Расчет упругих волновых явлений в гетерогенных средах с помощью химерных сеток и явно-неявных модификаций сеточно-характеристического метода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Песня Евгений Александрович

• Песня Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Песня Евгений Александрович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Волновые процессы в неоднородных средах: задачи и приложения

1.2 Существующие численные методы моделирования волновых процессов

1.2.1 Методы на неструктурированных сетках (МКЭ и его модификации)

1.2.2 Методы конечных разностей (МКР)

1.2.3 Сеточно-характеристический метод (СХМ)

1.3 Методология решения задач со сложной геометрией и разномас-штабностью

1.3.1 Технология наложенных сеток (метод Химеры)

1.3.2 Явно-неявные подходы моделирования

1.4 Специфика моделирования в предметных областях

1.5 Выводы по обзору литературы

Глава 2. Математические модели, численные методы и их верификация

2.1 Базовые математические модели и сеточно-характеристический метод

2.1.1 Система уравнений динамики сплошной среды

2.1.2 Граничные и начальные условия

2.1.3 Каноническая форма системы и характеристические переменные

2.1.4 Сеточно-характеристический метод

2.2 Явные и неявные модификации метода

2.2.1 Общие положения

2.2.2 Явные схемы

2.2.3 Неявный и гибридный подходы

2.3 Пространственная дискретизация и геометрическое моделирование

2.3.1 Использование криволинейных систем координат

2.3.2 Метод химерных сеток

2.3.3 Общий алгоритм решения с использованием химерных сеток

2.3.4 Построение химерных сеток для объектов со сложной топологией

2.3.5 Сравнительный анализ методов отображения

2.3.6 Генерация поверхностей со сложной геометрией

2.4 Численная реализация контактных условий

2.4.1 Реализация в явных схемах

2.4.2 Реализация в неявных и гибридных схемах

2.5 Тестирование и валидация численных методов

2.5.1 Валидация явно-неявного метода на примере вытянутой балки

2.5.2 Верификация контактных условий (одномерная задача)

2.5.3 Оценка сходимости

2.5.4 Волновые процессы в периодических слоистых средах

2.5.5 Валидация метода на задачах с криволинейными границами

Глава 3. Результаты численного моделирования и практическое применение

3.1 Моделирование волновых процессов в задачах со слоистой структурой

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Сравнительный анализ вычислительной эффективности и точности методов

3.2 Моделирование процесса зондирования структуры ледовых торосов

3.2.1 Постановка задачи и геометрическая модель

3.2.2 Использование химерных сеток

3.2.3 Параметры моделирования

3.2.4 Анализ волновых картин

3.2.5 Выводы по разделу

3.3 Применение технологии химерных сеток для задач дефектоскопии рельсового пути

3.3.1 Геометрическое моделирование и построение сетки

3.3.2 Постановка задачи

3.3.3 Результаты численного моделирования

3.3.4 Выводы по разделу

3.4 Вибрационный анализ железнодорожной насыпи в условиях мороз-

ного пучения и наличия ледяных линз

3.4.1 Геометрическая модель и параметры среды

3.4.2 Применение химерных сеток для моделирования линзы

3.4.3 Сравнительный анализ волновых полей

3.4.4 Выводы по разделу

3.5 Моделирование динамических процессов в композитных материалах

с явным учетом микроструктуры

3.5.1 Постановка задачи и геометрическая модель

3.5.2 Численный метод: Химерные сетки для микроструктуры

3.5.3 Результаты моделирования волновых полей

3.5.4 Сравнение с методом сквозного счета

3.5.5 Выводы по разделу

3.6 Стратегии распараллеливания и оценка эффективности вычислений

для задач со сложной внутренней структурой

3.6.1 Стратегии декомпозиции расчетной области

3.6.2 Реализация обменов и синхронизация

3.6.3 Производительность на кластере

3.7 Выводы по результатам численного моделирования

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет упругих волновых явлений в гетерогенных средах с помощью химерных сеток и явно-неявных модификаций сеточно-характеристического метода»

Введение

Актуальность темы. Моделирование волновых явлений в упругих и акустических средах определяет надежность инженерных конструкций, точность геофизических исследований и качество новых материалов. Форма реальных объектов может быть достаточно сложной. Железнодорожные рельсы, ледовые образования, композитные материалы и геологические пласты содержат внутренние дефекты. Подобного рода неоднородности радикально искажают распространение волн. Разброс масштабов таких структурных аномалий также значительный. Базовые инженерные задачи допускают применение методов гомогенизации для осреднения характеристик сплошной среды. Высокочастотная диагностика требует иного подхода, так как игнорировать микродефекты недопустимо. Разрешение структурных особенностей позволяет зафиксировать специфические волновые эффекты, отражающие фактический отклик исследуемого объекта [1-4].

Специфика топологии заставляет искать вычислительный компромисс. Доминирующим стандартом расчетов остается метод конечных элементов (МКЭ). Неструктурированные сетки легко адаптируются к криволинейным границам. Вычислительная цена этой гибкости высока. Процедура генерации сетки зачастую расходует больше процессорного времени, чем интегрирование самой системы уравнений. Автоматизация сеточного разбиения требует внедрения тяжеловесных алгоритмов пространственного позиционирования узлов. Метод конечных разностей (МКР) и его модификации, в отличие от классического МКЭ, более просты в реализации и облают большой вычислительной эффективностью, особенно при решении трехмерных нестационарных задач [5-7].

Сеточно-характеристический метод (СХМ) — это метод конечных разностей, основанный на характеристических свойствах гиперболических систем уравнений [8-10]. Он активно применяется в задачах линейной упругости, газодинамики, динамики плазмы, а также в других областях, где необходимо моделирование волновых процессов. Существуют и другие методы, учитывающие характеристические свойства системы. Расширение спектра прикладных задач стимулировало эволюцию СХМ. Разрабатываются новые модификации. Они нацелены на фикса-

цию тонких физических эффектов, повышение порядка аппроксимации и прямое ускорение вычислений. При использовании регулярной расчетной сетки в СХМ реализуется метод сквозного счета. В этом случае расчет ведется без явного выделения ударных волн, что упрощает численную реализацию и повышает стабильность вычислений. Однако недостатком является эффект «размытия» фронтов, обусловленный численной вязкостью, из-за чего могут применяться модификации, учитывающие явное выделение разрывов, например, через решение задачи Римана или применение особых граничных условий.

Разработка сеточно-характеристических методов и программных средств для расчета волновых явлений с использованием наложенных (химерных) расчетных сеток [11, 12] позволяет учитывать детали геометрии и микроструктуры. А использование явно-неявных подходов [13] в разработке сеточно-характеристического метода позволяет эффективнее вести расчет в задачах с большим отличием в характерных размерах особенностей, например сильно вытянутых объектах.

