Разработка метода и алгоритмов рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лукьянова, Наталья Александровна

• Лукьянова, Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Лукьянова, Наталья Александровна

Оглавление

Введение

Глава 1. Конечные случайные множества и их распределения

1.1 Конечные случайные множества и способы их представления

1.1.1 Функции множества

1.1.2 Распределения вероятностей конечного случайного множества

1.1.3 Распределения вероятностей конечного случайного множества, заданного на подмножестве носителя

1.2 Достаточные условия существования распределений

вероятностей конечных случайных множеств

1.3 Уточнение границ Фреше для распределений вероятностей конечного случайного множества

1.3.1 Распределение вероятностей 11-го рода

1.3.2 Распределение вероятностей У-го рода

1.4 Выводы по первой главе

Глава 2. Метод рекуррентного построения распределений

вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций

2.1 Ассоциативные функции

2.2 Построение функций множества на основе ассоциативных функций

2.3 Построение распределений вероятностей 11-го рода на основе ассоциативных функций

2.3.1 Ассоциативная функция ЛР(а, Ь) = а • Ь

2.3.2 Ассоциативная функция ЛР(а, Ь) = шт{а, Ь}

2.3.3 Ассоциативная функция ЛР(а, Ь) = тах{а + Ь — 1,0}

а • Ь

2.3.4 Ассоциативная функция ЛР(а,Ь) =

а + Ь — а • Ь

2.3.5 Однопараметрическое семейство функций Франка

2.4 Построение распределений вероятностей У-го рода

на основе двойственных ассоциативных функций

2.5 Выводы по второй главе

Глава 3. Численные методы и комплекс программ для исследования

распределений конечных случайных множеств

3.1 Алгоритмы рекуррентного построения распределений

на основе ассоциативных функций

3.1.1 Общий алгоритм реализации рекуррентного метода

с произвольной ассоциативной функцией

3.1.2 Модификации общего алгоритма для конкретных ассоциативных функций

3.1.3 Анализ алгоритмов

3.2 Описание комплекса программ

3.3 Численная аппроксимация эмпирических распределений

теоретическими распределениями при исследовании

лекарственной устойчивости у больных туберкулёзом

3.4 Выводы по третьей главе

Заключение

Список литературы

Приложение А Демонстрационные примеры

Приложение Б Структура и основные функции комплекса программ

Список таблиц

Список иллюстраций

Список условных обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода и алгоритмов рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. В последние годы в многомерном анализе данных возрос интерес к изучению частично определенных моделей, в которых объектом статистического интереса является множество, а не точка. Задачи с такими моделями возникают в медицине, например, при прогнозировании осложнений, возможных у пациента по множеству диагностических симптомов; в экономике — для исследования потребительского спроса; в пожарной безопасности — для описания процесса случайного распространения лесного пожара и т.п. Одним из возможных подходов к решению этих задач является использование аппарата случайных множеств.

Под конечным случайным множеством понимается случайный элемент со значениями из множества всех подмножеств некоторого фиксированного конечного множества М, называемого носителем конечного случайного множества и определяющего набор его возможных значений. Основной объект диссертационного исследования — конечные случайные множества, носителями которых выступают произвольные конечные множества абстрактных объектов (числовой или нечисловой природы), в частности множества случайных событий. Конечные случайные множества с таким носителем можно рассматривать в качестве математической модели сложных объектов и систем, когда число описываемых их признаков конечно и появление любого из этих признаков представляется как случайное событие. Например, в анализе лекарственной устойчивости при лечении туберкулеза в роли моделируемого объекта выступает больной с конечным множеством лекарственных препаратов, используемых при его лечении. Если число признаков равно N то возможное число различных состояний объекта равно 2м. Если каждому из этих состояний соответствует некоторая вероятность появления, то набор всех 2м вероятностей задает при определенных условиях распределение конечного случайного множества.

Понятие случайного множества впервые было упомянуто в работе А. Н. Колмогорова в 1933 г. вместе с математическими основами теории вероятностей [112]: «область ..., форма которой зависит от случая». Исследования случайных множеств начинаются с классических работ G. Choquet (1953-1954 гг.), D. G. Kendall (1974 г.) и G. Matheron (1975 г.).

Важные результаты теории случайных множеств в стохастической геометрии получены такими учеными как G. Matheron [120], D. G. Kendall [110], J. Serra [141, 142], L. Santalo [69, 133], D. Stoyan [146, 147], Р. В. Амбарцу-мян [2], О. Ю. Воробьев [18,19,148], P. Diggle [92,93], И. Молчанов [122,123], A. Baddeley [84,85] и многие другие. В работах этих авторов понятие случайного множества определяется различными способами в зависимости от используемого носителя и соответствующей ему структуре множества значений: замкнутое, открытое, непустое компактное, выпуклое случайное множество и другие. Например, J. Serra использовал случайные множества для моделирования агломерации руды, P. Diggle — для моделирования распространения вереска и при имитации природных текстур в бинарных изображениях, в то время как D. Stoyan и H. Stoyan применили случайные множества в статистике частиц для изучения колебаний форм песчинок, показывая, что случайные множества в качестве теоретико-множественного метода имеют свои преимущества и могут выступать в качестве дополнения к другим мощным средствам, таким как многомерная статистика. D. Stoyan применял случайные множества к стохастическим моделям систем из твердых сред, а также при изучении моделей пористой среды. Много работ связано с изучением случайных геометрических объектов — точек, прямых, кругов, мозаик и т.д. В основе исследований лежит математическая морфология, которая изучает форму, в том числе, и случайную форму пространственных объектов. Основными объектами в этой области являются случайные множества элементов числовой природы, например, случайные подмножества евклидова пространства. Поэтому в анализе таких случайных множеств используются классические методы работы с числовыми объектами.

Начиная с 80-х гг. XX века случайные множества стали применяться и в других областях, например, в статистике объектов нечисловой природы, экономет-

рике и т.д. Принципиальное отличие этих случайных множеств заключается в том, что их носители состоят из произвольных абстрактных элементов, которые не принадлежат пространствам с привычной линейной или любой другой структурой. Случайные множества с различными типами такого рода носителей исследовались в работах G. Robbins [132], И. Молчанова [122], H. T. Nguyen [125], А. И. Орлова [62], О. Ю. Воробьева [17-19,21], D. Stoyan [146-148] и другие. Эти исследования тесно связаны с математическими теориями неопределенности, такими как теория нечетких множеств, теория возможностей, теория свидетельств Демпстера-Шейфера и другие. В работах I. Goodman [102], H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129], J. Goutsias, R. Mahler [130], G. Rogers [109], D. Dubois [94], А. И. Орлова [62, 64], О. Ю. Воробьева [21] и многих других показано, что некоторые положения теорий неопределенности могут быть формально выражены в терминах теории случайных множеств. Например, I. Goodman, А. И. Орлов представляют нечеткие множества как «проекции» случайных множеств. H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129] в своих работах предлагают случайно-множественную трактовку теории свидетельств Демпстера-Шейфера [91,144,145]. D. Dubois [94], I. Goodman, H. T. Nguyen [103], J. Goutsias, R. Mahler [130], G. Rogers [109] рассматривают теорию случайных множеств в качестве фундамента для теории экспертных систем.

Применение современной теории случайных множеств достаточно широко, например, анализ изображений (J. Goutsias, R. Mahler и H. T. Nguyen [130]), статистика неполных данных (D. F. Heitjan и D. B. Rubin, [108]), моделирование роста раковой опухоли (N. Cressie и G. M. Laslett [89], [90]), моделирование неопределенности (H. T. Nguyen [126]), управление запасами и ресурсами (в логистике) (А. И. Орлов [62]), процесс случайного распространения пожара (О. Ю. Воробьев и Э. Н. Валендик [17], О. Ю. Воробьев [149], А.О. Воробьев [15]), исследование индикаторных случайных процессов (Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская [12,13]) и другие .

Основные теоретические результаты исследования конечных случайных множеств, в качестве носителя которых выступают множества случайных событий, принадлежат О. Ю. Воробьеву (1976-2016 гг.). В рамках разработанного им

случайно-множественного подхода в работах A. A. Новоселова [22], Э. Н. Ва-лендик [17], И. В. Барановой [3], А. О. Воробьева [15], Е. Е. Голденок [23,98,99], Т. В. Куприяновой [42], О. Ю. Тарасовой [76], А. Ю. Фомина [79], К. А. Белова [4], Д. В. Семеновой [26,70], J. Goldblatt [150] были поставлены и решены многие прикладные задачи различного характера: социально-экономические (анализ потребительского спроса, портфельный анализ, банковский скоринг, анализ финансовых рисков), экологические и медицинские (прогнозирование распространения лесных пожаров, анализ уровня заболеваемости в зависимости от районов проживания, обнаружение закономерностей в медицинских данных и их извлечение).

