Размерный анализ сборок с пространственными допусками при автоматизированном проектировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.08, кандидат технических наук Калашников, Александр Сергеевич

• Калашников, Александр Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Калашников, Александр Сергеевич

Введение.

1. Обзор современного состояния существующих стандартов и программных средств, обеспечивающих размерный анализ сборок с учетом пространственных отклонений.

1.1. Существующие стандарты задания допусков.

1.2. Существующие методы размерного анализа.

1.2.1. Чертежи одномерных размерных цепей.

1.2.2.Параметрический подход к размерному анализу.

1.2.2.1. Линеаризованный анализ допусков.

1.2.2.2. Нелинеаризованный анализ допусков.

1.2.3. Размерный анализ, основанный на кинематическом (векторном) контуре.

1.2.4. Размерный анализ, основанный на зоне отклонений.

1.3. Анализ систем CAD - больших и средних на возможность проведения размерного анализа.

1.3.1. САПР общего назначения.

1.3.1.1. Задание допусков в системе Unigraphix NX4.

1.3.1.2. Задание допусков в системах Pro/Engineer и Catia V5.

1.3.1.3. Задание допусков в системе Visual VSA.

1.3.2. Специализированные системы размерного анализа.30>

1.3.2.1. Система размерного анализа РЦ v3.1.

1.3.2.2. Система размерного анализа MITCalcTolAnalysis.

1.3.2.3. Система размерного анализа VarTran v3.2.

1.4. Цели и задачи исследования.

2. Проектирование архитектуры системы.

2.1. Общие требования к проектированию.3$

2.2. Функциональный состав системы.

2.3. Проектирование интерфейса.

Выводы.

3. Математическая теория квадратичных форм, реперов поверхностей и карт.

3.1. Математическая теория квадратичных форм.

3.1.1. Первая квадратичная форма поверхности.

3.1.2. Вторая квадратичная форма поверхности.

3.1.3. Деривационные формулы поверхности.

3.1.4. Алгоритм расчета точек поверхности.

3.1.5. Непрерывность расчёта.

3. 2. Отмеченный репер как локальная система координат.

3. 3. Математическая теория карт поверхностей.

Выводы.

4. Проектирование структуры системы.

4.1. Выбор первичного ядра.

4.2. Проектирование функций отображения элементов геометрии.

4.3 Проектирование функциональности представления сборки.

Выводы.

5. Программная реализация системы - вторичное ядро.

5.1. Диаграмма классов.

5.2. Представление квадратичных форм в приложении.

5.3. Представление, способы задания и определения реперов поверхностей и тел.

5.4. Представление поверхности, заданной квадратичными формами

5.4.1. Алгоритм получения точек поверхности, заданной квадратичными формами.

5.4.2. Оптимизация представления поверхности заданной квадратичными формами.

5.4.2.1. Расчетная и опорная сетки поверхности.

5.4.2.2. Ограничения, накладываемые на сегмент поверхности.

5.4.2.3. Алгоритм нахождения ближайшей точки поверхности к заданной.

5.5. Представление карт поверхностей, заданных посредством квадратичных форм.

5.5.1. Пересечение поверхностей при переопределении границ карты.

5.5.1.1. Нахождение общей точки поверхности.

5.5.2. Модуль формирования контура.

5.5.2.1 Алгоритм проверки нормалей.

5.5.2.2. Метод натуральной параметризации и определение действительных точек поверхности.

5.5.2.3. Формирование составных контуров.

5.5.3. Алгоритм определения принадлежности точки действительной области карты поверхности.

5.6. Представление информации при проведении размерного анализа

5.7. Реализация функций размерного анализа.

5.7.1. Представление конфигурационного пространства сборки.

5.7.2. Имитация и измерение допустимых отклонений.

5.7.3. Пересечение поверхностей при определении зазора/натяга посадок

5.7.4. Алгоритм анализа собираемости.

5.8. Проблемы анализа собираемости изделия.

5.9. Демонстрационная сессия.

5.9.1. Пример расчета параметров сборки эталонной модели системы

5.9.2. Пример расчета сборки домкрата гидравлического.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Размерный анализ сборок с пространственными допусками при автоматизированном проектировании»

В машиностроении широко используется электронное макетирование изделий. Для этого применяются различные системы автоматизированного проектирования. На данном этапе существует множество стандартов описания геометрии деталей, начиная от задания каркасного представления и поверхностного моделирования и заканчивая данный ряд твердотельным моде-лированим с указанием свойств материала, нагрузок и других характеристик для проведения инженерного анализа и расчета определенной группы свойств готового изделия.

