Процессы интенсивного формоизменения материалов со сложными термомеханическими свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Панченко Галина Леонидовна

• Панченко Галина Леонидовна
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Панченко Галина Леонидовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ МАТЕРИАЛОВ С УПРУГИМИ, ПЛАСТИЧЕСКИМИ И ВЯЗКИМИ СВОЙСТВАМИ

1.1. Введение

1.2. Кинематика больших обратимых и необратимых деформаций в трехмерном евклидовом пространстве

1.3. Основные законы модели

1.4. Конкретизация основных законов модели

ГЛАВА 2. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ВОЗМОЖНЫМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ У КОНТАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

2.1. Упругопластическое деформирование цилиндрического слоя с учетом проскальзывания материала у внутренней контактной поверхности

2.1.1. Постановка задачи, обратимое деформирование и вязкопластическое течение

2.1.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды

2.2. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности

2.2.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение

2.2.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды

2.3. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое при возможном двустороннем проскальзывании материала

2.3.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение

2.3.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды

2.4. Конечное перемещение упруговязкопластического материала в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрами под действием изменяющегося градиента давления

2.4.1. Постановка задачи, обратимое деформирование

2.4.2. Вязкопластическое течение

2.4.3. Вязкопластическое течение при уменьшающемся градиенте давления и разгрузка среды

ГЛАВА 3. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

3.1. Неизотермическое деформирование плоского тяжелого слоя на наклонной плоскости

3.1.1. Обратимое деформирование

3.1.2. Вязкопластическое течение

3.2. Неизотермическое деформирование упруговязкопластического плоского горизонтального слоя

3.2.1. Постановка задачи. Упругое деформирование

3.2.2. Развивающееся вязкопластическое течение

3.2.3. Течение при постоянном напряжении

3.2.4. Течение при уменьшающемся напряжении, разгрузка среды и охлаждение

3.3. Движение упруговязкопластической среды в круглой трубе при ее нагреве за счет пристеночного трения

3.3.1. Постановка задачи. Упругое деформирование

3.3.2. Вязкопластическое течение при возрастающем и постоянном градиенте давления

3.3.3. Течение при уменьшающемся градиенте давления. Разгрузка среды и охлаждение

3.4. Деформирование и разогрев упруговязкопластического цилиндрического слоя при его движении за счет изменяющегося градиента давления

3.4.1. Постановка задачи. Упругое деформирование

3.4.2. Вязкопластическое течение и течение при постоянном градиенте давления

3.4.3. Течение при уменьшающемся градиенте давления. Разгрузка среды и охлаждение

3.5. Деформирование упруговязкопластической среды в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрами при движении внешнего цилиндра

3.5.1. Постановка задачи и упругое деформирование

3.5.2. Вязкопластическое течение при возрастающей и постоянной скорости внешнего цилиндра

3.5.3. Течение при убывающей скорости внешнего цилиндра. Разгрузка среды и охлаждение

3.6. Неизотермическое движение упруговязкопластической среды в трубе при наличии слоя смазки в условиях переменного градиента давления

3.6.1. Постановка задачи и обратимое деформирование

3.6.2. Вязкопластическое течение в смазке и основном материале при возрастающем и постоянном градиенте давления

3.6.3. Торможение течения при убывающем градиенте давления, разгрузка и остывание

ГЛАВА 4. БОЛЬШИЕ НЕОБРАТИМЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

4.1. Ползучесть и вязкопластическое течение материала цилиндрического слоя при прямолинейном движении внутренней граничной поверхности

4.1.1. Постановка и решение задачи до вязкопластического течения

4.1.2. Вязкопластическое течение

4.1.3. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды

4.2. Ползучесть и вязкопластическое течение в плоском тяжелом слое на наклонной плоскости при его нагреве и охлаждении

4.2.1. Деформирование материала до вязкопластического течения

4.2.2. Вязкопластическое течение материала

4.2.3. Торможение вязкопластического течения при охлаждении свободной поверхности тяжелого слоя

4.3. Термомеханическое нагружение упруговязкопластического тяжелого слоя, удерживаемого наклонной плоскостью

4.3.1. Постановка задачи. Деформирование материала в условиях ползучести

4.3.2. Вязкопластическое течение материала слоя

4.3.3. Торможение вязкопластического течения

4.4. Ползучесть и вязкопластическое течение материала пробки в круглой трубе под действием переменного перепада давления

4.4.1. Постановка задачи и деформирование до вязкопластического течения

4.4.2 Вязкопластическое течение материала при возрастающем и постоянном перепаде давления

4.4.3. Течение при убывающем перепаде давления. Разгрузка среды и остывание

4.4.4. Учет проскальзывания при необратимом деформировании материала пробки в круглой трубе

4.4.5. Результаты расчетов

4.5. Ползучесть и вязкопластическое течение материала полого шара в условиях всестороннего гидростатического сжатия

4.5.1. Деформирование материала до начала вязкопластического течения

4.5.2 Вязкопластическое течение

4.5.3. Разгрузка среды

ГЛАВА 5. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛОВ С УПРУГИМИ, ПЛАСТИЧЕСКИМИ И ВЯЗКИМИ СВОЙСТВАМИ

5.1. Сдавливание тяжелого сжимаемого слоя упругопластической или упруговязко-пластической среды

5.1.1. Упругое деформирование

5.1.2. Пластическое течение при условии пластичности Кулона-Мора. Разгрузка среды

5.1.3. Пластическое течение и разгрузка среды при условии пластичности Мизеса -Шлейхера

5.1.4. Пластическое течение и разгрузка среды при условиях пластичности, учитывающих вязкие свойства материала

5.2. Ползучесть и пластическое течение материала толстостенной цилиндрической трубы под действием внутреннего давления

5.2.1. Постановка задачи и ее решение до начала пластического течения

5.2.2. Пластическое течение в цилиндрическом слое

5.2.3. Пластическое течение в цилиндрическом слое при соответствии напряженного состояния ребру призмы Треска

5.2.4. Пластическое течение при постоянном давлении и разгрузка среды

5.2.5. Повторное пластическое течение при разгрузке

5.3. Необратимое деформирование сферического слоя вязкоупругопластического материала под действием всестороннего изменяющегося со временем давления

5.3.1. Постановка и решение вязкоупругой задачи

5.3.2. Возникновение и развитие пластического течения в материале сферического слоя

5.3.3. Пластическое течение в сферическом слое при постоянном давлении и разгрузка среды при уменьшающемся давлении

5.3.4. Возникновение повторного пластического течения

5.3.5. Учет вязкости при пластическом течении в материале сферического слоя

5.3.6. Вязкопластическое течение материала и его разгрузка при уменьшающемся внешнем давлении

5.4. Повторное нагружение цилиндрического упруговязкопластического слоя

5.4.1. Постановка задачи и ее упругое решение

5.4.2. Вязкопластическое течение при возрастающем и постоянном давлении

5.4.3. Разгрузка и повторное нагружение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