сегодняшний день основной проблемой, ограничивающей практическое применение случайно-множественного подхода, является проблема размерности. В общем случае количество параметров, задающих распределения вероятностей конечного случайного множества, зависит от мощности носителя. Увеличение количества признаков в носителе влечет экспоненциальный рост размерности распределения. Тем не менее современные приложения требуют повышения мощности носителя и увеличения объема выборки данных для построения статистической оценки параметров распределения. Однако эти факторы значительно увеличивают время формирования и исследования этих распределений. Подходы к решению проблемы снижения числа параметров, необходимых для описания распределений вероятностей конечных случайных множеств, на сегодняшний день представлены лишь отдельными работами А. О. Воробьева [16], О. Ю. Воробьева [18,28,151,152], Д. В. Семеновой [116,135], E. E. Голденок [30, 100] с использованием среднемерного и энтропийных методов построения распределений вероятностей конечных случайных множеств для ряда конкретных экономических приложений. Проблема размерности по-прежнему остается актуальной научной задачей и требует новых подходов и методов для ее решения. Однако, даже при снижении размерности важнейшим сдерживающим фактором применения случайно-множественного моделирования является узкий класс выявленных законов распределений вероятностей конечных случайных множеств, к которым относятся m-зависимые, кусочно-независимые,

слойно-равномерные, равномощно-равномерные распределения вероятностей и немногие другие. Для расширения области применения случайно-множественного подхода необходимо увеличение спектра законов распределений вероятностей конечных случайных множеств. Решению этих проблем посвящено настоящее диссертационное исследование.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка метода и алгоритмов рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи.

1. Выявить достаточные условия существования распределений 11-го и У-го рода конечных случайных множеств.

2. Исследовать известные семейства ассоциативных функций и разработать метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций.

3. Разработать алгоритмы рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций и выполнить анализ их эффективности.

4. Создать комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий алгоритмы рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций, позволяющий моделировать и исследовать распределения вероятностей конечных случайных множеств, выполнять вычислительные эксперименты.

Научная новизна.

1. Разработан новый метод представления распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций. Данный метод осуществляет рекуррентное построение распределений вероятностей через меньшее число параметров. По сравнению с известными среднемер-ным и энтропийными методами предложенный метод позволяет получать набор распределений вероятностей конечных случайных множеств, структура зависимостей событий которых описывается только параметром используемой ассоциативной функции. Предложенный метод позволяет полу-

чать новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств.

2. Впервые доказаны достаточные условия существования распределений вероятностей 11-го и У-го рода конечных случайных множеств. Эти условия служат обоснованием области применимости метода рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств.

3. Модифицированы известные границы Фреше для вероятностей пересечений и объединений случайных событий, уточняющие необходимые и достаточные условия существования распределений вероятностей 11-го и У-го рода конечного случайного множества.

4. Разработан алгоритм рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств для произвольной ассоциативной функции и его модификации для четырех конкретных ассоциативных функций, реализованные в виде комплекса проблемно-ориентированных программ и позволяющие проводить предобработку данных для реальных прикладных задач и вычислительных экспериментов.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует области исследования специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений» (пункт 1 научной новизны), п.2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей» (пункты 1-3 научной новизны), п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента» (пункты 3-4 научной новизны).

Методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применены методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных множеств и ассоциативных функций. Ассоциативные функции хорошо известны и используются в теориях неопределенности, таких как нечеткая логика, теория копул и др. В работе ассоциативные функции впервые применены для построе-

ния распределений вероятностей конечных случайных множеств.

Результаты, представленные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значение.

Теоретическая значимость работы. Работа носит преимущественно теоретический характер. Предложенный метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций позволяет определить аналитический вид и условия существования для ряда распределений вероятностей конечных случайных множеств. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для дальнейшего расширения и изучения новых распределений вероятностей конечных случайных множеств. Работа имеет важное значение для развития теории случайных множеств.

Практическая значимость работы. Предложенный метод позволяет проводить предобработку входных данных в виде распределений вероятностей конечных случайных множеств и их характеристик для моделирования реальных медицинских и экономических систем. Разработанный комплекс алгоритмов и программ может быть использован в научных исследованиях для изучения свойств конечных случайных множеств, а также в учебном процессе при изучении методов построения стохастических моделей с помощью конечных случайных множеств.

Достоверность полученных результатов. Достоверность теоретических результатов диссертационной работы подтверждается строгими математическими доказательствами. Предложенный в диссертации метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций теоретически обоснован. Данный метод позволил получить ранее известные распределения конечных случайных множеств с независимо-

и и С/ С/ V/ и

точечной, вложенной и непересекающейся структурой зависимостей событий, а также и новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе однопараметрических семейств ассоциативных функций Франка, Али-Михаэля-Хака, Гумбеля, Клейтона, Джо.

Использование результатов диссертации. Результаты диссертации применяются в учебном процессе Сибирского федерального университета для подго-

товки бакалавров и магистров по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Математика. Компьютерные науки», а также Красноярского государственного медицинского университета им. проф. В.Ф.Войно-Ясенецкого для подготовки специалистов направления «Медицинская кибернетика». Имеются акты об использовании.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций и обоснование области его применимости.

2. Достаточные условия существования распределений вероятностей II-го и V-го рода и уточненные границы Фреше.

3. Алгоритм рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств для произвольной ассоциативной функции и его модификации для четырех конкретных ассоциативных функций.

4. Комплекс проблемно-ориентированных программ для моделирования и исследования распределений конечных случайных множеств.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Автор лично участвовал в получении всех результатов, изложенных в работе, а именно в разработке и исследовании метода рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций, выводе всех формул, доказательстве всех представленных в диссертации теорем, разработке алгоритмов и представленного комплекса проблемно-ориентированных программ.

Публикации. По тематике диссертации опубликовано 20 работ, из них 5 статей в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий и рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (в том числе 1 статья в российском научном журнале, индексируемом Scopus):

1. Лукьянова Н. А. Ассоциативные функции Франка в построении семейств

дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Прикладная дискретная математика. — 2016. — № 2 (32). — C. 5-19. — DOI: 10.17223/20710410/32/1.

2. Lukyanova N. A. The study of discrete probabilistic distributions of random sets of events using associative function / N. A. Lukyanova, D. V. Semenova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2014. — № 7 (4). — P. 500-514. (Scopus)

3. Семенова Д. В. Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова // Прикладная дискретная математика. — 2014. — № 4 (26). — C. 47-58.

4. Lukyanova N. A. Eventological Scoring in the Theory of Fuzzy Events /N. A. Lukyanova, M. I. Rybnikova, D. V. Semenova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2012. — № 5 (2). — P. 143-155.

5. Vorobyev O. Yu. Properties of the entropy of multiplicative-truncated approximations of eventological distributions / O. Yu. Vorobyev, N. A. Lukyanova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2011. — № 4 (1). — P. 50-60.

3 статьи в изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus:

1. Semenova D. Formation of Probabilistic Distributions of RSE by Associative Functions / D. Semenova, N. Lukyanova // Information Technologies and Mathematical Modelling : proceedings of 13th International Scientific Conference, ITMM 2014, named after A.F. Terpugov. Anzhero-Sudzhensk, Russia, November 20-22, 2014. — Springer International Publishing, Switzerland, 2014. — Communications in Computer and Information Science, vol. 487. — Р. 377-386. — DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4_43.

2. Semenova D. V. Random Set Decomposition of Discrete-Continuous Random Variables / D. V. Semenova, N. A. Lukyanova // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI?2012) : proceedings of the IV International conference. Baku, Azerbaijan, September 12-14, 2012. — Baku, 2012. — Vol. IV. — P. 180-183. -DOI: 10.1109/ICPCI.2012.6486479.

3. Goldenok E. E. Applications of wide dependence theory in eventological scoring

/ E. E. Goldenok, N. A. Lukyanova, D. V. Semenova // Automation, Control and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT-CDA 2010): proc. of the IASTED Int. conf. Novosibirsk, June 15-18, 2010.

— Novosibirsk, 2010. — Automation, Control and Information Technology, vol. 692.-P. 316 -322.

Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса: 1. Лукьянова Н. А. Комплекс программ «Вероятностные распределения случайных конечных множеств событий» / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова.

— Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». — Свид. о рег. №21892, дата рег.: 01.06.2016 г.

А также 1 статья в научном журнале [139], 10 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных и научно-практических конференций (из них 1 сборник материалов зарубежной конференции) [47-50,52, 54,72,73,101,138].

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее вопросы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. III IASTED International Multi-Conference on Automation, Control, and Information Technology, ACIT-CDA 2010. Novosibirsk, Russia, 2010.

2. II, IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics». Baku, Azerbaijan, 2010, 2012.

3. Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В.Гнеденко. Москва, 2012.

4. IX - X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Катунь, 2012, 2014.

5. IV Congress of the Turkic World Mathematical Society (TWMS). Baku, Azerbaijan, 2011.

6. XIV Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference. Rome, Italy, 2011.

7. Республиканские научно-практические конференции «Статистика и ее применения». Ташкент, Узбекистан, 2012, 2015.