Тем не менее, проблема описания реальной геометрии изделия является фундаментальной в CAD проектировании и служит причиной проблем возникают при создании электронных макетов. Под реальной геометрией понимается не номинальная 3-х мерная геометрия компонентов макета, пусть даже и с обозначенными на модели допусками, а адекватная математическая модель, способная поддерживать допуски как неотъемлемую часть геометрии компонента.

Отсутствие общепринятой методологии моделирования сборок, а следовательно, и цифровых макетов объясняется отсутствием средств передачи размерных связей на уровне сопряженных элементов деталей сборок. Из-за этого естественный процесс нисходящего проектирования может осуществляться только по спецификациям (структурной иерархии изделия) и не учитывать реальную геометрию компонентов в масштабе изделия. Не существует общей методологии создания электронного макета больших сборок, управление большими сборками на уровне геометрии практически невозможно [12]. Как следствие, возникают проблемы сборки узлов изделия при изготовлении, выполняются подгоночные работы, снижающие качество узлов и изменяющие их свойства [7]. В совокупности это приводит к увеличению издержек производства и изменению качества изделия в целом.

В данной работе рассмотрены алгоритмы анализа собираемости изделия с учетом допусков в существующих системах автоматизированного проектирования. Как показали исследования данных алгоритмов, проблема размерного анализа заключается в недостаточном математическом аппарате при представлении геометрической модели изделия, применяемом в существующих САПР.

Автор разработал алгоритмы представления геометрии изделия с допусками, основанные на дифференциально-геометрическом подходе, в частности, с применением квадратичных форм. Данный подход позволяет проводить анализ собираемости изделий машиностроения с учетом пространственных отклонений размеров на этапе их проектирования [13, 21, 22, 24, 25, 26, 40].

Заключение диссертации по теме «Технология машиностроения», Калашников, Александр Сергеевич

Выводы

1. Разработаны алгоритмы и структуры представления поверхностей посредством их квадратичных форм.

2.Исследован процесс задания допустимых отклонений и сборочной информации для обеспечения алгоритмов размерного анализа сборки.

3.Разработан алгоритм размерного анализа сборки, геометрия в которой представлена поверхностями заданными квадратичными формами.

4.Разработанные алгоритмы и структуры представления реализованы в виде отдельного программного обеспечения, позволяющего рассчитать точностные параметры собираемого изделия на этапе проектирования, и обладающего возможностью импорта геометрических данных из других систем, используя файлы широко распространенного стандарта STEP.

5.В ходе реализации системы оптимизированы алгоритмы и методы реализации ПО, что позволило:

- уменьшить вычислительную нагрузку ЭВМ при представлении и анализе конфигурационного пространства сборки;

- обеспечить расширяемость системы при увеличении разнообразия обрабатываемых аналитически задаваемых поверхностей;

- обеспечить расширяемость системы при увеличении разнообразия пространственных допусков;

- создать структуру системы, позволяющую использовать как сторонний ,так и собственный модуль моделирования при минимальных затратах на её реструктуризацию.

6. Предполагаемый экономический эффект при использовании системы «ГеПАРД» в условиях ЗАО «Энерпред» составляет около 150 ООО рублей в год.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Калашников, Александр Сергеевич, 2008 год

1. ГОСТ 24642-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения. М.: Изд-во стандартов, 1981. - 32 с.

2. ASME. Dimensioning and tolerancing, ASME Y14.5M-1994. New York: The American Society of Mechanical Engineers, 1994.

3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 672 е.: ил.

4. Алексеев П.И., Герасимов А.Г. и др. Гибкие производственные системы сборки. JI.Машиностроение, 1989.

5. Базров Б.М. Расчет точности машин на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1984. -352 с.

6. Балакшин Б.С. Основы технологии машиностроения. М.: Машиностроение, 1969.

7. Беликов В.Н. Никитин А.Н. Сборка авиационных двигателей. Изд. 2-е, пе-рераб. и доп. М.: Машиностроение, 1971.

8. Борисов В.И. общая методология конструирования машин. М.: Машиностроение, 1978 г.

9. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. М.: Наука, 1973.-320 с.

10. Бурков В.Н., Горгидзе И.А., Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории графов. Тбилиси: Мецниереба, 1974. - 234 с.