Цель работы. Разработка эффективных численных методов, алгоритмов и программных модулей для моделирования упругих и акустических волновых явлений в средах со сложной геометрией и разномасштабной неоднородной структурой, а также исследование волновых картин в условиях, приближенных к реальным задачам эксплуатации и диагностики.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели применялись современные численные методы решения гиперболических уравнений. В работе применяются:

1. сеточно-характеристический метод решения гиперболических систем уравнений;

2. технология наложенных (химерных) сеток для декомпозиции сложной геометрии;

3. явно-неявные гибридные разностные схемы для оптимизации временного шага;

4. методы параллельных вычислений для ускорения расчетов. Реализация численных методов выполнена с использованием специализированных

программных комплексов. Достоверность результатов подтверждается решением эталонных задач и сопоставлением с альтернативными численными решениями.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан явно-неявный метод для численного решения упругого волнового уравнения в слоистых разномасштабных средах.

2. Разработаны модули программного комплекса для численного решения упругого и акустического волновых уравнений с использованием химерных (наложенных) расчетных сеток в задачах с неоднородными включениями сложной формы.

3. Выполнено компьютерное моделирование с использованием химерных (наложенных) расчетных сеток упругих и акустических волновых явлений с учетом наличия гетерогенных включений сложной формы: неоднородностей в ледовых образованиях типа торосов, композитных материалов с учетом микроструктуры волокон, геологических сред со сложными скоростными моделями, пористыми включениями, многолетних мерзлых грунтов при наличии ледовых линз и их влияния на железнодорожные пути.

4. Предложен метод декомпозиции химерных расчетных сеток для численного моделирования ультразвуковых волн в композитных материалах с явным выделением волокон и исследованы возможности параллельного счета в данном подходе.

Научная новизна.

1. Разработан новый явно-неявный метод численного решения упругого волнового уравнения, адаптированный для объектов вытянутой формы (например, рельсов и оболочек) с учетом условий на контакте различных материалов.

2. Предложены и реализованы численные модули для решения задач акустики и упругости с использованием химерных расчетных сеток, позволяющие учитывать сложную геометрию объектов (например, профиль рельса, структуру тороса) и наличие внутренних неоднородностей (поры, включения).

3. Для задачи моделирования волновых процессов в композитных материалах с

явным выделением границ волокон были исследованы различные подходы

декомпозиции области в параллельном расчете и определена их эффективность.

Теоретическая значимость.

В диссертационной работе значительно расширяется класс задач, к которым применим сеточно-характеристический метод за счет его модификаций. Модификации имеют различные направления, используют как новые подходы с применением неявных и гибридных схем, так и новые подходы построения химерных наложенных сеток вокруг отдельных неоднородностей с границами сложной формы. В том числе предлагается идея более эффективной декомпозиции областей по слоям в композитных материалах.

Практическая значимость.

Практическая значимость работы заключается в актуальности рассмотренных задач, на которых проводились расчеты предложенными методами. При этом возможности применения не ограничены представленными задачами в работе и могут иметь более широкий класс приложений. Также все методы могут быть без проблем интегрированы в вычислительное ядро, разрабатываемое научной группой. А разработка такого ядра позволяет избежать взаимодействия с закрытыми коммерческими пакетами [14, 15] в критических отраслях, обеспечивает технологическую независимость, и дает возможность оптимизации исходного кода под архитектуру отечественных вычислительных кластеров.

Такой программный комплекс может быть использован при моделировании процедур неразрушающего контроля в элементах железнодорожной инфраструктуры, при проведении и интерпретации исследований в арктическом регионе, для которого характерно образование неоднородных структур из льда (торосов, линз), а также при разработке новых композитных материалов для моделирования сложных волновых картин возникающий из-за переотражений на внутренней структуре, и в конечном итоге влияющий на поведение материала под нагрузкой.

Степень достоверности и апробация результатов.

Результаты проверены аналитическими моделями и расчетами сторонних программ, согласуются с данными других исследований и численных экспери-

ментов. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях.

1. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 2020, Долгопрудный, Россия.

2. 6th international conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications», 2020, Долгопрудный, Россия.

3. Международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложения к современным проблемам естествознания», 2021, Обнинск, Россия.

4. Digital Futures 2021 (SDF-21), 2021, Селби, Англия.

5. 7th international conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications», 2021, Сириус, Россия.

6. 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 2021, Долгопрудный, Россия.

7. 26th International Conference on Knowledge-Based and Intelligent Information & Engineering Systems, 2022, Верона, Италия.

8. Марчуковские научные чтения, 2022, Новосибирск, Россия.

9. 8-ая Международная научная конференция-школа молодых ученых «Физическое и математическое моделирование процессов в геосредах», 2022, Москва, Россия.

10. 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ в честь 115-летия Л.Д. Ландау, 2023, Долгопрудный, Россия.

11. XXIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2023, Красноярск, Россия.

12. 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 2024, Долгопрудный, Россия.

13. Пятнадцатая Международная конференция по Прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (AMMAI'2024), 2024, Алушта, Россия.

14. 10th international conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications», 2024, Сириус, Россия.

15. 12th International NUMGRID Conference, 2024, Москва, Россия.

16. 67-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 2025, Долгопрудный, Россия.

17. Научная конференция «Численное моделирование в механике сплошных сред», 2025, Долгопрудный, Россия.

Работа поддержана грантами Российского научного фонда:

1) Руководитель А.В. Фаворская. Грант РНФ 25-71-10027. Повышение порядка точности численных методов и эффективности программного обеспечения для совместного решения упругого и акустического волновых уравнений с целью решения задач освоения Арктики.

2) Руководитель И.Б. Петров. Грант РНФ 23-11-00035. Разработка высокоточных квазимонотонных численных методов и распараллеленных алгоритмов для расчетов динамических процессов в сложных существенно неоднородных областях интегрирования.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах, опубликованных в рецензируемых научных изданиях из перечня ВАК, а также в изданиях, индексируемых в международных базах данных Scopus и Web of Science.

1. Pesnya, E. Application of Implicit Grid-Characteristic Methods for Modeling Wave Processes in Linear Elastic Media / E. Pesnya, A.A. Kozhemyachenko, A.V. Favorskaya // Intelligent Decision Technologies. — 2021. — Vol. 1. — P. 151-160.

2. Pesnya, E.A. Implicit Hybrid Grid-Characteristic Method for Modeling Dynamic Processes in Acoustic Medium / E.A. Pesnya, A.V. Favorskaya, A.A. Kozhemyachenko // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43. — P. 1032-1042.