8. 12-ая Международная Научная школа «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в сложных системах». Санкт-Петербург, 2014.

9. XIII, XIV Международные конференции имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2014. Катунь, 2016.

10. VI Международная конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Омск, 2015.

11. IX - XIV Международные конференции «Финансово-актуарная математика». Красноярск, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015.

12. V Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - Аль-Хорезми 2016». Бухара, Узбекистан, 2016.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, двух приложений, списка таблиц, списка иллюстраций и списка условных обозначений. Общий объем диссертации составляет 147 страниц, включая приложения; иллюстративный материал представлен 12 рисунками (из них 4 в приложениях) и 9 таблицами; список литературы содержит 157 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении к диссертации дается описание работы, раскрывается актуальность темы исследования, приводится обзор работ других авторов по изучаемой тематике, формулируются цели и задачи исследования, излагается методология исследования, обосновывается теоретическая и практическая значимость диссертации, а также научная новизна результатов исследования. Приведено краткое изложение диссертации.

В первой главе приводятся основные сведения о ключевых объектах исследования — конечных случайных множествах, носителями которых выступают множества случайных событий, и распределениях вероятностей их характеризующих.

В параграфе 1.1 приведены основные определения и утверждения, касающиеся конечных случайных множеств. Сформулированы и доказаны леммы для

трех типов распределений вероятностей конечного случайного множества (далее распределения 1-го, 11-го и У-го рода). Введено определение распределения вероятностей конечного случайного множества, заданного на подмножестве носителя.

В параграфе 1.2 доказаны теоремы о достаточных условиях существования распределений вероятностей 11-го и У-го рода конечного случайного множества, которые дополняют ранее доказанные в работах [14,21] необходимые условия существования этих распределений.

В параграфе 1.3 получены модификации границ Фреше для вероятностей пересечений и объединений событий, которые уточняют необходимые и достаточные условия существования распределений вероятностей 11-го и У-го рода конечных случайных множеств.

Во второй главе предлагается метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций. Данный метод сокращает число параметров и порождает новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств.

В параграфе 2.1 даются предварительные сведения из теории ассоциативных функций и обосновывается применение понятия ассоциативной функции к распределению вероятностей конечного случайного множества.

В параграфе 2.2 изложен метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций.

Предложенный метод решает проблему размерности, однако порождает другую проблему: построенные с помощью данного метода функции множества могут не являться распределением вероятностей; для каждого рассматриваемого семейства ассоциативных функций возникает необходимость исследования области применимости метода. Параграф 2.3 посвящен решению этой проблемы. Кроме того, в этом параграфе с помощью предложенного метода получены ранее известные законы распределений вероятностей (законы с независимо-точечной,

и и и и V \

вложенной и непересекающейся структурой зависимостей событий), а также выявлены новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств.

В параграфе 2.4 метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств распространен на двойственные ассоциативные функции.

В третьей главе диссертации приводятся описание алгоритмов и комплекса программ.

Изложенный во второй главе метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств ассоциативными функциями допускает численную реализацию с помощью соответствующих алгоритмов.

В параграфе 3.1 приводятся алгоритмы построения распределений конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций. Описание алгоритмов дано на псевдокоде. Приведены оценки времени работы алгоритмов в зависимости от длины входа.

В параграфе 3.2 представлено описание разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ «Моделирование и исследование распределений вероятностей конечных случайных множеств». Комплекс программ предназначен для рекуррентного построения вероятностных распределений конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций, для численной аппроксимации эмпирических распределений теоретическими распределениями.

В параграфе 3.3 приведены результаты численных экспериментов по моделированию распределений конечных случайных множеств с использованием разработанного комплекса программ для исследования лекарственной устойчивости у больных туберкулёзом.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы, полученные на основе настоящей диссертационной работы.

В приложении А приводятся демонстрационные примеры.

В приложении Б описывается структура и основные функции комплекса программ.

Глава 1 Конечные случайные множества и их распределения

В многомерном анализе данных актуальны задачи моделирования случайных объектов нечисловой природы. Такие задачи возникают в медицине — при прогнозировании осложнений, возможных у пациента по множеству диагностических симптомов; в экономике — для исследования потребительского спроса; в пожарной безопасности — для описания процесса случайного распространения лесного пожара и т.п. Одним из возможных подходов к решению этих задач является использование аппарата случайных множеств. Случайные множества с различными типами носителей ранее исследовались в работах И. Молчанова [122], H. T. Nguyen [125], А. И. Орлова [62], О. Ю. Воробьева [17-19,21], D. Stoyan [146-148] и другие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукьянова, Наталья Александровна, 2016 год

Список литературы

[1] Абдушукуров А. А. Статистика неполных наблюдений / А. А. Абдушукуров.

— Ташкент : Изд-во «Университет», 2009. — 269 с.

[2] Амбарцумян Р. В. Введение в стохастическую геометрию / Р. В. Амбарцу-мян, Й. Мекке, Д. Штойян. — М.: Наука, 1989. — 400 с.

[3] Баранова И. В. Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем : дис. ... канд. физ.-мат. наук / И. В. Баранова. — Красноярск, 2006. — 139 с.

[4] Белов К. А. Методы и алгоритмы случайно-множественного анализа медицинских данных : дис. ... канд. техн. наук / К. А. Белов. — Воронеж, 2005. — 121 с.

[5] Биркгоф К. Теория решеток : пер. с англ. / К. Биркгоф. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 568 с.

[6] Боровков А. А. Математическая статистика. Проверка гипотез. Оценка параметров / А. А. Боровков. — М. : Наука, 1984. — 472 с.

[7] Быкова В. В. Комбинаторные алгоритмы: множества, графы, коды : учеб. пособие / В. В. Быкова. — Красноярск, 2015. — 152 с.

[8] Быкова В. В. Теоретические основы анализа параметризованных алгоритмов : монография / В. В. Быкова. — Красноярск, 2011. — 180 с.

[9] Быкова В. В. Дискретная математика с использованием ЭВМ : учеб. пособие / В. В. Быкова. — Красноярск, 2006. — 200 с.

[10] Быкова, В.В. Математические методы анализа рекурсивных алгоритмов / В. В. Быкова. // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. — 2008. — №3 (1).

— С. 236-246.

[11] Вероятность и математическая статистика : Энциклопедия / гл. ред. акад. РАН Ю. В. Прохоров. - М. : БРЭ, 1999. - 910 с.

[12] Вирченко Ю. П. Индикаторные случайные процессы и сепарабельные случайные замкнутые множества / Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. — Выпуск 20, 2010. — №17 (88). — С. 124-140.

[13] Вирченко Ю. П. Построение распределения вероятностей случайных множеств. I. Аддитивные меры на булевской решетке / Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика.

— Выпуск 28, 2012. — №17 (136). — С. 16-27.

[14] Воробьев А. О. Суммирование сет-аддитивных функций и формула обращения Мебиуса / А. О. Воробьев, О. Ю. Воробьев // Доклады РАН. — 1994.

— Т. 336, № 4. — С. 417-420.

[15] Воробьев А. О. Прямые и обратные задачи для моделей распространения пространственных рисков: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. О. Воробьев. — Красноярск, 1998. — 23 с.

[16] Воробьев А. О. Мультиковариации и многоточечно зависимые распределения случайных множеств / А. О. Воробьев // Труды I Всерос. ФАМ конференции. — Красноярск, 2002. — Т. 1. — С. 21-24.

[17] Воробьев О. Ю. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров / О. Ю. Воробьев, Э. Н. Валендик. — Новосибирск, 1978. — 160 с.

[18] Воробьев О. Ю. Среднемерное моделирование / О. Ю. Воробьев. — М. : Наука, 1984. — 133 с.

[19] Воробьев О. Ю. Сет-суммирование / О. Ю. Воробьев. — Новосибирск, 1993.

— 137 с.

[20] Воробьев О. Ю. Сет-функции и их свойства / О. Ю. Воробьев // е^Записки ФАМ Семинара'2004. — Красноярск, 2004. — № 8. — С. 30-72.

[21] Воробьев О. Ю. Эвентология / О. Ю. Воробьев. — Красноярск, 2007. — 435 с.

[22] Воробьев О. Ю. Случайно множественное моделирование финансовых рынков / О. Ю. Воробьев, А. А. Новоселов // Материалы семинара «Нестандартные и случайно - множественные методы измерения рисков в социально - экономических системах». — Красноярск, 1998. — С. 60-86.

[23] Воробьев О. Ю. Случайно-множественное измерение спроса и предложения на товарных рынках / О. Ю. Воробьев, Е. Е. Голденок. — Красноярск, 2002. — С. 225-230.

[24] Воробьев О. Ю. Структурный сет-анализ зависимостей случайных событий / О. Ю. Воробьев, Е. Е. Голденок. — Красноярск, 2004. — 106 с.