305

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Процессы интенсивного формоизменения материалов со сложными термомеханическими свойствами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В технологической практике в процессах обработки давлением материалы подвергаются значительным нагрузкам и под их действием приобретают большие обратимые и необратимые деформации. При прогнозировании таких процессов обычно обратимыми деформациями пренебрегают, так как они значительно меньше необратимых. Однако такой подход не устраивает технологическую практику, так как не учитываются важные эффекты пружинения и формирования остаточных напряжений, существенно снижающие эксплуатационные характеристики металлоконструкций и влияющие на геометрические характеристики готовых изделий. В технологическом процессе обрабатываемый материал заметно разогревается как за счет необратимого деформирования, так и вследствие трения об ограничивающие его поверхности. Также тепловые деформации, которые могут существенно изменять свойства материала и, как следствие, характер деформирования, возникают во многих элементах конструкций, работающих под действием циклически изменяющихся нагрузок. Учет связанности полей деформаций и температуры позволяет качественно и количественно точнее описать поведение таких элементов конструкций и выявить при этом новые эффекты. Поэтому разработка методов решения связанных задач термопластичности является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. При этом в процессе термомеханической обработки материалов значительное влияние может оказывать ползучесть. Хотя время деформирования является небольшим, из-за больших напряжений деформации ползучести могут достичь значительных размеров и превзойти не только упругие, но и пластические деформации. Поэтому учет ползучести при расчете подобных процессов также является важным. Таким образом, создание средств математического моделирования необходимо как для расчетов оптимальных параметров процессов интенсивного деформирования материалов с упругими, вязкими и пластическими свойствами, включая неизотермическое деформирование, так и для понимания их качественных особенностей.

Степень разработанности темы исследования. Исследование поведения конструкционных материалов со сложными реологическими и теплофизическими свойствами в условиях термомеханической нагрузки было и остается актуальной научной задачей, интерес к которой в наши дни только возрастает. Развитие теории, учитывающей большие деформации материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами, продиктовано как внутренней логикой развития фундаментальной теории, так и актуальными задачами технологий обработки материалов и изготовления изделий. Технологии холодной формовки и обтяжки, которые по ряду параметров являются наиболее перспективными технологиями изготовления крупногабаритных элементов конструкций, используют свойство ползучести материалов (Н.Х. Арутюнян, В.И. Горелов, Ю.Н Работнов, А.П. Самарин, О.В. Соснин, С.А. Шестериков, J.N. Distefano, H Kraus, F.K.G. Odqvist, L.C.E. Struik, В.И Астафьев, А.М. Локощенко, Ю.Н. Радаев, В.П. Радченко и др.), а точность в геометрии и в уровне остаточных напряжений определяющим образом зависит от упругого отклика материала изделия в процессе снятия оснастки (в процессах разгрузки).

Математических моделей больших деформаций, основанных на их непротиворечивой кинематике, геометрически и термодинамически корректных предложено немало (E.H. Lee, P.M Naghdi, S. Nemat-Nasser, O.T. Bruhns, В.И. Левитас, А.А. Роговой, А.Д. Чернышов, С.Н. Коробейников, Г.И. Быковцев, А.В. Шитиков, В.П. Мясников, А.А. Буренин, Л.В. Ковтанюк, В.А. Левин, К.М. Зингерман, А.И. Голованов, Л.У. Султанов, А.В. Шутов и др.). Отметим, что большинство созданных моделей больших упругопластических деформаций исключают возможность получения численно-аналитических решений, допуская только приближенные численные. В настоящей работе используется математическая модель (Г.И. Быковцев, А.В. Шитиков, А.А. Буренин, Л.В. Ковтанюк) в рамках которой такие решения были получены для материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами, включая случай, когда необратимые деформации в материале могут накапливаться и за счет ползучести, и при пластическом течении (Л.В. Ковтанюк, А.С. Бегун, Е.В. Мурашкин, К.Н. Галимзянова, А.О. Лемза, Е.О. Попова). Новые решения задач развиваемой теории больших деформаций с учетом сложных рео-

логических и теплофизических свойств материалов получены в диссертации.

Цель работы: разработка модели неизотермического деформирования материалов в условиях накопления ими больших деформаций ползучести и пластичности с учетом зависимости параметров ползучести, предела текучести и коэффициента вязкости от изменяющейся температуры, постановка и решение в ее рамках краевых задач упругопластического деформирования с учетом сложных реологических и теплофизических свойств материалов, моделирующих технологические процессы, связанные с интенсивным формоизменением в условиях переменных термомеханических воздействий.

Задачи исследования:

1. Построение модели больших неизотермических деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами.

2. Постановка и решение краевых изотермических задач теории больших деформаций о прямолинейных течениях упруговязкопластических материалов в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями с возможностью проскальзывания в их окрестностях.

3. Постановка и решение связанных задач теории больших деформаций упруго-вязкопластических материалов с учетом зависимости предела текучести и вязкости от температуры.

4. Постановка и решение краевых задач теории больших деформаций материалов при последовательном накоплении ими необратимых деформаций ползучести и вязкопластического течения в изотермическом и неизотермическом случаях.

5. Разработка алгоритмов численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных в изменяющихся со временем областях обратимого и необратимого деформирования.

6. Исследование деформирования материалов в рамках модели малых деформаций с учетом их пластической сжимаемости и реологических свойств.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

1. Построена замкнутая система дифференциальных уравнений, составляющих неизотермическую математическую модель больших деформаций материалов с

упругими, пластическими и вязкими свойствами.

2. С использованием теории больших упругопластических деформаций поставлены и решены новые краевые задачи о прямолинейных вязкопластических течениях материалов в случаях возможного проскальзывания в окрестностях ограничивающих их контактных поверхностей.

3. В рамках развиваемой теории больших упругопластических деформаций впервые получены решения связанных задач о неизотермическом вязкопластиче-ском течении материалов в плоских слоях, в круглой трубе (также при наличии слоя смазки) и в цилиндрическом слое, заключенном между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями.

4. Указано согласование в законах ползучести и пластичности на продвигающихся по деформируемому материалу упругопластических границах в случаях, когда накапливаемые материалом необратимые деформации могут быть и деформациями ползучести, и пластического течения.

5. Впервые получено решение связанной краевой задачи о деформировании в условиях ползучести и пластического течения тяжелого слоя, расположенного на наклонной плоскости, при нагреве, а затем охлаждении его свободной поверхности.

6. Получено новое решение связанной краевой задачи о ползучести и вязкопла-стическом течении в плоском тяжелом слое на наклонной плоскости под действием термомеханических нагрузок.

7. Получено новое решение неизотермической краевой задачи о деформировании в условиях ползучести и вязкопластического течения материала пробки конечной длины в круглой трубе в случае жесткого сцепления со стенкой трубы и в случае проскальзывания в окрестности стенки трубы.

8. Получено решение краевой задачи о деформировании в условиях ползучести и пластического течения полого шара, подверженного всестороннему гидростатическому сжатию.

9. Впервые изучено деформирование плоского горизонтального слоя упругопла-стической и упруговязкопластической среды с учетом необратимой сжимаемости материала.

10. Впервые исследовано формирование полей остаточных напряжений и их релаксация после полной разгрузки в задачах с цилиндрической и сферической симметрией в условиях, когда накапливаемые материалом необратимые деформации могут быть и деформациями ползучести и пластического течения.

