Разработка методов и алгоритмов повышения эффективности прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кузнецов Александр Алексеевич

• Кузнецов Александр Алексеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов Александр Алексеевич

Введение

Глава 1. Прогнозирование движения объектов в околоземном космическом пространстве

1.1. Виды прогноза движения объектов

1.2. Численный метод прогноза

1.3. Уравнения движения

1.4. Модели возмущающих ускорений

1.4.1. Шкалы и форматы времени

1.4.2. Конвертация между шкалами времени

1.4.3. Модель вращения Земли

1.4.4. Модели движения планет, Солнца и Луны

1.4.5. Тяготение Земли

1.4.6. Методы вычисления гравитационного ускорения Земли

1.4.7. Тяготение третьих тел

1.4.8. Аэродинамическое сопротивление

1.4.9. Давление солнечного излучения

1.4.10. Эффект альбедо и ИК излучение Земли

1.4.11. Реактивные силы

1.4.12. Релятивистские коррекции

1.5. Численные методы интегрирования

1.6. Оценка влияния возмущающих факторов

1.7. Оценка быстродействия моделей

1.8. Выводы к главе

Глава 2. Ускорение расчета гравитационного тяготения Земли

2.1. Интерполяция гравитационного ускорения Земли при помощи трикубического сплайна

2.1.1. Трикубический сплайн

2.1.2. Исследование интерполяции тяготения Земли при помощи трикубического сплайна

2.1.3. Выводы по разделу

2.2. Интерполяция гравитационного тяготения Земли при помощи

интерполянта на узлах Чебышева-Лиссажу

2.2.1. Интерполяция на узлах Чебышева-Лиссажу

2.2.1. Исследование интерполяции тяготения Земли на узлах Чебышева-Лиссажу

2.2.2. Выводы по разделу

2.3. Выводы к главе

Глава 3. Ускорение расчета плотности атмосферы Земли

3.1. Некоторые замечания о задаче интерполяции плотности атмосферы

3.2. Исследование интерполяции плотности атмосферы Земли

3.3. Выводы к главе

Глава 4. Методы выбора шага численного интегрирования в задаче прогнозирования траекторий космических объектов

4.1. Оценка локальной ошибки и выбор шага интегрирования для коллокационных методов

4.1.1. Новая методика оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования

4.1.2. Исследование новой методики

4.1.3. Выводы по разделу

4.2. Интегрирование орбит с полутеневыми участками

4.2.1. Анализ профилей функции тени вдоль орбиты

4.2.2. Алгоритм обнаружения полутеневых участков и коррекции шага интегрирования

4.2.3. Вычислительные эксперименты

4.2.4. Выводы по разделу

4.3. Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов и алгоритмов повышения эффективности прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве»

Актуальность темы исследования

В настоящее время количество объектов в околоземном космическом пространстве резко возрастает. Это обусловлено увеличением темпов освоения космического пространства, использованием космического пространства для решения исследовательских и прикладных задач, а также резким ростом числа нефункционирующих объектов - обломков космических аппаратов, их составных частей и средств выведения. По этой причине возникает потребность в мониторинге техногенных космических объектов -определении орбитальных параметров космических аппаратов и космического мусора, прогнозировании их траекторий и предупреждении опасных ситуаций. Для удовлетворения перечисленных нужд необходима разработка математических методов, алгоритмов и программных комплексов прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве. Одними из главных требований являются увеличение их точностных характеристик, сокращение потребных вычислительных затрат и повышение быстродействия.

Степень проработанности темы исследования

Рассматриваемая тема активно изучается на протяжении более пятидесяти лет. Бурный рост рассматриваемая область науки получила в шестидесятых годах прошлого столетия. Именно в это время были созданы первые системы контроля космического пространства: Space Detection and Tracking System (SPADATS) в США и система контроля космического пространства с СССР. С этих пор стали особенно актуальны задачи массового, точного и быстрого прогноза траекторий тел в околоземном космическом пространстве. В первые годы развития систем контроля космического пространства в основном использовались приближенные, аналитические методы прогноза траектории тел. Это было обусловлено недостатком вычислительных ресурсов. В то же время были созданы программные

комплексы, реализующие численно-аналитические методы предсказания орбитальных параметров. Их отличительными особенностями являются большая точность в сравнении с аналитическими подходами, с одной стороны, и невысокая ресурсоемкость, с другой стороны. По началу это семейство методов применялось для небольшого числа космических объектов, но с увеличением быстродействия вычислительных машин полуаналитические методы стали основой программно-алгоритмических решений в области мониторинга космического пространства. В наши дни все чаще и чаще начинают использоваться численные модели прогноза. Они обладают гораздо большей точностью в сравнении с аналитическим и численно-аналитическим подходами, однако требуют кратно больших вычислительных затрат. Растущая популярность численного подхода связана не только с ростом производительности электронно-вычислительных машин, но и с увеличением точности используемой в задаче мониторинга измерительной информации.

Основными направлениями исследований в области прогноза движения околоземных космических объектов являются:

— увеличение точности численно-аналитических моделей движения;

— уточнение физико-математических моделей, описывающих движение тел в околоземном космическом пространстве;

— увеличение быстродействия численных моделей прогнозирования движения тел.

Именно последнему аспекту посвящена работа соискателя.

Цели и задачи

Целью настоящей работы является ускорение процесса численного прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

— анализ существующих физико-математических моделей движения тел в околоземном космическом пространстве, определение наиболее ресурсоемких моделей;

— создание методов и алгоритмов повышения быстродействия вычисления гравитационного тяготения Земли;

— создание методов и алгоритмов повышения быстродействия вычисления поля плотности атмосферы Земли;

— создание методов и алгоритмов повышения быстродействия численных методов интегрирования задач Коши для уравнений движения за счет улучшения процедур выбора шага интегрирования.

Научная новизна

В настоящей работе разработаны новые:

— интерполяционный алгоритм расчета тяготения Земли, позволяющий убыстрить вычисления гравитационного ускорения;

— интерполяционный алгоритм расчета плотности атмосферы Земли, позволяющий существенно убыстрить вычисление аэродинамического сопротивления;

— метод оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования для коллокационных методов Гаусса-Эверхарта;

— метод выбора шага интегрирования для орбит, имеющих полутеневые участки.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа обладает высокой практической значимостью. Применение предлагаемых методов позволяет существенно сократить ресурсоемкость алгоритмов прогноза движения тел в околоземном космическом пространстве, используемых при решении многих практических задач освоения космического пространства, в особенности задач мониторинга техногенных космических объектов.

Методология и методы исследования

Методами исследования в настоящей работе являются:

— анализ существующих моделей прогноза движения;

— компьютерное моделирование движения.

Положения, выносимые на защиту:

— интерполяционный алгоритм расчета тяготения Земли позволяет в 4 и более раз быстрее вычислять гравитационное ускорение Земли без потери точности;

— интерполяционный алгоритм расчета плотности атмосферы позволяет в 2.5 и более раз быстрее вычислять аэродинамическое сопротивление без потери точности;

— новый метод оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования для коллокационных методов Гаусса-Эверхарта позволяет в 2 раза точнее подбирать шаг интегрирования, удовлетворяющий заданной локальной точности;

— новый метод выбора шага интегрирования для прогнозирования орбит с полутеневыми участками позволяет более эффективно выбирать шаг интегрирования, снижая в 2-3 раза общее количество вычисления правой части уравнений движения.

Степень достоверности и апробация результатов

Апробация настоящей работы была проведена путем демонстрации результатов исследований на научно-практических семинарах, всероссийских и международных конференциях. Основные результаты были представлены на следующих мероприятиях:

— 22-ая Международная конференция «Авиация и космонавтика»,

Москва, 20-24 ноября 2023 года;

— ХЬУП Академические чтения по космонавтике, Москва, 24-27 января

2024 года;

— XXIII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, с. Дивноморское, Краснодарский край, 4-10 сентября 2023 года;

— XIV Международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли, Алушта, 4-13 сентября 2022 года;

— Конференция «Состояние и перспективы развития современной науки по направлению «Метеорология и геоинформационное обеспечение», Анапа, 14-15 ноября 2022 года;

— XLVI Академические чтения по космонавтике, Москва 25-28 января 2022 года;

— 21-ая международная конференция «Авиация и космонавтика», Москва, 21 -25 ноября 2022 года;

— XLV Академические чтения по космонавтике, Москва, 30 марта -2 апреля 2021 года;

— II Международная конференция «Математическое моделирование», Москва, 21-22 июля 2021 года;

— XXII Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам, Алушта, 4-13 сентября 2021 года;

— 64-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 29 ноября - 3 декабря 2021 года;

— 65-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 3-7 апреля 2023 года;

— 66-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 1-6 апреля 2024 года;

— 67-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 31 марта-5 апреля 2025 года;

Материалы настоящей диссертации были опубликованы в следующих статьях:

— Кузнецов А.А., Фукин И.И., Вафин К.М., Завьялова Н.А., Негодяев С.С. Об интерполяции гравитационного поля Земли // Труды МФТИ.

