Применение сжатых состояний Фока в квантовом канале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Башмакова Елизавета Николаевна

• Башмакова Елизавета Николаевна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Башмакова Елизавета Николаевна

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Понятие квантового канала в непрерывных и дискретных переменных

1.2 Принципы коррекции ошибок в дискретных переменных и переход к непрерывным переменным

1.3 Бозонные коды коррекции ошибок

1.3.1 Основные принципы

1.3.2 Ошибки в квантовом канале в терминах операторов Крауса

1.3.2.1 Описание ошибки потери фотонов

1.3.2.2 Описание ошибки дефазировки

1.3.2.3 Независимость ошибок в квантовом канале

1.3.3 Меры оценки квантовых кодов коррекции ошибок

1.3.3.1 Верность канала и понятие оптимальной верности канала

1.3.3.2 Petz верность канала

1.3.3.3 Квантовая емкость канала

1.3.4 Примеры кодовых слов для кодов коррекции ошибок

1.3.4.1 Состояния котов Шредингера и «многоголовые» коты Шре-дингера

1.3.4.2 Сжатые состояния котов Шредингера

1.3.4.3 Биномиальные состояния

1.3.4.4 Состояния Готтесмана-Китаева-Прескилла

1.3.4.5 Фазовое состояния Пегга-Барнетта

1.3.5 Состояния Фока и сжатые состояния Фока в квантово-оптических приложениях

Глава 2. Генерация сжатых состояний Фока

2.1 Унитарные преобразования для генерации сжатых состояний Фока

2.2 Учет однородных потерь в схеме генерации сжатых состояний Фока

2.3 Учет влияниях эффективности фотодетектора на схему генерации сжатых состояний Фока

2.4 Анализ энергетических затрат на генерацию сжатых состояний Фока

2.5 Заключение по главе

Глава 3. Генерация сжатых состояний Фока

3.1 Условия Книлла-Лафламме

3.2 КЛ ценовая функция

3.3 Сравнение сжатых состояний Фока со сжатыми состояниями котов Шредин-гера

3.4 Оценка модифицированной КЛ ценовой функции

3.5 Заключение по главе

Глава 4. Протокол коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки с

использованием сжатых состояний Фока

4.1 Построение операторов Крауса ошибок для малошумящих каналов и малофотонных систем

4.2 Обоснование выбора кодовых слов в протоколе коррекции ошибок

4.3 Операторы Крауса процедуры восстановления квантового состояния для Petz верности

4.4 Результаты расчетов КЛ ценовой функции и Petz верности

4.5 Заключение по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Литература

Приложение А. Определение верности канала в терминах матрицы Чоя

Приложение B. Оптическая реализация CZ преобразования

Приложение C. Верность состояния, полученного в протоколе генерации

сжатого состояния Фока с учетом неидеальности PNRD

Приложение D. Учет квантовой эффективности детектора ^eff < 1 в протоколе генерации негауссовых состояний с измерением числа частиц в фоковском представлении

Приложение E. КЛ условия для кода, построенного с использованием сжатых состояний Фока с произвольным номером n

Приложение F. КЛ-тензор для сжатых состояний Фока

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сжатых состояний Фока в квантовом канале»

Введение

Последние тридцать лет бурного развития квантовой оптики и квантовой информатики привели к формированию таких фундаментальных направлений как квантовые коммуникации и квантовые вычисления [1,2]. Представленное диссертационное исследование относится к обоим указанным направлениям и затрагивает как вопросы эффективного кодирования информации в квантовом канале, так и коррекцию ошибок квантовых вычислений.

В настоящее время основные усилия многих научных групп в области квантовой оптики и квантовой информатики направлены на построение универсальных квантовых вычислений. На данный момент квантовые вычисления находятся в так называемой NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) эре [3]. Данная эра характеризуется созданием вычислительных систем с относительно небольшим числом элементарных логических единиц и отсутствием процедуры коррекции ошибок. При построении среднемасштабных вычислительных устройств особое внимание уделяется уменьшению ошибок вычислений, связанных с несовершенством физических систем и невозможностью их полной изоляции от окружения. Однако для построения полномасштабной вычислительной процедуры только подавления ошибок недостаточно. Кроме требования малости ошибок на каждом шаге, необходимо также выполнять процедуру коррекции ошибок, которые в противном случае нарастали бы по мере выполнения операций.

Принцип построения кодов коррекции ошибок заключается в избыточности кодирования квантовой информации. В зависимости от типа квантовых систем, для которых требуется корректировать ошибки, эта избыточность достигается разными способами. Например, для дискретных (кубитных) систем [4] избыточность информации реализуется путем кодирования каждого логического кубита в несколько физических кубитов. При этом процедура приготовления логического кубита требует использования большого числа вспомогательных кубитов и перепутывающих преобразований. Однако, при таком подходе необходимо учитывать, что вспомогательные кубиты также неидеальны, а перепутывающие преобразования могут выполняться с некоторыми ошибками. Таким образом, данный подход к коррекции ошибок вынуждает работать с кубитным пространством, размерность которого быстро растет с уровнем сложности вычислительных операций, требующих коррекции ошибок. Подобное усложнение системы может привести к обратному результату -вместо того, чтобы скомпенсировать ошибки, мы, напротив, только увеличим их.

Для квантовых систем, описываемых на языке непрерывных переменных [5], можно использовать альтернативный подход к построению процедуры коррекции ошибок [6-18]. Квантовую информацию можно кодировать с помощью специфических квантовых состояний, имеющих некоторые характерные свойства, которые контролируемо изменяются корректируемым типом ошибок. Используя эти свойства рассматриваемых состояний, мы можем получить информацию о том, как скомпенсировать ту или иную ошибку. Выбор таких специфических квантовых состояний зависит от того, какие типы ошибок присутствуют в рассматриваемом квантовом канале. Так, согласно N0-00 теореме [19], гауссовы состояния не могут быть использованы для коррекции гауссовых ошибок в гауссовых состояниях. Таким образом, для реализации процедуры коррекции ошибок нам необходимы негауссовы квантовые состояния.

Генерация негауссовых состояний - одна из важных задач квантовой оптики. В настоящее время предложены протоколы коррекции ошибок на различных квантовых негауссовых состояниях [20,21]. Однако, разработанные на сегодняшний день методы генерации таких состояний оказываются очень сложны для их экспериментальной реализации. Класс негауссовых состояний, необходимых для кодов коррекции ошибок, достаточно узок и ограничен жесткими требованиями [22-24]. Некоторые из этих состояний мы будем обсуждать в Главе 1. В рамках диссертации мы остановим наше внимание на сжатых состояниях Фока [25]. Несмотря на то, что это пример хорошо исследованных негауссовых состояний, мы покажем, что с одной стороны, они обладают характерными свойствами, которые позволяют рассматривать их как ресурс для построения кодов коррекции ошибок, а с другой стороны, такие состояния возможно экспериментально генерировать с высокой верностью и вероятностью.

В соответствии с вышеизложенным, задача построения протоколов коррекции ошибок квантовых вычислений, где в качестве кодовых слов используются экспериментально достижимые квантовые состояния, представляется актуальной.

Целью данной работы является построение бозонного протокола коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки в квантовом канале, где в качестве логических состояний используются сжатые состояния Фока.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Рассмотреть схему генерации сжатых состояний Фока с измерением фотонов в одной из мод двухмодового перепутанного гауссова состояния, где в качестве входных состояний используются сжатые состояния осцилляторов. Провести сравнительный анализ двух конфигураций данной схемы: при использовании светоделителя и Controlled-Z преобразования в качестве перепутывающей операции.

2. Исследовать устойчивость схемы генерации сжатых состояний Фока к влиянию малых однородных потерь и ошибок фотодетектирования.

3. Проанализировать возможность использования сжатых состояний Фока в качестве кодовых слов для кодирования информации в квантовом канале с ошибкой потери фотонов и дефазировкой. Определить оптимальные параметры сжатых состояний Фока с точки зрения ценовой функции Книлла-Лафламме.

4. Построить протокол коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки с малыми скоростями ошибок с помощью сжатых состояний Фока. Рассчитать Petz верность квантового канала при использовании сжатых состояний Фока в качестве кодовых слов.

5. Провести сравнительный анализ протокола коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки с малыми скоростями ошибок, построенного с помощью сжатых состояний Фока, с протоколами коррекции ошибок, основанными на сжатых состояниях котов Шредингера с теми же энергетическими характеристиками, с точки зрения Petz верности канала и ценовой функции Книлла-Лафламме, определенной в терминах операторов Крауса.

Основные научные результаты:

1. Продемонстрирована устойчивость схемы генерации сжатых состояний Фока с измерением числа частиц к влиянию малых однородных потерь и ошибок фотодетектирования (опубликовано в работах [24,26,27], все аналитические вычисления проведены лично автором диссертации, общий вклад составляет не менее 80%).

2. Выявлена конфигурация схемы генерации сжатых состояний Фока менее чувствительная к малым однородным потерям и к ошибкам фотодетектирования, а также менее требовательная к ресурсному сжатию (опубликовано в работах [26,28,29], все аналитические вычисления проведены лично автором диссертации, общий вклад составляет не менее 80%).

3. Доказано, что сжатые состояния Фока можно использовать в качестве кодовых слов в квантовом канале с ошибкой потери фотонов и дефазировкой (опубликовано в работе [30], все аналитические вычисления проведены лично автором диссертации, общий вклад составляет не менее 80%).

4. Используя сжатые состояния Фока, построен протокол коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки с малыми скоростями ошибок (опубликовано в работе [31], выполнено лично автором диссертации).

5. Проведен сравнительный анализ предложенного протокола коррекции ошибок с другими исследованными протоколами по основным характеристикам их работы (опубликовано в работе [31], выполнено лично автором диссертации).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Малые однородные потери более критичны в схеме генерации сжатых состояний Фока с измерением числа частиц при использовании Controlled-Z преобразования, чем в схеме со светоделителем.

2. Использование фотодетектора с квантовой эффективностью меньше 95% снижает верность генерации сжатых состояний Фока до 0.95 и ниже в схеме с Controlled-Z преобразованием, до 0.91 и ниже в схеме со светоделителем. Генерация состояний Фока с разным уровнем сжатия, но с одним и тем же номером одинаково зависит от эффективности фотодетектора.

3. Схема генерации сжатых состояний Фока с измерением числа частиц при использовании светоделителя менее энергетически затратна, чем схема с Controlled-Z преобразованием. Для уровня сжатия выходного состояния больше единицы схема со светоделителем также менее требовательна к уровню сжатия входного ресурса.

4. Для кодирования информации в квантовом канале с ошибками потери фотонов и дефазировки можно использовать сжатые состояния Фока в качестве кодовых слов. Среди множества сжатых состояний Фока с разными номерами п условия Книлла-Лафламме для ошибок потери фотонов и дефазировки выполняются более точно для первого сжатого состояния Фока с уровнем сжатия г = 1.7 и больше.