11. Исследовано повторное нагружение внутренним равномерным давлением толстостенной трубы из упруговязкопластического материала.

12. Разработаны численные алгоритмы, позволяющие получать непрерывные на упругопластических границах распределения параметров деформирования и температуры в меняющихся со временем областях деформирования, а также дают возможность отслеживать положение самих упругопластических границ, разделяющих области деформирования.

Теоретическая значимость результатов заключается в получении фундаментальных результатов механики деформирования, связанных с исследованием процессов неизотермического деформирования конструкционных материалов от их нагружения и разогрева до полной разгрузки и остывания с предложенными методами решения таких новых задач теории больших деформаций.

Практическая значимость результатов работы связана с тем, что развиваемая теория больших упругопластических деформаций предоставляет возможность прогнозирования результатов технологических операций обработки материалов давлением (прокатка, волочение, высокоскоростная штамповка, высокотемпературное прессование в порошковой металлургии, прессование моделей в высокоточном литье) с помощью предварительных расчетов. Полученные численно-аналитические решения краевых задач теории могут использоваться в качестве необходимых критериев верификации программ численных расчетов упруго-вязкопластического деформирования.

Методология и методы исследования. При построении модели больших упругопластических деформаций использовался формализм неравновесной термодинамики. Решения краевых задач получены в рамках теории вязкопластиче-ского течения с использованием нового подхода о последовательном накоплении необратимых деформаций ползучести и пластического течения. Численные расчеты проводились в системе для технических вычислений Wolfram Mathematica с

помощью специально разработанных на основе конечно-разностного метода алгоритмов на встроенном языке программирования Wolfram.

Положения, выносимые на защиту:

1. Формулирование уравнений изменения (переноса) для обратимой и необратимой составляющих полных деформаций, являющихся их определениями в неизотермическом случае;

2. Получение на такой основе замкнутой системы дифференциальных уравнений, составляющих неизотермическую математическую модель больших деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами;

3. Численно-аналитические решения краевых задач развиваемой теории больших деформаций об упруговязкопластическом деформировании материалов в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями при движении одной из них с возможным проскальзыванием материалов в их окрестностях;

4. Численно-аналитические решения краевых задач развиваемой теории больших деформаций о продавливании упруговязкопластического слоя материала, заключенного между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, с возможным проскальзыванием материала в их окрестностях под действием изменяющегося со временем перепада давления;

5. Ряд решений связанных краевых задач теории больших упруговязкопластиче-ских деформаций, когда деформирование, тепловыделение и теплопередача не разделяются, и обрабатываемый материал разогревается как за счет деформирования, так и вследствие трения о жесткие стенки;

6. Исследование деформирования материалов в случаях, когда накапливаемые ими необратимые деформации могут быть и деформациями ползучести, и пластического течения;

7. Согласование в рассмотренных случаях законов ползучести и пластичности на продвигающихся по деформируемому материалу упругопластических границах с указанием их положения в любой момент времени; закономерности формирования полей остаточных напряжений и их релаксации после полной разгрузки;

8. Исследование закономерностей формирования полей остаточных напряжений в горизонтальном плоском слое упругопластического или упруговязкопласти-ческого сжимаемого материала под действием сдвиговых и сжимающих нагрузок;

9. Исследование закономерностей формирования полей остаточных напряжений и их релаксации после полной разгрузки в толстостенной цилиндрической трубе под действием внутреннего давления; согласование законов ползучести и пластичности на продвигающихся по деформируемому материалу упругопла-стических границах в случае использования кусочно-линейного потенциала ползучести;

10.Полное замкнутое исследование особенностей формирования полей остаточных напряжений у одиночных сферических дефектов сплошности упругопла-стических и упруговязкопластических материалов в условиях ползучести и пластического течения;

11.Разработанные численные алгоритмы и программы расчетов напряженно-деформированного состояния материалов и неизвестных движущихся упруго-пластических границ.

Достоверность результатов выполненной работы обеспечивается использованием классических подходов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред. Развиваемая математическая модель больших упругопластиче-ских деформаций, в рамках которой получены результаты, может считаться достаточно апробированной, так как в случае малых деформаций из нее вытекают соотношения классической модели типа Прандтля - Рейса. При получении решений краевых задач не вводилось никаких гипотез. Большое количество полученных зависимостей являются точными в рамках применяемой теории, а используемые численно-аналитические методы являются общепризнанными.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на следующих научных мероприятиях: - XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий» (2009 г., Пермь);

- XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (2010 г., Владивосток);

- Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (2010, 2017, 2019, 2023, 2024, 2025 гг. Воронеж);

- Конференция-семинар «Актуальные направления в механике сплошных сред» (2012 г., Санкт-Петербург);

- XI Международной Форум студентов, аспирантов и молодых ученых стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2012 г., Владивосток);

- ХУШ-ХХ1 Международная конференция по вычислительной механике и современным программным прикладным системам (2013, 2015, 2017, 2019, 2023, 2025 гг., Алушта);

- Х^ XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (2015 г., Казань, 2019 г., Уфа);

- IX Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела (2016 г., Воронеж);

- X Международная конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (2016 г., Екатеринбург);

- XI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (2016 г., Алушта);

- II, III Дальневосточная школа-семинар «Фундаментальная механика в качестве основы совершенствования промышленных технологий, технических устройств и конструкций» (2017, 2018 гг., Комсомольск-на-Амуре);

- XII, XIII Международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (2018, 2020 гг., Алушта);

- Конференция «Актуальные проблемы механики» (2019 г., Санкт-Петербург);

- IV Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования» (2019 г., Москва);

- XX, XXI Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (2020 г. (пленарный доклад), 2023 г., Ростов-на-Дону);

- Всероссийская научная конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики сплошной среды - 2020» (2020 г., Казань);

- VI Дальневосточная конференция с международным участием «Фундаментальные и прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в металлургии и машиностроении» (2022 г., Комсомольск-на-Амуре);

- XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2023 г., Санкт-Петербург);

- Конференция «Механика деформируемого твердого тела в проектировании материалов и конструкций» (2024 г., Пермь);

- III Научная конференция с международным участием «Вычислительные технологии и прикладная математика» (2024 г., Комсомольск-на-Амуре).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 75 научных работ: 29 статей в журналах, входящих в список ВАК, базы данных WEB of Science и Scopus [13-15, 17, 19, 20, 26, 27, 31, 34, 57, 59, 84, 96, 98, 100, 101, 104, 107, 108, 116-118, 164, 208, 214, 238-240]; 46 других публикаций [6, 18, 25, 30, 47-56, 58, 6062, 83, 86, 88, 91-95, 97, 99, 102, 110-115, 119, 120-122, 162, 163, 165-168, 222].

Личный вклад автора. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Соискатель является одним из соавторов развиваемой математической модели, ей поставлены новые краевые связанные задачи, разработаны алгоритмы решения и выполнены все необходимые вычисления. В работах [25, 26, 47-62, 88, 91-93, 98-100, 108, 112, 117] Е.О. Попова и К.Н. Галимзянова принимали участие в постановке задач и выполнении необходимых вычислений под руководством автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (282 наименования). Общий объем работы - 338 страниц, в том числе 142 рисунка, включенных в текст.

