Повышение спектральной и энергетической эффективности системы передачи информации путем применения оптимальных многопозиционных сигналов с амплитудно-фазовой модуляцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Орлова Анна Сергеевна

• Орлова Анна Сергеевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Орлова Анна Сергеевна

Введение

Глава 1. Метод повышения спектральной и энергетической эффективности систем передачи информации путем оптимизации амплитудного импульса

1.1. Сигналы с линейной модуляцией

1.2. Анализ известных задач оптимизации формы амплитудного импульса по спектрально-эффективным критериям

Глава 2. Аналитическое решение оптимизационной задачи по спектрально-эффективным критериям

2.1. Критерий минимума внеполосных излучений

2.2. Критерий максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот

2.3. Алгоритмы приема сигналов с межсимвольной интерференцией

2.3.1. Алгоритм приема последовательностей «в целом» и его вычислительно эффективные реализации

2.3.2. Алгоритм приема с обратной связью по решению

2.3.3. Поэлементный алгоритм приема

2.4. Выводы по главе

Глава 3. Численное решение оптимизационной задачи синтеза многопозиционных сигналов с линейной модуляцией

3.1. Переход к численному решению оптимизационной задачи по критерию минимума внеполосных излучений

3.2. Переход к численному решению оптимизационной задачи по критерию максимума концентрации энергии в заданной полосе частот.

Критерий минимума полосы частот, содержащей заданную концентрацию

энергии

3.3. Ограничения оптимизационной задачи

3.3.1. Линейные ограничения

3.3.2. Ограничение на помехоустойчивость приема при двоичной амплитудной модуляции

3.3.3. Ограничение на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудной модуляции

3.3.4. Ограничение на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудно-фазовой модуляции

3.4. Методика численного решения оптимизационной задачи

3.4.1. Критерий минимума внеполосных излучений

3.4.2. Критерий минимума полосы частот, содержащей заданную концентрацию энергии

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Результаты решения оптимизационной задачи

4.1. Критерий минимума внеполосных излучений

4.1.1. Влияние скорости спада внеполосных излучений на результаты решения оптимизационной задачи

4.1.2. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при двоичной амплитудной модуляции

4.1.3. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудной модуляции

4.1.4. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудно-фазовой модуляции

4.2. Критерий максимума концентрации энергии в полосе занимаемых

частот

4.2.1. Влияние уровня концентрации энергии в полосе занимаемых частот на результаты решения оптимизационной задачи

4.2.2. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при двоичной амплитудной модуляции

4.2.3. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудной модуляции

4.2.4. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудно-фазовой модуляции

4.3. Примеры поверхностей решения при вариации коэффициентов

разложения

4.4. Выводы по главе

Глава 5. Формирование и прием оптимальных многопозиционных одночастотных сигналов

5.1. Метод формирования оптимальных сигналов

5.1.1. Погрешности формирования оптимальных сигналов

5.1.2. Оценка погрешностей метода формирования оптимальных сигналов на основе цифрового нерекурсивного фильтра

5.2. Демодулятор оптимальных сигналов

5.2.1. Упрощенные структурные схемы демодулятора для случая вынесения жестких решений

5.2.2. Алгоритм вынесения мягких решений

5.3. Имитационная модель системы передачи информации

5.4. Помехоустойчивость приема оптимальных сигналов без помехоустойчивого кодирования

5.4.1. Оптимальные сигналы длительностью Ta=T

5.4.2. Оптимальные сигналы длительностью Ta>T, M=2

5.4.3. Ta>T, M>2, PAM/QAM

5.4.4. Ta>T, M>2, APSK

5.5. Помехоустойчивость приема оптимальных сигналов с помехоустойчивым кодированием

5.6. Влияние разрядности ЦАП/АЦП на характеристики оптимальных сигналов

5.7. Пик-фактор оптимальных сигналов

5.8. Спектральная и энергетическая эффективность оптимальных сигналов на плоскости Шеннона

5.9. Выводы по главе

Глава 6. Экспериментальное исследование спектральных и энергетических характеристик оптимальных многопозиционных сигналов

6.1. Описание экспериментального стенда

6.2. Результаты эксперимента

6.3. Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Аналитическое решение оптимизационной задачи по критерию минимума внеполосных излучений

А.1. Решение при n=1

А.2. Решение при n=2

А.3. Решение при п=3

Приложение Б. Коэффициенты разложения оптимальных импульсов

Б.1. Оптимизация по критерию минимума внеполосных излучений

Б.2. Оптимизация по критерию минимума полосы частот, содержащей заданную концентрацию энергии

ВВЕДЕНИЕ

Одночастотные сигналы находят широкое применение в современных беспроводных системах передачи данных, например в восходящей линии связи в стандартах LTE, 5G NR [1-4], а также в стандартах спутникового вещания DVB-S2, DVB-S2X [5, 6] и транкинговой радиосвязи TETRA [7]. Одним из векторов развития современных систем связи является повышение спектральной эффективности, что может быть достигнуто за счет повышения битовой скорости путем увеличения размера сигнального созвездия либо за счет уменьшения полосы занимаемых частот. Данные методы приводят к дополнительным энергетическим затратам, связанным с уменьшением минимального расстояния между точками сигнального созвездия и появлением неконтролируемой межсимвольной интерференции (МСИ) вследствие фильтрации.

Другой метод повышения спектральной эффективности заключается в оптимизации формы сигнала, что в случае сигналов с линейной модуляцией сводится к оптимизации амплитудного импульса. В связи с неоднозначностью определения ширины полосы занимаемых частот выделяют разные критерии оптимизации. Так, в работах J.H.H. Chalk, Гуревича М.С. была решена оптимизационная задача по критерию максимума концентрации энергии в занимаемой полосе частот [8, 9]. Полученные оптимальные импульсы имеют разрывы на краях интервала существования и, как следствие, низкую скорость спада внеполосных излучений. Тем не менее, результаты решения такой оптимизационной задачи удовлетворяют рекомендациям Международного консультативного комитета по радио (МККР), поскольку при использовании данного критерия значение энергии, приходящейся на внеполосные излучения, обычно выбирается равным менее 1% от энергии всего сигнала.

Гуревич М.С. также показал, что импульсы вида cosn(ní/T), nEN, íE[-T/2, T/2] (T - длительность символьного интервала) обеспечивают скорость спада внеполосных излучений энергетического спектра не менее 1//2(n+1). Однако с увеличением параметра n полоса занимаемых частот, определенная по

критерию концентрации 99% мощности, значительно расширяется [9]. Школьным Л.А. была поставлена и решена задача минимизации внеполосных излучений с учетом взвешивающей функции, которая определяет затухание сигналов вне занимаемой полосы частот. По сравнению с подходом Гуревича М.С. подход Школьного Л.А. позволил уменьшить полосу частот, содержащую 99% мощности сигнала, при обеспечении заданной скорости спада внеполосных излучений [10]. Тем не менее, в данных работах не рассмотрена возможность дополнительного повышения спектральной эффективности путем перехода к сигналам с контролируемой межсимвольной интерференцией [11], то есть к сигналам с частичным откликом [12, 13]. Стоит отметить, что исследования, посвященные сигналам с частичным откликом, в основном сосредоточены на использовании сигнальных созвездий малых размеров и вычислительно сложных алгоритмов обработки [14-18].

В работах D. Zeng, X. Luo, X. Wu, I. Dotli, R. Kohno [19-22] был предложен критерий минимума отклонения спектральной плотности мощности импульса от спектральной маски. Учет в процедуре оптимизации спектральной маски конкретных стандартов ограничивает возможности применения полученных оптимальных форм импульсов в других системах связи, что является недостатком данного критерия.

Оптимизация по критерию максимума свободного евклидова расстояния при фиксированной полосе частот, содержащей заданную концентрацию энергии и обеспечивающей превышение барьера Найквиста, была выполнена в работе A.Said, J.B. Anderson [23]. Результаты получены для квадратурной амплитудной модуляции (QAM) с размером не более 4. Выбор максимума свободного евклидова расстояния в качестве меры МСИ требует применения алгоритма демодуляции по решетке [24]. С увеличением размера сигнального созвездия до значений 16-256 и более, характерных для современных систем связи, практическая реализация даже вычислительно эффективных алгоритмов демодуляции по решетке становится невозможна. Аналогичные недостатки можно выделить в подходе, представленном в работах S. Wen,

Нгуена Т.Х.Ф., Гельгора А.Л. [25, 26], где спектральная маска из стандартов 802.1^, DVB-S2 учитывалась в ограничении оптимизационной задачи, а сама оптимизация выполнялась по энергоэффективному критерию максимума свободного евклидова расстояния.