11. Гаер М.А. Операции над кватернионами. Иркутск: Издательство Иркут. гос. ун-та, 1995. - 11 с. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 07.03.96, № 762-В96.

12. Гаер М.А. Действия с кватернионами //Дифференциальная геометрия обобщённых пространств с фундаментальной группой: Сб. науч. тр. Иркутск: Иркутский гос. ун-т, 1998.- С. 72-81.

13. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. - № 4.- С.177.

14. Гаер М.А. Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов: Дис. канд. тех. наук.- Иркутск, 2005.

15. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции Винеровские чтения, Иркутск, 2004 г. С. 62-64.

16. Гаер М.А., Яценко О.В. Современные концепции моделей и анализа сборок при автоматизированном проектировании // Материалы региональной научно-практической конференции Винеровские чтения.-Иркутск, 2004. С. 57-62.

17. Гаер М.А., Калашников A.C., Шабалин A.B. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции Винеровские чтения, Иркутск, 2005. С. 56-59.

18. Гаер.М.А. Журавлев Д.А. Параметризация кривых для проектирования произвольных поверхностей квадратичными формами //Вестник ИрГТУ -2006.

19. Герасимов А.Г. Точность сборочных автоматов. М.: Машиностроение, 1967.

20. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию), Учеб. пособие. М.: Наука , 1977.

21. Дитрих Я. Проектирование и конструирование. Системный подход.,- М.: «Мир». 1981.

22. Мягков В.Д., Палей М.А., Романов А.Б., Брагинский В.А. Допуски и посадки: Справочник. В 2-х ч. /- 6-е изд., перераб. и доп. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1982. - 4.1. 543 е.: ил.

23. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Расчет допусков размеров.-2-изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. -240с.: ил.

24. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков.// Вестник ИрГТУ, №12, 2002. с. 82-92.

25. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. 2005. - № 1. С. 116-125.

26. Журавлёв Д.А., Калашников A.C., Гаер М.А. «Анализ собираемости изделия при моделировании деталей посредством квадратичных форм» // Вестник ИрГТУ. 2007. - № 2.Т1. - С.99-102

27. Журавлёв Д.А., Калашников A.C., Гаер М.А. «Геометрическое моделирование деталей и сборок с пространственными допусками в САПР нового поколения» //Вестник ИрГТУ.- 2006. №4. - С.131-136.

28. Журавлев Д.А., Яценко О.В. Интервальный анализ собираемости деталей.// Повышение эксплуатационных свойств деталей машин технологическими методами: Сборник научных трудов. Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2000. - с.60-68.

29. Калашников A.C., Пространственный размерный анализ собираемости изделий машиностроения. // // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения» ИрГТУ. — 2007. С.45-52.

30. Калашников A.C., Создание ядра САПР на основе дифференциально-геометрического подхода. // Вестник ИрГТУ. — 2006. № 3. С. 179.

31. Калашников A.C. Никитин A.B. «Машинное задание этапов сборки с учетом допусков» Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения» 2005, С.75-78.

32. Красов A.B., Теория информационных процессов и систем. Лекция №7. Алгоритмы топологического анализа систем.

33. Кузьмин В.В. Шурыгин Ю.Л. Выбор оптимальных параметров точности линейных и угловых размеров деталей по критерию точности технологической себестоимости их изготовления. // Автоматизация и современные технологии . -1994 , №5, с. 16-22

34. Кузьмин В.В., Шурыгин Ю.Л. Автоматизированное выявление сборочных размерных цепей.// Автоматизация и современные технологии. -1995, №3, с. 18-24

35. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 302 с.

36. Ляндон Ю.Н. Основы взаимозаменяемости в машиностроении. Машгиз, 1951.- 142 с.-.ил.

37. Ляндон Ю.Н. Функциональная взаимозаменяемость в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1967. 218 е.: ил.

38. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

39. Маракулин И.В., Бунец А.П., Коринюк В.Г. Краткий справочник технолога тяжёлого машиностроения / М.: Машиностроение, 1987. - 464 е., ил.

40. Матвеев В.В., Тверской М.М., Бойков Ф.И. и др. /Размерный анализ технологических процессов / М.: Машиностроение, 1982. - 264 с.

41. Монаков Ю.А. Обеспечение точности сборки гироскопических приборов: учеб. пособие. / ЧПУ: 1981. 44 с.

42. Мехатроника: Пер. с япон./ Исии Т., Симояма И., Иноуэ X. и др. М.: Мир, 1988. - 318 е., ил.

