // Вестник МГСУ. - 2006. - №3. - С. 19-28.

58. Низомов, Д.Н. Метод граничных элементов в решении задач статики мембраны // Сб. научных статей молодых ученых. - Душанбе: ТПИ, 1988. - С. 167173.

59. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.

60. Низомов Д.Н. Методы граничных уравнений и сплайн-аппроксимации в решении статических и динамических задач строительной механики / Автореферат дисс. ... д.т.н. - М., МГСУ, 1999. - 40 с.

61. Ходжибоев, А.А. Решение задач строительной механики с учетом анизотропии, неоднородности и трещинообразования среды на основе развития метода граничных интегральных уравнений / Автореферат ... дисс. д.т.н. - М., МГСУ, 2013. - 38 с.

62. Сидоров, В.Н. Дискретные постановки и алгоритмы решения краевых задач строительной механики в произвольных областях на регулярных сетках / Автореферат ... дис. д.т.н. - М., ЦНИИСК им. Кучеренко, 1992. - 38 с.

63. Великанов, П.Г. Математические аналоги и аналогии для решения задач методом граничных элементов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2024. - №1. - С. 6-20.

64. Перельмутер, М.Н. Метод граничных элементов в задачах нестационарной термоупругости с трещинами // Математическое моделирование в механике материалы докладов Всероссийской конференции, посвященной 50-летию ИВМ СО РАН, 2024. - С. 170-173.

65. Золотов, А.Б. Дискретные и дискретно-континуальные реализации метода граничных интегральных уравнений: монография / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. - Москва: МГСУ, 2011. - 368 с.

66. Золотов, А.Б. Прямой дискретно-континуальный метод граничных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций / А.Б. Золотов, П.А. Акимов // Наука и техника транспорта. - 2004. -№ 3. - С. 70-77.

67. Сурьянинов, Н.Г. Основные положения численноаналитического метода граничных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2014. - № 6. - С. 52-58.

68. Спевак, Л.Ф. Расчет напряженно-деформированного состояния при упругопластической деформации методом граничных элементов // Проблемы прочности и пластичности. - 2010. - № 72. - С. 170-176.

69. Федотов, В.П. Аналитическое интегрирование функций влияния для решения задач упругости и теории потенциала методом граничных элементов / В.П. Федотов, Ф.Л. Спевак // Математическое моделирование. - 2007. - № 2. - С. 87-104.

70. Терентьев, А.Г. Метод граничных элементов и приложения // Математика. Образование. Материалы XV Международной конференции. 2007. -2007. - С. 22-29.

71. Rizzo, F.J. A method of solution for certain problems of transient heat conduction / F.J. Rizzo, D.J. Shippy // AIAA Journal. - 1970. - Vol. 8. - Pp. 2004-2009.

72. Cruse, T.A. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem / T.A. Cruse, F.J. Rizzo // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1968. Vol. 22. - Pp. 244-259.

73. Domínguez, J. Boundary Elements in Dynamics / J. Dominguez. - WIT Press. - 1993. - 707 p.

74. Li, Z.-Y. A novel scaled boundary finite element method for dynamic impedance of an arch dam foundation in a complex layered half-space / Z.-Y. Li, Z.-Q. Hu, Z. Hong, G. Lin // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2022. -Vol. 134. - Pp. 184-198.

75. Lachat, J.C. Laplace transform and boundary integral equation application to transient heat conduction problems / J.C. Lachat, A. Combescure // Innovative Analysis in Applied Engineering Science. - 1977.

76. Chang, Y.P. The use of fundamental Green's functions for solution of problems of heat conduction in anisotropic media / Y.P. Chang, C.S. Kang, D.J. Cheng // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1973. - Vol. 16. - Pp. 1905-1918.

77. Shaw, R.P. An integral equation approach to diffusion // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1974. - Vol. 17. - Pp. 693-699.

78. Wrobel, L.C. Boundary Element Methods in Heat Transfer / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia. - Elsevier Applied Science. - 1992. - 303 p.

79. Wrobel, L.C. A formulation of the boundary element method for axisymmetric transient heat conduction / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1981. - Vol. 24. - Pp. 843-850.