3. Pesnya, E. Grid-characteristic method on Chimera meshes using a single background grid with varying elastic properties / E. Pesnya, A. Favorskaya, N. Khokhlov // Procedia Computer Science. — 2022. — Vol. 207, no. 2.

— P. 1398-1407.

4. Kozhemyachenko, A. Modification of the Grid-Characteristic Method on Chimera Meshes for 3D Problems of Railway Non-destructive Testing / A. Kozhemyachenko, A. Favorskaya, E. Pesnya, V. Stetsyuk // Lobachevskii Journal of Mathematics.

— 2023. — Vol. 44, no. 1. — P. 376-386.

5. Песня, Е.А. Использование сеточно-характеристического метода на химерных сетках для исследования морфометрических характеристик киля тороса / Е.А. Песня, М.В. Муратов, А.В. Фаворская, А.А. Кожемяченко // РЭНСИТ: Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. — 2023.

— Т. 16, № 1. —С. 137-142.

6. Pesnya, E. Dynamic Processes Calculation in Composites Considering Internal Structure Using the Grid-Characteristic Method / E. Pesnya, I.B. Petrov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45. — P. 319-327.

7. Kozhemyachenko, A.A. Computer Simulation of Train Movement by Grid-Characteristic Method / A.A. Kozhemyachenko, E. Pesnya // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45. — P. 262-271.

8. Pesnya, E. Parallelization Strategies for Ultrasonic Wave Propagation in Composite Materials Considering Microstructural Details / E. Pesnya, A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov // Supercomputing Frontiers and Innovations. — 2025.

— Vol. 11, no. 4. —P. 66-77.

9. Pesnya, E. Vibration Analysis of Frost Heaving of the Ice lens Type on Railways by a Grid-Characteristic Method / E. Pesnya, A.A. Kozhemyachenko, A.V. Favorskaya // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2025. — Vol. 46. — P. 317-325.

10. Песня, Е.А. Сеточно-характеристический метод с неявными схемами и контактными условиями на границе раздела материалов / Е.А. Песня, И.Б. Петров, А.В. Фаворская // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2025. — Т. 65, № 11. — С. 1955-1970.

Личный вклад. Автор самостоятельно разработал численные методы, выполнил программную реализацию, провёл расчёты, анализ результатов и подготовил публикации. В работах в соавторстве — автору принадлежит основная часть исследований.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Волновые процессы в неоднородных средах: задачи и приложения

Волновые процессы в упругих и акустических средах представляют собой фундаментальный класс физических явлений, связанных с распространением возмущений (полей скоростей, деформаций и напряжений) под действием внешних или внутренних источников. В отличие от задач статики, где ключевым является анализ установившегося напряженно-деформированного состояния, в динамических задачах определяющую роль играют эволюция волновых фронтов, эффекты дисперсии, дифракции и интерференции, а также сложные взаимодействия волн с границами раздела сред.

Фундаментальные основы эластодинамики, систематизированные в классических трудах (в частности, в монографии Ахенбаха [16]), детально описывают механизмы распространения и взаимодействия продольных (Р-волн) и поперечных (8-волн) мод в изотропных средах. Однако аналитические методы, эффективно работающие для канонических областей, оказываются неприменимыми для реальных инженерных и геофизических объектов, обладающих сложной геометрией и гетерогенной внутренней структурой.

Практический потенциал волновой теории очень большой. Например, в медицинской диагностике анализ сдвиговых волн открывает новые возможности визуализации тканей [17]. В сейсмическую разведку активно продолжают внедрять новые вычислительные алгоритмы. Гражданское строительство адаптирует волновой аппарат для непрерывного мониторинга. Оценка состояния мостов под динамической нагрузкой базируется именно на таких решениях [18]. Аналогичным образом рассчитываются пространственные деформации фибробетона [19]. Надежно фиксируется скрытое деградационное разрушение элементов конструкций после жесткого термического воздействия [20].

В реальных инженерных приложениях возникают физические среды со слож-

ной структурой, в таком случае престают работать базовые аналитические модели, а упрощенные численные модели не могут учесть многократные переотражения волн и взаимодействие с границами сложной формы. Такими примерами выступают железнодорожные рельсы, ледяные массивы арктического шельфа, перспективные композитные материалы, и т.д. Особую сложность представляет наличие мелких включений произвольной формы внутри тела, характерные размеры которых сравнимы с длинной волны зондирующих импульсов. Ряд работ показывает, что в таком случае происходит интенсивное перерассеяние энергии и регистрируется выраженное частотно-зависимое затухание [1-4].

Также немаловажно точное рассмотрение преднапряженного состояния тела. Так как остаточные напряжения могут иметь значительное влияние на поведение волнового фронта, например при акустоупругом эффекте, что характерно для полимеров и металлических сплавов [21, 22], возникает потребность в разработке новых продвинутых методов моделирования волновых процессов.

1.2. Существующие численные методы моделирования волновых

процессов

Существует значительное количество различных численных методов моделирования волновых процессов. Однако нет универсального подхода, способного покрывать все физические постановки, в связи с чем необходимо понимать возможности и ограничения тех или иных методов. При этом потребность в разработке или адаптации методов под отдельные поставки остается актуальной.

1.2.1. Методы на неструктурированных сетках (МКЭ и его модификации)

В механике деформируемого твердого тела массово применяется метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM). Он позволяет работать с областями произвольной формы. Это достигается за счет использования неструктурированных расчетных сеток (тетраэдральных или гексаэдральных в трехмерном случае).

В задачах волновой динамики обычно более жесткие требования по минимизации диссипации и дисперсии численных методов, в связи с чем МКЭ получил ряд модификаций высокого порядка. На практике широко применяется разрывный метод Галеркина (Discontinuous Galerkin, DG-FEM) [23] и спектрально-элементный метод (SEM) [24]. Глобальная сейсмология опирается на SEM в большей степени. Алгоритм гарантирует экспоненциальную сходимость по пространству и диагональную матрицу масс, что существенно ускоряет явные схемы интегрирования. Для моделирования трещиноватых сред применяются более специфичные подходы, чтобы избежать избыточного перестроения сеток и нагрузки на производительность. Разрабатываются расширенный метод конечных элементов (XFEM) [25] и метод виртуальных элементов (VEM) [26] для обхода ограничений. Также для задач с разномасштабной структурой (например, микротрещины в макрообъеме) разрабатываются обобщенные многомасштабные методы (Generalized Multiscale FEM) [27].

Однако применение класса методов МКЭ для моделирования высокочастотных волновых процессов может дать ряд ограничений:

• Проблема сеточной генерации. Построение качественной трехмерной сетки для тел со сложной топологией требует исключения вырожденных элементов («игл», «конвертов»). Такие процедуры могут быть крайне трудоемкими для сеток большого размера, и требовать времени, сравнимого со временем решения определяющих уравнений. При этом наличие подобных элементов ухудшает обусловленность задачи и приводит к расхождению метода.

