Распространение электромагнитных волн через электронно-управляемую щель в волноводном ответвителе для фазовращателей антенных решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Ха Нам

• Нгуен Ха Нам
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ха Нам

Введение

Глава 1. Щелевые антенны в волноводе

1.1. Обзор характеристик тонких вибраторов кругового сечения

1.2. Принцип перестановочной двойственности в применении к вибраторным антеннам

1.3. Плоский вибратор и щель в бесконечной проводящей плоскости

1.4. Резонансные свойства вибраторных и щелевых антенн

1.4.1. Построение расчетных аналитических моделей вибраторных антенн

1.4.2. Построение расчетных аналогических моделей щелевых антенн

1.5. Щель в волноводе

1.6. Выводы

Глава 2. Моделирование и синтез щелевых структур в волноводном Т-образном ответвителе

2.1. Обзор существующих методов: моделирование, численные методы

2.2. Анализ волноводного ответвителя методом моментов

2.2.1. Анализ волноводного Т-образного ответвителя методом моментов

2.2.2. Анализ продольной щели в волноводном Т-образном ответвителе методом моментов

2.2.3. Анализ Г-образной щели в волноводном Т-образном ответвителе методом моментов

2.3. Построение эквивалентной схемы разных форм щелей

2.3.1. Преимущества подхода с применением эквивалентной схемы

2.3.2. Построение эквивалентной схемы для продольной щели в волноводном Т-образном ответвителе

2.3.3. Построение эквивалентной схемы для Г-образной щели в волноводном Т-образном ответвителе

2.4. Исследование влияния параметров щели

2.4.1. Исследование влияния параметров продольной щели

2.4.1.1. Влияние длины продольной щели

2.4.1.2. Влияние ширины продольной щели

2.4.1.3. Влияния расположения продольной щели поперёк узкой стенки волновода

2.4.1.4. Влияния расположения продольной щели поперёк широкой стенки волновода

2.4.2. Исследование влияния геометрических параметров Г-образной щели на распространение волны через неё

2.4.2.1. Влияние длины короткой грани Г-образной щели

2.4.2.2. Влияние длины длинной грани Г-образной щели

2.4.2.3. Влияние расположения Г-образной щели поперёк широкой стенки волновода

2.4.2.4. Влияние расположения Г-образной щели поперёк узкой стенки волновода

2.5. Выводы

Глава 3. Влияние радиоэлементов, установленных на щели в волноводном Т-

образном ответвителе

3.1. Обоснование использования резисторов, p-i-n диодов в щелевых волноводных структурах

3.2. Щели с резистивными элементами

3.2.1. Теоретические основы анализа щелей с резистивной перемычкой

3.2.2. Анализ влияния резистора на распространение волны через продольную щель

3.2.2.1. Влияние сопротивления резистора, перекрывающего щель

3.2.2.2. Влияние положения резистора при установке на щели

3.2.2.3. Влияние установки на щель нескольких резисторов

3.2.4. Анализ влияния установки перекрывающего резистора на распространение волны через Г-образную щель

3.2.4.1. Резистор на короткой грани Г-образной щели

3.2.4.2. Резистор на длинной грани Г-образной щели

3.3. Щели с p-i-n диодами

3.4. Выводы

Глава 4. Волноводно-щелевые фазовращатели на p-i-n диодах

4.1. Разработка математической модели волноводно-щелевого фазовращателя

ответвительного типа на p-i-n диодах

4.2. Процесс работы волноводно-щелевого фазовращателя ответвительного типа на p-i-n диодах

4.3. Оптимизация волноводно-щелевого фазовращателя, управляемый системой p-i-n диодов

4.4. Процесс установки p-i-n диодов на щели

4.5. Модель управления фазовращателем

4.7. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение электромагнитных волн через электронно-управляемую щель в волноводном ответвителе для фазовращателей антенных решеток»

Введение Актуальность темы исследования

В условиях стремительного развития беспроводных коммуникаций и сенсорных технологий наблюдается неуклонный спрос на передачу данных в высокочастотных, сверхвысокочастотных и терагерцовых диапазонах с повышенным разрешением и минимальной задержкой. Сферы применения - от автомобильных радаров автономного вождения и сетей 5G/6G до бесконтактной медицинской визуализации и систем видеонаблюдения - требуют компактных, высокоэффективных и быстросканирующих антенн. В этих условиях исследование распространения электромагнитных волн в щелевых волноводных ответвителях (ЩВО) с электронным сканированием позволяет разработать устройства без громоздких механических систем управления лучом.

С точки зрения теории и эксперимента, процесс излучения и разделения энергии в щели зависит от геометрии и расположения прорезей, а также от свойств материала волновода. При множественных ответвлениях возникают сложные интерференционные и дифракционные эффекты, приводящие к изменениям ширины луча, ошибкам фазы и возрастанию коэффициента отражения. Добавление электронного сканирования (модуляция фазы или амплитуды возбуждения отдельных щелей во времени) значительно повышает математическую сложность задачи и требует разработки как точных аналитических, так и эффективных численных моделей для её адекватного описания.

Современные численные методы (метод конечных разностей во временной области, метод конечных элементов, метод моментов) демонстрируют высокую точность при анализе простых конфигураций, однако их прямое применение к многозвенным щелевым ответвителям с электронным сканированием сталкивается с двумя ключевыми проблемами:

- Высокая вычислительная трудоёмкость, обусловленная большим числом сеточных узлов и степеней свободы.

- Отсутствие общих алгоритмов упрощения результатов моделирования в универсальные принципы проектирования, пригодные для оперативного прототипирования при смене частоты, формы щелей или схемы сканирования.

В этой связи критически важно разработать аналитические методы и приближённые модели, позволяющие быстро оценивать передачу энергии и характеристики излучения с приемлемой точностью. Такие подходы будут способствовать значительному снижению сроков и стоимости проектирования при сохранении надёжности результатов.

Исследование электромагнитных процессов в электронно-сканируемых щелевых структурах, подкреплённое экспериментальными измерениями и сопоставлением с теоретическими предсказаниями, создаст фундамент для строгих рекомендаций по проектированию.

Таким образом, изучение распространения электромагнитных волн в щелевых волноводных ответвителях при электронном сканировании щели является не только важной теоретической задачей в области прикладной теории волноводов и вычислительной электродинамики, но и является одним из направлений для разработки следующего поколения интегрированных антенн, автомобильных радаров, медицинских сканеров и высокоскоростных спутниковых и телекоммуникационных систем.

На основе выше сказанного формируются цель и задачи данной работы.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка методов теоретического анализа и синтеза электронно-управляемых волноводно-щелевых фазовращателей для антенных решеток с частотным широкоугольным сканированием луча.

Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:

1. Проанализировать параметры электромагнитных волн при распространении через щели разной формы в волноводном ответвителе аналитическим методом и методом моментов.

2. Проанализировать влияние геометрических параметров щелей разной формы в волноводном Т-образном ответвителе на распространения электромагнитных волн через него.

3. Разработать эквивалентные электрические схемы для моделирования волноводного ответвителя со продольной и Г-образной щелью.

4. Сравнить результаты, полученные: аналитическим расчетом с применением метода моментов, численным моделированием в расчетом по эквивалентной электрической схеме и экспериментально.

5. Построить и оптимизировать модель волноводно-щелевого фазовращателя, управляемого системой рч-п диодов.

6. Выбрать конфигурацию и разработать модель схемы, обеспечивающую управление в волноводно-щелевом фазовращателе.