80. Хуторянский, Н.М. Применение метода гранично-временных элементов к решению трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости / Н.М. Хуторянский, В.В. Турилов // C6.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. - 1984. - С. 30-39.

81. Петров, В.В. BI2DIN - программа решения 2-D динамических задач теории упругости методом граничных элементов // Вестник НИЦ Строительство. -2010. - № 2. - С. 188-198.

82. Литвинчук, С.Ю. Гранично-элементное моделирование поверхностных волн на деформируемом полупространстве / С.Ю. Литвинчук, А.А. Белов, И.П. Марков, А.А. Ипатов, А.Н. Петров // Прикладная механика и техническая физика.

- 2015. - №6. - С. 132-143.

83. Carrer, J.A.M. Stress and velocity in 2D transient elastodynamic analysis by the boundary element method / J.A.M. Carrer, W.J. Mansur // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 1999. - vol. 23. - Pp. 233-245.

84. Турилов, В.В. Расчет нестационарного динамического деформирования трехмерных упругих элементов конструкций методом гранично-временных элементов / Автореферат ... дисс. к.т.н. - Горьков. гос. ун-т. им. Н.И. Лобачевского.

- Горький, 1986. - 20 с.

85. Игумнов Л.А. Развитие метода граничных интегральных уравнений для решения трехмерных динамических задач теории вязкоупругости с сопряженными полями / Автореферат ... дис. д. ф.-м.н. - Нижегор. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского.

- Нижний Новгород, 2006. - 37 с.

86. Кадомцев, М.И. Исследование динамики заглубленных фундаментов методами граничных и конечных элементов / М.И. Кадомцев, А.А. Ляпин, М.Г. Селезнев // Строительная механика и расчет сооружений. - 2010. - № 3. - С. 61-64.

87. Федотов, В.П. Модифицированный метод граничных элементов для решения задач колебания пластин // Вестник КРАУНЦ. Физ-мат. науки. - 2011. -№ 2. - С. 18-32.

88. Федотов, В.П. Модифицированный метод граничных элементов для задач о колебаниях плоских мембран / В.П. Федотов, А.А. Контеев // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2009. - № 2. - С. 211-221.

89. Singh, I.V. A numerical solution of composite heat transfer problems using meshless method / I.V. Singh // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2004. - Vol 47. - Pp. 2123-2138.

90. Li, H.Y. A new approach to solve multi-medium nonlinear transient heat conduction problems using interface integration BEM / H.Y. Li, G.H. Jiang, K. Yang, X.W. Gao // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2020. - Vol. 119. -Pp. 269-279.

91. Sun, W. An arbitrary order numerical framework for transient heat conduction problems / W. Sun, W. Qu, Y. Gu, P. Li // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2024. - Vol. 218. - Art. 124798.

92. Liggett, J.A. Unsteady flow in confined aquifers: A comparison of two boundary integral methods / J.A. Liggett, P. L.-F. Liu // Water Resources Research. -1979. - vol. 15. - Pp. 861-866.

93. Onishi, K. Boundary element approximate method for transient heat conduction / K. Onishi, T. Kuroki // Theoretical and applied mechanics. - 1981. - vol. 30. - Pp. 423-428.

94. Cheng, R.J. A meshless analysis of three-dimensional transient heat conduction problems / R.J. Cheng, K.M Liew // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2012. - Vol. 36. - Pp. 203-210.

95. Iso, Y. Numerical Convergence of Boundary Solutions in Transient Heat Conduction Problems / Y. Iso, S. Takahashi, K. Onishi // Computational Aspects. Topics in Boundary Element Research. - 1987. - vol. 3. - Pp. 1-24.

96. Bruch, J.C. Transient two-dimensional heat conduction problems solved by the finite element method / J.C. Bruch, G. Zyvoloski // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1974. - vol. 8. - Pp. 481-494.

97. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. - М.: Мир. - 1987. - 524 с.

98. Sharma, R. A review on the finite element methods for heat conduction in functionally graded materials / R. Sharma, V.K. Jadon, B. Singh // Journal of The Institution of Engineers. India Ser. C. - 2015. - Vol. 96. - Pp. 73-81.

