Разработка методов анализа влияния декогерентизации на качество квантовых преобразований, алгоритмов и измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат наук Бантыш, Борис Игоревич

• Бантыш, Борис Игоревич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Бантыш, Борис Игоревич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Квантовые вычисления

1.1 Квантовые биты и операции над ними

1.2 Алгоритмы Гровера и квантового преобразования Фурье

1.3 Физическая реализация квантовых вычислений

1.4 Выводы по главе

Глава 2. Анализ качества квантовых преобразований с учётом

действия процессов декогерентизации

2.1 Обзор методов анализа зашумлённых квантовых преобразований

2.1.1 Способы описания открытых квантовых систем

2.1.2 Марковские процессы

2.1.3 Анализ характеристик квантовых преобразований

2.1.4 Амплитудная и фазовая релаксация

2.2 Анализ возможности двухкубитовых преобразований запутывать квантовые состояния

2.3 Распространение света в анизотропное среде с дисперсией

2.4 Выводы по главе

Глава 3. Моделирование неидеальных многокубитовых

квантовых схем

3.1 Обзор методов учёта шумов при моделировании квантовых схем

3.1.1 Систематические и случайные ошибки

3.1.2 Метод квантовых траекторий

3.1.3 Аналитические оценки

3.2 Подход, основанный на формализме квантовых операций

3.2.1 Случайные унитарные ошибки в представлении операторов Крауса

3.2.2 Модель фиксированного ранга

3.3 Выводы по главе

Стр.

Глава 4. Разработка протоколов зашумлённых квантовых

измерений

4.1 Томография квантовых состояний

4.1.1 Измерение квантовых состояний

4.1.2 Реконструкция состояний

4.1.3 Оценка точности томографии

4.1.4 Влияние ошибок на квантовую томографию

4.2 Разработка протоколов, учитывающих влияние квантовых

шумов на квантовую томографию

4.2.1 Подход нечётких измерений

4.2.2 Измерения после декогерентизации

4.2.3 Учёт конечной эффективности детекторов фотонов

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Ортогонализация шума

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов анализа влияния декогерентизации на качество квантовых преобразований, алгоритмов и измерений»

Введение

Необходимость разработки методов вычислений, альтернативных классическим, прежде всего связана с тем, что современные технологии создания процессоров приблизились к отметке, когда один транзистор содержит порядка сотни атомов [1]. Дальнейшее уменьшение размеров ведёт к всё более существенной роли паразитных квантовых эффектов. Считается [2], что предел в размере транзистора в 5 им будет достигнут к 2022 году, и это послужит конечной точкой для закона Мура [3].

Идея квантовых вычислений была предложена независимо Ю. Маниным [4] и Р. Фейнманом [5] в начале 80-х годов прошлого века. С тех пор было разработано множество квантовых алгоритмов, которые за счёт таких специфически квантовых ресурсов, как запутанность (entanglement) и квантовый параллелизм, в некоторых случаях дают полиномиальный и даже экспоненциальный рост в скорости вычислений по сравнению с классическими вычислительными устройствами [6; 7].

Единицей квантовой информации в квантовом компьютере является квантовый бит, или кубит (quantum bit qubit). Здесь будет преимущественно рассматриваться вентильная (гейтовая) модель квантовых вычислений, подразумевающая поочерёдное применение преобразований (гейтов) к одному или нескольким кубитам. Однако стоит упомянуть о моделях кластерных [8] и адиабатических [9] квантовых вычислений, которые формально по вычислительной мощности эквивалентны гейтовой модели и обладают своими преимуществами и недостатками.

Параллельно с работами по созданию квантовых компьютеров ведутся работы по созданию квантовых симуляторов, направленных на решение узкого класса специальных физических задач. Работа симулятора осуществляется путём имитации поведения сложного составного квантового объекта с помощью квантового регистра, свойства которого аналогичны свойствам изучаемой системы и состоянием которого можно управлять. В 2017 году был разработан квантовый симулятор, который позволял симулировать модель Изинга в линейной цепочке из 51 частицы [10].

К настоящему моменту уже предложено множество решений по реализации гейтовой модели квантовых вычислений с использованием различных

физических носителей квантового состояния [6; 7; 11; 12]. Каждое из них обладает своими преимуществами и недостатками. Поскольку в научном сообществе всё ещё не сформировано единое мнение насчёт того, какая из физических платформ должна в конечном счёте использоваться для построения универсальных квантовых вычислений, работы по их развитию ведутся параллельно. Также известны работы, в которых пытаются объединить физические объекты различного типа в одну гибридную платформу, совместив тем самым их положительные стороны.

Большое внимание сейчас приковано к сверхпроводниковой реализации квантовых вычислений, поскольку несколько крупных IT-компаний взялись за разработку квантовых вычислительных устройств именно на этой физической платформе. В 2017 году компании Intel и IBM объявили о выходе универсальных 17-кубитовых процессоров. Впоследствии компания IBM также выпустила 20-кубитовое устройство, а также предоставила ограниченный online-доступ к некоторым своим сверхпроводниковым процессорам. В марте 2018 года компания Google заявила о выходе 72-кубитового универсального сверхпроводникового квантового процессора, основная цель которого заключается в демонстрации «квантового превосходства», а также работы поверхностного кода коррекции ошибок. Стоит также упомянуть об активности канадской компании D-Wave Systems, которая в 2011 году заявила о выходе первого в мире коммерчески доступного квантового компьютера, состоящего из 128 кубитов, а уже в 2017 году о выходе D-Wave 2000Q, содержащего 2000 кубитов. Данные квантовые компьютеры решают ограниченный класс задач, реализуя адиабатический алгоритм квантового отжига, однако в научной среде ведётся множество споров о том, являются ли эти вычислительные устройства действительно квантовыми.

В последнее время большие надежды возлагаются на полупроводниковую реализацию квантовых вычислений. Так, в начале 2018 года в журнале Nature был опубликован обзор недавних достижений в данной области, а также перспектив ближайшего развития [13]. В частности, указывается, что в 2017 году двум группам исследователей удалось сконструировать работоспособные двух-кубитовые процессоры на полупроводниковых квантовых точках. Заявляется, что на основе полученных результатов в течение ближайших пяти лет будет сконструирован универсальный 10-кубитовый полупроводниковый процессор.

Несмотря на значительный прогресс в развитии квантовых технологий, существует ряд препятствий на пути реализации концепции полномасштабных квантовых вычислений. Помимо технологических проблем, связанных с необходимостью использования особо чистых материалов, сверхнизких температур, сверхвысокого вакуума, качественного управляющего оборудования и т.п., существуют фундаментальные трудности и ограничения, связанные с особенностями взаимодействия квантовой системы со своим окружением и макроскопическими приборами. Для обеспечения контроля квантовых состояний и квантовых процессов необходимо разрабатывать методы адекватного учёта этих взаимодействий, которые позволяли бы выявлять узкие места квантовых вычислений при заданных условиях, формулировать требования к технологическому оборудованию, а также создавать и совершенствовать активные и пассивные методы подавления ошибок.

Окружение квантовой системы может обладать чрезвычайно большим числом степеней свободы, поэтому на практике прибегают к использованию формализма квантовых операций, сводящегося к описанию редуцированной динамики открытых квантовых систем, в основе которой лежит концепция полной положительности. Данная концепция была неоднократно обоснована рядом исследователей: К. Краусом [14], Г. Линдбладом [15], В. Горини и др. [16], Д. Эвансом и Д. Льюисом [17] в статистической механике и А. С. Холено [18] в квантовой теории сообщений. Концепция полной положительности может быть формализована с использованием различных практически эквивалентных процедур, каждая из которых играет важную роль для осуществления всестороннего моделирования динамики квантовых систем. На основе унитарного представления квантового преобразования в расширенном пространстве могут быть описаны процессы релаксации, происходящие одновременно с идеальной гамильтоновой эволюцией (в этом случае все процессы рассматриваются с общих теоретических позиций на базе единого уравнения Шредингера). Формализм операторной суммы позволяет наглядно разложить неунитарную эволюцию квантового состояния по компонентам, которые определяются соответствующими операторами Крауса. Сами операторы Крауса при этом определены с точностью до весьма широкого унитарного произвола. Весьма важным с практической точки зрения является изоморфизм Чоя Ямилковско-14), который ставит в соответствие некоторому преобразованию, действующему в гильбертовом пространстве размерности в, квантовое состояние (состояние

соответствия или состояние Чоя Ямилковского), определённое в гильбертовом пространстве размерности в2. Соответствующий формализм очень важен для анализа качества проектируемых вентилей. Фактически, в этом случае анализ эволюции бесконечного числа возможных состояний может быть заменен исследованием единственного состояния, хотя и заданного в пространстве более высокой размерности. Более того, в работе [19] было показано, что точность, определяемая для состояния Чоя Ямилковского, линейно связана с точностью, которая получается в результате усреднения по всем чистым состояниям, подаваемым на вход рассматриваемого преобразования. На основе описанных выше процедур в работах ФТИАН РАН [20 23] производилось моделирование важных с практической точки зрения квантовых преобразований, действующих в условиях наличия деполяризующего шума, а также процессов амплитудной и фазовой релаксации. Рассматриваемый подход был также применён в работе [24], где посредством численного анализа и томографии квантовых процессов осуществлялась характеризация квантового преобразования, выполняемого фазовой пластиной над поляризационным квантовым состоянием света.