Научная новизна результатов диссертационной работы

1. Разработана методика расчета методом моментов распространения электромагнитных волн через щели разной формы в волноводном Т-образном ответвителе.

2. Разработана эквивалентная электрическая схема для волноводного ответвителя, содержащая идеальный трансформатор, конденсатор, катушку индуктивности и несколько резисторов.

3. Проанализировано влияние геометрических параметров разных форм щели и их расположение на параметры электромагнитных волн в волноводном Т-образном ответвителе.

4. Получены закономерности влияния резисторов, коммутирующих щель (их сопротивления, количества и расположения), на распространение электромагнитных волн в волноводном Т-образном ответвителе для разных форм щелей.

5. Предложена методика контроля S-параметров электромагнитных волн, распространяющихся в Т-образном ответвителе со щелями разной формы коммутируемых рч-п диодами.

6. Разработана новая расчетная модель быстродействующего и энергоэффективного электронно-управляемого волноводного фазовращателя.

Теоретическая и практическая значимость научных результатов

- Теоретическая значимость исследования

Разработанная математическая модель вносит вклад в развитие теории распространения электромагнитных волн в сложных волноводных структурах. Особое значение имеет исследование механизмов взаимодействия СВЧ-волн с щелевыми элементами, содержащими дополнительные компоненты (резисторы и р-1-п диоды). Полученные результаты расширяют научные представления о процессах формирования фазового сдвига и трансформации волн в управляемых щелевых структурах, что открывает новые возможности для создания перспективных устройств СВЧ-техники.

- Практическая значимость исследования

Результаты работы имеют непосредственное прикладное значение для современной радиоэлектроники. Разработанные модели и методики расчета могут быть использованы при проектировании управляемых фазовращателей для активных антенных решеток нового поколения, что особенно актуально для радиолокационных систем и систем связи. Практическая реализация предложенных решений позволяет создавать компактные и эффективные устройства электронного сканирования с улучшенными характеристиками, что подтверждается результатами численного моделирования и экспериментальными данными.

Методы исследований. При решении поставленных задач использовались методы электродинамики, численного моделирования и схемотехнического анализа. Численное моделирование волноводно-щелевого фазовращателя выполнено с использованием систем автоматизированного проектирования в ANSYS Ю^. Оптимизация конструкции фазовращателя проведена с использованием разработанных эквивалентных схем. Экспериментальные исследования выполнены с использованием стандартного измерителя КСВН.

Положения, выносимые на защиту

1. Полученные аналитические выражения для дифракционных полей в сочетании с применением метода моментов позволяют рассчитать эквивалентные проводимости и параметры матрицы рассеяния нестандартного Т-образного сочленения прямоугольных волноводов со щелевой связью, когда короткая и длинная стороны поперечных сечений соединяемых волноводов параллельны.

2. Эквивалентные схемы многопортовых СВЧ цепей электронно-управляемых Т-образных волноводно-щелевых фазовращателей, основанные на минимальном количестве сосредоточенных элементов, позволяют рассчитать комплексные коэффициенты прохождения электромагнитной волны через эти фазовращатели.

3. Предложенная структура волноводно-щелевого фазовращателя с оптимизированной конфигурацией щели и использующая р-ьп диоды для электронного управления фазой СВЧ сигнала, обеспечивает расчетные диапазоны относительной расстройки центральной несущей частоты сигнала до 20% и сдвига фазы на фиксированной частоте до 320 градусов при уровне потерь сигнала от -10 до -19 дБ.

Степень достоверности и апробация результатов работы

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается согласованностью аналитических расчётов с трёхмерным электромагнитным моделированием в ANSYS и их подтверждением экспериментальными

измерениями. Расхождения между расчётами и экспериментом не превышают оценённых допусков для применяемых измерительных процедур. Дополнительно полученные результаты сопоставлены с данными, опубликованными в работах других авторов, что подтверждает воспроизводимость и корректность выбранных моделей. Совокупность этих факторов свидетельствует о надёжности выводов и справедливости использованного подхода.

Основные результаты работы были доложены на следующих конференциях:

- Всероссийская конференция "Неделя науки ИЭиТ", 2022.

- Всероссийская конференция "Неделя науки ИЭиТ", 2023.

- Международная научно-техническая конференция "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика"-2023.

- Международная конференция по электронике и фотонике EExPolytech-2023.

- Международная конференция по электронике и фотонике EExPolytech-2024.

- Международная конференция по электронике и фотонике EExPolytech-2025.

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, в том числе 2 статьи в журналах перечня ВАК. Основные результаты работы получены лично автором и опубликованы в соавторстве с научным руководителем. Научному руководителю принадлежит постановка задачи и определение направления исследования. Анализ и интерпретация основных полученных результатов выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 191 страниц, в том числе 181 страниц основного текста, 94 рисунков, 17 таблиц, список литературы из 111 наименований на 9 страницах.

Глава 1. Щелевые антенны в волноводе

В данной главе проводится анализ взаимосвязи между тонким вибратором круглого сечения и щелью в бесконечной проводящей плоскости, на основе которого формулируются уравнения распространения волн для щелевых антенн в волноводе.

1.1. Обзор характеристик тонких вибраторов кругового сечения

Тонкие вибраторы кругового сечения представляют собой важный класс антенных элементов, широко применяемых в радиотехнике и электродинамике [15]. Их изучение связано с анализом электромагнитных полей, возбуждаемых вдоль проводника цилиндрической формы, длина которого значительно превышает его диаметр. Такие вибраторы используются в качестве базовых элементов антенных систем, включая диполи [6-7], монополи [8-9], а также в составе более сложных структур [10-12].

Теоретическое описание тонких вибраторов основано на решении интегральных уравнений для тока, которые с учетом граничных условий на поверхности проводника [13-14]. При этом предположение о малости поперечного сечения позволяет упростить задачу, сведя её к одномерному случаю. Однако учет конечной толщины вибратора остаётся существенным для корректного определения резонансных частот и входного сопротивления [15].

Рассматривается возбуждение идеально проводящего цилиндра длиной 2Ь и радиуса а. Ось вибратора совпадает с осью Оу, координаты концов равны у = ±Ь.

Предположим, что он возбуждается внешним полем Е ст = Ест (у) у 0, причем это

поле однородно в поперечном сечении вибратора [1]. Тогда поверхностная плотность тока / (у,р) не зависит от р, а полный ток равен I (у ) = 2ла/у (у).

Электрическое поле, создаваемое данным током на поверхности цилиндра, равно:

Ь л

(1.1)

Едифр ( у) =

I

4ж,

/1 (4)

г ^2 Л 2 5

0 - Ь

к2 +

су2

к (у -4) Л4

Здесь к = с / с = 2ж / X - волновое число, <с = 2ж/ - круговая частота, f -частота в Гц, X - длина волны, с - скорость света, б0 - диэлектрическая проницаемость вакуума (~ 8,854 10-12 Ф/м), 4- координат точки в щели по оси Оу,

■л

I - мнимая единица (I = -1)

1 ж

К ( у )= 2^

¡у2 + 4а 2бш2

(1.2)

Граничное условие для металла Едифр (у) + Ест (у) = 0 позволяет записать уравнение для тока:

I

Ест ( у ) =

4ж,

/1 (4)

^ 2 5

0 - Ь

к2 +

Су2

К (у -4) d4

(1.3)

С учетом <сб0 = ксБ0 = (ке0) / ^ ¡и0Б0 = к /120^ получается, что:

е„ (* )=х 11 Я)

к -1

Г д2 Л

2 5

к2 +

* ( * -Я) ^

(1.4)

Где ¡0 - магнитная проницаемость (~ 4^-10 Гн/м)

Для тонкого вибратора выражение (1.2) используется в приближении выражения:

К (*)

ехр (

!*2 + а2

I

*2 + а2

(1.5)

Следует отметить, что используемые методы решения для тонкого вибратора (ка = 1) пригодны и для плоского вибратора шириной w (к^ = 1). При этом

должно выполняться равенство 0.