5. Для квантового канала, в котором одновременно присутствуют ошибки потери фотонов и дефазировки, уже начиная с уровня сжатия г = 0.4 и выше первое сжатое состояние Фока лучше подходит для коррекции ошибок с точки зрения условий Книлла-Лафламме, чем сжатые состояния котов Шредингера с амплитудами, равными 0.5 и 1.0.

6. Приближенный квантовый протокол коррекции ошибок на основе второго сжатого состояния Фока может корректировать ошибки в канале с малыми скоростями ошибок потери фотонов и дефазировки.

7. При построении протокола коррекции ошибки потери фотонов в малошумящем квантовом канале с использованием второго сжатого состояния Фока с уровнем сжатия г = 0.57 и со средним числом фотонов 3.83 значение верности канала имеет тот же порядок, что и для протокола коррекции, построенного с помощью сжатых состояний котов Шредингера с теми же энергетическими характеристиками.

8. В малошумящем квантовом канале с ошибкой дефазировки второе сжатое состояние Фока с уровнем сжатия г = 0.57 и со средним числом фотонов 3.83 лучше подходит для коррекции ошибок с точки зрения Petz верности канала, чем сжатые состояния котов Шредингера с теми же энергетическими характеристиками.

Научная новизна:

1. Выявлена оптимальная перепутывающая операция в схеме генерации сжатых состояний Фока с точки зрения устойчивости схемы к малым однородным потерям и ошибкам фотодектирования, а также согласно требованиям к ресурсному сжатию.

2. Впервые в качестве кодовых слов в протоколе коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки рассмотрены сжатые состояния Фока.

3. Выявлены оптимальные параметры сжатых состояний Фока с точки зрения ценовой функции Книлла-Лафламме.

4. Предложен рецепт построения Petz восстановительной процедуры для коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки.

5. Впервые построен приближенный квантовый протокол коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки на основе второго сжатого состояния Фока в канале с малыми скоростями ошибок.

Научная и практическая значимость.

Квантовые вычисления дают возможность решить целый ряд важных прикладных задач современного общества. К таким задачам можно отнести разработку новых материалов, синтез новых лекарственных препаратов, различные оптимизационные задачи (например, обработка больших объемов данных и логистические задачи) и многие другие. Однако размерность системы, в которой могут проводиться вычислительные операции, ограничена ростом ошибок. Поэтому решение задачи о построении процедуры коррекции ошибок имеет огромную практическую значимость. Таким образом, результаты данного диссертационного исследования могут быть использованы при практической реализации универсального квантового компьютера в непрерывных переменных. Полученные результаты имеют и фундаментальную научную значимость с точки зрения разработки новых теоретических подходов к описанию открытых квантовых систем.

Степень достоверности полученных в диссертации результатов достигается за счет корректного использования методов квантовой механики и строгого физического обоснования всех приближений и предположений, используемых в работе. Для решения поставленных задач был использован математический аппарат квантовой электродинамики, а именно был использован формализм открытых квантовых систем и аппарат операторов Крауса. Эволюция открытой квантовой системы моделировалась как взаимодействие исследуемой системы с вакуумными модами посредством преобразования светоделителя. Малые однородные потери в схеме учитывались с помощью статистических методов учета уширения сжатых ресурсных состояний. Для оценки качества кодовых слов в протоколе коррекции ошибок мы использовали ценовую функцию Книлла-Лафламме. При построении протоколов коррекции ошибок потери фотонов и дефазировки рассматривалась

Petz восстановительная процедура. Для исследования эффективности работы протоколов коррекции ошибок использовалась Petz верность канала. Было проведено сравнение теоретически полученных зависимостей с аналогичными зависимостями для протоколов, построенных с помощью известных и исследованных ранее квантовых состояний. Данное сравнение представлено в виде функциональных зависимостей от величины ошибки, а также от затраченного ресурса. Результаты проведенных исследований были проанализированы в сравнении с работами ведущих исследовательских групп в данной области. Полученные результаты обсуждались с коллегами в рамках научных семинаров, школ и конференций, а также были опубликованы в ревьюируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях, школах и семинарах:

• ХОЛОЭКСПО 2025: XXII Международная конференция по голографии и прикладным оптическим технологиям (Уфа, Россия, 7-12 сентября 2025 года).

• XII семинар Д.Н. Клышко (Челябинск, Россия, Октябрь 23-25, 2024).

• ХОЛОЭКСПО 2024: XXI Международная конференция по голографии и прикладным оптическим технологиям (Казань, Россия, 9-13 сентября 2024 года).

• 7th International School on Quantum Technologies (Miass, Russia, February 25 to March 2, 2024).

• Научно-практический семинар «Квантовые алгоритмы», ЮУрГУ, (Челябинск, Россия, 14-15 декабря 2023 года).

• The 15th International conference "Micro- and nanoelectronics - 2023" (ICMNE-2023), (Zvenigorod, Russia, October 2-6, 2023).

• 6th International School on Quantum Technologies (Miass, Russia, February 26 to March 4, 2023).

• 5th International School on Quantum Technologies (Khosta, Russia, October 2-8, 2022).

• XI семинар Д. Н. Клышко (Москва, Россия, 8-10 июня 2022).

• Семинары Лаборатории Квантовой Оптики СПбГУ (Санкт-Петербург, Россия, 2022-2025).

Личный вклад. Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего направления исследования, обсуждение и постановка рассматриваемых задач осуществлялись совместно с научным руководителем.

Публикации. Основное содержание и результаты по теме диссертации представлены в следующих публикациях:

• E. N. Bashmakova, S. B. Korolev, T. Yu. Golubeva. Bosonic quantum error correction using squeezed Fock states // Phys. Rev. A, 2025, 112, 032434 (Q1, Impact Factor: 2.9).

• Е.Н. Башмакова, С.Б. Королев, Э.Р. Зинатуллин, Ю.М. Голубев, Т.Ю. Голубева. Сжатые состояния Фока: генерация и применение // Journal of Optical Technology, 2025, 92, 3, С. 89-103 (Q4, Impact Factor: 0.6).

• S. B. Korolev, E. N. Bashmakova, T. Yu. Golubeva. Error Correction Using Squeezed Fock States // Quantum Information Processing, 2024, 23(10) (Q2, Impact Factor: 2.2).

• E. N. Bashmakova, S. B. Korolev, T. Yu. Golubeva. Comparison of Controlled-Z operation and beam-splitter transformation for generation of squeezed Fock states by measurement // Phys. Lett. A, 2024, 526, 129964 (Q2, Impact Factor: 2.6).

• S. B. Korolev, E. N. Bashmakova, T. Yu. Golubeva. Estimation of the set of states obtained in particle number measurement schemes // Laser Phys. Lett., 2024, 21 095204 (Q3, Impact Factor: 1.4).

• S. B. Korolev, E. N. Bashmakova, A. K. Tagantsev, T. Yu. Golubeva. Generation of squeezed Fock states by measurement // Phys. Rev. A, 2024, 109, 052428 (Q1, Impact Factor: 2.9).

• E. N. Bashmakova, S. B. Korolev, T. Yu. Golubeva, Effect of entanglement in the generalized photon subtraction scheme // Laser Phys. Lett., 2023, 20, 115203 (Q3, Impact Factor: 1.4).

Все публикации изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и шести приложений. Полный объем диссертации составляет 125 страниц с 31 рисунком. Список литературы содержит 148 наименований.

Благодарности.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Татьяне Юрьевне Голубевой за огромное терпение, веру и помощь, оказанную в процессе работы и подготовки данной диссертации, а также за бесценный опыт и багаж знаний, полученные за годы работы под ее руководством. Особую благодарность автор выражает своему соавтору Сергею Борисовичу Королеву за возможность плодотворной совместной работы. Автор выражает искреннюю благодарность Евгению Александровичу Вашукевичу за неоценимую поддержку и помощь в формировании крепкого фундамента в области квантовой оптики во время обучения в бакалавриате и магистратуре. Отдельная благодарность Юрию Михайловичу Голубеву, Ивану Вадимовичу Соколову, Кириллу Сергеевичу Тихонову и всему дружному коллективу Лаборатории квантовой оптики СПбГУ за полезные дискуссии, помощь на всех этапах подготовки диссертации и теплую атмосферу.

Отдельную благодарность коллективу кафедры Общей Физики-1 СПбГУ за возможность работать и учиться в профессиональном коллективе.

Автор выражает искреннюю благодарность своей семье, в особенности родителям -Башмакову Николаю Владимировичу и Башмаковой Анне Николаевне, за всестороннюю поддержку, веру и помощь на протяжении всего научного пути. Отдельную благодарность автор выражает своему супругу Зинатуллину Эдуарду Рустемовичу за поддержку, полезные советы и активное содействие в написании данной диссертации, а также за возможность личностного и профессионального роста.

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Понятие квантового канала в непрерывных и дискретных переменных

Одна из основных трудностей, которая встречается в квантовых вычислениях и в квантовой криптографии - это необходимость передачи информации из одной точки в другую надежным способом. При этом, даже хранение квантовой информации в одной рассматриваемой точке является нетривиальной задачей, поскольку она имеет свойство распадаться или деградировать. Декогеренция квантовых состояний объясняется тем, что все реальные физические системы взаимодействуют с окружением. Это нежелательное взаимодействие проявляется как шум в квантовых системах и приводит к потере информации и ошибкам в вычислительных операциях. Поэтому изучение и защита квантовых каналов, используемых для передачи и хранения квантовой информации, является необходимым и важным направлением исследования.

При квантово-механическом описании часто используется идеализация «замкнутой квантовой системы» - системы, не взаимодействующей с окружением. Несмотря на то, что цели и задачи квантовых коммуникаций и квантовой теории информации могут быть достигнуты в таких идеальных системах, в реальном мире нет идеально замкнутых систем. Все реальные системы являются открытыми и взаимодействуют с окружением. Естественный способ описать динамику открытой квантовой системы — рассматривать ее как систему, возникающую в результате взаимодействия интересующей системы с вакуумным резервуаром (окружающей средой), которые вместе образуют замкнутую квантовую систему, как показано на рис. 1.1. Однако, в отличие от замкнутых систем, квантовое состояние открытой системы описывается с помощью матрицы плотности. Перейдем к обсуждению формализма квантовых каналов и операций, позволяющего описывать квантовый шум и поведение открытых квантовых систем.

Передача информации по квантовому каналу определяется входным квантовым состоянием pin и начальным состоянием резервуара penv. Не теряя общности, будем считать, что в начальный момент времени окружающая среда находится в чистом состоянии репи = |0)ее(0|. Тогда составное состояние системы, состоящей из начального состояния рассматриваемой системы f>in и состояния резервуара penv, можно представить в виде Pin ® Penv.