Следует отметить, что в условиях дефицита частотного ресурса более важной может оказаться не задача повышения энергетической эффективности при удовлетворении требований к спектральной маске, а задача минимизации полосы частот при удовлетворении требований к энергетической эффективности. В работах Гельгора А.Л., Попова Е.А., Горлова А.И. [27, 28] была численно решена задача оптимизации формы импульса по критерию максимума концентрации энергии в полосе частот при наличии ограничений на пик-фактор колебаний и уровень МСИ. В качестве меры МСИ был выбран максимальный коэффициент групповой корреляции, который определяет суммарное влияние всех соседних импульсов на текущий. Авторы рассматривают модуляцию с размером сигнального созвездия не выше 4^АМ и используют алгоритм Витерби, что снова приводит к проблеме практической реализации алгоритма для размеров сигнального созвездия 16 и более.

В работах Макарова С.Б., Гельгора А.Л., Попова Е.А., W. Хие [29-31] было представлено численное решение оптимизационной задачи по критерию минимума внеполосных излучений с учетом взвешивающей функции, введенной Школьным Л.А., при наличии дополнительных ограничений на длительность импульса, пик-фактор и уровень МСИ, определяемый максимальным значением коэффициента корреляции между импульсами на соседних символьных интервалах. Показано, что при максимальном значении коэффициента корреляции 0,01 простой поэлементный алгоритм приема для сигналов с двоичной фазовой модуляцией позволяет обеспечить помехоустойчивость приема, близкую к помехоустойчивости приема сигналов без МСИ. Однако для сигнальных созвездий с размером более 4 результаты не приводятся.

К недостаткам всех вышеперечисленных исследований можно отнести тот факт, что в ограничении на уровень межсимвольной интерференции не был учтен размер сигнального созвездия. Поэтому полученные в данных работах формы оптимальных импульсов не гарантируют высокую помехоустойчивость приема при многопозиционной модуляции, которая используется во всех современных системах связи. Таким образом, возникает задача синтеза оптимальных форм импульсов для случая многопозиционной модуляции.

Объектом исследования являются оптимальные многопозиционные сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией для одночастотных систем передачи информации.

Предметом исследования являются временные и спектральные характеристики оптимальных сигналов, их корреляционные свойства, помехоустойчивость приема, величина пик-фактора колебаний, уровень внеполосных излучений, концентрация энергии в занимаемой полосе частот.

Целью работы является повышение спектральной и энергетической эффективности одночастотной системы передачи сообщений за счет применения оптимальных многопозиционных сигналов на основе амплитудных импульсов, полученных в результате решения оптимизационной задачи как по критерию максимума концентрации энергии в полосе частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений.

Для достижения данной цели в работе поставлены следующие задачи:

1. Сформулировать условия решения оптимизационной задачи синтеза многопозиционных сигналов как по критерию максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений.

2. Определить формы амплитудных импульсов в результате решения оптимизационной задачи как по критерию минимума внеполосных излучений, так и по критерию максимума концентрации мощности в заданной полосе

частот при наличии ограничивающих условий на помехоустойчивость приема при многопозиционной модуляции.

3. Разработать структуру цифрового модулятора и демодулятора оптимальных многопозиционных сигналов.

4. Провести имитационное моделирование работы цифровых модуляторов и демодуляторов новых оптимальных многопозиционных сигналов.

5. Провести экспериментальные исследования передачи и приема оптимальных многопозиционных сигналов с использованием SDR платформ NI USRP.

Методы исследований. При решении поставленных задач использовался аппарат статистической теории радиосистем, теории сигналов, функционального анализа, теории вероятности и математической статистики, теории построения цифровых устройств. Имитационное моделирование выполнено с использованием пакета Matlab. Экспериментальные исследования выполнены на SDR платформах NI USRP.

Научная новизна результатов диссертационной работы:

1. Сформулированы условия решения оптимизационной задачи синтеза многопозиционных сигналов как по критерию максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений.

2. Определены новые формы амплитудных импульсов, оптимальных по критерию минимизации внеполосных излучений, и новые формы амплитудных импульсов, оптимальных по критерию максимума концентрации мощности в заданной полосе частот, при наличии ограничивающих условий на помехоустойчивость приема в случае многопозиционной модуляции.

3. Определен диапазон скоростей кодирования, при которых сохраняется энергетический выигрыш, обеспечиваемый системами передачи

на основе предложенных оптимальных импульсов по сравнению с системами, где используются сигнальные конструкции на основе RRC импульсов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Сигналы на основе оптимальных импульсов, синтезированных по критерию минимизации внеполосных излучений с параметром п=2, обеспечивают выигрыш до 4,9 раз по спектральной эффективности, определенной по уровню энергетического спектра -40 дБ и ниже, по сравнению с сигналами на основе оптимальных импульсов, синтезированных по критерию минимизации полосы частот, содержащей 99% энергии. При этом разница в полосе, содержащей 99% энергии сигнала, не превышает 10%.

2. Предложенные оптимальные многопозиционные сигналы обеспечивают значение спектральной эффективности 3,7 (бит/с)/Гц и 5 (бит/с)/Гц при определении полосы занимаемых частот по уровню энергетического спектра -60 дБ для схем модуляции 256-APSK и 1024^АМ. В сравнении с RRC сигналами с коэффициентом скругления 0,35 выигрыш по спектральной эффективности составляет 68% и 86% соответственно при сопоставимом пик-факторе колебаний.

3. При приеме оптимальных многопозиционных сигналов энергетические затраты по уровню вероятности битовой ошибки 10-3 составляют 25,3 дБ для схемы модуляции 256-APSK и 24,3 дБ для схемы модуляции 1024^АМ. Энергетический выигрыш относительно RRC сигналов с коэффициентом скругления 0,35 составляет 4,8 дБ и 3,9 дБ соответственно.

4. Энергетические потери, обусловленные работой реальных приемопередающих устройств и систем обнаружения и синхронизации, не превышают 0,5 дБ.

Практическая ценность новых научных результатов

1. Показана возможность практической реализации предложенных цифровых модуляторов и демодуляторов оптимальных многопозиционных сигналов.

2. Системы передачи на основе предложенных оптимальных многопозиционных сигналов обеспечивают повышение значения спектральной эффективности до 86% и энергетической эффективности на 3,9 дБ без увеличения сложности алгоритмов обработки по сравнению с известными сигнальными конструкциями на основе RRC импульсов.

Реализация результатов диссертации. Результаты работы реализованы в рамках стипендии Президента РФ молодым ученым и аспирантам СП-1577.2021.3 «Повышение скорости передачи информации путем применения оптимальных многопозиционных спектрально-эффективных сигналов для перспективных широкополосных сетей 5-6G», гранта РНФ №21-71-10007 «Цифровой синтез оптимальных сигналов на основе собственных функций ограниченных по полосе ядер для повышения пропускной способности каналов передачи данных к границам Шеннона», гранта РНФ №24-29-00522 «Построение энергоэффективных сигнальных конструкций для применения в рамках концепции Индустрии 4.0». Материалы диссертационного исследования используются в курсе «Спектрально-эффективные сигналы» по направлениям подготовки 11.04.01 «Радиотехника» и 11.04.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи». Результаты исследования, а именно:

1) Формы оптимальных одночастотных многопозиционных сигналов с амплитудно-фазовой модуляцией, полученные при использовании ограничения на скорость спада внеполосных излучений;

2) Структуры модуляторов и демодуляторов цифровых сигналов для космического сегмента цифрового телевидения стандарта DVB-S2 на элементной базе SDR платформы;

были учтены в процессе выполнения работ по разработке перспективных телевизионных передатчиков «Нева». Имеется акт о внедрении результатов исследования, полученный от компании АО «МАРТ».

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение спектральной и энергетической эффективности системы передачи информации путем применения оптимальных многопозиционных сигналов с амплитудно-фазовой модуляцией»

Апробация работы

Основные положения работы обсуждены на международных и всероссийских научно-технических конференциях:

• 10th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 5-9 Nov. 2018, Moscow, Russia;

• 2019 IEEE International Conference on Electrical Engineering and Photonics (EExPolytech), 17-18 Oct. 2019, St. Petersburg, Russia;

• 11th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 28-30 Oct. 2019, Dublin, Ireland;

• 75-я Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная Дню радио СПбРНТОРЭС, Санкт-Петербург, 20-24 апреля 2020 г.;

• 20th International Conference on Next Generation Teletraffic and Wired/Wireless Advanced Networks and Systems (NEW2AN), St. Petersburg, Russia, August 26-28, 2020;

• 76-я Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная Дню радио СПбРНТОРЭС, Санкт-Петербург, 26-30 апреля 2021 г.;

• International Youth Conference on Electronics, Telecommunications, and Information Technologies (YETI), 22-23 Apr. 2021, St. Petersburg, Russia;

• Всероссийская конференция «Неделя Науки ИЭиТ», 15-19 ноября 2021 г., Санкт-Петербург, Россия;

• 2022 24th International Conference on Digital Signal Processing and its Applications (DSPA), 30 Mar. - 01 Apr. 2022, Moscow, Russia.