2023. Т. 15, № 4. С. 121-131;

— Кузнецов А.А., Сорокин И.А., Хрипунов И.В., Фукин И.И., Завьялова Н.А., Негодяев С.С. О новом методе выбора шага численного интегрирования орбит с полутеневыми участками // Труды МФТИ.

2024. Т. 16, № 1. С. 18-33;

— Вафин К.М., Завьялов И.Н., Завьялова Н.А., Кузнецов А.А., Негодяев С.С., Петров Д.А. Формирование проектного облика системы «Млечный путь» в части космического сегмента мониторинга // Космонавтика и ракетостроение. — 2025. — T 139, № 2. — С. 152-163;

— Zavialova N. A. et al. Methods for accurate ballistics calculations for multi-satellite constellations //Advances in the Astronautical Sciences. -2020. - С. 91-98;

— Kuznetsov A. A. et al. Using an Interpolation Model of the Gravitational Potential for High-Precision Ballistic Calculations //International Conference on Aerospace System Science and Engineering. - Singapore : Springer Nature Singapore, 2021. - С. 239-247;

— Завьялова Н. А. и др. Программный комплекс «Интеграл» для моделирования космических группировок и космических аппаратов //Космические аппараты и технологии. - 2023. - Т. 7. - №2. 2. - С. 162170;

— Vafin K. M. et al. Numerical simulation of image formation in an optical device in the problem of space monitoring //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing, 2024. - Т. 2701. - №. 1. - С. 012035.

На основе предлагаемых соискателем алгоритмов и методов созданы и зарегистрированы следующие программы для ЭВМ:

— «Программный комплекс для высокопроизводительного интерполяционного расчета гравитационного поля Земли», номер регистрации 2023689060 от 26.12.2023 года;

— «Программный комплекс «Интегрирование задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эверхарта с модифицированной процедурой оценки ошибки и выбора шага», номер регистрации 2023689088 от 26.12.2023 года;

— «Программный комплекс для расчёта орбитальных параметров космических объектов на низкой околоземной орбите с учётом несферичности гравитационного потенциала Земли, гравитационного влияния Луны и Солнца, силы аэродинамического сопротивления», номер регистрации 2023686426 от 06.12.2023 года;

— «Демонстратор программного обеспечения для комплексного анализа функционала имеющейся группировки космических аппаратов и проектирования перспективных автоматических космических систем и комплексов», номер регистрации 2023613484 от 15.02.2023 года;

— «Вычислительное ядро Интеграл-Д, V. 1», номер регистрации 2021665690 от 30.09.2021 года.

Достоверность результатов обеспечивается верификационным тестированием и вычислительными экспериментами, результаты которых приведены в тексте работы.

Глава 1. Прогнозирование движения объектов в околоземном

космическом пространстве

1.1. Виды прогноза движения объектов

На сегодняшний день способы прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве можно подразделить на три большие группы: аналитические методы, численно-аналитические методы и численные методы.

Аналитические методы предсказания движения тел в околоземном космическом пространстве представляют собой конечные алгебраические соотношения, позволяющие получить орбитальные параметры космического объекта в произвольный момент времени. В этом семействе методов не применяются процедуры численного интегрирования. Отличительной особенностью аналитических методов являются невысокая точность прогноза, большая трудоемкость разработки методов и высокое быстродействие программных кодов, реализующих эти методы. В связи с последним обстоятельством аналитические методы получили широкое распространение на заре развития вычислительной техники (вторая треть 20 века). Яркими представителями аналитических методов прогноза являются модель SGP4 [1] или, например, модели, изложенные в монографиях [2], [3]. В этих моделях учтены основные возмущающие факторы, такие как несферичность гравитационного потенциала Земли (до десяти первых зональных гармоник), тяготение Солнца и Луны, аэродинамическое излучение и давление солнечного излучения. На сегодняшний день развитие аналитических методов существенно замедлилось. Это обуславливается громоздкостью формул и неточностью аналитического прогноза.

Второй группой являются численно-аналитические методы. В их основе лежит представление орбитальных элементов в виде суммы из двух слагаемых: средних орбитальных элементов и их короткопериодических

возмущений. Прогнозирование движения объекта выполняется при помощи численного интегрирования задачи Коши для уравнений эволюции средних элементов. При численном интегрировании учитываются вековые и долгопериодические возмущения средних элементов орбиты. После получения средних элементов на заданный момент времени к ним прибавляются аналитически рассчитанные короткопериодические возмущения. Описанный подход позволяет одновременно сохранить высокое быстродействие программных кодов и учесть те возмущения, которые невозможно моделировать в аналитических методах прогноза. Среди наиболее известных численно-аналитических моделей прогноза можно выделить УЧАМ (универсальный численно-аналитический метод) [4], [5], численно-аналитическую модель, разработанную в ИПМ им. Келдыша [6], [7], [8], [9], [10] АО «ЦНИИмаш» [11] и модель DSST (Draper Semianalytical Satellite Theory), [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]. В этих моделях учитываются несферичность гравитационного потенциала Земли (произвольное, зависящее от времени разложение потенциала тяготения), притяжение Луны и Солнца, сопротивление атмосферы и солнечное давление. Полуаналитические методы имеют существенно большую точность в сравнении с аналитическими методами, однако имеют ряд недостатков. Во-первых, численно-аналитические методы прогноза сильно теряют точность прогноза при наличии импульсных маневров или маневров с продолжительной тягой. Во-вторых, численно-аналитические методы выполняют прогноз с низкой точностью для космических объектов, близких к сходу с орбиты. В-третьих, численно-аналитические методы не способны учитывать непериодические возмущения какой-либо природы. В-четвертых, разработка программной реализации численно-аналитических моделей требует большого человеческого ресурса.

Последней группой являются численные методы прогноза. Они заключаются в численном интегрировании задачи Коши для оскулирующих орбитальных элементов орбиты. Сильной стороной этих методов являются

возможность учета любых возмущающих факторов и высокая точность прогноза движения. Слабой стороной этих методов является низкое быстродействие, обусловленное численным интегрированием. Несмотря на низкое быстродействие именно это семейство методов бурно развивается [21], [22]. В связи с этим остро стоит вопрос о снижении машинного времени, затрачиваемого на численное интегрирование орбит околоземных космических объектов.

1.2. Численный метод прогноза

Любой численный метод прогноза движения объектов в околоземном космическом пространстве можно подразделить на 3 части. Первой частью является система уравнений, описывающая движение объекта. Вторая, наиболее значимая часть, заключается в реализации моделей действующих на космический объект возмущающих ускорений. Третья часть представляет собой реализацию численного метода интегрирования задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждая из этих частей подробно описана в разделах 1.3 - 1.5.

1.3. Уравнения движения

Численный метод прогноза движения объектов в околоземном космическом пространстве заключается в численном интегрировании задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1):

йу

-£ = КЬу), У(С„)=Уо. (1)

Здесь у - вектор состояния объекта, t - время, f - правая часть системы дифференциальных уравнений движения, t0 - время, соответствующее начальному условию, у0 - вектор начального состояния объекта. В качестве вектора состояния может быть использован шестимерный вектор, первые три координаты которого совпадают с радиус-вектором объекта г в какой-либо квазиинерциальной системе координат, а вторые три - с его скоростью V в этой системе. Другими словами, ут = (гт, V7). Правая часть дифференциального

уравнения в этом случае состоит из скорости v и ускорения а, то есть fT = (vT, aT).