Для упрощения записи объединим выражение под интегралом:

* (* ) =

2 5

2 Л

к2 +

V

2

к (*)

(1.6)

Тогда уравнение (1.3) запишется таким образом:

1

Ет(* )=11 (Я) *(*-Я) ^

(1.7)

о -1

На основе (1.4) и с учетом равенства тока нулю на концах антенны I(±1) = 0 получаем:

Ест ( * ) =

/30

к

Я 4(Я) + к21 (#)] К (*-Я) 1'е (1) К (1 - *)

-1

(1.8)

+(-1)К(1 + *)}

Сначала исследуется частный случай возбуждения вибратора сосредоточенной ЭДС в центре цилиндра Ест (* ) = £$( *). Приближение

заключается в том, что вибратор рассматривается как аналог отрезка длинной линии, разомкнутого на конце. Поскольку вибратор представляет собой неоднородную длинную линию, вводят некоторое усредненное волновое сопротивление. В [10], волновое сопротивление однородной двухпроводной

<

длинной линии равно w = 1201п(О/а)[Ом], где О проводниками радиуса а.

\a

расстояние между

I

D

(эдс)

Рисунок 1.1 - Схема возбуждения анализа отрезка длинной линии вибратора сосредоточенной

ЭДС.

Для отрезка неоднородной длинной линии размера Ь применяется усредненное значение [16]:

wr

= 11Ь1201пУйу «120С 1пЬ -1 |[Ом]

(1.9)

а V а

Здесь Wа - волновое сопротивление отрезка, Ь - величина зазора, где подключена сторонняя ЭДС. Тогда входное сопротивление вибратора в этом нулевом приближении равно:

=^а ^ ( кЬ )

(1.10)

а форма тока описывается формулой:

1 (У) = к

sin [к (Ь -|у|)

siп (кЬ) (1.11)

1о = I (0)

Очевидно, что применение данного упрощенного подхода приводит к некорректному значению входного сопротивления антенны, так как излучение электромагнитного поля здесь принципиально не учитывается и результат выходит мнимым. Выражение для тока в такой модели также оказывается неточным, особенно вблизи точки приложения ЭДС. Как следствие, для корректного описания необходимо использовать электродинамический подход, учитывающий собственное поле антенны [соотношения (1.4), (1.5)].

Итак, при выборе приближения (1.11) получается, что:

ь

cos

[ k (L -|y| )

l'ü (У ) = -sgn (y) kI0 "(ki) (112)

По [17] отметили что выражение /4(4) + k2I(4) = 0 для всех 0, тогда в точке y=0 (4 = 0) возникает дельта-функция $(4). Поэтому: I ( 4 ) + k2I ( 4 ) = -2I0 ctg (kL )£( 4 ). В результате уравнение (1.8) преобразуется:

sS( = (L - У) + K (L + У)-2cos(kL) K (y)] (1.13)

Если умножить равенство (1.13) на I(y) и проинтегрировать по y от -L до L, то получится равенство комплексных мощностей излучения вибраторной антенны [18-19]:

/3012 L

Pk = —^ J sin [k (L-| y| )][K (L - y) + K (L + y )-2cos(kL)K (y)] ^^

sin kL -l (1.14)

= sI0

Правая часть (1.14) является комплексной мощностью, выделяемой на входных зажимах вибратора. Интеграл в левой части равенства (1.14) определяет мощность, излучаемую током в антенне, пусть и заданным приближенно. При делении (1.14) на Io2 может быть определено выражение для входного сопротивления вибратора ZA:

ZA = i = sSkL 1Sm [k ( L-|y| W[K (L - y ) + K (L + y } (1.15)

-2cos ( кЬ ) К ( у )] Лу

После выполнения операции интегрирования окончательные формулы приобретают следующий вид [20]:

= ЯА + IXА (1.16)

Ra = —1— {60 [ ln (y2kL) - Ci (2kL)] + 30cos (2kL) sin2 kLK

[Ci (4kL)- 2Ci (2kL) + ln (ykL)] 30sin (2kL )[Si (4kL)- 2Si (2kL)]} (1.17)

R = Rn

A = • 2 1T sin kL

Xa =

sin2 kL

30{2Si (2kL) + cos (2kL)[ 2Si (2kL) - Si (4kL)]

+sin (2kL)

L

Ci (4kL)- 2Ci (2kL)- 2ln— + ln (ykL)

a

(1.18)

Xa =

X

sin2 kL

Здесь Si(x) = si(x) + ^ = JxQ ——dt,Ci(x) = ci(x) = J*C0S^dt = ln(yx)-JJ-—tdt -

интегральные синус и косинус, у -1,781 - постоянная Эйлера.

В частности [21-23], для полуволнового вибратора входное сопротивление равно ZA=(73,1+i42,5) Ом, а для короткого вибратора (kL<<1) приближенно описывается выражением:

ZA = 20(kL)2 - iwa ctg(kL) (1.19)

Показано, что соотношения (1.17) и (1.18) обеспечивают удовлетворительное совпадение расчетных значений входного сопротивления вибраторной антенны с результатами эксперимента вплоть до значений kL < ж/2. На рисунке 1.2 представлены зависимости действительной и мнимой частей комплексного входного сопротивления вибраторной антенны от ее волнового размера.

а)

б)

<

< X!

m

Рисунок 1.2 - Зависимости действительной Яд (а) и мнимой Ха (б) частей комплексного входного сопротивления вибраторной антенны от её волнового размера.

Однако при размерах антенны, превышающих половину длины волны, результаты расчетов на основе рассмотренных приближений становятся неудовлетворительными [7]. В частности, в режиме параллельного резонанса (при

1

200 -

0 -

0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

соответствующем значении ^=ж) выражения для 24 обращаются в бесконечность, поскольку в рамках указанных моделей предполагается, что ток в зазоре равен нулю. Для уменьшения ошибок в ходе расчетов требуется использовать не сопротивление на входных зажимах антенны:

Р

7

10

где ток может быть мал, а так называемое сопротивление в пучности тока:

7 - Р-

7 п т2 '

п

(1.20)

(1.21)

где In = /0sin (kL).

Тогда:

Zn = Za sin2 (kL) (1.22)

Очевидно, что в формировании излучаемой мощности участвуют все участки вибратора. При этом сопротивление Zn трактуется как эквивалентное сосредоточенное сопротивление излучения, формально приписываемое к пучности тока антенны. Предполагается, что это сопротивление действительно существует в указанном сечении, рассматриваемом как участок линии без потерь. Соответственно, для определения искомого входного сопротивления антенны (на ее зажимах) применяется стандартный метод пересчета из теории длинных линий, известный как метод С.А. Щелкунова [8]:

ZA = Wa

Wa COs k f L 1 4 j + iZa sin k f L^ 1 4 j

Za COs k f L ^ 1 4 j + iwa sin k f L^ 1 4 j

(1.23)

W sin(kL) - Z COS(kL) ZA = Wa-

(1.24)

Za Sin(kL) - lWa COs(kL)

В качестве эталонных функций Za = Ra + iXa используются составляющие (1.17) и (1.18):

Ra = Rn

ZA sin2 ( kL ) - Xn + iwa cos ( kL ) sin ( kL )

Xa = Xn

(1.25)

Эквивалентная схема, поясняющая данный метод, представлена на рисунке

1.3.

