Разложения типа Брюа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Митрофанов, Михаил Юрьевич

• Митрофанов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Митрофанов, Михаил Юрьевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Теория матроидов.

1.2 Клетки Брюа.

2 Биматроиды

2.1 Определение и основные свойства.

2.2 Биматроиды и мелкие клетки.

2.3 Удвоение биматроида.

3 Конструкции биматроидов

3.1 Вложение матроида в биматроид.

3.2 Флаговый матроид — предварительные замечания.

3.3 Флаговый матроид — вложение в биматроид.

4 Критерии представимости

4.1 Предварительные рассуждения.

4.2 Миноры U(ra,m).

4.3 Миноры F7 и F?

А Один важный биматроид

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разложения типа Брюа»

Одним из наиболее существенных фактов классической структурной теории алгебраических групп является разложение Брюа, открытое Гель-фандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Ше-валле и Титсом (см., например, [3, 15]). В последние годы появилось значительное количество работ, посвящённых, в той или иной мере, изучению связи между различными разложениями вида G = B1WB2 в одной группе G, где В\ и i?2 — борелевские подгруппы G, содержащие некоторый фиксированный максимальный тор Т. Рассмотрение разложений такого вида, с меняющимися В\ и Дг, оказывается полезным в разных областях математики, включал теорию представлений, геометрию, комбинаторику, а также, разумеется, саму структурную теорию.

Первые исследования в этой области были предприняты Люстигом и Деодхаром (см. [9, 14]), которые изучали пересечения клеток Брюа вида B~w\B П B1V2B, где В~ — борелевская подгруппа, противоположная В. В частности, в работе [9] был получен следующий результат: пересечение указанного вида непусто в том и только в том случае, когда W2 ^ w\ в порядке Брюа. Тем самым, уже в этом весьма частном случае была установлена важность порядка Брюа в данной области.

В дальнейшем Ч. Кертис (см. [8]) обобщил этот результат, получив точный критерий непустоты пересечения клеток вида BfwiBOBw2B. Этот критерий, фактически, оказался эквивалентным некоторому частному случаю условий предложения 1.23 ниже. В связи с этим М. Путча, Н.А. Вавилов и автор независимо сформулировали гипотезу, согласно которой условия предложения 1.23 являются как необходимыми, так и достаточными для того, чтобы пересечение клеток вида B'wb'B, где В' пробегает все борелевские подгруппы, содержащие фиксированный максимальный тор, было непусто (см. [18]). Как будет видно из дальнейшего, эти условия на самом деле не являются достаточными.

Следует также упомянуть работу С. Фомина и А. Зелевинского [10], изучавших пересечения вида B~W\B~ П Bw^B. В частности, в этой работе было показано, что такое пересечение всегда непусто.

Вопрос о непустоте пересечения двух клеток Брюа был полностью рассмотрен в работе Н.А. Вавилова и автора ([1]), получивших комбинаторный критерий, являющийся частным случаем приведённых ниже условий предложения 1.25. Этот результат побудил автора высказать гипотезу, аналогичную вышеприведённой, о достаточности условий предложения 1.25 в общем случае. Природа, однако, устроена, в Данном случае, несколько сложнее наших представлений о ней. По-видимому, получить комбинаторный критерий непустоты подобных пересечений хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем невозможно.

Перелом наступил в последнем десятилетии двадцатого века, когда А. Боровик опубликовал серию статей, с различными соавторами, связывающую пересечения «односторонних» клеток Брюа (т.е., клеток вида B'wB при фиксированном В) в группе GLn(fc) с теорией матроидов (см. [6, 7]). В частности, непустота пересечения таких клеток оказалась эквивалентной существованию согласованных представлений некоторой последовательности матроидов (см. теорему 1.32). Используя эти результаты, автору удалось аналогичным образом связать пересечения произвольных клеток Брюа с более сложной комбинаторной структурой — биматроидом1.

Одновременно, удалось показать, что биматроиды являются, на самом деле, лишь частным случаем матроидов (теоремы 2.20 и 2.24). В частности, непустота пересечения оказывается эквивалентной существованию представления соответствующего матроида, что, в сочетании с результатами Татта, Биксби и Сеймура ([22, 5, 20]) позволяет построить комбинаторные критерии непустоты пересечения клеток Брюа в группе GLn(fc), где в качестве поля к выступают поля F2, F3, а также любое из существующих полей (следствия 4.10, 4.12 и теорема 4.19).

Особый интерес также представляет изучение взаимного расположения подобных пересечений, в частности, описание их замыканий. В этом направлении получен результат (следствие 3.22), согласно которому в пересечении односторонних клеток Брюа обязательно содержится открытое плотное подмножество, являющееся пересечением двусторонних клеток.

