Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.08, кандидат технических наук Гаер, Максим Александрович

• Гаер, Максим Александрович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гаер, Максим Александрович

Введение

1 Обзор современного состояния математических методов комплексного представления пространственных допусков сборки

1.1 Математические методы представления пространственных допусков

1.2 Методы представления пространственных отклонений ориентированные на проектирование и анализ сборок.

1.3 Цели и задачи исследования

2 Теоретические основы моделирования пространственных

1 допусков с использованием кватернионов

2.1 Основные сведения о кватернионах

2.1.1 Кватернионы и области их приложения.

2.1.2 Понятие кватерниона

2.1.3 Действия над кватернионами и их свойства.

2.2 Пространственная геометрическая характеристика допусков

2.2.1 Основные понятия и определения

2.2.2 Отклонение от параллельности плоскостей.

2.2.3 Отклонение от плоскостности.

2.2.4 Суммарное отклонение от параллельности и плоскостности

2.2.5 Отклонение от перпендикулярности плоскостей

2.2.6 Суммарное отклонение от перпендикулярности и плоскостности.

2.2.7 Отклонение от наклона плоскости.

2.2.8 Отклонение от перпендикулярности оси относительно плоскости.

2.2.9 Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности.

2.2.10 Отклонение от соосности относительно общей оси

2.2.11 Отклонение от соосности относительно оси базовой поверхности.

2.2.12 Позиционное отклонение оси отверстия.

2.2.13 Допуск на диаметр цилиндра.

2.3 Использование кватернионов для расчёта реального положения поверхности при некотором значении допуска

Выводы.

3 Топологическое и структурное представление сборок и их анализ с учётом допусков

3.1 Топологические характеристики деталей и сборок.

3.1.1 Топологическая классификация деталей. г 3.1.2 Виды сборок в соответствии с топологической классификацией деталей.

3.1.3 Понятие внутренности и внешности детали как подмножества топологического пространства.

3.2 Граф сборки с учётом допусков.

3.3 Моделирование процесса сборки.

3.3.1 Подготовительный этап сборки. Определение геометрических параметров, необходимых для дальнейших расчётов.

3.3.2 Формирование графа сборки с учётом назначаемых допусков.

3.3.3 Правила сборки.

3.3.4 Конфигурационное пространство.

3.3.5 Сборка одного уровня.

3.3.6 Анализ сборки с совмещением абсолютно совпадающих поверхностей.

3.3.7 Анализ сборки с совмещением совпадающих поверхностей

3.3.8 Сборка с проникновением.

Выводы.

4 Методика проведения анализа сборки деталей с назначенными допусками

4.1 Последовательность процедур анализа сборки с допусками

4.1.1 Подготовительный этап сборки. Определение необходимых геометрических параметров

4.1.2 Формирование графа сборки.

4.1.3 Назначение допусков и определение топологических параметров. i 4.1.4 Анализ сборки с допусками.

4.1.5 Результаты анализа. 4.2 Экспериментальное использование разработанной методики анализа сборок при проектировании высокоточных изделий

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов»

Современное машиностроение характеризуется повышенными требованиями, предъявляемыми к изделиям и процессам их создания в связи с высоким уровнем мировой конкуренции. Быстрое реагирование на запросы потребителей и удовлетворение их разнообразных требований, в том числе к качеству продукции, диктуют высокий темп разработки изделий, их внедрения и промышленного изготовления, а также обеспечения качественного сопровождения на последующих этапах их жизненного цикла. Адекватный ответ производителей возможен только на базе широкого применения компьютерных технологий во всех сферах связанных с созданием и изготовлением изделия. Однако использование этих, без сомнения не имеющих альтернативы, методов производства порождает новые требования к его организации, процессам проектирования и изготовления, представлению данных об изделии, что часто приводит к переосмыслению традиционных понятий и методов.