Рисунок 1.3 - Эквивалентная схема вибратора по методу С.А. Щелкунова.

Графики эталонных функций, характеризующих зависимости рассматриваемых величин от размеров вибратора, представлены на рисунок 1.4.

300-,

200-

X

е?

100-

■ , ■ , ■ , ■ , ■ , т 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

Рисунок 1.4 - Зависимости действительной Яа и мнимой Ха частей комплексного входного сопротивления вибраторной антенны от её волнового размера.

Исправление в выражении для Ха введено с целью исключения двойного счета при использовании формулы (1.23),(1.24). При этом функция 2а утрачивает зависимость от толщины вибратора, вследствие чего ее можно рассматривать как эталонную при расчетах входного сопротивления вибраторов произвольной толщины. Следует отметить, что соотношения (1.14) можно формально использовать даже для вибраторов, где кЬ < п/2. Таким образом, использование

метода Щелкунова (1.17) и эталонных функций Яа, Ха позволяет рассчитывать входное сопротивление вибраторной антенны в широком диапазоне частот.

Формулы (1.17), (1.18) в точности совпадают с результатами, получаемыми методом наведенных ЭДС. Как отмечалось, выражение для тока (1.11) является оценочным, причем отличие от точного значения особенно заметно вблизи точки приложения ЭДС. Очевидно, что применение приближения длинной линии к задаче определения входного сопротивления антенны дает некорректный результат. Однако дальнейшие преобразования повысят точность.

Рассмотрим более общий случай для произвольного внешнего поля Ест (у),

возбуждающего симметричный вибратор длиной 21. Представим последний как длинную линию с волновым сопротивлением Ж [24]:

Ж = 0.5% (1.26)

Тогда выражение для тока можно записать следующим образом:

I (у Ь™ Бщ( 2к1) Г [к (1 - У ^-^ст ( ) §1п \-к (1 + * Я ^

+БШ[к(1 + у )] \ЬуЕст (*) БШ [к (1 - *)] Л*}

(1.27)

или

I (У ) = ^Г (*){С°8[к( + у)] - СОБ[к(21 - - у|)]}л (1.28)

Существуют несколько частных случаев:

а) Ест (у ) = ^(у) . Тогда:

или

' (У) = Ж МЖ) {СО3(ку)- СО8 [**(21 -Iу|)]} <1.29)

. . . . соб (ку)- соб Г8к (21 -Iу\)] бш Г к (1 -Iу\) I ( У ) = I ( о )--^—^ = I ( О )—'•Ч] (1.30)

1 - соб ( 2к1) зт ( кЬ )

где I (0 ) =-Щ--[1 - соб (2к1)].

V } Ж бш (2к1)[ v ,]

Это совпадает с формулой (1.11) для сосредоточенного возбуждения в центре вибратора.

б) Ест (y) = e( У о Ж У - Уо). Тогда:

7 (y) = II ) н _k (У+Уо)]-cos _k (2L-|y - Уо1)]} (1.31)

или

г( \ т( \cos[k(y + Уо)]-cos[k(2L-1У-УоI)

7 (У) = 7 (У о)--[ ■

cos (2кУо)- cos (2kL)

cosl к( v -

7 ( У ) = 7 (о)

cos [ k ( У + Уо )] - cos [k(2L - y - Уо)_

cos (kyо )- cos _k(2L - Уо )_

где 7 (У« )=W h) t COs (2кУо >" C°s (2kL Я.

7 (о) = ¥Щ2кГ) {cos (кУо)-cos [k (2L-| Уо|)]}

в) Ест (У) = const = Ео. Тогда:

или

, ч iEn. [1 - cos (kL)]

где 7 (о ) = -^-т-Ц^,

v ' kW cos(kL)

(1.32)

iEP [cos (k)- cos (kL)] (1.33)

K } kW cos (kL)

, ч , 4cos (ky)-cos (kL) 7 (У) = 7 (о) ( ) ( ) (U4)

1 - cos (kL)

Следует отметить, что формула (1.34) полностью совпадает с формулой, предложенной С.А. Щелкуновым [8] для описания тока в приемном вибраторе при облучении его плоской электромагнитной волной.

г) Рассматривается более сложный случай распределенного возбуждения вибрат°ра Ест (у) = Е0 ехр(-гуу).

Тогда

ikE0 {exp(iky)sin[(к - v)L] + exp(-iky)sin[(к + v)L] - exp(-ivy)sin (2kL)} 1 (У)= W(к2 -v2)sin(2kL)

(1.35)

или

l( ) /(0) exP (iky) sin [( k - v) L] + exp (-iky) sin [( k + v) L ] - exp (-ivy ) sin (2kL )

где I(0)

2 [cos (vL) - cos (kL)] sin (kL) (1.36)

ikE0 [cos(vL) - cos (kL)]

W (k2 -v2) cos (kL)

Последний вариант описывает токи в вибраторе, наведенные плоской волной при наклонном падении.

Фактически величина v является постоянной распространения волны вдоль оси Oy, она всегда меньше значения k.

Заметим, что при kL = п/2, в первом, втором и четвертом случаях ток в вибраторе имеет одинаковое косинусоидальное распределение. Такой результат наблюдается при наклонном падении плоской волны (условия аналогичны распространению волн в волноводе), где v является постоянной распространения вдоль оси Oy и всегда меньше, чем k. Таким образом, во всех перечисленных случаях формируется один и тот же закон распределения тока по вибратору -косинусоида.

В настоящей работе рассматриваются несколько случаев возбуждения тока в вибраторе:

а) Для полуволнового вибратора (кЬ = п/2)

а) 1.0-,

кЬ=л/2

б)

0,8

С)

¡5^0,6

н

0,4

кх

кЬ=л/2 v/k=0.5

-|-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

"Л—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—Г"

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

кх

в)

О 0,4-

н ^ 0,2-

кЬ=л/2 v/k=0.5

кх

-1—|—I—|—.—|—I—|—I—|—.—|—I—|—I—|

■2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Рисунок 1.5 - Зависимости распределения тока вдоль вибратора (кЬ=п/2): а) При возбуждении однородным полем; б) При возбуждении плоской волной с постоянной распространения

v/k=0,5; в) Результат моделирования на НРББ.

На рисунке 1.5а видно, что соответствующие кривые распределения сливаются, подтверждая данное утверждение.

На рисунке 1.5б, в представлены зависимости распределения тока вдоль вибратора при возбуждении плоской волной с постоянной распространения вдоль оси антенны. Здесь красной линией изображена вещественная часть комплексной амплитуды тока, а синей пунктирной - мнимая часть. Для сравнения на том же рисунке приведен график тока при возбуждении однородным полем, причем он полностью совпадает с красной кривой, что еще раз иллюстрирует единообразие формы тока в рассмотренных режимах.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

,0-

0,8-

0,6-

0,0

б) Для короткого вибратора (к1 = 1)

а)

б)

1,0

^0,6

0,2

кх

кЬ=1 v/k=0.5

кх

-1,0 -0,5 0,0

В)

0,5 1,0

—I-1-1-1-1—

-1,0 -0,5 0,0

0,5

—I—

1,0

1,0-

0,8 ■

0,6 ■

0,4 ■

0,2

0,0 ■

кЬ=1 v/k=0.5

кх

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Рисунок 1.6 - Зависимости распределения тока вдоль вибратора (к1=1): а) При возбуждении однородным полем; б) При возбуждении плоской волной с постоянной распространения

v/k=0,5; в) Результат моделирования на НРББ.