Входное состояние

Pin G B(HS)

Квантовый канал:

Я :Hs^ns

и

Выходное состояние

Вакумный резервуар

Рис. 1.1: Описание динамики открытой квантовой системы с помощью квантового канала N. Открытая квантовая система состоит из двух унитарно взаимодействующих с помощью преобразования U частей: рассматриваемая система ип Е B(Hs), вакуумный резервуар penv Е В (Не ). Здесь В(Н, Н) = В(Н) - операторное пространство H®H гильбертова пространства Н. Индекс S относится к гильбертову пространству рассматриваемой системы, а индекс Е - к вакуумному резервуару.

Если для передачи информации используется квантовый канал N, то состояние составной системы изменяется унитарно, следующим образом

U (Pin ® р env )U\ (1.1)

где U - некоторое унитарное преобразование, для которого выполняется UUt = UtU = I. После передачи информации по квантовому каналу N, выходное состояние pout можно представить в следующем виде

Pout = Я(ргп) = TreР(ргп ® penv)Ut] = Tre[U(pm ® |0)ее(0|)Ut]. (1.2)

Здесь под операцией Tr^ подразумевается операция частичного следа по подсистеме Е. Выражение (1.2) носит название представление Стайнспринга [32,33].

Квантовый канал М представляет собой физически допустимые преобразования, которые могут выполняться над входным состоянием рцп. При этом физически допустимые преобразования канала могут быть различными, но они всегда являются полностью положительными сохраняющими след (Completely Positive Trace Preserving, CPTP) преобразованиями. Это означает, действие CPTP канала М на оператор матрицы плотности Pin приведет к тому, что оператор М(pin) все еще является матрицей плотности с соответствующими свойствами. Среди них можно выделить два важнейших свойства квантового канала М [34]:

1) Полная положительность (CP, Completely positive) преобразования: N(р) > 0, если (Я® lf)(p) > 0 Vd> 0 и V р Е B(Hs, Ня), такой что р > 0. Здесь B(HS, HR) - операторное пространство Hs ®Hr, где Hs - гильбертово пространство рассматриваемой

системы, а Нr - гильбертово пространство некоторой вспомогательной подсистемы

(анциллы) размерности dim(H r) = d. Индекс S относится к гильбертову простран-

D - Ad)

ству рассматриваемой системы, а индекс К - к вспомогательной подсистеме. 1R

- это тождественное преобразование, определенное на гильбертовом пространстве

вспомогательной системы Н r.

2) Сохранения следа отображения (Trace-Preserving, TP): V р Е B(Hs) Tr[^(p)] = 1.

Рассмотрим подробнее следствие свойства полной положительности квантового канала N (pin). Согласно теореме Чоя о полностью положительных отображениях [34,35], при выполнении этого свойства существует набор операторов Крауса Ki = е<i\U\0)е таких, что

те те

м(Pin) = ^е(г\й(Pin 0 \0)ее<0\)^)e = ^ Кгртк\. (1.3)

Здесь \г)в - полный ортонормированный набор состояний на гильбертовом пространстве вакуумного резервуара Н е. Тогда свойство сохранения следа отображения N(pin) в терминах операторов Крауса Ki имеет следующий вид

те

Е ki ki =(1.4)

Таким образом, динамику открытой системы можно описать с помощью набора операторов Крауса Ki (так называемое представление в виде операторной суммы) [34]. При этом операторы Крауса неэрмитовы и определены с точностью до унитарного преобразования.

Отдельно стоит обсудить верхний предел суммирования в выражениях (1.3) и (1.4). При описании дискретных квантовых систем все физически допустимые операции, определенные квантовым каналом М в гильбертовом пространстве Н s размерности dim(H s) = d, могут быть получены с помощью операторной суммы, содержащей не более d2 элементов:

м

X(Ргп) = ^ KiPinKj. (1.5)

где 1 < М < d?. Однако, при описании квантовых систем в непрерывных переменных такое условие на число элементов в операторной сумме отсутствует:

те

X(Pin) = ^ KiPinKj. (1.6)

и для ограничения рассматриваемого числа операторов Крауса необходимы физические основания. В этом и заключается главное отличие описания квантовых каналов в дискретных и непрерывных переменных.

1.2 Принципы коррекции ошибок в дискретных переменных и переход к непрерывным переменным

Коррекция ошибок в классической теории информации берет свое начало с 40-х годов XX века [36-38]. В данной теории единицей измерения информации является бит, который может принимать значения 0 или 1 и подчиняется булевой алгебре. В таких системах единственной возможной ошибкой может быть переворот бита (bit-flip). Основной принцип классической коррекции ошибок заключаются в избыточном кодировании данных и проверке согласованности между отправленной и восстановленной после действия ошибок информации. Это позволяет детектировать и исправлять ошибки, возникающие при передаче информации по ненадёжным информационным каналам.

Мера квантовой информации - это квантовый бит или кубит \ф) = а \0) + [3 \1), который является суперпозицией двух базисных состояний \0) и \1). Здесь а и [3 - комплексные амплитуды, связанные соотношением \а\2 + \0\2 = 1. Квадраты модулей амплитуд а и @ равны вероятности задетектировать систему в состоянии \ 0) и \ 1 ) , соответственно. Квантовое состояние кубита \ф) параметризуется с помощью двух углов на сфере Блоха [34]. Поэтому в таких квантовых системах в дополнение к ошибке переворота бита добавляется ошибка переворота фазы (phase-flip), не имеющая аналога в классической теории информации. При этом также возможна комбинация ошибки переворота бита и фазовой ошибки.

Квантовая теория коррекции ошибок строится в попытке заимствовать принципы классической теории. Однако, прямое использование методов классической коррекции ошибок в квантовой теории невозможно из-за теоремы о запрете клонирования [39-41], которая утверждает, что невозможно создать точную копию неизвестного квантового состояния, то есть выполнить операцию \ф) а ^ \Ф) а ®\Ф)а. Кроме того, измерение квантовой системы, согласно постулату о редукции волновой функции, разрушает ее состояние. Поэтому возникает один из важнейших вопросов в квантовой коррекции ошибок, как детектировать ошибки, произошедшие в квантовой системе, не разрушая квантовую информацию, которую мы стремимся защитить? Все это говорит о том, что квантовые коды коррекции ошибок требуют других, отличных от классических кодов, подходов и принципов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Башмакова Елизавета Николаевна, 2026 год

Литература

1. Quantum repeaters: the role of imperfect local operations in quantum communication / H.-J. Briegel, W. Dur, J. I. Cirac [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 1998. Dec. T. 81. C. 59325935. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.81.5932.

2. Raussendorf Robert, Briegel Hans J. A one-way quantum computer // Phys. Rev. Lett. 2001. May. T. 86. C. 5188-5191. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.86.5188.

3. Preskill John. Quantum computing in the NISQ era and beyond // Quantum. 2018. URL: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:44098998.

4. Raussendorf Robert, Browne Daniel E., Briegel Hans J. Measurement-based quantum computation on cluster states // Phys. Rev. A. 2003. Aug. T. 68. C. 022312. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.68.022312.

5. Experimental generation of four-mode continuous-variable cluster states / Mitsuyoshi Yukawa, Ryuji Ukai, Peter van Loock [h gp.] // Phys. Rev. A. 2008. Jul. T. 78. C. 012301. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.78.012301.

6. Schlegel David S., Minganti Fabrizio, Savona Vincenzo. Quantum error correction using squeezed Schrodinger cat states // Phys. Rev. A. 2022. Aug. T. 106. C. 022431. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.106.022431.

7. Grimsmo Arne L., Combes Joshua, Baragiola Ben Q. Quantum Computing with rotation-symmetric bosonic codes // Phys. Rev. X. 2020. Mar. T. 10. C. 011058. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevX.10.011058.

8. Terhal B M, Conrad J, Vuillot C. Towards scalable bosonic quantum error correction // Quantum Science and Technology. 2020. jul. T. 5, № 4. C. 043001. URL: https://dx.doi.org/10.1088/2058-9565/ab98a5.

9. Strong coupling of a single photon to a superconducting qubit using circuit quantum electrodynamics / A. Wallraff, D. I. Schuster, A. Blais [h gp.] // Nature. 2004. T. 431, № 7005. C. 162-167. URL: https://doi.org/10.1038/nature02851.

10. Hardware-efficient autonomous quantum memory protection / Zaki Leghtas, Gerhard Kirchmair, Brian Vlastakis [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2013. Sep. T. 111. C. 120501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.111.120501.

11. Bergmann Marcel, van Loock Peter. Quantum error correction against photon loss using multicomponent cat states // Phys. Rev. A. 2016. Oct. T. 94. C. 042332. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.94.042332.

12. Gottesman Daniel, Kitaev Alexei, Preskill John. Encoding a qubit in an oscillator // Phys. Rev. A. 2001. Jun. T. 64. C. 012310. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.64.012310.

13. Terhal B. M., Weigand D. Encoding a qubit into a cavity mode in circuit QED using phase estimation // Phys. Rev. A. 2016. Jan. T. 93. C. 012315. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.93.012315.

14. Dynamically protected cat-qubits: a new paradigm for universal quantum computation / Mazyar Mirrahimi, Zaki Leghtas, Victor V Albert [h gp.] // New Journal of Physics. 2014. apr. T. 16, № 4. C. 045014. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/16/4/045014.

15. Cochrane P. T., Milburn G. J., Munro W. J. Macroscopically distinct quantumsuperposition states as a bosonic code for amplitude damping // Phys. Rev. A. 1999. Apr. T. 59. C. 2631-2634. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.59.2631.

16. Wasilewski Wojciech, Banaszek Konrad. Protecting an optical qubit against photon loss // Phys. Rev. A. 2007. Apr. T. 75. C. 042316. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.75.042316.

17. Glancy S., Vasconcelos H. M., Ralph T. C. Transmission of optical coherent-state qubits // Phys. Rev. A. 2004. Aug. T. 70. C. 022317. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.70.022317.

18. Performance and structure of single-mode bosonic codes / Victor V. Albert, Kyungjoo Noh, Kasper Duivenvoorden [h gp.] // Phys. Rev. A. 2018. Mar. T. 97. C. 032346. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.97.032346.

19. Niset Julien, Fiurasek Jaromir, Cerf Nicolas J. No-Go theorem for Gaussian quantum error correction // Phys. Rev. Lett. 2009. Mar. T. 102. C. 120501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.102.120501.

20. Enlargement of optical Schrodinger's cat states / Demid V. Sychev, Alexander E. Ulanov, Anastasia A. Pushkina [h gp.] // Nature Photonics. 2017. T. 11, № 6. C. 379-382. URL: https://doi.org/10.1038/nphoton.2017.57.

21. Experimental generation of squeezed cat states with an operation allowing iterative growth / Jean Etesse, Martin Bouillard, Bhaskar Kanseri [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2015. May. Т. 114. С. 193602. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.114.193602.