Одной из фундаментальных проблем создания изделия является проблема полной и точной реализации функциональных требований в процессе его проектирования и изготовления. В новых условиях компьютеризированного производства это подразумевает решение двух задач:

• обеспечить процесс автоматизированного проектирования изделия согласно традиционной нисходящей методологии проектирования, но на качественно новом уровне;

• найти способ описания допустимых отклонений (допусков), посредством которых задаются функциональные требования к изделию.

К сожалению, приходится констатировать, что несмотря на все достижения современных CAD систем, эти задачи до сих пор остаются не решенными: возможности, обеспечивающие среду истинного проектирования слабы и не способны на должном уровне поддерживать процесс мышления конструктора, что выражается в отсутствии средств проектирования сборок, главным из которых является адекватное описание геометрии сборок в развитии от концепции до готового изделия.

Одно из фундаментальных требований для создания полнофункциональной системы автоматизированного проектирования сборок является представление допусков как неотъемлемой части математической модели изделия. Только полноценная компьютерная модель изделия, учитывающая «реальную», а не «идеальную» геометрию позволит действительно осуществить интеграцию всех компьютеризированных приложений связанных с созданием изделия. Вышеуказанная задача до сих пор не решена, так как в силу сложности и неоднозначности самого понятия «допуск», а также отсутствия стандарта проектирования сборок, до сих пор не найдены математические модели, позволяющие описывать допуски сборок, представляющие собой совокупность (комплекс) пространственных отклонений деталей сборки, изменяющихся в определяемом назначенными допусками диапазоне [10].

В данной работе рассмотрены проблемы описания пространственных допустимых отклонений (допусков) в контексте автоматизированного проектирования. Автор разработал и исследовал геометрический метод представления пространственных комплексных допусков сборки [8, И, 18].

Заключение диссертации по теме «Технология машиностроения», Гаер, Максим Александрович

Общие выводы по работе

1. Разработана теория, позволяющая комплексно моделировать трёхмерные допуски деталей и сборок. Она основана на применении конфигурационных пространств, описываемых с помощью кватернионов.

2. В рамках полученной теории выведены математические модели основных видов классических допусков, позволяющие рассчитывать реальные положения поверхности в пространстве в зависимости от типа и значения назначенного на нее допуска.

3. Проведена классификация деталей по их топологическому типу и в соответствии с ней выделены различные виды сборок, что дало возможность разработать метод представления и анализа сборок с учетом допусков в соответствии с предложенной теорией представления допустимых отклонений.

4. Описаны процедуры, необходимые для создания модели сборки с учётом допусков согласно разработанному методу, в том числе алгоритм формирования графа сборки с учетом назначаемых допусков.

5. Выведен метод определения конфигурационных пространств детали и сборки с допусками, необходимых для проведения анализа сборки с использованием полученных моделей допусков.

6. Созданы и экспериментально проверены алгоритмы и программы анализа контактного состояния деталей в сборке в зависимости от топологической классификации входящих деталей.

7. Предложенная методика расчета и анализа допусков сборки апробирована в ЗАО «Энерпред», ожидаемый годовой эффект применения расчета допусков и анализа сборок при проектировании домкратов гидравлических составляет 157 тыс. руб.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гаер, Максим Александрович, 2005 год

1. ГОСТ 24642-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1981. - 32 с.

2. ASME. Dimensioning and tolerancing, ASME Y14.5M-1994. New York: The American Society of Mechanical Engineers, 1994.

3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 672 е.: ил.

4. Базров Б.М. Расчет точности машин на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1984. - 352с.

5. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. Главная редакция физико-математической литературы, Изд-во «Наука», М., 1973, 320 стр.

6. Гаер М.А. Операции над кватернионами. Иркутск: Иркут. ун-т, 1995. - 11 с. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 07.03.96, № 762-В96.

7. Гаер М.А. Действия с кватернионами //Дифференциальная геометрия обобщённых пространств с фундаментальной группой / Сб. науч. тр. Иркутск: Иркутский ун-т, 1998. С. 72-81.

8. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. - № 4. С. 177.

9. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 62-64.

