Предпосылочное знание в математике: философско-методологический анализ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.08, кандидат философских наук Бичев, Геннадий Николаевич

• Бичев, Геннадий Николаевич
• кандидат философских наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат философских наук Бичев, Геннадий Николаевич

Введение

Глава 1. Феномен предпосылочного знания

1.1. Трансценденталистская модель знания

1.2. Гносеологическая природа предпосылочного знания

Глава 2. Предпосылочное знание в структуре математической теории

2.1. Генетически-конструктивный метод Евклида

2.2. Парадоксы теории множеств

2.3. Эвристика 88 Заключение 113 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предпосылочное знание в математике: философско-методологический анализ»

Актуальность исследования. Предпосылочное знание - предмет исследования современной эпистемологии, обусловленный необходимостью отхода от классической традиции. В классической методологической традиции от Аристотеля до Гуссерля вводился идеал всесторонне обоснованного, прозрачного - беспредпосылочного знания. Исходные познавательные отношения представали бесспорными, очевидными. Конституирование подобных самодостоверных предпосылок мышления предпринималось трансцендентализмом - платформой, обосновывающей идеал познания классической гносеологии.

Идеал беспредпосылочности» в наиболее явном виде отражен в гносеологической мысли Нового времени. Становление классической рациональности предполагало видение субъект-объектного отношения как абсолютно прозрачного, полностью отрефлектированного. Сознание оценивалось как данное в чистом, эксплицитном виде, исключающем неконтролируемые, неявные компоненты. «Отношение к миру как разумному в конечных своих основаниях, упорядочивающемуся под знаком благосклонности к человеку, было основной внутренней установкой классической философии, ее глубинной «интенцией». Этому центральному ожиданию соответствовало представление о субъекте познания как существе, призванном (и способном) абсолютно мыслить, т.е. осуществлять познавательные акты с сознанием их «чистоты» и беспредпосылочности, с убеждением, что образы и знания, возникающие в голове интеллектуала, как бы по самой своей природе представительны и абсолютны»1.

1 Мамардашвили М.К., Соловьев Э.Ю., Швырев B.C. Классика и современность: две эпохи в развитии буржуазной философии // Философия и наука. - М.: Наука, 1972. - С.54-55

Эрозия классического идеала вызвана: 1) невозможностью найти прозрачные основания знания - идеал всесторонне обоснованного, «прозрачного» знания не достижим; 2) утверждением новой познавательной культуры, опирающейся на иные ценности (прагматичность, эффективность, функциональность и т.д.).

Эволюция научного знания привела к расширению познавательного идеала. Развитие точной науки продемонстрировало, что формальная аксиоматика нуждается в содержательном дополнении, поскольку существует потребность выбора способов исследования, применения аппарата теории к области фактического. Нейман уточнял: «.Математик, по существу, волен выбирать, заняться ли ему решением возникшей проблемы или оставить ее и обратиться к какой-нибудь другой задаче, в то время как «важная» проблема в теоретической физике - это обычно конфликт, противоречие, которое «должно» быть разрешено тем или иным способом. У математика всегда имеется широкий выбор областей, к которым он может обратиться, и он наслаждается весьма значительной свободой своих действий. Здесь мы подходим к пункту, имеющему решающее значение. Думаю, что вряд ли ошибусь, если скажу, что критерии отбора, которыми руководствуется математик, так же как и его критерии успеха, носят в основном эстетический характер»2.

В современной гносеологии предпосылочное знание рассматривается как необходимая составляющая познания. Изучение предпосы-лочного знания в науке, в т.ч. математике позволит не только уточнить природу математического знания, но и продвинуться в понимании вопросов оснований науки.

Степень разработанности проблемы. Осмысление познавательного идеала составляет важное направление разработческой деятельности. В раскрытии темы автор опирался на исследования природы предпосы-лочного знания - В.В. Ильина, Б.В. Маркова, JI.A. Микешиной,

2 Нейман Дж. фон. Математик // Природа. - 1983. - №2. - С.92

B.C. Степина, M.A. Розова; оснований математики - Б.В. Бирюкова, В.Н. Катасонова, М.И. Панова, В.Я. Перминова, Г.И. Рузавина, В.Н. Тростникова, В.А. Успенского, А.П. Юшкевича; ценностных идеалов науки - Б.Г. Юдина, С. Курдюмова, А.А.Печенкина; научной рациональности - Н.С. Автономовой, В.А. Лекторского, В. Поруса. B.C. Швырева; социокультурных оснований знания - А.С. Анисимова, А.Н. Бондаренко, Г. Гачева, Г.А. Геворкяна, А.Н. Кочергина, Е.А. Мамчур, А.П. Огурцова, М.К. Петрова. Для исторических описаний науки для автора важное значение имели работы Ж. Адамара, В.П. Визгина, П.П. Гайденко, Ф. Клейна, А. Койре, А. Пуанкаре, Б. Пятницына, К. Рыбникова, Д. Стройка, М. Фуко и др.

В анализе природы неявного знания использованы идеи М. Полани (неявное - имплицитное, неартикулированное в языке, воплощенное в телесных навыках, схемах восприятия, практическом мастерстве знание; явное - знание артикулированное, выраженное в понятиях, суждениях). Автор использовал исследования по методологии математики Н. Бурбаки, Г. Вейля, И. Лакатоса, Ф. Клейна, С. Клини, Ф. Китчера, Ф. Козловского, Дж фон Неймана, А. Мостовского, Д. Пойа.

Оценка методологии научного поиска опиралась на достижения Евклида, Н.И. Лобачевского, Я. Больяи, К.Ф. Гаусса, Г. Кантора и др. Исходными в изучении предпосылочного знания в математике являлись идеи: Л.Э.Я. Брауэра, А. Гейтинга, Д. Буля, Б. Больцано, Г. Грассмана, Р. Дедекинда, Д. Гильберта, О. Коши, К. Вейерштрасса, Г. Кантора, Б. Рассела, А.Н. Уайтхеда, Г. Фреге, Э. Цермело, А. Френкеля, А. Маркова, П. Новикова, Д. Гильберта, А. Колмогорова, Н. Шанина и т.д.

