Разработка алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов на основе частотных представлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Созонова, Татьяна Николаевна

• Созонова, Татьяна Николаевна
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Созонова, Татьяна Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Методы и алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным.

1.1 Интерполяция и численное дифференцирование сигналов в науке и технике.

1.2 Полиномиальная и сплайн-интерполяция.

1.3 Оценивание производных по дискретным эмпирическим данным.

1.4 Интерполяция на основе частотных представлений.

1.5 Задачи исследования.

Глава 2. Разработка и исследование устойчивых алгоритмов численного дифференцирования сигналов на основе принципа минимизации евклидовых норм аппроксимаций производных с финитными спектрами Фурье.

2.1 Проблема устойчивости численного дифференцирования.

2.2 Вариационный алгоритм устойчивого оценивания производных сигналов первого порядка.

2.3 Алгоритмы оценивания производных второго порядка.

2.4 Сравнительные исследования погрешностей численного дифференцирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов на основе частотных представлений»

Необходимость оценивания производных и интерполяции некоторого сигнала по имеющимся его дискретным отсчётам часто возникает при решении различных задач науки и техники. В качестве примеров можно привести проблемы восстановления промежуточных значений сигналов и их производных в связи и управлении, формирование канальных сигналов при передаче в режиме частотного уплотнения, анализ и синтез речевых сигналов, увеличение размеров (масштабирование) изображений, повышение чёткости изображений на основе градиентных методов и т.д.

Проблема численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретизованным данным исследовалась в работах многих авторов. В результате этих исследований предложено достаточно много методов интерполяции: полиномиальная, сплайн-интерполяция, метод Уттикера-Котельникова-Шеннона. При этом, как правило, в качестве оценок производных предлагается использовать соответствующие производные интерполирующих функций.

В тех случаях, когда анализируемые отсчеты порождены сигналом с финитным спектром, а интервалы дискретизации согласованы определенным образом с шириной области определения последнего, интерполирующая функция позволяет адекватно, в смысле имеющейся информации, вычислять значения сигнала в пределах интервала его регистрации. Это составляет основное преимущество формулы Уттикера-Котельникова-Шеннона перед полиномиальной или сплайн-интерполяцией.

Существенным недостатком существующих подходов к численному дифференцированию по эмпирическим данным является неустойчивость получаемых оценок производных.

Таким образом, проблема построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным, позволяющих получать устойчивые оценки производных и осуществлять восстановление значений сигналов в интервалах между отсчетами, является актуальной.

Устойчивость оценок производных можно повысить, если использовать

СО вариационный принцип минимизации квадрата евклидовой нормы ||/||2= | /2 (х)сЬс со оценки первой производной аппроксимирующей функции (модели) /(/) = с!и({)/ Ж при выполнении интерполяционных условий и, = ы(/Д0 = и,, I = ОД,., N. (1)

At - интервал дискретизации.

При этом сама интерполяция легко осуществляется на основе численной реализации формулы Ньютона-Лейбница t) = и0 + J f{x)dx . о

С позиций повышения устойчивости оценок производных предлагается также использовать класс аппроксимирующих функций с финитными областями определения трансформант Фурье (с финитными спектрами Фурье), что вместе с тем позволяет получать устойчивые оценки производных высших порядков как результат дифференцирования частотного представления для первой производной

О = J F (со) exp(jcot)dû) / In, Q = [-Q2 ,-Qj )u[Q1,Q2);0<Q,<Q2<oo oeQ где предполагается, что соотношение для трансформанты Фурье первой производной F{co) получается в результате минимизации её нормы с учётом интерполяционных условий (1). Ясно, что правая часть последнего соотношения является дифференцируемой произвольное количество раз.

Представляется естественным построенные на такой основе алгоритмы называть вариационными и устойчивыми.

Разработка и реализация такого подхода и составляет основное содержание данных диссертационных исследований.

Целью работы является разработка и исследование вариационных алгоритмов интерполяции и численного оценивания производных сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений с использованием моделей функций с финитными областями определений трансформант Фурье (финитными спектрами Фурье).

