Большие необратимые деформации ползучести в условиях локального пластического течения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Лемза Александр Олегович

• Лемза Александр Олегович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Лемза Александр Олегович

Введение

Глава 1. Модельные соотношения теории больших упругопластических

деформаций

§ 1.1. Кинематика деформирования

§ 1.2. Определяющие законы

§ 1.3. Конкретизация определяющих зависимостей

Глава 2. Деформирование материала в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями в условиях ползучести и пластического течения

при силовых граничных условиях

§ 2.1. Постановка задачи и моделирующие уравнения

§ 2.2. Численная реализация задачи

Глава 3. Деформирование материала цилиндрического слоя при заданных

кинематических граничных условиях

§ 3.1. Деформирование в режиме ползучести при вращении внешнего

цилиндра

§ 3.2. Развитие и торможение пластического течения

§ 3.3. Приведение уравнений к безразмерному виду

§ 3.4. Численное решение поставленной задачи

§ 3.5. Ползучесть и пластическое течение материала при повороте

внутреннего цилиндра

Глава 4. Влияние одностороннего проскальзывания материала на

деформирование образца в режиме ползучести и при пластическом течении

§ 4.1. Проскальзывание материала при вращении внешнего цилиндра

§ 4.2. Взаимодействие эффектов проскальзывания и пластического течения

при вращении внешнего цилиндра

§ 4.3. Приведение уравнений к безразмерному виду

§ 4.4. Численное решение вариантов поставленной задачи

§ 4.5. Эффект проскальзывания материала в случае поворота внутреннего

цилиндра

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Большие необратимые деформации ползучести в условиях локального пластического течения»

Введение

Современные технологии при изготовлении деталей сложной геометрии предъявляют к технологическим процессам и режимам повышенные требования к размерной точности и ресурсу эксплуатации готовых изделий. Разработка адекватных технологическим процессам новых средств и методов по математическому моделированию таких процессов и режимов является наиболее эффективным способом соблюдения указанных требований.

Технология холодной формовки, при использовании которой формоизменение материала происходит за счёт медленного режима ползучести [54, 55, 111], применяется при обработке некоторых материалов, используемых в машиностроении. Такие материалы испытывают существенную потерю прочностного ресурса в случае их высокоскоростного формоизменения при повышенных температурах. Тем не менее и при холодной формовке не удаётся полностью избавиться от пластического течения, проявляющегося в локальных областях, где формоизменение выполняется при повышенных скоростях необратимого деформирования.

Наличие пластического течения оказывает существенное влияние на перераспределение напряжений во всём формуемом материале и на процесс его ползучести. Поэтому пренебрежение данным эффектом при расчётном прогнозировании остаточных напряжений в получаемых в результате обработки изделиях и конечной геометрии этих изделий попросту невозможно. Высокий уровень остаточных напряжений может негативно влиять на эксплуатационные характеристики образцов. За исключением случаев, когда образец представляет собой тонкую панель [27], им приобретаются большие деформации. Это сказывается на некорректности применения классической теории малых деформаций [68, 118] для моделирования возникающих задач и заставляет исследователей в подобных случаях обращаться к теориям больших деформаций.

Большие необратимые деформации обнаруживают себя как при быстром пластическом деформировании, так и при медленных процессах ползучести.

Последние можно охарактеризовать пониженным уровнем остаточных напряжений и усилий формообразования; помимо сохранения прочностного ресурса изделий, деформирование заготовок в режиме ползучести обеспечивает высокую точность их геометрии [88].

Деформирование многих материалов сопровождается совместным проявлением упругих, вязких и пластических свойств. Считается, что пластичность сред проявляется при достижении напряжённым состоянием предела текучести, тогда как вязкость оказывает влияние на деформационный процесс на любой его стадии. Иногда с целью упрощения создаваемых математических моделей некоторые свойства материалов не рассматриваются, например, считая материал упругим, его вязкими свойствами пренебрегают [28]. Однако вязкость сред может значительным образом сказываться при деформировании, что вызывает необходимость разработки математических моделей, комплексно учитывающих указанные свойства. Основой таких исследований являются теории вязкопластичности [52, 103-104, 190] и вязкоупругости.

Теория вязкоупругости [1, 89, 164, 182] посвящена исследованию деформирования реономных сред. Для многих задач, связанных, например, с исследованием ползучести бетона, полимерных и композиционнных материалов, аппарат линейной теории вязкоупругости является достаточным [24]. Однако для описания реономных свойств металлов её положения оказались неприменимы. Изучению вопросов ползучести в обработке металлов [26, 102, 170], их длительной прочности [97-99, 106, 119, 129] посвящена теория ползучести [8, 25, 56-57, 69, 117, 194]. Основной идеей в теории ползучести является определение зависимости между скоростями необратимых деформаций и напряжениями, являющейся для металлов резко нелинейной. Известно множество вариантов таких определяющих уравнений [100, 131, 137], однако они не являются универсальными для широкого спектра материалов и экспериментальных условий.