Наряду с анализом качества отдельных квантовых преобразований необходимо разрабатывать методы оценки устойчивости многокубитовых квантовых алгоритмов по отношению к действию процессов декогерентизации. Однако при переходе к моделированию многокубитовых систем приходится сталкиваться с трудностью экспоненциального роста размерности гильбертова пространства с увеличением числа кубитов. Так, для описания произвольного чистого п-кубитового состояния требуется задать по меньшей мере 2в — 2 действительных переменных, где в = 2п — размерность пространства. Настоящий рекорд моделирования в этой области составляет 56 [25] ку битов. Рассматриваемая задача существенно усложняется при попытках произвести симуляцию реалистичных зашумлённых квантовых алгоритмов, поскольку это подразумевает переход от описания системы на языке чистых векторов состояний длины в к матрицам плотности размерности в х в, описывающим смешанные состояния. При этом ранг матрицы плотности г (число компонент смеси) растёт с каждым неунитарным преобразованием и быстро достигает своего максимального значения г = в. В этом случае описание матрицы плотности требует управления з2 — 1 независимыми действительными параметрами. Наиболее распространённым подходом к анализу влияния шумов на квантовые алгоритмы является

моделирование, основанное на методе Монте Карло. В его рамках рассматривается динамика чистого вектора состояния, а ошибки вводятся в модель путём добавления в алгоритм случайных преобразований первого ранга. Такой зашумлённый алгоритм симулируется множество раз, после чего производится усреднение результатов. Стоит отметить работы, в которых на основе ряда приближений строятся аналитические оценки точности квантовых алгоритмов [26; 27]. Наиболее удобным для анализа является деполяризирующий шум, сводящийся к переходу л 106014) состояния в полностью хаотическое с заданной вероятностью. Такой шум коммутирует с любым квантовым преобразованием, что существенно упрощает анализ устойчивости алгоритма.

Наконец, полноценный контроль качества элементной базы квантовых вычислительных систем невозможен без наличия должной методологии измерения параметров квантовых состояний и процессов, реализуемых в условиях реального эксперимента. В основе такой методологии лежит сформулированный Н. Бором принцип дополнительности [28], согласно которому для характеризации квантового состояния необходимо произвести серию взаимно-дополнительных измерений. Далее на основе совокупности этих измерений производится реконструкция исходного квантового состояния. Непосредственное описание матрицы плотности как объекта в многомерном гильбертовом пространстве является простым только в случае двумерного состояния кубита (в этом случае геометрия квантового состояния непосредственно задается сферой Блоха). Однако, по мере роста размерности гильбертова пространства, геометрия пространства состояний становится крайне сложной [29]. Направление квантовой теории, посвященное определению неизвестного квантового состояния путём проведения взаимно-дополнительных измерений с последующей реконструкцией состояния, получило название квантовая томография. В настоящее время разработано множество различных подходов, направленных на решение этой задачи, объединяющих в себе современные методы квантовой механики, статистики и программирования [30 35]. Результаты, изложенные в настоящей диссертационной работе, опираются на метод максимального правдоподобия, используемый в связке с корневым подходом (этот подход предполагает оценивание не матрицы плотности р, а корня из неё с = д/р). Данная методология, развитая ФТИАН РАН в работах [32; 36—40], обеспечивает точность квантовой томографии, близкую к фундаментальному

физико-статистическому пределу. Развитый математический аппарат, основанный на анализе информации, получаемой из измерений с использованием того или иного протокола измерений, позволяет давать количественную оценку достижимой точности томографии [32; 37; 41].

Существенным ограничением точности квантовой томографии является наличие случайных и систематических ошибок, возникающих при измерении квантового состояния. Разработка методов квантовых измерений, обладающих высокой эффективностью и прецизионной точностью в условиях действия квантовых шумов, является задачей, актуальной с научной и практической точек зрения.

Из всего вышесказанного вытекает актуальность задач, направленных на всесторонний учет влияния процессов декогерентизации на качество и эффективность квантовых операций и измерений. Решение такого рода задач легло в основу настоящего диссертационного исследования.

Целью данной работы является разработка методов моделирования и контроля многокубитовых квантовых регистров, работающих в условиях действия процессов декогерентизации.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать влияние декогерентизации на способность двухкубитовых преобразований запутывать квантовые состояния.

2. Рассмотреть возникновение декогерентизации поляризационного квантового состояния внутри анизотропной среды с дисперсией.

3. Разработать методы моделирования квантовых алгоритмов высокой размерности, работающих в условиях действия процессов декогерентизации.

4. Исследовать влияние декогерентизации на квантовые измерения и разработать протоколы квантовых измерений, устойчивые к негативному влиянию декогерентизации.

5. Разработать устойчивые к ошибкам протоколы квантовых измерений поляризационных состояний света.

Научная новизна:

1. С использованием изоморфизма Чоя Ямилковского проанализировано влияние декогерентизации на способность двухкубитовых преобразований создавать запутанные многокубитовые состояния. Были рассмотрены основные двухкубитовые преобразования, в том числе лежащие в основе сверхпроводниковых фазовых кубитов. Анализ показал возникновение корреляций ошибок, которые изначально действовали на кубиты независимо.

2. Рассмотрена декогерентизация состояния поляризационного кубита, вызываемая наличием спектральной степени свободы излучения, которая проявляется при распространении света внутри анизотропной среды с дисперсией. Предложена приближенная аналитическая модель для расчета действия фазовой пластины на поляризационное состояние с учетом дисперсии света.

3. Показано, что модель случайных унитарных преобразований, используемая при моделировании зашумлённых алгоритмов, статистически эквивалентна модели, основанной на формализме квантовых операций. Предложенный приближённый метод симуляции зашумлённых много-кубитовых квантовых алгоритмов, основанный на выделении главной компоненты квантового состояния после каждого акта его неунитарной эволюции, требует значительно меньших вычислительных ресурсов по сравнению с полноранговым моделированием эволюции матрицы плотности, но при этом согласуется с ним с высокой точностью. Были построены аналитические оценки точности алгоритмов Гровера и квантового преобразования Фурье, с высокой точностью согласующиеся с результатами полнорангового моделирования.

4. Разработана методология учёта квантовых шумов, возникающих при томографии квантовых состояний. В основе неё лежит использование в качестве операторов измерения обобщённых положительно определённых операторов, которые могут описывать произвольные неидеальные измерения. Предложены протоколы квантовой томографии, которые учитывают широкий класс ошибок измерений, сводящихся к декогерентизации квантового состояния непосредственно перед проведением измерения над ним. Данные протоколы позволяют с высокой точностью

и

реконструировать исходное квантовое состояние в том виде, в каком оно было до того, как начало подвергаться воздействию декогерентизации.

5. Предложен протокол квантовой томографии многофотонных поляризационных состояний света, учитывающий конечную квантовую эффективность однофотонных детекторов, который наряду с полными совпадениями дополнительно учитывает информацию, содержащуюся в событиях, когда в одном или нескольких каналах детекторы не сработали. Методами статистического анализа было продемонстрировано преимущество разработанного протокола по сравнению со стандартным подходом полных совпадений, рассматривающими только идеальные измерения.

Практическая значимость. Полученные в рамках данного исследования результаты могут быть использованы в целях анализа качества реалистичных квантовых систем с учётом постоянно развивающихся технологий изготовления квантовых регистров, где декогерентизация квантовых состояний является основным препятствием на пути реализации концепции полномасштабных квантовых вычислений. Предложенные методы оценки точности многокубитовых квантовых алгоритмов позволяют производить анализ их устойчивости по отношению к негативному влиянию декогерентизации. Предложенная методология учёта шумов в квантовых измерениях позволит осуществлять высокоточную томографию квантовых состояний в условиях реального эксперимента, в котором несовершенство измерительной установки существенно ограничивает возможности томографии. Результаты работы позволяют усовершенствовать моделирование реальных квантовых вычислительных технологий, а также повысить уровень контроля их качества и эффективности.

Методология и методы исследования. В основе используемого в данной диссертационной работе подхода лежит формализм квантовых операций, а также изоморфизм Чоя Ями л конского, который позволяет сопоставить любому квантовому преобразованию некоторую матрицу плотности в пространстве большей размерности. Для моделирования квантовых преобразований, выполняемых в условиях непрерывного воздействия процессов декогерентизации, использовался подход, разработанный ФТИАН РАН в работах [20; 22] и др. При разработке протоколов квантовых измерений, подверженных влиянию декогерентизации, рассматривались измерения, образующие разложение единицы, а для реконструкции квантового состояния использовался метод максимального

правдоподобия совместно с корневым подходом, которые позволяют обеспечить точность квантовой томографии, близкую к фундаментальному физико-статистическому пределу. В основу используемых методов и алгоритмов легли результаты, полученные ФТИАН РАН в работах [32; 40] и др. Теоретический анализ достижимой точности томографии осуществлялся путём анализа матрицы полной информации, являющейся обобщением информации Фишера на случай квантовых измерений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Подход к анализу зашумлённых квантовых операций, основанный на изоморфизме Чоя Ямилковского, позволяет оценивать степень влияния декогерентизации на способность квантовых вентилей создавать запутанные многокубитовые состояния.

2. При распространении света внутри анизотропной среды с дисперсией происходит декогерентизация поляризационного квантового состояния, вызываемая наличием у него спектральной степени свободы. Полученные результаты находятся в согласии с результатами экспериментального изучения эффекта поляризационного эха.

3. Модель случайных унитарных преобразований, используемая при моделировании зашумлённых алгоритмов, статистически эквивалентна более общему подходу, основанному на квантовых операциях. Предложенная аппроксимация динамики многоку битового состояния, основанная на выделении главной компоненты смешанного состояния после каждого акта неунитарной эволюции, позволяет с высокой точностью симулировать зашумлённые квантовые алгоритмы более высокой размерности. Полученные аналитические оценки точности алгоритмов Гровера и квантового преобразования Фурье с высокой точностью согласуются с результатами численного моделирования в рамках полных моделей.