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертационного исследования опубликовано 25 работ, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 5 статей в изданиях, входящих в базы данных Scopus и Web of Science; 6 статей в сборниках трудов

конференций; 9 свидетельств о регистрации программы для ЭВМ. Личный вклад состоит в постановке оптимизационной задачи синтеза многопозиционных сигналов как по критерию максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений при дополнительных ограничениях на помехоустойчивость приема в случае многопозиционной модуляции. Кроме того, личный вклад заключается в определении форм амплитудных импульсов в результате решения поставленной оптимизационной задачи, разработке структуры цифрового модулятора и демодулятора предлагаемых оптимальных многопозиционных сигналов. Также личный вклад заключается в оценке спектральных и энергетических характеристик новых форм оптимальных сигналов с помощью имитационного моделирования и экспериментальных исследований.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертационной работы вместе с приложениями составляет 162 страницы, в том числе 149 страниц основного текста, 80 рисунков, 26 таблиц, список используемой литературы из 61 наименования.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и задачи исследования, описана научная новизна и положения, выносимые на защиту, показаны теоретическая и практическая значимость.

В первой главе приведен аналитический обзор работ, посвященных методу повышения спектральной и энергетической эффективности систем передачи информации, состоящему в оптимизации формы амплитудного импульса. Выполнено сравнение различных критериев оптимизации и ограничений оптимизационной задачи. Сформулирована цель и задачи исследования.

Во второй главе рассмотрено аналитическое решение задачи оптимизации по критерию минимума внеполосных излучений и максимума концентрации энергии в заданной полосе частот для сигналов без межсимвольной интерференции. Выполнен анализ алгоритмов демодуляции сигналов с межсимвольной интерференцией для выбора ограничения оптимизационной задачи, обеспечивающего требуемую помехоустойчивость приема.

Третья глава посвящена численному решению оптимизационной задачи как по критерию минимума внеполосных излучений, так и по критерию максимума концентрации энергии в заданной полосе частот, а также разработке ограничения на помехоустойчивость приема для случая многопозиционной модуляции при использовании простого поэлементного алгоритма приема и разработке методики, обеспечивающей наиболее эффективный поиск решения.

В четвертой главе представлены результаты численного решения оптимизационной задачи по критерию минимизации внеполосных излучений и по критерию минимизации полосы частот, содержащей заданную концентрацию энергии сигнала.

В пятой главе рассмотрено имитационное моделирование системы передачи информации на основе синтезированных оптимальных многопозиционных сигналов с использованием простого поэлементного алгоритма приема. Выполнено сравнение спектральной и энергетической эффективности оптимальных многопозиционных сигналов и сигналов на основе RRC импульсов на плоскости Шеннона.

В шестой главе рассмотрена постановка эксперимента по передаче информации на основе оптимальных многопозиционных сигналов с использованием SDR платформы для верификации их характеристик.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, представляющие теоретический и практический интерес.

В приложении А приведено аналитическое решение оптимизационной задачи по критерию минимизации внеполосных излучений для случая п=1, 2, 3 в условиях, когда межсимвольная интерференция отсутствует.

В приложении Б приведены коэффициенты разложения амплитудных импульсов, оптимальных по критерию минимума внеполосных излучений (п=2) и по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% концентрации энергии, при значениях коэффициента корреляции К0=0,1 и 0,01 для различных размеров сигнального созвездия М

ГЛАВА 1. МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ПУТЕМ ОПТИМИЗАЦИИ АМПЛИТУДНОГО

ИМПУЛЬСА

Одним из наиболее перспективных подходов к повышению спектральной и энергетической эффективности систем передачи информации в каналах с постоянными параметрами является применение оптимальных сигналов, полученных как решение оптимизационной задачи. В данной главе предлагается выполнить анализ различных оптимизационных задач для одночастотных сигналов с линейной модуляцией.

1.1. Сигналы с линейной модуляцией

Комплексная огибающая сигнала s(t) с линейной модуляцией, состоящего из N модуляционных символов и передаваемого с символьной скоростью 1/Т, может быть представлена в следующем виде [24, 32, 49]:

N-1

s(t) = YJC{^)a(t - кТ - Та/2), (1.1)

к=0

(к) , „ „ л * ,

где су - к-ый модуляционный символ, г = 1...М - порядковый номер модуляционного символа в канальном алфавите с основанием М; а({) -амплитудный импульс длительностью Та = ЬТ (ЬеК), определенный на

интервале tе[-Ta/2, Та/2]. Случайные символы сГк) независимы и при амплитудной модуляции (РАМ) определяются по формуле [32, 49]:

сГк)= М - 2г +1, г = 1...М. (1.2)

При равномерном распределении модуляционных символов спектр сигнала 8(1) будет определяться лишь спектром импульса а(^ [49]. Далее будем обозначать к-ый модуляционный символ как ск, опуская индекс г.

При длительности импульса Та, равной длительности символьного интервала Т, межсимвольная интерференция в сигнале отсутствует. Для уменьшения полосы занимаемых частот и, соответственно, повышения

спектральной эффективности длительность импульса Ta может быть установлена больше длительности символьного интервала T. Однако и в этом случае межсимвольная интерференция может не приводить к ухудшению помехоустойчивости приема.

Импульс a(t) удовлетворяет критерию Найквиста о нулевой межсимвольной интерференции в отсчетные моменты времени, если для него справедливо следующее [24]:

/ ч il, k = 0,

a «kT Но, k * 0.

Примером таких импульсов являются импульсы вида sin(nt/T)/(nt/T), te(-œ,œ), а также импульсы вида «приподнятый косинус» (raised cosine, RC):

«ч sin(nt / T) cos(Ряt / T)

'« ' nt / T 1 - 4B2t2 / T2

au, 9 9 9

/ T 1 - 4p1t1/rrl

Здесь в - коэффициент скругления, который определяет, насколько ширина полосы частот, занимаемой спектром RC импульса, превышает значение 1/(2 T), соответствующее ширине полосы частот, занимаемой спектром импульса sin(nt/T)/(nt/T) [24, 48].

В большинстве систем связи вместо RC импульсов применяются импульсы вида «корень из приподнятого косинуса» (root raised cosine, RRC), которые не удовлетворяют критерию Найквиста [48]. Сигналы на основе RRC импульсов являются сигналами с полным откликом (Ea - энергия импульса a(t)):

г / ч / ч iEa, k = 0,

Ja(t) a(t - kT)dt = ]oa k ^ о (L3)

-г

Иначе говоря, для сигналов с полным откликом амплитудные импульсы на соседних символьных интервалах обладают свойством ортогональности, что приводит к устранению межсимвольной интерференции на выходе согласованного фильтра в моменты времени, кратные T. Если же для импульса a(t) условие (1.3) не выполняется, то сигналы на основе таких импульсов называются сигналами с частичным откликом [12, 13].

Несмотря на устранение межсимвольной интерференции в отсчетные моменты времени, RRC импульсы не являются оптимальными по какому-либо спектрально-эффективному критерию. А значит, в результате решения оптимизационной задачи по некоторому спектрально-эффективному критерию могут быть синтезированы импульсы, которые будут обладать более высокой спектральной эффективностью, чем известные RRC импульсы.

1.2. Анализ известных задач оптимизации формы амплитудного импульса по спектрально-эффективным критериям

В связи с неоднозначностью определения ширины полосы занимаемых частот выделяют разные спектрально-эффективные критерии оптимизации. В работах J.H.H. Chalk, Гуревича М.С. приведено аналитическое решение оптимизационной задачи по критерию максимума концентрации энергии сигнала в заданной полосе частот [8, 9]. Полученные формы импульсов имеют разрывы на краях, что приводит к низкой скорости спада уровня внеполосных излучений энергетического спектра. Тем не менее, энергия сигнала, приходящаяся на внеполосные излучения, не превышает 1%, что удовлетворяет рекомендациям МККР и позволяет применять данный подход при построении систем передачи информации даже с учетом требований электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств.

Гуревич М.С. также показал, что импульсы вида cosn(nt/T), nEN, tE[-T/2, T/2] обеспечивают скорость спада внеполосных излучений энергетического спектра не менее 1/ю2(п+1)- Однако с увеличением n полоса занимаемых частот, определенная по критерию концентрации 99% мощности, катастрофически расширяется [9]. Л.А. Школьным была поставлена и решена задача минимизации внеполосных излучений с учетом «средней вредности излучения». Здесь под вредностью излучения понимаются значения весовых коэффициентов, которые ставятся в соответствие значению внеполосных излучений в зависимости от расстояния до нулевой частоты. Это позволило несколько уменьшить полосу занимаемых частот, содержащую 99% мощности

сигнала, при обеспечении заданной скорости спада внеполосных излучений [10, 38]. Критерий минимизации внеполосных излучений позволяет синтезировать формы оптимальных импульсов не только для одночастотных, но и для многочастотных сигналов [33-36], что делает его особенно привлекательным.

Аналитические решения оптимизационных задач, рассмотренных выше, были найдены для сигналов без межсимвольной интерференции. Для дополнительного повышения спектральной эффективности следует перейти к сигналам с частичным откликом [12, 13], то есть сигналам с контролируемой межсимвольной интерференцией [11]. Введение дополнительного ограничения на уровень межсимвольной интерференции потребует применения численных методов решения оптимизационной задачи.