Основным инструментом для определения вязких констант являются вискозиметрические эксперименты [120, 149-150, 166, 183]. В зависимости от конструкции среди вискозиметров выделяют капиллярные, с падающим шариком, вибрационные и ротационные. К последней категории измерительных систем относят коаксиальные цилиндры, конус-плоскость, параллельные диски, вращающееся тело, погруженное в жидкость неограниченного объёма [91, 139]. В коаксиально-цилиндрических вискозиметрах, где исследуемая среда находится в зазоре между двумя цилиндрами с общей осью, осуществляется прямое определение связи между напряжением сдвига и скоростью сдвига [123]. Опыты осуществляются двумя способами [183]. Большинство коаксиально-цилиндрических вискозиметров работают по методу, который носит имя британского физика Д. Ф. Сирла. Здесь внутренний цилиндр приводится в движение, а внешний остаётся неподвижным. Недостатком метода, наблюдаемым при работе с маловязкими жидкостями при высоких скоростях вращения, является возникновение турбулентных течений в форме вихрей Тэйлора [136]. Второй способ, при котором внешний цилиндр вращается, а внутренний является статичным или смещается незначительно, назван в честь французского учёного М. Куэтта (хотя впервые такой подход был предложен в [189]). При обработке результатов экспериментов необходимы [41] точные решения соответствующих краевых задач. Для вязких и вязкопластических жидкостей имеется ряд классических решений [12, 103, 125].

Теория больших упругопластических деформаций относится к наиболее интенсивно развивающейся фундаментальной механике деформирования. При этом создание общей математической модели больших упругопластических деформаций встречает на своём пути две основные проблемы [81, 195], имеющие кинематический характер:

- выбор корректного способа разделения полных деформаций на обратимую и необратимую части;

- определение скоростей изменения необратимых деформаций.

Указанные трудности исследователями, создающими модель, решаются по-разному, исходя из дополнительных соображений, основанных на эмпирических данных и желаемых результатах. Таким образом, в разделение деформаций и формулировку скоростей их необратимых составляющих вносится некоторый произвол.

Опытным путём измерению поддаются полные деформации, однако их обратимые и необратимые составляющие, а также деформации ползучести и пластические деформации, формирующие необратимую часть, остаются в экспериментах неопределёнными.

Истоком развития теории больших деформаций принято считать работы [174, 175], в которых было предложено мультипликативное представление градиента полных деформаций в виде произведения

р = рр = дГ ддР,

е р дг0 др дг0 '

где р и р - градиенты упругой и пластической деформации, г и Г - радиус-

векторы начального и текущего положений точки среды, подверженной деформированию, р - радиус-вектор данной точки в состоянии разгрузки. Предположение о взаимнооднозначном соответствии единственного состояния разгрузки каждому деформированному состоянию хотя и распространяло основные положения модели Прандтля-Рейса [7, 68] на большие деформации, однако оставляло без ответов вопросы о том, что понимается под самим разгрузочным состоянием и какова зависимость разгрузочного состояния от пути разгрузки. Считать таким состоянием для каждой частицы тела предельное состояние при неограниченном измельчении тела предложено в работе [133] А. Д. Чернышовым. Им же в статье [132] проведено обобщение предложения Э. Ли на термоупругопластические материалы.

Вопреки ожиданиям исследователей, разложение, предложенное в [174], приводило лишь к неполному разделению общей упругопластической деформации по причине его неединственности [146]. Это явилось причиной аномалий в определяющих теориях, созданных на основе подхода Э. Ли;

обсуждению и устранению данной проблемы посвящён ряд исследований [148, 157, 159, 168, 181, 184, 197], в том числе со стороны самого автора [173, 176].

Отметим, что первая попытка составить модель больших упругопластических деформаций была предпринята ранее Л. И. Седовым. В монографии [126] им предложено разложить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие, однако некорректность такого подхода была выявлена вскоре после публикации издания.

Корректировка недостатков и обобщение предложения Э. Ли [174] на случай анизотропных материалов были приведены в работе [165]. Здесь закон, связывающий напряжения и обратимые деформации, существенно зависит от необратимых составляющих. Но экспериментальная конкретизация такого закона оказалась невозможной, что не позволило применять его на практике.

В работе [151] автором принимается разложение полных деформаций, отличающееся от рассмотренного в [174] порядком множителей:

^ = ^^.

Р е

Такой вариант также приводит к зависимости разгрузочного состояния от пути разгрузки, и, как было доказано несколько лет спустя в [186], здесь не представляется возможным образовать тензор необратимых деформаций, неизменный в процессах разгрузки.

Несмотря на обозначенные выше недостатки, гипотеза Э. Ли о существовании разгрузочного состояния нашла отражение во многих последующих работах других учёных, например, [9, 112, 144, 163, 185, 193]. В работах [84, 85] данная гипотеза была обобщена на случай учёта вязких свойств материала на стадии пластического течения. При построении на её же основе В. И. Левитасом кинематики конечных упругопластических деформаций [92-96] удалось избежать некоторых неточностей предшественников. Тем не менее потребовалось ввести дополнительные ограничения [179], чтобы освободить теорию от указанного выше недостатка - зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки.