4. Разработанная методология нечётких квантовых измерений позволяет учитывать возникающие при томографии ошибки. Теоретический анализ информации, получаемой из измерений, позволяет количественно оценить степень влияния шумов на достижимую точность квантовой томографии и определить объём выборки, необходимый для их компенсации.

5. Использование подхода нечётких измерений при томографии многофотонных поляризационных состояний света позволяет получать информацию из событий, связанных с потерей фотонов в одном или нескольких каналах из-за конечной квантовой эффективности детекторов. Данный подход даёт значительно более высокую точность томографии по сравнению со стандартным подходом полных совпадений, рассматривающим только идеальные измерения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением современных методов квантовой теории и математической статистики, а также сравнением результатов с работами других авторов. Выводы полученных теоретических результатов находятся в согласии с результатами реальных и численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

— Научной сессии НИЯУ МИФИ (Россия, Москва, 27 января 1 февраля 2014г.);

— Международной конференции «Микро и наноэлектроника 2014» 1СММЕ-2014 (Россия, Звенигород, 6 10 октября 2014г.);

— XII международной научно-технической конференции «Оптические технологии в телекоммуникациях» (Россия, Казань, 18 21 ноября 2014г.);

— 25 международной конференции по лазерной физике ЬРНУ8'16 (Армения, Ереван, 11 15 июля 2016г.);

— Международной конференции «Микро и наноэлектроника 2016» 1СММЕ-2014 (Россия, Звенигород, 3 7 октября 2016г.);

— X семинаре им. Д. Н. Клышко (Россия, Завидово, 23 26 апреля 2017г.);

— 26 международной конференции по лазерной физике ЬРНУ8'17 (Россия, Казань, 17 21 июля 2017г.);

— Суперкомпыотерных днях в России (Россия, Москва, 26 27 сентября 2017г.);

— 27 международной конференции по лазерной физике ЬРНУ8'18 (Великобритания, Ноттингем, 16 20 июля 2018г.);

— Международной конференции «Сверхпроводниковые квантовые технологии» (Россия, Москва, 30 июля 3 августа 2018г.).

Личный вклад. Все представленные в работе результаты были либо получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор принимал прямое участие в постановке задач и анализе полученных результатов,

а также в подготовке публикаций в научных журналах и докладов на тематических конференциях.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, 10 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 10 в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 166 страниц, включая 25 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 195 наименований.

Глава 1. Квантовые вычисления

Данная глава представляет собой краткий литературный обзор области квантовых вычислений. В разделе 1.1 будет описан математический формализм, используемый для квантовых вычислений. В разделе 1.2 будут рассмотрены два важных квантовых алгоритма: поисковой алгоритм Грове-ра и квантовое преобразование Фурье. В разделе 1.3 будет описано несколько физических платформ, перспективных для построения полномасштабного квантового компьютера.

1.1 Квантовые биты и операции над ними

Как известно, квантовое состояние некоторой изолированной системы может быть описано волновой функцией ф^) (ц — набор обобщённых координат системы) [42] либо вектором |ф) в гильбертовом пространстве [43]. Везде ниже будет использоваться второй вариант обозначений. Кроме того, условимся работать в системе единиц, где Н =1.

В качестве базисных веторов гильбертова пространства выбираются собственные вектора некоторого эрмитовою оператора, поскольку они образуют ортонормированный базис. Для задач квантовых вычислений важно, чтобы спектр собственных значений этого оператора был дискретным и невырожденным. Часто в качестве такого оператора выбирают оператор энергии, или гамильтониан Н.

Гильбертово пространство в общем случае может иметь любую размерность, однако она может быть ограничена в базисными векторами, если известно, что система не может находиться в остальных состояниях при заданных условиях (либо может находиться с малой вероятностью). Если ограничить систему всего двумя базисными векторами (й = 2), то мы будем иметь квантовую систему, которая может находиться в одном из двух квантовых состояний, либо в их суперпозиции. Такая система называется квантовым битом, или кубичном, по аналогии с классическим битом, который может находиться в одном

из двух возможных состояниях (но не их суперпозиции). Состояние кубита есть

где со и С1 — комплексные числа (амплитуды), а символами |0) и |1) обозначены базисные вектора рассматриваемого 1,ильберто1,о пространства. В роли этих векторов могут, например, выступать собственные вектора оператора энергии атома, отвечающие его основному состоянию и одному из возбуждённых. Некоторые другие способы физической реализации кубита будут описаны в разделе

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бантыш, Борис Игоревич, 2018 год

Список литературы

1. 14 nanometer Wikipedia. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/14_ nanometer (дата обр. 18.04.2018).

2. Crothers, В. End of Moore's Law: It's not just about physics / B. Crothers. 08.2013. URL: https: / /www. cnet. com /news /end-of- moores- law- its- not-just-about-physics/ (дата обр. 18.04.2018).

3. Moore, G. E. Cramming more components onto integrated circuits /

G. E. Moore // Proceedings of the IEEE. 1998. T. 86, № 1. C. 82 85.

4. Манин, Ю. И. Вычислимое и невычислимое / Ю. И. Мании. М. : Советское Радио, 1980. 128 с.

5. Feynman, R. P. Simulating physics with computers / R. P. Feynman // International journal of theoretical physics. 1982. T. 21, № 6/7.

C. 467 488.

6. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность / К. А. Ва-лиев, А. А. Кокин. Ижевск : РХД, 2001. 352 с.

7. Богданов, Ю. И. Квантовые компьютеры: достижения, трудности реализации и перспективы / Ю. И. Богданов, К. А. Валиев, А. А. Кокин // Микроэлектроника. 2011. Т. 40, № 4. С. 243 255.

8. Raussendorf, R. A one-way quantum computer / R. Raussendorf,

H. J. Briegel // Physical Review Letters. - 2001. - Vol. 86, no. 22. -P. 5188.

9. Albash, T. Adiabatic quantum computing / T. Albash, D. A. Lidar. 2016. arXiv [quant-ph]: 1611.04471.

10. Probing many-body dynamics on a 51-atom quantum simulator / H. Bernien, S. Schwartz, A. Keesling [и др.] // Nature. 2017. Т. 551, № 7682. С. 579 584.

11. Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. М. : Мир, 2006. 824 с.

12. Quantum computers / Т. D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura,

C. Monroe, J. L. O'Brien // Nature. - 2010. - Vol. 464, no. 7285. P. 45 - 53.

13. Castelvecchi, D. Silicon gains ground in quantum-computing race /

D. Castelvecchi // Nature. - 2018. - Vol. 553, no. 7687. - P. 136 - 137.

14. Kraus, K. States, effects and operations: Fundamental notions of quantum theory / K. Kraus. - Berlin : Springer, 1983. P. 151.

15. Lindblad, G. Completely positive maps and entropy inequalities / G. Lind-blad // Communications in Mathematical Physics. 1975. - Vol. 40, no. 2. - P. 147 151.

16. Properties of quantum Markovian master equations / V. Gorini, A. Frigerio, M. Verri, A. Kossakowski, E. C. G. Sudarshan // Reports on Mathematical Physics. - 1978. - Vol. 13, no. 2. - P. 149 - 173.

17. Evans, D. E. Dilations of irreversible evolutions in algebraic quantum theory / D. E. Evans, J. T. Lewis. - Dublin Institute for Advanced Studies, 1977.

P. 104.

18. Холево, А. С. К математической теории квантовых каналов связи /

A. С. Холево // Проблемы передачи информации. 1972. Т. 8, № 1. С. 62 71.

19. Nielsen, М. A. A simple formula for the average gate fidelity of a quantum dynamical operation / M. A. Nielsen // Physics Letters A. - 2002. Vol. 303, no. 4. - P. 249 252.

20. Квантовые шумы и контроль качества элементной базы квантовых компьютеров на сверхпроводниковых фазовых кубитах / Ю. 14. Богданов,

B. Ф. Лукичёв, С. А. Нуянзин, А. А. Орликовский // Микроэлектроника. 2012. Т. 41, № 6. С. 387 398.

21. Богданов, Ю. И. Характеристики точности томографии квантовых процессов с использованием сверхпроводниковых фазовых кубитов / Ю. 14. Богданов, С. А. Нуянзин // Известия РАН. Серия физическая.

2012. Т. 76, № 2. С. 164 168.

22. Mathematical models of quantum noise / Yu. I. Bogdanov, A. Yu. Chernyavskiy, A. S. Holevo, V. F. Lukichev, A. A. Orlikovsky // Proc. SPIE. Vol. 8700.

2013. P. 870019.

23. Modeling of quantum noise and the quality of hardware components of quantum computers / Yu. I. Bogdanov, A. Yu. Chernyavskiy, A. S. Holevo, V. F. Lukichev, A. A. Orlikovsky // Proc. SPIE. Vol. 8700. - 2013. -87001A.

24. Quantum polarization transformations in anisotropic dispersive media / Yu. I. Bogdanov, A. A. Kalinkin, S. P. Kulik, E. V. Moreva, V. A. Sher-shulin // New Journal of Physics. - 2013. - Vol. 15, no. 3. - P. 035012.

25. Breaking the 49-qubit barrier in the simulation of quantum circuits / E. Ped-nault, J. A. Gunnels, G. Nannicini, L. Horesh, T. Magerlein, E. Solomonik, R. Wisnieff. - 2017. - arXiv [quant-ph]: 1710.05867.

26. Grover's search with local and total depolarizing channel errors: Complexity analysis / I. Cohn, A. L. F. De Oliveira, E. Buksman, J. G. L. De Lacalle // International Journal of Quantum Information. 2016. - Vol. 14, no. 2. -P. 1650009.