Для ограничения формы спектра в целом в работах [19-22] был предложен критерий минимума отклонения спектральной плотности мощности импульса от спектральной маски. В работах [25, 26] спектральная маска из стандартов 802.1^, DVB-S2 учитывалась в ограничении оптимизационной задачи, а сама оптимизация выполнялась по энергоэффективному критерию максимума свободного евклидова расстояния, выступающего в качестве меры межсимвольной интерференции. Учет в процедуре оптимизации спектральной маски конкретных стандартов ограничивает возможности применения полученных оптимальных форм импульсов в других системах связи. Также отметим, что в условиях дефицита частотного ресурса более важной может оказаться не задача повышения энергетической эффективности при удовлетворении требований к спектральной маске, а задача минимизации полосы частот при удовлетворении требований к энергетической эффективности.

Оптимизация по критерию максимума свободного евклидова расстояния при фиксированной глубине МСИ и фиксированной полосе частот, содержащей заданную концентрацию энергии и обеспечивающей превышение барьера Найквиста, была выполнена в работе [23]. Для решения поставленной

оптимизационной задачи методами линейного программирования было предложено выполнить оптимизацию автокорреляционной функции (АКФ) импульса, на основе которой уже может быть восстановлен сам импульс.

Несмотря на сравнительную простоту решения такой задачи, данный подход имеет ряд недостатков. Во-первых, существует неоднозначность в определении импульса по отсчетам автокорреляционной функции. Во-вторых, при использовании АКФ в качестве оптимизируемой функции также не представляется возможным ввести некоторые дополнительные ограничения, например на пик-фактор колебаний. В-третьих, критерий максимума свободного евклидова расстояния подразумевает применение алгоритма демодуляции по решетке, например алгоритма Витерби или М-алгоритма. Вычислительная сложность М-алгоритма соответствует сложности алгоритма Витерби с числом состояний 4-20 для сигнальных созвездий 2-РАМ, 4-РАМ, 4^АМ [44]. Тем не менее, с увеличением размера сигнального созвездия и глубины межсимвольной интерференции для достижения наилучшей помехоустойчивости потребуется увеличивать количество сохраняемых путей, что приводит к проблеме практической реализации алгоритма.

В работах [27, 28] был рассмотрен другой подход к ограничению уровня МСИ на основе максимального коэффициента групповой корреляции, который определяет суммарное влияние всех соседних импульсов на текущий. В работах [29-31] было предложено определить уровень МСИ как максимальное значение коэффициента корреляции между импульсами на соседних символьных интервалах. Показано, что при максимальном значении коэффициента корреляции не более 0,01 простой поэлементный алгоритм приема для сигналов с двоичной фазовой модуляцией позволяет обеспечить помехоустойчивость приема, близкую к помехоустойчивости приема сигналов без МСИ.

К недостаткам данных исследований можно отнести тот факт, что в ограничении на корреляционные свойства не был учтен размер сигнального созвездия. Поэтому полученные в работах [27-31] формы оптимальных

импульсов не гарантируют высокую помехоустойчивость приема при многопозиционной модуляции, которая используется во всех современных системах связи. Таким образом, возникает задача синтеза оптимальных форм импульсов для случая многопозиционной модуляции.

Целью работы является повышение спектральной и энергетической эффективности одночастотной системы передачи сообщений за счет применения оптимальных многопозиционных сигналов на основе амплитудных импульсов, полученных в результате решения оптимизационной задачи как по критерию максимума концентрации энергии в полосе частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений.

Для достижения данной цели в работе поставлены следующие задачи:

1. Сформулировать условия решения оптимизационной задачи синтеза многопозиционных сигналов как по критерию максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот, так и по критерию минимума внеполосных излучений.

2. Определить формы амплитудных импульсов в результате решения оптимизационной задачи как по критерию минимума внеполосных излучений, так и по критерию максимума концентрации энергии в заданной полосе частот при наличии ограничивающих условий на помехоустойчивость приема при многопозиционной модуляции.

3. Разработать структуру цифрового модулятора и демодулятора оптимальных многопозиционных сигналов.

4. Провести имитационное моделирование работы цифровых модуляторов и демодуляторов новых оптимальных многопозиционных сигналов.

5. Провести экспериментальные исследования передачи и приема оптимальных многопозиционных сигналов с использованием SDR платформ NI USRP.

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПО СПЕКТРАЛЬНО-ЭФФЕКТИВНЫМ КРИТЕРИЯМ

В данной главе предлагается рассмотреть аналитическое решение оптимизационной задачи минимизации внеполосных излучений и максимизации концентрации энергии в заданной полосе частот. Также будет выполнен анализ алгоритмов демодуляции сигналов с межсимвольной интерференцией для выбора ограничения оптимизационной задачи, обеспечивающего требуемую помехоустойчивость приема.

2.1. Критерий минимума внеполосных излучений

Задача оптимизации по критерию минимума уровня внеполосных излучений выглядит следующим образом:

1 Х 2 а^гпт J, J = — | g(а)|£а (а)| йа, (2.1)

Т/2

(а)= | а(?)ехр(__/а)й,

где J - оптимизационный функционал; g(®) - функция, определяющая уровень излучений, которая приписывает определённый вес той или иной части спектра [10, 32, 37], а Sa(®) - преобразование Фурье от функции a(t).

Очевидно, что уровень излучений должен быть как можно меньше в необходимой полосе частот и как можно больше за её пределами. Наиболее удобно использовать в качестве функции g(®) параболу чётной степени g(®) = ю2и, где n = 1, 2, 3... - параметр, определяющий степень подавления внеполосных излучений [10, 32]. При таком выборе функции g(®) сходимость интеграла в (2.1) будет определяться скоростью спада энергетического спектра (квадрат модуля преобразования Фурье от a(t)). Очевидно, что если скорость спада спектра в области внеполосных излучений выше, чем рост функции g(®) за пределами необходимой полосы частот, то интеграл в (2.1) будет сходиться. Это условие можно вывести в ограничения

-T /2

a

оптимизационного функционала. Покажем аналитическую запись таких граничных условий [49].

Преобразуем (2.1) к форме, удобной для интегрирования. Представим квадрат модуля (2.1) в виде двойного интеграла [38, 39, 49]:

1 Та/2 Та/2

J = — | | | g(о>)а^)а(^)ехр (- s)) dtdsdю.

/2 -Т„ /2

Поменяем порядок интегрирования и введём новое обозначение [38, 39,

49]:

а а

J = | | а^)а(я)0^,s)dtds, (2.2)

-Та/2-Та/2 1 ^

0(1,я) = — | g(®)ехр(? - я)). (2.3)

-да

Отметим, что 5-функция может быть представлена как обратное преобразование Фурье от её спектральной плотности, равной единице во всем диапазоне частот [38, 39, 49]:

1 да

8(1) = — } ехр () с<ю . 2п -

-да

Тогда для 2п-ой производной 5-функции справедливо:

1 да 82й){I) = —(-1)" }а2" ехр()

-да

2ж

С учётом этого выражения и g(ю) = ю2" преобразуем О^, я) к виду [49]:

О (и я ) = (-1)" 82и)( г - я). Воспользуемся фильтрующим свойством 5-функции

да

} /(X)8">(X - у)<Х = (-1)"/(">(X)

-да

и приведём (2.2) к следующей форме [40]:

х=у

Та/2

J = (-1)" } а (я)

Та/2

} а^)8(2и) (t - я^

Та /2

а

<8 = (-1)" } а(х)а(2")(t^. (2.4)

Та/2

-Та/2

Та/2

Задача оптимизации формы амплитудного импульса заключается в определении функции a(t), обеспечивающей минимум интеграла в этом выражении. Для получения единственного решения из бесконечного множества решений следует выполнить нормировку [32, 40]:

T /2

a

J a2(t)dt = 1. (2.5)

С учетом ограничения (2.5) рассматриваемая оптимизационная задача представляет собой типичную вариационную изопериметрическую задачу [40]. Для решения изопериметрической задачи используется метод множителей Лагранжа. Определим функцию Лагранжа [37, 40]:

" Та/2 "

Н = J + Л | а2 (г) йг _ 1

__Та/2 _

Уравнение Эйлера [40, 41]:

(2.6)

дИ d2n ( дИ 0

12п

да йГ^ЧдЬ* 2п).

С учетом (2.4) и (2.6) получаем линейное однородное дифференциальное уравнение 2п-го порядка [10, 40]:

(_1)па( 2п)( г )_Ла (г ) = 0, (2.7)

где X - собственное значение дифференциального уравнения, определяемое из граничных условий. В качестве граничных условий предлагается выбрать условия теоремы Мезона [42]:

,(к)(г) = 0, к = 0...( п _ 1). (2.8)

a

Согласно теореме Мезона, если a(t) со всеми своими производными до (n-1) порядка не имеют скачков, а a(n)(t) всюду конечна, то энергетический спектр a(t) будет убывать со скоростью не менее B/®2(n+1) (B - константа) [9, 32]. Предположение об отсутствии скачков функции a(t) учитывает также то, что на концах интервала функция принимает нулевые значения [9].