ГЛАВА 1. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ МАТЕРИАЛОВ С УПРУГИМИ, ПЛАСТИЧЕСКИМИ И ВЯЗКИМИ СВОЙСТВАМИ

1.1. Введение

Любое реальное тело изначально обладает упругими, пластическими и вязкими свойствами и при воздействии на него приобретает либо обратимые, либо необратимые деформации, либо и те и другие вместе. Одновременный учет всех указанных свойств материалов значительным образом усложняет теорию, поэтому нередко возникает необходимость ее упрощения. Достигается это путем выбора одного или двух из указанных свойств в зависимости от целей моделирования. Таким способом приходим к наиболее развитым классическим разделам механики деформируемого твердого тела: теории упругости [142, 157], пластичности [42, 69, 78, 81], ползучести [2, 79, 173, 176], вязкоупругости [74, 129, 149], вязкопла-стичности [150, 153, 158] и другим, широко применяющимся в инженерной практике. Промышленные технологии производства деталей и элементов конструкций основаны на возможности проведения предварительных теоретических расчетов для прогнозирования результатов технологических операций обработки материалов давлением. Данные расчеты основаны на различных сочетаниях механических свойств материалов с целью наилучшего согласования теоретических выкладок с экспериментальными данными. Постоянное стремление к увеличению прочности и износостойкости деталей машин и конструкционных элементов при уменьшении их веса вызывает необходимость совершенствования методов расчета, в которых в полной мере должны быть учтены фактические условия эксплуатации конструкций и механические свойства материалов. Поэтому необходимо уточнение используемых фундаментальных теоретических допущений. Этого можно добиться путем создания новых математических моделей, способных учитывать новые комбинации механических свойств не только широко применяемых материалов, а также и перспективных новых.

Сущность технологических операций обработки материалов давлением заключается в их способности под действием нагружающих усилий изменять форму за счет необратимого деформирования, не разрушаясь, и сохранять ее. Например, в прокатке процесс необратимого деформирования осуществляется сдавливанием материала между вращающимися валками прокатного стана; при волочении обрабатываемый металл протягивается через отверстие в волоке; в прессовании изделие получается выдавливанием материала, находящегося в специальном штампе; в штамповке обработка давлением происходит с помощью штампа; в ковке обработка происходит с помощью универсального подкладочного инструмента или бойков.

Обычно анализ усилий деформирования, изменения размеров заготовок и их напряженного состояния проводится в рамках теории идеального жесткопла-стического или жестковязкопластического тела Шведова - Бингама [158], в которой обратимые деформации не учитываются ввиду их малости по сравнению с необратимыми. Однако, в некоторых случаях обратимые деформации могут быть соизмеримы с необратимыми, а также в процессе деформирования могут возникать различные эффекты от взаимного влияния обратимых и необратимых деформаций. Именно обратимые деформации могут вызывать неконтролируемые геометрические изменения формы и объема продеформированных материалов при разгрузке. Также уровень остаточных напряжений, существенно снижающих эксплуатационную надежность, рассчитывается по упругим деформациям.

Для одновременного учета и упругих, и пластических свойств часто применяется классическая модель Прандтля - Рейса, в основе которой лежит гипотеза о малости деформаций. Позволяя значительно упростить математический аппарат, данная модель применяется в расчетах прочностей конструкций и машин в условиях их эксплуатации, допускающих лишь малые необратимые деформации. В ряде практических задач удовлетворительные результаты дает теория малых упругопластических процессов (деформационная теория пластичности [185]).

Во многих технологических операциях обработки давлением материалы накапливают конечные деформации из-за значительного формоизменения. В ос-

новном в таких технологических операциях для прогнозирования используется уже отмеченная модель жесткопластического тела, в которой расчеты проводятся в скоростях без определения самих деформаций. Несмотря на то, что эта модель уже позволяет рассматривать существенное изменение формы, такой подход не отвечает запросам современной промышленности, так как игнорирует неустранимые эффекты, вызываемые наличием упругих деформаций. Технологическая практика располагает методами снижения остаточных напряжений (отпуск, отжиг, закалка и др.), но совершенствование их режимов до сих пор опирается преимущественно на натурные эксперименты. Это приводит к необходимости дорогостоящих промышленных эксплуатационных испытаний деталей, узлов, агрегатов и сооружений в условиях интенсивного формоизменения, поскольку их невозможно провести в лабораторных условиях.

Повышение прочности и других механических свойств металлов достигается многими способами, одним из наиболее распространенных является термомеханическая обработка, сочетающая термообработку и пластическую деформацию. Этот способ применяется для снятия остаточных напряжений, увеличения пластичности и прочности материала, что ведет к существенному росту сроков эксплуатации. С другой стороны, многие детали машин и конструкционные элементы, находясь в условиях изменяющихся циклических нагрузок, нагреваются и деформируются. Неизотермические деформации существенно изменяют свойства материала и характер деформирования. Можно отметить, например, снижение предела текучести при повышении температуры, что приводит к более раннему началу пластического течения в материале. Также отмеченная технология обработки материалов давлением, прокатка, может быть холодной и горячей. Прессование проводится над нагретым металлом. Волочение относится к холодной обработке, однако в этом процессе происходит трение материала о волочильный аппарат, что вызывает разогрев его поверхности. Возникающее при этом пристеночное вязкопластическое течение также становится неизотермическим вследствие процесса теплопроводности. Учет связанности полей деформаций и температуры позволяет качественно и количественно точнее описать поведение таких элемен-

тов конструкций и выявить при этом новые эффекты. Поэтому разработка методов решения связанных задач термопластичности является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. В процессе термомеханической обработки материалов также следует учитывать явление ползучести. Хотя ползучесть относится к медленному процессу накопления необратимых деформаций, в условиях больших нагрузок при достаточно высокой степени нагрева материала деформации ползучести могут достичь больших размеров, соизмеримых с размерами не только упругих, но и пластических деформаций. Также при длительном нагружении деталей машин при повышенных температурах процессы ползучести могут стать причиной нарушения условий нормальной эксплуатации агрегатов. Для некоторых конструкционных материалов, например, высокопрочных алюминиевых сплавов, прочность которых снижается при пластическом течении, применяется технологический прием формоизменения за счет медленного процесса ползучести при уровне нагружающих усилий ниже предела текучести [45, 65-67, 130, 131, 159]. Поэтому включение ползучести в расчеты термомеханических процессов также является очень важным.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Панченко Галина Леонидовна, 2026 год

// // /

0

0 0.25 0.50 0.75 1.00

Рис. 4.8. Распределение перемещений по слою в разные моменты времени

Компонента необратимых деформаций р12 в момент начала вязкопластического течения, в момент времени т2 и в момент окончания вязкопластического течения показана на рисунках 4.10, 4.11 и 4.12 соответственно.