Для достижения этой цели на основе анализа состояния вопроса были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка н исследование устойчивых алгоритмов численного дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе принципа минимизации евклидовых норм получаемых оценок первых производных из класса аппроксимаций с финитными спектрами Фурье;

2. Разработка и исследование устойчивых алгоритмов интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования аппроксимации первой производной с финитным спектром Фурье, обладающей минимальной евклидовой нормой.

3. Проведение на основе вычислительных экспериментов сравнительных исследований погрешностей оценивания производных и интерполяции сигналов с помощью предложенных и наиболее распространенных алгоритмов.

4. Создание программной реализации устойчивых вариационных алгоритмов интерполяции и оценивания производных сигналов и её апробация при обработке реальных эмпирических данных.

Методы исследований:

Методы анализа и синтеза сигналов на основе частотных представлений и использования вариационных принципов; Численные методы высшей математики; Вычислительный эксперимент. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложения, в котором приведены документы, подтверждающие внедрение результатов работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Созонова, Татьяна Николаевна

4.3 Основные результаты и выводы главы

1. На базе среды программирования МАТЬАВ создан прототип программной реализации разработанных устойчивых вариационных алгоритмов численного дифференцирования, интерполяции и интегрирования сигналов по дискретным эмпирическим данным.

2. Разработанные алгоритмы интерполяции и численного дифференцирования были апробированы при решении задач сжатия речевых данных и обработки изображений в информационно-телекоммуникационных системах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. Обоснована целесообразность построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе вариационного принципа минимизации евклидовой нормы получаемой оценки первой производной, которая обладает финитным спектром Фурье;

2. Разработаны алгоритмы численного дифференцирования сигналов (оценивание первой и второй производных) по дискретным эмпирическим данным на основе минимизации евклидовых норм получаемых оценок с финитными спектрами Фурье;

3. Разработан алгоритм интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе интегрирования оценки производной с минимальной евклидовой нормой и финитным спектром Фурье.

4. На основе вычислительных экспериментов проведено сравнение погрешностей предложенных и наиболее часто используемых алгоритмов оценивания производных и интерполяции сигналов;

5. Результаты проведенных вычислительных экспериментов подтверждают устойчивость и сходимость вычислительных процедур интерполяции и оценивания производных на основе разработанных алгоритмов и их преимущества в точности по сравнению с наиболее широко используемыми в настоящее время алгоритмами;

6. Создана программная реализация алгоритмов, позволяющая осуществлять интерполяцию и получать оценки производных сигналов на основе эмпирических данных.

7. Разработанные алгоритмы численного дифференцирования и интерполяции сигналов прошли апробацию в рамках выполнения следующих проектов: проект РНП.2.1.2.4974 «Разработка и исследование вариационных методов анализа и восстановления сигналов в линейных системах по дискретным эмпирическим данным ограниченной длительности» аналитической ведомственной целевой программы федерального агентства по образованию РФ «Развитие научного потенциала высшей школы в 2006 — 2008гг.»; проект «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки речевых данных для создания информационных технологий их сжатия при хранении, передаче и обеспечении скрытности в информационно- телекоммуникационных системах» федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России 2007 - 2012гг.», государственный контракт №02514114010 от 26.02.2007г. Апробация осуществлялась при решении следующих задач обработки сигналов и изображений: a.восстановления речевых данных в задачах их сжатия за счёт прореживания; b. увеличения чёткости изображений на основе численного дифференцирования (вычисления оценок частных производных); c.масштабирование изображений на основе покоординатной интерполяции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Созонова, Татьяна Николаевна, 2008 год

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения Текст. / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. -М,: Мир, 1972.

2. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст. / A.A. Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова. М.: Высшая школа, 1994.

3. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории аппроксимации Текст. / Н.И. Ахиезер. — М.: Наука, 1965.

4. Бабенко, К.И. Основы численного анализа Текст. / К.И. Бабенко. — М.: Наука, 1986.

5. Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения Текст. / А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989.

6. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач Текст. / А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. — М.: Наука, 1989.

7. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1973.

8. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

9. Бахвалов, И.С Численные методы в задачах и упражнениях Текст. / И.С. Бахвалов,

10. A.B. Лапин, Е.В. Чижонков. — М.; Высшая школа, 2000.

11. Бердышев, В.И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения Текст. / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак. Екатеринбург: УрО РАН, 1999.

12. Бердышев, В.И. Численные методы приближения функций Текст. / В.И.Бердышев, Ю.Н.Субботин. — Свердловск. Средне-Уральское книжное издательство, 1979.

13. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде Текст. / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. — М.: Мир, 1986.

14. Боглаев, ЮЛ. Вычислительная математика и программирование Текст. / ЮЛ. Боглаев. — М.: Высшая школа, 1990.

15. Бор, К. Практическое руководство по сплайнам Текст. / К. Бор. М.: Радио и связь, 1985.

16. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 13-е изд Текст. / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев. М.: Наука, 1986.

17. Буслов, В.А. Численные методы I. Исследование функций Текст. / В.А. Буслов, С.Л. Яковлев. Санкт-Петербург, 2001.

18. Вапник, В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным Текст. /

19. B.Н.Вапник. М.: Наука, 1979.

20. Васин, В.В. Об устойчивом вычислении производной Текст. / В.В. Васин // Журн. вычисл. математики и мат. Физики. -1973. 13, №6. - С. 15-22.

21. Васин, В.В. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач Текст. / В.В. Васин, В.П. Танана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975.- 15, № 1.-С. 19-29.

22. Васин, В.В., Некорректные задачи с априорной информацией Текст. / В.В. Васин, А.Л. Агеев. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993.

23. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988.

24. Варга, Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе Текст. / Р. Варга М.: Мир, 1974.

25. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология Текст. / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1980.

26. Вержбицкий, В.М. Численные методы Текст. / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000.

27. Вержбицкий, В.М. Обращение матриц и решение нелинейных систем Текст. / В.М. Вержбицкий. Ижевск: Изд. ИМИ, 1980.

28. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры Текст. / В. В. Воеводин. М.: Наука, 1977.

29. Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления Текст. / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. -М.: Наука. 1984.

30. Воеводин, В. В. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами Текст. / В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников. — М. : Наука, 1987.

31. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц Текст. / Ф. Р. Гантмахер. 3-е изд. — М. : Наука, 1967.

32. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей Текст. : учеб. пособие / А. О. Гельфонд. 3-е изд., испр. — М. : Наука, 1967.

33. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений Текст. / Р. Гонсалес, Р.Вудс. — М.: Техносфера, 2006.

34. Гутер, P.C. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта Текст. / P.C. Гутер, Б.В. Овчинский М.: Наука, 1970.

35. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы Текст. / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1966.

36. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон -М.: Наука, 1970.

37. Демидович, Б.П Численные методы анализа Текст. / Б.П. Демидович, И А. Марон, Э.З. Шувалова — М.: Наука, 1967.

38. Демьянов, В.Ф. Введение в минимакс Текст. / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов — М.: Наука, 1972.

39. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения Текст. / Г. Дженкинс, Д. Вате. М.: Мир, 1971.

40. Долгополова, Т.Ф. О численном дифференцировании Текст. / Т.Ф. Долгополова,

41. B.К. Иванов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. - 6, № 3. - С. 5-11.

42. Жиляков, Е.Г. Вариационный метод дифференцирования и интерполяции дискретных сигналов Текст. / Е.Г. Жиляков, С.М. удинов, Т.Н. Созонова // «Вопросы радиоэлектроники». Москва, 2006. - выпуск 1. - С. 146-154.

43. Жиляков, Е.Г. О вычислении оценок вторых производных по дискретным эмпирическим данным Текст. / Е.Г. Жиляков, Т.Н. Созонова // Научные ведомости

44. Белгородского государственного университета. Серия: Информатика. Прикладная математика. Управление. Белгород, 2007. - №7(38), выпуск 4. - С. 3-12.

45. Жиляков, Е.Г. Вариационные методы частотного анализа звуковых сигналов Текст. / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, Е.И. Прохоренко // Труды учебных заведения связи. СПб, 2006. - №174. - С. 163-170.

46. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций Текст. / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, B.JI. Мирошниченко. М.: Наука, 1980.

47. Игнатов, М.И. Натуральные сплайны многих переменных Текст. / М.И. Игнатов, А.Б. Певный. Ленинград: Наука, 1991.

48. Канторович, JI.B. Приближенные методы высшего анализа Текст. / JI.B. Канторович, В.И. Крылов. M.-JL: Физматгиз, 1962.

49. Кейнон, Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким разрешением Текст. / Дж. Кейнон // ТИИЭР. 1969. - Т. 57, № 8. - С. 69-79.

50. Кендалл, М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды Текст. / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт ; пер. с англ.: Э. JI. Пресмана, В. И. Ротаря ; под ред. А. Н. Комогорова. М. : Наука, 1976.

51. Коллатц, JI. Функциональный анализ и вычислительная математика Текст. / JI. Коллатц. -М.: Мир, 1969.

52. Коллатц, JI. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения Текст. / JI. Коллатц, В. Крабе. М.: Наука, 1978.

53. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями Текст. / Л. Коллатц. М.: Наука, 1968.

54. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. -М.: Наука, 1972.

55. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближений Текст. / Н.П. Корнейчук. М.: Наука, 1984.

56. Корнейчук, Н. П. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов Текст. / Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун. Киев : Наук, думка, 1992.

57. Корнейчук, Н.П. Точные константы в теории приближений Текст. / Н.П. Корнейчук.-М.: Наука, 1987

58. Краснов, М.Л. Вся высшая математика: Учебник. Т.6 Текст. / А.И. Киселев, Г.И. Макаренко, Е.В. Шикин, В.И. Заляпин. -М.: Едиториал УРСС, 2003. -256с.

59. Краснощекое, П.С. Принципы построения моделей Текст. / П.С. Краснощекое, A.A. Петров. М.: МГУ, 1984.

60. Краскевич, В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях Текст. / К.Х. Зеленский, В.И. Гречко. Киев: Вища школа, 1986.

61. Крошьер, Р. Е. Интерполяция и децимация цифровых сигналов Текст. : метод, обзор / Р. Е. Крошьер, Л. Р. Рабинер // ТИИЭР. 1981. - Т. 69, № 3. - С. 14-40.

62. Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование Текст. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. — Минск: Наука и техника, 1983.

63. Крылов, В.И. Справочная книга по численному интегрированию Текст. / В.И. Крылов, Л.Т. Шульгина. — М.: Наука, 1966.

64. Крылов, А.Н. Лекции о приближенных вычислениях Текст. / А.Н. Крылов. Изд. 5. -М.-Л.:ГТТИ, 1950.

65. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 Текст. / Р. Курант. М.: Наука, 1967.

66. Ланцош, К. Практические методы прикладного анализа Текст. : справ, рук. / К. Ланцош ; пер. с англ. М. 3. Кайнера. М.: Физматгиз, 1961.

67. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Текст. / М.М. Лаврентьев. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.

68. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа Текст. / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. М.: Наука, 1980.

69. Леснин, В.В. Основы методов оптимизации Текст. / В.В. Леснин, Ю.П. Лисовец. — М.: Изд-во МАИ, 1995.

70. Лисковец, O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач Текст. / O.A. Лисковец. Минск: Наука и техника, 1981.

71. Макаров, В.Л. Сплайн-аппроксимация функций Текст. / В.Л. Макаров, В.В. Хлобыстов. -М.: Высшая школа, 1983.

72. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране Текст. / Д. Мак-Кракен, У. Дорн ; пер. с англ. Б. Н. Казака; под ред. и с доп. Б. М. Наймарка. — 2-е изд., стереотип. М. : Мир, 1977.

73. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях Текст. : в 2-х т. / Ж. Макс ; пер. с фр. Ю. В. Пяткова ; под ред. Н. Г. Волкова. — М.: Мир, 1983. Т. 2. Техника обработки сигналов. Применения. Новые методы.

74. Марпл, С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения Текст. / С. Л. Марпл ; пер. с англ.: О. И. Хабарова, Г. А. Сидоровой ; под ред. И. С. Рыжака. — М. : Мир, 1990.

75. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. / Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1977.

76. Морс, Ф.М. Методы теоретической физики. В 2-х тт Текст. / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.

77. Михлнн, С.Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1966.

78. Назаров, A.B. Современная телеметрия в теории и на практике Текст. / A.B. Назаров, Г.И. Козырев, И.В. Шитова. СПб.: Наука и Техника, 2007.

79. Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные полиномы Текст. / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов // Математика, кибернетика. М.: Знание. 1985. -№12. -С. 8-15.

80. Носач, В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. / В.В. Носач. М.: МИКАП, 1994.

81. Парлетт, Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы Текст. / Б. Парлетт, Пер. с англ.- М.: Мир, 1983.

82. Петров, Ю.П. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов Текст. / Ю.П. Петров, B.C. Сизиков. — СПб: Политехника, 2003.

83. Попов, Б.А. Приближение функций для технических приложений Текст. / Б.А. Попов, Г.С. Теслер. Киев: Наукова думка, 1980.

84. Поршнев, C.B. Вычислительная математика. Курс лекций Текст. / C.B. Поршнев. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

85. Пытьев, Ю. П. Методы анализа и интерпретации эксперимента Текст. / Ю. П. Пытьев. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1990. 286 с.

86. Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров Текст. / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. — М.: Высшая школа, 1998.

87. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике Текст. / К. Ректорис. -М.: Мир, 1984.

88. Рябенький, B.C. Введение в вычислительную математику Текст. / B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1994.

89. Самарский, A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский. М.: Наука, 1997.

90. Самарский, A.A. Численные методы математической физики Текст. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Научный мир, 2000.

91. Смирнов, В. И. Курс высшей математики Текст. : учеб. пособие для мех.-мат. и физ.-мат. фак. ун-тов : в 5-ти т. / В. И. Смирнов. 6-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1974. - Т. 4, ч. 1. - 336 с.

92. Созонова Т.Н. Исследование методов интерполяции и дифференцирования функций по дискретным значениям Текст. / Т.Н. Созонова, Н.С. Титова // «Вопросы радиоэлектроники». Москва, 2007. - выпуск 4. - С. 104-114.

93. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике Текст. / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М.: Наука, 1953.

94. Тейлор, Дж. Введение в теорию ошибок Текст. / Дж. Тейлор. — М.: Мир, 1985.

95. Тимман, А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного Текст. / А.Ф. Тимман. М.: Физматгиз, 1960.

96. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач Текст. / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 153, № 1. - С. 49-52.

97. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач Текст. / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 151, № 3. - С. 32-38.

98. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. -1979.

99. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990.

100. Тихонов, А.Н. Вводные лекции по прикладной математике Текст. / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. М.: Наука, 1984.

101. Турчак, Л.И. Основы численных методов Текст. / Л.И. Турчак, П.В. Плотников.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

102. Уилкинсон, Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений Текст. / Дж.Х. Уилкинсон. -М.: Наука, 1970.

103. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст. / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука. - 1969.

104. Хемминг, Р.В. Численные методы Текст. / Р.В. Хемминг. М.: Наука, 1968.

105. Хургин, Я. И. Финитные функции в физике и технике Текст. / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. -М.: Наука, 1971.

106. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей Текст. / Е.В. Шикин, А.И. Плис. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996.

107. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions, Applied Matematics Series Text. / M. Abramowitz, I.A. Stegun // National Bureau of Standards. Washington. -1964.-№55.-P. 15-26.

108. Brandenburg, K. ASPEC: Adaptive Spectral Entropy Coding if High Quality Music Signals Text. /К. Brandenburg et. al. // Proc. 90th Conf. Aud. Ehg. Soc. 1991. - Feb.

109. Acton, F. S. Numerical Methods That Work Text. / F. S. Acton. Harper and Row, New York, 1970.

110. Brandt, A. Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems Mathematics of Computation Text. / A. Brandt. vol. 31, no. 138. - 1977. - P. 333-390.

111. Brent, R. P. Algorithms for Minimization without Derivatives, Chaps. 3 and 4 Text. / R. P. Brent. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. - 1973.