27. Salas, P. J. Noise effect on Grover algorithm / P. J. Salas // The European Physical Journal D. - 2008. Vol. 46, no. 2. - P. 365 - 373. - arXiv [quant-ph]: 0801.1261.

28. Бор, H. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике / Н. Бор // Избранные научные труды в 2-х томах. Т. 2. М. : Наука, 1971. С. 399 433.

29. Bengtsson, /. Geometry of Quantum States / I. Bengtsson, K. Zyczkowski. -Cambridge : Cambridge University Press, 2006. - P. 409.

30. D'Ariano, G. M. Quantum State Estimation. Vol. 649 / G. M. D'Ariano, M. G. A. Paris, M. F. Sacchi. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2004. - P. 519. (Lecture Notes in Physics).

31. Banaszek, K. Focus on quantum tomography / K. Banaszek, M. Cramer, D. Gross // New Journal of Physics. 2013. - Vol. 15, no. 12. - P. 125020.

32. Богданов, Ю. И. Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения / Ю. И. Богданов // ЖЭТФ. 2009. Т. 135, № 6. С. 1068 1078.

33. Shang, J. Superfast maximum-likelihood reconstruction for quantum tomography / J. Shang, Z. Zhang, H. K. Ng // Physical Review A. - 2017. -Vol. 95, no. 6. - P. 062336.

34. Compressed Sensing Quantum State Tomography Assisted by Adaptive Design / Q. Yin, G.-Y. Xiang, C.-F. Li, G.-C. Guo // Chinese Physics Letters. -2018. Vol. 35, no. 7. - P. 070302.

35. Neural-network quantum state tomography / G. Torlai, G. Mazzola, J. Carrasquilla, M. Troyer, R. Melko, G. Carleo // Nature Physics. - 2018. -Vol. 14, no. 5. - P. 447.

36. Bogdanov, Yu. I. Fundamental notions of classical and quantum statistics: A root approach / Yu. I. Bogdanov // Optics and Spectroscopy. - 2004. -Vol. 96, no. 5. - P. 668 - 678.

37. Statistical reconstruction of qutrits / Yu. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, [et al.] // Physical Review A. - 2004. - Vol. 70, no. 4. -P. 042303.

38. Qutrit State Engineering with Biphotons / Yu. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, S. P. Kulik, G. A. Maslennikov, A. A. Zhukov, С. H. Oh, M. K. Tey // Physical Review Letters. - 2004. Vol. 93, no. 23. - P. 230503.

39. Statistical Estimation of the Efficiency of Quantum State Tomography Protocols / Yu. I. Bogdanov, G. Brida, M. Genovese, S. P. Kulik, E. V. Moreva, A. P. Shurupov // Physical Review Letters. - 2010. Vol. 105, no. 1. -P. 010404.

40. Statistical estimation of the quality of quantum-tomography protocols / Yu. I. Bogdanov, G. Brida, I. D. Bukeev, [et al.] // Physical Review A. -2011. Vol. 84, no. 4. - P. 042108.

41. Bogdanov, Yu. I. The efficiency of quantum tomography based on photon detection / Yu. I. Bogdanov, S. P. Kulik // Laser Physics Letters. - 2013. -Vol. 10, no. 12. - P. 125202.

42. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. 4-е издание., испр. М. : Наука, 1989. С. 768.

43. Дирак, П. А. М. Принципы квантовой механики / П. А. М. Дирак. 2-е издание. М. : Наука, 1979. С. 480.

44. A comparison of the entanglement measures negativity and concurrence / F. Verstraete, K. Audenaert, J. Dehaene, B. D. Moor // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2001. - Vol. 34, no. 47. P. 10327 - 10332.

45. Violation of Bell Inequalities by Photons More Than 10 km Apart / W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, N. Gisin // Physical Review Letters. - 1998. -Vol. 81, no. 17. - P. 3563 - 3566.

46. Shih, Y. Entangled biphoton source-property and preparation / Y. Shih // Reports on Progress in Physics. - 2003. - Vol. 66, no. 6. P. 1009.

47. Дибай, Э. А. Основные параметры Метагалактики / Э. А. Дибай,

C. А. Каплан // Размерности и подобие астрофизических величин. М. : Наука, 1976. Гл. 8.3.

48. Jordan, S. Quantum algorithm zoo / S. Jordan. - 2018. - URL: https: //math.nist.gov/quantum/zoo/ (visited on 05/02/2018).

49. Grover, L. K. A fast quantum mechanical algorithm for database search / L. K. Grover // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM. 1996. - P. 212 219.

50. Shor, P. W. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer / P. W. Shor // SIAM review. - 1999. -Vol. 41, no. 2. - P. 303 - 332.

51. Jones, J. A. Implementation of a quantum algorithm on a nuclear magnetic resonance quantum computer / J. A. Jones, M. Mosca // The Journal of Chemical Physics. - 1998. - Vol. 109, no. 5. P. 1648 - 1653.

52. DiVincenzo, D. P. The Physical Implementation of Quantum Computation /

D. P. DiVincenzo // Fortschritte der Physik. - 2000. - Vol. 48, no. 9. -P. 771 - 783.

53. Childs, A. M. Robustness of adiabatic quantum computation / A. M. Childs,

E. Farhi, J. Preskill // Physical Review A. - 2001. - Vol. 65, no. 1. -P. 012322.

54. Experimental issues in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions / D. J. Wineland, C. Monroe, W. M. Itano, D. Leibfried, В. E. King, D. M. Meekhof // Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology. - 1998. - Vol. 103, no. 3. - P. 259.

55. Blatt, R. Entangled states of trapped atomic ions / R. Blatt, D. Wineland // Nature. - 2008. Vol. 453, no. 7198. - P. 1008.

56. Experimental repetitive quantum error correction / P. Schindler, J. T. Bar-reiro, T. Monz, V. Nebendahl, D. Nigg, M. Chwalla, M. Hennrich, R. Blatt // Science. - 2011. Vol. 332, no. 6033. - P. 1059 - 1061.

57. High-fidelity spin entanglement using optimal control / F. Dolde, V. Bergholm, Y. Wang, [et al.] // Nature communications. - 2014. Vol. 5. - P. 3371.

58. Integrated optical addressing of an ion qubit / K. K. Mehta, C. D. Bruzewicz, R. McConnell, R. J. Ram, J. M. Sage, J. Chiaverini // Nature nanotechnol-ogy. - 2016. - Vol. 11, no. 12. - P. 1066.

59. Near-Perfect Simultaneous Measurement of a Qubit Register / M. Acton, K.-A. Brickman, P. C. Haljan, P. J. Lee, L. Deslauriers, C. Monroe. - 2006. -arXiv [quant-ph]: 0511257.

60. Entanglement of single-atom quantum bits at a distance / D. L. Moehring, P. Maunz, S. Olmschenk, K. C. Younge, D. N. Matsukevich, L.-M. Duan,

C. Monroe // Nature. - 2007. - Vol. 449, no. 7158. - P. 68.

61. Microwave quantum logic gates for trapped ions / C. Ospelkaus, U. Warring, Y. Colombe, K. R. Brown, J. M. Amini, D. Leibfried, D. J. Wineland // Nature. - 2011. Vol. 476, no. 7359. - P. 181.

62. Saffman, M. Quantum information with Rydberg atoms / M. Saffman, T. G. Walker, K. Molmer // Reviews of Modern Physics. - 2010. - Vol. 82, no. 3. - P. 2313.

63. Single-atom trapping in holographic 2D arrays of microtraps with arbitrary geometries / F. Nogrette, H. Labuhn, S. Ravets, D. Barredo, L. Beguin, A. Vernier, T. Lahaye, A. Browaeys // Physical Review X. - 2014. - Vol. 4, no. 2. - P. 021034.

64. Observation of Rydberg blockade between two atoms / E. Urban, T. A. Johnson, T. Henage, L. Isenhower, D. D. Yavuz, T. G. Walker, M. Saffman // Nature Physics. - 2009. - Vol. 5, no. 2. - P. 110.

65. Synthetic three-dimensional atomic structures assembled atom by atom /

D. Barredo, V. Lienhard, S. de Leseleuc, T. Lahaye, A. Browaeys. - 2017. -arXiv [quant-ph]: 1712.02727.

66. Liu, W.-Y. Superconducting quantum bits / W.-Y. Liu, D.-N. Zheng, S.-P. Zhao // Chinese Physics B. - 2018. - Vol. 27, no. 2. - P. 027401.

67. Josephson charge qubits: a brief review / Yu. A. Pashkin, 0. Astafiev, T. Ya-mamoto, Y. Nakamura, J. S. Tsai // Quantum information processing. 2009. Vol. 8, no. 2/3. - P. 55 - 80.

68. Nakamura, Y. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box / Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin, J. S. Tsai // Nature. -1999. Vol. 398, no. 6730. - P. 786.

69. Flux qubits with long coherence times for hybrid quantum circuits / M. Stern, G. Catelani, Y. Kubo, C. Grezes, A. Bienfait, D. Vion, D. Esteve, P. Bertet // Physical review letters. - 2014. - Vol. 113, no. 12. P. 123601.

70. Martinis, J. M. Superconducting phase qubits / J. M. Martinis // Quantum Information Processing. - 2009. - Vol. 8, no. 2/3. - P. 81 -103.

71. Low-decoherence flux qubit / J. Q. You, X. Hu, S. Ashhab, F. Nori // Physical Review B. - 2007. - Vol. 75, no. 14. - P. 140515.