43. Михайлюк М.В. Компьютерная графика в системах визуализации имитационно-тренажерных комплексов. http://www.imvs.ru/imvs/libel/05/rnichailyuk\04.pdf

44. Одинцов A.A. Теория и расчёт гироскопических приборов. К.: Вища школа, 1985.-386 с.

45. Осипчук A.A., A.C. Калашников «Электронная документация при разработке новых САПР» Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения» 2007.- С.73-77.

46. Палей М.А., Романов А.Б., Брагинский В.А, Допуски и посадки, справочник. Л.: Политехника. 1991 г.

47. Петров A.B., Черненький В.М., Тимофеев В.Б. Разработка САПР. Лабораторный практикум на базе учебно-исследовательской САПР. М., «Высшая школа». 1991 г.

48. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота манипулятора, пер. с англ. - М.: Изд-во Наука, 1976. - 104 с.

49. Пухов A.C. Информационно-поисковые системы при автоматизированной подготовке оснастки. М., Машиностроение, 1978. 133 с. с ил.

50. Русское web-кольцо САПР. Техническая документация по САПР. http ://www.sapr.ru

51. Соломенцев Ю.М., Митрофанов В.Г., И.М.Колесов и др. Проектирование технологии. М., «Машиностроение» 1990 г.

52. Соломенцев Ю.М., Митрофанов В.Г., И.М.Колесов и др. Диалоговые САПР технологических процессов. М., «Машиностроение» 2000 г.

53. Сандалски Б.П., Стоев A.C. Решение пространственной задачи размерно-точностного анализа сборочных единиц. // Вестник машиностроения. 1992, №4, с. 39-42.

54. Уразаев З.Ф., Фадееф A.M. Обработка сложных деталей приборов. М., Машиностроение, 1966.

55. Ханзен .Ф. Основы общей методики конструирования. Ленинград, машиностроение, 1969 г.

56. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 622 с.

57. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. -624с., ил.

58. Якушев А.И. Основы взаимозаменяемости и технические измерения. М., «Машиностроение» 1968 г.

59. S. Abrams, W. Cho, C.-Y. Hu, T. Maekawa, N. Patrikalakis,E. Sherbrooke, and X. Ye. Efficient and reliable methods for rounded-interval arithmetic. Computer-Aided Design, 30:657-665, 1998.

60. Bernstien N, Priess K. Representation of tolerance information in solid models. ASME Design Conference, Montreal, Canada, 1989.

61. Bjorke O. Computer-Aided Tolerancing ASME Press, New York, 1989. 250 p.

62. Bourdet P., Ballot E., «Geometrical behaviour laws for computer-aided toleranc-ing». Proceedings of 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, University of Tokyo April 1995. P.21.

63. Bourdet, L.Mathieu, C. Lartigue, A.Ballu The concept of small displacement torsor in metrology. Proceedings of International Euroconference, Advanced Mathematical Tools in Metrology, Lady Margaret Hall, Oxford, UK, 27-30 September 1995.

64. Burr,A.,Currin,B., Gabriel,S., Hughes, J., Smooth interpolation of Orientations with Angular Velocity Constraints using Quaternions, Computer Graphics (Proc. Of SIGGRAPH*92),vol.26, No.2, 1992. pp. 313-320.

65. Catia V5R, Справочная информация САПР CATIA V5R, http://www.catia.ru.

66. Case К., Wan Harun W.A. A representation of assembly and process planning knowledge for feature -based design. Advances in Manufaturing Technology XI, Glasgow Caledonian University, 1997. pp.73-78.

67. Chase K.W., Gao J., Magleby S.P., Sorensen C.D., Including geometric feature variations in tolerance analysis of mechanical assembly HE Transactions, v 28, 1996.-pp. 795-807.

68. Chase K. W., Gao J. and Magleby S. P. Tolerance Analysis of 2-D and 3-D Mechanical Assemblies with Small Kinematic Adjustments. Advanced Tolerancing Techniques, John Wiley 1997.

69. Chase K.W., Magleby S.P.A comprehensive system for computer-aided tolerance analysis of 2-D and 3-D mechanical assemblies. Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April 1997.

70. Choi, B.K. Geometric Modeling for CAD/CAM, Elsevier Science Publishing, New York, NY, 1991.

71. CleAment A, Desroches A, RivieAre A. Theory and practice of 3D tolerancing for assembly. Proceedings of Second CIRP Seminar on Computer-Aided Tolerancing, Penn State University, 1991.

