Разработка моделей и анализ пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат технических наук Наумов, Олег Николаевич

• Наумов, Олег Николаевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Наумов, Олег Николаевич

Основные условные обозначения.

Введение.

1. Аналитический обзор и решаемые задачи.

1.1 Обзор проектов и экспериментов, в которых использовались космические тросовые системы.

1.2 Обзор математических моделей и методов исследования динамики космических тросовых систем.

1.3 Схема диссертационного исследования.

2. Математические модели движения.

2.1 Нелинейная математическая модель движения КТС с учётом вращательного движения КА в форме уравнения Лагранжа.

2.2 Нелинейная модель вращательного движения СК при развёртывании

КТС в форме уравнений Эйлера.

2.3 Квазилинейные уравнения движения СК с малой асимметрией.

2.4 Результаты второй главы.

3. Анализ движения СК вокруг центра масс.

3.1 Анализ движения СК при отсутствии асимметрии.

3.2 Анализ движения СК при наличии статической и динамической асимметрии.

3.3 Анализ движения СК при учёте вращательного движения КА и весомости троса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка моделей и анализ пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы»

Актуальность темы. Используемые в настоящее время космические аппараты представляют собой сложные конструкции, состоящие из множества элементов. Особое место в космической технике занимают космические тросовые системы (КТС), которые могут создаваться на орбите из отдельных тел, отстоящих друг от друга на расстоянии от нескольких метров до десятков и сотен километров.

Космические тросовые системы могут быть использованы для решения чрезвычайно широкого круга задач: возвращение на Землю лёгких спускаемых капсул, содержащих полезный груз; исследование гравитационного поля Земли; создание искусственной гравитации на борту космического аппарата (КА); исследование ионосферы; съёмка земной поверхности с более высоким разрешением; орбитальные манёвры КА и т. д.

В последние несколько десятилетий были проведены натурные эксперименты по развёртыванию КТС, наиболее известными из которых являются: TSS-1, TSS-1R, OEDIPUS-A, OEDIPUS-C, SEDS-1, SEDS-2, YES2.

Реализация перечисленных и других экспериментов применения КТС требует подробного анализа динамики их движения, поэтому решению динамических задач, отражающих различные аспекты движения КТС, уделялось и уделяется большое внимание как у нас в стране: Алпатов А. П., Белецкий В. В., Левин Е. М., Сазонов В. В. и др., так и за рубежом: Cosmo M. L., Hoyt R. P., Mankala К. K., Kruijff M., Robert L. F., Williams P. и др.

Эксперимент YES2, проведённый на КА «Фотон МЗ» в 2007 году, стал источником ииформации для исследования динамики КТС специалистами СГАУ и ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс». Здесь следует отметить работы Асланова В. С., Заболотнова Ю. М., Ишкова С. А. и др. Работы, выполненные в СГАУ, были посвящены построению номинальных программ развёртывания КТС, вопросам динамики троса как распределённой системы, аэродинамической стабилизации движения КА с помощью тросовой системы, безопасности развёртывания КТС, задаче анализа плоских колебаний базового КА, с которого производится развёртывание тросовой системы. Однако вопросы анализа пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) на упругом тросе при развёртывании КТС до настоящего времени не рассматривались.

В работе рассматривается КТС, состоящая из КА, СК и троса. Развёртывание троса осуществляется с помощью механизма управления, расположенного на борту КА. Анализ движения СК относительно центра масс необходим для обеспечения ограничений на углы ориентации СК относительно направления троса и на его угловую скорость. Развёртывание КТС без учёта этих ограничений может привести к провисанию троса (потеря управляемости), к образованию петель, к кручению троса, к большим угловым скоростям СК при его отделении от КТС после завершения процесса развёртывания троса. Всё это существенно затруднит выполнение заданной целевой задачи. Наличие математических моделей движения СК относительно центра масс на упругом тросе и их анализ позволяет осуществить расчёт характеристик движения СК относительно центра масс на всём этапе развёртывания КТС. Данные по пространственному положению СК (углам ориентации) и его угловой скорости в момент отделения, включая их законы распределения, необходимы для прогнозирования дальнейшего движения СК.