Выбор граничных условий (2.8) обеспечивает как скорость спада энергетического спектра a(t) не медленнее чем В/ю2(и+1), так и сходимость интеграла (2.1) [40].

Оптимизационная задача минимизации (2.4) с учетом вышеперечисленных ограничений может быть решена аналитически для некоторых параметров Ta и n (Приложение А). Так, для n=1, 2, 3 и Ta=T на интервале t£[-T/2, T/2] имеем [10]:

r(t)| _1 = cos(nt / T),

a (

a

(t) = cosh

V / n=2

a

(t )| n=3 = C

cos

v T

+ C2 cos

v T у

v 2T у cosh

+ C cos

2T

(2.9)

V J

' V5tN

M

v T у

+ sin

v T у

sinh

' л/3ГЛ

M

T у

где C=7,5, C1 = sinh

M

v 2 у

C2=V3. Отметим, что для удовлетворения

требованию Еа=1 полученные выражения для а(?) должны быть нормированы соответствующим образом.

Ниже приведены выражения для нормированных энергетических спектров С^ю), С2(ю), С3(ю) сигналов на основе оптимальных импульсов с п=1, п=2, п=3 соответственно [10]:

G, (p) = 'cos2 (wT 7 2),G, (p) =

m tV 1

1 -

g)T v m у

(3n / 4)3 [p sin (wT / 2) + ^cos (wT / 2)

(3n / 4) -(wT/2)

G3 (p) =

M -

P 2Л

v 2 у

cos

v 2 у

PT . (юТл + V 3m—sin

V3

2

2

V ^ /

M

2

V ^ У

2

4

2

Полоса частот, содержащая 99% мощности сигнала, составляет 4/Т, 4,5/Т и 5,2/Т для п=1, 2, 3 соответственно [10].

При увеличении параметра п порядок дифференциального уравнения Эйлера также возрастает. Введение дополнительных ограничений приводит к овражному характеру оптимизационного функционала. В этом случае получить аналитическое решение становится крайне сложно или даже невозможно [40].

2.2. Критерий максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот

Пусть заданы длительность импульса Та=Т и полоса частот -Юз<ю<®з, где юз=яДРз. Положим, что максимальное значение функции а(?) равно 1. Определим форму импульса а(?), при которой частичная энергия спектра в указанной полосе Ж(®з)

1 + М

W М ) = Л Sa М) S* М) dm

a \ Ja

-м

составляет максимальную долю полной энергии сигнала Еа:

1 +Т/2

Еа = — |5(®)5*И¿® = | а2(г)Л.

-да -Т/2

Произведение в подынтегральном выражении:

+Т/2 +Т/2

5а(®)5*(®)= | | а(?)а(я)ехр|- уйМу .

Рассматриваемая вариационная задача состоит в поиске функции a(t), которая обеспечивает максимизацию функционала W(®3) при заданных юз, Т и при условии Ea=1 [9]:

/ ч / ч 1 +Y2 / \ sin М (t - s)}

argmaxW(мз), W(мз) = — J J a(t)a(s)-1( 3V ) n dtds. (2.10)

a(t) Л-Т/2 -T/2 (t - s )

Вариационная задача (2.10) в силу симметричности и положительной

K(t ) 1 sin(м (t - s)) б т

определенности ядра K (t, s) =----- при любых конечных мз и T

л t - s

имеет решение, которое представляет собой первую фундаментальную функцию (с наименьшим положительным числом ц) интегрального уравнения

Фредгольма:

, Tf 1 sin(м (t - s)) , ч , a (t ) = ^J--—-- a (s) ds. (2.11)

-T/2 Л t - s

Интегральное уравнение (2.11) может быть решено путем приведения его к краевой задаче дифференциального уравнения. Преобразуем интегральное уравнение, введя новые переменные (AF - полная ширина полосы в герцах):

sin (k (Я-v)) Я-v

a (Я) = ^'|—^-" a (v) dv, (2.12)

7 созТ л№3Т 2к

к = =-— ^А^З = —, (2.13)

2 2 3 лТ

Я = / Т, у = 2у / Т,

' г ^ = —ц.

2

Каждое решение интегрального уравнения (2.12) является ограниченным решением однородного линейного дифференциального уравнения типа Лиувилля:

ла (я)

^ (я)=¿

(я2 -1)-

+ (kЯ) a(Я) = Ca(Я). (2.14)

ля

Такой подход, связанный с переходом от (2.12) к (2.14), позволяет использовать табулированные коэффициенты Лп. Каждое ограниченное решение а(к,Х) дифференциального уравнения (2.14), соответствующее наименьшему собственному значению С0 константы разделения С, является решением интегрального уравнения (2.12). Функция а(к,Х) может быть представлена при |Х|<1 в виде ряда:

а(к,Я) = X Л(к)Р(Я), (2.15)

п=2п' п '=0,1,2...

где параметр к может принимать любое положительное значение, коэффициенты <яЦк) табулированы для к<5 (Таблица 2.1), а функции /ЦХ)

являются полиномами Лежандра соответствующих степеней «=0,1,2,3... При этом концентрация энергии BEC в полосе частот AF3 будет определяться по формуле

/ х ( k i

BEC (AF3 ) =-(2.16)

ж

Значения функции a(k, X), рассчитанные по формуле (2.15), приведены в Таблице 2.2 [9].

Таблица 2.1 - Коэффициенты ^ для расчета формы сигнала а(^Л), содержащего максимальную долю энергии в заданной полосе частот [9]

k 0 1 2 3 3,6 4 5

BEC(k),% 0 57,26 88,05 97,58 99,15 99,59 99,94

Co(k) 1 0,319 1,12773 2,13673 2,75899 3,17207 4,19514

do(k) 0 0,94837 0,83162 0,7148 0,65775 0,62537 0,56032

d2(k) 0 -0,10195 -0,32059 -0,51422 -0,59419 -0,63356 -0,69561

d4(k) 0 0,0017316 0,021062 0,071137 0,11201 0,14138 0,21548

de(k) 0 -0,000012439 -0,00059551 -0,0043773 -0,0096427 -0,014689 -0,032721

dg(k) 0 0,000000049 0,000009388 0,0001522 0,0004744 0,00087978 0,0029359

dio(k) 0 0 -0,000000094 -0,000003398 -0,000015071 -0,000034182 -0,00017318

di2(k) 0 0 0 0,000000053 0,000000334 0,00000093 0,000007208

di4(k) 0 0 0 0 -0,000000005 -0,00000019 -0,00000223

Таблица 2.2 - Значения функции a(k,X) [9]

X k=1 k=2 k=3 k=3,6 k=4 k=5

0 1 1 1 1 1 1

0,1 0,998 0,994 0,989 0,986 0,984 0,979

0,2 0,994 0,978 0,958 0,946 0,938 0,919

0,25 0,990 0,965 0,935 0,916 0,905 0,876

0,3 0,986 0,95 0,907 0,881 0,865 0,825

0,4 0,975 0,912 0,839 0,797 0,770 0,706

0,5 0,961 0,865 0,757 0,696 0,659 0,574

0,6 0,944 0,810 0,664 0,587 0,540 0,440

0,7 0,924 0,748 0,565 0,473 0,420 0,313

0,75 0,913 0,714 0,514 0,417 0,362 0,255

0,8 0,901 0,679 0,463 0,362 0,307 0,203

0,9 0,876 0,607 0,363 0,258 0,205 0,114

0,95 0,862 0,569 0,314 0,211 0,160 0,079

1 0,848 0,532 0,267 0,166 0,119 0,050

В формуле (2.15) параметр £=шзТ/2 может принимать любое положительное значение. Показано, что при £=3,6 доля энергии в заданной полосе юз достигает 99,15% [9]. При имеем более упрощенный вид

записи формы оптимального импульса на интервале ге[-Т/2,Т/2]:

а(£,Х)« ехр{-£Х2/2}^ а(£,г)« ехр{-2£г2 / Т2}. (2.17)

Численный расчет показывает, что а(г) на интервале -Т/2<г<Т/2 достаточно хорошо представляется асимптотической формулой (2.17) при £>5, что соответствует полосе частот, содержащей не менее 99,94% полной энергии спектра (Таблица 2.1) [9].