В [92] также уделено внимание и второй обозначенной проблеме: выбор

определения скоростей необратимых деформаций. Она возникает при обобщении теории пластического течения [46, 51, 63, 64, 68, 72, 127, 130]. Стандартным подходом к решению этой проблемы является задание в связях тензора необратимых деформаций и тензора их скоростей в качестве последнего некоторой объективной производной [167]. Так, автором [116] предложено использовать для такой цели производную Яумана. В работах [6, 58, 121] применена производная Коттер - Ривлина, которая связывает тензор конечных деформаций Альманси с тензором скоростей деформаций. Предлагается [153, 156] также опираться на экспериментальные данные при выборе производной, но в таком случае необходимо проверять пригодность используемой производной для конкретной задачи.

В исследованиях [90, 107, 108, 122] авторы, основываясь на кинематике наложения малых упругих и неупругих деформаций на конечные упруго-неупругие, строят эволюционное определяющее уравнение поведения сложных сред при конечных деформациях, включающее согласованную с ним объективную производную. Полученное соотношение конкретизируется с использованием упругого закона на случай слабосжимаемого материала. Для построения уравнения состояния упруго-неупругого поведения материала потребовалось выделение из упруго-неупругого градиента места чисто упругой составляющей. Полученное представление р = , где р и рж - упругий и неупругий градиент места соответственно, совпадало по форме с разложением Э. Ли, но было лишено его недостатков; показано, что упругий градиент места остаётся неизменным при чисто неупругом изменении конфигурации, а скорость полной деформации равна сумме скоростей упругой и неупругой деформаций.

Обобщение деформационной теории пластичности, в которой тензорно-линейные соотношения между деформациями и напряжениями совпадают по форме с положениями теории малых упругопластических деформаций [65, 66], для исследования распространённых на практике процессов с большими пластическими и малыми упругими деформациями предложено авторами работ [109, 110]. Здесь также осуществлена общая постановка упругопластических

задач с учётом больших пластических деформаций с использованием и лагранжевых, и эйлеровых переменных. Для приведённых постановок представлены обобщённые решения задач упругопластичности, исследован ряд прикладных задач. Расширению теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина на случай конечных деформаций также посвящён ряд других исследований [47, 115].

Исследованию процессов деформирования, сопровождающегося большими пластическими и малыми упругими деформациями, часто встречающихся в прикладных задачах, но уже в рамках теории пластического течения, посвящены работы [160, 172].

Таким образом, несмотря на то что в настоящее время имеется достаточно много геометрически и термодинамически непротиворечивых математических моделей процессов накопления больших деформаций (указанных выше, а также, например, [5, 53, 59, 87, 128, 135, 145-147, 154, 155, 169, 171, 177, 180, 187, 196]), общепризнанной математической модели больших деформаций, включающей в себя одновременно и обратимые, и необратимые деформации, не существует. Такие модели строятся с разной степенью сложности и с учётом различных эффектов, сопровождающих деформирование, однако до настоящего времени не существует методов, алгоритмов и программ расчётов таких процессов, несмотря на то что подобных расчётных возможностей требует технологическая практика. Главной сложностью в построении алгоритмов расчётов в рамках таких моделей является алгоритмический учёт возникновения и продвижения упругопластических границ, которые являются элементами решения соответствующих краевых задач. Исключительную ценность для таких целей приобретают точные аналитические или численно-аналитические решения простейших модельных задач теории. Только на их основе можно корректно поставить задачи, моделирующие технологические процессы, и провести тестирование расчётных схем.

В 90-х на Дальнем Востоке была предложена модель больших деформаций [38, 45, 105]. В отличие от теории Э. Ли, рассмотренной выше, здесь в

соответствии с формализмом неравновесной термодинамики [105] для вводимых в рассмотрение термодинамических параметров, которыми являются составляющие полных деформаций - упругие и пластические деформации, предложено использовать дифференциальные уравнения переноса, или изменения. Использование такого подхода к моделированию устраняет проблему выбора объективной производной, поскольку выписываемые дифференциальные уравнения изменения соответствующих тензоров деформаций содержат тензоры скоростей их изменения, выступающие в этих уравнениях в качестве источников. В [45] для обратимых и необратимых деформаций постулируются уравнения изменения, в которых конкретизируются источники, а разгрузочное состояние не является зависимым от характера деформационного процесса. В статье [38] составляющие полных деформаций также определяются уравнениями переноса, предполагается неизменность необратимых деформаций в процессе разгрузки, а изменение компонент соответствующего тензора происходит аналогично случаю жёсткого вращения среды. Здесь же принята упрощающая гипотеза, используемая в классической теории, о независимости термодинамических потенциалов от необратимой составляющей полных деформаций, или о зависимости напряжений в материале только от уровня и распределения обратимых деформаций.

Предложенная теория получила развитие, найдя обобщения [75, 81] для случаев температурных и реологических эффектов и применение к постановкам, моделированию и аналитическим и численно-аналитическим решениям множества краевых задач [10, 13, 21, 29-36, 39-44, 77, 78, 82, 161 и др.].