22. Quantum computation with optical coherent states / T. C. Ralph, A. Gilchrist, G. J. Milburn [и др.] // Phys. Rev. A. 2003. Oct. Т. 68. С. 042319. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.68.042319.

23. Hastrup Jacob, Andersen Ulrik Lund. All-optical cat-code quantum error correction // Phys. Rev. Res. 2022. Oct. Т. 4. С. 043065. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.4.043065.

24. Е.Н. Башмакова С.Б. Королев Э.Р. Зинатуллин Ю.М. Голубев Т.Ю. Голубева. Сжатые состояния Фока: генерация и применение // ОПТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ. Т. 92, № 3. С. 89-103.

25. Olivares Stefano, Paris Matteo G A. Squeezed Fock state by inconclusive photon subtraction // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2005. nov. Т. 7, № 12. С. S616. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1464-4266/7/12/025.

26. Bashmakova E.N., Korolev S.B., Golubeva T.Yu. Comparison of Controlled-Z operation and beam-splitter transformation for generation of squeezed Fock states by measurement // Physics Letters A. 2024. Т. 526. С. 129964. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960124006583.

27. Generation of squeezed Fock states by measurement / S. B. Korolev, E. N. Bashmakova, A. K. Tagantsev [и др.] // Phys. Rev. A. 2024. May. Т. 109. С. 052428. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.109.052428.

28. Korolev S B, Bashmakova E N, Yu Golubeva T. Estimation of the set of states obtained in particle number measurement schemes // Laser Physics Letters. 2024. aug. Т. 21, № 9. С. 095204. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1612-202X/ad6e6f.

29. Bashmakova E N, Korolev S B, Golubeva T Yu. Effect of entanglement in the generalized photon subtraction scheme // Laser Physics Letters. 2023. sep. Т. 20, № 11. С. 115203. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1612-202X/acf921.

30. Korolev S. B., Bashmakova E. N., Golubeva T. Yu. Error correction using squeezed Fock states // Quantum Information Processing. 2024. Т. 23, № 10. С. 354. URL: https://doi.org/10.1007/s11128-024-04549-w.

31. Bashmakova E. N., Korolev S. B., Golubeva T. Yu. Bosonic quantum error correction using squeezed Fock states // Phys. Rev. A. 2025. Sep. T. 112. C. 032434. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/97yt-nzg2.

32. Keyl M., Werner R. F. Channels and maps // Quantum Information. John Wiley Sons, Ltd, 2016. C. 75-90. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/9783527805785.ch5.

33. Raginsky Maxim. A fidelity measure for quantum channels // Physics Letters A. 2001. T. 290, № 1. C. 11-18. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960101006405.

34. Nielsen Michael A., Chuang Isaac L. Quantum computation and quantum information: 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010.

35. Choi Man-Duen. Completely positive linear maps on complex matrices // Linear Algebra and its Applications. 1975. T. 10, № 3. C. 285-290. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379575900750.

36. Huffman David A. A Method for the construction of minimum-redundancy codes // Proceedings of the IRE. 1952. T. 40, № 9. C. 1098-1101.

37. Grassl Markus. Classical information theory and classical error correction // Quantum Information. John Wiley Sons, Ltd, 2016. C. 1-17. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/9783527805785.ch1.

38. Shannon C. E. A mathematical theory of communication // The Bell System Technical Journal. 1948. T. 27, № 3. C. 379-423.

39. Wootters W. K., Zurek W. H. A single quantum cannot be cloned // Nature. 1982. T. 299, № 5886. C. 802-803. URL: https://doi.org/10.1038/299802a0.

40. Ortigoso Juan. Twelve years before the quantum no-cloning theorem // American Journal of Physics. 2018. 03. T. 86, № 3. C. 201-205. URL: https://doi.org/10.1119/1.5021356.

41. Peres A. How the no-cloning theorem got its name // Fortschritte der Physik. 2003. T. 51, № 4-5. C. 458-461. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/prop.200310062.

42. Shor Peter W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory // Phys. Rev. A. 1995. Oct. T. 52. C. R2493-R2496. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.52.R2493.

43. Quantum advantages for Pauli channel estimation / Senrui Chen, Sisi Zhou, Alireza Seif [h gp.] // Phys. Rev. A. 2022. Mar. T. 105. C. 032435. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.105.032435.

44. Bacon Dave. Operator quantum error-correcting subsystems for self-correcting quantum memories // Phys. Rev. A. 2006. Jan. T. 73. C. 012340. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.73.012340.

45. Enhancing quantum entanglement by photon addition and subtraction / Carlos Navarrete-Benlloch, Raul García-Patrón, Jeffrey H. Shapiro [h gp.] // Phys. Rev. A. 2012. Jul. T. 86. C. 012328. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.86.012328.

46. Knill Emanuel, Laflamme Raymond. Theory of quantum error-correcting codes // Phys. Rev. A. 1997. Feb. T. 55. C. 900-911. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.55.900.

47. Quantum capacity and codes for the bosonic loss-dephasing channel / Peter Leviant, Qian Xu, Liang Jiang [h gp.] // Quantum. 2022. . T. 6. C. 821. URL: https://doi.org/10.22331/q-2022-09-29-821.

48. Holevo A. S. One-mode quantum Gaussian channels: structure and quantum capacity // Problems of Information Transmission. 2007. T. 43, № 1. C. 1-11. URL: https://doi.org/10.1134/S0032946007010012.

49. Kraus K. General state changes in quantum theory // Annals of Physics. 1971. T. 64, № 2. C. 311-335. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0003491671901084.

50. Lonigro Davide, Chruscinski Dariusz. Quantum regression beyond the Born-Markov approximation for generalized spin-boson models // Phys. Rev. A. 2022. May. T. 105. C. 052435. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.105.052435.

51. Operational markov condition for quantum processes / Felix A. Pollock, Cesar Rodríguez-Rosario, Thomas Frauenheim [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2018. Jan. T. 120. C. 040405. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.120.040405.

52. Li Li, Hall Michael J.W., Wiseman Howard M. Concepts of quantum non-Markovianity: A hierarchy // Physics Reports. 2018. T. 759. C. 1-51. Concepts of quantum non-Markovianity: A hierarchy. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157318301601.

53. Caruso F, Giovannetti V, Holevo A S. One-mode bosonic Gaussian channels: a full weak-degradability classification // New Journal of Physics. 2006. dec. T. 8, № 12. C. 310. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/8/12/310.

54. Schumacher Benjamin. Sending entanglement through noisy quantum channels // Phys. Rev. A. 1996. Oct. T. 54. C. 2614-2628. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.54.2614.

55. Kosut Robert L., Lidar Daniel A. Quantum error correction via convex optimization // Quantum Information Processing. 2009. Т. 8, № 5. С. 443-459. URL: https://doi.org/10.1007/s11128-009-0120-2.

56. Reimpell M., Werner R. F. Iterative optimization of quantum error correcting codes // Phys. Rev. Lett. 2005. Mar. Т. 94. С. 080501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.94.080501.

57. Fletcher Andrew S., Shor Peter W., Win Moe Z. Optimum quantum error recovery using semidefinite programming // Phys. Rev. A. 2007. Jan. Т. 75. С. 012338. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.75.012338.

58. Grant Michael C., Boyd Stephen P. Graph implementations for nonsmooth convex programs // Recent Advances in Learning and Control / под ред. Vincent D. Blondel, Stephen P. Boyd, Hidenori Kimura. London: Springer London, 2008. С. 95-110.

59. Near-optimal performance of quantum error correction codes / Guo Zheng, Wenhao He, Gideon Lee [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2024. Jun. Т. 132. С. 250602. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.132.250602.

60. Kong Linghang, Liu Zi-Wen. Near-optimal covariant quantum error-correcting codes from random unitaries with symmetries // PRX Quantum. 2022. Apr. Т. 3. С. 020314. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.3.020314.

61. Wilde Mark M. Quantum information theory. Cambridge University Press, 2013.

62. Schumacher Benjamin, Nielsen M. A. Quantum data processing and error correction // Phys. Rev. A. 1996. Oct. Т. 54. С. 2629-2635. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.54.2629.

63. Lloyd Seth. Capacity of the noisy quantum channel // Phys. Rev. A. 1997. Mar. Т. 55. С. 1613-1622. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.55.1613.

64. Devetak I., Shor P. W. The capacity of a quantum channel for simultaneous transmission of classical and quantum information // Communications in Mathematical Physics. 2005. Т. 256, № 2. С. 287-303. URL: https://doi.org/10.1007/s00220-005-1317-6.

65. Oskouei Samad Khabbazi, Mancini Stefano. Algorithmic complexity of quantum capacity // Quantum Information Processing. 2018. Т. 17, № 4. С. 94. URL: https://doi.org/10.1007/s11128-018-1859-0.

66. Boyd S.P., Vandenberghe L. Convex Optimization. Berichte uber verteilte messysteme № ч. 1. Cambridge University Press, 2004. URL: https://books.google.ru/books?id=mYm0bLd3fcoC.

67. Caruso Filippo, Giovannetti Vittorio. Degradability of bosonic gaussian channels // Phys. Rev. A. 2006. Dec. Т. 74. С. 062307. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.74.062307.

68. Lami Ludovico, Wilde Mark M. Exact solution for the quantum and private capacities of bosonic dephasing channels // Nature Photonics. 2023. Т. 17, № 6. С. 525-530. URL: https://doi.org/10.1038/s41566-023-01190-4.

69. Шляйх Вольфганг Питер. Квантовая оптика в фазовом пространстве. 2005.

70. Buzek Vladimir, Knight Peter L. I: Quantum interference, superposition states of light, and nonclassical effects / под ред. E. Wolf. Elsevier, 1995. Т. 34 из Progress in Optics. С. 1-158. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S007966380870324X.

71. Generation of optical 'Schrodinger cats'from photon number states / Alexei Ourjoumtsev, Hyunseok Jeong, Rosa Tualle-Brouri [и др.] // Nature. 2007. Т. 448, № 7155. С. 784-786. URL: https://doi.org/10.1038/nature06054.

72. Generation of a superposition of odd photon number states for quantum information networks / J. S. Neergaard-Nielsen, B. Melholt Nielsen, C. Hettich [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2006. Aug. Т. 97. С. 083604. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.97.083604.

73. Optical synthesis of large-amplitude squeezed coherent-state superpositions with minimal resources / K. Huang, H. Le Jeannic, J. Ruaudel [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2015. Jul. Т. 115. С. 023602. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.115.023602.

74. Loss-tolerant state engineering for quantum-enhanced metrology via the reverse Hong-Ou-Mandel effect / Alexander E. Ulanov, Ilya A. Fedorov, Demid Sychev [и др.] // Nature Communications. 2016. Т. 7, № 1. С. 11925. URL: https://doi.org/10.1038/ncomms11925.