Однако различные стороны изучаемого многогранного предмета концептуально освоены не одинаково глубоко. Недостаточно изучены проблемы роли предпосылочного знания в творчестве, развитии науки и т.д., непроработанными остаются вопросы предпосылочного знания в конкретных дисциплинах.

Объект исследования - предпосылочное знание в науке.

Предмет исследования - предпосылочное знание в математической теории.

Цель исследования - определить характер предпосылочного знания в математической теории.

Задачи исследования:

- выяснить гносеологический статус предпосылочного знания;

- выявить роль предпосылочного знания в математике.

Теоретическая и методологическая основа исследования. Для изучения природы предпосылочного знания плодотворно сочетание гносеологического, эпистемологического, аксиологического подходов. Учитывая исходно комплексный динамический статус познавательной реальности, методологический остов анализа составили принципы единства исторического и логического, абстрактного и конкретного, всесторонности, реалистичности, объективности рассмотрения.

Научная новизна работы:

- Выяснен статус предпосылочного знания в познавательной деятельности. Недостаточность парадигмы трансцендентализма, строящейся на идеале всесторонне обоснованного знания, связана с невозможностью нахождения «конечных», «прозрачных» всеобъемлющих оснований науки.

- Проводится классификация предпосылочного знания, выделяются явное, неявное, социальное, персональное предпосылочное знание. Явное предпосылочное знание - положения эмпирического, теоретического уровня, этос науки, - рефлективные механизмы, позволяющие формировать как образы науки, так и типы теоретизирования, рационального познания, понимания, смыслообразования. Неявное - нерефлектируемые основания знания, образующие «фон» научных теорий. К допредикативному опыту относятся неотчетливые предпонимания, неопределяемые предзна-ния, подразумевания и т.д., составляющие онтологический фон интеллектуальной деятельности. Персональное предпосылочное знание - смысловые, ценностные установки субъекта, реализуемые в неспециализированной практически-обыденной сфере. При эволюции духовного склада личности складывается масштаб восприятия мира, особенности его понимания. Социальное - обыденное знание, включающее здравый смысл, верования, приметы, обобщения опыта; образуются под воздействием социальных институтов. Обыденные знания составляют базу практической жизненной позиции - отношения человека к миру (выбор ценностей, целеполагание и т.п.), предстают фундаментом познавательной практики.

- Выявлена роль предпосылочного знания в математике. Доказывается неуниверсальность таких характеристик математического знания, как точность, строгость (при анализе природы аксиом, индукции), наличие в математике нестрогих понятий, непредикативных определений. Классические программы обоснования математики не свободны от предпосылочных элементов. Современные интерпретации символизации, формализации невозможны без неявно инкорпорируемого предпосылочного знания («фон» исследования, методологическое направление поиска, персональные видения). Предпосылочное знание в математике реализуется как нерефлекти-руемые онтологические допущения, на базе которых происходит формирование специальных понятий, строится аксиоматика, проводится поиск. Неформализуемое предпосылочное основание теории отражает специфику базисной теории, какой выступают аксиоматики теории множеств Z, ZF, JBN. Предпосылками теории выступает принятие постулатов существования, онтологических допущений, критериев точности и т.д. Положения, выносимые на защиту.

1. Трансцендентализм - неадекватная семантическая модель субъекта, крепящаяся на неверифицируемых положениях классической когитальной философии. В их числе - идентичность фигур сознания у различных его носителей, прозрачность познавательных актов, их восстановимость от фаз начальных до финальных.

2. Опыт функционирования сознания, свидетельствующий о наличии непониманий, несогласий, предрасположений, выбора, влечет признание внутренней дифференцированности, негомогенности субъективного, - сфера сознания, познания исходно отягощена содержательными диспозициями, предпосылками.

3. Предпосылочное знание многосоставно, поливариантно, реализуется в модусах явного и неявного знания. Первое - принципиально рефлектируемые базисные комплексы сознания (положения эмпирического, теоретического, метатеоретического уровня); второе - ассоциация неартикулируемых имплицитных опосредующих мыследеятельность компонентов (фигуры допредикативного опыта), детерминируемых духовным складом познавателя.

4. Невозможность «чистого» познания, не обремененного предзаданными интенциями, демонстрируется на материале математики, куда «неявное» проникает через содержательный (интерпретация, выбор, оценка, признание) пласт исследований. Теоретическая значимость исследования. Полученные в диссертации выводы имеют важное эвристическое, методологическое значение, позволяют строить адекватную картину формирования науки. Результаты исследования могут быть использованы при анализе современной стадии научно-технического прогресса, природы научной рациональности, детерминант научного поиска.

Практическая значимость исследования определяется тем, что его результаты имеют значение при составлении учебных пособий, разработке, чтении общих лекционных и специальных курсов по гносеологии, эпистемологии, философии и истории науки в высшей школе.

Апробация работы. Диссертация обсуждена на кафедре философии МГТУ им. Н.Э. Баумана. Результаты исследования представлены на Ломоносовских чтениях (МГУ, 2003-2005). По теме диссертации опубликовано четыре работы общим объемом 2,6 п.л.

Заключение диссертации по теме «Философия науки и техники», Бичев, Геннадий Николаевич

Выводы Д. Венна пессимистичны. Он допускает, что методы Д. Буля ошибочны: результаты получены чисто случайно. Стиль мышления Д. Буля отличается тем, что вроде бы доказательство существует, то есть этап проверки для обоснования результатов в эвристическом процессе Д. Буля, в принципе, обозначен, но полного понимания доказательство, данное Д. Булем, в современном ему математическом сообществе не находит. Следовательно, тип математического мышления Д. Буля, как и тип математического мышления С. Рамануджана определяется не как интуитивный, но как интуитивно-нерациональный.

115 Стяжкин Н.И. Становление математической логики. - М.: Наука, 1964. -С. 175

116 Там же.

117 Там же.-С. 190

118 Там же.