Интегрирование системы уравнений (1) с использованием радиус-вектора r и скорости v нецелесообразно для большинства задач, связанных с движением объекта в околоземном космическом пространстве. Гораздо удобнее для этой задачи использовать набор оскулирующих элементов орбиты. Самым простым набором оскулирующих элементов являются шесть кеплеровых элементов орбиты [23]: наклонение орбиты i, долгота восходящего узла Q, большая полуось а, эксцентриситет e, аргумент перицентра ю и истинная аномалия v. Уравнения движения (1) в случае использования кеплеровых элементов орбиты имеют следующий вид [23]:

da la2 ( р \

d¡ = jW(eS[nV fr + rft)

de 1

— = (р sin V fr + {(р + г) cos v + е г}ft),

dt Jpp

d( 1 r cos i sin и

— = ^=(—pcosv fr + (p + r)sinvft)--— fn, (2)

ai eJ^p J^psini

di rcosu dñ rsinu

dt Jpp n' dt Jppsini n'

dv J^P 1

dt r

2

+---¡=(p cosv fr — (p + r) sinvft).

eJPP

Здесь р = а (1 - в2) - фокальный параметр, ц - гравитационный параметр центрального тела (Земли), и = ю + V - аргумент широты, // / - радиальная, трансверсальная и нормальная компоненты вектора возмущающего ускорения

в орбитальной системе координат (ег, ег, еи} космического объекта:

ц

К = ар^е1, 1 = г,г,п, ар = а + — г,

Г Г XV (3)

ег =-, еп = |г х Уу ег = епх ег.

Иногда вместо истинной аномалии v используют среднюю аномалию M. В этом случае последнее уравнение системы (2) заменяется на:

dM b ( ( e2r\ г \

—— = п--¡—г (2 ( 1 +--) sin V ft + - cos v fn ) (4)

dt ea|v| \ \ p J a JnJ w

Здесь n = (ц/a3)172- среднее движение, b = (p a)1'2 - малая полуось. Стоит обратить внимание на то, что некоторые уравнения из (2) и (4) имеют особенности на круговых (e = 0) и экваториальных (sin i = 0) орбитах.

При численном интегрировании наличие особенностей в правой части системы дифференциальных уравнений может привести к некорректным результатам. Поэтому в качестве оскулирующих элементов следует использовать другой набор переменных, например, модифицированные равноденственные элементы [24]:

а = а, h = esin((¿ + I П), fc = ecos(w + / П),

Л А (5)

p = tan7—sinH, q =tan7—cosH, L=v + ( + I П. 22

Здесь I = 1 для орбит с наклонением i < 90°, I = - 1 иначе, L называется истинной долготой. При I = 1 модифицированные равноденственные элементы имеют особенность на ретроградных экваториальных орбитах (i = 180°), а при I = - 1 - на нормальных экваториальных орбитах (i = 0o). Уравнения движения для модифицированных равноденственных элементов имеют следующий вид [25], [26]:

ба

бг

—— = —= (ш ^ + (к sm Ь — к cos V)[г),

бк бг

бк бг

бр бг

61 бг

N

N

N

р( т *

— (— cos Ь уг

+

к + dsmL

кК ^ \

ft+ — (qsinL — I р ^ Ь)/п),

р( ■ г , — ^т Ь уг

+

к + б cos Ь М

w

к! \ ft— — (qsinL — l р ^ Ь)/п),

р1 + р+ц ш бq

--;;-sin Ьгп, — =

ц }п бЬ

N

р1+р2 + q2

ц 2w

^ Ь /п,

^ ©2 +

N

р q smL — I р cos Ь

ц

w

I Гю

р

ж = — = 1 + к sin Ь + к cos Ь, б = ж + 1. г

(6)

Иногда вместо истинной долготы Ь используют среднюю долготу X = М + ю + I О. В этом случае последнее уравнение из (6) заменяется на [27]:

б\ г /1 1р

= п--:=[{д w[кsmL + kcosL\ + 2 1—}/г

бг

а

— д б(ksmL — к cos Ь)^ — (I q sm Ь — р cos Ь)^ ),

1

(7)

9 =

1 + ^1 —к2 — к2

1.4. Модели возмущающих ускорений

При движении объекта в околоземном космическом пространстве на него действуют следующие силы:

— сила тяготения Земли;

— сила тяготения Луны, Солнца и прочих тел;

— сила аэродинамического сопротивления;

— сила давления солнечного излучения;

— сила давления отраженного от Земли света (эффект альбедо);

— сила давления инфракрасного излучения Земли;

— реактивная сила.

Каждая из перечисленных сил порождает ускорение, влияющее на движение объекта. Помимо перечисленных сил и ускорений в правую часть дифференциальных уравнений движения (1) входят слагаемые, связанные с неинерциальностью используемой системы координат, и поправки, связанные с общей теорией относительности.

Программную реализацию расчета ускорений от перечисленных сил невозможно осуществить без понятия временных шкал, без программной реализации конвертации временных шкал между друг другом, без реализации моделей движения планет, Луны и Солнца и модели вращения Земли. В настоящем разделе освещены все эти вопросы.

1.4.1. Шкалы и форматы времени

Первым вопросом, встающим при описании движения космического объекта, является определение понятия времени ? из уравнений (1). Определение понятия времени можно подразделить на две части: определение формата времени и определение шкалы времени. Формат времени отвечает за начало отсчета времени и способ представления конкретной эпохи - момента времени. Шкала времени отвечает за длительность одной секунды - связь временных промежутков с течением физических процессов.

Наиболее часто используемым форматом времени на сегодняшний день является формат календаря. В нем начало отсчета соответствует началу нулевого года нашей эры. Конкретная эпоха в календаре обозначается номерами года, месяца, дня, часа, минуты и дробным количеством секунд. Такой формат не очень удобен при реализации программных кодов. Вычисление временных промежутков требует вычитания нескольких чисел, а

определение конкретной эпохи отягощается различным количеством дней в месяцах.

Другим форматом является формат юлианского дня JD (Julian Day). Численно юлианский день равняется дробному количеству дней, прошедших с полудня 1 января 4713 года до нашей эры. Юлианский день является удобным форматом времени, использующимся в различных программных приложениях. В связи с большими численными значениями юлианского дня его представляют в виде двух чисел - целой и дробной части юлианского дня.

Помимо юлианского дня часто используется формат модифицированного юлианского дня MJD (Modified Julian Day). Численно модифицированный юлианский день равняется дробному количество дней, прошедших с полуночи 17 ноября 1858 года. JD и MJD связаны формулой: MJD = JD - 2 400 000.5. Модифицированный юлианский день также часто используется в программных приложениях.

Теперь обратимся к более сложному вопросу - определению шкалы времени. Шкала времени связывает понятие единичного временного интервала (одной секунды) со скоростью течения физических процессов. Существуют следующие шкалы времени:

— Международное атомное время (TAI);

— Международное координированное время (UTC);

— Всемирное время (UT1);

— Земное время (TT);

— Геоцентрическое координатное время (TCG);

— Барицентрическое координатное время (TCB);

— Барицентрическое динамическое время (TDB).

Международное атомное (TAI) время определяет понятие секунды как временной промежуток, равный 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного

состояния атома цезия-133 при нуле градусов Кельвина и нулевом магнитном поле. TAI - это лабораторная шкала времени, не зависящая от астрономических явлений, таких как собственное вращение Земли или вращение Земли вокруг Солнца. Временная привязка обеспечивается при помощи высокоточных атомных часов, расположенных по всему земному шару.

Всемирное время (UT1) - это временная шкала, привязанная к суточному вращению Земли. Секунда всемирного времени связана однозначно с углом поворота Земли (ERA - Earth Rotation Angle). Поскольку скорость вращения Земли неравномерна по геофизическим причинам и постепенно уменьшается, секунда UT1 не соответствует в точности секунде TAI. Это делает шкалу UT1 непригодной для использования в качестве шкалы времени во многих физических приложениях. Однако в приложениях небесной механики шкала UT1 активно используется для построения модели вращения Земли.

Всемирное координированное время (UTC) является компромиссом между шкалами TAI и UT1. С одной стороны, секунда в шкале UTC определяется также, как и секунда в шкале TAI. С другой стороны, с момента своего введения в 1960 году время в шкале UTC поддерживалось примерно равным времени в шкале UT1 благодаря множеству корректировок, называемых високосными секундами.

Земное время (TT) - это шкала времени, соответствующая часам, расположенным на поверхности Земли. Шкала TT однозначно связана со шкалой TAI при помощи формулы:

TT = TAI + 32.184 с. (8)

Геоцентрическое координатное время (TCG) - это временная шкала, соответствующая часам на Земле, которые не подвержены Земной гравитации и не вращаются вместе с Землей.

Барицентрическое координатное время (ТСВ) - это временная шкала, соответствующая покоящимся часам, расположенным в солнечной системе, не подверженным вилянию сил тяготения.