72. Superconducting qubit in a waveguide cavity with a coherence time approaching 0.1 ms / C. Rigetti, J. M. Gambetta, S. Poletto, [et al.] // Physical Review B. - 2012. - Vol. 86, no. 10. - P. 100506.

73. Fluxonium: Single cooper-pair circuit free of charge offsets / V. E. Manucharyan, J. Koch, L. I. Glazman, M. H. Devoret // Science. -2009. Vol. 326, no. 5949. - P. 113 116.

74. Quantum process tomography of a universal entangling gate implemented with Josephson phase qubits / R. C. Bialczak, M. Ansmann, M. Hofheinz, [et al.] // Nature Physics. - 2010. - Vol. 6, no. 6. - P. 409 - 413.

75. Quantum process tomography of two-qubit controlled-Z and controlled-NOT gates using superconducting phase qubits / T. Yamamoto, M. Neeley, E. Lucero, [et al.] // Physical Review B. 2010. - Vol. 82, no. 18. -P. 184515.

76. Coupling superconducting qubits via a cavity bus / J. Majer, J. M. Chow, J. M. Gambetta, [et al.] // Nature. - 2007. - Vol. 449, no. 7161. - P. 443.

77. Extensible 3D architecture for superconducting quantum computing / Q. Liu, M. Li, K. Dai, K. Zhang, G. Xue, X. Tan, H. Yu, Y. Yu // Applied Physics Letters. - 2017. - Vol. 110, no. 23. P. 232602.

78. Loss, D. Quantum computation with quantum dots / D. Loss, D. P. DiVincenzo // Physical Review A. 1998. - Vol. 57, no. 1. - P. 120 - 126.

79. Driven coherent oscillations of a single electron spin in a quantum dot / F. H. L. Koppens, C. Buizert, K. J. Tielrooij, I. T. Vink, K. C. Nowack, T. Meunier, L. P. Kouwenhoven, L. M. K. Vandersypen // Nature. - 2006. -Vol. 442, no. 7104. - P. 766 - 771.

80. Coherent control of a single electron spin with electric fields / K. C. Nowack, F. H. L. Koppens, Yu. V. Nazarov, L. M. K. Vandersypen // Science. -2007. Vol. 318, no. 5855. - P. 1430 - 1433.

81. Meunier, T. Efficient controlled-phase gate for single-spin qubits in quantum dots / T. Meunier, V. E. Calado, L. M. K. Vandersypen // Physical Review B. - 2011. - Vol. 83, no. 12. - P. 121403.

82. A two-qubit logic gate in silicon / M. Veldhorst, C. H. Yang, J. C. C. Hwang, [et al.] // Nature. - 2015. - Vol. 526, no. 7573. - P. 410 - 414.

83. Lodahl, P. Interfacing single photons and single quantum dots with photonic nanostructures / P. Lodahl, S. Mahmoodian, S. Stobbe // Reviews of Modern Physics. - 2015. - Vol. 87, no. 2. - P. 347-400.

84. Single-photon interaction between two quantum dots located in different cavities of a weakly coupled double microdisk structure / S. Seyfferle, F. Hargart, M. Jetter, E. Hu, P. Michler. - 2017. - arXiv [quant-ph]: 1706.05224.

85. Quantum dot spin-state preparation with near-unity fidelity / M. Atature, J. Dreiser, A. Badolato, A. Hogele, K. Karrai, A. Imamoglu // Science. -2006. Vol. 312, no. 5773. - P. 551 553.

86. Single-shot read-out of an individual electron spin in a quantum dot / J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. Willems van Beveren, B. Witkamp, L. M. K. Vandersypen, L. P. Kouwenhoven // Nature. - 2004. Vol. 430, no. 6998. - P. 431 - 435.

87. Koppens, F. H. L. Spin echo of a single electron spin in a quantum dot / F. H. L. Koppens, K. C. Nowack, L. M. K. Vandersypen // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 23. P. 236802.

88. Fabrication and characterization of electrostatic Si/SiGe quantum dots with an integrated read-out channel / M. R. Sakr, H. W. Jiang, E. Yablonovitch, E. T. Croke // Applied Physics Letters. - 2005. - Vol. 87, no. 22.

P. 223104.

89. A programmable two-qubit quantum processor in silicon / T. F. Watson, S. G. J. Philips, E. Kawakami, [et al.] // Nature. - 2018. - Vol. 555, no. 7698. - P. 633 - 637.

90. Resonantly driven CNOT gate for electron spins / D. M. Zajac, A. J. Sigillito, M. Russ, F. Borjans, J. M. Taylor, G. Burkard, J. R. Petta // Science. -2018. Vol. 359, no. 6374. - P. 439 442.

91. A gate-defined silicon quantum dot molecule / H. Liu, T. Fujisawa, H. Inokawa, Y. Ono, A. Fujiwara, Y. Hirayama // Applied Physics Letters. -

2008. Vol. 92, no. 22. - P. 222104.

92. Silicon CMOS architecture for a spin-based quantum computer / M. Veld-horst, H. G. J. Eenink, C. H. Yang, A. S. Dzurak // Nature Communications. - 2017. Vol. 8, no. 1. - P. 1766.

93. Fedichkin, L. Coherent charge qubits based on GaAs quantum dots with a built-in barrier / L. Fedichkin, M. Yanchenko, K. A. Valiev // Nanotechnol-ogy. - 2000. - Vol. 11, no. 4. - P. 387- 391.

94. Fujisawa, T. Controlled decoherence of a charge qubit in a double quantum dot / T. Fujisawa, T. Hayashi, Y. Hirayama // Journal of Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures. - 2004. Vol. 22, no. 4. - P. 2035.

95. Gorman, J. Charge-qubit operation of an isolated double quantum dot / J. Gorman, D. G. Hasko, D. A. Williams // Physical Review Letters. -2005. Vol. 95, no. 9. - P. 090502.

96. Correlated coherent oscillations in coupled semiconductor charge qubits / G. Shinkai, T. Hayashi, T. Ota, T. Fujisawa // Physical Review Letters.

2009. Vol. 103, no. 5. - P. 056802.

97. Vyurkov, V. Charge based quantum computer without charge transfer / V. Vyurkov, L. Y. Gorelik. - 2000. - arXiv [quant-ph]: 0009099vl.

98. Vyurkov, V. Quantum computing based on space states without charge transfer / V. Vyurkov, S. Filippov, L. Gorelik // Physics Letters A. - 2010. -Vol. 374, no. 33. P. 3285 - 3291.

99. Filippov, S. Quantum computing on silicon-on-insulator structure / S. Filippov, V. Vyurkov, A. Orlikovsky // EUROSOI Conference Proceedings VII Workshop of the Thematic Network on Silicon On Insulator Technology, Devices and Circuits. - 2011. - P. 101 -102.

100. Kane, B. E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B. E. Kane // Nature. - 1998. Vol. 393, no. 6681. - P. 133 137.

101. Architecture for high-sensitivity single-shot readout and control of the electron spin of individual donors in silicon / A. Morello, C. C. Escott, H. Huebl, L. H. Willems van Beveren, L. C. L. Hollenberg, D. N. Jamieson, A. S. Dzurak, R. G. Clark // Physical Review B. - 2009. Vol. 80, no. 8. P. 081307.

102. Single-shot readout and relaxation of singlet and triplet states in exchangecoupled 31P electron spins in silicon / J. P. Dehollain, J. T. Muhonen, K. Y. Tan, A. Saraiva, D. N. Jamieson, A. S. Dzurak, A. Morello // Physical Review Letters. - 2014. Vol. 112, no. 23. - P. 236801.

103. Simultaneous subsecond hyperpolarization of the nuclear and electron spins of phosphorus in silicon by optical pumping of exciton transitions / A. Yang, M. Steger, T. Sekiguchi, [et al.]//Physical review letters. - 2009. - Vol.102, no. 25. P. 257401.

104. Peres, A. Separability criterion for density matrices / A. Peres // Physical Review Letters. - 1996. Vol. 77, no. 8. P. 1413.

105. Vidal, G. Computable measure of entanglement / G. Vidal, R. F. Werner // Physical Review A. - 2002. - Vol. 65, no. 3. - P. 032314.

106. Quantum entanglement / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki // Reviews of modern physics. - 2009. - Vol. 81, no. 2. -P. 865.

107. Creating, maintaining, and breaking of quantum entanglement in quantum operations / Yu. I. Bogdanov, A. Yu. Chernyavskiy, A. S. Holevo, V. F. Lu-kichev, A. A. Orlikovsky, B. I. Bantysh // Proc. SPIE. - 2013. 87001B.

108. Динамика сцепденности в квантовых операциях на сверхпроводниковых фазовых кубитах / Ю. И. Богданов, Б. И. Бантыш, В. Ф. Лукичев, А. А. Ордиковский, А. С. Ходево // Известия РАН. Серия физическая. 2014. Т. 78, № 1. С. 13 17.

109. The study of amplitude and phase relaxation impact on the quality of quantum information technologies / Yu. I. Bogdanov, В. I. Bantysh, A. Yu. Chernyavskiy, V. F. Lukichev, A. A. Orlikovsky // Proc. SPIE. -

2014. P. 944011.

110. Изучение влияния амплитудной и фазовой релаксации на качество квантовых информационных технологий / Ю. 14. Богданов, Б. 14. Бантыш,

A. Ю. Чернявский, В. Ф. Лукичев, А. А. Орликовский // Микроэлектроника. 2015. Т. 44, № 4. С. 257 262.

111. Experimental quantum secure direct communication with single photons / J.-Y. Ни, B. Yu, M.-Y. Jing, L.-T. Xiao, S.-T. Jia, G.-Q. Qin, G.-L. Long // Light: Science & Applications. 2016. - Vol. 5, no. 9. - el6144.