Цель работы заключается в разработке математических моделей пространственного движения КТС с учетом колебаний относительно центров масс КА и СК, в параметрическом и статистическом анализе движения спускаемой капсулы для обеспечения заданных ограничений на характеристики её движения относительно центра масс.

Для достижения цели работы необходимо:

1. Разработать математическую модель пространственного движения КТС при её развёртывании с учётом движения относительно центров масс КА и СК, массы троса, асимметрии СК и колебаний КА относительно местной вертикали.

2. Получить нелинейную математическую модель движения СК относительно центра масс на тросе, учитывающую действие гравитационного и аэродинамического моментов, в случае когда КА стабилизирован относительно местной вертикали при помощи своей собственной системы управления.

3. Получить приближённые квазилинейные уравнения пространственного движения СК относительно центра масс, учитывающие статическую и динамическую асимметрию СК.

4. Найти приближённое аналитическое решение для угла нутации (угла между продольной осыо СК и направлением троса) при программном развёртывании КТС.

5. Провести анализ влияния статической и динамической асимметрии СК (под статической асимметрией понимается асимметрия положения точки крепления троса относительно оси динамической симметрии СК, под динамической асимметрией - несимметричный вид тензора инерции СК в связанных с ней осях), а также весомости троса и движения относительно центра масс КА на характеристики углового движения СК.

6. Провести оценку влияния массы троса и колебаний базового КА на динамику движения СК относительно центра масс.

7. Проанализировать процесс демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК при развёртывании КТС.

8. Провести статистический анализ характеристик углового движения СК в момент окончания развёртывания КТС.

Методы исследования. При разработке математических моделей и методов исследования движения СК, задании действующих сил и моментов использовались методы классической механики и математики.

Объектом исследования является СК, совершающая пространственное движение относительно центра масс на упругом тросе.

Предметом исследования являются математические модели пространственного движения относительно центра масс СК при развёртывании КТС.

Научная новизна. Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Получена математическая модель пространственного движения развёртываемой КТС с учётом движения относительно центра масс КА и СК, позволяющая оценивать влияние асимметрии СК, весомости троса, угловых колебаний КА относительно местной вертикали на движение СК относительно центра масс.

2. С использованием методов асимптотического анализа найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения СК относительно центра масс, позволяющее оценивать максимальные углы нутации СК при программном развёртывании КТС.

3. Построена математическая модель развёртывания КТС, состоящей из неоднородных участков, позволяющая анализировать способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК относительно направления троса.

4. Проведён статистический анализ движения СК относительно центра масс в момент окончания развёртывания КТС, на основании которого определены статистические законы распределения угла нутации и компонент угловой скорости СК при отделении от КТС.

Практическая значимость. Результаты исследований позволяют целенаправленно изменять параметры троса, СК и демпфирующих устройств с целыо выполнения заданных ограничений на характеристики пространственного движения СК относительно центра масс. Полученное аналитическое решение может быть использовано для оценки значений углов нутации при построении программных законов развёртывания КТС. Математические модели и методы анализа реализованы в виде комплекса программ и могут быть использованы при подготовке будущих тросовых экспериментов на орбите.

Результаты работы внедрены в учебный процесс СГАУ.

Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Математическая модель пространственного движения СК относительно центра масс при управляемом развёртывании КТС, учитывающая массу троса, асимметрию СК и колебания КА относительно местной вертикали.

2. Квазилинейная математическая модель пространственного вращательного движения СК с малой асимметрией при малых углах нутации.

3. Аналитическое решение квазилинейных уравнений для угла нутации СК при программном развёртывании КТС и при отсутствии асимметрии.

4. Результаты исследования влияния статической и динамической асимметрии СК на параметры его пространственного движения относительно центра масс.