10. Гаер М.А., Яценко O.B. Современные концепции моделей и анализа сборок при автоматизированном проектировании // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 57-62.

11. Гаер М.А., Калашников A.C., Шабалин A.B. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 64-68.

12. Глинская Н.Ю. Автоматическое описание геометрической структуры изделия. //Автоматизация и современные технологии , 1992 г, т, с.28-30

13. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию), учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977.

14. Допуски и посадки: Справочник. В 2-х ч. /В.Д.Мягков, М.А.Палей, А.Б.Романов, В.А.Брагинский. 6-е изд., перераб. и доп. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-иие, 1982. - 4.1. 543 е.: ил.

15. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Расчет допусков размеров. М: Машиностроение, 1981. - 189 с.

16. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Расчет допусков размеров.-2-изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. -240с.: ил.

17. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков.// Вестник ИрГТУ, №12, 2002. с. 82-92.

18. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. 2005. - № 1. С. 116-125.

19. Журавлев Д.А., Яценко О.В. Интервальный анализ собираемости деталей.// Повышение эксплуатационных свойств деталей машинтехнологическими методами: Сборник научных трудов. Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2000. - с.60-68.

20. Краткий справочник технолога тяжёлого машиностроения / И.В. Маракулин, А.П. Бунец, В.Г. Коринюк. М.: Машиностроение, 1987. - 464 е., ил.

21. Кузьмин В.В. Шур ыгин Ю.Л. Выбор оптимальных параметров точности линейных и угловых размеров деталей по критерию точности технологической себестоимости их изготовления. // Автоматизация и современные технологии . -1994 , №5, с. 16-22

22. Кузьмин В.В., Шурыгин Ю.Л. Автоматизированное выявление сборочных размерных цепей.// Автоматизация и современные технологии. -1995, №3, с. 18-24

23. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 302 с.

24. Ляндон Ю.Н. Основы взаимозаменяемости в машиностроении. -Машгиз, 1951. 142 с.:ил.

25. Ляндон Ю.Н. Функциональная взаимозаменяемость в машиностроении. М.: Машиностроение, 1967. - 218 е.: ил.

26. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

27. Монаков Ю.А. Обеспечение точности сборки гироскопических приборов: учеб. пособие. / ЧПУ: 1981. 44 с.

28. Мехатроника: Пер. с япон./ Исии Т., Симояма И., Иноуэ X. и др. М.: Мир, 1988. - 318 е., ил.

29. Михайлюк М.В. Компьютерная графика в системах визуализации имитационно-тренажерных комплексов. http://www.imvs.ru/imvs/libel/05/michailyuk04.pdf

30. Одинцов A.A. Теория и расчёт гироскопических приборов. К.: Вища школа, 1985. - 386 с.

31. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота манипулятора, пер. с англ. - М.: Изд-во «Наука», 1976. - 104 с.

32. Пухов А.С. Информационно-поисковые системы при автоматизированной подготовке оснастки. М., «Машиностроение», 1978. 133 с. с ил.

33. Сандалски Б.П., Стоев А.С. Решение пространственной задачи размерно-точностного анализа сборочных единиц. // Вестник машиностроения. 1992, №4, с. 39-42.

34. Уразаев З.Ф., Фадееф A.M. Обработка сложных деталей приборов. М., Машиностроение, 1966.

35. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.

36. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 622 с.

37. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 624с., ил.

38. S. Abrams, W. Cho, C.-Y. Ни, Т. Maekawa, N. Patrikalakis, Е. Sherbrooke, and X. Ye. Efficient and reliable methods for rounded-interval arithmetic. Computer-Aided Design, 30:657-665, 1998.

39. Bernstien N, Priess K. Representation of tolerance information in solid models. ASME Design Conference, Montreal, Canada, 1989.

40. O.Bjorke Computer-Aided Tolerancing ASME Press, New York, 1989. 250 p.

41. P. Bourdet, E. Ballot Geometrical behaviour laws for computer-aided tolerancing. Proceedings of 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, University of Tokyo April 1995. P. 21.