72. Davidson J. K., Shah J. J., Mathematical model to formalize tolerance specifications and enable full 3D tolerance analysis, NSF Design, Service and Manufacturing Grantees and Research Conference/SMU Dallas, Texas, 2004.

73. Dooley, J.R., McCarthy J.M. Spatial rigid body dynamics using dual quaternion components, IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation,vol.l, 1991.

74. Eck, M. and Jaspert, R. Automatic fairing of point sets, in Designing Fair Curves and Surfaces, N.S. Sapidis (ed), 1994. pp. 45-60.

75. Ermes P. Constraints in CAD models for reverse engineering using photogram-metry, International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol XXXIII, Amsterdam 2000.

76. Etesami F. Tolerance verification through manufactured part modelling. Jornal of Manufacturing System, 1988, 7(3), pp.223-232.

77. Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide, 2nd edn. Academic Press, New York, NY, 1990.

78. Farmer L.E., Gladman C.A. Tolerance technology Computer-based analysis/ Annals of the CIRP, Vol.35, No. 1, 1986. - pp. 7 - 10.

79. Funda, J., Taylor, R.H., Paul, R.P. On homogeneous transforms, quaternions and computational efficiency, in IEEE Trans. Autom. And Robotics, Vol.6, 1990. -pp.3 82-3 88.

80. Gao J., Case K., Gindy N. Geometric elements for tolerance definition in feature-based product models. Published in Advances in manufacturing Technology VIII(editors K.Case and S.T.Newman), Taylor \&Francis, London, 1994. pp. 264-268.

81. Gao J, Chase K, Magleby S Generalized 3D tolerance analysis of mechanical assemblies with small kinematic adjustments. IIE Transactions 30:367-377, 1998.

82. Giordano M., Duret D. Clearance Space and deviation space. Application to three dimansional shain of dimensions and positions. 3rd CIRP Seminar of Robotics Research, Vol.2, No.4, pp.46-50.

83. Gossard, D. C., Zuffante, R. P. and Sakurai, H. Representing dimensions,tolerances, and features in MCAE systems, . (2):51-59. IEEE Comp. Gr. and Appl, 1988.

84. Guilford J, Turner J. Representational primitives for geometric tolerancing. Computer-Aided Design; 25(9):577-586, 1993

85. Guilford J.D., Turner J.U., Tolerance representation and analysis in solid models, Submitted in proc. of fourth IFIP 5.2 Workshop on geometric modeling in CAD, 1993.

86. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853.

87. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3):161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

88. Hennessey M.P., Shakiban C., Shvartsman M.M. Characterizing Slop in Mechanical Assemblies Via Differential Geometry, 2002.

89. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3):161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

90. Hsieh C. C., Fang Y. C., Wang M. E., Wang C. K., Kim M. J., Shin S.Y. and Woo T. C. Noise smoothing for VR equipment in quaternions HE Transactions 30, 1998.-pp. 581-587

91. Hsu W., Lee C.S.G. Fuzzy application in tolerance design IEEE World Congress on Computational Intelligence., Proceedings of the Third IEEE Conference on Fuzzy Systems, 1994, vol.2, pp. 1182-1186.

92. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval solidmodeling: part I, representations. Computer-Aided Design, 28:807-817, 1996.

93. Hu C.-Y., Patrikalakis N., Robust interval solid modeling: part II, boundary evaluation. Computer-Aided Design, 28:819-830, 1996.

94. Hu C.-Y., Patrikalakis N., Robust interval algorithm for surface intersections. Computer-Aided Design, 29:617-627, 1997.

95. International Organization for Standardization.ISO 1101 geometrical tolerancing : tolerancing of form, orientation,location and run-out generalities, definitions, symbols,indications on drawings, 1983.

96. Jin, X., Bao, H. and Peng, Q. Angular velocity interpolation using quaternion, inth

97. Proceedings of the 4 International Conference on Computer-Aided Drafting, Design and Manufacturing Technology, Vol. 1, pp. 25-30, 1994.

98. Johnstone, J.K. and Williams, J.P. Rational control of orientation for animation, in Proceedings of Graphics Interface'95, 1995. pp. 179-186.

99. Juster N.P. Modeling and representation of dimensions and tolerances: A survey. CAD. 1992,24(1):3-17.

100. Kandikjian, T., Shah, J., A Computational Model for Geometric Dimensions and Tolerances Consistent with Engineering Practiceq, Proceedings of DETC98: 1998 ASME design Engineering Technical Conference September 13-16, Atlanta, GA.1998. pp.25-54.