99. Zienkiewicz, O.C. Transient field problems: Two-dimensional and three-dimensional analysis by isoparametric finite elements / O.C. Zienkiewicz, C.J. Parekh // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1970. - vol. 2. - Pp. 6171.

100. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Д. Гудьер. -М.: Наука. - 1975. - 560 с.

101. Cruse, T.A. An improved boundary integral equation method for three dimensional elastic stress analysis // Computers & Structures. - 1974. - vol. 4. - Pp. 741754.

102. Zhao Z. Boundary stress calculation - a comparison study / Z. Zhao, S. Lan // Computers & Structures. - 1999. - vol. 71. - Pp. 77-85.

103. Zhao Z. On the calculation of boundary stresses in boundary elements // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 1995. - vol. 16. - Pp. 317-322.

104. Zirakishvili, N. On the numerical solution of some two-dimensional non-classial elasticity problems by boundary element method // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2019. - vol. 14. - Pp. 17-27.

105. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - Москва: Лаборатория знаний. - 2020. - 636 с.

106. Шамина, А.В. Постановка линейной осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2000. - №1. - С. 145-148.

107. Васильев, В.В. К задаче теории упругости, сформулированной в напряжениях / В.В. Васильев, Л.В. Федоров // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1996. - №2. - С. 82-92.

108. Васильев, В.В. Функции напряжений в теории упругости / В.В. Васильев, Л.В. Федоров // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2022. - №4. - С. 103-113.

109. Суслова, Н.Н. К постановке краевых задач теории упругости в дисторсиях // Механика твердого тела. - 1980. - № 2. - С. 59-67.

110. Гасратова, Н.А. Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях // Молодой ученый. - 2014. - №2 3. - С. 8-12.

111. Гасратова, Н.А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью / Н.А. Гасратова, В.А. Шамина // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, механика, астрономия. - 2008. - № 2. - С. 122-128.

112. Георгиевский Д.В. Общие решения неэквивалентных классической систем теории упругости в напряжениях // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2012. - №6. - С. 26-32.

113. Kucher V.A., Markenscoff X., Paukshto M.V. Some properties of the boundary value problem of linear elasticity in terms of stresses / V.A. Kucher, X. Markenscoff, M.V. Paukshto // Journal of Elasticity. - 2004. - №2. - Pp. 135-145.

114. Бородачев, Н.М. Решения пространственной задачи теории упругости в напряжениях // Прикладная механика. - 2006. - №8. - С. 3-35.

115. Победря, Б.Е. О статической задаче в напряжениях // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2003. - №2 3. - С. 6167.

116. Победря, Б.Е. Задача в напряжениях / Б.Е. Победря, С.В. Шешенин, Т.Холматов. - Ташкент: Изд-во ФАН, 1988. - 200 с.

117. Лалин, В.В. Граничные интегральные уравнения для вектора теплового потока и их решение методом граничных элементов / В.В. Лалин, Д.А. Семенов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2024. - №4. - С. 2-10.

118. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука. - 1970. - 940

с.

119. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики: 6-е изд., испр. и доп / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: - Изд-во МГУ. - 1999. - 799 с.

120. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов. - М.: Высш. шк. - 1990. - 400 с.

121. Лалин, В.В. Метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях / В.В. Лалин, Ф.Н. Никитин // Прочность и устойчивость инженерных конструкций. - 1985. - С. 3-9.

122. Лалин, В.В. Постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях / В.В. Лалин, Д.А. Семенов // Вестник Евразийской науки. - 2025. -Т. 17. - № 3. - С. 1-13.

123. Кацикаделис Дж.Т. Граничные элементы: Теория и приложения. - М.: Изд-во АСВ, 2007. - 348 с.

124. Арутюнян, Н.Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. - М.: Физматгиз. - 1963. - 688 с.

125. Лалин, В.В. Задача о кручении: постановка в напряжениях и решение методом граничных элементов / В.В. Лалин, Д.А. Семенов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2023. - Т. 19. - №4. - C. 339348.

126. Лалин, В.В. Граничные интегральные уравнения для определения напряжений в задаче о кручении // Пространственные конструкции в Красноярском крае. - 1982. - С. 108-112.

127. Карлслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карлслоу, Д. Егер. -М.: Наука. - 1964. - 489 с.

128. Семенов, Д.А. Стационарная задача теплопроводности. Постановка в производных и решение методом граничных элементов // Современное строительство и архитектура. - 2025.

129. Лебедев, Н.Н. Сборник задач по математической физике / Н.Н. Лебедев, И.П. Скальская, Я.С. Уфлянд. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1955. - 421 с.

130. Лалин, В.В. Метод граничных элементов при решении плоской задачи теории упругости в напряжениях / В.В. Лалин, Д.А. Семенов // Вестник Евразийской науки. - 2025. - Т 17. - № 4. - С. 1-17.

131. Розин, Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения.

- Санкт-Петербург: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 530 с.

132. Свешников, А.Г. Лекции по математической физике: Учебное пособие / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. - М.: Издательство МГУ. - 1993.

- 352 с.

133. Lalin, V. The problem of non-stationary thermal conductivity: formulation in derivatives and solution by the boundary element method / V. Lalin, D. Semenov // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2025. - vol. 20. - Pp. 4857.

Приложение А. Программы расчета на ЭВМ.

Уравнение Пуассона. Задача о кручении Координаты узлов граничных элементов (nodes.txt).

x y

0 0 # узел 1 0.25 0 # узел 2 0.5 0 # узел 3 ... ... # узел i 0 0.25 # узел n

Программа для расчета касательных напряжений на границе сечения.

# исходные данные

G = 1 # модуль сдвига [Н/смЛ2]

tetta = 1 # угол закручивания стержня [рад/см]

txt_node = open ('nodes.txt', 'r') # файл с узлами расчетной схемы n = 8 0 # количество узлов s = 0.2 5 # длина граничного элемента

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# массив с координатами узлов [x, y] Nodes = np.ones((n+2,2))

for i in range (n+1):

n_str = txt_node.readline () n_str = n_str.split ()

Nodes [i,0] = n_str [0]

Nodes [i,1] = n_str [1]

Nodes [n+1,0] = Nodes [1,0] Nodes [n+1,1] = Nodes [1,1]

# матрица нормалей (размерность n x 2, где n - количество элементов; [nx, ny])

N = np.ones ((n,2))

for i in range (n):

N [i,0] = (Nodes [i+2,1] - Nodes [i+1,1]) / s #nx N [i,1] = -(Nodes [i+2,0] - Nodes [i+1,0]) / s #ny

# матрица векторов R=x-eps R = np.ones ((n,n))

for i in range (n):

for j in range (n)

R[i,j] = (((Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) -(Nodes[j+1,0]/2+Nodes[j+2,0]/2))**2+((Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) - (Nodes[j+1,1]/2+Nodes[j+2,1]/2))**2)**0.5

R_x = np.ones ((n,n)) for i in range (n):

for j in range (n):

R_x[i,j] = (Nodes[j+1,0]/2+Nodes[j+2,0]/2) -(Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2)

R_y = np.ones ((n,n)) for i in range (n):

for j in range (n):

R_y[i,j] = (Nodes[j+1,1]/2+Nodes[j+2,1]/2) -(Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2)

# вектор R для оценки напряжений внутри сечения x_int = 2.5 y_int = 2.5

R_int = np.ones ((1,n))

for i in range (n):

R_int[0,i] = (((Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) -(x_int))**2+((Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) - (y_int))**2)**0.5

# матрица нормальных производных

nr = np.ones ((n,n))

for i in range (n):

for j in range (n): if i == j:

nr [i,j] = 0 else:

nr [i,j] = N[j,0]*((Nodes[j + 1,0]/2+Nodes[j+2,0]/2) -(Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2))/R[i,j] + N [j,1]*((Nodes[j + 1,1]/2+Nodes[j+2,1]/2) -(Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2))/R[i,j]

# вектор nr_int для результата внутри ГЭ

nr_int = np.ones ((1,n))

for i in range (n):

nr_int[0,i] = N[i,0]*((Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) -(x_int))/R_int[0,i] + N[i,1]*((Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) -(y_int))/R_int[0,i]