75. Generation of optical coherent-state superpositions by number-resolved photon subtraction from the squeezed vacuum / Thomas Gerrits, Scott Glancy, Tracy S. Clement [и др.] // Phys. Rev. A. 2010. Sep. Т. 82. С. 031802. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.82.031802.

76. Generation of large-amplitude coherent-state superposition via ancilla-assisted photon subtraction / Hiroki Takahashi, Kentaro Wakui, Shigenari Suzuki [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2008. Dec. Т. 101. С. 233605. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.101.233605.

77. Baeva Angelina V., Losev A. S., Sokolov Ivan V. Schrodinger cat states prepared by logical gate with non-Gaussian resource state: Effect of finite squeezing and efficiency versus monotones // Physics Letters A. 2022.

78. Podoshvedov Mikhail S., Podoshvedov Sergey A., Kulik Sergei P. Algorithm of quantum engineering of large-amplitude high-fidelity Schrodinger cat states // Scientific Reports. 2023. T. 13, № 1. C. 3965. URL: https://doi.org/10.1038/s41598-023-30218-6.

79. Engineering Schrodinger cat states with a photonic even-parity detector / G. S. Thekkadath, B. A. Bell, I. A. Walmsley [h gp.] // Quantum. 2020. . T. 4. C. 239. URL: https://doi.org/10.22331/q-2020-03-02-239.

80. Fast generation of Schrodinger cat states using a Kerr-tunable superconducting resonator / X. L. He, Yong Lu, D. Q. Bao [h gp.] // Nature Communications. 2023. T. 14, № 1. C. 6358. URL: https://doi.org/10.1038/s41467-023-42057-0.

81. Ma Sheng-li, Xie Ji-kun, Li Fu-li. Generation of superposition coherent states of microwave fields via dissipation of a superconducting qubit with broken inversion symmetry // Phys. Rev. A. 2019. Feb. T. 99. C. 022302. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.99.022302.

82. Observation of quantum state collapse and revival due to the single-photon Kerr effect / Gerhard Kirchmair, Brian Vlastakis, Zaki Leghtas [h gp.] // Nature. 2013. T. 495, № 7440. C. 205-209. URL: https://doi.org/10.1038/nature11902.

83. Shringarpure Saurabh U., Teo Yong Siah, Jeong Hyunseok. Error suppression in multicomponent cat codes with photon subtraction and teleamplification // Opt. Express. 2024. Jun. T. 32, № 12. C. 20719-20741. URL: https://opg.optica.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-32-12-20719.

84. Protecting a bosonic qubit with autonomous quantum error correction / Jeffrey M. Gertler, Brian Baker, Juliang Li [h gp.] // Nature. 2021. T. 590, № 7845. C. 243-248. URL: https://doi.org/10.1038/s41586-021-03257-0.

85. Experimental preparation and manipulation of squeezed cat states via an all-optical in-line squeezer / Meihong Wang, Miao Zhang, Zhongzhong Qin [h gp.] // Laser & Photonics Reviews. 2022. T. 16, № 12. C. 2200336. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/lpor.202200336.

86. Experimental generation of squeezed cat states with an operation allowing iterative growth / Jean Etesse, Martin Bouillard, Bhaskar Kanseri [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2015. May. T. 114. C. 193602. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.114.193602.

87. All-optical generation of deterministic squeezed Schrodinger-cat states / Zhucheng Zhang, Lei Shao, Wangjun Lu [h gp.] // Phys. Rev. A. 2022. Oct. T. 106. C. 043721. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.106.043721.

88. Increasing entanglement between gaussian states by coherent photon subtraction / Alexei Ourjoumtsev, Aurelien Dantan, Rosa Tualle-Brouri [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2007. Jan. T. 98. C. 030502. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.98.030502.

89. New class of quantum error-correcting codes for a bosonic mode / Marios H. Michael, Matti Silveri, R. T. Brierley [h gp.] // Phys. Rev. X. 2016. Jul. T. 6. C. 031006. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevX.6.031006.

90. Quantum error correction and universal gate set operation on a binomial bosonic logical qubit / L. Hu, Y. Ma, W. Cai [h gp.] // Nature Physics. 2019. T. 15, № 5. C. 503-508. URL: https://doi.org/10.1038/s41567-018-0414-3.

91. Glancy S., Knill E. Error analysis for encoding a qubit in an oscillator // Phys. Rev. A. 2006. Jan. T. 73. C. 012325. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.73.012325.

92. Hastrup Jacob, Andersen Ulrik Lund. Analysis of loss correction with the Gottesman-Kitaev-Preskill code // Phys. Rev. A. 2023. Nov. T. 108. C. 052413. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.108.052413.

93. Joshi Atharv, Noh Kyungjoo, Gao Yvonne Y. Quantum information processing with bosonic qubits in circuit QED // Quantum Science and Technology. 2021. T. 6, № 3. C. 033001.

94. Terhal Barbara M, Weigand Daniel. Encoding a qubit into a cavity mode in circuit QED using phase estimation // Physical Review A. 2016. T. 93, № 1. C. 012315.

95. Logical states for fault-tolerant quantum computation with propagating light / Shunya Konno, Warit Asavanant, Fumiya Hanamura [h gp.] // Science. 2024. T. 383, № 6680. C. 289-293. URL: https://www.science.org/doi/abs/10.1126/science.adk7560.

96. Eaton Miller, Nehra Rajveer, Pfister Olivier. Non-Gaussian and Gottesman-Kitaev-Preskill state preparation by photon catalysis // New Journal of Physics. 2019. nov. T. 21, № 11. C. 113034. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/ab5330.

97. Performance of teleportation-based error-correction circuits for bosonic codes with noisy measurements / Timo Hillmann, Fernando Quijandria, Arne L. Grimsmo [h gp.] // PRX Quantum. 2022. May. T. 3. C. 020334. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.3.020334.

98. Barnett S M, Pegg D T. Phase in quantum optics // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1986. dec. T. 19, № 18. C. 3849. URL: https://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/19/18/030.

99. Xu Yijia, Wang Yixu, Albert Victor V. Multimode rotation-symmetric bosonic codes from homological rotor codes // Phys. Rev. A. 2024. Aug. T. 110. C. 022402. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.110.022402.

100. Free-electron interactions with photonic GKP states: Universal control and quantum error correction / Gefen Baranes, Shiran Even-Haim, Ron Ruimy [h gp.] // Phys. Rev. Res. 2023. Dec. T. 5. C. 043271. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.5.043271.

101. Gerry C., Knight P.L. Introductory quantum optics. Cambridge University Press, 2005. URL: https://books.google.ru/books?id=CgByyoBJJwgC.

102. Quantum harmonic oscillator state control in a squeezed Fock basis / D. Kienzler, H.Y. Lo, V. Negnevitsky [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2017. Jul. T. 119. C. 033602. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.119.033602.

103. Fiurasek Jaromir, Jezek Miroslav. Witnessing negativity of Wigner function by estimating fidelities of catlike states from homodyne measurements // Phys. Rev. A. 2013. Jun. T. 87. C. 062115. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.87.062115.

104. Olivares S., Paris M. G. A. De-Gaussification by inconclusive photon subtraction // Laser Physics. 2006. T. 16, № 11. C. 1533-1550. URL: https://doi.org/10.1134/S1054660X06110077.

105. Olivares Stefano, Paris Matteo GA. Squeezed Fock state by inconclusive photon subtraction // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2005. T. 7, № 12. C. S616.

106. Kral P. Displaced and squeezed Fock states // Journal of Modern Optics. 1990. T. 37, № 5. C. 889-917. URL: https://doi.org/10.1080/09500349014550941.

107. Nieto Michael Martin. Displaced and squeezed number states // Physics Letters A. 1997. T. 229, № 3. C. 135-143. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960197001837.

108. Kim M. S., de Oliveira F. A. M., Knight P. L. Properties of squeezed number states and squeezed thermal states // Phys. Rev. A. 1989. Sep. T. 40. C. 2494-2503. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.40.2494.

109. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Table of integrals, series, and products. Elsevier Science, 2014. URL: https://books.google.ru/books?id=F7jiBQAAQBAJ.

110. Scully Marlan O., Zubairy M. Suhail. Quantum optics. Cambridge University Press, 1997.

111. Quantum-enhanced metrology with large Fock states / Xiaowei Deng, Sai Li, Zi-Jie Chen [h gp.] // Nature Physics. 2024. T. 20, № 12. C. 1874-1880. URL: https://doi.org/10.1038/s41567-024-02619-5.

112. Applications of single photons to quantum communication and computing / Christophe Couteau, Stefanie Barz, Thomas Durt [h gp.] // Nature Reviews Physics. 2023. T. 5, № 6. C. 326-338. URL: https://doi.org/10.1038/s42254-023-00583-2.

113. Quantum key distribution using a triggered quantum dot source emitting near 1.3m / P. M. Intallura, M. B. Ward, O. Z. Karimov [h gp.] // Applied Physics Letters. 2007. 10. T. 91, № 16. C. 161103. URL: https://doi.org/10.1063/L2799756.

114. Quantum cryptography with entangled photons / Thomas Jennewein, Christoph Simon, Gregor Weihs [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2000. May. T. 84. C. 4729-4732. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.84.4729.

115. Baeva A. V., Losev A. S., Sokolov I. V. Optical Schrodinger cat states generation using cubic phase resource state and beamsplitter. 2025. URL: https://arxiv.org/abs/2504.18372.

116. Nonlinear squeezing for measurement-based non-gaussian operations in time domain / Shunya Konno, Atsushi Sakaguchi, Warit Asavanant [h gp.] // Phys. Rev. Appl. 2021. Feb. T. 15. C. 024024. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevApplied.15.024024.

117. Conclusive nonlinear phase sensitivity limit for a Mach-Zehnder interferometer with singlemode non-vacuum inputs / Jian-Dong Zhang, Zi-Jing Zhang, Jun-Yan Hu [h gp.] // arXiv. 2019. T. 1906.10867. URL: https://arxiv.org/abs/1906.10867.

118. Quantum interferometry via a coherent state mixed with a squeezed number state* / LiLi Hou, Yong-Xing Sui, Shuai Wang [h gp.] // Chinese Physics B. 2019. apr. T. 28, № 4. C. 044203. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1674-1056/28/4/044203.

119. Non-Gaussian swapping of entangled resources / Fabio Dell'Anno, Daniela Buono, Gaetano Nocerino [h gp.] // Quantum Information Processing. 2018. T. 18, № 1. C. 20. URL: https://doi.org/10.1007/s11128-018-2133-1.

120. Deterministic preparation of optical squeezed cat and Gottesman-Kitaev-Preskill states / Matthew S. Winnel, Joshua J. Guanzon, Deepesh Singh [h gp.] // arXiv. 2023. T. 2311.10510. URL: https://arxiv.org/abs/2311.10510.