Рассматривая уникальные особенности математического мышления, характерные для представителей основных его типов, невозможно обойти вниманием эвристику П. Ферма. Как известно, свою теорему П. Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта. Суть ее в доказательстве того, что сумма целых степеней двух чисел не выражена в виде такой же степени какого-либо целого числа. Показатель степени рассматриваемых чисел должен быть больше двух. Приписка П. Ферма гласила, что он владеет поистине чудесным доказательством теоремы, но на полях недостаточно места, чтобы его записать.

П. Ферма не дал доказательства теоремы. Известно, что доказательство не найдено до сих пор, хотя существует огромное множество ошибочных доказательств великой теоремы. Эвристика П. Ферма, скорее всего, является неосознанной, тип его математического мышления характеризуется как интуитивно-иррациональный. При условии, что такая эвристика существовала в действительности, великая теорема Ферма была доказана. Приписка Ферма дает веские основания утверждать, что существование такого доказательства весьма сомнительно. Если доказательство, по замечанию Ферма, «чудесно», оно содержит некоторые усмотренные чисто интуитивно элементы, на поверку оказывающиеся в той или иной степени математически некорректными, особенно с точки зрения современной математики, отличающейся высоким уровнем строгости.

Другие «парадоксальные» случаи математического мышления, то есть проявления математического иррационализма, описаны Ж. Адама-ром119. Можно утверждать, что наличие указанной особенности протекания эвристического процесса у математиков целиком определяется спецификой механизма их математической интуиции, но не связано со свойствами математической дедукции. Нельзя сказать, что математики тяготеют к иррационализму в вышеуказанном смысле, он просто имеет место в не

119 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. - С. 109-114 которых отдельных случаях. И, хотя, по выражению И. Лакатоса, математика не нуждается в иррационализме, никаких изменений в исторической перспективе не предвидится. Природа математического мышления вряд ли изменится, специфика интуитивного процесса, как видно из приведенных примеров, существенно на нее влияет.

Разумеется, приведенные примеры математического иррационализма в целом нельзя назвать типичными. Механическая вербализация ничего общего с подлинным пониманием не имеет.

Аксиоматический тип математического мышления основан на приоритете доказательности - рационально-логического обоснования - над интуитивной очевидностью. Истинные математические утверждения в рамках аксиоматического типа математического мышления представляют утверждения, выведенные из аксиом по правилам дедукции. При аксиоматическом типе мышления понятия математики определяются через несколько неопределяемых, то есть интуитивно очевидных, принимаемых без доказательства основных утверждений, - аксиом.

Эволюция математического знания сопровождается усилением роли конструктивного или конструктивно-символического типа мышления, имеющего ранее ограниченное применение. Приоритет отдавался доказательству, получаемому посредством дедуктивного вывода. При конструктивном типе математического мышления «все наши умозаключения должны основываться на свидетельствах относительно совершенно ясного и понятного процесса, посредством которого порождаются натуральные числа, а не на каких-то принципах формальной логики, подобных силлогизму и др. Извлечение следствий не есть дело конструктивно мыслящего математика. Его логические выводы (arguments) и суждения (propositions)

- не более чем аккомпанемент к его деятельности, к созданию конструк

- 120 ции» . t

120 Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989. - С.20

В конструктивно-символическом математическом мышлении математические объекты предъявляются явно, в результате построения из математических символов. Несмотря на декларируемую в конструктивном подходе наглядность, роль неявных элементов при данном подходе в математике отчасти признавалась.

Для математика безразличен смысл слов, выражающих основные понятия; любая их подходящая интерпретация, т. е. такая, при которой аксиомы становятся истинами, одинаково пригодна, и все суждения аксиоматизируемой дисциплины при такой интерпретации сохраняют свою силу, поскольку все они являются логическими следствиями из аксиом. . В этом смысле математика рассматривает отношения в гипотетико-дедуктив-ном плане, не связывая себя никакой конкретной материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость; в самом деле, противоречивость априори лишила бы нас надежды

121 когда-нибудь найти подходящую интерпретацию» .

В математике предпосылочное знание имеет вид скрытых лемм, определений, а также особых приемов, применяемых при решении задач или доказательстве теорем. Применение и продуцирование эвристики в математике требует выработки определенных умений, навыков, в процессе которых порождаются предпосылочные элементы знания. Понятно, что таковые должны каким-то образом транслироваться при доказательстве, иначе оно будет непонятно.

Эвристические приемы и методы, особенно на первоначальном этапе позволяют формировать математическое доказательство.

На базе соображений эвристического характера в математике начинают складываться новые «схемы» рассуждений, становящиеся в итоге полноправными математическими методами. Вывод должен быть сделан на основе историко-математических исследований. Греки при решении конкретных задач вырабатывали новые схемы рассуждений. Изучение ра

121 Там же. - С.20-21 бот творцов нового анализа от Кеплера и Кавальери до Ньютона и Лейбница приводит к выводу, как не очень ясные индуктивные приемы превращаются, с одной стороны, в некую общую науку - эвристику (Декарт, Лейбниц), а с другой, становятся мощными и верными методами математики (например, математическая индукция, рекуррентные соотношения, интерполяция)»122. Тезис реализует неявно выраженную идею эволюционного развития математических методов от неявной в целом эвристики до строгого алгоритма.

Можно сформулировать правило эволюции математических методов от неявной эвристики к строгому алгоритму. Суть ее состоит в том, что неявная математическая эвристика вследствие сложного и долгого развития трансформируется, эволюционирует в явный и строгий математический метод.

На первоначальном этапе такой эволюции математический метод имеет характер некоторых эвристических соображений интуитивного характера. Он в математическом рассуждении используется на неявном уровне. За сложными математическими построениями и рассуждениями данные неявные начала предстают соображениями эвристического характера. В качестве явных эвристических или, тем более, полноценных математических методов соображения не рассматриваются в принципе. Неосознанные вспомогательные приемы, не оставляющие именно как таковые никаких «следов» в конечной теоретической записи математического рассуждения, проводимого конкретным математиком.