На Рисунке 2.1 представлены формы оптимальных импульсов а(£, г) длительности Та=Т, содержащих максимальную долю энергии в заданной полосе частот при разных £. Сплошные линии соответствуют импульсам, рассчитанным по формуле (2.15) (Таблица 2.2), в то время как штрихпунктирные линии соответствуют асимптотической формуле (2.17). Видно, что при значении £=20 форма оптимального импульса приближается к усеченному гауссовскому виду. При малых значениях £=1...4 оптимальный импульс имеет скачки на границах интервала существования, в связи с чем сигналы на основе таких импульсов не смогут обеспечить скорость спада внеполосных излучений энергетического спектра выше, чем у прямоугольных сигналов (1/ю2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Орлова Анна Сергеевна, 2025 год

// \\

1< -аналит. решение ( п 1} \\

- -«1-3 "ш 21

-0.5 -0.25

0.25 0.5

а) б)Т

Рисунок 4.1 - Сравнение результатов аналитического и численного решения

оптимизационной задачи при и=1

2 1.5 1

0.5 0

-аналит. решение (п=2)

- -т=2 ят=3

0

-20

г-Г -40 о

-60

W

«

-100 -120

\ -аналит. решение (n =2)

\ 3

10

-0.25 0 0.25 0.5 0 2 4 6 $

//Г /, ИТ

а) б)

Рисунок 4.2 - Сравнение результатов аналитического и численного решения

оптимизационной задачи при п=2

аналит. решение (п=Ъ) т=3

а) 6)

Рисунок 4.3 - Сравнение результатов аналитического и численного решения

оптимизационной задачи при п=3

Рассмотрим, как ограничение на скорость спада внеполосных излучений влияет на результат решения оптимизационной задачи. Согласно закону сохранения энергии, увеличение скорости спада внеполосных излучений должно привести к расширению основного лепестка спектра. При этом также расширится полоса частот АР99<%, содержащая 99% энергии сигнала. Этот эффект показан на Рисунке 4.4, б), где изображены энергетические спектры сигналов с оптимальными амплитудными импульсами, приведенными на Рисунке 4.4, а). Форма оптимальных импульсов с увеличением скорости спада внеполосных излучений становится более узкой и вытянутой, амплитуда импульса возрастает [38].

1 -

0^ -0.5

0

г/Т

а)

0.5

2

^ А ^ 0

-20

ьо

4 ^

п

§-60 0 1

/ 1/Т

6 7 2

б)

п

Рисунок 4.4 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=Т при п=2, 4, 6 (а) и соответствующие им энергетические спектры (б)

2

6

6

Значения двусторонней полосы занимаемых частот, определенной по критерию концентрации 99% мощности сигнала (АР99%), а также по уровню энергетического спектра -30 дБ (АР-30 дБ), -40 дБ (АF_4o дБ) и -60 дБ (АР-60 дБ), сведены в Таблицу 4.1. Начиная с п=4, боковые лепестки оказываются ниже уровня энергетического спектра -30 дБ, и влияние параметра п на полосу АF-30 дБ оказывается таким же, как и на основной лепесток [38].

Таблица 4.1 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности

сигнала (Та=Т, п=2, 4, 6) [38]

п=2 п=4 п=6

АF99%, 1/Т 2,7 3,5 4,2

АF-зo дБ, 1/Т 4,9 4,8 5,8

АF_40 дБ, 1/Т 7,1 6,4 6,3

АF-60 дБ, 1/Т 15,2 9,2 8,8

4.1.2. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при двоичной амплитудной модуляции

Зафиксируем п=2 и увеличим длительность амплитудного импульса Та>Т, введя ограничение на коэффициент корреляции К0=0,1 для двоичного алфавита. На Рисунке 4.5 приведены оптимальные формы импульсов и соответствующие им энергетические спектры для Та=4Т, 8Т, 12Т, 16Т. Благодаря увеличению длительности огибающей сигнала основной лепесток энергетического спектра сужается, и полоса занимаемых частот уменьшается (Таблица 4.2). Очевидно, что в какой-то момент ширина основного лепестка достигнет своего предельного значения, и увеличение длительности импульса перестанет оказывать воздействие на полосу занимаемых частот. Так, при переходе от Та=4Т к Та=8Т полоса АF99% уменьшилась на 12%, в то время как переход от Та=12Т к Та=16Т позволил уменьшить полосу АР99% лишь на 2% [38].

Рисунок 4.5 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та>Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,1 для двоичного алфавита, и соответствующие им энергетические спектры (б)

Таблица 4.2 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности

сигнала (Та>Т, п=2, Ко=0,1, М=2) [38]

Та=4Т Та=8Т Та=12Т Та=16Т

Д^99%, 1/Т 1,12 1,00 0,93 0,90

АР-30 дБ, 1/Т 1,80 1,40 1,07 1,09

ДР-40 дБ, 1/Т 2,40 1,70 1,09 1,31

АР-60 дБ, 1/Т 4,90 2,90 2,43 2,20

Рассмотрим результат решения оптимизационной задачи при Та=8Т, п=2. Ужесточение ограничения на помехоустойчивость приема (переход от К0=0,1 к К0=0,01) приводит к сжатию импульса по оси времени: пик импульса становится более узким, его амплитуда увеличивается, а амплитуда биполярных осцилляций, напротив, становится меньше (Рисунок 4.6, а) [38]. Это связано с тем, что с ужесточением ограничения на помехоустойчивость приема большее влияние на форму оптимального импульса начинают оказывать высокочастотные коэффициенты разложения: при одинаковом т абсолютное значение высокочастотных коэффициентов разложения возрастает (Приложение Б). Основной лепесток энергетического спектра расширяется, как и полоса занимаемых частот АР-30 дБ, АР_40 дб и АР99% (Рисунок 4.6, б). Полоса занимаемых частот АР-60 дБ уменьшилась, что может свидетельствовать о повышении скорости спада излучений вблизи центральной частоты [38].

1.5 1

0.5 0

Ч А \ /

'У

о

§

Со

\ 1 гС 01 ■

Г IV

пттт 1 4 ! М 1 '

ИТ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

а)

б)

Рисунок 4.6 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,1 и К0=0,01 для двоичного алфавита, и соответствующие им энергетические

спектры (б)

Аналогичные изменения наблюдаются и для других значений длительности импульса (Рисунок 4.7).

а) б)

Рисунок 4.7 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та>Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,01 для двоичного алфавита, и соответствующие им энергетические спектры (б)

Значения полосы занимаемых частот при ограничении на коэффициент корреляции К0=0,01 для двоичного алфавита сведены в Таблицу 4.3. Расширение полосы ДР-60 дБ при переходе от Та=12Т к Та=16Т вопреки наблюдаемой тенденции сужения Д^60 дБ с увеличением длительности импульса может быть связано с тем, что представленные решения являются локальными минимумами оптимизационного функционала. Поскольку оптимизационный функционал имеет множество локальных экстремумов, поиск среди них глобального экстремума представляет собой еще более сложную задачу [38].

Таблица 4.3 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности

сигнала (Та>Т, п=2, К)=0,01, М=2) [38]

Та=4Т Та=8Т Та=12Т Та=16Т

Д^99%, 1/Т 1,32 1,10 1,05 1,02

ДР-30 дБ, 1/Т 2,10 1,54 1,40 1,25

ДР-40 дБ, 1/Т 3,20 2,06 1,45 1,53

ДР-60 дБ, 1/Т 4,40 3,20 1,62 1,71

4.1.3. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудной модуляции

Перейдем к анализу ограничения на помехоустойчивость приема при амплитудной модуляции с размером канального алфавита от Ы=4 до М=32. Результаты решения оптимизационной задачи при Та=8Т, п=2, К0=0,1 и К0=0,01 приведены на Рисунке 4.8 и Рисунке 4.9, соответственно. Логично, что эффект от увеличения объема канального алфавита оказывается равносилен эффекту от ужесточения ограничения на помехоустойчивость приема: амплитуда биполярных осцилляций уменьшается, пик импульса становится больше [32, 38].

а) б)

Рисунок 4.8 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,1 для амплитудной модуляции с М=4... 32, и соответствующие им энергетические

спектры (б)

Рисунок 4.9 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,01 для амплитудной модуляции с М=4... 32, и соответствующие им

энергетические спектры (б)

Значения полосы занимаемых частот сведены в Таблицу 4.4.

Расширение полосы частот, содержащей 99% мощности сигнала, и убывание

ДР-60 дБ свидетельствует о стремлении энергетического спектра к

прямоугольному виду с увеличением М [32].

Таблица 4.4 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности

сигнала (Та=8Т, п=2, Ко=0,1 и Ко=0,01, М=4... 32)

М=4 М=8 М=16 М=32

К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01

ДР99%, 1/Т 1,06 1,13 1,10 1,17 1,12 1,17 1,16 1,19

ДР-30 дБ, 1/Т 1,40 1,63 1,51 1,42 1,61 1,43 1,42 1,42

ДР-40 дБ, 1/Т 1,50 1,70 2,08 1,47 1,69 1,47 1,47 1,47

ДР-60 дБ, 1/Т 2,90 2,42 2,63 2,14 2,19 2,16 1,94 2,14

Сравним полученные оптимальные формы импульсов с RRC-импульсами, усеченными до той же длительности Та. Характеристики RRC-импульсов зависят от коэффициента скругления в [24, 38]. В стандарте DVB-S2 приняты значения в=0,2, 0,25, 0,3 [6]. Более высокая спектральная эффективность в стандарте DVB-S2X достигается в том числе за счет использования коэффициентов скругления в=0,05, 0,1, 0,15 [5]. Чем меньше

коэффициент скругления, тем ближе форма импульса к виду зт(х)/.х и тем более прямоугольный вид имеет энергетический спектр такого сигнала [24, 38], однако тем большая длительность импульса требуется для его более точного представления. Так, для коэффициентов скругления, близких к нулю, может потребоваться длительность импульса порядка 100Т, чтобы обеспечить нулевую межсимвольную интерференцию на выходе согласованного фильтра в моменты времени, кратные Т [49]. Однако такая высокая длительность приводит к усложнению аппаратуры и увеличению задержки, что может быть неприемлемо в некоторых сценариях. Таким образом, интересно сравнить спектральную и энергетическую эффективность сигналов на основе RRC импульсов и оптимальных сигналов при некоторой длительности импульса (например, Та=8Т), представляющей собой компромисс между точностью его представления и задержкой при обработке.