121. xiang Xu Xue, chun Yuan Hong, yi Fan Hong. Generating Hermite polynomial excited squeezed states by means of conditional measurements on a beam splitter // J. Opt. Soc. Am. B. 2015. Jun. T. 32, № 6. C. 1146-1154. URL: https://opg.optica.org/josab/abstract.cfm?URI=josab-32-6-1146.

122. Error of an arbitrary single-mode Gaussian transformation on a weighted cluster state using a cubic phase gate / E. R. Zinatullin, S. B. Korolev, A. D. Manukhova [h gp.] // Phys. Rev. A. 2022. Sep. T. 106. C. 032414. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.106.032414.

123. Braunstein Samuel L. Squeezing as an irreducible resource // Phys. Rev. A. 2005. May. T. 71. C. 055801. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.71.055801.

124. Demonstration of a Quantum Nondemolition Sum Gate / Jun-ichi Yoshikawa, Yoshichika Miwa, Alexander Huck [ugp.] // Phys. Rev. Lett. 2008. Dec. T. 101. C. 250501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.101.250501.

125. Demkowicz-Dobrzanski Rafal, Jarzyna Marcin, Kolodynski Jan. Chapter Four - Quantum limits in optical interferometry / nog peg. E. Wolf. Elsevier, 2015. T. 60 h3 Progress in Optics. C. 345-435. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0079663815000049.

126. Quantum optics of lossy beam splitters / Stephen M. Barnett, John Jeffers, Alessandra Gatti [h gp.] // Phys. Rev. A. 1998. Mar. T. 57. C. 2134-2145. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.57.2134.

127. Oszmaniec Michal, Brod Daniel J. Classical simulation of photonic linear optics with lost particles // New Journal of Physics. 2018. sep. T. 20, № 9. C. 092002. URL: https://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/aadfa8.

128. Regimes of classical simulability for noisy gaussian boson sampling / Haoyu Qi, Daniel J. Brod, Nicolas Quesada [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2020. Mar. T. 124. C. 100502. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.124.100502.

129. Garcia-Patron Raul, Renema Jelmer J., Shchesnovich Valery. Simulating boson sampling in lossy architectures // Quantum. 2019. . T. 3. C. 169. URL: https://doi.org/10.22331/q-2019-08-05-169.

130. Martinez-Cifuentes Javier, Fonseca-Romero K. M., Quesada Nicolas. Classical models may be a better explanation of the Jiuzhang 1.0 Gaussian Boson Sampler than its targeted squeezed light model // Quantum. 2023. . T. 7. C. 1076. URL: https://doi.org/10.22331/q-2023-08-08-1076.

131. Detection of 15 dB Squeezed States of Light and their Application for the Absolute Calibration of Photoelectric Quantum Efficiency / Henning Vahlbruch, Moritz Mehmet, Karsten Danzmann [h gp.] // Phys. Rev. Lett. 2016. Sep. T. 117. C. 110801. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.117.110801.

132. Kilmer Thomas, Guha Saikat. Boosting linear-optical Bell measurement success probability with predetection squeezing and imperfect photon-number-resolving detectors // Phys. Rev. A. 2019. Mar. T. 99. C. 032302. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.99.032302.

133. Lita Adriana E., Miller Aaron J., Nam Sae Woo. Counting near-infrared single-photons with 95% efficiency // Opt. Express. 2008. Mar. T. 16, № 5. C. 3032-3040. URL: https://opg.optica.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-16-5-3032.

134. High-performance photon number resolving detectors for 850-950 nm wavelength range / J. W. Niels Los, Mariia Sidorova, Bruno Lopez-Rodriguez [h gp.] // APL Photonics. 2024. 06. T. 9, № 6. C. 066101. URL: https://doi.org/10.1063/5.0204340.

135. Teich M C, Saleh B E A. Squeezed state of light // Quantum Optics: Journal of the European Optical Society Part B. 1989. dec. T. 1, № 2. C. 153. URL: https://dx.doi.org/10.1088/0954-8998/1/2/006.

136. Approximate quantum error correction can lead to better codes / Debbie W. Leung, M. A. Nielsen, Isaac L. Chuang [h gp.] // Phys. Rev. A. 1997. Oct. T. 56. C. 2567-2573. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.56.2567.

137. Ng Hui Khoon, Mandayam Prabha. Simple approach to approximate quantum error correction based on the transpose channel // Phys. Rev. A. 2010. Jun. T. 81. C. 062342. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.81.062342.

138. Beny Cedric, Oreshkov Ognyan. General conditions for approximate quantum error correction and near-optimal recovery channels // Phys. Rev. Lett. 2010. Mar. T. 104. C. 120501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.104.120501.

139. Beny Cedric. Perturbative quantum error correction // Phys. Rev. Lett. 2011. Aug. T. 107. C. 080501. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.107.080501.

140. Mandayam Prabha, Ng Hui Khoon. Towards a unified framework for approximate quantum error correction // Phys. Rev. A. 2012. Jul. T. 86. C. 012335. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.86.012335.

141. Reinhold P. Controlling error-correctable bosonic qubits. Ph.D. Thesis, Yale University, 2019.

142. Biswas Debjyoti, Vaidya Gaurav M., Mandayam Prabha. Noise-adapted recovery circuits for quantum error correction // Phys. Rev. Res. 2024. Oct. T. 6. C. 043034. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.6.043034.

143. Hybrid cat-transmon architecture for scalable, hardware-efficient quantum error correction / Connor T Hann, Kyungjoo Noh, Harald Putterman [h gp.] // PRX Quantum. 2025. T. 6, № 3. C. 030305.

144. Hardware-efficient quantum error correction via concatenated bosonic qubits / Harald Putterman, Kyungjoo Noh, Connor T Hann [h gp.] // Nature. 2025. T. 638, № 8052. C. 927-934.

145. Quantum memory with millisecond coherence in circuit QED / Matthew Reagor, Wolfgang Pfaff, Christopher Axline [h gp.] // Physical Review B. 2016. T. 94, № 1. C. 014506.

146. Leonhardt Ulf. Quantum statistics of a lossless beam splitter: SU(2) symmetry in phase space // Phys. Rev. A. 1993. Oct. T. 48. C. 3265-3277. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.48.3265.

147. Generating Schrodinger-cat-like states by means of conditional measurements on a beam splitter / M. Dakna, T. Anhut, T. Opatrny [h gp.] // Phys. Rev. A. 1997. Apr. T. 55. C. 3184-3194. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.55.3184.

148. Conditional quantum state engineering at beam splitter arrays / J. Clausen, M. Dakna, L. Knoell [h gp.] // Acta Phys. Slov. 1999. T. 49. C. 653.

Приложение А. Определение верности канала в терминах матрицы Чоя

Ниже будет представлен вывод выражения (1.63) для оптимальной верности канала в терминах матрицы Чоя.

Для начала вспомним определение полного канала, представленного в Главе 1, состоящего из операций кодирования (С), действия шумов (.V), процедуры восстановления (К): Q = Ко^оС. Используя верность перепутывания (the entanglement fidelity) в качестве меры для протокола коррекции ошибок, запишем

Fe(Q) = <Ф+ | (Q 0 1Пе)( | Ф+) <Ф+ | ) | Ф+> . (A.1)

Здесь |Ф+) - максимально перепутанное состояние между рассматриваемой системой из кодового пространства Н и вспомогательной системой Не той же размерности, которое можно записать в виде

| Ф+> = ^(|0н) |0Н) + |1н)|1н)). (A.2)

Обратим внимание на то, что

(Q0!He)(|Ф+) (Ф+|) = 2 Q(Ы Ы) 0 Ы.) | = (A.3)

= 1 Е^=0 E^o^SWMGpH (^н\) 0 ^Не) ("Не | ,

где [Xq][mp] [^ct] е В(Н 0 Н) - матрица Чоя [6,55], определенная для квантового канала Q. Также как и набор операторов Крауса {Qj} матрица Чоя [Xq][w],[w] полностью характеризует квантовый канал Q. Так полная положительность отображения Q соответствует неотрицательности матрицы Чоя: [Xq]^] ^] У 0. В то же время, сохранение следа отображения Q в терминах матрицы Чоя имеет вид

dim(He)

TrHe[Xs] = £ ЫшыЫЫ = 1н. (A.4)

p=o

Здесь 1н - тождественное преобразование в гильбертовом пространстве Н. Обратим внимание, что неотрицательность матрицы Чоя [Xq][w] ^ и требование (A.4) приводят к тому, что элементы матрицы Чоя [Xq]^],^] образуют выпуклое множество.

Используя выражение (А.4), упростим выражение для верности (А.1) следующим образом

1 1 1

ад) =1 <Ф+| (Е Е м^ы-км ы) ® ые) |) |Ф+> = 11

= 4 Е [Х2]М,М, (А.5)

^,и=0

где матричные элементы матрицы Чоя определяются как

[Хе]м,м = <рп1 0,{\т) <Ы) Ы). (А.6)

Аналогично можно определить матрицы Чоя для канала кодирования С, шумового канала N и канала восстановления Я:

[Хс]м,м = <рНл 1С(Ы К1) 1°нл), (А.7)

][МР],[иа] = <Рпл № (рил ) <»пл |) кп ) , (А.8)

\Хп][МР],[иа] = <РПЛ 1 ) Ып |) ) , (А.9)

где р, и,р,а Е {0,1}.

Используя определение полного канала Q = Я о N о С, преобразуем выражение (А.5) как

1 1 1 1

Ре(0) = 4 У^ [ХКоЯоС ][И},[Ц] = 4 Е [ХКоЯоС]и,Ц. (А.10)

1,3=0 ъ,3=0

Для дальнейшего преобразования выражения оптимальной верности канала, рассмотрим супероператор Тд, определенный для квантового отображения Л : В(Н]) ^ В(Н2), действующего из операторного пространства Н1 ® Н1 в пространство Н2 ® Н2 той же размерности. Матричные элементы супероператора Т^ определяются как =

[Хд]^],^-]. Отметим важное свойство супероператора:

ТВол = ТВТЛ. (А.11)

Тогда преобразуем выражение (А.10) следующим образом

1 1 1 1 1 Ре(0) = 4^^\ХПо.Мос ][а],[ц] = 4 Е [ТпоМос = 4Тг

1,3=0 ъ,3=0

ТкоЯоС

(А.12)

где под операцией следа Тг подразумевается операция вычисления следа супероператоров. Воспользуемся свойством супероператора (А.11) и упростим выражение (А.12):

1

[ТъоЯоС ]-,'/ ,ц' = Е [Хк\[тЛ[т' / ]\Хя\[пт],[п' т ][ХС\т],[г п ], (А.13)

п,п ,т,т =0

где j,j', i, г е {0,1}. Здесь также Xr е В(НЛ 0 Нп), XM е В(Нп 0 Hd), Xc е B(Hd 0 Н) - матрицы Чоя для канала восстановления К, шумового канала N и канала кодирования С, соответственно. Далее запишем матрицу процесса в терминах матриц Чоя [6,55] как

1

[WR][mY ], [mi] = ^ [X^] [ram], [пт ] [XC \in],[i'п ], (A.14)

п,п =0

где т,т е {0,1}. Матрицу процесса Wr также можно записать в терминах операторов Крауса [6], как мы это сделали в выражении (1.65). Таким образом, верность канала в терминах матриц Чоя может быть записана, как

Fe(Q) = Fe(Ko^oC) = 1 TT[XRWR]. (A.15)

Приложение Б. Оптическая реализация CZ преобразования

Ниже будет обсуждаться оптическая реализация приближенного CZ преобразования (2.11), которая рассматривалась в разделе 2.1 Главы 2.