Барицентрическое динамическое время (ТЭВ) - временная шкала, соответствующая часам, расположенным в солнечной системе, находящимися под влиянием сил тяготения.

1.4.2. Конвертация между шкалами времени

Конвертацию между шкалами времени можно производить по схеме, указанной на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схема конвертации между различными шкалами времени Шкалы иТ1 и иТС связаны формулой:

иТ1 = иТС + ДиТ. (9)

Величина ДиТ - разница между иТ1 и иТС - состоит из трех частей:

дит = диТ;^ + дитШаг + ДитИЬ (10)

ДИТжж - усредненная составляющая ДИТ, публикуемая международной службой вращения Земли, ДИТ^/ - приливные океанические коррекции с периодом меньше одного дня, ДИТ^ - либрационные поправки с периодом более одного дня. ДИТ/^ имеет порядок одной секунды, ДИТ^ - 10-5

секунды, AUT/tf, - 10-6 секунды. AUTIERS имеет скачкообразное изменение при добавлении високосной секунды. Величины AUTftda/ и AUTtidai определяются равенствами:

AUTq = ^ Bi sin + Ci cos , q = tidal, Hb,

i

(11)

li = aioY + ai±l + аа1 + ai3F + ai4D + ai5ñ, Y = GMST + n.

Здесь Bi, Ci, ai0, ..., ai5 - коэффициенты указанные в таблицах 5.1b, 8.3a, 8.3b конвенций 2010 года международной службы вращения Земли [28], /, /', F, D, Q - фундаментальные аргументы теории прецессии-нутации, GMST - среднее гринвичское звездное время.

1Шкалы UTC и TAI связаны при помощи формулы:

TAI = UTC + AAT. (12)

В этой формуле AAT - разница между шкалами TAI и UTC. Величина AAT публикуется международной службой вращения Земли. AAT изменяется при добавлении високосных секунд. Пример добавления високосной секунды в декабре 2008 года представлен в таблице 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов Александр Алексеевич, 2025 год

// // V

//

Ш.О 197.2 197.4 197.6 197.8 198.0 19В,2 М&.4

Истинная аномалия, град

Рисунок 59 - Функция тени для космического объекта на геостационарной

орбите, выходящего из тени 1 апреля

Рисунок 60 - Функция тени для космического объекта на геостационарной

орбите 21 апреля

Анализ представленных рисунков позволяет сделать следующие выводы:

— Область полутени может занимать сравнительно небольшой участок орбиты. Ускорение от давления солнечного излучения на этом участке резко изменяется. Интегрирование траектории в полутеневом участке при помощи численных методов должно сопровождаться уменьшением шага интегрирования.

— Для определения полутеневых участков можно использовать вычислительно экономичную коническую модель, поскольку она не сильно отличается от модели ЗОЬААКЗ-СБ.

— Область полутени в модели SOLAARS-CF больше, вследствие учета преломления света в атмосфере. Поэтому нахождение полутеневых участков при помощи конической модели требует искусственного уширения области полутени.

4.2.2. Алгоритм обнаружения полутеневых участков и коррекции шага интегрирования

В настоящем разделе получены уравнения, определяющие вход космического объекта в полутень и выход из полутени. Проведен анализ этих

уравнений. Построен алгоритм определения моментов времени входа космического объекта в область полутени и выхода их нее.

Поскольку коническая модель и модель SOLAARS-CF отличается незначительно, то для алгоритма обнаружения полутеневых участков может быть использована вычислительно эффективная коническая модель.

Предположим, что космический объект движется по эллиптической невозмущенной орбите. В одном из фокусов этой орбиты находится Земля. Пусть а и Ь- векторы большой и малой полуосей орбиты, е- эксцентриситет орбиты. За Е обозначим эксцентрическую аномалию космического объекта. Тогда вектор г, соединяющий центр Земли и космический объект, может быть вычислен по формуле:

г = acosF + ЪcosE — ае. (98)

Уравнения конусов, ограничивающих область полутени (рисунок 5), имеют следующий вид:

= ^^ к = 1,2. (99)

В этой формуле к = 1 отвечает теневому конусу, к = 2 - полутеневому конусу. Под gk следует понимать вершины конусов, под ак - половины углов раствора

конусов, а под щ - оси конусов:

- ^

Slna^ = -;-;-, (100)

Гс

пк = (-1)к+1-^

|г5Г

Здесь, как и прежде, и - радиусы Солнца и Земли, гз - радиус-вектор Солнца в геоцентрической квазиинерциальной системе. Множитель у предназначен для искусственного уширения границ полутеневой области конической модели. Искусственное уширение полутеневых участков может быть полезно при использовании моделей, учитывающих преломление света в

атмосфере, например, SOLAARS-CF или PPMAtm. Для околоземных орбит величину у можно принять равной 0.8. Условия принадлежности вектора r полутеневой области выражаются логическими выражениями:

{(-1)k(r - gfc) • nk > (-1)k cos Œk |г - gk|}

л(к) (101)

{|r-gk| > |gk| COSŒk}.

Здесь л(1) = V, л(2) = л. При к = 1 условия характеризуют непринадлежность освещенной области, а при к = 2- непринадлежность теневой области.

Поиск границ полутеневой области можно осуществить путем подстановки r из уравнения (98) в уравнение (99). Если вместо тригонометрических функций использовать комплексную экспоненту z = elE, то подстановка приведет к следующему результату:

Ç|z2 + Qkz + Qk + ÇÎ т + ^ = 0 Л = 1'2. (102)

(103)

1 "17 1 z 2 Z2

Черта в этих формулах обозначает комплексное сопряжение, коэффициенты определяются равенствами:

4Jk = (а • nk)2 - (b • nk)2 - (а2 - b2) cos2 ak - 2£(а • nk)(b • nk) , = (4k • nk)(a • nk) - (4k • a) cos2 ak + i(qk • b) cos2 ak - i(4k • nk)(b • nk), 2Й = 2(qk • nk)2 + (a • nk)2 + (b • nk)2 - (a2 + b2 + 2qk) cos2 ak. Под qk следует понимать выражение - gk - ae. Поскольку z = 0 не является искомым корнем, то вместо уравнений (102) могут рассматриваться алгебраические уравнения:

Q|z4 + + Qk^2 + Qfz + Qf = 0, fc = 1,2. (104)

Поскольку уравнение (104) является уравнением не выше четвертой степени, то оно может быть решено без применения итерационных методов.

Теперь обратимся к анализу уравнения (104). Коэффициент при старшей степени обращается в нуль, если и только если выполнены условия:

(а • nfc)2 = а2е2 cos afc, (b • nfc) = 0 . (105)

При выполнении условий (105) коэффициент уравнения (104) обращается в нуль, если и только если выполнены следующие условия:

(qfc • nfc)(a • nfc) = (qfc • a) cos2 afc, (b • qfc) = 0 . (106)

При выполнении условий (105) и (106) коэффициент Qq обращается в нуль при выполнении равенства:

(q^nfc)2 = (q2-b2)cos2afc . (107)

Можно сформулировать следующие утверждения об уравнениях (104):

— уравнение является уравнением четвертой степени, если и только если не выполнены условия (105);

— уравнение является уравнением второй степени, если и только если выполнено (105), но не выполнено (106);

— уравнение не имеет решений, если и только если выполнены равенства (105), (106) и не выполнено (107);

— уравнение является тождеством, если и только если выполнены условия (105)-(107).

В третьем случае орбита не имеет полутеневых областей (например, если плоскость орбиты перпендикулярна направлению от Земли до Солнца). В четвертом случае орбита лежит на границе полутеневой области, что невозможно для околоземных космических объектов. Лишь в первом и втором случаях орбита космического объекта пересекает границы полутени.

Теперь обратимся к поиску границ временных промежутков полутени. Пусть M значение средней аномалии космического объекта в момент времени t*. За {Ei} и {Mi} обозначим эксцентрические и средние аномалии, порождаемые решениями уравнений (104). Однако не все решения уравнения являются границами областей полутени. Пара El и Ml соответствует границе полутени в том и только в том случае, если в ней происходит изменение

значения логического выражения (104) при к = 1 или к = 2. Границы временных промежутков полутени можно определить по формуле:

/М* - М, \ t = t* + ( 2- Чп)Г. (108)

Здесь Т - орбитальный период, п - произвольное целое число.