112. Resource costs for fault-tolerant linear optical quantum computing / Y. Li, P. C. Humphreys, G. J. Mendoza, S. C. Benjamin // Physical Review X.

2015. Vol. 5, no. 4. - P. 041007.

113. Оптическое поляризационное эхо: проявление и исследование методами квантовой томографии состояний и процессов / Ю. 14. Богданов, Б. 14. Бантыш, А. А. Калинкин, С. П. Кулик, Е. В. Морева, В. А. Шер-шулин // ЖЭТФ. 2014. Т. 145, № 6. С. 963 975.

114. Шрёдингер, Э. Избранные труды по квантовой механике / Э. Шрёдин-гер. М. : Наука, 1976. С. 422.

115. Шля,их, В. П. Квантовая оптика в фазовом пространстве /

B. П. Шляйх. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. С. 760. Пер. с англ. под ред. В. П. Яковлева.

116. Блум, К. Теория матрицы плотности и её приложения / К. Блум. М. : Мир, 1983. С. 248. Пер. с англ.

117. Разложение Шмидта и анализ статистических корреляций / Ю. 14. Богданов, Н. А. Богданова, В. Ф. Лукичев, Д. В. Фастовец, А. Ю. Чернявский // Микроэлектроника. 2016. Т. 45, № 5. С. 342 351.

118. Холево, А. С. Квантовые системы, каналы, информация / А. С. Холево. М. : МЦНМО, 2010. С. 328.

119. Бройер, Х.-П. Теория открытых квантовых систем / Х.-П. Бройер, Ф. Пет-руччионе. М.-Ижевск : НИЦ РХД, 2010. С. 824.

120. Chuang, I. L. Prescription for experimental determination of the dynamics of a quantum black box / I. L. Chuang, M. A. Nielsen // Journal of Modern Optics. 1997. - Vol. 44, no. 11/12. - P. 2455 - 2467.

121. Mohseni, M. Quantum-process tomography: Resource analysis of different strategies / M. Mohseni, A. T. Rezakhani, D. A. Lidar // Physical Review A. - 2008. - Vol. 77, no. 3. - P. 032322.

122. Holevo, A. S. Quantum channels and their entropic characteristics /

A. S. Holevo, V. Giovannetti // Reports on progress in physics. - 2012. Vol. 75, no. 4. - P. 046001. - arXiv [quant-ph]: 1202.648.

123. Прескилл, Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Т. 1 / Дж. Прескилл. М.-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2008. С. 464.

124. Schumacher, В. Sending entanglement through noisy quantum channels /

B. Schumacher // Physical Review A. 1996. T. 54, № 4. C. 2614. arXiv [quant-ph]: 9604023.

125. Rivas, A. Open Quantum Systems / A. Rivas, S. F. Huelga. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2012. P. 103. - (SpringerBriefs in Physics).

126. Gorini, V. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems / V. Gorini, A. Kossakowski, E. C. G. Sudarshan // Journal of Mathematical Physics. - 1976. - Vol. 17, no. 5. - P. 821 -825.

127. Lindblad, G. On the generators of quantum dynamical semigroups / G. Lind-blad // Communications in Mathematical Physics. 1976. - Vol. 48, no. 2. - P. 119 130.

128. Trotter, H. F. On the product of semi-groups of operators / H. F. Trotter // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1959. - Vol. 10, no. 4. - P. 545 551.

129. Rastegin, A. E. Unified-entropy trade-off relations for a single quantum channel / A. E. Rastegin // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. - Vol. 46, no. 28. - P. 285301.

130. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления / К. А. Валиев // Успехи физических наук. 2005. Т. 175, № 1.

С. 3 39.

131. Huang, Y. Computing quantum discord is NP-complete / Y. Huang // New journal of physics. - 2014. - Vol. 16, no. 3. - P. 033027.

132. Brandao, F. G. Faithful squashed entanglement / F. G. Brandao, M. Chri-standl, J. Yard // Communications in Mathematical Physics. 2011. Vol. 306, no. 3. - P. 805.

133. Wang, X. Contractivity of the Hilbert-Schmidt distance under open-system dynamics / X. Wang, S. G. Schirmer // Physical Review A. - 2009. -Vol. 79, no. 5. - P. 052326.

134. Gilchrist, A. Distance measures to compare real and ideal quantum processes / A. Gilchrist, N. K. Langford, M. A. Nielsen // Physical Review A. - 2005. - Vol. 71, no. 6. - P. 062310.

135. Абрагам, А. Ядерный магнетизм / А. Абрагам. M. : Изд-во иностр. лит-ры, 1963. С. 551.

136. Ghosh, G. Dispersion-equation coefficients for the refractive index and birefringence of calcite and quartz crystals / G. Ghosh // Optics communications. -1999. Vol. 163, no. 1-3. - P. 95 102.

137. Niwa, J. General-purpose parallel simulator for quantum computing / J. Niwa, K. Matsumoto, H. Imai // Physical Review A. - 2002. - Vol. 66, no. 6. - P. 062317. - arXiv [quant-ph]: 0201042.

138. Моделирование работы идеального квантового компьютера на суперкомпьютере "Ломоносов" / О. В. Корж, Д. Ю. Андреев, А. А. Корж, С. В. Коробков, А. Ю. Чернявский // Вычислительные методы и программирование. 2013. Т. 14, № 2. С. 24 34.

139. Numerical and analytical research of the impact of decoherence on quantum circuits / Yu. I. Bogdanov, A. Yu. Chernyavskiy, В. I. Bantysh, V. F. Lu-kichev, A. A. Orlikovsky, I. A. Semenihin, D. V. Fastovets, A. S. Holevo // Proc. SPIE. - 2014. 94401H.

140. Численное и аналитическое исследование влияния декогерентизации на квантовые схемы / Ю. 14. Богданов, А. Ю. Чернявский, Б. 14. Бантыш, В. Ф. Лукичёв, А. А. Орликовский, 14. А. Семенихин, Д. В. Фастовец // Труды ФТ14АН. 2016. Т. 25. С. 78 89.

141. Quantum computers Quantum Computers, Factoring, and Decoherence / I. L. Chuang, R. Laflamme, P. W. Shor, W. H. Zurek // Science. - 1995. Vol. 270, no. 5242. - P. 1633 - 1635.

142. Dominant gate imperfection in Grover's quantum search algorithm / G. L. Long, Y. S. Li, W. L. Zhang, С. C. Tu // Physical Review A. 2000. Vol. 61, no. 4. - P. 042305.

143. García-Mata, /. Effects of imperfections for Shor's factorization algorithm / I. García-Mata, К. M. Frahm, D. L. Shepelyansky // Physical Review A. 2007. Vol. 75, no. 5. - P. 052311. - arXiv [quant-ph]: 0701169.

144. Li, Y. Gate imperfection in the quantum random-walk search algorithm / Y. Li, L. Ma, J. Zhou // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. Vol. 39, no. 29. - P. 9309 - 9319.

145. Li, Y. Decoherence in Search Algorithms / Y. Li, L. Ma, J. Zhou. - 2009. -arXiv [quant-ph]: 0912.1523vl.

146. Grover, L. K. Quantum computers can search rapidly by using almost any transformation / L. K. Grover // Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 80, no. 19. P. 4329.

147. Phase matching in quantum searching / G. L. Long, Y. S. Li, W. L. Zhang, L. Niu // Physics Letters A. 1999. - Vol. 262, no. 1. P. 27- 34.

148. Shenvi, N. Quantum random-walk search algorithm / N. Shenvi, J. Kempe, К. B. Whaley // Phys. Rev. A. - 2003. Vol. 67, no. 5. P. 052307.

149. Reitzner, D. Grover Search under Localized Dephasing / D. Reitzner, M. Hillery. - 2017. - arXiv [quant-ph]: 1712.06558.

150. Zhirov, О. V. Dissipative decoherence in the Grover algorithm / О. V. Zhirov, D. L. Shepelyansky // The European Physical Journal D. - 2006. - Vol. 38, no. 2. - P. 405 408. - arXiv [quant-ph]: 0511010.

151. Nam, Y. S. Robustness of the quantum Fourier transform with respect to static gate defects / Y. S. Nam, R. Bliimel // Physical Review A. 2014. Vol. 89, no. 4. - P. 042337.

152. Simulating noisy quantum protocols with quantum trajectories / G. G. Carlo, G. Benenti, G. Casati, C. Mejia-Monasterio // Physical Review A. - 2004. -Vol. 69, no. 6. - P. 062317.

153. Кронберг, Д. А. Алгебраический аппарат квантовой информатики / Д. А. Кронберг, Ю. 14. Ожигов, А. Ю. Чернявский. МАКС Пресс, 2011. С. 55.

154. Jozsa, R. Fidelity for mixed quantum states / R. Jozsa // Journal of modern optics. 1994. - Vol. 41, no. 12. P. 2315 2323.

155. Quantum states tomography with noisy measurement channels / Yu. I. Bogdanov, В. I. Bantysh, N. A. Bogdanova, A. B. Kvasnyy, V. F. Lukichev // Proc. SPIE. - 2016. 1022420.

156. Tomography of multi-photon polarization states in conditions of non-unit quantum efficiency of detectors / Yu. I. Bogdanov, В. I. Bantysh, N. A. Bogdanova, V. F. Lukichev // Laser Physics. - 2018. - Vol. 28, no. 2. -P. 025204.

157. Non-Gaussianity of multiple photon-subtracted thermal states in terms of compound-Poisson photon number distribution parameters: theory and experiment / G. V. Avosopiants, K. G. Katamadze, Yu. I. Bogdanov, В. I. Bantysh, S. P. Kulik // Laser Physics Letters. - 2018. - Vol. 15, no. 7. - P. 075205.