На рисунке 1.6а представлены картины формы токов для двух вариантов возбуждения (для сосредоточенного - красная линия, для равномерно распределенного поля - черная линия) в случае более короткого вибратора (к1=1). На рисунке 1.6б, в для такого вибратора изображены формы тока (реальная и мнимая части) при возбуждении бегущей волной у = 0,5к. Здесь видно, что в отличие от случая полуволнового вибратора (Рисунок 1.5) мнимая часть тока не равна нулю. Здесь также представлен график формы тока при возбуждении полем постоянной амплитуды.

в) Для короткого вибратора (к1 = 2)

0,8

0,4

0,0

0,0

Рисунок 1.7 - Зависимости распределения тока вдоль вибратора (кЬ=2): а) При возбуждении однородным полем; б) При возбуждении плоской волной с постоянной распространения

v/k=0.5; в) Результат моделирования на НЕББ.

На рисунках 1.7а, б представлены аналогичные графики для удлиненного (по сравнению с полуволновым) вибратора (кЬ=2) и результаты моделирования на НЕББ (рисунок 1.7в).

Во всех приведенных случаях можно заметить, что распределение по длине вибратора вещественной части комплексной амплитуды тока при наклонном падении волны практически совпадает с распределением амплитуды тока при возбуждении полем постоянной амплитуды, т.е. для случая V = 0. Данное обстоятельство позволит в дальнейшем использовать в приближенных решениях (где требуется знание формы распределения тока) формулы вида (1.37).

1.2. Принцип перестановочной двойственности в применении к вибраторным

антеннам

Принцип перестановочной двойственности (также известный как дуальность взаимности или электромагнитная дуальность) играет фундаментальную роль в

теории электромагнетизма, квантовой теории поля и математической физике. Этот принцип устанавливает симметрию между электрическими и магнитными полями в уравнениях Максвелла, позволяя заменять E ^ H и H ^ -E при определенных условиях, что приводит к дуальным решениям исходной задачи [25-26].

Перестановочная двойственность находит применение в анализе электродинамических систем, включая антенны, метаматериалы и оптические структуры. В частности, она позволяет упростить расчёт полей в задачах с симметричными граничными условиями, а также объясняет свойства некоторых искусственных материалов, таких как левовращающие среды и двойные отрицательные метаматериалы [27].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ха Нам, 2026 год

Источники

Рисунок 1.8 - Векторный вариант формулы Кирхгофа при источнике возбуждения.

В первом случае в качестве объема V1 следует рассматривать само тело плоского вибратора. Поверхность Б составляют два участка плоскости шириной w и длиной 2Ь при у > 0 (£ +) и у < 0 (£-), на которых в качестве полей Е и Н в подинтегральных выражениях выступают:

Е +=- Ест (4)

Н + = Н (4)

4 ч (1.67)

Е -=- Ест (4)

Н -=- Н (4)

Так как вектор нормали п = г 0 на £ + и п = -г 0 на £-, то в формулах (1.65) и (1.66) остаются только те интегралы, где в подинтегральных выражениях фигурирует только магнитное поле:

Е(г1) = -^гоПО | [п х Н]^с{£ + -^го1го1 ^ [п х Н]^с{£,

I Сд£0 ° I Сд£0

или

Е(г) = ] 2Н(4)wR(х,у -4,2)й4 (1.68)

4^0 -ь

Во втором случае в качестве области V1 выберем нижнее полупространство 2<0, а поверхностью 5 будет служить плоскость 2=0 ( 2 > 0), состоящая из верхней поверхности вибратора 5 + и оставшейся части плоскости Q. Поэтому:

E (r) = —1-rotrot [n х H ] ydS + —rot {- [n x ECT ]} ydS

4ma>s0 JS J' 4 л S+

—rot f [nxE]ydS

(1.69)

4л fQ

или

E(r-) = -W-R(X'J - Z)+ ¿rot JS+ {-[nx Ест]}ydS

1

(1.70)

+—rot Jß [n x E] ydS

Результаты (1.68) [или (1.62)] и (1.70) в силу единственности решения задачи электродинамики одинаковы. При этом предполагается, что известны значения рассеянных полей и на поверхности 5+, и на поверхности Q. Таким образом, вклад первого интеграла в (1.70) равен вкладу суммы двух последних интегралов в этой формуле. Кроме этого, для узкого вибратора или узкой щели (в сравнении с длиной волны) вклад второго интеграла в (1.70), по-видимому, оказывается существенно меньше величины остальных слагаемых.

Напомним, что в рассмотренной задаче для вибратора все компоненты полей, входящих в формулы Кирхгофа, являются компонентами вторичного (рассеянного) поля. А в соответствии с принципом перестановочной двойственности в задаче, аналогичной рассмотренной, но для щели, в формулах будут фигурировать полные поля, т.е. суммы сторонних полей и рассеянных полей.

Таким образом, магнитное поле, возбуждаемое щелью, определяется формулой, двойственным аналогом которой служит соотношение (1.70). Данное поле определяется интегралом от электрического поля, наведенного в щели и интегралом от магнитного поля по области Q (или неравномерной частью тока вблизи щели). Очевидно, что указанные вклады равны друг другу, поэтому можно

ограничиться только интегралом от электрического поля в щели, но удвоенной амплитуды.

1.3. Плоский вибратор и щель в бесконечной проводящей плоскости

Исследование взаимосвязи между плоскими вибраторами и щелями в бесконечной проводящей плоскости через призму принципа перестановочной двойственности представляет значительный теоретический и практический интерес. Как убедительно показано в работах Вайнштейна [28] и Кинга [29], данный принцип устанавливает фундаментальную взаимосвязь между электрическими и магнитными характеристиками этих структур. В частности, строгое математическое соответствие между током в вибраторе и напряженностью поля в щели было экспериментально подтверждено в исследованиях Баланиса [30] с использованием современных методов микроволновых измерений.

Современные подходы к анализу, разработанные Харрингтоном [31] и развитые в работе [32], демонстрируют, что принцип перестановочной двойственности позволяет:

- Сократить объем вычислений при проектировании антенных систем

- Повысить точность моделирования диаграмм направленности

- Оптимизировать параметры согласования

Особую ценность представляют результаты сравнительных исследований, опубликованные в работе [33], где количественно оценены пределы применимости данного принципа для реальных конструкций.