0

3.600

3.594

3.588

г- ХТ2

/Т1

— • — . _ - • — ■ _ - ■

0 0.25 0.50 0.75 1.00

Рис. 4.9. Распределение температуры по слою в разные моменты времени

Р12 3.0-10-5

1.510-

0

0 0.25 0.50 0.75 1.00

Рис. 4.10. Компонента необратимых деформаций в момент начала вязкопластического течения

5

Заметим, что релаксация напряжений в рассматриваемой задаче оказалась незначительной. Связано это с тем, что в тяжелом слое всегда присутствуют напряжения, определяемые соотношениями (3.5), (3.6), и связанные с действием силы тяжести. Значения этих напряжений являются весьма значительными по сравнению с остаточными напряжениями, вызванными термодеформационными процессами.

Р12 0.104

0.052

00 0.25 0.50 0.75 1.00

Рис. 4.11. Компонента необратимых деформаций р^ в момент времени т2

Р12 0.48

0.24

00 0.25 0.50 0.75 1.00

Рис. 4.12. Компонента необратимых деформаций р^ в момент окончания вязкопластического течения

Здесь получено обобщение краевой задачи, рассмотренной в параграфе 3.1, на случай учета ползучести материала, а также зависимости коэффициента вязкости от температуры при вязкопластическом течении. Из расчетов обеих задач следует: во-первых, вязкопластическое течение в случае учета процесса ползучести начинается немного раньше; во-вторых, в случае, когда не учитывается ползучесть и зависимость коэффициента вязкости от температуры, упругопластическая граница движется чуть быстрее; в-третьих, распределения температуры по слою в обоих случаях получились одинаковыми; в-четвертых, если учитывать ползучесть и зависимость коэффициента вязкости от температуры, необратимые деформации и перемещения будут больше. Это объясняется тем, что к началу пластического течения уже имеются накопленные необратимые деформации, а также с ростом температуры течение ускоряется, так как уменьшается коэффициент вязкости. Стоит также отметить, что различия в этих двух задачах получились незначительными в виду того, что рассматриваемые процессы деформирования материала в слое протекали только под действием собственного веса тяжелого слоя и его нагрева без приложения каких-либо дополнительных нагрузок. Если же рассматривать приложение, например, сдвиговой нагрузки, то, скорей всего, разница будет более отчетливой.

4.3. Термомеханическое нагружение упруговязкопластического тяжелого слоя, удерживаемого наклонной плоскостью

В этом параграфе приводится обобщение решения задачи параграфа 4.2 на случай приложения не только термических нагрузок, но также и механического нагружения.

4.3.1. Постановка задачи. Деформирование материала в условиях ползучести

Рассмотрим тяжелый слой несжимаемого упруговязкопластического материала с высотой к, расположенный на жесткой наклонной плоскости (рис. 3.1). Нижняя граница слоя х2 = 0 жестко закреплена, а верхняя х2 = к подвергается тепловой и механической нагрузкам. Краевые условия задачи можно записать в виде

д0

и

х2 =0 = ° ^22

= к =-/1(\ СТ12 х2 = к = /2 (), 0^ = к = ),

2=к 3X2

0. (4.26)

х2 = 0

Здесь 0(), /1 () и /2 () - заданные возрастающие функции тепловой, сжимающей и сдвиговой нагрузок соответственно.

Для отличных от нуля компонент тензора деформаций Альманси в данном случае имеем зависимости (3.2). Согласно (1.67) для отличных от нуля компонент тензора напряжений выполняются зависимости (3.11). Из уравнений равновесия (3.4), соотношений (3.11) и условий (4.26) получим распределение напряжений в слое

ст11 = Р&2(к -Х2)-№) + 2(Ц-Ь0Хт11 - т22), СТ12 = Р&1 (к - Х2 ) + /2 ), 22 = Р&2 (к - Х2 ) - /1 ^), (4.27)

.33 =-Р1(,) = р§2(к-Х2)-/1(Г)-2(ц-Ь0)т22 + ) + /2(<))2.

Считаем, что с началом деформирования необратимые деформации накапливаются в медленном процессе ползучести. В потенциале ползучести (4.17)

ограничимся слагаемыми до порядка п по напряжениям, тогда для скоростей деформаций ползучести из (1.32), (4.17) и (4.27) получим

б[2 = 2п-1 Бп^1 (к - х2)+ /2 (?) )п-1, 6^1 =-822 ^ В!-?* . (4.28)

2 ?12

Уравнение теплопроводности (1.64) в данном случае примет форму

\2 > ™ ~2,

1 + р10 +

взЬ (pgl (к - ^2 )+ /2 (?))2

ае а2е

— = а—2 д? дх2

2 - ье)3

-в, л(х^и/2)) - ^ ^ (к - х2 )+/ (, ))п

2 (^ - ье)2

(4.29)

Решение уравнения (4.29) при выполнении двух последних краевых условий (4.26) и начального условия е| = 0 = 0 получено численно.

Из соотношений (3.11), (3.22) и (4.27) следуют зависимости для компонент тензоров обратимых и необратимых деформаций т12 и р12, а также для градиента

перемещений точек слоя

м^ёр* Р,=/ги*. 12=2К+р,).

Перемещения точек материала находятся интегрированием последнего уравнения (4.30) с использованием первого краевого условия (4.26). Для компонент обратимых деформаций т11, т22 и необратимых деформаций р11, р22 выполняется система уравнений (3.25), в которой у12 = б[2.

Из соотношения (1.37) следует, что в некоторый момент времени ? = ?0 условие пластичности впервые выполнится на верхней границе слоя х2 = к в

форме а12 , = к (?0). Из данного условия и зависимости (1.69) получим уравне-

х2 = к

ние для определения момента начала вязкопластического течения ?0

/2 (?0 )=к 0 (1 -е(к, ?0 )е-1 у.

4.3.2. Вязкопластическое течение материала слоя

С момента времени t = от верхней границы слоя х2 = к начинает развиваться область вязкопластического течения г(/) < х2 < к. При этом в области 0 < х2 < г^) материал продолжает деформироваться вязкоупруго. Движущаяся граница х2 = г(/) отделяет область течения от области, в которой необратимые

деформации продолжают накапливаться за счет процесса ползучести.

Из уравнений равновесия (3.4), а также условий непрерывности компонент напряжений на границе области течения х2 = г ^) следует, что напряжения в областях г) < х2 < к и 0 < х2 < г) определяются зависимостями (4.27).