Продолжением указанных работ являются исследования, в которых учитывается появление и развитие пластических областей в условиях общего накопления больших деформаций ползучести. Считается, что необратимые деформации не разделяются на пластические и деформации ползучести, а их различие заключается в механизмах их производства. Для них справедливо одно и то же дифференциальное уравнение переноса, в котором для источника необратимых деформаций выбираются различные законы. При деформировании, предшествующем пластическому течению, используется закон ползучести. При

напряжённых состояниях, удовлетворяющих условиям пластичности, применяется ассоциированный с поверхностью нагружения закон пластического течения. Следовательно, упругопластическая граница представляет собой поверхность, на которой меняется механизм производства необратимых деформаций с ползучести на пластичность. Накопленные к моменту начала пластического течения необратимые деформации ползучести являются начальными значениями для растущих в последующем необратимых деформаций в области пластического течения. При разгрузке на упругопластической границе данные деформации меняются местами, механизм производства необратимых деформаций меняется обратно с быстрого пластического на медленный вязкий. В новых работах [37, 113, 162] указанное согласование в начальных условиях рассматривается на примере задач наиболее простой геометрии теории больших деформаций. В [162] решается задача о прямолинейном движении материала в цилиндрической трубе, в [37, 113] исследованы задачи о деформировании сферического слоя в условиях всестороннего сжатия. В качестве закона ползучести здесь выбран закон Нортона, а согласуемым с ним условием пластичности в [37] служит условие Мизеса, в [113, 162] - соответственно условие Треска и расширенный пластический потенциал Мизеса, обобщённые на случай учёта вязких свойств среды. В настоящей работе рассмотрим класс задач о вискозиметрических течениях материалов.

Таким образом, целью работы является постановка и решение краевых задач о вискозиметрическом деформировании материала цилиндрического слоя при различных видах воздействия в условиях последовательного накопления деформаций ползучести и пластического течения, разработка численных алгоритмов и программ, позволяющих выполнять расчёт напряжённо-деформированного состояния среды.

Достижение поставленной цели осуществлялось при решении следующих задач:

1. Постановка и решение краевой задачи о деформировании упруговязкопластического материала, расположенного между двумя жёсткими

коаксиальными цилиндрическими поверхностями, при повороте внутреннего жёсткого цилиндра вокруг своей оси за счёт приложенного к нему изменяющегося момента закручивания. Приобретаемые материалом необратимые деформации в зависимости от уровня напряжённого состояния среды могут быть и деформациями ползучести, и деформациями пластического течения в условиях соответствия напряжённого состояния поверхности нагружения.

2. Постановка и решение краевых задач о вискозиметрическом деформировании материала, проявляющего упругие, вязкие и пластические свойства и помещённого в зазор между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями, при заданной переменной скорости поворота одного из цилиндров в условиях прилипания материала на жёстких стенках. Исследование возникновения, развития и торможения пластического течения в материале с накопленными деформациями ползучести при возрастающей, постоянной, убывающей и нулевой скорости поворота, определение продвигающейся упругопластической границы, вычисление деформаций, перемещений, напряжений на всех этапах процесса деформирования, включая релаксацию напряжений после полной остановки вращающегося цилиндра.

3. Постановка и решение аналогичных задач при учёте сухого и вязкого трения в окрестности жёстких стенок при его вискозиметрическом деформировании.

4. Разработка алгоритмов и программ расчётов напряжённо-деформированных состояний материалов в указанных случаях.

Научная новизна. В рамках нового подхода последовательного учёта накопления необратимых деформаций ползучести и пластичности поставлены и решены новые краевые задачи теории больших деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами. Разработаны соответствующие методы решения.

Практическая значимость. Результаты решения задач имеют большое значение для описания и совершенствования методов прогнозирования явлений, связанных с холодной формовкой - наиболее предпочтительным способом

значительного формоизменения ряда материалов, а также формированием полей остаточных напряжений. Появляется возможность оценки упругого последействия разгрузки и соответствующей оптимизации технологических приёмов снятия остаточных напряжений.

К основным научным результатам выполненной работы относятся:

1. Постановки и решения краевых задач о вискозиметрическом деформировании материалов в условиях последовательного накопления ими деформаций ползучести и пластичности при увеличивающейся и постоянной скорости поворота одного из жёстких цилиндров или за счёт приложенного переменного момента закручивания.

2. Решения задач о торможении вязкопластического течения и разгрузке в условиях равнозамедленного движения одной из жёстких поверхностей или уменьшающегося момента закручивания.

3. Указанные закономерности продвижения упругопластических границ по деформируемому цилиндрическому слою как в условиях возрастающих нагрузок, так и при разгрузке.

4. Вычисление деформаций (обратимых и необратимых), перемещений, напряжений в процессах нагружения и разгрузки, в том числе остаточных. Исследование релаксации остаточных напряжений после полной остановки цилиндрических поверхностей.