• Вычислительная нагрузка. Для подавления различных паразитных численных эффектов требуется густая сетка (порядка 10-20 узлов на длину волны). Это в сочетании с большим количеством степеней свободы одного элемента

в современных модификациях и решением систем большого размера требует колоссальных затрат ресурсов как оперативной памяти, так и процессорного времени [28, 29].

1.2.2. Методы конечных разностей (МКР)

Метод конечных разностей применяется с использованием регулярных сеток. Эта особенность позволяет делать расчеты более эффективно благодаря простой реализации поточечных операций на такой сетке. Варианты МКР применяются в сейсморазведке и акустике. Например, он актуален для расчета вибраций композитных пластин и оболочек [30, 31].

Методы повышенного порядка способные получать решения без паразитных осцилляций требуют особых подходов. Например, активно применяются схемы с ограничителями потоков [32, 33], а также WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) [34] схемы. Такие методы позволяют получать высокий порядок в местах с гладким решением, а также корректно описывать разрывы в решении.

При этом классические методы ограничены использованием прямоугольных регулярных сеток, которые не позволяют точно описывать геометрию объектов сложной формы. Аппроксимация криволинейных границ происходит посредством ступенчатой структуры, которая в свою очередь является причиной паразитных шумов. Подобные возмущения загрязняют волновое поле и могут быть ошибочно интерпретированы как сигналы от реальных дефектов.

Существуют продвинутые методы, в основе которых лежит адаптивное сгущение сетки в областях, где необходимо более точное описание геометрии [35]. Однако для регулярных прямоугольных сеток такой подход не универсален, может требовать сложных иерархических структур хранения данных, значительно уменьшать шаг вблизи неоднородностей и в целом принципиально схож с оригинальным подходом. Одним из недостатков таких подходов также является низкая эффективность вычислений на современных суперкомпьютерах [36].

1.2.3. Сеточно-характеристический метод (СХМ)

Сеточно-характеристический метод (СХМ) относится к классу методов сквозного счета, или так называемых обратных методов характеристик. В отличие от прямых методов, использующих нерегулярные сетки, динамически адаптирующиеся к решению, СХМ использует фиксированные регулярные расчетные сетки [8]. Данный подход идеологически восходит к классическим работам С.К. Годунова [37] и О.М. Белоцерковского [38].

Фундаментальный вклад в развитие теории метода, построение монотонных схем и их обобщение на многомерные гиперболические системы внесли К.М. Магомедов и А.С. Холодов [9,39]. Дальнейшее развитие метода применительно к задачам динамики деформируемого твердого тела, сейсмики и медицины осуществляется научной школой профессора И.Б. Петрова [8, 40].

Основная идея метода состоит в представлении исходной гиперболической системы с использованием характеристических переменных (инвариантов Римана) [10, 41, 42]. Это позволяет решать одномерные уравнения вдоль характеристических направлений, которые могут быть проведены из любого расчетного узла до значений с предыдущего временного слоя. Таким образом производится корректный учет области зависимости решения и характеристических свойств задачи, без необходимости динамически перестраивать расчетную сетку, что особенно критично в многомерных задачах.

Одним из основных преимуществ СХМ можно считать возможность корректной и гибкой постановки граничных условий, в том числе и на контакте материалов с различными упругими свойствами [5]. Если отказаться от применения разностных схем сквозного счета при расчете через границы материалов, что обычно приводит к понижению порядка и размытию фронтов, и рассматривать области по отдельности, при этом связывая их через контактные граничные условия, то можно добиться значительного повышения качества расчетов. В свою очередь, современные исследования метода направлены на разработку компактных схем повышенного порядка точности [43] и его адаптацию к криволинейным сеткам, что в данной работе реализуется через подход наложенных сеток.

1.3. Методология решения задач со сложной геометрией и

разномасштабностью

1.3.1. Технология наложенных сеток (метод Химеры)

Для преодоления геометрических ограничений регулярных сеток в работе применяется метод наложенных сеток (химерных сеток, метод Химеры). Изначально предложенный в аэродинамике для расчета обтекания тел сложной формы [11, 44], этот подход предполагает декомпозицию сложной расчетной области на набор геометрически простых, перекрывающихся подсеток.

Суть метода заключается в построении отдельных криволинейных сеток, согласованных с границами включений или поверхностью объекта, которые накладываются на основную фоновую сетку. Ключевыми этапами алгоритма являются исключение узлов, попадающих внутрь твердых тел, и организация обмена данными в зонах перекрытия (интерполяция). Современные алгоритмы позволяют автоматизировать этот процесс [45] и эффективно использовать архитектуру GPU для ускорения расчетов [46]. Применение метода Химеры успешно зарекомендовало себя при моделировании рассеяния волн на геологических трещинах [47, 48] и в задачах неразрушающего контроля [12, 49].

В задачах волновой динамики применение химерных сеток позволяет:

1. Исключить эффект ступенчатой аппроксимации границ, обеспечивая точный расчет отражений.

2. Получить возможность изменении положения включений, без перегенерации сетки (например, при моделировании движения поезда).

3. Уменьшить потребление вычислительных ресурсов, сгущая сетку только в зонах интереса (например, вокруг вершины трещины).

Эффективность метода напрямую зависит от процедур интерполяции, которые используются при переносе значений в узлах между сетками, в частности необходимо учитывать возможные потери энергии из-за таких процедур [12].

1.3.2. Явно-неявные подходы моделирования

Помимо сложности геометрических структур в рассматриваемых задачах, возникают проблемы разномасштабности характерных размеров, исследуемых тел. Так в задачах, где структура сильно вытянута в одном из направлений, например тонкие пластины, оболочки, при необходимости учета внутренних явлений, необходимо использовать маленький шаг по пространству в «узком» направлении. Для классических явных схем это жестко ограничивает шаг по времени согласно с условием Куранта-Вридрихса-Леви (CFL) т ~ hmin/cmax. Из-за этого возрастает общее количество итераций, требуемое для получения решения, и возрастает время расчета.

Неявные схемы не имеют таких ограничений. Они позволяют варьировать шаг по времени в широком диапазоне значений. В работе предлагается использование явно-неявного подхода, в котором комбинируется применение явных и неявных схем. Он эффективно реализуется на базе СХМ [50], посредством применения неявной схемы в направлении с меньшим шагом, что в конечном итоге позволяет ориентироваться не на геометрию сетки, а на специфику исследуемых явлений.