Далее опишем процедуру выбора шага интегрирования. Для численного прогноза траектории космического объекта назначаются два шага интегрирования. Один из них, больший, используется вне полутеневой области, то есть в области тени или при полной видимости солнечного диска. Интегрирование со вторым шагом, меньшим, происходит в полутеневой области. В своей работе соискатель выбирал этот шаг равным времени нахождения космического объекта в полутени. Такой выбор обусловлен краткостью нахождения космического объекта в полутеневой области, даже на геостационарной орбите.

4.2.3. Вычислительные эксперименты

Для тестирования предлагаемого подхода рассматривалась задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений движения:

^2г _ г

{ ^ = -^|г|3 + + a5дp, (109)

, r(to) = Го, V(to) = Уо.

Под а8гау следует понимать возмущающие ускорения, вызванные несферичностью гравитационного потенциала Земли, тяготением Луны и Солнца, под ажр - ускорение от прямого давления солнечного излучения. Начальные условия г0 и у0 выбирались так, чтобы траектория соответствовала геостационарной орбите. Использовалось разложение гравитационного потенциала с N = 16 по модели БОМ 2008. Положение Луны и Солнца вычислялось при помощи эфемерид JPL ЭБ 405. В качестве модели тени использовалась модель SOLAARS-CF. Начальный момент времени был выбран 21 марта. Интегрирование проводилось на временном промежутке в

десять дней. В каждом из десяти дней присутствовали теневые и полутеневые участки траектории. Эффективная площадь объекта была выбрана равной 10 м2, а масса объекта - 200 кг. Интегрирование было проведено при помощи методов Гаусса-Эверхарта 11 и 13 порядков точности. Использовалось два способа коррекции шага интегрирования: способ, предлагаемый в настоящем разделе, а также оригинальный способ, изложенный в разделе 1.5.

Результаты моделирования представлены на рисунках 61 и 62. На оси абсцисс отложен средний шаг интегрирования (время моделирования, разделенное на количество шагов интегрирования). На оси ординат -безразмерная ошибка интегрирования. За эталонное решение принималась траектория, полученная с шагом интегрирования в 100 секунд методом 15 порядка точности. Ошибка интегрирования оценивалась как длина разности положений космического объекта в конечный момент времени, деленная на полуось орбиты. Круглыми точками отмечен классический способ коррекции шага, а треугольными- авторский. При построении графиков в классическом способе варьировалась локальная точность интегрирования, а в авторском-шаг интегрирования вне полутеневой области.

Рисунок 61 - Зависимость ошибки от среднего шага интегрирования для метода Гаусса-Эверхарта 11 порядка точности

• Классический метод

а Авторский метод • • • + в • • • • • •

• • • • • • • А А А А

■ • * • • • * • А А ¿- А А

А А • • • • • • • • А А А А Ь А * * . . * * А А

А

110"= 2 1<Г2 410"3 6 10"2 8 10"г 1 10"! 2 10"1

Средний шаг, доля периода

Рисунок 62 - Зависимость ошибки от среднего шага интегрирования для метода Гаусса-Эверхарта 13 порядка точности

Кривая, соответствующая предлагаемому в настоящем разделе методу, в правой части каждого рисунка лежит ниже, чем кривая для классического метода. Это объясняется тем, что ошибка классического подхода определяется в основном ошибкой интегрирования полутеневой области. Для авторского метода картина противоположна. Полутеневая область интегрируется с меньшим шагом, а результирующая ошибка соответствует ошибке интегрирования вне полутени. При малых шагах интегрирования классический подход и авторский метод выравниваются. При этом оба метода выходят на ошибку, обусловленную машинной арифметикой. Из приведенных графиков видно, что предлагаемый способ является более экономичным. При одинаковой результирующей ошибке метод соискателя позволяет использовать больший шаг численного интегрирования, а значит, реже вычислять правую часть дифференциального уравнения. Это приводит к уменьшению ресурсов, затрачиваемых на прогнозирование орбит. Из графика также видно, что выбор шага в полутеневой области является обоснованным. При его использовании ошибка интегрирования обуславливается машинной

арифметикой. Следовательно, его уменьшение не приведет к уточнению результата.

4.2.4. Выводы по разделу

В настоящем разделе предложен способ коррекции шага интегрирования для прогнозирования орбит, имеющих полутеневые участки. Рассмотрены различные функции тени, построены их графики вдоль орбиты. Сформулирован алгоритм определения временных границ полутеневой области для космических объектов на эллиптических околоземных орбитах. Изложенный алгоритм применен для изменения шага интегрирования уравнений движения космических объектов. Показано, что предлагаемый способ коррекции шага является в 2-3 раза экономичнее классического метода для коллокационных интеграторов Гаусса-Эверхарта высоких порядков аппроксимации.

4.3. Выводы к главе 4

В настоящей главе проведены два исследования, направленные на более рациональный выбор шага интегрирования при численном прогнозе орбит околоземных космических объектов. В первой части главы предложена новая методика оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования для коллокационных методов Гаусса-Эверхарта. Предлагаемая методика основана на построении вспомогательного решения с порядком точности не меньше ^ - 1. Построение вспомогательного решения не требует дополнительного вычисления правой части системы дифференциальных уравнений, что делает предлагаемый подход вычислительно эффективным. После получения вспомогательного решения оценка локальной ошибки и выбор шага интегрирования производится аналогично тому, как это делается во вложенных методах интегрирования. Предложенная методика протестирована на задаче интегрирования орбиты Аренстофра и задаче интегрирования невозмущенной эллиптической орбиты. Вычислительные эксперименты показывали, что предлагаемый подход оценивает требуемый шаг

интегрирования в 2-3 раза точнее, в сравнении с оригинальным подходом, предложенным Э. Эверхартом.

Вторая часть главы посвящена выбору шага интегрирования для прогноза орбит с полутеневыми участками. Соискателем построена основанная на решении алгебраических уравнений методика вычислительного эффективного отыскания временных границ полутеневой области для космического объекта. Также предложена методика выбора шага интегрирования для этих областей. Результаты применены к задаче интегрирования геостационарной орбиты с полутеневыми участками. Показано, что предлагаемая методика позволяет в 2-3 раза более экономично выбирать шаг интегрирования, снижая при этом количество вычислений правой части системы дифференциальных уравнений движения.

129

Заключение

В работе были рассмотрены методы и алгоритмы повышения эффективности прогнозирования движения тел в околоземном космическом пространстве. В первой главе были сформулированы и проанализированы факторы, влияющие на эволюцию орбитальных параметров объектов вблизи Земли. Показано, что наиболее вычислительно затратными моделями возмущающих факторов, оказывающих сильное влияние на эволюцию орбитальных параметров, являются:

— модели тяготения Земли;

— модели плотности атмосферы Земли, определяющие аэродинамическое сопротивление.

Во второй главе диссертации были рассмотрены алгоритмы, направленные на сокращение вычислительных затрат для определения гравитационного тяготения Земли при помощи трехмерной интерполяции. Для двух типов интерполянтов: трикубического сплайна и трехмерной интерполяции на узлах Чебышева-Лиссажу выполнен анализ ошибок интерполяции, требуемых информационных объемов для хранения коэффициентов интерполяции. Показано, что применение трикубического сплайна для интерполяции гравитационного тяготения Земли нецелесообразно из-за больших информационных объемов, занимаемых коэффициентами интерполянта. Интерполяция на узлах Чебышева-Лиссажу, напротив, оказалась эффективным решением для ускорения вычисления тяготения. Хранение коэффициентов интерполяции в сферическом слое от 100 км до 1100 км требует до 3 Гбайт информационного объема. Ошибка интерполяции гравитационного ускорения не превосходит 10-15 относительных единиц. Проанализирована ошибка прогнозирования траекторий, связанная с подменой прямого расчета на интерполяционный расчет. Дневная ошибка прогноза траектории космических объектов составляет тысячные доли миллиметра. Применение предлагаемого подхода

позволило ускорить вычисление гравитационного тяготения от 4 раз для малых степеней разложения гравитационного потенциала (N = 16) до нескольких сотен раз для больших степеней разложения (N = 128).

В третьей главе диссертации рассмотрен алгоритм увеличения скорости счета орбитальных параметров космических объектов при помощи четырехмерной интерполяции плотности атмосферы Земли. Исследование проведено для двух моделей плотности атмосферы: NRLMSISE-00 и ГОСТ Р 25645.166-2004. Показано, интерполяция плотности атмосферы в сферическом слое с высотами от 350 км до 800 км может быть проведена с относительной ошибкой менее 0.1%. Потребный информационный объем при интерполяции на одну неделю составляет примерно 1 Гбайт. Расчет плотности по модели NRLMSISE-00 может быть ускорен при помощи интерполяции в 13 раз, а по модели ГОСТ Р 25645.166-2004 - в 2.5 раза.