Рассмотрим уравнение для тока на плоском вибраторе (1.7):

У ь

Е- (у)=^ь/(4^(у(1Л1)

Плоский вибратор длиной 2Ь и шириной w расположен в плоскости хОу, причем поверхностная плотность тока вдоль полоскового вибратора равна [9, 17 -19]:

j( У x ) = y 0j (y, x ) =—(y) y 0 (1.72)

w^ 2

- x2

У

а полный ток

1 (y )=0(y,x) dx (173) = J ( У ) w

Здесь J (y) - среднее значение плотности тока. С помощью данного тока создается кольцевое магнитное поле, которое вблизи полоска равно H+ при z>0 и HX при z<0. При этом:

H+=- H-= 1 j (y, x) (1.74) Среднее значение магнитного поля составляет:

H ( У ) = 1J ( У ) (1.75)

Тогда:

I (y ) = 2H (y) w (1.76) Уравнение (1.71) преобразуется:

j L

Eст (y) = -J— J 2H(4)wR(y - 4)d4 (1.77)

4^(0 -L

Теперь рассмотрим дуальную задачу. Введем в задаче для вибратора обозначения H (4) = H1 (4), Eст (y ) = Ec™ (y). Тогда уравнение (1.74) преобразуется следующим образом:

j L

ЕСт ( y) = —!— J 2Н1 (4) wR (y - 4) d4 (1.78)

4Я(08о -l

Следовательно, поляризации полей имеют вид:

ЕСт ( у ) = ЕСТ ( У ), H (y ) = H1X ( У ) (1.79)

Здесь в качестве стороннего поля выступает Ес]т, а стороннее магнитное поле для простоты предполагается равным нулю (Нс1т = 0). В задаче для щели в соответствии с (1.49) Н2т = (1/Ж0)Е[т, Е2т =-Щ)Нст = 0. Тогда соотношения (1.50) приводят к следующему результату: Е 2 = Ж0Н1. Уравнение, соответствующее (1.78) для щели, может быть записано таким образом:

1 1 2

Ж0Н2т (^) = 7^ \ Ш Е2 ^(^ - 4)^ (1.80)

4Ж(080 -ь Щ0

или

Нс2т (у) = —!— ] 2Е2 (4)^(у - 4)^ (1.81)

4(0

(1.82)

Здесь поляризация полей следующая:

Н2т (у )=н2ту (у) Е2 ( У ) = Е2 х ( У )

В уравнениях (1.78) и (1.81) имеется только одно отличие - в коэффициентах. Предположим, что известно решение первого уравнения, т.е. при заданном

распределении стороннего поля по полосе вибратора Е12т (у) определена функция

Н1 (у), описывающая магнитное поле на поверхности вибратора. Решение

уравнения (1.78) условно может быть записано в следующем виде:

н (у ) = ^ф [ Е2т (7)], (1.83)

где алгоритм решения Ф известен. Тогда в задаче для щели таких же размеров, что

и вибратор, и при задании стороннего магнитного поля Н2т (у) на щели равным

Е12т (у), т.е. при Н2т (у) = Е12т (у), решение для электрического поля в щели Е2 (у ) будет равно:

Е2 (у ) = МФ [ ИТ ( у)] (1.84)

В данной работе рассматривается физическая сущность поставленной задачи. Поскольку понятия сопротивления и проводимости не связаны непосредственно с

электромагнитными полями, а определяются через соотношения электрических напряжений и токов, требуется установить соответствующую связь между ними и полевыми величинами. В качестве иллюстрации будет проанализирован простой, упрощённый вариант. Предположим, что сторонняя ЭДС приложена в центре

вибратора, т.е. Е™ (у) = Бд (у). Тогда распределение тока по вибратору равно [34]:

и магнитное поле на полосе подчиняется такому же закону:

Н (у ) = Нх (0) / (у) (1.86)

Для определения входного сопротивления умножим равенство (3.5) на ' (у) = 2Н1 (у) щ и проинтегрируем по длине вибратора. Тогда:

' ( у ) = 2еЩ ( 0 ) щ

1 Д-, [ 2 Н (0) щ]2 / (у) / (4)* (у-) ¿^у (1'87)

4ясое0

2

Поделив это равенство на [2Н (0) щ] , может быть определено входное

сопротивление вибраторной антенны:

Б Б

1вибр = Щ = 2 Н (0) щ

(1.88)

=^ Ю(у)■ г4 *(у-4) 4

В щелевой антенне в качестве сторонней возбуждающей силы выберем идеальный генератор тока (с бесконечным внутренним сопротивлением),

присоединенный к середине щели. Плотность тока равна (у) = 'д(у). Стороннее магнитное поле при этом равно = (1/ 2) 'д( у). Электрическое поле в щели дает напряжение на краях щели и2 (у) = Е2 (у) щ = и2 ( 0) / (у). Тогда уравнение (1.58) можно переписать в виде:

1 1 1 НСт = 1 'д(у) = ] 2и2 (4)*(у - 4)¿4 (1.89)

Умножим данное равенство на и2(у) и проинтегрируем по длине щели:

1 и2 (0)I = —!— ЦЬ 2[и2 (0)]2 /(у)/(4)я(у - 4)¿4<1у (1.90)

2 4п(о/л0 Ь

Разделив равенство (1.90) на (1/2)[и2(0)] , получим выражение для проводимости щели:

=им=1Шу)№я(у-4)4у (191)

Сравнивая (1.91) с (1.88), получаем:

Увибр Ущли = А = ( 60^)2 [ Ом 2 ] (1.92)

у

^вибр _ гу у _ А}

= у вибру щели = ^щели 4£0

Таким образом, на основе сравнения электрических характеристик плоского вибратора и щели в бесконечной проводящей плоскости можно заключить, что их входное сопротивление и проводимость связаны соотношением (1.92).

1.4. Резонансные свойства вибраторных и щелевых антенн

1.4.1. Построение расчетных аналитических моделей вибраторных антенн

Мощность, излучаемая передающими антеннами, а также их входные сопротивления зависят от частоты и нередко могут обладать характеристиками резонансного типа. Рассмотрим для примера входное сопротивление вибраторной антенны.

В заданном диапазоне частот вычисляются вспомогательные эталонные функции Яа и Ха по формулам (1.14) и (1.15):

Яа = 60 [1п (у2кЬ )- а ( 2кЬ )] + 30соб ( 2кЬ )[а ( 4кЬ )- 2С1 ( 2кЬ ) + 1п (укЬ )] +30б1п ( 2кЬ )[ ( 4кЬ )- ( 2кЬ )]

(1.93)

Ха = 30{2Б1 (2кЬ) + соб (2кЬ)[ 2Б1 (2кЬ) - (4кЬ)]}

+30б1п (2кЬ)[ С (4кЬ) - 2С1 (2кЬ) + 1п (укЬ) - 2 ] (^4)

где 81 (х) = | X , С (х) = 1п (ух) -1X1—- интегральные синус и косинус,

у «1.781 - постоянная Эйлера.

Определяется величина усредненного волнового сопротивления ща по формуле (1.9):

Г г \

W = 120

in L -1

(1.95)

V a j

где a - радиус проводника вибратора. Для плоского вибратора шириной w вместо радиуса a в этих соотношениях применяют величину a = аэкв = w / 4.

Далее по формуле (1.96) рассчитывается зависимость входного сопротивления симметричного вибратора Zce = Z^ от частоты:

w sin(kL)- iZn cos(kL)

ZA = Ra + iXA = wa a . ) 7 -a-(1.96)

Za Sin (kL)- iWa C0S (kL)

На рисунке 1.9 для построена зависимость входного сопротивления вибратора от частоты (фактически от нормированной в длинах волн длины вибратора). Значение 2L / Я = 0,5 соответствует полуволновому вибратору. Здесь красной сплошной линией представлена зависимость реальной (активной) части входного сопротивления, а синей пунктирной линией - (мнимой) реактивной части. Если под резонансом понимать ситуацию, когда входное сопротивление чисто вещественно, то этому соответствует длина вибратора, несколько меньшая половины длины волны.