[25] Воробьев О. Ю. Регрессионный сет-анализ случайных событий / О. Ю. Воробьев, А. Ю. Фомин. — Красноярск, 2004. — 116 с.

[26] Воробьев О. Ю. Портфельный сет-анализ случайных событий / О. Ю. Воробьев, Д. В. Семенова. — Красноярск, 2005. — 106 с.

[27] Воробьев О. Ю. Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем / О. Ю. Воробьев, И. В. Баранова. — Красноярск, 2007. — 132 с.

[28] Воробьев О. Ю. Широкая зависимость событий и аппроксимация эвен-тологических распределений широко-мультипликативными сет-функциями / О. Ю. Воробьев // Труды VIII международ. ФАМ конференции. — Красноярск: СФУ, 2009. — Ч. 1. — С. 101-122.

[29] Гнеденко Б В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. — М. : Наука, 1988. — 406 с.

[30] Голденок Е. Е. Моделирование структур зависимостей и взаимодействий случайных событий с статистических системах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е. Е. Голденок. — Красноярск, 2002. — 138 с.

[31] Грэхем Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. — пер. с англ. — М. : Мир, 1998. — 703 с.

[32] Де Гроот М. Оптимальные статистические решения / М. Де Гроот. — М. : Мир, 1974. —492 с.

[33] Деза Е. И. Энциклопедический словарь расстояний / Е. И. Деза, М.-М. Деза.

— Пер. с англ. В. И. Сычева. — М.: Наука, 2008. — 444 с.

[34] Дмитриев Ю. Г. Статистическая обработка данных с использованием априорной информации: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Ю. Г. Дмитриев. — Томск, 2000. — 275 с.

[35] Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний / Н. Г. За-горуйко. — Новосибирск, 1999. — 270 с.

[36] Кельтон В. Имитационное моделирование. Классика С8 / В. Кельтон, А. Лоу. — 3-е изд. — СПб., 2004. — 847 с.

[37] Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика / А. И. Кобзарь. — М., 2006. — 816 с.

[38] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 4-е изд. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

[39] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. Серия: Теория вероятностей и математическая статистика / А. Н. Колмогоров. — М., 1974.

— 120 с.

[40] Кормен Т. X. Алгоритмы : построение и анализ / Т. X. Кормен [и др.]. — 2-е издание, пер. с англ. — М., 2005. — 1296 с.

[41] Кульбак С. Теория информации и статистика / С. Кульбак. — М. : Наука, 1967. — 408 с.

[42] Куприянова Т. В. Задача классификации подмножеств случайного множества и её применение: дис. ... канд. физ. мат. наук. / Т. В. Куприянова. — Красноярск, 2002. — 159 с.

[43] Лемешко Б. Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьтерный подход : монография / Б. Ю. Лемешко, С. Б. Лемешко, С. Н. Постовалов [и др. ]. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. — 888 с.

[44] Лемешко Б. Ю. Методы оптимизации : Конспект лекций / Б. Ю. Лемешко. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. — 126 с.

[45] Лукьянова Н. А. Ассоциативные функции Франка в построении семейств дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Прикладная дискретная математика. — 2016.—№2(32).— С. 5-19.

[46] Лукьянова Н. А. Комплекс программ «Вероятностные распределения случайных конечных множеств событий» [Электронный ресурс] / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова. — Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». — Свид. о рег. № 21892, дата рег. : 01.06.2016 г.

[47] Лукьянова Н. А. Краткий обзор по теории случайных множеств / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV международной конференции им. А. Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. — Томск, 2016. — Ч.1. — С. 172-178.

[48] Лукьянова Н. А. Ассоциативные функции в построении семейств распределений вероятностей конечных случайных множеств / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - Аль-Хорезми 2016 : труды У международной конференции. Бухара, 9-10 ноября 2016 г. — Бухара, 2016. — Т. 2. — С. 208-210.

[49] Лукьянова Н. А. Уточненные границы Фреше для вероятностного распределения случайного множества событий / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // XIV конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии многомерной статистики (ФАМЭМС'2015) : труды конференции. Красноярск, 24-25 апреля 2015 г. — Красноярск, 2015. — С. 302-308.

[50] Лукьянова Н. А. Применение ассоциативных функций для оценки вероятности целевого события / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Статистика и ее применения : материалы респуб. научно-практ. конференции. Ташкент, 16-17 октября 2015 г. — Ташкент, 2015. — С. 91-98.

[51] Лукьянова Н. А. Применение ассоциативной функции Али-Михаэля-Хака в событийном скоринге / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Проблемы оптимизации и экономические приложения : материалы VI международной конференции. Омск, 28 июня-4 июля 2015 г.— Омск, 2015 — С. 139.

[52] Лукьянова Н. Ассоциативные случайные множества событий в скоринге / Н. Лукьянова, Д. Семенова, М. Мельникова // Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в сложных системах (МАБР-2014) : труды Двенадцатой междунар. науч. школы. Санкт-Петербург, 18-20 ноября 2014 г. — СПб., 2014. — С. 275-282.

[53] Лукьянова Н. А. Информационно-энтропийное моделирование событийной безопасности / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Десятой Рос. конф. с междунар. участием. Алтайский край, 9-11 июня 2014 г. — Томск, 2014. — С. 87-88.

[54] Лукьянова Н. А. Энтропия множества событий и его подмножества / Н. А. Лукьянова // XII международная конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности (ФАМЭБ'2013) : труды конференции. Красноярск, 19-20 апреля 2013 г. — Красноярск, 2013. — С. 264-271.

[55] Лукьянова Н. А. Случайно-множественные разложения распределений дискретно-непрерывных случайных векторов / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Девятой Рос. конф. с междунар. участием. Катунь, 4-7 июня 2012 г. — Томск, 2012. — С. 98.

[56] Лукьянова Н. А. Визуализация средневероятного события через матричное представление террасных событий / Н. А. Лукьянова, Я. В. Нартов, Д. В. Се-

менова // XVI международная конференция по эвентологической математике и смежным вопросам (ЭМ'2012) : труды конференции. Красноярск, 7-8 декабря 2012 г. — Красноярск, 2012. — С. 145-158.

[57] Ляшенко Н. Н. Случайное множество / Н. Н. Ляшенко // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М. : БРЭ, 1999. — С. 596.

[58] Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия / Ж. Матерон. — пер. с англ. — М. : Мир, 1978. — 320 с.

[59] Наркевич А. Н.Организация активного выявления туберкулеза легких флюорографическим методом на основе индувидуальной оценки факторов риска: дис. ... канд. мед. наук / А. Н. Наркевич. — Красноярск, 2014. — 150 с.

[60] Наркевич А. Н.Факторы риска развития туберкулеза легких и их оценка в современных условиях: монография / А. Н. Наркевич, Н. М. Корецкая, К. А. Виноградов [и др. ]. — Красноярск : Версо, 2016. — 155 с.

[61] Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения : пер. с англ. / под ред. Р. Р. Ягера. — М. : Радио и связь, 1986. — 408 с.

[62] Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях / А. И. Орлов. — М. : Наука, 1979. — 296 с.

[63] Орлов А. И. Статистика объектов нечисловой природы / А. И. Орлов // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М. : БРЭ, 1999. — С. 646-648.

[64] Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. : Ч. 1 : Нечисловая статистика / А. И. Орлов. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 541 с.

[65] Петер Р. Рекурсивные функции / Р. Петер. — Пер. с нем. В.А. Успенского. Под ред. и с предисловием А. Н. Колмогорова. — М. : Иностранная литература, 1954. — 264 с.

[66] Раушенбах Г. В. Меры близости в пространстве множеств / Г. В. Раушен-бах // Алгоритмы анализа данных социально-экономических исследований. — Новосибирск, 1982. — С. 29-43.

[67] Раушенбах Г. В. Меры близости и сходства / Г. В. Раушенбах // Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. — М. : Наука, 1985. — С. 169-203.

[68] Рыков В. В. Математическая статистика и планирование эксперимента: уч. пособие / В. В. Рыков, В. Ю. Иткин. — М. : МАКС Пресс, 2010. — 308 с.

[69] Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности / Л. Сантало. - М.: Наука, 1983. - 360 с.

[70] Семенова Д. В. Методы построения статистических зависимостей портфельных операций в рыночныхх системах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Д. В. Семенова. — Красноярск, 2002. — 143 с.

[71] Семенова Д. В. Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова // Прикладная дискретная математика. 2014. — № 4(26). — С. 47 - 58.

[72] Семенова Д. В. Семейство случайных множеств событий Франка / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова, Л. Ю. Шангареева // XIII конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии многомерной статистики (ФАМЭМС'2014): труды конференции. Красноярск, 18-19 апреля 2014 г. — Красноярск, 2014. — С. 234-238.