Актуальность разработки подобных комбинированных подходов подтверждается новейшими исследованиями. Так, в работе [13] предложен метод SPIE (Spatially Partitioned Implicit-Explicit), где проблема геометрической жесткости на химерных сетках решается путем полного переключения на неявную схему в локальных зонах сгущения. Хотя подход, представленный в данной работе, имеет другую специфику, и ориентирован на применение с СХМ, общая идея в ослаблении критериев устойчивости составного метода схожа. Также в работе отдельно рассматривается принцип учета контактных условий в подобных подходах, что повышает их применимость в моделировании реальных структур, и повышает значимость работы. А совместное использование СХМ на химерных сетках и явно-неявных схем интегрирования [41] открывает новые возможности для эффективного моделирования волновых процессов в очень широком классе задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Песня Евгений Александрович, 2026 год

Список литературы

1. Schmerr Jr. L. W. Fundamentals of Ultrasonic Nondestructive Evaluation: A Modeling Approach. — 2nd ed. — Cham : Springer, 2016. — 758 p. — (Springer Series in Measurement Science and Technology).

2. Matous K. [et al.]. A review of predictive nonlinear theories for multiscale modeling of heterogeneous materials // Journal of Computational Physics. — 2017. — Vol. 330. — P. 192-220.

3. Delprat-Jannaud F., Lailly P. Wave propagation in heterogeneous media: Effects of fine-scale heterogeneity // Geophysics. — 2008. — Vol. 73, no. 3. — P. T37-T49.

4. Abdulle A., Henning P. Multiscale methods for wave problems in heterogeneous media. — 2016. — URL: https : //arxiv. org/abs/1605 . 07922 (visited on 10/25/2023) ; Preprint.

5. Favorskaya A. V. [et al.]. Modelling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid-characteristic method // Geophysical Prospecting. — 2018. — Vol. 66, no. 8. — P. 1485-1502.

6. Favorskaya A. V., Petrov I. B. Grid-Characteristic Method // Innovations in Wave Processes Modelling and Decision Making: Grid-Characteristic Method and Applications / ed. by A. V. Favorskaya, I. B. Petrov. — Cham : Springer International Publishing, 2018. — P. 117-160.

7. O'Reilly O. [et al.]. A High-Order Finite-Difference Method on Staggered Curvilinear Grids for Seismic Wave Propagation Applications with Topography // Bulletin of the Seismological Society of America. — 2022. — Vol. 112, no. 1. — P. 3-22.

8. Петров И. Б. Сеточно-характеристические методы. 55 лет разработки и решения сложных динамических задач // Computational Mathematics and Information Technologies. — 2023. — т. 6, № 1. — с. 6—21.

9. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — т. 9, № 2. — с. 373—386.

10. Petrov I. B. Application of the grid-characteristic method for mathematical modeling in dynamical problems of deformable solid mechanics // Computer Research and Modeling. — 2019. — Vol. 11, no. 6. — P. 1041-1048.

11. Kao K.-H., Liou M.-S., Chow C.-Y. Grid adaptation using chimera composite overlapping meshes // AIAA Journal. — 1994. — Vol. 32, no. 5. — P. 942-949.

12. Favorskaya A. V., Khokhlov N. Using Chimera Grids to Describe Boundaries of Complex Shape // Intelligent Decision Technologies. Vol. 309 / ed. by I. Czarnowski, R. J. Howlett, L. C. Jain. — Singapore : Springer Nature Singapore, 2022. — P. 249-258. — (Smart Innovation, Systems and Technologies).

13. Carson A. M. [et al.]. High-order accurate implicit-explicit time-stepping schemes for wave equations on overset grids // Journal of Computational Physics. — 2025. — Vol. 520.—P. 113513.

14. ANSYS, Inc. ANSYS Mechanical User's Guide, Release 2025 R1. — Canonsburg, PA, USA, 2025. — URL: https : //ansyshelp. ansys . com/ (visited on 02/15/2026).

15. Dassault Systèmes Simulia Corp. Abaqus Analysis User's Guide, 2016. — Providence, RI, USA, 2016. — URL: https : / /help . 3ds . com/ (visited on 02/15/2026).

16. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. — Amsterdam : North-Holland Publishing Company, 1973. — 425 p. — (Applied Mathematics and Mechanics Series).

17. Sarvazyan A. P., Urban M. W., Greenleaf J. F. Acoustic Waves in Medical Imaging and Diagnostics // Ultrasound in Medicine & Biology. — 2013. — Vol. 39, no. 7. — P. 1133-1146.

18. Feng D., Feng M. Q. Model Updating of Railway Bridge Using In Situ Dynamic Displacement Measurement under Trainloads // Journal of Bridge Engineering. — 2015. — Vol. 20, no. 12. — P. 04015019.

19. Adamczak-Bugno A. [et al.]. Non-Destructive Methods and Numerical Analysis Used for Monitoring and Analysis of Fibre Concrete Deformations // Materials. — 2022. — Vol. 15, no. 20. — P. 7268.

20. Adamczak-Bugno A. [et al.]. Identification of Destruction Processes and Assessment of Deformations in Compressed Concrete Modified with Polypropylene Fibers Exposed to Fire Temperatures Using Acoustic Emission Signal Analysis, Numerical Analysis, and Digital Image Correlation // Materials. — 2023. — Vol. 16, no. 20. — P. 6786.

21. Jia D. [et al.]. Investigation of Stress and Temperature Effect on the Longitudinal Ultrasonic Waves in Polymers // Research in Nondestructive Evaluation. — 2014. — Vol. 25, no. 1. — P. 20-29.

22. Javadi Y. [et al.]. Comparison Between Using Longitudinal and Shear Waves in Ultrasonic Stress Measurement to Investigate the Effect of Post-Weld Heat-Treatment on Welding Residual Stresses // Research in Nondestructive Evaluation. — 2017. — Vol. 28, no. 2. — P. 101-122.

23. Hesthaven J. S., Warburton T. Nodal Discontinuous Galerkin Methods: Algorithms, Analysis, and Applications. — New York : Springer, 2008. — 502 p. — (Texts in Applied Mathematics).

24. Komatitsch D. [et al.]. The spectral element method for elastic wave equations— application to 2-D and 3-D seismic problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1999. — Vol. 45, no. 9. — P. 1139-1164.

25. Teng Z. H. [et al.]. An adaptively refined XFEM with virtual node polygonal elements for dynamic crack problems // Computational Mechanics. — 2018. — Vol. 62, no. 5. — P. 1087-1106.

26. Adak D. [et al.]. A combined virtual element method and the scaled boundary finite element method for linear elastic fracture mechanics // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2020. — Vol. 113. — P. 9-16.

27. Gao K. [et al.]. Generalized Multiscale Finite-Element Method (GMsFEM) for elastic wave propagation in heterogeneous, anisotropic media // Journal of Computational Physics. — 2015. — Vol. 295. — P. 161-188.