158. Wigner, E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium / E. Wigner // Physical Review. 1932. - Vol. 40, no. 5. - P. 749.

159. Leonhardt, U. Measuring the quantum state of light. Vol. 22 / U. Leonhardt. - Cambridge university press, 1997.

160. Lvovsky, A. I. Continuous-variable optical quantum-state tomography / A. I. Lvovsky, M. G. Raymer // Reviews of Modern Physics. - 2009. -Vol. 81, no. 1. - P. 299.

161. Дирак,, П. Принципы квантовой механики / П. Дирак // Собрание научных трудов. Т.1: Квантовая теория (монографии, лекции). М. : Физматлит, 2002. С. 7 320.

162. Symmetrie informationally complete quantum measurements / J. M. Renes, R. Blume-Kohout, A. J. Scott, C. M. Caves // Journal of Mathematical Physics. - 2004. - Vol. 45, no. 6. - P. 2171 - 2180.

163. Rehdcek, J. Minimal qubit tomography / J. Rehäcek, B.-G. Englert, D. Kas-zlikowski // Physical Review A. 2004. - Vol. 70, no. 5. - P. 052321.

164. Choice of measurement sets in qubit tomography / M. D. de Burgh, N. K. Langford, A. C. Doherty, A. Gilchrist // Physical Review A. - 2008. -Vol. 78, no. 5. - P. 052122.

165. Bogdanov, Yu. I. Finite frames constructed by solving Fekete problem and accuracy of quantum tomography protocols based on them / Yu. I. Bogdanov, L. V. Belinsky // Proc. SPIE. Vol. 9440. - 2014. - P. 94401L.

166. Huszar, F. Adaptive Bayesian quantum tomography / F. Huszär, N. M. T. Houlsby // Physical Review A. - 2012. Vol. 85, no. 5. -P. 052120.

167. Experimental adaptive quantum tomography of two-qubit states / G. I. Struchalin, I. A. Pogorelov, S. S. Straupe, K. S. Kravtsov, I. V. Rad-chenko, S. P. Kulik // Physical Review A. 2016. - Vol. 93, no. 1. -P. 012103.

168. Penrose, R. A generalized inverse for matrices / R. Penrose // Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society. Vol. 51. - Cambridge University Press. 1955. - P. 406 - 413.

169. Fisher, R. A. On the mathematical foundations of theoretical statistics / R. A. Fisher // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. - 1922. - Vol. 222, no. 594 - 604. - P. 309 - 368.

170. Mauro D'ariano, G. Quantum Tomography / G. Mauro D'ariano, M. G. A. Paris, M. F. Sacchi // Advances in Imaging and Electron Physics. -2003. Vol. 128. - P. 206 - 309.

171. Maximum-likelihood estimation of the density matrix / K. Banaszek, G. M. D'Ariano, M. G. A. Paris, M. F. Sacchi // Physical Review A. -1999. Vol. 61, no. 1. - P. 010304.

172. Diluted maximum-likelihood algorithm for quantum tomography / J. Rehäcek, Z. Hradil, E. Knill, A. I. Lvovsky // Physical Review A. - 2007. -Vol. 75, no. 4. - P. 042108.

173. Богданов, Ю. И. Исследование адекватности, полноты и точности протоколов квантовых измерений / Ю. И. Богданов, И. Д. Букеев, А. К. Гаври-ченко // Оптика и спектроскопия. 2011. Т. 111, № 4. С. 680 689.

174. Разработка адекватных моделей оптических квантовых состояний на основе квадратурных измерений / Ю. 14. Богданов, Н. А. Богданова, Л. В. Белинский, В. Ф. Лукичев // Микроэлектроника. 2017. Т. 46, № 6. С. 403 410.

175. Статистическое восстановление смешанных состояний поляризационных кубитов / Ю. 14. Богданов, А. К. Гавриченко, К. С. Кравцов, С. П. Кулик, Е. В. Морева, А. А. Соловьев // ЖЭТФ. 2011. Т. 140, № 2. С. 224.

176. Kosut, R. L. Optimal experiment design for quantum state and process tomography and Hamiltonian parameter estimation / R. L. Kosut, I. Walmsley, H. Rabitz. - 2004. - arXiv [quant-ph]: 0411093vl.

177. Quantum-State Reconstruction by Maximizing Likelihood and Entropy / Y. S. Teo, H. Zhu, B.-G. Englert, J. Rehacek, Z. Hradil // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 107, no. 2. - P. 020404.

178. Mapping coherence in measurement via full quantum tomography of a hybrid optical detector / L. Zhang, H. B. Coldenstrodt-Ronge, A. Datta, [et al.] // Nature Photonics. - 2012. - Vol. 6, no. 6. - P. 364 - 368.

179. Vandenberghe, L. Semidefinite programming / L. Vandenberghe, S. Boyd // SIAM review. - 1996. Vol. 38, no. 1. P. 49 95.

180. Candes, E. J. Exact matrix completion via convex optimization / E. J. Candes, B. Recht // Foundations of Computational mathematics. 2009. Vol. 9, no. 6. - P. 717.

181. Quantum State Tomography via Compressed Sensing / D. Gross, Y.-K. Liu, S. T. Flammia, S. Becker, J. Eisert // Physical Review Letters. 2010. -Vol. 105, no. 15. P. 150401.

182. Efficient Measurement of Quantum Dynamics via Compressive Sensing / A. Shabani, R. L. Kosut, M. Mohseni, H. Rabitz, M. A. Broome, M. P. Almeida, A. Fedrizzi, A. G. White // Physical Review Letters. -2011. Vol. 106, no. 10. - P. 100401.

183. Quantum tomography via compressed sensing: error bounds, sample complexity and efficient estimators / S. T. Flammia, D. Gross, Y.-K. Liu, J. Eisert // New Journal of Physics. 2012. - Vol. 14, no. 9. - P. 095022.

184. Experimental Quantum State Tomography via Compressed Sampling / W.-T. Liu, T. Zhang, J.-Y. Liu, P.-X. Chen, J.-M. Yuan // Physical Review Letters. - 2012. - Vol. 108, no. 17. P. 170403.

185. Torlai, G. Latent space purification via neural density operators / G. Torlai, R. G. Melko // Physical Review Letters. - 2018. - Vol. 120, no. 24.

P. 240503.

186. Efficient tomography with unknown detectors / L. Motka, M. Paúr, J. Re-hácek, Z. Hradil, L. L. Sánchez-Soto // Quantum Science and Technology. -2017. Vol. 2, no. 3. - P. 035003.

187. Кендала, M. Статистические выводы и связи / М. Кендадд, А. Стыоарт. М. : Наука, 1973. С. 899.

188. Леман, Э. Теория точечного оценивания / Э. Леман. М. : Наука, 1991. С. 448.

189. Banaszek, К. Maximum-likelihood estimation of photon-number distribution from homodyne statistics / K. Banaszek // Physical Review A. 1998. Vol. 57, no. 6. - P. 5013 5015.

190. Lvovsky, A. I. Iterative maximum-likelihood reconstruction in quantum homodyne tomography / A. I. Lvovsky // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2004. T. 6, № 6. S556 S559.

191. Multiphoton subtracted thermal states: Description, preparation, and reconstruction / Yu. I. Bogdanov, K. G. Katamadze, G. V. Avosopiants, L. V. Belinsky, N. A. Bogdanova, A. A. Kalinkin, S. P. Kulik // Physical Review A. - 2017. Vol. 96, no. 6. - P. 063803.

192. How quantum is the "quantum vampire" effect?: testing with thermal light / K. G. Katamadze, G. V. Avosopiants, Yu. I. Bogdanov, S. P. Kulik // Optica. - 2018. Vol. 5, no. 6. - P. 723.

193. D'Ariano, G. M. Renormalized quantum tomography / G. M. D'Ariano, M. F. Sacchi // Physics Letters A. - 2010. - Vol. 374, no. 5. P. 713 - 724.

194. HadfieM, R. H. Single-photon detectors for optical quantum information applications / R. H. Hadfield // Nature photonics. 2009. - Vol. 3, no. 12.

R 696.

195. Resch., K. J. Full characterization of a three-photon Greenberg-er-Horne-Zeilinger state using quantum state tomography / K. J. Resch, P. Walther, A. Zeilinger // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 94, no. 7. - P. 070402.

Список рисунков

1.1 Сфера Блоха: |0), |1) — собственные вектора матрицы Паули аг,

|±) = а„\±г) = а, .................. 17

1.2 Алгоритм Гровера а) Квантовая схема алгоритма, б) Вероятность получения правильного ответа ш = 996 в случае десятикубитового алгоритма.................................. 22

1.3 Квантовая схема алгоритма квантового преобразования Фурье ... 23

1.4 Физическая реализация квантовых вычислений, а) Ионы в ловушке Пауля (во вставке снимок люминесценции) [55]. б) Схема установки по созданию двумерной оптической решётки для захвата нейтральных атомов [63]. в) Снимок зарядового

сверхпроводникового кубита в интегральном исполнении [68]..... 28

1.5 Полупроводниковая реализация квантовых вычислений, а) Квантовые точки в ДЭГ [12]. б) Схема квантового компьютера на ДКТ без переноса заряда [99]. в) Схема квантового вычислителя на примесных центрах в кремнии [12].................... 32

2.1 Схема для расчёта х^матрицы через состояние Чоя-Ямилковского . 43

2.2 Динамика негативности между изучаемой системой и анциллой под действием амплитудной и фазовой релаксации: случаи одного

(й = 2) и двух (й = 4) кубитов...................... 61

2.3 Результаты моделирования зашумлепного преобразования СЫОТ, задаваемого гамильтонианом (2.81) (Г\ = 7Т, Т2 = 5Т). а)

хх

действительная часть, в мнимая часть, г) Динамика негативности состояния Чоя Ямилковского: пунктирная линия идеальный случай, сплошная линия случай наличия релаксации, д) Негативность «чистого» шума..................... 63

2.4 Динамика негативности для преобразования БС^ч^Ц1, задаваемого гамильтонианом (2.84) (Т\ = 7Т, Т2 = 5Т). а) Пунктирная линия -идеальный случай, сплошная линия случай наличия релаксации.