[73] Семенова Д. В. Оценка параметра ассоциативной функции методом наименьших квадратов для семейств Франка и Али-Михаэля-Хака случайных множеств событий / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова, Л. Ю. Шангареева // XIII конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии многомерной статистики (ФАМЭМС'2014): труды конференции. Красноярск, 1819 апреля 2014 г. — Красноярск, 2014. — С. 239-243.

[74] Семенова Д. В. Распределения двупараметрических дискретно-непрерывных случайных величин / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова // XI междунар.

конференция по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности (ФАМЭБ'2012) : труды конференции. Красноярск, 19-20 апреля 2012 г.

— Красноярск, 2012. — С. 347-353.

[75] Семенова Д. В. Исследование совместных распределений дискретно-непрерывных случайных величин / Н. А. Лукьянова, Д. В. Семенова // Теория вероятностей и ее приложения : тезисы докладов Междунар. конф., посвященная 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко. Москва, 26-30 июня 2012 г. — Под ред. А. Н. Ширяева, А. В. Лебедева. — М. : ЛЕНАНД, 2012. — С. 298-299.

[76] Тарасова О. Ю. Сеточные и регрессионные алгоритмы аппроксимации сложных систем событий: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / О. Ю. Тарасова. - Красноярск, 2007. - 24 с.

[77] Фантаццини Д. Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций / Д. Фантаццини // Прикладная эконометрика. — 2011.

— №2(22).— С. 98-134.

[78] Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке / Р. Фелпс. — пер. с анг. Н. В. Харьковой, под ред. Е. А. Горина. — М: Мир, 1968. — 108 с.

[79] Фомин А. Ю. Сет-регрессионный анализ зависимостей случайных событий в статистических системах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. Ю. Фомин. — Красноярск, 2002. — 126 с.

[80] Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / А. Н. Ширяев.— 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — Кн. 1. — 520 с.

[81] Яглом И. М. Булева структура и ее модели / И. М. Яглом. — М.: Сов. радио, 1980. — 192 с.

[82] Янковская А. Е. Преобразование пространства признаков в пространство образов на базе логико-комбинаторных методов и свойств некоторых геометрических фигур / А. Е. Янковская // Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии: Тез. докл. I Всесоюзной конф.

— Минск, 1991. — Ч. II. — С. 178-181.

[83] Alsina S. Associative functions: Triangular Norms and Copulas / S. Alsina, M. Frank, B. Schveizer. — Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006. — 237 p.

[84] Baddeley A. Average of random sets based on their distance functions / A. Baddeley, I. Molchanov. // Journal of Mathematical Imaging and Vision. — 1998. — №8. — P. 79-92.

[85] Baddeley A. J. Non- and semi-parametric estimation of interaction in inhomogeneous point patterns / A. J. Baddeley // Journal of Statistica Neerlandica. — 2000. — Vol. 54, № 3. — P. 329-350.

[86] Barndorff-Nielsen O. E. Stochastic Geometry: Likelihood and Computation / O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall, M. N. M. Lieshout, editors. // Monographs on statistics and applied probability (Series) 80. — Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC, 1999. — 404 p.

[87] Baudin M. Multidimensional point processes and random closed sets / M. Baudin. // Journal of Applied Probability. — 1984. — №21. — P. 173-178.

[88] Choquet G. Theory of capacities / G. Choquet // Annales de l'Institut Fourier. — 1953. — Vol. 5. — P. 131-295.

[89] Cressie N. Random set theory and problems of modeling / N. Cressie, G. M. Laslett. // SIAM Review 29. — 1987. — P. 557-574.

[90] Cressie N. A spatial statistical analysis of tumor growth / N. Cressie, F.L. Hulting // Journal of the American Statistical Association. — 1992. — Vol. 87. — P. 272283.

[91] Dempster A. P. A generalization of bayesian inference / A. P. Dempster// Journal of the Royal Statistical Society, Series B( Methodological). — 1968. — № 30. — P. 205-247.

[92] Diggle P. Binary mosaics and the spatial pattern of heather / P. Diggle// Biometrics. - 1981. - № 31. - P. 531-539.

[93] Diggle P. J. Statistical analysis of spatial point patterns/ P. J. Diggle. — N.Y.: Academic Press, 1983. — 148 p.

[94] Dubois D. Random sets and fuzzy interval analysis / D. Dubois, H. Prade. // Fuzzy Sets and Systems. — 1991. — № 42. — P. 87-101.

[95] Frank M. J. On the simultaneous associativity of F(x,y) and x + y — F(x,y) / M. J. Frank // Aequationes Math. — 1979. — № 19. — P. 194-226.

[96] Frigyik B. A. Introduction to the Dirichlet distribution and related processes / B. A. Frigyik, A. Kapila, M. R. Gupta. // UWEE, Tech. Rep. UWEETR-2010-0006. — 2010.

[97] Fujishige S. Submodular functions and optimization / S. Fujishige. // Annals of Discrete Mathematics. — Elsevier, Amsterdam, 2005. — Vol. 58. — 410 p.

[98] Goldenok E. E. An eventological substantiation of the classical market model / E. E. Goldenok, K. V. Goldenok // Vestnik of the Krasnoyarsk State University. Phys.-Math. Sc. Series. — 2006. — № 9. — C. 135-139.

[99] Goldenok E. E. Eventological measurements of superpositional supply and demand by distribution functions / E. E. Goldenok, K. V. Goldenok. // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2008. — № 1. — C. 76-82.

[100] Goldenok E. E. Applications of wide dependence theory in eventological scoring / E. E. Goldenok, N. A. Lukyanova, D. V. Semenova // Automation, Control and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT-CDA 2010): proceedings of the IASTED Int. conference. Novosibirsk, June 15-18, 2010. — Novosibirsk, 2010. — Vol. 692: Automation, Control and Information Technology. — P. 316-322.

[101] Goldenok E. E. About entropy of eventological distributions / E. E. Goldenok, N. A. Lukyanova, M. I. Rybnikova, D. V. Semenova // XIV International Conference on Applied Stochastic Models and Data Analysis (ASMDA 2011) : proceedings. Rome, Italy, June 7-10, 2011. — Rome, Italy, 2011. — P. 518-525.

[102] Goodman I. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets / I. Goodman. // Recent Developments in Fuzzy Sets and Possibility Theory. — In R. R. Yager, editor. — Permagon Press, 1982. — P. 327-343.

[103] Goodman I. Uncertainty models for knowledge based systems /1. Goodman, H. Nguyen. — North-Holland, 1985. — 643 p.

[104] Grabisch M. Equivalent representations of set functions / M. Grabisch, J.-L. Marichal, M. Roubens // Mathematics of Operations Research. — 2000. — №25 (2).—P. 157-178.

[105] Grabisch M. The Mobius function on symmetric ordered structures and its application to capacities on finite sets / M. Grabisch // Discrete Mathematics. — 2004. — №287 (1-3). — P. 17-34.

[106] Grabisch M. Bases and transforms of set functions / M. Grabisch // Documents de travail du Centre d'Economie de la Sorbonne 2015.48 — URL: https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01169287/document (дата обращения: 01.08.2016).

[107] Hammer P. L. Boolean Methods in Operations Research and Related Areas / P. L. Hammer, S. Rudeanu. — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1968.— 331 p.

[108] Heitjan D. F. Ignorability and coarse data / D. F. Heitjan, D. B. Rubin.// Annals of Statistics. — 1991. — Vol. 19. — P. 2244-2253.

[109] Hestir K. A random set formalism for evidential reasoning / K. Hestir, H. T. Nguyen, G. Rogers // Conditional Logic in expert systems. — In I.Goodman, M.Gupta, H.Nguyen, G.Roger, editors. — North-Holland, 1991. — P. 309-344.

[110] Kendall D. G. Foundations of a theory of random sets / D. G. Kendall // Stochastic Geometry. - Wiley, New York, 1974. — P. 322 - 376.

[111] Klement E.P. Triangular norms / E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap. — Boston: Kluwer Academic Pub., 2000. — 220 p.

[112] Kolmogorov A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung / A. N. Kolmogorov // Ergebnisse der Mathematik — Berlin, 1933.

[113] Logical, Algebraic, Analytic, and Probabilistic Aspects of Triangular Norms. — Edited by Klement E. P., Mesiar R. — Elsevier, 2005. — 481 p.

[114] Lovasz L. Submodular functions and convexity / L. Lovasz // Mathematical Programming. — In: A. Bachem, M. Grotschel, and B.Korte, editors. — The State of the Art, Springer-Veriag, 1983. — P. 235-257.

[115] Lukyanova N. A. The study of discrete probabilistic distributions of random sets of events using associative function / N. A. Lukyanova, D. V. Semenova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2014. — № 7 (4). — P. 500-514.

[116] Lukyanova N. A. Eventological Scoring in the Theory of Fuzzy Events / N. A. Lukyanova, M. I. Rybnikova, D. V. Semenova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2012. — № 5 (2). — P. 143-155.