# решение задачи о кручении

H = np.zeros ((n,n)) # матрица влияния B = np.zeros ((n,1)) # правая часть СЛАУ

for i in range (n):

for j in range (n): if i != j:

H[i,j] = -s*(N[i,0]*R_x[i,j] + N[i,1]*R_y[i,j])/(R[i,j]**2)/np.pi

else:

H[i,j] = 1

for i in range (n):

for t in range (n): if i != t:

c = -2*G*tetta*s*(N[i,0]*N[t,0] + N[i,1]*N[t,1])*np.log(R[i,t])/np.pi else:

c = -2*G*tetta*s*(np.log(s/2)-1)/np.pi B[i] = B[i] + c

A = H F = B

Y = np.linalg.solve (A, F)

print (str('корд-та Х,см' + ' ' + 'корд-та Y, см' + ' ' + 'напр.,Н/смл2')) for i in range (n):

print (str(Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) + ' ' + str(Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2)+ ' ' + str(Y[i]))

Теория упругости. I краевая задача

import numpy as np from math import pi

# ---------- параметры расчетной схемы ----------

nu = 0.2

Lx, Ly = 3.0, 1.0

hx_long, hx_short = 0.02, 0.0125

#----------ядра интегралов----------

def k1(nm, R, nu):

r2 = np.dot(R, R) if r2 == 0.0:

return np.zeros((2, 2)) rr = np.outer(R, R) nmR = np.outer(nm, R) Rnm = np.outer(R, nm) nm_R = float(np.dot(nm, R)) I = np.eye(2) f = 1.0 / (4 * pi * (1 - nu))

f * ((1 - 2 * nu) * (nm_R * I + Rnm - nmR) / r2 + 2 * nm_R * rr / r2**2)

def k2(nm, R, nu):

r2 = np.dot(R, R) if r2 == 0.0:

return np.zeros((2, 2)) rr = np.outer(R, R) nmR = np.outer(nm, R) Rnm = np.outer(R, nm) nm_R = float(np.dot(nm, R)) I = np.eye(2) f = 1.0 / (4 * pi * (1 - nu))

f * ((-nm_R * I + nmR - Rnm) / r2 + 2 * nm_R * rr /

r2**2)

# ---------- граничные элементы ----------

elements = []

x_left, x_right = -Lx / 2, Lx / 2 y_bot, y_top = -Ly / 2, Ly / 2

# верхняя грань

n = np.array([0.0, 1.0])

for i in range(int(Lx / hx_long)):

xc = x_left + hx_long / 2 + i * hx_long

elements.append({"center": np.array([xc, y_top]), "length": hx_long,

"normal": n, "h": np.array([0.0, 6667.0])})

# нижняя грань

n = np.array([0.0, -1.0])

for i in range(int(Lx / hx_long)):

xc = x_left + hx_long / 2 + i * hx_long

elements.append({"center": np.array([xc, y_bot]), "length": hx_long,

"normal": n, "h": np.array([0.0, -10000.0])})

# левая грань

n = np.array([-1.0, 0.0])

for i in range(int(Ly / hx_short)):

yc = y_bot + hx_short / 2 + i * hx_short

elements.append({"center": np.array([x_left, yc]), "length": hx_short,

" "normal": n, "h": np.array([0.0, 0.0])})

# правая грань

n = np.array([1.0, 0.0])

for i in range(int(Ly / hx_short)):

yc = y_bot + hx_short / 2 + i * hx_short

elements.append({"center": np.array([x_right, yc]), "length": hx_short,

"normal": n, "h": np.array([0.0, 10000.0])})

N = len(elements) A = np.zeros((2*N, 2*N)) b = np.zeros(2*N)

for i, ei in enumerate(elements): nm_i = ei["normal"] mi = ei["center"] A[2*i, 2*i] += 0.5 A[2*i+1, 2*i+1] += 0.5 for j, ej in enumerate(elements): R = ej["center"] - mi G = k1(nm_i, R, nu) * ej["length"] H = k2(nm_i, R, nu) * ej["length"] A[2*i:2*i+2, 2*j:2*j+2] -= G b[2*i:2*i+2] += H @ ej["h"]

p = np.linalg.solve(A, b)