б) Негативность «чистого» шума..................... 65

2.5 Динамика негативности для преобразования СЪ, задаваемого гамильтонианом (2.89) (Т\ = 7Т, Т2 = 5Т). а) Пунктирная линия -идеальный случай, сплошная линия случай наличия релаксации.

б) Негативность «чистого» шума..................... 67

2.6 Зависимость чистоты преобразования, выполняемой кварцевой фазовой пластиной, от её толщины ................... 73

2.7 Зависимость чистоты преобразования от расстояния, пройденного фотоном в системе из последовательно расположенных фазовых пластин одинаковой толщины и с ортогональными ориентациями кристаллографических осей ....................... 74

3.1 Оценки точности поисковых алгоритмов, а) Зависимость точности алгоритма Гровера от числа кубитов в модели со систематической ошибкой: разные кривые отвечают разному уровню ошибки [142]. б) Вероятность получить правильный ответ от номера шага в

8-ку битовом поисковом алгоритме, основанном на случайных блужданиях: идеальный случай (сплошная линия), модель со систематической ошибкой (штриховая линия), модель со случайной ошибкой (пунктирная линия) [145].................... 80

3.2 Зависимость точности 10-кубитового алгоритма С^БТ (вероятность правильного определения периода функции) от уровня ошибки для различных типов ошибок: относительная ошибка вентиля условного сдвига фазы (а), абсолютная ошибка вентиля условного сдвига фазы (б), абсолютная ошибка преобразования Адамара (в), одновременное наличие некоррелированных абсолютных ошибок в вентилях условного сдвига фазы и Адамара (г). Треугольники скоррелированный шум, плюсы некоррелированный шум, пунктирная линия аппроксимация функцией Гаусса, сплошная линия теоретическая оценка [151]................... 82

3.3 Зависимость вероятности получения правильного ответа в алгоритме Гровера от времени t. to — время, необходимое для достижения первого максимума в идеальном случае. Пунктирная кривая отвечает идеальному случаю, четыре сплошных линии сверху вниз отвечают наличию амплитудной релаксации с параметрами Г, равными, соответственно, 10-5, 2 • 10-5, 4 • 10-5 и

8 • 10-5 [150]................................. 84

3.4 Аналитические оценки зависимости вероятности получения правильного ответа в алгоритме Гровера от номера итерации при наличии деполяризирующего шума, а) Глобальный шум:р = 0 (А), р = 1/(4-5) (В), 1/— (С), р = 4/^М (D) и 1 (Е) [26].

б) Локальный шум: £ = 1/3000 Y = 1/5000, жирная кривая

задаётся уравнением (3.15) [27]...................... 88

3.5 Результаты моделирования поискового алгоритма Гровера. а) Сравнение различных моделей: идеальная модель, модель Монте Карло (среднее значение по 100 запускам алгоритма, размер доверительного интервала равен среднеквадратичному отклонению), модель первого ранга, б) Ошибки моделей различного

ранга, в) Ошибка аналитической оценки точности, г) Точность работы алгоритма для задач различной размерности......... 98

3.6 Точность алгоритма квантового преобразования Фурье при

= &CR = 0.01. а) Аналитические оценки (3.40) и (3.45) в сравнении с численным моделированием, б) Аналитические оценки (3.40) (пунктирные линии) и (3.45) (сплошные линии).........100

3.7 Влияние амплитудной и фазовой релаксации на точность алгоритмов (t — время выполнения одного преобразования Адамара). а) Динамика точности алгоритма Гровера. б) Точность алгоритма QFT ..............................102

4.1 Схема обобщённого квантового измерения с учётом шумов......123

4.2 Влияние декогерентизации на точность томографии чистого однокубитового состояния ^.Рассматривается с лучай Т2 = 2Т\. Время декогерентизации t измеряется в единицах Т = Ti. а) Численный эксперимент и теоретическое распределение при

t = 0.1Т. б) Теоретические распределения для различных времён декогерентизации..............................125

4.3 Теоретическое распределение функции потерь точности на сфере Блоха для протоколов тетраэдра (слева), куба (по центру) и октаэдра (справа). Сверху вниз идут: идеальный случай, амплитудная релаксация (t = 1.5Ti, T2ure ^ то), фазовая релаксация (Ti ^ то, t = 0.5Т2), классическая ошибка bit-flip

(р = 0.1)...................................126

4.4 Влияние декогерентизации на точность томографии чистого двухкубитового состояния ^.Рассматривается с лучай Т2 = 2Ti. Время декогерентизации первого (ti) и ^торого (t2) кубитов измеряется в единицах Т = Ti. а) Численный эксперимент и теоретическое распределение при ti = t2 = 0.1Т. б) Теоретические распределения для различных времён декогерентизации.......128

4.5 Теоретические распределения параметра г для состояния GHZ при различных значениях эффективности детекторов ц: сплошными линиями обозначены распределения для протокола, основанного на нечетких измерениях, штриховыми линиями для протокола, основанного на тройных совпадениях..................131

4.6 Распределение параметра г для состояния GHZ при использовании протокола, основанного на нечетких измерениях: численные эксперименты и теория..........................132

Список таблиц

1 Значения величины 1С для различных спектральных распределений . 72

Приложение А Ортогонализация шума

Рассмотрим набор операторов Крауса {Ек} (к = 1, 2,... ,г, г — ранг преобразования), который соответствует преобразованию, определённому в гильбертовом пространстве размерности в и описываемому некоторой х^матрицей размерности й 2 х й 2. Необходимо найти такой набор операторов Крауса {Ек} (к = 1, 2,... ,г), чтобы {Ек} порождал ту же самую х^матрицу и чтобы все Ек являлись взаимно ортогональными:

Тг(Е|Е, ) =0, Ук = 3 (А.1)

Наиболее очевидный метод решения этой задачи состоит из двух этапов:

— вычислить х^матрицу па основе {Ек},

— построить {Ек} па основе собственных векторов и собственных значе-

х

Обе этих процедуры были описаны в разделе 2.1.1. Поскольку собственные вектора являются взаимно ортогональными, условие (А.1) будет выполняться автоматически.

Данная процедура, однако, может быть значительно упрощена в случае, если преобразование имеет невысокий ранг [139; 140]. Вытянем матрицу Е1 в столбец е1 длины з2, поместив под её первый столбец второй, третий и т.д. Аналогичным образом составим вектора е 2,..., ег и объединим их в матрицу е = ^ е1 ... размерности й 2 х г. С помощью сингулярного разложения (5VI?) получившаяся матрица может быть записана в виде

е = иБУ \

где З — диагональная матрица размерности г х г из сингулярных значений е, а и и V — матрицы размерности 82 х г и г х г соответственно с ортонормиро-ванными столбцами. Поскольку х = ее^ (см. раздел 2.1.1) и V^ = VV^ = 1Г, столбцы матрицы е = и Б пропорциональны собственным векторам х^матрицы и соответствуют вытянутым в столбец взаимно ортогональным операторам Крауса Ек.

Таким образом, задача ортогонализации сводится к поиску матрицы е = иЗ = е-V. Для этого можно вычислить матрицу Л = е^е = V^ размерности

г х г. Данная матрица является эрмитовой, а её собственные вектора образуют матрицу V. После нахождения У получаем е = е • V.

Рассмотрим описанный алгоритм на примере операторов Крауса, отвечающих шуму оператора условного сдвига фазы (3.25) [139; 140]. Прежде всего заметим, что эквивалентным выбором операторов Крауса, порождающим ту же х^матРиЦУ (3.23), является

Е™ =

(\ 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0

V

0 0 0 /Р

/

Е?Е =

000 000 000

0 0 0

\

V

0 0 0 /Г—Р

/

(А.2)

где Р = ехр(—е2). Данное представление является более удобным для дальнейших расчётов. Поскольку оба оператора Крауса (А.2) имеют диагональный вид, достаточно привести ко взаимно ортогональному виду вектора, составленные из элементов диагонали. Для этого вместо матрицы е необходимо рассмотреть матрицу

10 10 10

ед =

V

/р /1—Р

/

Далее, вычислим матрицу Ад = е^ед-

( 3 + Р у/Р (1 — Р)

Ав {/р(1—р) У 1 — р ^'

Расчёт собственных векторов матрицы Ад позволяет составить матрицу

Уд =

Отсюда получаем

1

е г).

/ =

/1 + 3Р — р — 1

/Р (1 — Р)

ед = ед • Уд =

ч/1+Т2

1 —/ 1 —/ 1 —/ у/Р + / /1—Р — / /Р + /1—Р

1

1

Столбцы получившейся матрицы соответствуют диагональным элементам операторов Крауса {Ес/К}, которые отвечают тому же преобразованию, что и

1 0 0 0 1 0 10 0

ТТГ/2 001 0

у0 0 0 /р + /УТ—р!

/—/ 0 0 0 N 0 —/ 0 0

ТГ+Т2 00 —/ 0

0 0 0 —/уР + у1—Р

ЁСЕ =

Ё°к =

\

/