5. Постановки и решения задач о вискозиметрическом деформировании материала в зазоре между двумя жёсткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, когда на каждой из поверхностей заданы условия сухого и вязкого трения.

6. Разработанные алгоритмы и программы расчётов напряжённо-деформированного состояния материала и определения неизвестных продвигающихся упругопластических границ.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием классических подходов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред, достаточно апробированной теории больших упруговязкопластических

деформаций, корректными математическими постановками исследуемых задач, стандартными методами построения конечно-разностных схем, применением известной системы компьютерной математики.

Апробация результатов.

Основные результаты работы были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях:

- XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Казань, 2015) [18];

- III Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования» (г. Москва, 2016) [73];

- 64-я и 65-я международные молодёжные научно-технические конференции «Молодёжь. Наука. Инновации» (г. Владивосток, 2016, 2017) [79, 80];

- XLIV и XLV Международные летние школы-конференции "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, 2016, 2017) [141, 142];

- молодёжная научная школа по математическому моделированию и компьютерным технологиям в рамках 2-й Российско-Тихоокеанской конференции по компьютерным технологиям и приложениям (г. Владивосток, 2017) [178];

- Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (г. Владивосток, 2018) [14].

Диссертация докладывалась и обсуждалась на научном семинаре в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН (г. Комсомольск-на-Амуре, 2018) и на расширенном заседании кафедры прикладной математики, механики, управления и программного обеспечения Школы естественных наук Дальневосточного федерального университета (г. Владивосток, 2019).

По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них три - в рецензируемых научных изданиях, рекомендуемых ВАК, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций [15, 16, 19], две - в изданиях, индексируемых в Web of Science и Scopus [140, 143].

Личный вклад автора. Все основные результаты, составившие диссертацию, получены автором лично. Соавторы научных публикаций по теме диссертации участвовали в постановке задач, обсуждении результатов, а все необходимые вычисления были проведены автором.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав основной части, заключения и списка литературы из 197 источников. Работа изложена на 123 страницах, содержит 40 рисунков.

В первой главе, имеющей вводный характер, представлены основные соотношения теории больших упругопластических деформаций, предложенной А. А. Бурениным, Г. И. Быковцевым, Л. В. Ковтанюк, В. П. Мясниковым и А. В. Шитиковым [38, 45, 105] и выбранной в качестве базовой для составления математической модели исследуемых задач. Показаны способы модельного учёта вязких свойств материала [28] и алгоритмический подход к смене механизмов накопления необратимых деформаций [22, 23].

Вторая глава посвящена модельной задаче о деформировании материала, находящегося в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями, осуществляемом при силовом воздействии, приложенном к внутреннему вращающемуся цилиндру. Построены системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение среды при нагружении в режиме ползучести, последующего пластического течения и после его прекращения. Приведены результаты численного эксперимента.

В третьей главе исследуется ряд задач аналогичной геометрии, когда в качестве краевого условия используется заданная скорость вращения одного из цилиндров. Проведены отдельные расчёты для случая, когда деформирование материала осуществляется только за счёт медленного процесса ползучести, а также для случая, когда необратимые деформации накапливаются и за счёт ползучести, и за счёт пластического течения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лемза Александр Олегович, 2019 год

е - е

гг фф

е

гф

2

е

гф у

(2-35)

Тогда уравнения переноса (2-29) и (2-30) для рассматриваемого деформирования среды в режиме ползучести будут преобразованы к форме:

де

г^ _ ' \егг — егф

(е -е Де -1) + 2е

V гг фф Л гг !

угф

дх

де

2е

гф

д 2в

г-е„

дгдх

гф

1+

фф

1

е + е - 2

гг фф у

дх

фф _ е'

гф

(е -е )(е -1)+ 2е2 д2в

у фф гг А фф )_гф у—-—а

2е,„„ дгдх

фф

гф

де

дх

е

гф ' гг

— — е —

гф

гф

+ ефф- 2 д — (ефф -1):

е +е

гг фф

2

(2-36)

2

- г

дгдх е + е - 2

гг фф

дРгг

дх

дРфф дх

е

(егг ефф)(1 2Ргг ) 4егфРгф _ 2Г д2в Ргф(ефф 1)

(е

V гг

гф

2е

гф

гф\ фф дгдх е- + ефф-2

е

(ефф егг X1 2Рфф) 4егфРгф +2уд2в Ргф(ефф 1)

' Уфф

гф

2е

гф

фф

дгдх е_ + ефф -Т

(2-37)

дР

гф

дх

— е'ф(1-

Рг

Рфф)+г

д2 в (ефф - 1)(Рг

Р

фф

)

дгдх

е + е

гг фф

2

При увеличении закручивающего усилия в некоторый момент времени х — х0 напряжённое состояние среды достигнет поверхности нагружения, что инициирует зарождение пластического течения в цилиндрическом слое. Математически это означает выполнение заданного условия пластичности. Если в качестве такой поверхности использовать условие пластичности максимального касательного напряжения (1-51), то в соответствии с (2-32):

с

4

г

1

к -О2 + 4<= 4к2■ (2-38)

Отсюда с учётом (2.26) следует, что условие пластичности в момент времени г = ¿0 и прежде всего выполнится на граничной поверхности г = г0 ■

Полагаем, что до некоторого момента времени г = ^ > г0) закручивающее усилие увеличивается, что вызывает расширение затрагиваемой пластическим течением области г < г < г (г) (отмечена римской цифрой II на рисунке 2.3). Следовательно, вместе с этим область г (г) < г < Я (отмечена римской цифрой I на рисунке 2.3), в которой изменение деформаций среды следует моделировать уравнениями (2.36) и (2.37), будет сокращаться. Здесь г() - движущаяся упругопластическая граница, разделяющая указанные области.