28. Kharitonov V. V. Morphometry and unusual internal structure of ice ridge investigated at Barneo ice camp in April 2013 // Polar Science. — 2022. — Vol. 31. — P. 100736.

29. Parveez B. [et al.]. Scientific Advancements in Composite Materials for Aircraft Applications: A Review // Polymers. — 2022. — Vol. 14, no. 22. — P. 5007.

30. Numayr K. S., Haddad R. H., Haddad M. A. Free vibration of composite plates using the finite difference method // Thin-Walled Structures. — 2004. — Vol. 42, no. 3. — P. 399-414.

31. Maksimyuk V. A., Storozhuk E. A., Chernyshenko I. S. Variational finite-difference methods in linear and nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review) // International Applied Mechanics. — 2012. — Vol. 48, no. 6.—P. 613-687.

32. Tang S., Li M. Construction and application of several new symmetrical flux limiters for hyperbolic conservation law // Computers & Fluids. — 2020. — Vol. 213. — P. 104741.

33. Lochab R., Kumar V. A comparative study of high-resolution methods for nonlinear hyperbolic problems // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2022. — Vol. 102, no. 7.—P. e202100462.

34. Sebastian K., Shu C.-W. Multidomain WENO Finite Difference Method with Interpolation at Subdomain Interfaces // Journal of Scientific Computing. — 2003. — Vol. 19, no. 1.—P. 405-438.

35. Mongwane B. Toward a consistent framework for high order mesh refinement schemes in numerical relativity // General Relativity and Gravitation. — 2015. — Vol. 47, no. 5.—P. 60.

36. Burstedde C. [et al.]. Extreme-Scale AMR // Proceedings of the 2010 ACM/IEEE International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage

and Analysis. — IEEE Computer Society, 2010. — P. 1-12.

37. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. — 1959. — т. 47(89), №3. —с. 271—306.

38. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Физматлит, 1994. — 442 с.

39. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. — 2-е изд. — Москва : Юрайт, 2025. — 313 с. — Испр. и доп.; учебник для вузов; 313 с.

40. Petrov I. B. [et al.]. Numerical simulation of wave propagation in anisotropic media // Doklady Mathematics. — 2014. — Vol. 90, no. 3. — P. 778-780.

41. Favorskaya A. V., Khokhlov N. I., Petrov I. B. Grid-Characteristic Method on Joint Structured Regular and Curved Grids for Modeling Coupled Elastic and Acoustic Wave Phenomena in Objects of Complex Shape // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 41, no. 4. — P. 512-525.

42. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — 578 p. — (Cambridge Texts in Applied Mathematics).

43. Golubev V. [et al.]. Compact Grid-Characteristic Scheme for the Acoustic System with the Piece-Wise Constant Coefficients // International Journal of Applied Mechanics. — 2022. — Vol. 14, no. 2. — P. 2250002.

44. Steger J. L., Benek J. A. On the use of composite grid schemes in computational aerodynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1987. — Vol. 64, no. 1. — P. 301-320.

45. Chan W. M., Chuen A. M., Jensen J. C. Advances in Automation of Overset Structured Volume Mesh Generation and Domain Connectivity // AIAA AVIATION Forum and ASCEND 2024. — American Institute of Aeronautics, Astronautics, 2024. — URL: https://arc.aiaa.Org/doi/pdf/10.2514/6.2024-4305 (visited on 08/06/2025).

46. Crabill J., Witherden F. D., Jameson A. A parallel direct cut algorithm for highorder overset methods with application to a spinning golf ball // Journal of Computational Physics. — 2018. — Vol. 374. — P. 692-723.

47. Khokhlov N. [et al.]. Grid-characteristic method using Chimera meshes for simulation of elastic waves scattering on geological fractured zones // Journal of Computational Physics. — 2021. — Vol. 446. — P. 110637.

48. Khokhlov N. I., Favorskaya A., Furgailo V. Grid-Characteristic Method on Overlapping Curvilinear Meshes for Modeling Elastic Waves Scattering on Geological Fractures // Minerals. — 2022. — Vol. 12, no. 12. — P. 1597.

49. Kozhemyachenko A. A., Favorskaya A. V. Grid Convergence Analysis of Grid-Characteristic Method on Chimera Meshes in Ultrasonic Nondestructive Testing of Railroad Rail // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2023. — Vol. 63, no. 10. — P. 1886-1903.

50. Pesnya E., Favorskaya A., Khokhlov N. Grid-characteristic method on Chimera meshes using a single background grid with varying elastic properties // Procedia Computer Science. — 2022. — Vol. 207. — P. 1398-1407.

51. Masoudi Nejad R. [et al.]. Reliability analysis of fatigue crack growth for rail steel under variable amplitude service loading conditions and wear // International Journal of Fatigue. — 2021. — Vol. 152. — P. 106450.

52. Wu S. C., Zhang S. Q., Xu Z. W. Thermal crack growth-based fatigue life prediction due to braking for a high-speed railway brake disc // International Journal of Fatigue. — 2016. — Vol. 87. — P. 359-369.

53. Kelleher J. [et al.]. The Measurement of Residual Stress in Railway Rails by Diffraction and Other Methods // Journal of Neutron Research. — 2003. — Vol. 11, no. 4. — P. 187-193.

54. Palkowski H. [et al.]. Investigation on the Residual Stress State of Drawn Tubes by Numerical Simulation and Neutron Diffraction Analysis // Materials. — 2013. — Vol. 6, no. 11.—P. 5118-5130.

55. Hwang Y.-I. [et al.]. Experimental Measurement of Residual Stress Distribution in Rail Specimens Using Ultrasonic LCR Waves // Applied Sciences. — 2021. — Vol. 11, no. 19.—P. 9306.

56. Li Z. [et al.]. Internal Stress Monitoring of In-Service Structural Steel Members with Ultrasonic Method // Materials. — 2016. — Vol. 9, no. 4. — P. 223.

57. Masoudi Nejad R. Using three-dimensional finite element analysis for simulation of residual stresses in railway wheels // Engineering Failure Analysis. — 2014. — Vol. 45. — P. 449-455.

58. Dong R. G., Sankar S., Dukkipati R. V. A Finite Element Model of Railway Track and its Application to the Wheel Flat Problem // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit. — 1994. — Vol. 208, no. 1.—P. 61-72.

59. Tang Z. [et al.]. Evaluation of coupled finite element/meshfree method for a robust full-scale crashworthiness simulation of railway vehicles // Advances in Mechanical Engineering. — 2016. — Vol. 8, no. 4. — P. 1687814016642954.

60. Zumpano G., Meo M. A new damage detection technique based on wave propagation for rails // International Journal of Solids and Structures. — 2006. — Vol. 43, no. 5. — P. 1023-1046.