Рассмотрим р=0,05, Р=0,2 и р=0.35 (Рисунок 4.10). Видно, что с точки зрения амплитуды боковых лепестков и скорости спада внеполосных излучений оптимальные импульсы наиболее близки к RRC импульсам с коэффициентом скругления р=0.35. При практически одинаковой полосе занимаемых частот АР99% оптимальные импульсы, полученные для М=16 и К0=0,01 обладают более чем в полтора раза меньшей полосой частот АР-60 дБ, чем RRC импульсы с Р=0.35 (Таблица 4.4, Таблица 4.5).

Рисунок 4.10 - RRC импульсы длительностью Та=8Т (а) с коэффициентами скругления р=0,05... 0,35, и соответствующие им энергетические спектры (б)

1.5

0.35

Таблица 4.5 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности сигнала на основе RRC импульсов длительностью Та=8Т

в=0,05 в=0,20 в=0,35

Д^99%, 1/Т 1,02 1,07 1,15

ДК30 дБ, 1/Т 1,60 1,48 1,40

Д^40 дБ, 1/Т 2,60 2,50 1,70

ДК60 дБ, 1/Т 9,60 17,40 3,60

4.1.4. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудно-фазовой модуляции

Рассмотрим результаты решения оптимизационной задачи при ограничении на помехоустойчивость приема К0=0,1 (Рисунок 4.11) и К0=0,01 (Рисунок 4.12) в случае амплитудно-фазовой модуляции с размером сигнального созвездия Мдрзк=16, 64, 256. Оптимизация была выполнена для сигнальных созвездий из стандарта DVB-S2X с кодовой скоростью 2/3 (Марбк=16, 4+12^К), 128/180 (М=64, Рисунок 3.1, а), 116/180 (М^к=256, Рисунок 3.1, б).

Рисунок 4.11 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,1 для амплитудно-фазовой модуляции с Марж=16...256, и соответствующие им

энергетические спектры (б)

а) б)

Рисунок 4.12 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т (а), полученные с учетом ограничения на помехоустойчивость приема К0=0,01 для амплитудно-фазовой модуляции с МАРж=16.. .256, и соответствующие им

энергетические спектры (б)

Значения полосы частот, занимаемой сигналами с оптимальными импульсами, синтезированными для случая амплитудно-фазовой модуляции, приведены в Таблице 4.6. В главе 1 было показано, что для модуляции 16-АРБК подойдет оптимальный импульс, синтезированный для амплитудной модуляции с размером М>5, для 64-АРБК - с размером М>6, а для 256-АРБК - с размером М>11. Как видно из Таблицы 4.4, с точки зрения спектральных характеристик оптимальные импульсы, полученные для АФМ с Мдрж=16 и 64, действительно занимают промежуточную позицию между импульсами, полученными для амплитудной модуляции с М=4 и М=8. Так же и оптимальные импульсы, синтезированные для АФМ с МАРж=256, занимают промежуточную позицию между импульсами, синтезированными для амплитудной модуляции с М=8 и М=16.

Таблица 4.6 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности сигнала (Та=8Т, п=2, К0=0,1 и К0=0,01 при АФМ с Марзк=16. . .256)

М^к=16 МарЖ=64 Марзк=256

К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01

AF99%, 1/Т 1,08 1,13 1,09 1,13 1,11 1,17

ДF-30 дБ, 1/Т 1,30 1,64 1,48 1,63 1,54 1,42

AF-40 дБ, 1/Т 1,34 1,72 1,78 1,70 1,91 1,47

ДF-60 дБ, 1/Т 2,67 2,45 2,63 2,43 2,43 2,15

4.2. Критерий максимума концентрации энергии в полосе занимаемых частот

4.2.1. Влияние уровня концентрации энергии в полосе занимаемых частот на результаты решения оптимизационной задачи

Рассмотрим, как в задаче оптимизации по критерию минимума полосы частот, содержащей заданный процент энергии, уровень концентрации энергии влияет на результаты. На Рисунке 4.13, а) приведены нормированные на максимум оптимальные формы импульсов, полученные аналитически и методом численного решения. Согласно формулам (2.13) и (2.16), аналитические решения при £=2 обеспечивают концентрацию энергии 88,05% в полосе ДFз=1,27/T, при к=3 - концентрацию энергии 97,58% в полосе ДРз=1,91/Т, при к=4 - концентрацию энергии 99,59% в полосе ДFз=2,55/T. Видно, что оптимальный импульс, обеспечивающий концентрацию энергии 90% в полосе 1,35/Т, практически совпадает с аналитическим решением при к=2. Остальные оптимальные импульсы занимают промежуточное положение между аналитическими решениями при к=2 и к=4, что согласуется с промежуточной концентрацией энергии в полосе частот.

я(А,/)/тах[а(1/)]

ю

о -20

о

<11 -60 §

-100

\

\ и // / 1 ; / Ч ^=4 л *»Д

к I"

[ к

ДР90.%=135/Т Др95%=1.б3/Т: ДР99.%=2.23/Т

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

НТ

а)

2 3

/, ИТ б)

Рисунок 4.13 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=Т (а), синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 90%, 95% и 99% энергии, и соответствующие им энергетические спектры (б)

Поскольку для данного критерия не используются граничные условия (2.8), импульсы имеют разрывы на краях, что приводит к низкой скорости спада внеполосных излучений (Рисунок 4.13, б). Значения полосы занимаемых

г4=г -40

0

4

5

частот для оптимальных импульсов, полученных численным методом, приведены в Таблице 4.7. Можно сделать вывод, что наиболее выгодные спектральные характеристики достигаются при минимизации полосы частот, содержащей 99% мощности сигнала - в этом случае также обеспечивается минимальная полоса частот, определенная по уровню энергетического спектра -30 дБ и -40 дБ, а отклонение от минимальных AF90% и ДР95% не превышает 5% [47].

Таблица 4.7 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по концентрации мощности сигнала (Та=Т, оптимизация по критерию минимума полосы частот, содержащей 90%, 95% и

99% энергии сигнала)

ВЕС=90% ВЕС=95% ВЕС=99%

AF90%, 1/Т 1,35 1,36 1,41

AF95%, 1/Т 1,68 1,63 1,67

AF99%, 1/Т 7,43 4,90 2,23

ДF-30 дБ, 1/Т 11,40 9,30 5,50

AF-40 дБ, 1/Т 45,00 35,00 17,20

ДF-60 дБ, 1/Т - - -

4.2.2. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при двоичной амплитудной модуляции

Рассмотрим оптимальные формы импульсов длительностью Та=4Т, 8Т, 12Т, 16Т, синтезированных для двоичного алфавита с К0=0,1 (Рисунок 4.14) и К0=0,01 (Рисунок 4.15). Видно, что с увеличением длительности импульса значения на краях интервала существования становятся все ближе к нулю, что приводит к повышению скорости спада внеполосных излучений.

Значения полосы занимаемых частот для оптимальных импульсов, синтезированных по критерию минимума полосы, содержащей 99% мощности сигнала, приведены в Таблице 4.8 (К0=0,1) и Таблице 4.9 (К0=0,01). С увеличением длительности импульса до 16Т удается обеспечить уменьшение как полосы занимаемых частот ДF99%, так и полосы ДР-30 дБ, 40 дБ и ДF-60 дБ. Тем не менее, данные оптимальные импульсы уступают по спектральным

характеристикам оптимальным импульсам, синтезированным по критерию максимума скорости внеполосных излучений при п=2 (Таблица 4.2, Таблица 4.3). При примерно одинаковых значениях полосы AF99% и AF-з0 дБ выигрыш по полосе AF-60 дБ, обеспечиваемый оптимальными импульсами с п=2, составляет 12% и 4,9 раз при К0=0,1 и К0=0,01 соответственно. Наглядно зависимость полосы занимаемых частот от длительности импульсов при разных критериях оптимизации показана на Рисунке 4.16.