В четвертой главе рассмотрены методы увеличения эффективности численного прогноза орбит за счет выбора более рационального шага интегрирования. В первой части главы предложена новая методика оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования для коллокационных методов Гаусса-Эверхарта. На модельных примерах продемонстрировано, что предлагаемая методика для заданной локальной точности подбирает шаг интегрирования в 2-3 раза точнее в сравнении с оригинальным методом, предложенным Э. Эверхартом. Во второй части главы рассмотрена методика выбора шага интегрирования для орбит с полутеневыми участками. Предложен вычислительно эффективный алгоритм расчета полутеневых участков орбитальных траекторий. Предложен алгоритм выбора шага интегрирования. На примере интегрирования траектории геостационарного спутника продемонстрировано, что новая методика позволяет в 2 раза более эффективно производить прогноз орбитальных параметров.

В заключение следует отметить, что полученные результаты могут быть применены не только к задаче численного прогнозирования орбит. Например,

интерполяция поля плотности атмосферы Земли может быть применена для прогноза средних орбитальных элементов в численно-аналитических способах прогноза траектории. Предложенный соискателем метод оценки локальной ошибки и выбора шага интегрирования для коллокационных методов Гаусса-Эверхарта можно применять при решении любых задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе не связанных с орбитальной динамикой. В силу своей вычислительной эффективности предложенный соискателем алгоритм определения полутеневых участков орбиты может быть использован в бортовых вычислительных машинах космических аппаратов для планирования работы спутников.

132

Список литературы

1 Vallado D., Crawford P. SGP4 orbit determination //AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit. - 2008. - С. 6770.

2 Назаренко А. И., Скребушевский Б. С. Эволюция и устойчивость спутниковых систем. - Мишиностроение, 1981.

3 Назаренко А. И. Задачи стохастической космодинамики. Математические методы и алгоритмы решения //М.: URSS: Ленанд. - 2018. -Т. 349.

4 Тюлин А.Е., Бетанов В.В., Юрасов В.С., Стрельников С.В. Навигационно-баллистическое обеспечение полета ракетно-космических средств. Кн.2. Системный анализ НБО 2018

5 Nazarenko A. I., Yurasov V. S. Semi-analytical models of satellites motion for Russian Space Surveillance System //Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies: Proceedings of the US/European Celestial Mechanics Workshop, held in Poznan, Poland, 3-7 July 2000. - Dordrecht : Springer Netherlands, 2001. -С. 401-406.

6 Баранов А. А. Маневрирование космических аппаратов в окрестности круговой орбиты //М.: Спутник. - 2016.

7 Голиков А. Р. Численно-аналитическая теория движения искусственных спутников небесных тел //Препринты ИПМ им. МВ Келдыша. - 1990. - №. 70.

8 Голиков А. Р. Влияние нецентральности гравитационного поля в численно-аналитической теории движения искусственного спутника //Препринты ИПМ им. МВ Келдыша. - 1991. - №. 49.

9 Голиков А. Р. Влияние атмосферного торможения в численно-аналитической теории движения искусственного спутника Земли //Препринты ИПМ им. МВ Келдыша. - 1991. - №. 65.

10 Akim E. L., Golikov A. R. Numeric-analytical satellite theory //Advances in the Astronautical Sciences. - 1993. - С. 955-962.

11 Колегов Г. А. Избранные разделы космической баллистики искусственных спутников Земли. - 2007.

12 Danielson D. A. et al. Semianalytic satellite theory. - Monterey, California. Naval Postgraduate School, 1995.

13 Neta B. et al. Semianalytic Satellite Theory. - 1994.

14 Neeion J. G., Cefola P. J., Proulx R. J. Current development of the Draper Semianalytical Satellite Theory standalone orbit propagator package //Advances in the Astronautical Sciences. - 1998. - Т. 97. - С. 2037-2052.

15 Long A. C. et al. Goddard trajectory determination system (GTDS) mathematical theory (revision 1) //National Aeronautics and Space Administration/Goddard Space Flight Center, FDD/552-89/001 and CSC/TR-89/6001. - 1989.

16 Early L. W. A portable orbit generator using semianalytical satellite theory //AIAA Paper. - 1986. - Т. 86.

17 Neeion J. G., Cefola P. J., Proulx R. J. Current development of the Draper Semianalytical Satellite Theory standalone orbit propagator package //Advances in the Astronautical Sciences. - 1998. - Т. 97. - С. 2037-2052.

18 Cefola P. J. et al. Verification of the Orekit Java implementation of the Draper semi-analytical satellite theory //Advances in the Astronautical Sciences. -2013. - Т. 148. - С. 3079-3110.

19 Cefola P. J. et al. Revisiting the DSST standalone orbit propagator //Advances in the Astronautical Sciences. - 2014. - T. 152. - C. 2891-2914.

20 Setty S. J. et al. Application of semi-analytical satellite theory orbit propagator to orbit determination for space object catalog maintenance //Advances in Space Research. - 2016. - T. 57. - №. 10. - C. 2218-2233.

21 Maisonobe L., Pommier V., Parraud P. Orekit: An open source library for operational flight dynamics applications //4th international conference on astrodynamics tools and techniques. - Paris : European Space Agency, 2010. - C. 3-6.

22 Hughes S. P. General mission analysis tool (gmat). - 2016. - №. GSFC-E-DAA-TN29897.

23 Vallado D. A. Fundamentals of astrodynamics and applications. - Springer Science & Business Media, 2001. - T. 12.

24 Cefola P. Equinoctial orbit elements-Application to artificial satellite orbits //Astrodynamics Conference. - 1972. - C. 937.

25 Walker M. J. H., Ireland B., Owens J. A set modified equinoctial orbit elements //Celestial mechanics. - 1985. - T. 36. - №. 4. - C. 409-419.

26 Gondelach D. J., Armellin R. Element sets for high-order Poincare mapping of perturbed Keplerian motion //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 2018. - T. 130. - №. 10. - C. 65.

27 Battin R. H. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. - Aiaa, 1999.

28 Petit G. et al. IERS conventions (2010). - 2010.

29 Capitaine N. et al. On the IAU 2000/2006 precession-nutation and comparison with other models and VLBI observations //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 2009. - T. 103. - C. 179-190.

30 Capitaine N. et al. Expressions for the Celestial Intermediate Pole and Celestial Ephemeris Origin consistent with the IAU 2000A precession-nutation model //Astronomy & Astrophysics. - 2003. - T. 400. - №. 3. - C. 1145-1154.

31 Seidelmann P. K. (ed.). Explanatory supplement to the astronomical almanac. - University Science Books, 1992.

32 Standish E. M. JPL planetary and lunar ephemerides //IOM, 312, F-98-048. - 1998.

33 Folkner W. M. et al. The planetary and lunar ephemerides DE430 and DE431 //Interplanetary network progress report. - 2014. - T. 196. - №. 1. - C. 42196.

34 Park R. S. et al. The JPL planetary and lunar ephemerides DE440 and DE441 //The Astronomical Journal. - 2021. - T. 161. - №. 3. - C. 105.

35 Pitjeva E. V. EPM ephemerides and relativity //Proceedings of the International Astronomical Union. - 2009. - T. 5. - №. S261. - C. 170-178.

36 Pitjeva E. V., Pitjev N. P. Development of planetary ephemerides EPM and their applications //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 2014. - T. 119. - C. 237-256.

37 Lemoine F. G. et al. The development of the joint NASA GSFC and the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) geopotential model EGM96. -1998. - №. NAS 1.60: 206861.

38 Pavlis N. K. et al. The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) //Journal of geophysical research: solid earth. - 2012. - Т. 117. - №. B4.

39 Tapley B. et al. The GGM03 mean earth gravity model from GRACE //AGU Fall Meeting Abstracts. - 2007. - Т. 2007. - С. G42A-03.

40 Галазин В. Ф. и др. Система геодезических параметров земли «Параметры Земли 1990 года»(ПЗ-90) //ВВ Хвостова. М.: Координационный научно-информационный центр. - 1998.

41 Sasao T., Wahr J. M. An excitation mechanism for the free 'core nutation' //Geophysical Journal International. - 1981. - Т. 64. - №. 3. - С. 729-746.

42 Wahr J. M., Sasao T., Smith M. L. Effect of the fluid core on changes in the length of day due to long period tides //Geophysical Journal International. -1981. - Т. 64. - №. 3. - С. 635-650.