Из (1.31) и (1.37) в области течения г) < х2 < к получим равенства (4.20). Из сравнения зависимостей (4.20) и (4.27) для компоненты напряжений ст12 установим соотношение для компоненты ер2 тензора скоростей пластических деформаций

еР = п-1 (р< (к - Х2) +/2 (t) - ¿0 (1 - еер )2)+ ей. (4.31)

Учитывая, что на границе области вязкопластического течения х2 = г(0 скорость пластических деформаций еР2 совпадает со скоростью деформаций ползучести е"2, из (4.31) получим уравнение для определения положения этой границы

р< (к - г (о)+ /2 (о = ¿0 (1 - е(г(0, t )ер(4.32)

Уравнение теплопроводности (4.29) продолжает выполняться в области 0 < х2 < г^). А в области течения г) < х2 < к уравнение теплопроводности (1.67) с учетом соотношений (4.27) и (4.31) принимает форму

( п 1 ( (1 \ Г Г^\2\

1 + р1е +

въъ (р< (к - х2)+ /2 ($))2 ) де э2е Рз /2 (t)(рgl (к - х2)+ /2 (t))

ч 2 (ц- ъе)3 )д "дх2 2 (ц- ъе)

„_ . 3 / 2 У- )УР<51Ук х2

= а-~----:-т^-

22

(Р<1 (к - х2 )+ /2 ^))

Г ( \ (4.33)

1 п

V V

р<1 (к - х2 )+ /2 ^) - ¿0

е Р1 )

+ ь12

Для температуры 0 выполняются последние два граничных условия (4.26). Также примем непрерывность искомой функции 0 и ее производной д0 / дх2 на границе

х2 = г (?) и непрерывность температуры в момент начала вязкопластического течения t = t0. Система уравнений (4.29), (4.33) и (4.32) относительно неизвестных функций 0(х, t) в областях 0 < х2 < г^) и г^) < х2 < к и г^) была решена при помощи конечно-разностного метода. В области вязкоупругого деформирования на пространственно-временную область 0 < х2 < г^), t0 < t < ^, где t1 > t0, наносится конечно-разностная сетка

г]' , t1 - гп

1кз =х = к, I = 0, N1, ^ = к + ^ ' = 1, N3} к/ = N, кз = ^. (4.34)

Л1 Nз

В области вязкопластического течения г^) < х2 < к берется следующая сетка:

®к2 к3 = {*/ = к + г}, I = ; ^ = к + to, ' = } к = ^. (4.35)

N 2

На сетках (4.34) и (4.35) вводим сеточные функции 01г7, 02', значения которых известны и обозначают температуру на временном шаге ' в областях вязкоупру-гого и вязкопластического деформирования соответственно. Для нахождения значений этих функций на шаге ' +1 из уравнений (4.29), (4.33) и (4.32) получим систему:

,+„ 0 /+.+м(ре,(к-х/+1)+ /2(ч+1 ))210,7+1 -0(х/+',I')

1+Р101' + 2 (,-Ь01'+1 )3

х

к

3

С - 201'+1 +01^ Ь /2(' )(ре1 (к - х'+1)+ /2 ')) (к/+1) 2 (ц-'

2" ^* +1 ^+1' (ре1 (к - ')+ /2 (с+> + о((к/+1 у + к,

У1

1+РЛ Г + р 3<

РзЪ (р<1 (к - х/+1)+ / (/ ))2 )е2 /+1 -е(х/+1, 1>)

к,

2 (й- ъе2/+1 )3 а е2/+ - 2е2^+1 + е2/1 ^ / (у+1 )(р<1 (к - х/+1)+ /2 И)) (/ ) 2 (й- ъе 2 /+У

(4.36)

/)+ / /))

V1

812°(х

(х/+1) к (к -(х/+1))+ /2 И))

X

Р<1 (к - х/ +1 )+ /2 (^ +1 )-¿с

^ е 2 ;+1 1 - 2

2

е

р1

+о ((к/+1^ + к

Р<1 (к - г>+1)+ /2 (^+1) = ¿0 (1 - е 20+1е-1^. В уравнениях (4.36) функция е(х/+1, tj) определяет значение температуры е в момент времени ^, но в пространственной точке х/ +1. Данная функция получается интерполяцией известных значений е^ и е2/. Для функции 8120 (х/+1) в этой си-

стеме принимается следующее разложение

812 'х

(х/+1 )= е0 + (8' +1 ^^0- ^ +1), 80 = 2"^N

п е

(еД )-

г 0 - г/+1

1 я «>«) /

" (010,1)

(«0),

/+1 = )-1 я^1 ^(е^1 )р<1 (к-х/+)+ /2(t/+1))'(е м

(4.37)

К уравнениям (4.36) добавляются краевые и начальные условия в форме

е /+1 е /+1 е11 -е10

к,+1 ок+1 ]1 е2 ¿+1 = с +1 ]1 е/1 = е20+1,

е/+1 /+1 е /+1 е /+1 -1 е21 -е20

к/+1

к/+1

+ о(к1+1 + /), еь° = е(х°,to) (4.38)

е2? = е(х0,to), г0 = к.

Система (4.36)-(4.38) далее решается численно в математическом пакете. Сходимость данной конечно-разностной схемы была проверена прогонами модели на сгущающихся сетках.

В области 0 < х2 < г^) остаются верными зависимости (3.22), (3.25) и (4.30)

при у11 = е[1, у12 = е[2 и у22 = е^2. В области течения г) < х2 < к эти

соотношения также выполняются только при у11 = 81р1, у12 = ер2 и у22 = ер2.

8

4.3.3. Торможение вязкопластического течения

В момент времени t = t1 > t0 начнем снижать механическую нагрузку путем замены возрастающих функций /1 ^) и /2 (t) на убывающие, а также зафиксируем температуру на верхней границе слоя, т.е. примем, что 0|х = к = О(^). Положим

также для удобства, что убывающие функции /1 ^) и /2 (t) одновременно станут равными нулю. Сначала такие изменения в режиме нагружения не приводят к существенным изменениям в процессе деформирования. Область течения г^) < х2 < к продолжает расширяться, а в сужающейся области 0 < х2 < г^) по-прежнему материал деформируется вязкоупруго. Изменяется лишь скорость движения границы области вязкопластического течения х2 = г^). Если до момента времени t = ^ скорость возрастала, то теперь она уменьшается и с течением времени становится равной нулю. Все уравнения, ранее выполнявшиеся в областях 0 < х2 < г^) и г^) < х2 < к, остаются верными с новыми функциями /1 ^), /2 ^) и фиксированным значением функции О (^).

В некоторый момент времени t = t2 > t1 вязкопластическая область перестает расширяться, и появляется новая граница х2 = г1 ^), движущаяся от стационарной границы х2 = гк верхней границе слоя х2 = к. Граница х2 = г1 (t) отделяет уменьшающуюся область течения г1 ^) < х2 < к от области г(^) < х2 < г1(t), в которой необратимые деформации теперь накапливаются в результате процесса ползучести, как и в области 0 < х2 < г.

Из условия совпадения скоростей необратимого деформирования на границе х2 = г1 (t) следует уравнение для определения ее положения

ре (к - г (t))+/2 ^) - к0 (1 - 0(г (t), t)0р ^ + в[2 (г1 (t))=

= 2П-1 Вп(ре1 (к - г^))+ /2 (t))и-1.

В вязкоупругой области г(^) < х2 < г1 (t) для температуры выполняется уравнение теплопроводности (4.29). Также в этой области верны соотношения

(3.22Х (З.25) и (4.30) при уп = е^, 712 = ей и у22 = е^.

В расчетный момент времени Х = Х3 > t2 граница области течения х2 = г1 (Х) достигает верхней границы слоя х2 = к, и вязкопластическое течение в слое прекращается. Теперь необратимое деформирование материала слоя происходит только за счет ползучести в областях 0 < х2 < г(Х2) и г(Х2) < х2 < к. Изменение

температуры во всем слое описывается уравнением (4.29).