300 250 200 -

150 -^ 100 "

О

^ 504 0

-50 ■ -100 ■ -150

11.4 (Теория) ХА (Георвж)

Еа (Моделирование)

Ха (Моделпромш«)

2L/X

0,3

0,4

0,5 Ь/а=10

0,6

0,7

Рисунок 1.9 - Зависимость входного сопротивления вибратора от частоты.

Целесообразно рассчитать комплексную мощность излучения вибратора Рк при сосредоточенном возбуждении. Однако следует отметить, что возможны различные варианты подключения источников. Приложим к зажимам вибратора ЭДС, равную и0=1В. Тогда получается:

|2

(1.97)

2

Рк=и* I (0)=и* и°=и-

На рисунке 1.10 представлены графики зависимостей реальной (Ркя) и мнимой (Ркх) составляющих мощности

0,03

0,02-'Р

Рч

0,01 Ч

0,00 -

-0,01

2L/X

0,3

—I—

0,5

—I—

0,6

0,4 0,5 0,6 0,7

Рисунок 1.10 - Зависимости реальной и мнимой составляющих мощности вибратора при

возбуждении ЭДС и0=1В.

Если источник ЭДС имеет внутреннее сопротивление щ0, то мощность излучения изменится:

р0

' 01 2А

\гА +

Графики для случая щ0=50 Ом представлены на рисунке 1.11.

0,006

(198)

Рисунок 1.11 - Зависимости реальной и мнимой составляющих мощности вибратора при возбуждении ЭДС с и0=1В и внутреннем сопротивлением н'о=50 Ом.

Если источником служит генератор тока '0, то:

I |2 * Рк = '0 ^А

(199)

Соответствующие графики для '0=1А изображены на рисунке 1.12.

300 1

250 -

200 -

150 -

100 -

50 -

0 -

-50 -

-100

РкЕ. (Теории) РкХ (Т<оржж)

(Моделирование) (Мо делирокэнн«)

0 7 2ТА

Рисунок 1.12 — Зависимости реальной и мнимой составляющих мощности вибратора при

возбуждении генератором с 'о=1 А.

В рассмотренных выше случаях мощность Рк представляет собой мощность, отдаваемую в антенну сторонними источниками тока или напряжения. Поскольку потери в вибраторе отсутствуют, данную мощность (во всяком случае, ее вещественную часть) можно трактовать как мощность, излучаемую антенной. Что касается мнимой части Рк, то здесь физическая трактовка менее очевидна.

Итак, представленные выше графики описывают мощность излучения при сосредоточенном возбуждении, их характер отражает резонансные свойства вибраторной антенны.

При распределенном возбуждении ситуация усложняется. Предположим, что в месте расположения антенны падает стороннее поле, составляющая которого вдоль вибратора равна Ест(у), этот случай соответствует приемной антенне. Если известна форма распределения тока при работе его на передачу (в случае сосредоточенного возбуждения в центре вибратора):

/(у)=щ- (1100)

то в силу принципа взаимности на разомкнутых зажимах под действием стороннего поля возникает напряжение холостого хода ихх, равное:

и^ =1Ь_ЬЕст (у) /(у) Ф (1.101)

При этом приемная антенна является источником ЭДС, равной ихх, с внутренним сопротивлением Уа. Величина УА является входным сопротивлением вибратора при его работе на передачу.

Если замкнуть зажимы приемного вибратора, то в нем под действием стороннего поля возникнет ток 1г(у). Величина тока на зажимах равна:

1г (0 ) = ^ (1.102)

Рассмотрим случай, когда стороннее поле представляет собой постоянную величину Есф)=Ео. Предполагаем, что распределение тока в случае передачи имеет вид (1.11), тогда получается:

=sin^!^ x-^sin(- -1-I): ^^="^nosip1 ('-)

Для определения тока в приемном вибраторе воспользуемся приближением (1.28). Как отмечалось выше, соотношение (1.28) является приближением длинной линии. Более приемлемый вариант использует принцип взаимности:

(- )=(о)cos (^)- ;°s(( kL)

1 - cos(kL)

Ir (0 ) = -хх

(1.104)

или

j (v)-2Ео L1 - cos (kL)]cos (к-)- cos(kL)

r (-) kZA sin (kL) 1 - cos (kL) ( . )

Рассчитаем мощность, рассеиваемую вибратором:

„A 1 - cos (kL)

P - ¡L E* (v\T (v\dv - fL E Uxx cos(k-)- cos(kL) d-

Pk - J -LE*m (v) jr(v) dv - J -lEo — 1-cos (kL) dv

(1.106)

4E02 [sin (kL)- kL cos (kL)] '

k 2Za sin (kL)

На рисунке 1.13 представлены графики зависимости комплексной мощности излучения вибратора при распределенном возбуждении однородным сторонним полем Ео=1 В/м. Расчет проводился для трехсантиметрового диапазона частот, длина вибратора 2L=1,5 см.

Заметим, что интеграл (1.106) фактически представляет собой интеграл по поверхности тела вибратора от произведения касательной составляющей напряженности электрического поля, возбуждаемого током, на касательную составляющую напряженности азимутального магнитного поля. Такого вида интегралы рассматриваются в пособии [10].

2L/X

Рисунок 1.13 - Зависимости комплексной мощности излучения вибратора при распределенном возбуждении однородным сторонним полем Ео=1 В/м.

Рассмотрим более сложный случай - наклонное падение волны, поле Ест(у) равна [35]:

Ест (у ) = Е0 еХР= Е0 еХР) (1.107)

Действуя аналогичным образом, найдем ихх и возбужденный в вибраторе ток:

En

sin (kL )•

J ^exp(-iny)sin[k(L -|y|)dy

2kEr

cos (vL)- cos (kL)

(1.108)

(k2 -v2) sin (kL)

exp (iky ) sin ( k -v) L + exp (-iky ) sin [( k + v) L]- exp (-ivy ) sin ( 2kL )

1 (y) =1 ( 0) 2sin ( kL )[ cos (vL)- cos ( kL)]

(1.109)

Тогда на основе соотношений (1.104), (1.108), (1.109) получим рассеянную комплексную мощность:

Рк ( * ) !г ( У ) Ф

Е/ {вт[(к - у) _]соб[(к + у)у] + б1п[(к + у)_]соб[(к - у)у] - вт(2к_)} = (к2-у2) вт2 (к_)

4У

(1.110)

В результате получаем:

Р =

2кЕ,

о

(к2-у2) бш2 (к_ )1 к2-у2

[соб(2у_) - соб(2к_)] - _ бш (2к_) [ (1.111)

С углом падения в ~ 60°, т.е. результат проведен на рисунке 1.14.

н т

2,0 ■

1,5

1,0 ■

0,5

0,0

-0,5

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-1—

0,7

I

0,8

2L/X

Рисунок 1.14 - Зависимости комплексной мощности излучения вибратора при распределенном возбуждении наклонным падением волны в « 60°, у = 0,7к.

Здесь также, как и в предыдущем случае вещественная часть мощности излучения имеет резонансный максимум при длине вибратора, чуть меньшей половины длины волны. Можно отметить, что часть используемых соотношений имеет приближенный характер (приближение длинной линии). Поэтому в более широком частотном диапазоне ошибки могут увеличиваться.