Рисунок 4.14 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=4Т, 8Т, 12Т (а) при К0=0,1 для двоичного алфавита, синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, и соответствующие им

энергетические спектры (б)

рр * 0

4 6

а)

Рисунок 4.15 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=4Т, 8Т, 12Т (а) при К0=0,01 для двоичного алфавита, синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, и соответствующие им

энергетические спектры (б)

Таблица 4.8 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности

сигнала (Та>Т, оптимизация по AF99%, К0=0,1, М=2)

Та=4Т Та=8Т Та=12Т Та=16Т

AF99%, 1/Т 1,12 0,96 0,92 0,90

AF-зo дБ, 1/Т 1,75 1,47 1,45 1,08

AF_40 дБ, 1/Т 3,38 2,40 3,56 1,34

AF-60 дБ, 1/Т 14,30 39,40 34,92 2,57

Таблица 4.9 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности сигнала (Та>Т, оптимизация по AF99%, К0=0,01, М=2)

Та=4Т Та=8Т Та=12Т Та=16Т

AF99%, 1/Т 1,26 1,08 1,04 1,02

AF-зo дБ, 1/Т 2,78 1,90 1,44 1,22

AF_40 дБ, 1/Т 6,82 4,65 2,27 1,70

AF-60 дБ, 1/Т 71,76 45,64 17,59 8,32

<

-Б ■ п=2 ВЕС= 99%

г \ч\ =0,01

X)

" ! V 0,1

■ ш —11

10 12 14 16

Т /Т

а

а)

; 10 12 14 16

т /т

в)

12

10

м

5 6

УЗ

к' 4 <1

2

0

8 10 12 14 16

т /т

г)

Рисунок 4.16 - Зависимость полосы занимаемых частот от длительности оптимальных импульсов, синтезированных по разным критериям, при ограничении на помехоустойчивость приема в случае двоичной амплитудной

модуляции

4.2.3. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудной модуляции

Ниже приведены результаты решения оптимизационной задачи по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% мощности сигнала, при ограничении на помехоустойчивость приема £(3=0,1 (Рисунок 4.17) и К0=0,01 (Рисунок 4.18) в случае амплитудной модуляции с М=4... 32. Значения полосы занимаемых частот для данных параметров сведены в Таблицу 4.10.

Рисунок 4.17 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, при К0=0,1 для амплитудной модуляции с М=4... 32 (а), и соответствующие им энергетические спектры (б)

3-60 ^ о

а)

б)

Рисунок 4.18 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, при К0=0,01 для амплитудной модуляции с М=4... 32 (а), и соответствующие им энергетические спектры (б)

Таблица 4.10 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности сигнала (Та=8Т, оптимизация по АР99%, К0=0,1 и К0=0,01, М=4... 32)

М=4 М=8 М=16 М=32

К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01 К0=0,1 К0=0,01

АF99%, 1/Т 1,05 1,09 1,07 1,09 1,08 1,12 1,09 1,13

АF-30 дБ, 1/Т 1,87 1,90 1,91 1,67 1,92 1,32 1,92 1,90

АF-40 дБ, 1/Т 3,40 3,90 3,89 3,39 4,40 2,41 3,91 2,64

АF-60 дБ, 1/Т 27,13 36,88 34,64 29,64 41,64 18,89 37,63 18,88

Сравним значения из Таблицы 4.10 со значениями, приведенными в Таблице 4.4 для критерия минимума внеполосных излучений при п=2. Выигрыш по полосе АF99% составляет от 2% до 8%, в то время как АF- 30 дБ и АF- 40 дБ оказываются шире как минимум на 16% и 64% соответственно.

Отметим, что при использовании критерия минимума полосы АР99% с ужесточением ограничения на помехоустойчивость приема наблюдается сначала рост, затем сужение полосы АF-60 дБ (Таблица 4.10). При этом полоса АР99% монотонно возрастает. Можно предположить, что по мере дальнейшего увеличения размера сигнального созвездия и/или уменьшения коэффициента корреляции значения оптимального импульса на краях интервала существования будут все ближе к нулю, и выбор оптимизационного критерия не будет оказывать значительного влияния на вид получаемого импульса и его спектральные характеристики.

Инвариантность решения оптимизационной задачи относительно критерия оптимизации может проявиться при тем меньших значениях М и К0, чем больше длительность оптимизируемого импульса Та. Так, при сравнении Таблицы 4.2 и Таблицы 4.8 видно, что уже при длительности Та=16Т и К0=0,1 отличие в полосе занимаемых частот АF-60 дБ составляет лишь 12% при равной полосе АF99% (Рисунок 4.16). На Рисунке 4.19 показано, что с увеличением длительности оптимального импульса наблюдается тенденция к уменьшению разности между значениями полосы занимаемых частот.

1.6 1.4 1.2

Т^ ^Т

-Е-ВЕС=99%

Т =8Г

а

Т=\6Т

а

4

[ (

Е-ч 3

[2г

[3--/-ОУ.....О-..............[]

Т =8Т

-В-ВЕС=99%

< 1

Т =16Т

а

4

16

32

48

М

а)

16

М б)

32

10

ш--й-.....-а............-да

[3-.

м

<1

10

-Е-ВЕ099%

^а ^

V.........ч-в............

Т 87'

......а..............Ж

16

32

М

М

в)

г)

Рисунок 4.19 - Полоса занимаемых частот сигналов на основе оптимальных

импульсов, синтезированных по критерию минимума внеполосных излучений (п=2) и по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии сигнала, при ограничении на помехоустойчивость приема К0=0,01 в

случае М-РАМ модуляции

4.2.4. Оптимизация при наличии ограничения на помехоустойчивость приема при многопозиционной амплитудно-фазовой модуляции

Ниже приведены результаты решения оптимизационной задачи по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% мощности сигнала, при ограничении на помехоустойчивость приема К0=0,1 (Рисунок 4.20) и К0=0,01 (Рисунок 4.21) в случае АФМ с М^^^.. .256. Значения полосы занимаемых частот для данных параметров сведены в Таблицу 4.11.

0

а) б)

Рисунок 4.20 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, при К0=0,1 для АФМ с МАтеК=16.. .256 (а), и соответствующие им

энергетические спектры (б)

а) б)

Рисунок 4.21 - Оптимальные формы импульсов длительностью Та=8Т синтезированные по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии, при К0=0,01 для АФМ с ^^^=16.. .256 (а), и соответствующие им

энергетические спектры (б)

Таблица 4.11 - Полоса занимаемых частот, определенная по уровню энергетического спектра и по критерию концентрации 99% мощности сигнала (Та=8Т, оптимизация по AF99%, К0=0,1 и К0=0,01, МАРж=16.. .256)

М^к=16 М^к=64 М^к=256

К=0,1 К0=0,01 К=0,1 К0=0,01 К=0,1 К0=0,01

AF99%, 1/Т 1,06 1,09 1,07 1,09 1,08 1,11

AF-зo дБ, 1/Т 2,10 1,89 2,16 1,91 2,17 1,30

AF_40 дБ, 1/Т 3,66 3,90 3,90 3,65 4,40 2,40

AF-6o дБ, 1/Т 31,63 35,88 34,88 33,63 42,14 19,14

Как и при амплитудной модуляции, при использовании данного критерия с ужесточением ограничения на помехоустойчивость приема наблюдается сначала рост, затем сужение полосы AF-60 дБ. Отметим, что оптимальные сигналы, синтезированные для МАРж=256 при К0=0,01, обеспечивают выигрыш 7-9% по сравнению с сигналами, синтезированными по критерию минимума внеполосных излучений при п=2, как по полосе AF99%, так и по полосе AF-зo дБ. Однако это скорее исключение из правил: для остальных сигналов при определении полосы частот по уровню энергетического спектра -30 дБ, -40 дБ наблюдается проигрыш, достигающий 2,5 раз. При этом проигрыш в полосе, определенной по уровню энергетического спектра -60 дБ, превышает 8,9 раз.

1.2

1.15-

<1

^ 1 1

С?\ 11

1.05

256

М

АРБК

а)

^ 4|

мэ

<1

2

256

М

АРБК в)

2.5

2

РЧ ч: о

СП

^ 1-5 <1

М

АРБК

б)

102

т

и

¿ю1

чо

<1

10

-----

ко=0.1 к0=°.°1

ХГ

16

64

М

АРБК

г)

256

и=2

256

Рисунок 4.22 - Полоса занимаемых частот сигналов на основе оптимальных

импульсов, синтезированных по критерию минимума внеполосных излучений (п=2) и по критерию минимума полосы частот, содержащей 99% энергии сигнала, при ограничении на помехоустойчивость приема К0=0,1 и

К0=0,01 в случае М-АРБК модуляции

1

1

5

1

4.3. Примеры поверхностей решения при вариации коэффициентов разложения

В данном разделе приведены примеры поверхностей решения и линий уровня при вариации коэффициентов разложения в ряд Фурье, являющихся решением задачи оптимизации по критерию минимума внеполосных излучений (Рисунок 4.23) и по критерию минимума полосы AF99% (Рисунок 4.24) для длительности Та=Т. Как видно из графиков, поверхности, получаемые при вариации различных пар коэффициентов {ак}, имеют вид эллиптического параболоида, а линии уровня близки к окружностям.

2

СЧ

53 О < 0

-1

-2

О

Да