В момент времени t = t4 > Х3, который можно найти из условия /1(Х4) = 0, функции / (х) и f2 (t), задающие механическое воздействие на тяжелый слой, становятся равными нулю. Уравнение теплопроводности (4.29) в таком случае принимает вид (4.19).

С момента времени t = t4 примем для температуры снова граничное условие 0|^ = к = О(t), в котором функция G(t) теперь убывающая. С момента времени

t = t4 материал слоя начинает остывать. В момент времени t = t5 > t4, который можно найти из уравнения О(Х5) = 0, температура верхней границы слоя станет

равной нулю, но в материале слоя останется еще некоторое ее распределение. С течением времени слой полностью остынет.

Расчеты проводились в безразмерных переменных ~ = х2 / к и т = 8 4Х при линейных функциях:

, 0 < t < х1,

-8 2 (t -11), t1 < t < х4, t4 =(1 + 818-1 ^, 83х, 0 < х < ¿1,

8з?1 -8-1828з (х - х,), ¿1 < Х < ¿4,

/1(Х) =

/2 (Х) =

84х, 0 < х < х1, О(х) = <¡84х1, х1 < х < х4,

84х1 -85 (х - х4), х4 < х < х5, х5 = х4 +848-1х1.

Значения безразмерных постоянных принимались следующими: pg1kц-1 = 2.806 • 10-7, pg2кц-1 = -1.62 • 10-7, а8-1к "2 = 6.555, = 0.734,

Ьц-1 = 0.01, Р1 = 5-10-4, Рз = -9-10-4, у^-1 = 0.408, вр = 2.074, 81|и"18"1=5-10"6, 83ц-18-1 = 5-10"4, 8-182 =1, 858-1 = 1, Ь1 = 2.518, Ь2Г0-1 =1.482, с18"1 = 1.084-1010, 50ц-1 = 6.886 -10-10, ОЯ;1/"1 = 52.37, иТ0 = 12.121. На рисунке 4.13 представлено изменение границы г = г / к, отделяющей область вязкопластического течения, с течением времени в интервале от т0 до т2 =1.090, а также изменение границы области течения ~ = г1 / к в интервале от т2 до т3. Распределения температуры по слою в моменты времени т 0, т1 = 1.086, т2, т3, т4 = 2.172 и т5 = 3.258 показаны на рисунке 4.14.

Рис. 4.13. Зависимость границы области вязкопластического течения от времени

в в

Рис. 4.14. Распределение температуры по слою в разные моменты времени

На рисунке 4.15 изображены перемещения точек тяжелого слоя в моменты времени т0, т, т2, т3 и т4. Скорости точек материала в моменты времени т 0, т, т2, т3, т4 и т5 показаны на рисунке 4.16.

и и

Рис. 4.15. Распределение перемещений в слое в разные моменты времени

V V

Рис. 4.16. Распределение скоростей точек слоя в разные моменты времени

Рисунки 4.17-4.19 показывают, как изменяются компоненты обратимых деформаций т12, т11 и т22 по слою с течением времени.

т12-104 т12-104

Рис. 4.17. Распределение компоненты т12 по слою в разные моменты времени

т11-10' 1.15

0.92

0.69

0.46

'¿Г

_/0

т11 -105 0.001

-0.524

-1.049

0.25 0.50

0.75

- „„-1.574 1.00 0

0.25 0.50

0.75

1.00

х

Рис. 4.18. Распределение компоненты т11 по слою в разные моменты времени

т22 -Ш

-1.196

-1.430

-1.664

-1.898

ч?

т22 -10

1.567

0

0.25 0.50

0.75

1.044

0.521

-0.002

1.00 0

х

0.25 0.50

0.75

1.00

х

Рис. 4.19. Распределение компоненты т22 по слою в разные моменты времени

Изменение компонент необратимых деформаций р12, р11 и р22 в материале тяжелого слоя с течением времени изображено на рисунках 4.20-4.22.

Р12

0.150

0.105

0.060

0.015,

1 1

1 1

Р12

0.548г

0.372-

0.196-

0

0.25

0.50 0.75 1.00 0 0200

1 I /

- У 1

/ъ II

0.25 0.50 0.75 1.000

X

Рис. 4.20. Распределение компоненты р12 по слою в разные моменты времени

Р11-104

1.92|—

1.28

0.64

ч//

1

То

Р11 -10° 6.42

6.38

6.34-

0.25

0.50

0.75

6.30 1.00 0

х

Т4

/ у /

/ ^5

0.25

0.50

0.75

1.00

х

Рис. 4.21. Распределение компоненты р11 по слою в разные моменты времени

Р22 0г

-0.015-

-0.030-

-0.045,

\

1

1

0

0.25

0.50

Р22 -0.001

-0.200

-0.399

0.75

„ „„-0.598„ 1.00 0

х

--- .А -

\ \ \

\ ■ч

0.25

0.50

0.75 1.00

х

Рис. 4.22. Распределение компоненты р22 по слою в разные моменты времени

0

0

Процесс релаксации компонент тензора напряжений стп и (33 с момента времени т5 до момента времени т6 = 51 показан на рисунке 4.23.

( -105 ст33 -105

Рис. 4.23. Релаксация напряжений

В параграфе 4.3 исследовано термомеханическое нагружение плоского тяжелого слоя, расположенного на наклонной плоскости. Приложение механических нагрузок помимо нагревания сильно влияет на процесс деформирования материала. Так, в задаче из параграфа 4.2 тяжелый слой подвергался только нагреванию. И в материале течение начиналось на нижней границе слоя. В этом же параграфе под действием механических нагрузок течение в материале инициировалось на верхней границе слоя.

4.4. Ползучесть и вязкопластическое течение материала пробки в круглой трубе под действием переменного перепада давления

Повышение прочности, пластичности и других механических свойств металлов достигается многими способами, одним из которых является термомеханическая обработка. С другой стороны, многие элементы конструкций работают в условиях циклически изменяющихся нагрузок, вызывающих упругопластическое деформирование. Вследствие этого в элементах конструкций возникают тепловые деформации, которые могут существенно изменять свойства материала и, как следствие, характер деформирования. Учет связанности полей деформаций и температуры позволяет качественно и количественно точнее описать поведение таких элементов конструкций и выявить при этом новые эффекты, однако и значительно усложняет модельные соотношения.

Здесь приведем решение неизотермических краевых задач о необратимом деформировании материала, образующего пробку конечной длины в круглой не-деформируемой трубе, под действием изменяющегося со временем перепада давления, заданного на торцевых поверхностях пробки. Рассмотрим два варианта постановки задачи. В первом случае материал пробки находится в условиях жесткого сцепления со стенками трубы и тепло создается внутри только за счет необратимого деформирования (ползучесть и пластичность), то есть приток тепла в среду через ее границу отсутствует. Во втором случае материал пробки может двигаться вдоль стенок трубы и его трение о трубу вызывает его разогрев.