Кратко обсудим поэтапно оптическую реализацию CZ преобразования (см. рис. 2.5) в приближении отсутствия потерь в схеме. На вход рассматриваемой схемы подаются два ортогонально сжатых осциллятора (с учетом поворота на — — во втором канале), волновые функции которых имеют следующий вид

= \/ — е*р(—1 е—1) , (В.1)

- ^ехр (—1 е2^ Ф^Ы - гф-/2ехР (—1 , (В.2)

где Г\ и г2 - уровень сжатия соответствующих входных осцилляторов в канале 1 и 2. Также необходимо учесть наличие двух вспомогательных ортогонально сжатых осцилляторов, волновые функции которых имеют следующий вид

ФзЧ,зЫ - гехр ( — 1 е"2^ , (В.3)

Ф^Ы - ^Гехр ( — 1 е2^ . (В.4)

Здесь Го - уровень сжатия вспомогательных осцилляторов вдоль соответствующих квадратур.

Рассмотрим первый шаг: преобразование двух входных ортогонально сжатых осцилляторов на светоделителе ВБ". Волновая функция соответствующего двухмодового гауссова состояния имеет вид:

г у е2^ е"2г2 / 1 _ \

Фбя! (^1,^2) --т=-ехр — (е2г1 (р^ + Т1Х1)2 + е"2г2(р1х1 — Т1Х2)2) , (В.5)

ж 1 V 2

где р1 - — и т"! - л/1 — р! - амплитудные вещественные коэффициенты отражения и пропускания светоделителя ВБ", соответственно.

Второй и третий шаги содержат в себе реализацию инлайн-сжатия по - и х-квадратурам, соответственно. Сама процедура инлайн-сжатия содержит в себе, во-первых,

преобразование соответствующих каналов с помощью светоделителей ВБ2 и ВБ3 с коэффициентом отражения р, во-вторых, гомодинные измерения по у- и ж-квадратурам с последующими процедурами смещения (см. рис. 2.5).

После гомодинных измерений на четвертом шаге проводится преобразование соответствующих каналов с помощью светоделителя ВБ4 с коэффициентом отражения р4 = -.

1 + р

п

Далее в первом выходном канале требуется осуществить преобразование —, что соответствует Фурье-преобразованию по ж-квадратуре [146]. Волновая функция выходного двух-модового гауссова состояния в данной схеме будет соответствовать действию приближенного CZ преобразования на два сжатых входных осциллятора:

1Т,орис/ ч _ • 4ь0 - 4а>0С0 ( а,0 Иф0]2 - Ь0 Яе^] Яе^] + ее ЯеЦ]2 Ф°2 (Ж1,Ж2) = еХН Ь^ - 4а0С0

^ + "0 + ^ + Х2 (^2 + ео)\ (В.6)

4а,0 /

где ввиду громоздкости выражения были введены следующие обозначения:

«0 = {е-т+Г1+Г0) (2 (С + д) д2е™+2(п+г2 - 4Сде2(™+п+г2+3го^ +2(д (С + д) + 1)

деШ+2(г1+г2+го) - (д (8С + д (д (5С + д (д (С + д) + 7)) + 1б)) + 1б) е2(Ш+Г1+Г2+3Г0)-

2 (2д2 (д (С + д) + 2) - 5) ■ е2(№+г1+2го) + (д (С + д) + 2) д3еш+2г1 - 2де5№+2(-1+-2+го) +

2е2(^+Г1+Г2+Г0) + 2е?(2ш+^1+^2+^0)_2е?(зш+г2+^о) _ 14е4^+2г1+4го + бе6Ш+2^1+4го_

2е8Ш+2Г1+4Г0 - бе2(№+г1) + бе4^+2г1 - 2е&Ш+2Г1 - 2де3Щ+2^2+4го - 4де5Ж+2Г2+4Г0 -

2де7Ш+2г2+4го + 2дезш+2го + 2де5№+6го - 2де7Ш+2го - 2де9№+6го - (2е^^^ + 2е2^) ) / (4 (е2№ + 1)2 {е2№ (е2(г2+го) - е4^ + 1) + е4(^+ ^^ - ^.

(В.7)

Ь0 = (4д ((С + д) (е4го - 1) -2^о + е2^2 (е2№ + 1)) + (де-ш-2го((С + д)2 (-е4г^ + д (С + д) + 2е2(№+г2+го) + 2е2(г2+го)) (е№+2го {д (С + д) е2го - 2е2(№+г2) - 2е2г2) + 2 (С + д)))/

(е2(№+Г2+Г0) + - 1) ^ +4^0 + ^ + е2(Г2+Г0) - 1) - 4де-2П ^ + ^ + 1)2.

(В.8)

Со = ^е-2(\¥+Г1+го)(_2 2е 3\¥+2(П+Г2+3Г0) _ 2 Сд2е +2(п+Г2 +3го) _ 2де+2^0 Цд2 _ ^ х е 2(Г1+Г2+2Г0) + е 2(Г2+Г0) + + 2де™ (2 (д2 + 2) б^ _ б2^+4-0 + е2П0) +

де3ш+2г0(_2д2е2(^2+2^ + + 2) д2е2-1+6-0 + 2е2(п+г2) _ 4е2(г-2+п0) + 2е4-0)_

4 Сде2(^+Л+^+Т0) _ 4 Сде2(2Ж+п +Г2+Г0) + 2 е+2^1 (_2 ^д2 + 2) е 2(г2+^0) + е 2Г2+6Г0 + 7е4Г0_

3е8г0 _ 4) + 4Сд2еш+2г1 + 2е2(^+-1)(_2 {д2 + 2) е 2(г2+^ + е4^(2^4 + 4д2 + е 2(г2+^ _ 3) + +

4) + С^4е3^+2Г1+8Г0 + 3е2(Ш+п+2г0) _ 2д^^+2(^+^2+3^) _ 2де™+2г0 ^(п+Ы + е4г0^ +

2 ( — е 2(^2+Г0) + 3е4г0 _ е6Ш+2Г1+4Г0 _ 2 е8^+2п+8г0 _ 2 е2п+4г0 ^2(^2 +^0) _ 1^))/ (4 (е2№ + 1)2 (е2(ш+г2+г0) + _ 1) е 2^+4^0 + е + е 2(^2+г0) _ 1)).

(В.9)

е -2г1

1 ((2/С е3^^ + 2/С е22^+2(-2+-0) _ 2у/01 е2+ 2/Се11 ^0_

е + 1

2^С1 е3 ^ + 2 /С ei № + 2г VСте1 +4И+^0)) + ^ у/ате 2 ^+2^ +-2+п0)_ 2г ( С + д) /Сте2^+2г1+4г° + гд(С + д) /Сте1 ^+2г1 _ 2 г2(^2+-0)_ 21т\/е2Ш + 1 е2(^+Г1+Г2+Г0) _ 2гт\/~е + 1 е4Ц/+2г1+4г0 + 2г ту/е + 1 е2(ш+Г1 +2г0)_ 2гтУ^Пе2(ш+г1) + 2гте2г1 ^е^™ + 1))/(2/С(е2(ж+г2+^0) + е4(ж+г0) _ е2Ж+4г0 + е + е 2(г2+^0) _ 1)).

(В.10)

-2п

60 = е б2- + 1

х/ 2№9 ((2/С1 е2^+2(Г2+Г0) + 2уС1 е!^+2(Г2+Г0) _ 2/С1 е§+ 2/Се9№+4г0_

у 6 1

2/С1 е2№ + 2/С1 е!№ _ 2г^те 1^+2(-1+-2+-0) _ ^л/Сте!^+2(-1+-2+-0) + г ( С + д) т^е2Ш + 1 е2(г 1+г2+г0) + г (С + д) т^е2Ш + 1е2(ж+г 1+г2+г0) + гд ( С + д) /Сте+2г 1+4г0 _ г (С + д) т/е2Ш + 1 е2(ж+г 1+2г0) + г (С + д) т/е2№ + 1 е+2г 1+4г0 + 2г (С + /Сте^+2г 1 _ г (С + д) те2г 1 /е2№ + 1 + г(С + д)т/е™ + 1 е2(ж+г 1)))/(2/С(е(е2(г2+г0) _ е4г0 + 1) + е4(ш+г0) + е2(г2 +г0) _ 1)).

(В.11)

Здесь С = у/д2 + 4, Ш = аго81пЬ , а I и т - результаты гомодинных измерений по у- и ж-квадратурам.

Приложение С. Верность состояния, полученного в протоколе генерации сжатого состояния Фока с учетом неидеальности PNRD

Ниже будет представлен вывод выражения (2.27) для верности состояния, полученного в рассматриваемом протоколе генерации ССФ с учетом квантовой эффективности РЫИВ

'1еВ < 1.

В работе [27] было показано, что в рассматриваемом нами протоколе генерации ССФ после перепутывающего преобразования волновая функция двухмодового гауссова состояния имеет следующий вид

. (Ие[а]ИеМ - (Иф])2)

Ф (х1,х2) = --=--— ехр

/ж

2\1/4 г 1

- - (ах! + 2ЬХ1Х2 + ¿х2)

(С.1)

где а,Ъ,й Е Ъ удовлетворяют следующим условиям

ИеДО > 0, Ие[а] > 0, Ие[а]ИеИ - (Иф])2 > 0. (С.2)

Учитывая все это, можно записать состояние системы до перепутывания с вакуумной подсистемой с помощью светоделителя с коэффициентом отражения г/ед (рис. 2.8) в следующем виде:

|Ф) = JJ ! ^,Х^Х2(1Х3Ф (х1,Х2)Фуас (Хз) ^1) 1^2)21X3) 3, (С.3)

где Ф^ас (хз) - волновая функция вакуумного состояния в третьем канале.

Следующий шаг - это перепутывание 1-го и вакуумного 3-го каналов с помощью светоделителя с вещественным энергетическим коэффициентом отражения г/ед вакуумной моды. После преобразования светоделителя состояние системы описывается следующим образом

|ф') = J dxldx2dxзФ (^р Х1 + л/гьвХз,Х2)Фиас -/р хз) 1x1)11x2)21x3)3.