Важное свойство неявной эвристики - необратимость. Умозаключения обратимы, если их «всегда можно проследить вплоть до их исходных посылок.» . Неявная необратимая эвристика на первоначальной стадии эволюции математических методов не допускает возможности не

122 Математика XVII столетия // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия - М.: Наука, 1970. - Т.2

123 Полани М. Личностное знание. -М: Прогресс, 1985.-С. 112 только какой-либо рациональной реконструкции, но и полной вербализации.

Математический метод на данном этапе эволюции применяется как явная частная эвристика. Степень интуитивности подобной эвристики по сравнению со степенью интуитивности неявной эвристики значительно уменьшена, но еще такова, что не допускает алгоритмизации.

Относительно строгой математической теории такая эвристика, как и эвристика первого этапа эволюции, носит неявный характер. При рациональной реконструкции второго этапа эволюции какого-либо конкретного математического метода может произойти вербализация метода как некоторого эвристического приема, или, неявной предпосылки в трудах математиков какого-либо конкретного исторического периода. Здесь появляется еще далеко не математический метод в его обычном понимании.

Ранее рассматривались качественные различия, существующие между математическими методами, применяемыми в одной или нескольких областях математики. Логично предположить, что эволюция различных эвристических методов, притом, что она неизбежно проходит через какие-то одинаковые этапы, имеет существенные различия.

Данные различия относятся как к продолжительности общей исторической эволюции эвристик, так и к длительности отдельных ее этапов. Причину различий, по-видимому, следует искать в особенностях первоначального этапа эволюции метода, который определен как этап неявной эвристики. Чем глубже «укоренен» рассматриваемый эвристический прием в «подпочве» неявного знания, тем более развита метафизическая основа, связи которой с математической составляющей неявны, тем труднее его вербализовать.

Чем более глобален эвристический метод, тем большее количество уже осознанной эвристики он «пронизывает», поскольку она формируется при участии гносеологического «инструмента». Это значит, что более важным является выявление, осознание данного изначально неявного, эвристического метода.

Логично предположить, что такой метод, по сравнению с более конкретным, менее общим эвристическим методом, будет характеризоваться далее состоянием неявной эвристики, его эволюция будет весьма продолжительной, сложной. Отметим, от глубины «укоренения» метода в «подпочве» неявного знания зависит его эвристическая эффективность, то есть возможная применимость в как можно большем количестве различных областей математики.

Третий этап эволюции математических методов - этап алгоритмизации выявленной эвристики. Он является поворотной точкой в эволюции. Математический метод на третьем этапе меняет качество: превращается из эвристического в строго-математический алгоритмизированный метод. Данный метод носит обратимый характер. Алгоритмизация математической эвристики реализуется в практическом применении, когда выявляются неявно-интуитивные элементы математической эвристики.

Признание нового математического метода, эволюционным путем развившегося из неявной эвристики, приходит только в конце этапа алгоритмизации. Этап алгоритмизации завершается осознанием алгоритмизированной выявленной эвристики в рамках математической науки, когда эвристика применяется математиками именно как полноправный математический метод, а не просто как популярная эффективная эвристика, которая позволяет получить искомое решение, но не включается в доказательство.

Алгоритмизация - последний этап эволюции эвристики в математике, на котором ее развитие практически завершается. Далее метод функционирует уже как полноценный строгий математический метод. Понятно, что степень его интуитивности, то есть содержание в нем интуитивного элемента, наименьшая за всю историю его эволюции. В сравнении с начальными этапами эволюции интуитивные элементы уже не играют в нем определяющей роли. Чем более алгоритмизированным является математический метод, тем более доступен и эффективен он в использовании. Строгий математический алгоритм получен. Следовательно, на этом эволюцию математических методов можно считать завершенной, а концепцию эволюции математических методов - в основном рассмотренной.

Эволюция строгого математического метода, развившегося из эвристической идеи, обычно завершается этапом формализации, которая проводится с использованием формальных средств, то есть строгих математических методов и методов математической логики.

Формализованные математические методы - эффективнейшие общематематические методы.

Излагаемый подход предоставляет возможность проследить за изменением степени интуитивности математического метода на протяжении его становления. Степень интуитивности строгого алгоритмизированного математического метода уменьшается при формализации. Очевидно, после осуществления формализации математической теории степень ее интуитивности зависит только от теоретически неявных онто-гносеологических предпосылок математической теории.

Историческая эволюция математических методов включает несколько этапов, на которых их статус несколько раз меняется; это отражает концепция эволюции математических методов от неявной эвристики к строгой теории, основные этапы которой были охарактеризованы выше. Если иметь в виду конкретно какой-либо период развития математического знания, то можно выявить, что в конкретный фиксированный момент истории математики в ней одновременно совместно существуют математические методы, находящиеся на различных этапах эволюции. Последнее характерно и для современной математики, поскольку законы ее развития исторически неизменны, следовательно, в современной математике новое знание формируется на основе интуитивного мышления, несмотря на успехи формализации, значительно уменьшившей содержание неявно-интуитивного элемента математики в XX в.

В качестве примера рассмотрим рациональную реконструкцию метода интерпретаций. Интерпретация в общем случае понимается как истолкование, то есть придание значения понятиям. В математике интерпретация рассматривается как «задание значения (смысла) математических выражений (символов, формул и т.д.). В математике такими значениями служат математические объекты (множества операций, выражения и т.д.).

Сами значения также называются интерпретациями соответствующих вы- 124 ражении» .

Исторически эвристический метод интерпретаций в качестве неосознанной эвристики использовался в древнегреческой математике, ведущие представители которой Теэтет и Аполлоний были по существу алгебраистами; мысли и рассуждения они облекали в геометрическую одежду. Греческая алгебра была геометрической, оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами, поскольку «уравнения первой и второй степени можно было хорошо передать на языке геометрической ал ЛС гебры» . Г.Г. Цейтен также говорит о геометрической форме, которую в Древней Греции приняли алгебра и наука о величинах вообще126.

Древнегреческая математика возможна исключительно как интерпретированная геометрически алгебра. Дело в том, что еще алгебра или геометрия как отдельные самостоятельные области математики не развиты. Здесь значение имели устные традиции, посредством которых передавался неизбежный солидный практический пласт неявных элементов математического знания.