Везде в дальнейшем символом Ф обозначается число элементов конечного множества (напр. фА — число элементов множества А). Через [n, т] мы будем обозначать множество {г € Z | п ^ г ^ т} — отрезок в множестве Z.

1 Введённое автором попятие биматроида не совпадает с понятием биматроида в смысле [13]. Однако, последнее носит также более удачное название «связывающей системы» ([19]), поэтому термин «биматроид» можно считать незанятым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Митрофанов, Михаил Юрьевич, 2006 год

1. Вавилов, Н. А. Пересечение двух клеток Брюа / Н. А. Вавилов, М. Ю. Митрофанов // Докл. РАН.- 2001.- Т. 377, № 1.- С. 1-4.

2. Айгнер, М. Комбинаторная Теория / М. Айгнер. — М. Мир, 1982.

3. Борелъ, А. Линейные Алгебраические Группы / А. Борель. — М. Мир, 1972.

4. Бурбаки, Н. Группы и Алгебры Ли / Н. Бурбаки. — М. Мир, 1972.

5. Bixby, R. Е. On Reid's characterization of the ternary matroids / R. E. Bix-by // J. Combin. Theory Ser. B. 1979. - Vol. 26. - Pp. 174-204.

6. Borovik, A. V. WP-matroids and thin Schubert cells on Tits systems / A. V. Borovik, I. M. Gelfand // Adv. Math. 1994. - Vol. 103. - Pp. 162179.

7. Borovik, A. V. Flag Matroids / A. V. Borovik, I. M. Gelfand, N. White. -Manchester Centre for Pure Mathematics, Preprint, 1997.— Vol. 17.— 24 pp.

8. Curtis, C. W. A further refinement of the Bruhat decomposition / C. W. Curtis j j Proc. Amer. Math. Soc. 1988. - Vol. 102. - Pp. 37-42.

9. Deodhar, V. On some geometric aspects of Bruhat orderings. I. a finerdecomposition of Bruhat cells / V. Deodhar j j Invent Math. — 1985. — Vol. 79.-Pp. 499-511.

10. Fomin, S. Double Bruhat cells and total positivity / S. Fomin, A. Zelevin-sky // J. Amer. Math. Soc. 1999. - Vol. 12, no. 2.- Pp. 335-380.

11. Geelen, J. F. The excluded minors for GF(4)-representable matroids / J. F. Geelen, A. M. H. Gerards, A. Kapoor // J. Combin. Theory Ser. B. 2000. - Vol. 79. - Pp. 247-299.

12. Gelfand, I. M. Combinatorial geometries and torus strata on homogeneous compact manifolds / I. M. Gelfand, V. V. Serganova // Russian Math. Surveys. 1987. - Vol. 42. - Pp. 133-168.

13. Kung, J. P. S. Bimatroids and invariants / J. P. S. Kung j j Adv. Math. — 1978. Vol. 30. - Pp. 238-249.

14. Lusztig, G. Coxeter orbits and eigenspaces of Frobenius / G. Lusztig // Invent. Math. 1976. - Vol. 38. - Pp. 101-159.

15. Хамфри, Д. Линейные Алгебраические Группы / Д. Хамфри.— М. Наука, 1980.

16. Oxley, J. G. Matroid Theory / J. G. Oxley. — Oxford: Oxford University Press, 1992.

17. Oxley, J. G. What is a Matroid? / J. G. Oxley. — Department of Mathematics, Louisiana State University, Preprint, 2004.

18. Putcha, M. Fine Bruhat Decomposition of a Reductive Group /M. Putcha. — Department of Mathematics, North Carolina State University, Preprint, 2000.

19. Schrijver, L. Linking systems, matroids and bipartite graphs // Proceedings of Fifth British Combinatorial Conference (Univ. Aberdeen, Aberdeen, 1975).— Vol. 15 of Congressus Numerantiurn. — Winnipeg, Man: Utilitas Math., 1976.-Pp. 541-544.

20. Seymour, P. D. Matroid representation over GF3 / P. D. Seymour / / J. Combin. Theory Ser. B. 1979. - Vol. 26. - Pp. 159-173.

21. Theory of Matroids / Ed. by N. White. — Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

22. Tutte, W. T. A homotopy theorem for matroids: I, II / W. T. Tutte // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. - Vol. 88. - Pp. 144-174.

23. Vamos, P. The missing axiom of matroid theory is lost forever / P. Va-mos // J. London Math. Soc. (2). 1978. - Vol. 18.- Pp. 403-408.Публикации по теме диссертации

24. Митрофанов, M. Ю. Пересечение двух клеток Брюа / Н. А. Вавилов, М. Ю. Митрофанов // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 1. - С. 1-4.

25. Митрофанов, М. Ю. Роль матроидов в описании мелких клеток Брюа / М. Ю. Митрофанов // Записки Научных Семинаров ПОМИ. — 2004. — Т. 319, № 10.-С. 244-260.