[117] Lukyanova N. A. Eventological subdistributions: matrix representation of the events-terraces for a set of events / N. A. Lukyanova // XV международная конференция по эвентологической математике и смежным вопросам (ЭМ'2011) : труды конференции. Красноярск, 10-11 декабря 2011 г. — Красноярск, 2011. — С. 20-26.

[118] Lukyanova N. A. Properties of the entropy of eventological subdistributions / N. A. Lukyanova // IV Congress of the Turkic World Mathematical Society : proceedings. Baku, 1-3 July, 2011. — Baku, Azerbaijan, ANAS, 2011. — P. 310.

[119] Mahler R. Random sets: Unification and computation for information fusion -a retrospective assessment / R. Mahler. // In The 7th International Conference on Information Fision. — 2004. — vol. 1. — P. 1-20.

[120] Matheron G. Random Sets and Integral Geometry / G. Matheron. — New York: John Wiley and Sons, 1975. — 320 p.

[121] Menger K. Statistical Metrics / K. Menger. // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. — 1942. -№ 8. - P. 535-537.

[122] Molchanov I.The Theory of Random Sets/ I. Molchanov. - Springer, New York, 2011.-488 p.

[123] Molchanov I. Random closed sets/ I. Molchanov. // Space, Structure, and Randomness; M. Bilodeau, F. Meyer, and M.Schmitt, editors. - 2005. - volume LNS183. - P. 135-149.

[124] Nelsen R. B. An Introduction to Copulas (Second Edition) / R. B. Nelsen. -New York: Springer Science+Business Media, Inc., 2006. - 270 p.

[125] Nguyen H. T. An Introduction to Random Sets/ H. T. Nguyen. -Taylor & Francis Group, LLC, 2006. - 240 p.

[126] Nguyen H. T. On random sets and belief functions/ H. T. Nguyen // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1978. - № 65. - P. 531-542.

[127] Nguyen H. T. Random and fuzzy sets in coarse data analysis / H. T. Nguyen, B. Wu // Computational Statistics & Data Analysis. - 2006. - № 51 (1). -P. 70-85.

[128] Peleg B. Introduction to the theory of cooperative games / B. Peleg, P. Sudholter. - Kluwer Academic Publisher, Boston, 2003. - 378 p.

[129] Quinio P. Random Closed Sets: A Unified Approach to the Representation of Imprecision and Uncertainty / P. Quinio, T. Matsuyama. // In Lecture Note in Computer Science. - Springer-Verlag, 1991. - Vol. 548, Symbolic and Quantitative Approaches to Uncertainty. - P. 282-286.

[130] Random sets theory and applications // The IMA Volumes in Mathematics and its applications, J. Goutsias, R. Mahler, H.T. Nguyen, editors. - Springer-Verlag, New York, 1997. - №97. - 416 p.

[131] Ripley B. Locally finite random sets: foundations for point process theory / B. Ripley // Annals of Probability. - 1976. - №4. - P. 983-994.

[132] Robbins H. E. On the measure of a random set / H. E. Robbins // Ann. Math. Statist. - 1944. - № 15. - P. 70-74; - 1945. № 16. - P. 342-347.

[133] Santalo L. A. Averages for Polygons Formed by Random Lines in Euclidean and Hyperbolic Planes / L. A. Santalo, I. Ya'nez // Journal of Applied Probability. - 1972. - Vol. 9, №. 1. - P. 140-157.

[134] Schweizer B. Probabilistic metric spaces / B. Schweizer, A. Sklar. - New York: North Holland, 1983. - 275 p.

[135] Semenova D.V. On New Notion of Quasi-Entropies of Eventological Distribution / D. V. Semenova. // Proceeding of the Second IASTED International Multi-Conference on Automation Control And Information Technology. -Novosibirsk : ACTA PRESS, 2005. - P. 380-385.

[136] Semenova D. Formation of Probabilistic Distributions of RSE by Associative Functions / D. Semenova, N. Lukyanova // Communications in Computer and Information Science. - Springer International Publishing Switzerland, 2014. -Vol. 487. - P. 377-386.

[137] Semenova D. V. Random Set Decomposition of Discrete-Continuous Random Variables / D. V. Semenova, N. A. Lukyanova // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI'2012) : proceedings of the IV Int. conference. Baku, September 12-14, 2012. - Baku, Azerbaijan, ANAS, 2012. - Vol. IV. - P. 180-183.

[138] Semenova D. Recurrent metod of constructing of probabilistic distributions of random sets of events by associative functions / D. Semenova, N. Lukyanova // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014) : материалы XIII Международ. конф. им. А. Ф. Терпугова. Анжеро-Судженск, 20-22 ноября 2014 г. - Томск, 2014. - Ч.1. - C. 15-20.

[139] Semenova D. Random set decomposition of joint distribution of random variables of mixed type / D. Semenova, N. Lukyanova // Journal Proceedings of Institute of Applied Mathematics. - Baku, 2012. - V. 1, № 2. - P. 188-202.

[140] Semenova D. V. Associative Ali-Mikhail-Haq's random set / D. V. Semenova, L. Yu. Shangareeva // Statistics and its Applications: Proc. of scientific-applied conference. - Tashkent, 2013. - P. 88-94.

[141] Serra J. The Boolean model and random sets/ J. Serra // Computer Vision, Graphics and Image Processing. — 1980. — № 12. — P. 99-126.

[142] Serra J. Image analysis and mathematical morphology / J. Serra — Academic Press, INC, 1982.— 610 p.

[143] Serra J. The random spread model / J. Serra // In 8th International Symposium on Mathematical Morphology. - 2007. — Vol. 1. — P. 87-98.

[144] Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence / G. Shafer. — Princeton University Press, Princeton, NJ, 1976. — 314 p.

[145] Shafer G. Belief functions and possibility measures / G. Shafer // Analysis of Fuzzy Information. J. C. Bezdek, ed. — Boca Raton, FL, CRC Press, I: Mathematics and Logic, 1987. — P. 51-84.

[146] Stoyan D. Fractals, Random Shapes and Point Fields / D. Stoyan, H. Stoyan. // John Wiley & Sons, Chichester, New York, 1994. — 389 p.

[147] Stoyan D. Stochastic geometry and its applications / D. Stoyan, W.S. Kendall, J. Meche. — 2nd edn. — Wiley, New York, 1995. — 436 p.

[148] Vorob'ov O. Random Sets, Shapes, Figures and Their Means / O. Vorob'ov, D. Stoyan. — Freiberg: TU Bergakademie, Preprint 94-04. 1994. — P. 45-64.

[149] Vorob'ov O. Random set models of fire spread / O. Vorob'ov // Fire Technology. — 1996. — № 32 (2). — P. 137-173.

[150] Vorobyev O. Yu. Eventological theory of decision-making / O. Yu. Vorobyev, J. J. Goldblatt, R. Finkel // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2009. — № 2 (1). — P. 3-16.

[151] Vorobyev O. Yu. A mean probability event for a set of events / O. Yu. Vorobyev, N. A. Lukyanova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2013. - № 6 (1). - P. 127-135.

[152] Vorobyev O. Yu. Properties of the entropy of multiplicative-truncated approximations of eventological distributions / O. Yu. Vorobyev, N. A. Lukyanova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2011. —№ 4 (1). - P. 50-60.

[153] Wolf R. A brief introduction to Fourier analysis on the Boolean cube / R. Wolf // Theory of Computing Library Graduate Surveys. - 2008. - № 1. - P. 1-20.

[154] Wolkenhauer C. Qualitative uncertainty models from random set theory / C. Wolkenhauer // Advances in Intelligent Data Analysis Reasoning about Data, Lecture Notes in Computer Science. - Springer-Verlag, 1997. - P. 609-620.

[155] Yankovskaya A. Computer visualization and cognitive graphics tools for applied intelligent systems / A. E. Yankovskaya, D. V. Galkin, G. E. Chernogoryuk. // IASTED Int. Conf. on Automation, Control and Information Technology Proceedings. - 2010. - Vol. 1. - P. 249-253.

[156] Yankovskaya A. Cognitive graphics tool based on 3-simplex for decision-making and substantiation of decisions in intelligent system / A. Yankovskaya, N. Krivdyuk // IASTED Int. Conf. on Technology for Education and Learning Proceedings. - 2013. - P. 463-469.

[157] Zadeh L. A. Discussion: Probability theory and fuzzy logic are complementary rather than competitive / L. A. Zadeh. // Technometrics. - 1995. - № 37. -P. 271-276.

Приложение А Демонстрационные примеры

Пример А.1. Пусть (П, Т, Р) вероятностное пространство. Рассмотрим произвольный триплет событий X = {х, у, г} С Т, выбранных из алгебры событий Т этого пространства. Обозначим на диаграмме Венна событие х Е X синим кружочком, событие у Е X - красным, а событие г Е X - зеленым. Множество всех подмножеств

^ = {0, {х}, {у}, {г}, {х, у}, {х, г}, {у, г}, {х, у, г}}

представлено на схеме по вертикали, а по горизонтали — три типа систем событий, порожденные множеством X и определяющие одно и тоже конечное случайное множество ^ : система несовместных событий {^ = X} и системы совместных событий {^ э X} и {^ ^ Xе}.