42. Bourdet, L.Mathieu, C. Lartigue, A.Ballu The concept of small displacement torsor in metrology. Proceedings of International Euroconference, Advanced Mathematical Tools in Metrology, Lady Margaret Hall, Oxford, UK, 27-30 September 1995.

43. Burr,A.,Currin,B., Gabriel,S., Hughes, J., «Smooth interpolation of Orientations with Angular Velocity Constraints using Quaternions», Computer Graphics (Proc. Of SIGGRAPH '92),vol.26, No.2, 1992. -pp. 313-320.

44. K.Case, W.A.Wan Harun A representation of assembly and process planning knowledge for feature -based design. Advances in Manufaturing Technology XI, Glasgow Caledonian University, 1997. pp.73-78.

45. K.W.Chase, J.Gao, S.P.Magleby, C.D.Sorensen Including geometric feature variations in tolerance analysis of mechanical assembly HE Transactions, v 28, 1996. pp. 795-807.

46. Chase, K. W., J. Gao and S. P. Magleby Tolerance Analysis of 2-D and 3-D Mechanical Assemblies with Small Kinematic Adjustments. Advanced Tolerancing Techniques, John Wiley 1997.

47. K.W.Chase, S.P.Magleby A comprehensive system for computer-aided tolerance analysis of 2-D and 3-D mechanical assemblies. Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April 1997.

48. Choi, B.K. Geometric Modeling for CAD/CAM, Elsevier Science Publishing, New York, NY, 1991.

49. CleAment A, Desroches A, RivieAre A. Theory and practice of 3D tolerancing for assembly. Proceedings of Second CIRP Seminar on Computer-Aided Tolerancing, Penn State University, 1991.

50. J. K. Davidson, J. J. Shah, Mathematical model to formalize tolerance specifications and enable full 3D tolerance analysis, NSF Design,

51. Service and Manufacturing Grantees and Research Conference/SMU Dallas, Texas, 2004.

52. Dooley, J.R., McCarthy J.M. «Spatial rigid body dynamics using dual quaternion components», IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation,vol.l, 1991.

53. Eck, M. and Jaspert, R. Automatic fairing of point sets, in Designing Fair Curves and Surfaces, N.S. Sapidis (ed), 1994. pp. 45-60.

54. Ermes P. Constraints in CAD models for reverse engineering using photogrammetry, International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol XXXIII, Amsterdam 2000.

55. F.Etesami Tolerance verification through manufactured part modelling. Jornal of Manufacturing System, 1988, 7(3), pp. 223-232.

56. Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide, 2nd edn. Academic Press, New York, NY, 1990.

57. Farmer L.E., Gladman C.A. Tolerance technology Computer-based analysis/ Annals of the CIRP, Vol.35, No. 1, 1986. - pp. 7 - 10.

58. Funda, J., Taylor, R.H., Paul, R.P. «On homogeneous transforms, quaternions and computational efficiency», in IEEE Trans. Autom. And Robotics, Vol.6, 1990. pp.382-388.

59. J.Gao, K.Case, N.Gindy «Geometric elements for tolerance definition in feature-based product models» Published in «Advances in manufacturing Technology VIII»(editors K.Case and S.T.Newman), Taylor ¿¿Francis, London, 1994. pp. 264-268.

60. Gao J, Chase K, Magleby S Generalized 3D tolerance analysis of mechanical assemblies with small kinematic adjustments. IIE Transactions 30:367-377, 1998.

61. Giordano M., Duret D. Clearance Space and deviation space. Application to three dimansional shain of dimensions and positions. 3rd CIRP Seminar of Robotics Research, Vol.2, No.4, pp.46-50.

62. Gossard, D. C., Zuffante, R. P. and Sakurai, H. Representing dimensions, tolerances, and features in MCAE systems, . (2):51-59. IEEE Comp. Gr. and Appl, 1988.