4.4.1. Постановка задачи и деформирование до вязкопластического течения

Рассмотрим пробку длины I, которую образует несжимаемый упруговязко-пластический материал в круглой трубе радиуса Я с недеформируемыми стенками. Боковая поверхность пробки находится в условиях жесткого сцепления со стенками трубы, а верхняя поперечная граничная поверхность пробки нагружается переменным давлением. Задача в цилиндрической системе координат решается в классе функций © = ©(г,t), и = и2(г,t), V = (г,t), Р = Р(г,г,t), где и и V - отличные от нуля компоненты векторов перемещений и скорости. Тогда на граничных поверхностях пробки г = и (г, t) и г = I + и (г, t) краевые условия имеют вид

(и (0, и (0, t), t ) = - р^), (и (О, I + и (0, t), t ) = 0, (4.39)

где г = 0 - координата максимального перемещения граничных точек пробки, р^) - задаваемое давление. Согласно второму условию (4.39) принимается, что

сопротивление продавливанию на свободном конце пробки при г = 0 отсутствует, хотя его можно задать и не равной нулю постоянной величиной. Условия сцепления на боковой поверхности пробки записываются в форме

и1=Я=0 4=Я = 0 (440)

Функция р^), задающая перепад давления, возрастает со временем с нулевого значения, и, пока напряженное состояние не достигло поверхности нагруже-ния, необратимые деформации накапливаются в материале в результате медленного процесса ползучести. В результате необратимого деформирования происходит разогрев материала, поэтому для его изменяющейся температуры примем условия:

д©(г, t)

0(г,0) = 0, д©(г,t)

дг

0,

г=0 дг

0. (4.41)

г=Я

Для отличных от нуля компонент тензора деформаций Альманси согласно (1.12) получим зависимости (2.4). Из соотношения (1.67) для отличных от нуля компонент тензора напряжений следует выполнение равенств (3.75).

Уравнения равновесия в рассматриваемом случае принимают форму (2.7). Интегрируя второе уравнение (2.7) с учетом зависимостей для напряжений (3.75), получаем

Р2 = с(,> + р0 (г,,), а = + ^. (4.42)

2 г

Из первой формулы (4.42) следует, что р1 является линейной функцией координаты 2. Функцию интегрирования с1 (,) полагаем равной нулю, чтобы напряжение аг2 имело конечное значение при г = 0, с(,) найдем из граничных условий (4.39). Тогда компонента аг2 тензора напряжений принимает окончательный вид

агг =- РГ, Р = Р(,). (4.43)

Потенциал ползучести (1.32) и первую формулу (1.36) перепишем в форме (4.2). Ограничимся в нем слагаемыми до порядка п по напряжениям, тогда для скоростей деформаций ползучести из (1.32), (3.75) и (4.43) найдем

/ „„л

п-1

е! = - Вп

Г2

Рг) , е; =-е; =^тгг т". (4.44)

V I у 2 тгг

Уравнение теплопроводности (1.64) при учете соотношений (3.75), (4.43) и (4.44) примет вид

1 + р10 +

в3Ьр 2 г

2 „2 Л

Л

50 + Рз Рг дР = а

{д2 0 1 д0Л +—

удг г дг у

Вп

2У1

Гр^п V I у

(4.45)

812 (ц- Ь0)3 )д, 812 (ц- Ь0)2 д,

Дифференциальное уравнение в частных производных (4.45) при условии зависимости параметров ползучести материала от температуры (1.71) и начальном и граничных условиях для температуры (4.41) решается численно.

Кинематика среды в рассматриваемом случае описывается зависимостями (3.85), в которых скорости необратимых деформаций равны скоростям деформаций ползучести: Угг = С , Уг2 = ^ и У= е1 .

Из соотношений (3.75), (3.85), (4.43) и (4.44) найдем компоненты тензоров обратимых и необратимых деформаций тГ2 и рГ2:

рг \ (ргл

тк =-,,/„ , Рг^ = - ВП\—^

Ж. (4.46)

\ и-1

4/(ц-бё) •р" = 1 В\Т

Для градиента перемещений точек материала пробки из (3.85) получаем равенство (3.87). Перемещения точек материала пробки находятся интегрированием уравнения (3.87) с учетом граничного условия (4.41).

Для компонент обратимых деформаций тгг, т; и необратимых деформаций ргг, р; из кинематических зависимостей (3.85) следует система уравнений (3.88).

Интегрируя первое уравнение равновесия (2.7) с учетом граничных условий (4.39) и соотношений (3.75), получим зависимости, связывающие компоненты тензора напряжений и найденные ранее распределения температуры, перемещений и компоненты обратимых деформаций

а, = р(; - / - и(0,г)) -1^ + ^ + ^ ¿г + 2(, - ¿е)(т, - т„) -

I о г

- 2(ц- ¿9(0,г)\тгг (0, г)- тгг (0, г)), а^ =а+ 2(ц- Ъ9\т„ - та), (4.47)

аФФ = -р2 = а;; - - Ъ9К; - + Ъ9)тГ;.

Найденное решение неизотермической краевой задачи при возрастающем перепаде давления остается справедливым до момента времени г1, в который на

боковой границе пробки г = Я впервые выполнится условие пластического течения (1.37) в следующем виде

Мг=Я = к(Ч), (4.48)

в котором предел текучести зависит от температуры (формула (1.69)). Из уравнения р(г1 >Я = 2/к (г1) находится момент начала течения гл.

4.4.2. Вязкопластическое течение материала при возрастающем и постоянном перепаде давления

Начиная с момента времени г1 в материале развивается область вязкопла-стического течения т(г) < г < Я. Движущаяся граница г = т(г) отделяет расши-

ряющуюся область течения от сужающейся области 0 < г < т(,), в которой материал продолжает накапливать необратимые деформации ползучести. Зависимости (3.75) для компонент тензора напряжений выполняются и в вязкоупругой области 0 < г < т(,), и в области вязкопластического течения т(,) < г < Я, следовательно в обеих областях остается справедливым соотношение (4.43) для компоненты тензора напряжений аг2.

В вязкоупругой области 0 < г < т(,) скорости деформаций ползучести имеют вид (4.44), а уравнение теплопроводности - (4.45).

Из ассоциированного закона пластического течения (1.31) следует, что условие пластичности (1.37) в рассматриваемом случае (аг2 < 0, еР < 0) записывается в форме первой зависимости (4.6). Используя соотношение (4.43), выразим из первого равенства (4.6) компоненту тензора скоростей пластических деформа-

ций еР

е Р =

&г2

1Гк-Р^

П

2/

+ е^. (4.49)

\ ^ /

Компонента тензора скоростей деформаций ползучести е^0 в точке в момент достижения ее упругопластической границей в текущий момент времени , вычисляется по формуле

/ \п-1

е;2 = - Вп1 . (4.50)

V 1 у

Из предположения о непрерывности скоростей необратимых деформаций на границе г = т(,), разделяющей области с разными механизмами накопления необратимых деформаций следует уравнение

\ 0(т,, 1--

рт_к К0

0

V У

(4.51)

2/

из которого определяется положение границы г = т(,) в каждый момент времени.

Уравнение теплопроводности (1.64) в области вязкопластического течения т(,) < г < Я с учетом зависимостей (3.75) и (4.49) принимает вид

\+р,е+ ^2г2 '

де + в3 рг др

= а

к 812 (ц- ье)3 812 (Ц- ье)2 д ( 2)