Рисунок 2.3 - Области деформирования на стадии пластического течения

В общем случае на радиусах г > г с ростом нагрузки равенство (2.38) будет выполняться при г = ^ (г) , причём ^ (г0 ) = г0 . При этом область г0 < г < г (г)

требует иных моделирующих уравнений. Для их получения механизм накопления необратимых деформаций зададим (1.58), а к самим необратимым деформациям будем относить пластические деформации, т.е. в (2.29) и (2.30) в качестве источника у выступает тензор ер скоростей пластических деформаций.

С целью учёта вязких свойств материала на стадии пластического течения

будем использовать условие пластичности (1.59), которое в рамках рассматриваемой задачи имеет вид:

Vk + 4<| = |VQ| = 2k + 2^max||. (2.39)

Согласно (1.58),

' ^тгФ^Ф^Г ^ ))

'К (r, г )-°„(r, t ))2 + 4К,(г, t)

(2-40)

(г,х )-Офф(г,х ))2 + кЦг,х )

'^(г-х)— 2^ ч °г:(г' 1 „ , , ч + еф(г• хе(г))

л1(кгг (г,х Ьст^г,х ))2 + кфХг,х ) Таким образом, как и в (2-34), сумма диагональных компонент тензоров, подставляемых в качестве источника необратимых деформаций в дифференциальные уравнения переноса, равна нулю, т.е. ер(г,х)— -ефф (г,х) -

Уравнения (2-40) выписаны с конкретизацией временного параметра. Далее для краткости изложения формул будем опускать указание (г, х) произвольных радиуса и момента времени.

Множитель второго слагаемого, входящего в правую часть соотношений (2-39), найдём из равенства

Ргг - ¥ Prv

= 0, (2.41)

в соответствии с которым max| Дк\ = Л. Тогда (2.39) приведём к виду:

Л = ^ - k. (2.42)

Исключим с помощью полученного результата величину Л из (2.40):

<= 2И^+<Дг, t^(r)),

e - e ( , чч (2.43)

< = -+ <(г,t^(r)), ( ) e

Гф

где

н =

л

1 к

2 л/ё

(2.44)

Преобразуем дифференциальные уравнения (2.29) и (2.30), учитывая (2.43):

^ = (егг - е" ^ -1) + 26 дг а

д2 в ( е__ -1

гф

е..

гф

- е г-

гф дгдг

1 +

фф

е + е - 2

у гг фф у

+

+ еф(г,г,(г)) (егг -1)

егг ^гЛг))-ефф(г'г,(г))

2еГф(г, г,(г))

+ е„

гф

22

де (е - е Уе -1)+ 2е2 д2в е -1

фф _ ^^ у фф ^ Л фф ) Уф | ^ г д в фф__

гф гф дгдг е + е - 2

дг

е

гф

гг фф

+ еф(г, г,(г ))(1 - ефф) еег(г' ,г))-ефф(г' ,г))

2егф(г, г,(г))

+е

гф

де

гф

дг

, г,(г ))]■

ег + ефф- 2 д2 в (ефф-1)2

2

дгдг ег + ефф- 2

дрг =На (егг - ефф)(1 - 2 Ргг) - АегфРгф 2р уд'в ефф-1

дг

гф

е

гф

Гф дгдг егг + ефф- 2

+

+ еф(г' ',(г )1_(1 - 2 Р" 3 2егг(Г,,(г)) 2 Ргф

дР (е - е )(1 - 2 Р )- 4е Р д2в е -1

ф ^ ^ фф _ ф _г гф \ Г д в фф

дг

гф

гф

дгдг егг + ефф- 2

дР

гф

дг

^ ( О \ет (г'г,(г))- ефф(г'г,(г - ^,г,(г ^ - 2 рфф)--+2 р

= [2Н°Гф + <ф(г>г,(г))](1 - Ргг - Рфф) +

,д2в (ефф- фгг - Рфф)

дгдг егг + ефф- 2 '

(2.45)

(2.46)

Начальными условиями для решения уравнений (2.45) и (2.46) служат значения соответствующих компонент тензоров обратимых и необратимых деформаций, вычисленные в момент времени г^ (г) на радиусе г цилиндрического

слоя с помощью (2.36) и (2.37).