63. Guilford J, Turner J. Representational primitives for geometric tolerancing. Computer-Aided Design; 25(9):577-586, 1993

64. Guilford J.D., Turner J.U., «Tolerance representation and analysis in solid models», Submitted in proc. of fourth IFIP 5.2 Workshop on geometric modeling in CAD, 1993.

65. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853.

66. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3): 161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

67. Hennessey M.P., Shakiban C., Shvartsman M.M. Characterizing Slop in Mechanical Assemblies Via Diffe rential Geometry, 2002.

68. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3): 161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

69. C. C. Hsieh, Y. C. Fang, M. E. Wang, C. K. Wang, M. J. Kim, S. Y. Shin and T. C. Woo Noise smoothing for VR equipment in quaternions HE Transactions 30, 1998. pp. 581-587

70. Hsu,W. , Lee, C.S.G. Fuzzy application in tolerance design IEEE World Congress on Computational Intelligence., Proceedings of the Third IEEE Conference on Fuzzy Systems, 1994, vol.2, pp. 1182-1186.

71. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval solidmodeling: part I, representations. Computer-Aided Design, 28:807-817, 1996.

72. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval solid modeling: part II, boundary evaluation. Computer-Aided Design, 28:819-830, 1996.

73. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval algorithm for surface intersections. Computer-Aided Design, 29:617-627, 1997.

74. International Organization for Standardization.ISO 1101: geometrical tolerancing : tolerancing of form, orientation, location and run-out -generalities, definitions, symbols, indications on drawings, 1983.

75. Jin, X., Bao, H. and Peng, Q. Angular velocity interpolation using quaternion, in Proceedings of the 4th International Conference on Computer-Aided Drafting, Design and Manufacturing Technology, Vol. 1, pp. 25-30, 1994.

76. Johnstone, J.K. and Williams, J.P. Rational control of orientation for animation, in Proceedings of Graphics Interface'95, 1995. pp. 179-186.

77. N.P.Juster. Modeling and representation of dimensions and tolerances: A survey. CAD. 1992,24(1):3-17.

78. Kandikjian, T., Shah, J., «A Computational Model for Geometric Dimensions and Tolerances Consistent with Engineering Practice», Proceedings of DETC98: 1998 ASME design Engineering Technical Conference September 13-16, Atlanta, GA. 1998. pp.25-54.

79. T. M. Kethara Pasupathy, Edward P. Morse, and Robert G. Wilhelm A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones, 2003.

80. M.J.Kim, M.S.Kim, S.Y.Shin A Compact Differential Formula for the First Derivative of a Unit Quaternion Curve To appear in Jornal of Visualization and Computer Animation.

81. Kim, M.J., Kim, M.S. and Shin, S.Y. A C2-continuous B-splme quaternion curve interpolating a given sequence of solid orientations, in Proceedings Computer Animation '95, 1995, pp. 72-81.

82. M.J.Kim, M.S.Kim, S.Y.Shin A General construction scheme for unit quaternion curves with simple high order derivatives. Proceedings of SIGGRAPG'95, pp.369-376.

83. M.S.Kim, K.W.Nam Interpolating Solid Orientations with Circular Blending Quaternion Curves Computer-Aided Design, Vol.27,No.5, 1995. pp.385-398.

84. Kramer GA. Solving geometric constraint system: a case study in kinematics. Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

85. Lake, R. and Green, M. Dynamic motion control of an articulated figure using quaternion curves, in Proceedings of the Second International Conference on Computer-Aided Design and Computer Graphics, 1991. pp. 37-44.

86. Lee, J. and Shin, S.Y. Motion fairing, in Proceedings of Computer Animation, 1996.

87. Light, R. A., and Gossard, D. C. Modification of geometric models through variational geometry, Computer-Aided Design, 14(4):209-214, 1982.

88. Liu S, Dong Z. A solid boundary based tolerance representation model. In: Proceedings of ASME 18th Design Automation Conference, Scottsdale, AZ, USA, 2;1992:141-149.