101. Kethara Pasupathy T. M., Morse E. P., Wilhelm R.G. A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones, 2003.

102. Kim M.J., Kim M.S., Shin S.Y. A Compact Differential Formula for the First Derivative of a Unit Quaternion Curve To appear in Jornal of Visualization and Computer Animation.

103. Kim M.J., Kim M.S. and Shin S.Y. A C2-continuous B-spline quaternion curve interpolating a given sequence of solid orientations, in Proceedings Computer Animation '95, 1995, pp. 72-81.

104. Kim M.J., Kim, M.S. and Shin, S.Y. A General construction scheme for unit quaternion curves with simple high order derivatives. Proceedings of SIG-GRAPG'95, pp.369-376.

105. Kim M.S., Nam K.W. Interpolating Solid Orientations with Circular Blending Quaternion Curves Computer-Aided Design, Vol.27,No.5, 1995. pp.385-398.

106. Kramer GA. Solving geometric constraint system: a case study in kinematics. Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

107. Lake, R. and Green, M. Dynamic motion control of an articulated figure using quaternion curves, in Proceedings of the Second International Conference on Computer-Aided Design and Computer Graphics, 1991. pp. 37-44.

108. Lee, J. and Shin, S.Y. Motion fairing, in Proceedings of Computer Animation, 1996.

109. Light, R. A., and Gossard, D. C. Modification of geometric models through variational geometry, Computer-Aided Design, 14(4):209-214, 1982.

110. Liu S, Dong Z. A solid boundary based tolerance representation model. In: Proceedings of ASME 18th Design Automation Conference,Scottsdale, AZ, USA, 2;1992:141-149.

111. Liu Y.S., Gao S.M. An Approach for Generating Variational Geometry of A Pattern ofHoles with Composite Positional Tolerances, Proceedings of DETC'02, ASME, 2002.

112. Mantripragada R, Whitney DE The datum flow chain: A systematic approach to assembly design and modeling. Research in Engineering Design 10:150-165, 1998.

113. Martinsen, K. Vectorial tolerancing for all types of surfaces, Proc. of 19th ASME Design Automation Conf., Albuquerque, Vol. 2, ASME Press. 70, 1993.

114. Mathieu L., Ballu A. Univocal Expression of Functional and Geometrical Tolerances for Design, Manufacturing and Inspection 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Tokyo, Japan, April 5-6, 1995. pp.32-43.

115. Mathieu L., Ballu A. Virtual gage with internal mobilities for the verification of functional specifications Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer

116. Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April, 1997. -pp. 10-23.

117. Moroni G., Polini W. Tolerance-based Variations in Solid Modeling, 2003.

118. Mujezinovic, A., Davidson, J.K., and Shah, J. J. A New Mathematical Model for Geometric Tolerances as Applied to Polygonal Faces, in press for ASME Transactions, J. of Mechanical Design, Vol. 125, 2003.

119. Mudur S.P., Kopakar P.A. Interval methods for processing geometric objects. IEEE Computer Graphics and Application, 4(2):7-17, February 1984.

120. Nelson Donald.D., Cohen E. User interaction with CAD models with non-holonomic parametric surface constraints, in IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 1999.

121. Nielson, G.M. and Heiland, R.W. Animated rotations using quaternions and splines on a 4D sphere. Programming and Computer Software, 18, 1992. pp. 145-154.

122. Omelyan,I., On the numerical integration of motion for rigid polyatomics: The modified quaternion approach, Computers in Physics, Feb. 1998. pp. 28-33.

123. OPEN CASCADE User's guide, OPEN CASCADE S.A., France.

124. Pletickx,D., Quaternion Calculus as a Basic Tool in ComputerGraphics, The Visual Computer,Vol.5,No. 1, 1989. -pp.2-13.

125. Pro/Engeneer. Описание возможностей САПР Pro/Engeneer. http://www.ptc.com

126. H. Pottmann а, В. Odehnal a, M. Peternell a, J. Wallner a, R. Ait Haddou On Optimal Tolerancing in Computer-Aided Design.

127. Requicha A.A.G. Toward A Theory of Geometric Tolerancing. Int. J of Robotics Res. 2(4), 1983. pp. 45-60.

128. Requicha A.A.G. Solid Modeling: Current Status and Research Directions. IEEE CG\&A. 1983,(10) :25-37.

129. Requicha A.A.G. Representation of Geometric Features, Tolerances and Attributes in Solid Modelers Based on Constructive Solid Geometry-IEEE J. of Robotics and Automation, RA-2 no 3, 1986. pp. 156-66, Sept.