61. Rose J. L. A Baseline and Vision of Ultrasonic Guided Wave Inspection Potential // Journal of Pressure Vessel Technology. — 2002. — Vol. 124, no. 3. — P. 273-282.

62. Alahakoon S. [et al.]. Rail Flaw Detection Technologies for Safer, Reliable Transportation: A Review // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. — 2017. — Vol. 140, no. 2. — P. 020801.

63. Favorskaya A., Khokhlov N. Modeling the impact of wheelsets with flat spots on a railway track // Procedia Computer Science. — 2018. — Vol. 126. — P. 11001109.

64. Kozhemyachenko A. A. [et al.]. Boundary Conditions for Modeling the Impact of Wheels on Railway Track // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2020. — Vol. 60, no. 9. — P. 1539-1554.

65. Petrov I. B. [et al.]. Monitoring the state of the moving train by use of high performance systems and modern computation methods // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2015. — Vol. 7, no. 1. — P. 51-61.

66. Car E. [et al.]. Numerical simulation of fiber reinforced composite materials—two procedures // International Journal of Solids and Structures. — 2002. — Vol. 39, no. 7.—P. 1967-1986.

67. Jodhani J. [et al.]. Ultrasonic non-destructive evaluation of composites: A review // Materials Today: Proceedings. — 2023. — Vol. 78. — P. 627-632. — 3rd Biennial International Conference on Future Learning Aspects of Mechanical Engineering (FLAME 2022).

68. Jolly M. R. [et al.]. Review of Non-destructive Testing (NDT) Techniques and their Applicability to Thick Walled Composites // Procedia CIRP. — 2015. — Vol. 38. — P. 129-136. — Proceedings of the 4th International Conference on Through-life Engineering Services.

69. Jiang S. [et al.]. Fracture mechanics analysis of bimaterial interface cracks using the generalized finite difference method // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 2021. — Vol. 113. — P. 102942.

70. Yin B. [et al.]. An anisotropic damage formulation for composite materials based on a gradient-enhanced approach: Formulation and implementation at small strain // International Journal of Solids and Structures. — 2020. — Vol. 202. — P. 631645.

71. Kastratovic G. [et al.]. Composite material selection for aircraft structures based on experimental and numerical evaluation of mechanical properties // Procedia Structural Integrity. — 2021. — Vol. 31. — P. 127-133. — 4th International Conference on Structural Integrity and Durability, ICSID 2020.

72. Egbo M. K. A fundamental review on composite materials and some of their applications in biomedical engineering // Journal of King Saud University - Engineering Sciences. — 2021. — Vol. 33, no. 8. — P. 557-568.

73. Soleymani Shishvan S., Asghari A. -H. Effects of particle shape and size distribution on particle size-dependent flow strengthening in metal matrix composites // Scientia Iranica. — 2017. — Vol. 24. — P. 1091-1099.

74. Revel G. M., Pandarese G., Cavuto A. Advanced ultrasonic non-destructive testing for damage detection on thick and curved composite elements for constructions // Journal of Sandwich Structures & Materials. — 2013. — Vol. 15, no. 1. — P. 5-24.

75. Imperiale A., Leymarie N., Demaldent E. Numerical modeling of wave propagation in anisotropic viscoelastic laminated materials in transient regime: Application to modeling ultrasonic testing of composite structures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2020. — Vol. 121, no. 15. — P. 33003338.

76. Beklemysheva K. A. [et al.]. Numerical simulation of the failure of composite materials by using the grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2016. — Vol. 8, no. 5. — P. 557-567.

77. Mironov Y. U. [et al.]. Morphometric Parameters of Stamukhas in the Laptev Sea // International Journal of Offshore and Polar Engineering. — 2019. — Vol. 29, no. 4.—P. 383-390.

78. Hansen E. [et al.]. Long-term observations (2014-2020) of level ice draft, keel depth and ridge frequency in the Barents Sea // Cold Regions Science and Technology. — 2023. — Vol. 216. — P. 103988.

79. Marchenko A. Modeling of Thermodynamic Consolidation of Sea Ice Ridges Drifting in the Water with Changing Temperature // Journal of Marine Science and Engineering. — 2022. — Vol. 10, no. 12. — P. 1858.

80. Leviant V. [et al.]. Numerical modeling of seismic responses from fractured reservoirs in 4D monitoring — Part 1: Seismic responses from fractured reservoirs in carbonate and shale formations // Geophysics. — 2021. — Vol. 86, no. 6. — P. M211-M232.

81. Favorskaya A. V., Petrov I. B. The Use of Full-Wave Numerical Simulation for the Investigation of Fractured Zones // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2019. — Vol. 11, no. 4. — P. 518-530.

82. Favorskaya A., Petrov I., Khokhlov N. Numerical Modeling of Wave Processes During Shelf Seismic Exploration // Procedia Computer Science. — 2016. — Vol. 96. — P. 920-929. — Knowledge-Based and Intelligent Information & Engineering Systems: Proceedings of the 20th International Conference KES-2016.

83. Breus A. [et al.]. Investigation of Seismic Stability of High-Rising Buildings Using Grid-Characteristic Method//Procedia Computer Science. —2019. —Vol. 154. — P. 305-310. — Proceedings of the 9th International Conference of Information and Communication Technology [ICICT-2019], Nanning, Guangxi, China, January 11-13, 2019.

84. Luo J. [et al.]. Application of Various Geophysical Methods in the Characterization of the Xiannushan Fault Zone // Applied Sciences. — 2026. — Vol. 16, no. 2. — P. 594.

85. Lax P. D. Gibbs Phenomena // Journal of Scientific Computing. — 2006. — Vol. 28, no. 2. — P. 445-449.

86. Kholodov A. S., Kholodov Y. A. Monotonicity criteria for difference schemes designed for hyperbolic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2006. — Vol. 46, no. 9. — P. 1560-1588.

87. Галанин М. П., Еленина Т. Г. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Бабен-ко («квадрат») для уравнения переноса : тех. отч. / Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. — 2002. — с. 26. — 004.

88. Александрикова Т. А., Галанин М. П., Еленина Т. Г. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Бабенко для численного решения уравнения переноса // Математическое моделирование. — 2004. — т. 16, № 6. — с. 44—47.

89. Rancic M., Purser R. J., Mesinger F. A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. — 1996. — Vol. 122, no. 532. — P. 959-982.

90. Anderson R. [et al.]. MFEM: A modular finite element methods library // Computers & Mathematics with Applications. — 2021. — Vol. 81. — P. 42-74. — Development and Application of Open-source Software for Problems with Numerical PDEs.