89. Y.S.Liu S.M.Gao An Approach for Generating Variational Geometry of A Pattern of Holes with Composite Positional Tolerances, Proceedings of DETC'02, ASME, 2002.

90. Mantripragada R, Whitney DE The datum flow chain: A systematic approach to assembly design and modeling. Research in Engineering Design 10:150-165, 1998.

91. Martinsen, K. Vectorial tolerancing for all types of surfaces, Proc. of 19th ASME Design Automation Conf., Albuquerque, Vol. 2, ASME Press. 70, 1993.

92. L.Mathieu, A.Ballu Univocal Expression of Functional and Geometrical Tolerances for Design, Manufacturing and Inspection 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Tokyo, Japan, April 5-6, 1995. pp.32-43.

93. L.Mathieu, A.Ballu Virtual gage with internal mobilities for the verification of functional specifications Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April,1997. pp. 10-23.

94. G. Moroni , W. Polini Tolerance-based Variations in Solid Modeling, 2003.

95. Mujezinovic, A., Davidson, J.K., and Shah, J. J. A New Mathematical Model for Geometric Tolerances as Applied to Polygonal Faces, in press for ASME Transactions, J. of Mechanical Design, Vol. 125, 2003.

96. S.P. Mudur, P.A.Kopakar. Interval methods for processing geometric objects. IEEE Computer Graphics and Application, 4(2): 7-17, February 1984.

97. Nelson Donald.D., Cohen E. User interaction with CAD models with nonholonomic parametric surface constraints, in IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 1999.

98. Nielson, G.M. and Heiland, R.W. Animated rotations using quaternions and splines on a 4D sphere. Programming and Computer Software, 18, 1992. pp. 145-154.

99. Omelyan,I., «On the numerical integration of motion for rigid polyatomics: The modified quaternion approach», Computers in Physics, Feb. 1998. pp. 28-33.

100. OPEN CASCADE User's guide, OPEN CASCADE S.A., France.

101. OPEN CASCADE User's guide, OPEN CASCADE S.A, France.

102. Pletickx,D., «Quaternion Calculus as a Basic Tool in ComputerGraphics», The Visual Computer,Vol.5,No.l, 1989. -pp.2-13.

103. H. Pottmann a, B. Odehnal a, M. Peternell a, J. Wallner a, R. Ait Haddou On Optimal Tolerancing in Computer-Aided Design.

104. Requicha A.A.G. Toward A Theory of Geometric Tolerancing. Int. J of Robotics Res. 2(4), 1983. pp. 45-60.

105. A.A.G.Requicha. Solid Modeling: Current Status and Research Directions. IEEE CG&A. 1983,(10) :25-37.

106. Requicha, A. A. G. , «Representation of Geometric Features, Tolerances and Attributes in Solid Modelers Based on Constructive Solid Geometry» IEEE J. of Robotics and Automation, RA-2 no 3, 1986. pp. 156-66, Sept.

107. A.A.G.Requicha, J.R.Rossignac. Solid Modeling and Beyond. IEEE CG&A. 1992,(9):31-44.

108. A.A.Requicha. Mathematical definitions of tolerance specifications. Manufacturing Review, 6(4): 269-274, December 1993.

109. A.A.G Requicha, T.W.Whalen Representations for Assembly. Assembly Planning by ed. A.F.Humem de Mello, Addison-Wesley Publishers, 1994.

110. Requicha, A. A. G., and Chan, S. C. Representation of geometric features, tolerances, and attributes in solid modelers based on constructive geometry, IEEE J. of Robotics and Automation, RA -2(3):156-166, 1986.

111. Rivest L, Clement F, Morel C. Tolerancing a solid model with a kinematic formulation. Computer-Aided Design 1994;26(6):465-75.

112. Robison, R. H., «A Practical Method for Three-Dimensional Tolerance Analysis sing a Solid Modeler,» M.S. Thesis, Mechanical Engineering Department, BrighamYoung University, 1989.