Впоследствии Р. Декарт оценивал древнегреческую математику так: касательно фигур многое греки представляли на основании некоторых заключений, но почему обстояло так и каким образом обнаружено, не ясно.127. Такие доказательства Р. Декарт называл «поверхностными», отме

124 Ст. Интерпретация // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1979. - Т.2. - С. 635

125 Ван-дер-варден. Пробуждающаяся наука. - М.: Физматгиз, 1959. - С.65-66

126 Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. - M.-JL: ГТТИ, 1938.-С.32

127 Декарт Р. Правила для руководства ума // Соч. в двух тт.- М.: Мысль, 1989. -Т. 1.-С.123 чая, что они проявляются «чаще благодаря случаю, чем искусству, и относятся больше к зрению, чем к разуму»128.

В «Геометрии» Р. Декарт определенно высказывал мысль, что арифметика (или алгебра) может служить эвристикой для геометрии, что не характерно для древнегреческой математики. В частности, он отмечал: «Боязнь древних употреблять в геометрии арифметические термины, которая могла быть вызвана лишь тем, что они не поняли достаточно ясно связи между этими науками, породила много неясностей и неудобств в их

1 7Q способе изъяснения» . В дальнейшем Р. Декарт подтверждает эффективность применения такой эвристики, приводя решение задачи из седьмой книги Паппа, заключающейся в нахождении геометрического места к трем или четырем линиям. Задача не разрешена до конца в древнегреческой математике ни Евклидом, ни Аполонием. Р. Декарт, стремясь к ее решению, побуждаемый примером древних математиков, применил эвристический метод интерпретаций. Р. Декарт высказывался следующим образом: «нельзя ли посредством метода, которым я пользуюсь, пойти столь же далеко, как и древние»130. Р. Декарт явственно осознавал, что новый прием решения сложных задач, который он открыл, развивается в эффективный математический метод.

Таким образом, в развитии математики осуществилось осознание эвристической идеи интерпретаций, которая стала после выхода декартовой «Геометрии» осознанной, вследствие чего повысилась ее эффективность. Тем не менее, теоретического осознания метода интерпретаций как такового в работе Р. Декарта не произошло, поскольку перед математикой стояла задача создания эффективного и удобного метода - на какой угодно основе. И вполне понятно, что именно Р. Декарт, одержимый идеей построения единого универсального метода, с его ярко выраженным анали

128 Там же.

129 Декарт Р. Геометрия.

130 Там же.

- M.-JL: ГТТИ, 1938.-С.45 тическим складом ума, как нельзя лучше отвечал потребностям времени, то есть как нельзя лучше подходил для создания такого метода. Достаточно обратиться к другой работе Р. Декарта «Правила для руководства ума». Р. Декарт отмечает: «Метод необходим для отыскания истины. . Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода.»131. Метод понимался Р. Декартом как «точные и простые правила, соблюдение которых препятствует принятию ложного за истинное». Здесь впервые в истории математики появляется термин «метод», буквально в нескольких словах раскрывается его значение в познании истины. В трудах Р. Декарта закладываются принципы научной методологии, что имело большое значение не только для математики, но и для теории познания в целом.

В итоге декартовых преобразований эвристическая идея интерпретаций из неосознанной эвристики древнегреческой математики становится выявленной эвристикой математики Нового времени, но, тем не менее, все еще продолжает оставаться эвристикой, а не становится полноценным строгим методом математики.

К. Гаусс использовал ее для геометрической интерпретации комплексных чисел, о чем свидетельствует следующий отрывок из письма К. Гаусса Бесселю (1811 г.): «Так же как совокупность всех действительных чисел и величин можно мыслить в виде бесконечной прямой линии, так и совокупность всех величин, действительных и мнимых, можно осмыслить посредством бесконечной плоскости, каждая точка которой с 132 абсциссой а и ординатой в будет представлять величину а + в 1.» . К. Гаусс применяет эвристический прием интерпретаций. Отрывок позволяет заключить, что в отличие от Р. Декарта, который рассматривал математическую науку в основном как базу для формирования универсального научного метода, К. Гаусс видел в математической науке, самостоятель

131 Декарт Р. Цит соч. - С. 85

132 Рыбников К. А. История математики. - М.: МГУ, 1974. - С. 375 ный объект исследования, требующий пристального внимания и серьезного изучения. Историко-математические исследования доказывают, что в изучении математики К. Гаусс продвинулся не только до понимания того чрезвычайно важного факта, что математика есть структурное образование, но и до осознания того, что между структурами математики возможно, пользуясь средствами самой же математики, построить весьма полезные в эвристическом смысле аналогии.

Эволюция эвристической идеи интерпретаций непосредственно связана с обоснованием открытой в 1826 г. Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии, зарождением в математике XIX в. представления о структурности математической науки. В отличие от К. Гаусса, Э. Бельтрами строил изоморфизмы.

Изоморфизм как понятие математики - точный вид аналогии. Решению задачи посвящена работа Э. Бельтрами «Опыт истолкования неевклидовой геометрии» (1868).

Истолкование - есть интерпретация. Название данной работы свидетельствует о том, что метод интерпретаций применен в ней не просто как эвристический прием, но как осознанный полноценный математический метод. В работе Э. Бельтрами состоялось теоретическое осознание эвристической идеи интерпретаций, а также ее переход в разряд строгих математических методов.

Значение этапа алгоритмизации как этапа исторической эволюции математической эвристики состоит в том, что данный этап является своеобразной критической точкой в эволюции эвристики, которая в результате алгоритмизации становится полноправным математическим методом. Во время алгоритмизации математической эвристики происходит усиленное уменьшение степени ее интуитивности.

В современной математике принято следующее определение математического метода интерпретаций: «Пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматической теории Т поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению И теории Г естественным образом ставится в соответствие некоторое высказывание об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение И теории Т соответственно истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства являются объектом рассмотрения какой-либо математической теории, которая, в частности, может быть также аксиоматической»133. Из приведенного определения математического метода интерпретаций ясно, что метод оперирует аксиоматическими теориями, которые формируются посредством аксиоматического метода. Теперь, то есть после образования математического метода интерпретаций, рациональную реконструкцию исторической эволюции эвристической идеи интерпретаций можно считать завершенной.