Заштрихованные фрагменты показывают наступление события из систем {^ = X}, {^ э X}, {^ ^ Xе} для всех подмножеств X из

Между событиями х Е X и различными формами систем событий, порожденных множеством X, существуют очевидные теоретико-множественные соотношения следующего вида.

{^ = X} = п х п П хс , X С X,

чжех / \жЕХс /

х = £ {^ = X}, х Е X,

хЕХ

{^ Э X} = П х, X С X, [{^ £ Xе} = и х, X С X,

хех и < хех

х = {Кх Э {х}}, х Е X, 1х = {Кх £ {х}е}, х Е X.

Таблица А.1 — Диаграммы Эйлера-Венна для трех типов систем событий,

определяющих одно и тоже конечное случайное множество заданное на

х = }

X е 2х {К = X} {Кх э X} {Кх £ Xс}

0

{х}

{у}

М

{х,У}

Пример А.2. Рассмотрим конечное случайное множество K на триплете событий X = {x, y, z}. Пусть на системе событий {KX D X} задана функция множества f (X)

{f(0), f (x), f (y), f (z), f (xy), f (xz), f (yz), f (xyz}} =

= {1,0.375,0.75,0.625,0.243,0.19, 0.429,0.118}. (А.1)

Заметим, что все значения функции множества из (А.1) удовлетворяют границам Фреше. Например, для f (xz) = 0.19 имеем

max{f(x) + f(z) - 1,0} < f(xz) < min{f(x),f(z)} ^ 0 < f (xz) < 0.375.

Применение формул (1.7) приводит к функции множества

p(x) = f (x) - f (xy) - f (xz) + f (xyz) = 0.375 - 0.243 - 0.19 + 0.118 = 0.06; p(y) = f (y) - f (xy) - f (yz) + f (xyz) = 0.75 - 0.243 - 0.429 + 0.118 = 0.196; p(z) = f (z) - f (xz) - f (yz) + f (xyz) = 0.625 - 0.19 - 0.429 + 0.118 = 0.124; p(xy) = f (xy) - f (xyz) = 0.243 - 0.118 = 0.125; p(xz) = f (xz) - f (xyz) = 0.19 - 0.118 = 0.072; p(yz) = f (yz) - f (xyz) = 0.429 - 0.118 = 0.311; p(xyz) = f (xyz) = 0.118; p(0) = 1 - f (x) - f (y) - f (z) + f (xy) + f (xz) + f (yz) - f (xyz) = -0.006.

Такая функция множества p(X) не является распределением вероятностей 1-го рода, т.к. p(0) < 0. Следовательно, функция множества f (X) для триплета событий X = {x, y, z} не является распределением II-го рода.

Пример А.3. Рассмотрим конечное случайное множество K на триплете событий X = {x, y, z}. Пусть на системе событий {KX ^ Xc} задана функция множества f (X)

{f(0), f (x), f (y), f (z), f (xy), f (xz), /(yz), f (xyz)} =

_f 2344565 j (А2)

= \ , 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8j '

Заметим, что все значения функции множества из (А.2) удовлетворяют гра-

5

ницам Фреше для вероятностей объединения. Например, для f (xyz) = - имеем

8

max {f (x), f (y), f (z)} < f (xz) < min {1, f (x) + f (y) + f (z)}

4

8 < f (xyz) < 1

Применение формул (1.7) приводит к функции множества

6 5 1

p(x) = -f (yz) + f (xyz) = -8 + 8 = - 8 < 0'

55

p(y) = -f (xz) + f (xyz) = - 8 + 8 = 0;

4 5 1

p(z) = -f (xy) + f (xyz) = - 8 + 8 = 8' p(xy) = -f (z) + f (xz) + f (yz) - f (xyz) = - 8 + 8 + 8 - 8 = 2'

3 4 6 5 2

p(xz) = -f(y) + f (xy) + f (yz) - f(xyz) = -8 + 8 + 8 - 8 = 8'

2 4 5 5 2

p(yz) = -f (x) + f (xy) + f (xz) - f (xyz) = -8 + 8 + 8 - 8 = 8' p(xyz) = f (x) + f (y) + f (z) - f (xy) - f (xz) - f (yz) + f (xyz) =

2 3 4 4 5 6 5 1

= —I---1---------1— = — < 0'

8888888 8'

53

p(0) = 1 - f (xyz) = 1-8 = 8•

Такая функция множества p(X) не является распределением вероятностей I-го рода, т.к. p(xyz) < 0 и p(x) < 0. Следовательно, функция множества f (X) для триплета событий X = {x, y, z} не является распределением вероятностей V-го рода.

Пример А.4. Визуализация рекуррентного метода на дуплете событий.

Распределение вероятностей 1-го рода {р^С X} конечного случайного множества К можно рассматривать как точку в 2Ж-вершинном симплексе

(1X1 = X)

^ =1 {р^), X С X} : р^) > 0, ^ р^) = 1 1 . (А.3)

I х cх )

Пусть область ЛАг С Sх

Лае = { {р^), X С X} : р^) = ^ (-1)'у 'АР(р*, х Е У ) 1 (А.4)

I уэх )

определяет множество распределений, сформированных методом рекуррентного построения с ассоциативной функцией АР.

Заметим, что для любых 0 < рх,ру < 1 и любой ассоциативной функции АР(р*,ру) всегда существует распределение вероятностей конечного случайного множества, заданного на дуплете событий X = {х,у} рекуррентными соотношениями (2.2) и (2.3).

Разработан алгоритм для визуализации метода рекуррентного построения распределения вероятностей 1-го рода для конечного случайного множества, заданного на дуплете событий. Алгоритм реализован в виде программы в ЫмНСай.

На рисунке А.1 представлен симплекс распределений вероятностей 1-го рода 8{*,у}. Каждая точка в симплексе имеет координаты (р(0),р(х),р(у),р(ху)) и является распределением 1-го рода некоторого конечного случайного множества К, заданного на дуплете событий X = {х, у}. Вершины симплекса занумерованы вероятностями событий и соответствуют вырожденным распределениям.

- Вершина р(0) соответствует (р(0),р(х),р(у),р(ху)) = (1,0,0,0);

- вершина р(х) соответствует (р(0),р(х),р(у),р(ху)) = (0,1,0, 0);

- вершина р(у) соответствует (р(0),р(х),р(у),р(ху)) = (0,0,1,0);

- вершина р(ху) соответствует (р(0),р(х),р(у),р(ху)) = (0,0,0,1).

Для конечного случайного множества К, заданного на дуплете событий X = {х,у}, распределение вероятностей которого определяется методом рекуррентного построения с ассоциативной функцией АР, область ЛАг С 8{*,у}

Рисунок А.1 — Симплекс распределений вероятностей 1-го рода 8{х,у} конечного случайного множества К, заданного на дуплете событий X = {х, у}

имеет вид

ЛАЕ = {1 - Рх -Ру - ЛР(рж,Ру),Рх - ЛР(рж,Ру),ру - ЛР(рж,ру), ЛР(рж,ру)}.

На рисунке А.2 представлена область Л^гапк С 8{х,у} распределений вероятностей 1-го рода конечного случайного множества К, построенных рекуррентным методом с ассоциативной функцией Франка с различными значениями

параметра а.

а = -10

а = — 5

1

а = -0.001

а = 0.0001

а = 1

а=5

а =10

Рисунок А.2 — Область Л^гапк С й{х,у} распределений вероятностей 1-го рода конечного случайного множества К, построенных рекуррентным методом с ассоциативной функцией Франка с различными значениями параметра а

а

Пример А.5. Рассмотрим конечное случайное множество, заданное на триплете событий X = {х, у, г} с известными вероятностями событий рх = 0.375, Ру = 0.75, ^ = 0.625.

Методом рекуррентного построения (2.2) на основе ассоциативных функций (2.7) и (2.10) сформированы распределения вероятностей 11-го рода и соответствующие распределения вероятностей 1-го рода. Результаты построения сведены в табл. А.2.

Таблица А.2 — Распределения вероятностей для ЛР(а, Ь) = аЬ и ЛР(а,Ь) = шт{а, Ь}

2х ЛЕ(а,6) = аЬ ЛЕ(а, Ь) = шт{а, Ь}

Рх р(Х) Рх р(Х)

0 1 0.059 1 0.25

{х} 0.375 0.035 0.375 0

{у} 0.75 0.176 0.75 0.125

{г} 0.625 0.098 0.625 0

{х,у} 0.281 0.105 0.375 0

} 0.234 0.058 0.375 0

} 0.469 0.293 0.625 0.25

0.176 0.176 0.375 0.375

Пример А.6. Построены распределения вероятностей 11-го рода для трех возможных ситуаций рекуррентным соотношением (2.2) на основе ассоциативной функции (2.14), а также построены соответствующие распределения вероятностей 1-го рода. Результаты сведены в табл. А.3.