Рассмотрим ситуацию, когда в какое-либо сечение вибратора последовательно включено комплексное сопротивление 2. Для произвольного места включения

2

следует воспользоваться приближениями длинной линии. Однако если эта нагрузка включена в центре вибратора, возможен более точный подход. В соответствии с эквивалентной схемой приемной антенны ток на зажимах равен:

I (0)- Uxx

ZA + Z

(1112)

Этого выражения было бы достаточно для определения мощности в приемнике (в данном случае роль входного сопротивления приемника играет величина X). Однако интерес представляет вопрос о том, как изменится при этом ток в самом вибраторе. Для этого заменим влияние сопротивления введением некоторой дополнительной ЭДС, напряжение которой равно:

U = -I (0) Z = Uxx Z

Za + Z

(1.113)

По принципу суперпозиции [9] ток в вибраторе складывается из неискаженного тока приема:

Ir ( y )<

Uxx cos ( ky )- cos (kL) ZA 1 - cos (kL)

(1114)

и тока передачи I.

U_ sin[k(Hy|)]=_ UxxZ sin[k(L -M)_

ZA sin ( kL ) ZA ( ZA + Z ) sin ( kL )

(1.115)

Для случая Ecm(z)=const=Eo распределение тока запишется так [20]:

I (z)

2E0 [1 - cos (kL)] kZA sin kL

cos (ky)- cos(kL) Z sin [k(L -|y|)] 1 - cos (kL) (ZA + Z) sin (kL)

(1.116)

Комплексная мощность, излучаемая вибратором, равна:

P = ÍÍlE1 ( У ) I ( У ) dy

4E02 [1 - cos (kL)] k2ZA sin (kL)

sin (kL)- kL cos (kL) Z [1 -cos (kL)]

(1.117)

1 - cos (kL) (ZA + Z) sin (kL)

Рассмотрим для случая влияние нагрузки в виде индуктивности Z = rnL. Пусть длина вибратора 2L=1,5 см, L = 0.5 нГн, Е0=1В/м. График Pk представлен на рисунке 1.15. Заметно смещение резонанса.

н т

3,0-

2,5-

2,0-

1,5-

1,0-

0,5-

0,0

-0,5-

-1,0-

—I—

0,3

—I—

0,4

—I—

0,5

—I—

0,6

—I—

0,7

—I

0,8

2L/X

Рисунок 1.15 - Зависимости комплексной мощности излучения вибратора при распределенном

возбуждении генератором с С =0,5 нГн, Ео= 1В/м.

Можно рассмотреть ситуацию, когда дополнительное сопротивление 2 включено в произвольном месте (а не на входных зажимах) вибратора, в точке у = у0. Тогда при использовании описанного выше подхода величина входного

сопротивления вибратора ¿А (у0) равна

2а (Уо ) =

Уо) 1е ( У0 )

(1.118)

при подключении в этой точке сторонней ЭДС е( у0) и тока в вибраторе при несимметричном возбуждении 1е (у). Предполагается, что входное сопротивление вибратора на его зажимах известно:

._ *(0)

2а = ¿а (0)

(0)'

(1.119)

Для нахождения величины 2А (у0) можно воспользоваться методом

наведенных ЭДС, т.е. задаться распределением тока и решать интегральное уравнение типа (1.3) с вычислением интегральных синусов и косинусов. Попробуем получить этот результат с помощью принципа взаимности.

Входное сопротивление вибратора при произвольном включении ЭДС. Воспользуемся соотношением (1.31). Рассмотрим два режима возбуждения вибратора сосредоточенными ЭДС. В первом случае к входным зажимам подключается ЭДС ех . Ток в вибраторе равен:

1 (у ) = 1 (о)

sin\k(L-|y\)_ Sl sin[k(L-|y\)

sin (kL)

J A

sin (kL)

(1.120)

а его значение в точке y = y0:

Ii (Уо)

h sin [k(L -|Уо |)

ZA sin (kL)

(1121)

Во втором случае ЭДС s2 включается в точке y = y0. В соответствии с (1.32):

cos[k(y + Уо)] - cos[k(2L -1y - yo|)]

12 (y) =12 (yo) cos (2ky0)-cos (2kL)

_ ^ cos [k (y + yo)] - cos [k (2L -1 y - Уо |)]

Za (yo) cos (2kyo)- cos (2kL)

(1.122)

При y=o

/ (Q\= g2 cos ()-cos[k(2L-|УО|)_

2 Za (yo) cos(2kyo )- cos(2kL)

(1.123)

В силу принципа взаимности:

(°) = ^2 J1 (yo )

В итоге находим:

1 - cos (2kL)

(1.124)

Z A ( yo ) = Z

A

cos (2kyo)- cos (2kL)

= Z

sin'

A

(kL)

(1.125)

sin [k(L - yo)] sin [k (L + yo)]

При этом чем ближе точка включения ЭДС к концам вибратора, тем меньшая амплитуда тока может возбуждаться этой ЭДС. Соответственно, входное сопротивление (у0 ) будет приближаться к бесконечности.

Используя (1.125), можно записать выражение для тока в вибраторе при его возбуждении в точке y0 сосредоточенной ЭДС s( y0):

tí \_£(У0) cos[k(У + Уо)]- cos[k(2L-lУ -Уо|)_

(У' ZA 1 - cos (2kL)

A (1.126)

_s( y0) cos [ k (y + Уо)] - cos [k (2L -1 y - Уо I)]

= ZA 2sin2 (kL)

При произвольном возбуждении вибратора сторонним полем Есда (у) наведенный ток равен:

I(y) = 1 \^Ест (t){cos[k(y +1)_ - cos[k(2L -1y -1\)]}dt (1.127) 2Za sin I kL)

Теперь рассмотрим влияние нагрузки Z, включенной в вибратор в точке y = y1; при его возбуждении сосредоточенной ЭДС e(y0), подключенной в точке y = y0. Можно считать, что ток в вибраторе I(y) определяется как ЭДС e(y0), так и дополнительной ЭДС s(yx) = -I(yY) Z, поэтому:

i(y)-s( У0 )cos [ k ( у+Уо)] - cos [ k (2 L -1 У - Уо I)_

ZA 2sin2 (kL)

A г. ( ) (1.128)

I (y¡) Z cos [k (y + У1)_ - cos [k (2L -1y - У11)] ZA 2sin2 (kL)

Если в этом выражении положить y = y1, то получится уравнение для определения значения I (y1). Подставив найденную величину в (1.128), запишем окончательное выражение для тока:

I (У) y°L{cos [ k (У + Уо)_ - cos [ k (2L -1 y - Уо|)]

2Za sin kL

Z {cos [k(y + y)_ - cos [k(2L -1y - y |)_} 2Za sin2 (kL) + Z [ cos (2^)- cos (2kL)_

.{cos [k(Уо + У!)] - cos [k(2L -1Уо - y1)_}}

(1.129)

Рассмотрим случай возбуждения вибратора сторонним полем постоянной амплитуды Ест (y) = const = Е0, для чего требуется проинтегрировать (1.127) по yo от -L до L:

7 (y )■ й^ЕЩ |cos (*)-cos (kL)

Z[cos(kyx) - cos(kL)]|cos[k(y + y)] - cos[k(2L -1y - yx |)

(1.130)

2ZA sin (kL) + Z [cos (2ky1) - cos (2kL)] Далее найдем комплексную мощность возбуждения по формуле

P =I-lEo7 (y) dy (1.131)

Таким образом, получены расчетные уравнения при возбуждении различными источниками, размещенными на вибраторе.