# постобработка

for i, e in enumerate(elements): x, y = e[ "center"] px, py = p[2*i], p[2*i+1]

print(f"{x:+.3f} {y:+.3f} {px:+.3f} {py:+.3f}"

Теория упругости. Задача Кирша

import numpy as np, math, matplotlib.pyplot as plt

# 1. Параметры расчетной схемы R0, nu, sigma 0, N = 1.0, 0.2, -100.0, d0 = 2*math.pi/N 9 = np.arange(N)*d9

# 2. Геометрия и векторы на границе x, y = R0*np.cos(9), R0*np.sin(9) n_vecs = np.column_stack((-np.cos(9), t_vecs = np.column_stack(( np.sin(9), L = R0*d9*np.ones(N) m_pts = np.column_stack((x, y))

# 3. Граничное условие p = a-n p_vecs = np.column_stack((sigma0*n_vecs[:,0], np.zeros(N)))

# 4. ядра

I2 = np.eye(2)

def kernels(m,nm,tm,z,nz,tz): R=z-m; R2=np.dot(R,R)

nmR=np.outer(nm,R); Rnm=np.outer(R,nm); RR=np.outer(R,R); dot=np.dot(nm,R)

K3=((1-2*nu)*(nmR-Rnm)+(3-2*nu)*dot*I2)/R2 - 2*dot/R2*RR/R2 K3=K3/(4*math.pi*(1-nu))+np.outer(tm,tz) K4=((3-4*nu)*(nmR-Rnm)+dot*I2)/R2 - 2*dot/R2*RR/R2 K4=K4/(4*math.pi*(1-nu)) return K3,K4

# 5. сборка и решение

A=np.zeros((2*N,2*N)); b=np.zeros(2*N) for i in range(N):

A[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=0.5*I2 for j in range(N):

if i==j: continue

K3,K4=kernels(m_pts[i],n_vecs[i],t_vecs[i],m_pts[j],n_vecs[ j],t_vecs[j])

A[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]-=K3*L[j] b[2*i:2*i+2]+=K4@p_vecs[j]*L[j]

h=np.linalg.solve(A,b).reshape(N,2)

# сигма_tt

dot_n_h = np.einsum('ij,ij->i', n_vecs, h) dot_n_p = np.einsum('ij,ij->i', n_vecs, p_vecs) sigma_tt = (dot_n_h + nu*dot_n_p)/(1-nu) sigma_tt_total = sigma_tt + 100*np.sin(9)

# 6. Постобработка print("9 h_x h_y")

00

# 0°,18°,36°,_

-np.sin(9))) # внутрь -np.cos( 9 )))

for th,hvec,sigma_tt,sigma_tt_total in zip(9,h,sigma_tt,sigma_tt_total):

print(f"{th*180/math.pi:6.1f}° {hvec[0]:10.4f} {hvec[1]:10.4f} {sigma_tt} {sigma_tt_total}")

# 7. графика

Ф=np.linspace(0,2*math.pi,4 00)

fig,ax=plt.subplots(figsize=(6,6)); ax.set_aspect('equal')

ax.plot(R0*np.cos(ф),R0*np.sin(ф),color='orange'

scale=0.2

ax.quiver(x,y,n_vecs[:,0],n_vecs[:,1],angles='xy',scale_units='xy',s cale=1/scale,color='red'

ax.quiver(x,y,t_vecs[:,0],t_vecs[:,1],angles='xy',scale_units='xy',s cale=1/scale,color='blue'

ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]); ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y')

ax.set_title("Inward normal n и tangent t (коллокации в

0°,90°,180°,270°)")

plt.show()

Нестационарная теплопроводность.