Считаем, что с момента времени г = ^ закручивающее усилие уменьшается. Этот процесс можно характеризовать постепенным смещением

1

упругопластической границы г (г) к внутреннему цилиндру до тех пор, пока при некотором г = ¿г она не достигнет его поверхности, ознаменовав прекращение пластического течения во всём цилиндрическом слое. Вместе с этим условие (2.38) на радиусах г0 (г)< г < Г (^) повторно выполняется в некоторый момент времени г = ^ (г) . Как в области г (^ )< г < & , где пластическое течение отсутствует в ходе всего процесса, так теперь и в области г (г) < г < г (^), где пластическое течение происходило, но завершилось, изменяются необратимые деформации ползучести.

С момента времени г = г2 (г2 > ^) закручивающее усилие считаем постоянным. Таким образом, функцию с() зададим в следующем виде:

с{,)={-М2-г\р, 0<г <га, (2.47)

\-м\(2/, - г2 )/р, г > г,. 4 '

2'

Заметим, что системы уравнений (2.36)-(2.37) и (2.45)-(2.46) включают в себя шесть уравнений, однако содержат семь неизвестных функций, подлежащих численному определению: в^(г,г),в^г,г),вг^(г,г),р^(г,г),р^г,г),ргч>(г,г) и в(г,г).

Дополним указанные системы соотношением, являющимся результатом приравнивания правых частей (2.21) и (2.26):

с = 2№гр + (М - 2ЬХвггвгф + в„вгр)+ 2(М - ЬX + 2(2М - 2Ь + 3/)х г

х(в2 в + в2 в )+ б(м-Ь + 2г)в в в - - (17м- 17Ь + 18г)х

\ ТТ Тф фф ГФ ' уг1 /I / гг фф гф 2 V " Л/

х (в-гвгф + вффвгф)-3 (5М - 5Ь + 4/)(вттвт3ф + вффв^Гф)-

- - (7м-7Ь + 10г)(в2 в в + в в2 в )+ ...

гг фф гф гг фф гф

Здесь следует отметить, что непрерывность скоростей необратимых деформаций на упругопластической границе означает равенство в момент окончания ^ (г) пластического течения на радиусе г достигнутых скоростей

пластических деформаций и скоростей накапливающихся далее деформаций ползучести. Следовательно, в соответствии с (2.39) ввод дополнительных слагаемых в закон (1.49) не требуется, что позволяет для оценки напряжённо-

деформированного состояния среды при г > ^ (г) использовать (2.36) и (2.37).

При известных в среде деформациях становится возможным математически определить в ней и параметры напряжённого состояния. Так, интегрированием первого уравнения (2.25) при некотором краевом условии

к (Я, г ) = <, (2.49)

где < - задаваемая функция, следует определить компоненту < тензора напряжения. Соотношение (2.18) далее позволяет найти распределение гидростатического давления р , а отсюда, используя (2.19) и (2.20), можно

исследовать изменение компонент < и <г тензора напряжений.

§ 2.2. Численная реализация задачи

Осуществим численное решение поставленной задачи с целью определения напряжённо-деформированного состояния среды. Методы аппроксимации частных производных будем применять относительно полученных моделирующих уравнений, предварительно преобразованных к безразмерному виду. Для соответствующей модификации соотношений положим, что

Ят

г = ~я= , г = г Я, (2.50)

где т и г - безразмерные представления времени и радиуса цилиндрического

Ят Г _

слоя соответственно, причём г = , ' , — < г < 1.

, р ' ыр я

Тогда для операторов дифференцирования справедливы соотношения:

д -Щр д д 1 д

(2.51)

дг Я дт дг Я дг Так как напряжения, гидростатическое давление и модуль сдвига имеют одинаковые единицы измерения, то справедливы зависимости:

< =М<~У, р = №, (2.52)

где сг и р - безразмерные аналоги тензора напряжений и гидростатического

давления. Считая деформации безразмерными величинами, к параметру ползучести материала В и функции с() будем применять соотношения:

В = 4 ) = щЯ2 Р(т) (2.53)

ЯЩ

Тогда, согласно (2.36) и (2.37), в областях, в которых пластическое деформирование не происходит, обратимые и необратимые деформации следует определять с помощью дифференциальных уравнений вида:

2 ^ С 1 Л

е.... -1

фф

1 +

е + е - 2

у гг фф у

де (е - е )(е -1)+ 2е2 д?

ис,гг _ ~ V V гг фф А гг ! гф д6

-— б---е

дт гф 2е^ дт гф

дефф = Б V (ефф- егг )ефф- 1)+ 2еф , д^ ефф- 1

дт гф 2егф дт гф егг + ефф- 2' .