(С.4)

Здесь р = 1 - г/ед - вещественный энергетический коэффициент пропускания для вакуумной моды.

Исследование зависимости верности генерации ССФ от квантовой эффективности фотодетектора в рассматриваемой системе удобно проводить в терминах матрицы плотности. После взятия частичного следа по вакуумной подсистеме оператор матрицы плотности рассматриваемого состояния имеет вид

р = Тг3(р) = f dx'3 з(ж'з|р|ж'з)з = / dx'3 f dxi dx2 dxi dx2 Ф (/p xi + /гЦд x', x2)

X** (/Р xi + /¡hs x'3, x^ *vac (/¡teff xi - /p x'3)

хФ*ас( /hffxCi -/px') |xi)i|x2)2 i(xi| 2 ^2 |, (C.5)

где p - оператор матрицы плотности рассматриваемого трехмодового состояния. Здесь и далее количество интегралов равно числу соответствующих дифференциалов.

Далее состояние в первом канале измеряется на детекторе числа фотонов. Предположим, что результатом измерения является число n. Такое измерение приводит к следующей ненормированной матрице плотности состояния:

1<пЙП>1 = / dxi dxidx^ dxi <Й2 dx' * (^xi + ff^) ** (ль + ff^)

х *v ac [/feff x -/px') *Vac (VVeff xt\ - /> x' ) i(n|xi )i|x2)2i (xi | 2 (x2 |n)i. (C.6)

Необходимо учесть, что

1 2/

i(n|x )i = Vn(x1) = 2 e-Xl'2Hn(xi),

Vi2n'Vn!

где Hn(x) - это полином Эрмита. Тогда матрица плотности выходного состояния может быть записана в виде:

Poui = ^ / dxi ite'i dx2 dx^2 dx' Ф (/p x + /feff x', xj *vac (/feff x - /Р x') ^n(xi) X** (/P xl + /Tkff ^ *vac (/feff xl - /Р x') ^n(x'l ) =

= / dx2 dxC2dx' *oui (x2,x', ??eff) ^x', 7/eff), (C.7)

где

*o-(x2,x3,„e„) = / ^ * ^ + ^ x',x2) - ^x') *.(x',). (C.8)

После проведения процедуры измерения необходимо восстановить нормировку матрицы плотности выходного состояния: N = f dx^x'^'out(x2, x', ^eff)|2. Используя определение верности (2.25), получим:

FnOff) = f dx' ^ ^ *ou (x2,x', Mx2, Я, п)ф*,( (x2, x', ^Sf^, Я n) =

x '

i^'oui(x2, x', /7eff)*SF(xi, Я, n)

(C.9)

Приложение D. Учет квантовой эффективности детектора г/^ < 1 в протоколе генерации негауссовых состояний с измерением числа частиц в фоковском представлении

Ниже будет представлено доказательство того, что в протоколе генерации ССФ в схеме с измерением числа частиц при квантовой эффективности детектора г/ед < 1 верность генерации не зависит от сжатия генерируемого состояния.

Обратимся к протоколу генерации ССФ (рис. 2.8), где квантовая эффективность детектора г/ед < 1 учитывается путем введения в схему дополнительного светоделителя, перепутывающего измеряемую моду с вакуумной (рис. 2.8). Пусть |Ф)12 - волновой вектор, описывающий двухмодовое перепутанное состояние (до перепутывания с вакуумной подсистемой). Данное состояние можно представить в виде разложения по состояниям Фока

1Ф)12 = Е^Н^Ь, (°.1)

тп

где Стп - соответствующие коэффициенты разложения.

Если бы в протоколе генерации использовался «идеальный» детектор, квантовая эффективность которого г/ед = 1, то измерение М фотонов в первом канале приводило бы к следующему состоянию на выходе схемы

№)2 = 1(МI Е Стп1т)11п)2 = Е Смп1п)2. (Б.2)

тп п

Однако, наша цель учесть, что г/ед < 1. Для этого опишем перепутывание 1-го и вакуумного 3-го каналов (рис. 2.8) с помощью светоделителя [147,148], действующего на состояния Фока следующим образом

т

|т)1|0)з (-1)^т -кЩ »4(1 - ^Г-' 1т - к)^, (Б.3)

где г/ед и 1 - г/ед - вещественные энергетические коэффициенты отражения и пропускания светоделителя для вакуумной моды, соответственно. Тогда состояние системы после

процедуры перепутывания с вакуумной подсистемой имеет следующим вид

т

^^ / т.

ВвЫФЫОЬ = ^ Стп^(-1)^т- щпТ- 1т - к^Шк)*. (0.4)

Далее состояние в первом канале измеряется на детекторе числа фотонов. Пусть число М - это результат измерения. Такое измерение приводит к следующему вектору состояния

!{М 1Вв 1з|Ф)12|0)з = ^АтМСтп\п)21т - М)* = ^АтМ 1т - МСтп\а)2 =

тп т п

= ^Атм 1т -М)з|Ф^;и')2, (0.5)

где коэффициенты

(

=(-1)""^1 -т-ММ. (1 - *->" (°.6)

отражают вероятность того, что при числе М задетектированных фотонов из «реального» состояния было вычтено число т фотонов. Здесь мы также учли, что 1{М 1т - к)3 = 5м,т-к. Из полученных соотношений видно, что эффективность фотодетектирования влияет лишь на коэффициенты разложения Атм, но не на состояния |Ф^).

В работе [28] было показано, что состояния |Ф^) представляют из себя суперпозицию конечного числа состояний Фока, на которую действует оператор сжатия. Измеренное число фотонов т влияет лишь на суперпозицию, но не на параметр сжатия. Параметр сжатия зависит лишь от параметров схемы генерации. Из этого следует, что оператор сжатия не зависит от индекса суммирования и может быть вынесен за знак суммы в (0.5). Из этого следует, что верность генерации, описываемая выражением (2.27), не зависит от сжатия генерируемого состояния.

Приложение Е. КЛ условия для кода, построенного с использованием сжатых состояний Фока с произвольным номером п

Ниже будет представлен явный вид КЛ условий (1.20) для кода коррекции ошибок, построенного с помощью ССФ с произвольным номером п (3.6)-(3.7).

Как и для первого ССФ, условие на норму ошибок (3.5) выполняется точно для ССФ с любым номером п:

0ь,8р; п

Ще3

0ь,8р;п

1ь,8р; п

Ще3

1ь,8р; п

(Е.1)

С другой стороны, КЛ условия на сохранение ортогональности кодовых слов после действия элементарных ошибок зависят от четности используемых кодовых слов. КЛ условия на сохранение ортогональности кодовых слов ССФ с нечетными номерами п, представлены в Таблице Е.2.

Ег\Е3 I а а) а (а^а)2

I Г(п+1) 4/2е-3г 0 г( 1) /2пе-3г Г(п+г) 5/2е-Зг

г( Ч1 )2 2" г( ^) ^ г( ^ ) ^

а 0 Г( 72 ) /2пе-3г 0 0

г( ^ ) ^

а* а г( 1) /2пе-3г 0 Г(П+Г) 5/2е-3г Г( 12 + 1) 2п17е-3г

г( ^ ) ^ г( ^ ) ^ Г(п+1) тг/2

(аа)2 Г(Чг) 5/2е-3г г( ^ 0 Г( 1+ 1) 2п17е-3г Г(п+1) тг/2 Г( 1+ 1) 121 2" е-3г Г(п+1) 2/2ж

Таблица Е.2: Асимптотическое поведение КЛ условий <0ь,8р; 2 п + 1

е\Е3

1ь,8р; 2 п + 1) и

1ь,8р; 2п + 1

ЩЕз

0ь,8р; 2п + 1) при больших значениях параметра г для ССФ с нечет-

ными номерами п. Здесь Г(т) - Гамма-функция от т.

Мы видим, что все ненулевые выражения стремятся к нулю при больших значениях параметра сжатия г, как О (е-3г).

КЛ условия в случае использования ССФ с четными номерами п, представлены в Таблице Е.3.

Ег\Е] I а а^а (а^а)2

I ^2Г() „-г 0 Г( ) „-Г г(^)

/*г( )с /2¥г( у Г(=+2) 2/2^

а 0 Г() 0 0

а^а Г() 0 Г( ^ ) е- Г( ^) 5е-

/2¥г(=+2 у Г(^+2)2/2к Г( Щ+2 ) 4^2^

(а^а)2 Г( ^) е- Г()2/2¥ 0 Г( ^) 5е-г(Щ+2) 4/2¥ Г( Чт ) 2п17е-г Г(га+1) 8^/2

Таблица Е.3: Асимптотическое поведение КЛ условий (0ь,8р;2п

1ь,8р;2п) и

Ь,8Р

2п

Ще3

0ь,8р; 2п) при больших значениях параметра сжатия г для ССФ с чет-

ными номерами п.

Из таблицы Е.3 мы видим, что все ненулевые условия стремятся к нулю при больших значениях параметра сжатия г, как О (е~г). Сравнивая Таблицу Е.2 с Таблицей Е.3, можно сделать вывод, что использование ССФ с нечетными номерами п лучше, поскольку КЛ условия для них быстрее стремятся к нулю, чем такие же КЛ условия для четных ССФ.

Кроме того, не сложно показать, что каждый ненулевой элемент Таблицы Е.2 принимает свое минимальное значение в случае, когда п =1. Это означает, что КЛ условия наилучшим образом выполняются для первого ССФ. Из этого также следует, что при больших значениях параметра сжатия г КЛ ценовая функция для первого ССФ будет иметь минимальное значение среди всех возможных ССФ.

Приложение F. КЛ-тензор для сжатых состояний Фока

Для построения восстановительной процедуры föpetz и расчета Petz верности канала для кодовых слов (3.6) и (3.7) в виде ССФ с номерами п = 2 и параметрами сжатия г = ±0.57 необходимо получить явный вид соответствующего КЛ-тензора M^^j] = {/iL\KjKj\uL). Для этого следует использовать набор операторов Крауса ошибок потери фотонов (4.3) и (4.4) и дефазировки (4.5) и (4.6). Тогда КЛ-тензор M[ßi],[Uj] имеет следующий вид:

а) для ошибки потери фотонов:

8 0

(5^3-1)71

М

0

jL 6 ^3

V

б) для ошибки дефазировки:

2 0

72

6 ^ 0

((52-5У3)71 + (4-20У3)71+8) 8

0

0 0 0

(5^3-1)71 2

(F.1)

(329.9372 - 21.6772 + 1 3.837У2 - 76.97723/2 0.0872 + 0.51 ъ

М

3.83fl/2 - 76.97f3/2 0.08f22 + 0.5172

0.72

3/2

21.6772 0.72 7 -0.5172

3/2

3/2

0.72 7

329.9272 - 21.6772 + 1 3.8 3721/2 - 76.9 772з/2

0.727l/2 N -0.5172 3.83721/2 - 76.977З2 21.6772

(F.2)

0

0