# МГЭ код по решению задач нестационарной теплопроводности в производных

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import scipy.special as sc

### СОЗДАЕМ МАССИВ С УЗЛАММИ

txt_node = open ('nodes.txt', 'r') num_nodes = 32 0 # количество узлов elem_num = num_nodes # количество элементов

out_res = open ('out_res.txt', 'w')

# коэффициент теплопроводности k = 1.25

#промежуток времени в секундах tf = 3

# шаг интегрирования по времени в секундах dt = 0.05

# массив с координатами узлов [x, y] Nodes = np.ones((num_nodes + 2, 2))

for i in range (num_nodes + 1):

n_str = txt_node.readline () n_str = n_str.split ()

Nodes [i,0] = n_str [0]

Nodes [i,1] = n_str [1]

Nodes [num_nodes+1,0] = Nodes [1,0] Nodes [num_nodes+1,1] = Nodes [1,1]

# print (Nodes)

# матрица нормалей (размерность n x 2, где n - количество элементов; [nx, ny])

N = np.ones ((elem num, 2))

for i in range (elem_num):

s = 0.05 #длина элемента

N [i,0] = (Nodes [i+2,1] - Nodes [i+1,1]) / s #nx N [i,1] = -(Nodes [i+2,0] - Nodes [i+1,0]) / s #ny

# print (N)

# матрица векторов R=x-eps

R = np.ones ((elem_num,elem_num)) R_x = np.ones ((elem_num, elem_num)) R_y = np.ones ((elem_num, elem_num))

for i in range (elem_num):

for j in range (elem_num):

R[i,j] = (((Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) -(Nodes[j+1,0]/2+Nodes[j+2,0]/2))**2+((Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) - (Nodes[j+1,1]/2+Nodes[j+2,1]/2))**2)**0.5

R_x [i,j] = (Nodes[j+1,0]/2+Nodes[j+2,0]/2) -(Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2)

R_y [i,j] = (Nodes[j+1,1]/2+Nodes[j+2,1]/2) -(Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) #print (R)

# вектор R для результата внутри области x_int = 1.5 y_int = 1.5

R_x_int = np.ones ((1, elem_num)) R_y_int = np.ones ((1, elem_num)) R_int = np.ones ((1,elem_num))

for i in range (elem_num):

R_int[0,i] = (((Nodes[i+1,0]/2+Nodes[i+2,0]/2) -(x_int))**2+((Nodes[i+1,1]/2+Nodes[i+2,1]/2) - (y_int))**2)**0.5 R_x_int[0,i] = ((Nodes[i+1,0]/2+Nodes [i+2,0]/2) - x_int) R y int[0,i] = ((Nodes[i+1,1]/2+Nodes [i+2,1]/2) - y int)

#print (R_y_int)

# массив шагов по времени T = []

u_int = np.zeros ([int(tf/dt+1)])

for i in range (int(tf/dt)): T.append (i*dt)

# solver

H_tot = np.array ([np.zeros ((elem_num,elem_num)) ]) # матрица влияния левая часть

Q_tot = np.array ([ np.zeros ((elem_num,1)) ]) # dq/dn (результат)

U_tot = np.array ([ np.zeros ((elem_num,elem_num)) ]) # матрица влияния правая часть

I_tot = np.array ([ np.zeros ((elem_num,1)) ]) # скорость изменения температуры

H_int_tot = пр.аггау ([пр^егоБ ((1,е1ет_пит)) ]) U_int_tot = пр.аггау ([пр^егоБ ((1,е1ет_пит)) ])

# вектор столбец значений функции в ГЭ

0 = пр^егоэ ((е1ет_пит,1))

# скорость изменения температуры внутри ГЭ

1 = пр^егоэ ((е1ет_пит,1))

summ = 0 summ1 = 0 summ2 = 0

for t in range (int(tf/dt)):

A = np.zeros ((elem_num,1)) B = np.zeros ((elem_num,1))

# матрица влияния левая часть

H = np.ones ((elem_num,elem_num))

# матрица влияния правая часть

U = np.ones ((elem_num,elem_num))

for i in range (elem_num):

I[i,0] = 4*np.pi/3*20*np.cos(4*np.pi/3*(t+1)*dt)

for i in range (elem_num):

for j in range (elem_num): if i != j and t != 0:

z1 = R[i,j]**2/(4*k*(t+1)*dt)

z2 = R[i,j]**2/(4*k*t*dt) Eil = sc.expl(zl) Ei2 = sc.exp1(z2) H[i,j] = -

k*s*(R_x[i,j]*N[i,0]+R_y[i,j]*N[i,1])*(np.exp(-z1)-np.exp(-z2))/(2*np.pi*k*R[i,j]**2)