Список рисунков

Рисунок 2.1 Сравнение точности численных схем при фиксированном

значении числа Куранта а = 0.2...............38

Рисунок 2.2 Сравнительный анализ численных решений, полученных с использованием схемы второго порядка (слева) и гибридного аналога схемы (справа)..................38

Рисунок 2.3 Схематичное изображение разностных шаблонов: а) Явный четырехточечный шаблон; б) Неявный четырехточечный шаблон. Серый цвет - известные значения, белый -

рассчитываемые........................39

Рисунок 2.4 Схематичное построение химерных сеток на границе материалов............................42

Рисунок 2.5 Пример построения замкнутой химерной сетки вокруг

включения...........................43

Рисунок 2.6 Сравнение топологии сеток на поверхности сферы.....46

Рисунок 2.7 Пример построения химерной сетки для трехмерного

объекта сложной формы....................48

Рисунок 2.8 Структура разреженной матрицы СЛАУ при наличии 9

контактных границ.......................52

Рисунок 2.9 Сравнение распределения продольного напряжения ац: а) явная схема (ау < 1); б) явно-неявная гибридная схема

(ау « 12.4)...........................55

Рисунок 2.10 Сравнение распределения поперечного напряжения а22:

а) явная схема; б) явно-неявная гибридная схема...... 55

Рисунок 2.11 Временная зависимость смещения и в Точке 2.......56

Рисунок 2.12 Временная зависимость смещения V в Точке 1.......57

Рисунок 2.13 Временная зависимость напряжения ац в Точке 2.....57

Рисунок 2.14 Временная зависимость напряжения а22 в Точке 1.....58

Рисунок 2.15 Начальное возмущение (Т = 0 с)...............60

Рисунок 2.16 Взаимодействие с границей (Т = 1.0 • 10-4 с)........60

Рисунок 2.17 Расхождение новых волн от границы (Т = 2.0 • 10-4 с). . . 60 Рисунок 2.18 Анализ сходимости использованных схем при различных

значениях числа Куранта (СБЬ)................61

Рисунок 2.19 Начальный импульс в многослойной среде (£ = 0 с).....62

Рисунок 2.20 Распространение фронта (£ = 1.5 • 10-4 с)..........63

Рисунок 2.21 Интерференция множественных отражений (£ = 3.0 • 10-4 с). 63

Рисунок 2.22 Финальная стадия процесса (£ = 4.5 • 10-4 с)........63

Рисунок 2.23 Взаимодействие волны с границей неоднородности сложной формы...........................64

Рисунок 2.24 Моделирование рассеяния на трехмерном объекте сложной топологии.........................65

Рисунок 2.25 Распределение модуля скорости в сечении перпендикулярном оси у в последовательные моменты времени. ... 66

Рисунок 3.1 Прямое прохождение: формирование фронта и прохождение через внутренние границы................70

Рисунок 3.2 Обратное прохождение: отражение от верхней границы и

возвращение волнового фронта................70

Рисунок 3.3 Финальная стадия: интерференция переотраженных волн. 71 Рисунок 3.4 Сравнение полей модуля скорости и абсолютная ошибка

при прямом прохождении...................74

Рисунок 3.5 Сравнение полей модуля скорости после отражения и

возвращения импульса.....................75

Рисунок 3.6 Сравнение полей модуля скорости после многократных

переотражений (£ = 1.0 • 10-4 с)...............76

Рисунок 3.7 Модель ледового гребня и положение сечения для расчета. 78 Рисунок 3.8 Геометрические модели сечения тороса: синим цветом обозначены полости заполненные водой, серым полости с

воздухом............................78

Рисунок 3.9 Приеры химерных расчетных сеток: (а) вид криволинейных сеток для двух типов неоднородностей, (б) наложение

на фоновую сетку.......................79

Рисунок 3.10 Динамика распространения волнового поля в консолидированном слое.........................81

Рисунок 3.11 Прохождение ультразвукового сигнала через нижнюю

часть киля тороса окруженного водой............82

Рисунок 3.12 Поперечный профиль рельса.................85

Рисунок 3.13 Положение источника зондирующего сигнала на головке

рельса.............................. 86

Рисунок 3.14 Трехмерная картина распространения упругих волн в

рельсе (г = 5.12 мс)......................87

Рисунок 3.15 Распределение волнового поля в различных сечениях рельса (г = 5.12 мс).........................88

Рисунок 3.16 Волновые поля в поперечных сечениях на поздней стадии

(г = 10.24 мс)..........................89

Рисунок 3.17 Схема расчетной области: 1 - шпала, 2 - скальный грунт, 3 - пылеватый песок, 4 - мерзлый песок, 5 - мерзлая глина,

6 - ледяная линза.......................91

Рисунок 3.18 Построение расчетной сетки в области с ледяной линзой. 92 Рисунок 3.19 Распределение модуля скорости смещений при наличии

ледяной линзы.........................93

Рисунок 3.20 Поле вертикальных напряжений ауу при наличии линзы. . 94

Рисунок 3.21 Волновые поля в постановке без ледяной линзы.......95

Рисунок 3.22 Трехмерная модель внутренней структуры композита с

разнонаправленными слоями волокон............98

Рисунок 3.23 Фрагмент расчетной сетки: криволинейная сетка вокруг

волокна наложена на фоновую сетку матрицы........99

Рисунок 3.24 Схема численного эксперимента. Красным цветом выделена область задания импульса, желтым — плоскости

сечений, для которых представлены результаты.......100

Рисунок 3.25 Эволюция волнового поля на начальных этапах: прохождение первых и средних слоев................101

Рисунок 3.26 Волновое поле на поздних стадиях: эффект множественного рассеяния на глубине...................102

Рисунок 3.27 Распределение материалов в основных сечениях. Желтыми крестами обозначены положения точек-датчиков для анализа.............................103

Рисунок 3.28 Модуль скорости в контрольных точках: синяя сплошная линия - сквозной счет; красная пунктирная линия — метод

химерных сеток........................105

Рисунок 3.29 Схемы декомпозиции расчетной области между вычислительными процессами (цветом выделены зоны ответственности процессов)........................108

Рисунок 3.30 Сравнение основных метрик при использовании различных стратегий декомпозиции.................110

Список таблиц

Таблица 1.1 Сравнительная характеристика подходов к численному

моделированию волновых процессов..........................21

Таблица 3.1 Сравнение вычислительной эффективности явно-

неявного метода с Бв-РЕМ.................71

Таблица 3.2 Количественное сравнение результатов явно-неявного

СХМ и Бв-РЕМ .......................72

Таблица 3.3 Физико-механические параметры моделируемых сред . . 80

Таблица 3.4 Упругие параметры слоев модели..............91

Таблица 3.5 Упругие параметры компонентов композита ................98