43 Lyard F. et al. Modelling the global ocean tides: modern insights from FES2004 //Ocean dynamics. - 2006. - Т. 56. - С. 394-415.

44 Casotto S., Fantino E. Evaluation of methods for spherical harmonic synthesis of the gravitational potential and its gradients //Advances in Space Research. - 2007. - Т. 40. - №. 1. - С. 69-75.

45 Clenshaw C. W. A note on the summation of Chebyshev series //Mathematics of Computation. - 1955. - Т. 9. - №. 51. - С. 118-120.

46 Tscherning C. C. Computation of the second-order derivatives of the normal potential based on the representation by a Legendre series //manuscripta geodaetica. - 1976. - Т. 1. - №. 2. - С. 71-92.

47 Tscherning C. C., Poder K. Some geodetic applications of Clenshaw summation. - 1982.

48 Tscherning, C.C., Rapp, R.H., Goad, C. A comparison of methods for computing gravimetric quantities from high degree spherical harmonic expansions. Manuscr. Geod. 8, 249-272, 1983.

49 Pines S. Uniform representation of the gravitational potential and its derivatives //AIAa Journal. - 1973. - T. 11. - №. 11. - C. 1508-1511.

50 Lundberg J. B., Schutz B. E. Recursion formulas of Legendre functions for use with nonsingular geopotential models //Journal of Guidance, Control, and Dynamics. - 1988. - T. 11. - №. 1. - C. 31-38.

51 Cunningham L. E. On the computation of the spherical harmonic terms needed during the numerical integration of the orbital motion of an artificial satellite //Celestial mechanics. - 1970. - T. 2. - №. 2. - C. 207-216.

52 Metris G., Xu J., Wytrzyszczak I. Derivatives of the gravity potential with respect to rectangular coordinates //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 1998. - T. 71. - №. 2. - C. 137-151.

53 Bowman B. R. et al. The JB2006 empirical thermospheric density model //Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. - 2008. - T. 70. - №. 5. -C. 774-793.

54 Picone J. M. et al. NRLMSISE-00 empirical model of the atmosphere: Statistical comparisons and scientific issues //Journal of Geophysical Research: Space Physics. - 2002. - T. 107. - №. A12. - C. SIA 15-1-SIA 15-16.

55 Emmert J. T. et al. NRLMSIS 2.0: A whole-atmosphere empirical model of temperature and neutral species densities //Earth and Space Science. - 2021. - T. 8. - №. 3. - C. e2020EA001321.

56 Musen P. The influence of the solar radiation pressure on the motion of an artificial satellite //Journal of Geophysical Research. - 1960. - T. 65. - №. 5. - C. 1391-1396.

57 Kozai Y. Effects of solar radiation pressure on the motion of an artificial satellite // Smithsonian Contributions to Astrophysics. 1963. V. 6, P. 109.

58 Ferraz Mello S. Sur le probleme de la pression de radiation dans la theorie des satellites artificiels // CR Acad. Sc. Paris. 1964. V. 258. P. 463-466.

59 Ferraz Mello S. Analytical study of the Earth's shadowing effects on satellite orbits // Celestial mechanics. 1972. V. 5, N 1. P. 80-101.

60 Zhang R. et al. Study of satellite shadow function model considering the overlapping parts of Earth shadow and Moon shadow and its application to GPS satellite orbit determination //Advances in Space Research. - 2019. - T. 63. - №. 9. - C. 2912-2929.

61 Vokrouhlicky D., Farinella P., Mignard F. Solar radiation pressure perturbations for Earth satellites. 1: A complete theory including penumbra transitions // Astronomy and Astrophysics. 1993. V. 280, N 1. P. 295-312.

62 Vokrouhlicky D., Farinella P., Mignard F. Solar radiation pressure perturbations for Earth satellites II. an approximate method to model penumbra transitions and their long-term orbital effects on LAGEOS // Astronomy and Astrophysics. 1994. V. 285. P. 333-343.

63 Vokrouhlicky D., Farinella P., Mignard F. Solar radiation pressure perturbations for Earth satellites. III. Global atmospheric phenomena and the albedo effect // Astronomy and Astrophysics. 1994. V. 290. P. 324-334.

64 Vokrouhlicky D., Farinella P., Mignard F. Solar radiation pressure perturbations for Earth satellites. IV. Effects of the Earth's polar flattening on the

shadow structure and the penumbra transitions // Astronomy and Astrophysics. 1996. V. 307. P. 635-644.

65 Robertson R.V., Shoemaker M.A. Highly Physical Penumbra Solar Radiation Pressure Modeling and the Earth Flyby Anomaly. SpaceOps 2014 Conference. 2014. P. 1881.

66 Li Z. et al. A shadow function model based on perspective projection and atmospheric effect for satellites in eclipse //Advances in Space Research. - 2019. -Т. 63. - №. 3. - С. 1347-1359.

67 Robertson H. P. Dynamical effects of radiation in the solar system //Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 97, p. 423. - 1937. - Т. 97. - С. 423.

68 Чувашов И. Н. и др. Учет негравитационных эффектов в движении околоземных объектов //Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2013. - №. 4. - С. 145-150.

69 Хелали Я.Э., Батраков Ю.В., Фоминов А.М., Эффекты полутени Луны в движении спутников при убывании яркости солнечного диска//Труды ИПА РАН. - 1999. - №. 4. - С. 300-309.

70 Springer T. A., Beutler G., Rothacher M. A new solar radiation pressure model for GPS satellites //GPS solutions. - 1999. - Т. 2. - С. 50-62.

71 Arnold D. et al. CODE's new solar radiation pressure model for GNSS orbit determination //Journal of geodesy. - 2015. - Т. 89. - С. 775-791.

72 Duan B., Hugentobler U. Enhanced solar radiation pressure model for GPS satellites considering various physical effects //GPS Solutions. - 2021. - Т. 25. - №. 2. - С. 42.

73 Duan B., Hugentobler U. Enhanced solar radiation pressure model for GPS satellites considering various physical effects //GPS Solutions. - 2021. - Т. 25. - №2. 2. - С. 42.

74 Александрова А. Г., Чувашов И. Н. Выбор эффективной модели силы светового давления для спутников ГЛОНАСС //Известия вузов. Физика. -2017. - Т. 60. - №. 2. - С. 117-122.

75 Чувашов И. Н. и др. Модели силы светового давления для спутников системы ГЛОНАСС. - 2014.

76 Vokrouhlicky D., Sehnal L. On some aspects of the albedo effect application to the ERS-1 satellite //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 1993. - Т. 56. - №. 3. - С. 471-490.

77 Knocke P., Ries J., Tapley B. Earth radiation pressure effects on satellites //Astrodynamics conference. - 1988. - С. 4292.

78 Rubincam D. P. Yarkovsky thermal drag on LAGEOS //Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 1988. - Т. 93. - №. B11. - С. 13805-13810.

79 Slabinski V. J. A numerical solution for LAGEOS thermal thrust: the rapidspin case //Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 1996. - Т. 66. - С. 131-179.

80 Andrés J. I., Noomen R., Vecellio None S. Numerical simulation of the LAGEOS thermal behavior and thermal accelerations //Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 2006. - Т. 111. - №. B9.

81 Duha J., Afonso G. B., Ferreira L. D. D. Thermal re-emission effects on GPS satellites //Journal of Geodesy. - 2006. - Т. 80. - С. 665-674.

82 Farinella P., Vokrouhlicky D. Thermal force effects on slowly rotating, spherical artificial satellites—I. Solar heating //Planetary and space science. - 1996. - T. 44. - №. 12. - C. 1551-1561.

83 Vokrouhlicky D., Farinella P. Thermal force effects on slowly rotating, spherical artificial satellites—II. Earth infrared heating //Planetary and space science. - 1997. - T. 45. - №. 4. - C. 419-425.

84 Brumberg V. A., Kopeikin S. M. Relativistic equations of motion of an Earth satellite in the geocentric frame of reference //Kinematika i Fizika Nebesnykh Tel. - 1989. - T. 5. - C. 3-8.

85 Brumberg V. Essential relativistic celestial mechanics. - CRC Press, 2017.

86 Kutta W. Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. - Teubner, 1901.

87 Runge C. Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen //Mathematische Annalen. - 1895. - T. 46. - №. 2. - C. 167-178.

88 Heun K. et al. Neue Methoden zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhängigen Veränderlichen //Z. Math. Phys. -1900. - T. 45. - C. 23-38.