113. J.Rossignac, A.A.G. Requicha Offsetting operations in solid modelling. Computer Aided Geometric Design, 1986,3, pp. 129-148.

114. J.Rossignac, A.A.G. Requicha Solid modeling, Webster.

115. Roy U, Liu C.R. Feature-based representational scheme of a solid model for providing dimensioning and tolerancing information. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 1988;14(3/4):335-45.

116. U.Roy, B.Li Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects I. Form tolerances Computer-Aided Design Vol.30, 1998. - pp.151-161.

117. U.Roy, B.Li Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects.II Size, orientation and position tolerances Computer-Aided Design Vol.31, 1999. pp.273-285.

118. Salomons O, Jonge Poernik H, Slooten F, Houten F, Kais H. A tolerancing tool based on kinematic analogies. Proceedings of Fourth CIRP Design Seminar, 1995. pp. 47-70.

119. Samper, S. and Giordano, M., . Taking into Account Elastic Displacements in 3D Tolerancing Model and Application., pp. 156-162. J. of Materials Processing Technology. (1998)

120. T. Sederberg and R. Farouki. Approximation by interval Baezier curves. IEEE Computer Graphics, 12:87-95, 1992.

121. Shah J, Miller D. A structure for supporting geometric tolerances in product definition systems for CIM. Manufacturing Review 1990;3(1):23-31.

122. Shah J, Zhang B-C. Attributed graph model for geometric tolerancing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Phoenix, 1992. pp. 125-136

123. Shah J, Yan Y. Representation and mapping of geometric dimensions from design to manufacturing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Minneapolis, 1996. pp. 68-75.

124. Shah J, Yan Y, Zhang B-C. Dimension and tolerance modeling and transformations in feature based design and manufacturing. Journal of Integrated Manufacturing 1997;9(5):475-88.

125. Shapiro V., Solid Modeling, Tech.Rep. SAL 2001-2 To be published in Handbook of Computer Aided Geometric Design G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim, eds. Elsevier Science Publishers, 2001.

126. G. Shen and N. Patrikalakis. Numerical and geometric properties of interval B-splines. Int. J. Shape Modeling, 4:31-62, 1998.

127. Shoemake, D., :Animating rotation with quaternion curves», in Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH, pp.245-254, July 1985.

128. Soderberg R., Johannesson H. Spatial Incompatibility Part Integration and Tolerance Allocation in Configuration Design. ASME Paper DETC98/DTM-5643, ASME DETC'98, Atlanta, GA. 1998.

129. Sodhi, R. and Turner, J.U., Relative positioning of variational part models for design analysis. Computer Aided Design, 1994, 26(5), pp. 366-378.

130. Srikanth K.; Liou F. W.; Balakrishnan S. N. Integrated approach for assembly tolerance analysis, International Journal of Production Research, 10 May 2001, vol. 39, no. 7, pp. 1517-1535(19).

131. V. Srinivasan, R. Jayaraman 1989, Geometric Tolerancing : I, Virtual Boundary Requirements, IBM Journal of Research and Development, 33(2):90-104.

132. V. Srinivasan and R. Jayaraman, 1989, Geometric Tolerancing : II, Conditional Tolerances, IBM Journal of Research and Development, 33(2):105125

133. D.Teissandier, Y.Couetard, A.Gerard A computer aided tolerancing model: proportioned assembly clearance volume. Proceedings of the fifth CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, 1997, pp.113-124.

134. Trabelsi A., Delchambre A. Assessment on Tolerance Representation and Tolerance Analysis in Assemblies, Concurrent Engineering , 1 December 2000, vol. 8, no. 4, pp. 244-262(19).

135. Turner, J., and M. Wozny, «Tolerances in Computer-Aided Geometric Design», The Visual Computer, no. 3, pp.214-226, 1987.

136. Turner J.U., Wozny M.J., A mathematical theory of tolerances, in: Geometric Modelling for CAD Applications, eds. Wozny M.J., McLaughlin J.L., Elsevier Science Publishers, IFIP, 1988. pp. 163187.