Подход, основанный на концепции исторической эволюции математических методов от неявной эвристики к строгому алгоритму или обратимой процедуре, способен улучшить представления о развитии математических методов и специфике математического знания. Действительно, строгие алгоритмы или формальные процедуры в математике не существуют в некотором особом мире, сами по себе, вне связи со сложной и подчас противоречивой историей их открытия, становления. В начале процесса в математике все методы имеют вид неких полуинтуитивных идей, носящих в целом неявно-интуитивный характер, вследствие отпечатка личности их творцов.

Разумеется, формализация позволяет приблизиться к идеалу надежности и обоснованности, к чему всегда так стремилась математика. Но без эвристик, в которых заранее практически невозможно разглядеть новые, эффективные методы, позволяющие решать сложнейшие практические задачи, никогда бы не было и формальных алгоритмов или процедур.

133 Там же.

В соответствии с данным принципом может происходить не только становление отдельного строгого математического метода, но и образование целой области математики. Например, аналитическая геометрия, по существу, обязана своим созданием аналитическому принципу Р. Декарта. Математическая теория теплопроводности - результат исследования основного уравнения теплопроводности. В силу общности метода работа Фурье стала источником современных методов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях134.

Что касается развития математических методов на современном этапе истории математики, то его особенность состоит в том, что, кроме эволюционного закона, его фактором в значительной степени служит самая разнообразная интеграция идей уже хорошо разработанных отделов математической науки.

В результате интеграции идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа сформировалась новая отрасль математики - функциональный анализ. Речь идет о функциональном анализе в обычном значении термина, под которым обычно понимается обобщение всех основных понятий классического математического анализа (предела сходимости, непрерывности, дифференциала и т. д.) на случай отображений одного множества в другое, при все более широких допущениях относительно этих множеств.

Старейший раздел функционального анализа - вариационное исчисление можно рассматривать как дифференциальное исчисление функционалов. В функциональный анализ вообще вошли результаты многих работ конца XIX - начала XX вв., в которых изучались конкретные функционалы и операции, обобщавшие операции классического математиче

I if ского анализа . На примере истории функционального анализа можно

134 Стройк Д. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - С. 202

135 Там же. убедиться, что характерной особенностью развития математической науки XX столетия является ее так называемая самоэвристичность, приводящая к тому, что идеи и методы уже разработанных отделов математики служат явной, а иногда и неявной эвристикой для вновь формирующихся отделов математики.

Идея эволюционного развития математического знания популярна в философско-научной литературе136. Однако, она развивается исключительно в рамках эмпирического подхода, который представляется недостаточным. В частности, в концепции «математического натурализма» Ф. Китче-ра дается недостаточно убедительное объяснение происхождения «рудиментарной» математической практики из самой же практики, без опоры на идею математического априоризма.

Таким образом, оценка эвристики приводит к осознанию необходимости включения предпосылочного знания в математику.

Нами продемонстрирована неизбежность включения предпосылочного знания в основания математики. Развернутая характеристика данного тезиса осуществлена посредством оценки метода Евклида, парадоксов теории множеств, оценки эвристики.

- Метод, которым руководствовался Евклид, предполагал наличие наглядных образов, операций - исходных предпосылок, позволяющих придавать объектам, моделям математической теории определенные онтологические характеристики.

- Кризис в математике, обусловленный парадоксами теории множеств, потребовал изучения оснований математики. Платформы логицизма, формализма, интуиционизма не позволили достичь обоснованности исходных положений математики, устранить неявные предпосылки из доказательств. Неявно-интуитивные элементы значительно осложняют обос

136 См., например, Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. Л.: ЛГУ, 1984; Китчер Ф. Математический натурализм // Методологический анализ оснований математики. М: Наука, 1989; Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford Univ. Press, 1983 и др. нование в математике. Неудачи формализма и логицизма связаны с невозможностью устранения неясности языка (в которой Гильберт видел причины парадоксов теории множеств). Проблемы «языка» в математике нельзя преодолеть обращением к логике. Причины данного явления - в опосредо-ванности математики онтологией, гносеологией.

- Анализ эвристики свидетельствует о наличии неявно-интуитивных элементов в математическом поиске (интуиция, «построение» теории, методология поиска).

В математике имеется неформализуемая предпосылочная часть, выражающая генетическую специфику теории. В математической деятельности необходимо решать реальные проблемы в опоре на тонкие, неформальные критерии, носящие характер экстралогических, содержательных.

Факт использования тех или иных положений в научной теории не обусловлен логическими критериями. Непротиворечивость, независимость, полнота не выступают достаточными критериями приемлемости (случаи с неприятием интуиционистами формализма, выбором аксиоматик и т.д., разнообразия мотивов выбора тех или иных положений).

Как показывает практика, развитие теории наука включает содержательные моменты. К последним относятся предпочтения, эстетические, аксиологические и т.п. параметры, составляющие слой предпосылочных оснований.

113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью философии науки выступает изучение закономерностей роста, преобразований научного знания - эффективная и оперативная регуляции действия механизмов его обогащения, развития. Общий взгляд на источники становления системы самопознания в науке показывает, что моменты критики, сомнения имели гораздо более глубокие последствия, чем те, которые можно было бы предвидеть в том случае, если их назначение сводилось бы только к перестройке теоретических программ в рамках прежнего концептуального содержания.

Эволюция науки связана с отказом от трансцендентализма, господствующим в классической культуре. Одной из теорий, отвергающих базовую концепцию трансцендентализма об изначальной прозрачности, бес-предпосылочности сознания, познания, стала концепция предпосылочного знания.

Предпосылочное знание с трудом поддается не только алгоритмизации, но и вербализации. Предпосылочное знание включает: базовые он-то-гносеологические, социокультурные предпосылки, определяющие содержание познавательной установки, представления о статусе математики; поиковую эвристику.