де е + е - 2 д? (е -1)2

гф _ р V гг фф \ фф /

— Б,,

дт гф 2 дт е + е - 2

фф

др„ ~ V (егг - ефф X1 - 2Ргг ) - 4егфРгф ~ д? Ргф (ефф - 1 -— Б--2--,

дт Гф 2егф дт ег + ефф- 2

дРфф = рV (ефф - егг X1 - 2Рфф)- 4егфРгф | 2 д? Ргф(ефф - 1) (2 55)

дт Гф 2егф дт егг + ефф- 2,

дРгф рV А п ), д? (ефф- 1)(Ргг - Рфф)

И7 = ~гф(1 - ргг - Рфф)+дт е + в - 2 ■

гг фф

В уравнениях (2.54) и (2.55) безразмерный аналог р соответствующей компоненты тензора скоростей деформаций ползучести запишем в форме

Р7ф(г,т)= 2 Вп~(т)

гф\ ' / р2п-2

г

с2(т) 4 +

{ Л 2

ег - е

г фф

У ег-ф у у

П-1 2

(2.56)

а функцию с(т) согласно (2.47) и (2.53) зададим в виде:

-т(2т1 -т), 0 < т < т 2 ,

«4 7(2? т 0<;:т2, (2.57)

[-т2 (2т1 -т2 \ т>т2 Также в уравнениях (2.54) и (2.55) в соответствии с (2.8) проведена замена:

, д2

г

^? = Р^ в(0) = 0. (2.58)

дг дт дт дг

Для моделирования изменения деформаций в области ~ (г)< г < ~ (г)

пластического течения запишем сначала безразмерный аналог компоненты е тензора скоростей пластических деформаций:

р Т;

(ТТ ,г)= 2И-

1 к

--~

!(г) 4 +

2 Л -1 N

/ Л

е - е

Т ;;

V е г; у у у

+ е;(г ,гД~)), (2.59)

2 ^ ^

V

где И = /л/(аг]), а затем получим уравнения, эквивалентные (2.45) и (2.46) де ер (г ,г)-£у (~,г(г)) (е - е )е -1)+ 2е

ТТ т;\ ' / г;\ ' // \ тт ;;а тт !

дг 2

егг (~'ГАТ))- е;;(Т))

2ег;(Т ,Г,(Т ))

'2

'т;+г;(~,гД~))

г;

х (е v тт -1)

де ;; е; (

дг

+е

г;

-е

д? дг

е -1 1 + ;;

е + е - 2

v тт ;;

де ер (г ,г)-еу (г,тЛт )) (е - е )(е -1)+ 2е

;; г;\ т;\ ' | v // v, ;; тт/\ ;; )

2

(~,г (г ))х (2.60)

г;

X

(1 - е;;)

егг (т ,гД~ ))-е;;(~,г^(г ))

2е;(~,ГД~ ))

+е

г;

+е

дg е;; - 1

г;

дг е + е - 2

тт ;;

де

дг

т; _ ~ р (~ г)~ТТ ' ";;

е + е - 2 д? (е - 1Г

тт ;; \ ;; )

г; '

2

дг е + е - 2

тт ;;

дрт гАг ))(1 - 2 Ртт ) ))-))

X

дг

д? е

2ет;(~,г^(~ ))

- 2 р

г;

- 2 Рт; х

-1 е р (~,г)-еУ (~,г(г)) (е - е )(1 - 2р )-4е

;; т;\ ' / т;\ ' | v // \ тт ;; л г тт !

--1--. -

оРт

т;г г;

дг е + е - 2

тт ;;

2

г;

др

= -еФг^(г ))(1 - 2р;;)

етт (т ,гАГ ))-е;;(г,гАТ ))

+ 2 р

х

дг — 2ет;(~,г,(г))

дё е;;- 1 , еТР; (Т )) (е;;- ег X1 - 2Р;;)- 4ет^Р

+ 2Р;Х (2.61)

__;;

дг е + е - 2

тт ;;

+

2

др

дг

т; _ер

(Т ,г)(1

т;У г)(1 - Ртт - Р;;)+ ~ ~

дг е + е - 2

е

г;

V д? (е;; -1)(ргг - р;;) - + е Л

тт ;;

Уравнения (2.54)-(2.55) и (2.60)-(2.61) дополним аналогом (2.48):

2

с

X

- = 2е + (1 - 2Ь Хее + еет )+ 2(1 - Ь V + 2(2 - 2Ь + 3х )

гф \ /\ гг гф фф гф / \ /гф \ /Ь /

(е2 е + е2 е )+ б(1 - Ь + 2у\ е е -1/2(17 - 17р +185~)х

гг гф фф гф гг фф гф

Х (е3гегф + еффегф)-3(5 - 5Р + 4ХХеАф + еффег3ф)-- 32 (7 - 7р + ОД \е1еффегф + еггеффегф)+ ■■■,

(2.62)

~ Ь ~ х

где Ь = —,р = —. Первое из уравнений равновесия (2.25) преобразуем к виду: ¡л Щ

д а „

~ е - е

^ фф гг

дг г

е

гф

а е - е

гф фф гг

гф

(2.63)

Ввиду громоздкости соотношений (2.18)-(2.20) не будем приводить их безразмерные варианты, заметим лишь, что их структура сходна с (2.62) относительно безразмерных констант. Для численного решения задачи будем использовать метод конечно-разностных схем [50, 124].

Рассмотрим область поиска решения О = {г < г < 1,0 <г<^\, где т ^ -