112. Chapra, S. C. Numerical Methods for Engineers Text. / S. C. Chapra, R. P. Canale. -3rd ed. McGraw-Hill, New York, 1998.

113. Courant, R. Uber die Partiellen Differenzengleichungen der Mathematischen Physik Text. / R. Courant, К. O. Friedricks, H. Lewy // vol. 100. 1988. - P. 32-74.

114. Crank, J. Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type Text. / J. Crank, P.A. Nicolson // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. vol. 43, no. 50. - 1947. - P. 50-67.

115. Douglas, J. General Formulation of Alternating Direction Implicit Methods, Part I: Parabolic and Hyperbolic Problems Text. / J. Douglas, J. E. Gunn // A Numerische Mathematik. vol. 6. -1964, - P. 428-453.

116. Ferziger, J. H. Numerical Methods for Engineering Application Text. / J. H. Ferziger.- John Wiley & Sons, New York, 1981.

117. Freudenstein, F. Approximate Synthesis of Four-Bar Linkages Text. / F. Freudenstein.- Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. vol. 77. - 1955. - P. 853-861.

118. Gerald, С. E. Applied Numerical Analysis Text. / С. E. Gerald, P O. Wheatley. 6th ed. - Addison-Wesley, Reading, MA., 1999.

119. Gragg, W. On Extrapolation Algorithms for Ordinary Initial Value Problems Text. / W. Gragg. Journal Soc, Ind. Appl. Math., Numer. Anal. Ser. B2, 1965, P. 384-403.

120. Henrici, P. K. Elements of Numerical Analysis Text. / P. K. Henrici. John Wiley & Sons, New York, 1964.

121. Hildebrand, F. В. Introduction to Numerical Analysis Text. / F.B. Hildebrand. — McGraw-Hill, New York, 1956.

122. Householder, A. S. The Theory of Matrices in Numerical Analysis Text. / A. S. Householder. Blaisdell, New York, 1970.

123. Muller, D. E. A Method of Solving Algebraic Equations Using an Automatic Computer Text. / D.E. Muller. -Mathematical Tables and Other Aids to Computation (MTAC), vol. 10,- 1956.-P. 208-215.

124. Ralston, A. First-Course in Numerical Analysis Text. / A. Ralston, P.A. Rabinowitz. — 2nd ed. McGraw- Hill, New York, 1978.

125. Rao, S. S. The Finite Element Method in Engineering Text. / S.S. Rao. Pergamon Press, New York, 1982.

126. Reddy, J. N. An Introduction to the Finite Element Method Text. / J.N. Reddy. 2nd ed. - McGraw-Hill, New York, 1993.

127. Rice, J. R. Numerical Methods, Software and Analysis Text. / J.R. Rice. McGraw-Hill, New York, 1983.

128. Richardson, L. F. The Appropriate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems with an Application to the Stresses in a Masonary Dam Text. / L. F. Richardson // Phil. Trans. Roy. Soc, London Series. vol. 210. - 1970. - P. 307-357.

129. Southwell, R. V. Relaxation Methods in Engineering Science Text. / R.V.Southwell. -Oxford University Press, London, 1940.

130. Stewart, G. W. Introduction to Matrix Computation Text. / G.W. Stewart. Academic Press, New York, 1973.

131. Stoer, J. Introduction to Numerical Analysis Text. / J. Stoer, R. Bulirsch. SpringerVerlag, New York, 1980.

132. Strong, G. An Analysis of the Finite Element Method Text. / G. Strong, G. J. Fix. -Prentice Hall, Englewood Cliffs, NT, 1988.

133. Vaidyanathan, P. P. Multirate Systems and Filter Banks / P. P. Vaidyanathan // Englewood Cliffs. NY.: Prentice Hall, 1993.

134. Wilkinson, J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem Text. / J. H. Wilkinson. -Clarendon Press, Oxford, England, 1965.

135. Wiener, N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications / N. Wiener // John Wiley & Soon, Inc. New-York, 1949.

136. Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method Text. / O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. vols. 1 and 2. - McGraw-Hill, New York, 1991.