89 Butcher J. C. On Runge-Kutta processes of high order //Journal of the Australian Mathematical Society. - 1964. - T. 4. - №. 2. - C. 179-194.

90 Butcher J. C. On the attainable order of Runge-Kutta methods //Mathematics of computation. - 1965. - T. 19. - №. 91. - C. 408-417.

91 Butcher J. C. The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods //BIT Numerical Mathematics. - 1985. - T. 25. - №. 3. - C. 521-540.

92 Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge-Kutta formulae //Journal of computational and applied mathematics. - 1980. - T. 6. - №2. 1. - C. 1926.

93 Prince P. J., Dormand J. R. High order embedded Runge-Kutta formulae //Journal of computational and applied mathematics. - 1981. - T. 7. - №2. 1. - C. 6775.

94 Dormand J. R., Prince P. J. A reconsideration of some embedded Runge— Kutta formulae //Journal of computational and applied mathematics. - 1986. - T. 15.

- №. 2. - C. 203-211.

95 Fehlberg E. Classical fifth-and seventh-order runge-kutta formulas with stepsize control //Computing. - 1969. - T. 4. - C. 93-106.

96 Fehlberg E. Classical fourth-and lower order Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to heat transfer problems //Computing. - 1970.

- T. 6. - C. 61-71.

97 Fehlberg E. Classical eight-and lower-order Runge-Kutta-Nystrom formulas with stepsize control for special second-order differential equations. -1972. - №. NASA-TR-R-381.

98 Fehlberg E. Classical eighth-and lower-order Runge-Kutta-Nystrom formulas with a new stepsize control procedure for special second-order differential equations. - 1973. - №. M-544.

99 Fehlberg E. Classical seventh-, sixth-, and fifth-order Runge-Kutta-Nystrom formulas with stepsize control for general second-order differential equations. - 1974. - №. NASA-TR-R-432.

100 Everhart E. A New Method for Integrating Orbits //Bulletin of the American Astronomical Society, Vol. 5, p. 389. - 1973. - T. 5. - C. 389.

101 Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits //Celestial mechanics. - 1974. - Т. 10. - №. 1. - С. 35-55.

102 Everhart E. An efficient integrator that uses Gauss-Radau spacings //International Astronomical Union Colloquium. - Cambridge University Press, 1985. - Т. 83. - С. 185-202.

103 Авдюшев В. А. и др. Численное моделирование орбит. - 2010.

104 Strehmel K. Hairer, E.; Norsett, SP; Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations. I: Nonstiff Problems. Berlin etc., Springer-Verlag 1987. XIV, 480 pp., 105 figs., DM 124,—. ISBN 3-540-17145-2 (Springer Series in computational Mathematics 8) //Zeitschrift Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1988. - Т. 68. - №. 6. - С. 260-260.

105 Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. - Springer, 2006. - 644 p.

106 Kuntzmann J. // Z. Angew. Math. Mech. - 1961. - V. 41. - P. 28-31

107 Butcher J.C. // Math. Comput. - 1964. - V. 18. - P. 50-64.

108 Авдюшев В. А. Новый коллокационный интегратор для решения задач динамики. I. Теоретические основы //Известия высших учебных заведений. Физика. - 2020. - Т. 63. - №. 11. - С. 131-140.

109 Авдюшев В. А. Коллокационный интегратор Lobbie в задачах орбитальной динамики //Астрономический вестник. Исследования Солнечной системы. - 2022. - Т. 56. - №. 1. - С. 36-46.

110 Hairer E., Wanner G., N0rsett S. P. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1993.

111 Curtiss C. F., Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations //Proceedings of the national academy of sciences. - 1952. - Т. 38. - №2. 3. - С. 235243.

112 Gear C. W. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations //Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. - 1965. - Т. 2. - №. 1. - С. 69-86.

113 Gear C. W. The numerical integration of ordinary differential equations //Mathematics of Computation. - 1967. - Т. 21. - №. 98. - С. 146-156.

114 Lambert J. D. Computational methods in ordinary differential equations //(No Title). - 1973.

115 Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations //New York: Wiley. - 1962.

116 Quinlan G. D., Tremaine S. Symmetric multistep methods for the numerical integration of planetary orbits //Astronomical Journal (ISSN 0004-6256), vol. 100, Nov. 1990, p. 1694-1700. Research supported by NSERC. - 1990. - Т. 100. - С. 1694-1700.

117 Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations //Mathematica Scandinavica. - 1956. - С. 33-53.

118 Назаренко А. И. Погрешности прогнозирования движения спутников в гравитационном поле Земли. - 2010.

119 Clenshaw C.W. A note on the summation of Chebyshev series. Mathematics of Computation. 1955. V. 9, N 51. P. 118-120.

120 Tscherning C.C. Computation of the second-order derivatives of the normal potential based on the representation by a Legendre series. Manuscripta geodaetica. 1976. V. 1, N 1. P. 71 92.

121 Tscherning C.C., Poder K. Some geodetic applications of Clenshaw summation. 8th Symposium on Mathematical Geodesy. 5th Hotine Symposium. 1981.

122 Zavialova N. A. et al. Methods for accurate ballistics calculations for multi-satellite constellations //Advances in the Astronautical Sciences. - 2020. - С. 91-98.

123 Kuznetsov A. A. et al. Using an Interpolation Model of the Gravitational Potential for High-Precision Ballistic Calculations //International Conference on Aerospace System Science and Engineering. - Singapore: Springer Nature Singapore, 2021. - С. 239-247.

124 Кузнецов А.А., Фукин И.И., Вафин К.М., Завьялова Н.А., Негодяев С.С. Об интерпо ляция гравитационного поля Земли // Труды МФТИ. 2023. Т. 15, № 4. С. 121-131.

125 Kuznetsov. A, Zavialova N., Fukin I. et al. Research on the interpolation of the gravitational potential of the Earth //Proceedings of 73th International Astronautical Congress, IAC, 2022. -vol. 2022-0ctober.

126 Francois Lekien и Jerrold Marsden. "Tricubic interpolation in three dimensions". В: International Journal for Numerical Methods in Engineering 63.3 (2005), с. 455—471

127 Chebyshev P. L. Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes. - Imprimerie de l'Académie impériale des sciences, 1853.

128 Brutman L. Lebesgue functions for polynomial interpolation-a survey //Annals of Numerical Mathematics. - 1996. - Т. 4. - С. 111-128.

129 Caliari M., De Marchi S., Vianello M. Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: computational aspects //Journal of computational and applied mathematics. - 2008. - Т. 221. - №. 2. - С. 284-292.

130 Caliari M., Marchi S., Vianello M. Algorithm 886: Padua2D---Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains //ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). - 2008. - Т. 35. - №. 3. - С. 1-11.

131 Dencker P., Erb W. Multivariate polynomial interpolation on Lissajous-Chebyshev nodes //Journal of Approximation Theory. - 2017. - Т. 219. - С. 15-45.

132 Nazarenko A. I., Cefola P. J., Yurasov V. Estimating atmosphere density variations to improve LEO orbit prediction accuracy //Advances in the Astronautical Sciences. - 1998. - С. 1235-1256.

133 Nazarenko A. I. et al. Monitoring of variations of the upper atmosphere density //Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies: Proceedings of the US/European Celestial Mechanics Workshop, held in Poznan, Poland, 3-7 July 2000. - Dordrecht : Springer Netherlands, 2000. - С. 375-384.

134 Yurasov V. S. et al. Direct density correction method: Review of results //57th International Astronautical Congress. - 2006. - С. C1. 5.02.

135 Yurasov V. S. et al. Results and issues of atmospheric density correction //The Journal of the Astronautical Sciences. - 2004. - Т. 52. - №. 3. - С. 281-300.

136 Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. - 1965.

137 Тихонравов М. К. Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли. - Машиностроение, 1967.

138 Фукин И.И., Кузнецов А.А., Носырев А.Н., Завьялова Н.А., Негодяев С.С. О новом способе оценки локальной ошибки в методах Гаусса-Эверхарта // Труды МФТИ. — 2025. — Т. 68, № 1. — С. 1-16.

139 Кузнецов А.А., Сорокин И.А., Хрипунов И.В., Фукин И.И., Завьялова Н.А., Негодяев С.С. Оновомметоде выбора шага численного интегрирования орбит с полутеневыми участ ками // Труды МФТИ. 2024. Т. 16, № 1. С. 18-33.

140 Arenstorf R. F. Periodic solutions of the restricted three body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions.- National Aeronautics and Space Administration, 1963.