Предпосылочное знание играет роль в выборе концептуальной модели, определяет стиль математического мышления. Можно сказать, что предпосылочное знание представляет ту основу, на которой формируется метод, позволяющий получить теоретические утверждения, которыми, по выражению М. Полани, в итоге оказываются наполнены учебники137.

Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познава

137 Полани М. Цит. соч. - С. 145 тельной установки с творческой на критическую. Установление неявных предпосылок в математике неалгоритмизируемо.

Беспредпосылочного знания не существует, и математика не является в этом вопросе исключением. Так, кризис математики, связанный с обнаружением антиномий в теории множеств Кантора, обострил обсуждение вопроса природы математической реальности. Как указывал А.Н. Колмогоров, «Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоящее время стандарт математической «строгости», но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных ма

138 тематических теорий и их систематизировать» .

Проблема предпосылочного знания в математике рассматривалась в материале генетически-конструктивного метода Евклида, парадоксов теории множеств, поисковой эвристики.

А). В геометрии Евклида математическое доказательство предполагало опору на некий содержательный фундамент предпосылочного знания, обеспечивающего возможность введения математических объектов, реали-зовывать доказательство. Соответственно генетически-конструктивный метод Евклида характеризует гносеологическую двойственность оснований математики.

Б). Оценка возможностей формализма, логицизма продемонстрировала, что математик не может мыслить формальными категориями и определениями. Надежность математического знания невозможно ставить в зависимость от формализации:

- Основания математики имеют двойственную природу, поскольку содержат как теоретические моменты, так и их метафизические предпосылки. Последние не эксплицируются формальными алгоритмами.

- Формализация обнаруживает необходимость «обращения» к пред-посылочному знанию. Идентификация математических символов предпо

138 Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991.-С.67 лагает опору на определенный социокультурный контекст. Следование правилам определяется неявным социокультурным контекстом, при посредстве которого реализуется математическая деятельность.

В) На основании анализа эвристических приемов в математике продемонстрирована роль предпосылочного знания в получении нового знания. Предпосылочное знание становится одним из основных начал в объяснении математического творчества.

Основания математики не могут быть проэксплицированы средствами формальной процедуры. Математическая теория «обеспечивается» интуитивно-очевидными базовыми основаниями. Вследствие синтетичности суждений математики адекватное истолкование оснований математического знания может быть дано только посредством обращения к предпо-сылочному знанию.

Результаты, к которым мы приходим: 1. обострение проблемы предпосылочного знания в математике связано с кризисами в истории математики, постановкой вопроса о математической реальности; 2. предпосылочное знание с необходимостью включается в содержательный контекст математики, образуя фон проработки основных проблем, задач; 3. предпосылочное знание в математике реализуется в онтологических допущениях, разработке эвристических вопросов, обусловливает явным и неявным образом методологию поиска.

116

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Бичев, Геннадий Николаевич, 2005 год

1. Адамар Ж. Исследование психологии изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. - 152с.

2. Аршинов В.И. О роли эксперимента в развитии научного знания // Теория познания и современная физика. М.: Наука, 1984. -336с.

3. Бажанов В.А. Наука как самопознающая система. Казань: Казанский университет, 1991. - 182с.

4. Бахтин М.М. Эстетика словесного творчества. М.: Искусство 1979.-482с.

5. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств // Математический сборник. М.,1944. - Т. 15 (57). - №3. - С.3-82

6. Ван-дер-варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.- 135с.

7. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: Иностранная литература, 1949. - 234с.

8. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400с.

9. Вейль Г. Полвека математики. М.: Знание, 1969. - 45с.

10. Вендлер 3. Причинные отношения // Новое в зарубежной лингвистике. М.: Наука, 1986. - 234с.

11. Гегель Ф.В.Г. Соч.- М.: Мысль, 1935. T.XI. - 563с.

12. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948. - 492с.

13. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. - 200с.

14. Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая логика и ее применения. -М.: Мир, 1965. 225с.

15. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел в классической математике // Теория логического вывода. М.: Наука, 1967.-С.77-153

16. Гельфонд А.О. К седьмой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969. - 240с.

17. Декарт Р. Геометрия. М.-Л.: ГТТИ, 1938. - 296с.

18. Декарт Р. Правила для руководства ума // Соч. в двух томах. -М.: Мысль, 1989.-Т.1.-656с.

19. Есенин-Вольпин А.С. Об аксиоматическом методе // Вопросы философии. 1959. - № 7. - С.99-106

20. Иванов И.Г., Лезгина М.Л. Детерминация научного поиска. Л.: Наука, 1978.-206с.

21. Ильин В.В. Философия науки М.: МГУ, 2003. - 360с.

22. Ильин В.В. Философия. М.: Академический проект, 1999. -Т.1. - 592с.

23. Ильин В.В., Калинкин А.Т. Природа науки. М.: Высшая школа, 1985.-230с.

24. Каган В.Ф. Основания геометрии. М.: Гостехтеориздат, 1949. -4.1. -492с.

25. Казютинский В.В. Философские основания науки // Вопросы философии. 1983.-№4.-С.139-144

26. Кант И. Соч. в 6 т. М.: Мысль, 1964. - Т.З. - 799с.

27. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб., 1914. - №6. - С. 15-34

28. Карнап Р. Философские основания физики. Введение в философию науки. М.: Прогресс, 1971.-390с.

29. Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология // Карнап Р. Значение и необходимость. М.: Иностранная литература, 1959. -С.298-320

30. Китчер Ф. Математический натурализм // Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1989. - С.5-32

31. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989.-456с.

32. Клини С. Введение в метаматематику. М.: Иностранная литература, 1957.-526с.

33. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.-223с.

34. Костюк В.Н. О логическом аспекте философских доказательств в «Критике чистого разума» // Вопросы теоретического наследия Иммануила Канта. Калининград: КГУ, 1978. - Вып.З. - С.44-54

35. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969.-347с.

36. Куайн У.В. Основания математики // Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. - С.89-110

37. Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. -Л.: ЛГУ, 1984. 136с.

38. Кураев В.И., Лазарев Ф.В. Точность, истина и рост знания. М.: Наука, 1988.-236с.

39. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. -152с.

40. Левин В.И. Рамануджан математический гений Индии. - М.: Наука, 1968.-48с.

41. Лекторский В.А. Субъект, объект, познание. М.: Наука, 1980. -359с.

42. Лекторский В.А. Эпистемология классическая и неклассическая. -М.: УРСС, 2001.-256с.

43. ЛефеврВ.А. Формула человека.-М.: Прогресс, 1991.-107с.

44. Мамардашвили М.К., Соловьев Э.Ю., Швырев B.C. Классика и современность: две эпохи в развитии буржуазной философии // Философия и наука. М.: Наука, 1972. - С.54-55

45. Мамчур Е.А. Проблемы социокультурной детерминации научного знания. М.: Наука, 1987. - 125с.

46. Марков Б.В. Проблемы обоснования и проверяемости теоретического знания. Л.: Наука, 1984. - 166с.

47. Марков А. Математическая логика и вычислительная математика // Математизация знания. М.: Знание, 1972. - С.45-59

48. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. -М.: Советское радио, 1986. 133с.

49. Математический сборник. М.: Наука, 1925. - Вып.4. - Т.32. -733с.

50. Математика XVII столетия // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия М.: Наука, 1970. - Т.2. - 351с.

51. Микешина JI.A. Мировоззренческие формы познания и их роль в научно-познавательной деятельности // Ценностные детерминации в научном познании. Вологда: ВПГИ, 1984. - С.8-15

52. Микешина JI.A. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. М.: Прометей, 1990. - 234с.

53. Микешина JI.A., Опенков Г.Ю. Новые образы познания и реальность. -М.: РОССПЭН, 1997. 240с.

54. Мичи Д., Джон стон Р. Компьютер творец. - М.: Мир, 1987. -255с.

55. Начала Евклида.-М.: ОГИЗ, 1948.-447с.

56. Нейман Дж. фон. Математик // Природа. 1983. - №2. - С.86-95

57. Новиков П.С. Конструктивная математика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. - 328с.

58. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1959.-400с.

59. Огурцов А.П. Альтернативные модели анализа сознания: рефлексия и понимание // Проблемы рефлексии: современные комплексные исследования. Новосибирск: НГУ, 1987. - С.45-59

60. Платон. Диалоги. М.: Мысль, 1986. - 607с.

61. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Мир, 1957.-536с.

62. Полани М. Личностное знание. М: Прогресс, 1985. - 344с.

63. Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983. - 644с.

64. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. - 736с.

65. Пуанкаре А. Ценность науки. М., 1906. - 236с.

66. Пятницын Б.Н., Порус В.Н. Диалектические аспекты взаимосвязи ценности и роста научного знания // Вопросы философии. -1979. №3. - С.75-88

67. Слупецкий Е., Борковский JI. Элементы математической логики и теории множеств. М.: Прогресс, 1963.- 368с.

68. Смирнова Р.А. Социально-мировоззренческие основания научного познания. Минск: Наука, 1984. - 134с.

69. Степин B.C. Идеалы и нормы в динамике научного поиска // Идеалы и нормы научного исследования. Минск: БГУ 1981. -С.10-64

70. Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990.-256с.

71. Субботин A.JI. Математическая логика ступень в развитии формальной логики // Вопросы философии. - 1960. - №9. - С.92-112

72. Рассел Б. Новейшие работы по началам математики // Новые идеи в математике. Спб., 1913. - С.82-93

73. Розов М.А. Наука как традиция // Степин B.C., Горохов В.Г., Розов М.А. Философия науки и техники. М.: Наука, 1995. - 435с.

74. Рыбников К. А. История математики. -М.: МГУ, 1974. -455с.

75. Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: Наука, 1979. 344с.

76. Старостин Б.А. Параметры развития науки. М.: Наука, 1980. -250с.

77. Стяжкин Н.И. Становление математической логики. М.: Наука, 1964.-304с.

78. Султанова Л.Б. Взаимосвязь неявного знания и эвристической интуиции // Вестник МГУ. 1995. - Серия философия. - №4. -С. 12-23

79. Тейяр де Шарден П. Феномен человека. М.: Наука, 1987. -240с.

80. Троепольская А.И. Три линии развития проблемы аналитических и синтетических суждений в современной логике // Вопросы теоретического наследия Иммануила Канта. Калининград: КГУ, 1978.-Вып.3.-С.51-59

81. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. - 112с.

82. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. -М.: Мир, 1966.-555с.

83. Хао В., Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств. М.: Иностранная литература, 1963. - 56с.

84. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. -М.-Л.: ОНТИ, 1938.-456с.

85. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применение.-М.: Мир, 1965. С.198-215

86. Швырев B.C. Анализ научного познания: основные направления, формы, проблемы. М.: Наука, 1988. - 176с.

87. Швырев B.C. Научное познание как деятельность. М.: Политиздат, 1984.-232с.

88. Швырев B.C. Проблема отношения науки и метафизики в современной англо-американской философии науки // Проблемы и противоречия буржуазной философии 60-70-х гг. М.: МГУ, 1983. - С.36-37

89. Швырев B.C. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. -М.: Наука, 1978.-382с.

90. Щедровицкий Г.П. Рефлексия и ее проблемы // Рефлексивные процессы и управление. -2001. Т. 1. -№1. - С.23-34

91. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1967. -T.IV. - 567с.

92. Юдин Б.Г. Методологический анализ науки как направление изучения науки. М.: Наука, 1986. - 260с.

93. Юдин Э.Г. Методология науки. Системность Деятельность. -М.: УРСС, 1997.-444с.

94. Bool J. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge: Univ. Press, 1874.-344p.

95. Hilbert D., Bernaus P. Grundlagen der Mathematik. Berlin: Univ. Press, 1934. -Bd.l.- 433s.

96. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford: Oxford Univ. Press, 1983. - 344p.

97. Mostowski A. Thirty years of Foundational Studies. Oxford: Oxford Univ. Press, 1966. - 355p.

98. The VII International congress of Logic, Methodology and Philosophical of science. Salzburg, 1983. - V.6. - 322p.