Таблица А.3 — Распределения вероятностей для ЛР(а, Ь) = шах{а + Ь - 1,0}

2х Е Рх < 1 3 < Е Рх < 4 3 = Е Рх

Рх Р^) Рх Р^) Рх Р^)

0 1 0.0625 1 0 1 0

{х} 0.0625 0.0625 0.75 0 0.625 0

{у} 0.25 0.25 0.875 0 0.875 0

{г} 0.125 0.125 0.875 0 0.75 0

М 0.5 0.5 0.75 0 0.75 0

{х,У} 0 0 0.625 0 0.5 0

0 0 0.625 0 0.375 0

{х, 0 0 0.5 0 0.375 0

{У,г} 0 0 0.75 0 0.625 0

0 0 0.625 0 0.625 0

{г, 0 0 0.625 0 0.5 0

{х,у,г } 0 0 0.5 0.25 0.25 0.25

0 0 0.375 0.125 0.25 0.25

{х, г, 0 0 0.375 0.125 0.125 0.125

0 0 0.5 0.25 0.375 0.375

{х, у, г, 0 0 0.25 0.25 0 0

Заметим, что для непересекающейся структуры зависимости условие примет вид рх = 0.938 < 1.

хеХ

Для второй ситуации выполнение условия: 3 < ( ^ рх = 3.25 I < 4.

\хех )

Для третьей ситуации выполнено ^ рх = 3.

хеХ

Пример А.7. Пусть X = } и пусть известны вероятности событий

= ^ = ^ ,Рг = ^• Согласно методу получаем значения функции множества /(X),Х С X:

/ (0) = 1; / ({х}) = / ({у}) = р; / ({*}) = р;

1 / (е-а-Р* - 1)(е-аРу — 1)\ / ({*,»}) = - - • 1п 1+(е 1)(е

а \

/ ({я,*}) = -1 • 1пЛ +

а \

/^}) = -1К1+ (е-а - 1) Г

/ <{х,г}) = - а • 1п +-^-).

Далее получаем значения функции множества р(Х),Х С X как функций от параметра а (рис. А.3):

р(х) = 1 1п (Е0 + ЕЖЕ,)(Е0 + ЕЖЕ) Р( ) а I (Е02 + ЕЖЕУЕг)

(е-а - 1)

(е-а\Рж - 1)(е -а-Рг -1)

(е-а - 1)

(е-а-Ру - 1)(е -а-Рг -1)

= 1 • 1п /ваЧЕ^+^Е^^^) ; Р(У) а V (Е02 + ЕхЕу Ег)

= 1 • щ/ ^ (Е( +2Ех Ег )(Е0 + Е Ег ) К ' а I (Е2 + ЕхЕуЕг)

/ Ч 1 п / Е0 + Е0ЕхЕЛ ( , 1 / Е0 + Е0 Ех Ег'

Р(ХУ) = -а • 1ЧЕ2 + ЕхЕ„Ег) ; > = -1 ^ ЧЕ2 + ЕхЕ,Ег.

( ^ 1 ] / Е| + ЕЙЕ? Ег \ , ) 1 , / Е| ^

Р(уг) = - а ^ ]Ч Е + ЕхЕ,ЕгУ ; р(ху*) = а • ]Ч Е2 + ЕхЕуЕг)

(0) = ]п | (Е0 + ЕхЕу)(Е0 + ЕхЕг)(Е0 + Е,Ег)

Р( ) = -а ^ М еа(1-рх-ру-р*)Е0(Е02 + ЕхЕуЕг)

где Ех = - 1 для х е X; Е0 = е-а - 1

0.6

-15

—p(0)

-p(x)

p(y)

~P(z)

—p(xy)

p(xz) p(yz) —p(xyz)

15

0.1

Рисунок А.3 — Зависимость вероятностей I-го рода от параметра а (а = 0) при

3 1 5

Рх = 8' Ру = 8 и р* = 8

Заметим, что пределы

lim p(0) = —1 lim p(0)

а^—ж 8 а^ж

lim p(x) = 8 а^—ж 8

lim p(x) = 0;

а—>оо

1 5 1

lim p(y) = -; lim p(y) = 0; lim p(z) = -; lim p(z) = -;

а^—ж 8 а^ж а^—ж 8 а^ж 4

lim p(xy) = 0; lim p(xy) = 0; lim p(xz) = 0; lim p(xz) = 1

lim p(yz) = 0; lim p(yz) = 0; lim p(xyz) = 0; lim p(xyz) = 1

8

a—>—oo

a—>oo

a—>—oo

а—»oo

1

Поскольку, lim p(0) = — -, то решим неравенство p(0) > 0 относительно

8

а—oo

параметра а. Получаем а > -6Таким образом, получили диапазон для а Е [-6; 0) и (0; при которых получаются распределения вероятностей.

По формуле (2.5) найдем арные ковариации, которые будут иметь вид (рис. А.4).

3 15 5 15

КОУху рху 64; рх* 64; РУ* 64; рху* 64'

Рисунок А.4 — Зависимость арной ковариации семейства распределений вероятностей Франка от параметра а Е [-6; 10] \ {0} при рх = -,ру = - ,р* = -

888

Приложение Б Структура и основные функции комплекса программ

Таблица Б.1 — Основные процедуры и функции модуля Finite Random Sets

Название Назначение

BooleanFS Построение всех различных подмножеств множества заданной мощности N. Задача сведена к генерации всех ^разрядных двоичных векторов.

Möbius Реализует взаимно-обратные формулы обращения Мёбиуса для распределений вероятностей 1-го и 11-го рода конечных случайных множеств по формулам (1.6) — (1.7)

Simplex Задача генерирования распределения 1-го рода как точки равномерно распределенной в симплексе сведена к задаче генерации значений 2' -мерного случайного вектора с распределением Дирихле с параметрами а1 = ... = = 1 [32].

UniformDistributionFRS Реализует способ построения распределений вероятностей конечных случайных множеств как функций от N. В данном модуле осуществляется построение распределений равномерного и слойно-равномерного случайных множеств. [21]

RecursiveMethodAF Программная реализация алгоритмов 1-5 метода рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций.

Окончание таблицы Б.1

Название Назначение

VisualizationFRS Графическое представление результатов вычислений. 1) Столбчатые диаграммы иллюстрируют результаты вычисления распределений вероятностей Ьго и П-го рода конечного случайного множества. По оси абсцисс откладывается порядковый номер подмножества случайного множества, по оси ординат значения вероятности на соответствующем подмножестве. 2) Для однопараметрических семейств ассоциативных функций предусмотрено построение 2м графиков вероятностей Ьго рода и построение 2м — N — 1 графиков |Х |-арных кова-риаций как функций от параметра а.

NumericalCharacteris-ticsFRS Вычисление числовых характеристик конечного случайного множества: арные ковариации, корреляции Фреше, энтропия, среднее число элементов, сет-средние: сет-квантиль, сет-мода, сет-медиана, сет-ожидание. Теоретическое обоснование и алгоритмы расчета представлены в работах [21, 25].

Таблица Б.2 — Основные процедуры и функции модуля Distribution Fitting of Finite Random Sets

Название Назначение

DistanceFRS(p, q) Реализует вычисление расстояния между распределениями вероятностей 1-го рода конечных случайных множеств по формулам (3.12) - (3.15)

MinimizeDist Численное решение задачи одномерной минимизации (3.11) прямыми методами. Пользователю предоставляется возможность выбора для решения задачи одного из следующих алгоритмов: комбинированный метод Брента (метод последовательного перебора Брента), метод Хука-Дживса [43,44].

VisualizationDist Предусматривает графическое представление результатов вычислений: графики расстояний как функций от параметра а, столбчатые диаграммы распределений р(а*) и q.

Таблица Б.3 — Основные процедуры и функции модуля Simulation of Finite Random Sets

Название Назначение

LotteryMethodSampling Для заданного теоретического распределения вероятностей конечного случайного множества осуществляет построение выборки методом лотереи (или жребия).

SampleProcessing Построение эмпирических распределений вероятностей 1-го и П-го рода на основе заданной выборки. Вычисление эмпирических характеристик конечного случайного множества.

SimulationAF Для заданного теоретического распределения вероятностей конечного случайного множества реализует построение серий выборок различного объема для расчета среднеквадратичной ошибки параметров распределения.

Список таблиц

1. Таблица 3.1 — Оценки времени работы алгоритмов 1-5 относительно N

2. Таблица 3.2 — Эмпирические вероятности событий

3. Таблица 3.3 — Результаты численной аппроксимации

4. Таблица A.1 — Диаграммы Эйлера-Венна для трех типов систем событий, определяющих одно и тоже конечное случайное множество Kx, заданное на X = z}

5. Таблица А.2 — Распределения вероятностей для AF(a, b) = ab и AF(a, b) = minja, b}