137. Turner J. Exploiting solid models for tolerance computations. In:Wozny M, Turner J, Preiss K, editors. Geometric modeling for product engineering, North Holland, 1990. p. 237-57.

138. Turner, J. U., Wozny, M. J., The M-space theory of tolerances. In Proceedings of the ASME 16th Design Automation Conference, 1990, Vol. 1, pp. 217-225, Chicago, IL, USA, 17-19 September.

139. Turner, J.U. Relative Positioning of Parts in Assemblies Using Mathematical Programming», Computer-Aided Design, v 22 n 7, pp. 394-400.

140. Turner, J. U., Gupta, S. Variational solid modeling for tolerance analysis. In Proceedings of the 1991 ASME International Computers in Engineering Conference, Vol. 1, pp. 487-494, Santa Clara, CA, USA, August 18-22, 1991.

141. Turner J.U. A feasibility space approach for automated tolerancing, ASME Journal of Engineering for Industry, Vol. 115, 1993. pp. 341345.

142. J. Wallner, R. Krasauskas, and H. Pottmann. Error propagation in geometric constructions. Computer-Aided Design, to appear, 2000.

143. Wang, W. and Joe, B. (1993) Orientation interpolation in quaternion space using spherical biarcs, in Proceedings Graphics Interface '93, pp. 24-32.

144. Wang N, TM (1990) Automatic generation of Tolerance chains from mating relations represented in assembly Models. Proc ASME Advances in Design Automation Conf (l):227-233, Chicago.

145. D.E.Whitney The potential for assembly modeling in product development and manufacturing Proceedings of IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning, Pittsburg, Aug. 10, 1995. pp. 56-103.

146. Whitney D.E., Gilbert .0., Jastrzebski M. Representation of Geometric Variations Using Matrix Transforms for Statistical Tolerance Analysis in Assemblies, Research in Engineering Design, 1994 (6): 191-210.

147. D. E. Whitney, R. Mantripragada, J. D. Adams, S. J. Rhee Designing Assemblies Research in Engineering Design, 1999(11) :229-253.

148. Whitney, D.E. Gilbert, O.L. Representation of geometric variations using matrix transforms for statistical tolerance analysis in assemblies Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol.2, 1993. pp. 314-321.

149. Daniel E Whitney, Assembly-oriented design, Sloan-Eng Product Development Course Book, MIT, 2002.

150. C.Weber, W.Britten, O.Thome «Feature Based Computer Aided Tolerancing Step Towards Simultaneous Engineering» Report98ME005 of Chair of Engineering Design/CAD, University of the Saarland , 10p., 1998.

151. C.Weber, W.Britten, O.Thome «Conversion of geometrical tolerances into vectorial tolerance representations a major step towards computer aided tolerancing» International Design Conference - DESIGN '98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.101-113.

152. C.Weber, O.Thome, W.Britten «Improving Computer Aided Tolerancing by using feature Technology» International Design Conference DESIGN '98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.28-34.

153. R.G. Wilhelm and S. C-Y. Lu, «Tolerance Synthesis to Support Concurrent Engineering», Annals of CIRP, 41/1:197-200, 1992.

154. A.Wirtz Vectorial tolerancing for quality control and functional analysis in design. In CIRP International Working Seminar on Computer-Aided Tolerancing, PennState University, May 1991. pp.47-58.

155. Wirtz A. Vectorial tolerancing a basic element for quality control, Proc. 3rd CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, Cachan (France), April 1993. pp. 115-128.

156. Wu Y., Shah Jami J., Davidson Joseph K. Computer Modeling of Geometric Variations in Mechanical Parts and Assemblies, 2003.

157. Yan Y. Dimensions and tolerances mapping. MS thesis, Arizona State University, 1995.

158. H.T. Yau. Generalization and evaluation of vectorial tolerances. Int. J. of Production Res. 35(6):1763-1783.