U[i,j] = k*s*(N[i,0]*N[j,0]+N[i,1]*N[j,1])*(Ei1-

Ei2)/(4*np.pi*k)

summ = 0 z1 = 0 z2 = 0

elif i != j and t == 0:

z1 = R[i,j]**2/(4*k*dt) Ei1 = sc.exp1(z1) H[i,j] = -

k*s*(R_x[i,j]*N[i,0]+R_y[i,j]*N[i,1])*np.exp(-z1)/(2*np.pi*k*R[i,j]**2)

U[i,j] =

k*s*(N[i,0]*N[j,0]+N[i,1]*N[j,1])*Ei1/(4*np.pi*k)

z1 = 0

elif i == j and t == 0:

alpha = s**2/(16*k*dt) for n in range (1, 100): summ += (-1)**(n-1)*alpha**n/(n*(2*n+1)*np.math.factorial(n))

H[i,j] = 0.5

U[i,j] = s*(2-0.577215-np.log(alpha) +

summ)/(4*np.pi)

summ = 0 else:

alpha1 = s**2/(16*k*(t+1)*dt) alpha2 = s**2/(16*k*t*dt) for n in range (1,100): summ1 += (-1)**(n-1)*alpha1**n/(n*(2*n+1)*np.math.factorial(n))

summ2 += (-1)**(n-1)*alpha2**n/(n*(2*n+1)*np.math.factorial(n))

Ei1 = sc.exp1(alpha1) Ei2 = sc.exp1(alpha2) H[i,j] = 0

U[i,j] = s*(2-0.577215-np.log(alpha1)+ summ1 - (2-0.577215-np.log(alpha2)+ summ2))/(4*np.pi)

summ1 = 0 summ2 = 0

H_tot = np.append (H_tot, [H], axis = 0) U_tot = np.append (U_tot, [U], axis = 0) I_tot = np.append (I_tot, [I], axis = 0)

for i in range (t+1)

A = A + np.linalg.multi_dot([U_tot[i+1], I_tot[-(i+1)]]) for i in range (t):

B = B + np.linalg.multi_dot([H_tot[i+2], Q_tot[-(i+1)]])

Q = np.linalg.multi_dot([np.linalg.inv(H_tot[1]),(A - B)])

Q_tot = np.append (Q_tot, [Q], axis = 0)

num_1 = str(Q_tot[t+1,50]) num_2 = str(Q_tot[t+1,130])

out_res.write (num_1 + 'j' + num_2 + + str((t+1)*dt)+'.часа'

+ '\n')~

print (Q_tot[30]) out res.close ()

Приложение Б. Данные о регистрации программы для ЭВМ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ _ _

1*112024665634

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ РЕГИСТРАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ

Номер регистрации (свидетельства): 2024665634 Дата регистрации: 03.07.2024 Номер и дата поступления заявки: 2024664478 25.06.2024 Дата публикации и номер бюллетеня: 03.07.2024 Бюл. № 7 Контактные реквизиты: 88125526122, [e-mail]

Автор(ы):

Семенов Даниил Аркадьевич (Яи), Лалин Владимир Владимирович (1Ш), Тарасов Владимир Александрович (1Ш) 11 раво о б лад ател ь( и): федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого"

(яи)

Название программы для ЭВМ:

Программа для расчета касательных напряжений при кручении стержней методом граничных элементов

Реферат:

Программа предназначена для расчета механических напряжений, возникающих в сечении стержней при кручении с использованием метода граничных элементов. Программа может использоваться в проектных, научно-исследовательских организациях при проведении расчетных обоснований по оценке прочности конструкций. Функциональные возможности программы: расчет касательных напряжений на границе и внутри сечения произвольной формы. Программа построена на численном решении двумерного уравнения Пуассона. Используемый численный метод-метод граничных элементов. Искомой функцией является вектор касательных напряжений в сечении. Программа позволяет в явном виде определять механические напряжения в сечении, без операции численного дифференцирования. Тип ЭВМ: IBM РС-совмест. ПК на базе процессора Intel Pentium и выше: ОС: Windows 7 и выше.