130. Requicha A.A.G., Rossignac J.R. Solid Modeling and Beyond. IEEE CG\&A. 1992,(9):31-44.

131. Requicha A.A. Mathematical definitions of tolerance specifications. Manufacturing Review, 6(4): 269-274, December 1993.

132. Requicha A.A.G, Whalen T.W. Representations for Assembly. Assembly Planning by ed. Humem A.F. de Mello, Addison-Wesley Publishers, 1994.

133. Requicha, A. A. G., and Chan, S. C. Representation of geometric features, tolerances, and attributes in solid modelers based on constructive geometry,IEEE J. of Robotics and Automation, RA 2(3): 156-166, 1986.

134. Rivest L., Clement F., Morel C. Tolerancing a solid model with a kinematic formulation. Computer-Aided Design 1994;26(6):465-75.

135. Robison R. H., A Practical Method for Three-Dimensional Tolerance Analysis sing a Solid Modeler, M.S. Thesis, Mechanical Engineering Department, Brig-ham Young University, 1989.

136. Rossignac J., Requicha A.A.G. Offsetting operations in solid modelling. Computer Aided Geometric Design, 1986,3, pp. 129-148.

137. Rossignac J., Requicha A.A.G. Solid modeling, Webster.

138. Roy U, Liu C.R. Feature-based representational scheme of a solid model for providing dimensioning and tolerancing information. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 1988;14(3/4):335-45.

139. Roy U., Li B. Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects I. Form tolerances Computer-Aided Design Vol.30, 1998. -pp.151-161.

140. Roy U., Li В. Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects.II Size, orientation and position tolerances Computer-Aided Design Vol.31, 1999.- pp.273-285.

141. Salomons O., Jonge Poernik H., Slooten F., Houten F., Kais H. A tolerancing tool based on kinematic analogies. Proceedings of Fourth CIRP Design Seminar, 1995.-pp. 47-70.

142. T-Flex, Программа для обучения и справочно-обучающая информация. http://www.t-flex.ru

143. Sederberg Т. and Farouki R. Approximation by interval Baezier curves. IEEE Computer Graphics, 12:87-95, 1992.

144. Shah J., Miller D. A structure for supporting geometric tolerances in product definition systems for CIM. Manufacturing Review 1990;3(1):23-31.

145. Shah J., Zhang B-C. Attributed graph model for geometric tolerancing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Phoenix, 1992. pp. 125-136

146. Shah J., Yan Y. Representation and mapping of geometric dimensions from design to manufacturing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Minneapolis, 1996. pp. 68-75.

147. Shah J., Yan Y., Zhang B-C. Dimension and tolerance modeling and transformations in feature based design and manufacturing. Journal of Integrated Manufacturing 1997;9(5):475-88.

148. Shapiro V., Solid Modeling, Tech.Rep. SAL 2001-2 To be published in Handbook of Computer Aided Geometric Design G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim, eds. Elsevier Science Publishers, 2001.

149. Shen G. and Patrikalakis N. Numerical and geometric properties of interval B-splines. Int. J. Shape Modeling, 4:31-62, 1998.

150. Shoemake, D., Animating rotation with quaternion curves, in Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH, pp.245-254, July 1985.

151. Soderberg R., Johannesson H. Spatial Incompatibility Part Integration and Tolerance Allocation in Configuration Design. ASME Paper DETC98/DTM-5643, ASME DETC'98, Atlanta, GA. 1998.

152. Sodhi, R. and Turner, J.U., Relative positioning of variational part models for design analysis. Computer Aided Design, 1994, 26(5), pp. 366-378.

153. Srikanth K.; Liou F. W.; Balakrishnan S. N. Integrated approach for assembly tolerance analysis, International Journal of Production Research, 10 May 2001, vol. 39, no. 7, pp.1517-1535(19).

154. Srinivasan V., Jayaraman R. 1989, Geometric Tolerancing : I, Virtual Boundary Requirements, IBM Journal of Research and Development, 33(2):90-104.

155. Srinivasan V. and Jayaraman R., 1989, Geometric Tolerancing : II, Conditional Tolerances, IBM Journal of Research and Development, 33(2):105{125}

156. Teissandier D., Couetard Y., Gerard A. A computer aided tolerancing model: proportioned assembly clearance volume. Proceedings of the fifth CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, 1997, pp.113-124.

157. Trabelsi A., Delchambre A. Assessment on Tolerance Representation and Tolerance Analysis in Assemblies, Concurrent Engineering , 1 December 2000, vol. 8, no. 4, pp. 244-262(19).

158. Turner, J., and M. Wozny, Tolerances in Computer-Aided Geometric Design, The Visual Computer, no. 3, pp.214-226, 1987.

159. Turner J.U., Wozny M.J., A mathematical theory of tolerances, in: Geometric Modelling for CAD Applications, eds. Wozny M.J., McLaughlin J.L., Elsevier Science Publishers, IFIP, 1988. pp. 163-187.

160. Turner J. Exploiting solid models for tolerance computations. In:Wozny M, Turner J, Preiss K, editors. Geometric modeling for product engineering, North Holland, 1990. p. 237-57.

161. Turner, J. U., Wozny, M. J., The M-space theory of tolerances. In Proceedings of the ASME 16th Design Automation Conference, 1990, Vol. 1, pp. 217-225, Chicago, IL, USA, 17-19 September.

162. Turner, J.U. Relative Positioning of Parts in Assemblies Using Mathematical Programming, Computer-Aided Design, v 22 n 7, pp. 394-400.

163. Turner, J. U., Gupta, S. Variational solid modeling for tolerance analysis. In Proceedings of the 1991 ASME International Computers in Engineering Conference, Vol. 1, pp. 487-494, Santa Clara, CA, USA, August 18-22, 1991.

164. Turner J.U. A feasibility space approach for automated tolerancing, ASME Journal of Engineering for Industry, Vol. 115, 1993. pp. 341-345.

165. Wallner J., Krasauskas R. and Pottmann H. Error propagation in geometric constructions. Computer-Aided Design, to appear, 2000.

166. Wang, W. and Joe B. (1993) Orientation interpolation in quaternion space using spherical biarcs, in Proceedings Graphics Interface '93, pp. 24-32.

167. Wang N. Automatic generation of Tolerance chains from mating relations represented in assembly Models. Proc ASME Advances in Design Automation Conf (l):227-233, Chicago 1990.

168. Whitney D.E. The potential for assembly modeling in product development and manufacturing Proceedings of IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning, Pittsburg, Aug. 10, 1995.- pp. 56-103.

169. Whitney D.E., Gilbert .0., Jastrzebski M. Representation of Geometric Variations Using Matrix Transforms for Statistical Tolerance Analysis in Assemblies, Research in Engineering Design, 1994 (6): 191-210.

170. Whitney D. E., Mantripragada R., Adams J. D., Rhee S. J. Designing Assemblies Research in Engineering Design, 1999(11):229-253.

171. Whitney, D.E. Gilbert, O.L. Representation of geometric variations using matrix transforms for statistical tolerance analysis in assemblies Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol.2, 1993.- pp. 314-321.

172. Daniel E. Whitney, Assembly-oriented design, Sloan-Eng Product Development Course Book, MIT, 2002.

173. Weber C., Britten W., Thome O. Feature Based Computer Aided Tolerancing -Step Towards Simultaneous Engineering-Report 98ME005 of Chair of Engineering Design/CAD, University of the Saarland , 10p., 1998.

174. Weber C., Britten W., Thome O. Conversion of geometrical tolerances into vectorial tolerance representations a major step towards computer aided toler-ancing -International Design Conference - DESIGN "98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.101-113.

175. Weber C., Britten W., Thome O. Improving Computer Aided Tolerancing by using feature Technology-International Design Conference DESIGN '98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.28-34.

176. Wilhelm R.G. and Lu S. C-Y., Tolerance Synthesis to Support Concurrent Engineering, Annals of CIRP, 41/1:197-200, 1992.

177. Wirtz A. Vectorial tolerancing for quality control and functional analysis in design. In CIRP International Working Seminar on Computer-Aided Tolerancing, PennState University, May 1991. pp.47-58.

178. Wirtz A. Vectorial tolerancing a basic element for quality control, Proc. 3rd CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, Cachan (France), April 1993. -pp. 115-128.

179. Wu Y., Shah Jami J., Davidson Joseph K. Computer Modeling of Geometric Variations in Mechanical Parts and Assemblies, 2003.

180. Yan Y. Dimensions and tolerances mapping. MS thesis, Arizona State University, 1995.

181. Generalization and evaluation of vectorial tolerances. Int. J. of Production Res. 35(6):1763-1783.