5. Математическая модель движения тросовой системы, состоящей из разнородных участков троса.

6. Результаты анализа процессов демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК.

7. Результаты статистического анализа движения СК относительно центра масс.

Апробация результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации, были представлены и докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием «VIII Королёвские чтения». Самара, 2007 г.

2. Международные молодежные конференции «Туполевские чтения». Казань, 2007 и 2008 годы.

3. Международная конференция «Научные и технологические эксперименты на малых космических аппаратах и малых спутниках». Самара, 2008 г.

4. Международная конференция с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса», Самара, 2010.

5. 9-я международная конференция «Авиация и космонавтика -2010». Москва, 2010 г.

6. Международная конференция «XXXV Академические чтения по космонавтике». Москва, 2011 г.

7. Вторая международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках». Самара, 2011 г.

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, были опубликованы в 14 работах [42 - 55], в том числе пять статей опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией РФ [42 - 46].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трёх приложений. Объём диссертации составляет 180 страниц машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Наумов, Олег Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель пространственного движения космической тросовой системы (КТС) в форме уравнений Лагранжа второго рода, позволяющая исследовать динамику движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) при развёртывании тросовой системы с учётом асимметрии СК, весомости троса и колебаний базового космического аппарата (КА) относительно местной вертикали.

2. Разработана нелинейная математическая модель движения СК при развёртывании КТС в форме уравнений Эйлера, которая позволяет учитывать действие гравитационного и аэродинамического моментов на СК.

3. Получены квазилинейные уравнения движения СК с малой асимметрией в комплексной форме для малых углов нутации, допускающие анализ асимптотическими методами.

4. Методом усреднения найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения симметричной СК, позволяющее оценивать влияние программы развёртывания КТС на величину угла нутации и угловой скорости СК при проектировании КТС.

5. Проведён анализ влияния статической и динамической асимметрии на движение относительно центра масс СК при развёртывании КТС, позволяющий оценивать допустимые значений безразмерных параметров асимметрии.

6. Проведена оценка влияния весомости троса и колебаний КА на движение СК относительно местной вертикали. Показано, что если массы КА и СК с тросом существенно различаются (не менее чем на два порядка), то эти факторы практически не влияют на характеристики движения СК относительно центра масс, и ими можно пренебречь.

7. Предложены и исследованы способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК на упругом тросе, позволяющие расширить диапазоны возможных скоростей отделения от КА и допустимых значений асимметрии СК.

8. Проведено статистическое моделирование развёртывания КТС и получены оценки для законов распределения угла нутации, модуля угловой скорости и компонентов вектора угловой скорости СК на момент окончания развёртывания КТС. Данные результаты необходимы для проведения статистического моделирования дальнейшего движения СК.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Наумов, Олег Николаевич, 2012 год

1. Hoyt, R. P. Remediation of radiation belts using electrostatic tether structures Text. / R.P. Hoyt, В. M. Minor // Aerospace Conf., 2005 IEEE. Big Sky, MT, pp. 583-594.

2. Robert, P. Hoyt. Cislunar tether transport system Text. / Robert P. Hoyt, Chancey Uphoff // AIAA-99-2690, pp. 1-15. Электронный ресурс, режим доступа свободный: http://www.tethers.com/papers/CislunarAIAAPaper.pdf -Загл. с экрана.

3. Hoyt, R. P. The Terminator Таре: A cost-effective de-orbit module for end-of-life disposal of LEO satellites Text. / Hoyt, R. P., et al. // AIAA Space 2009 Conference and Exposition, September 14, 2009 -September 17, pp. 1 -9.

4. Белецкий, В. В. Динамика космических тросовых систем Текст. / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. М.: Наука, 1990. - 336 с.

5. Cosmo, М. L. Tethers in space handbook // Third edition Text. / M.L. Cosmo, E. C. Lorenzini. December, 1997, pp. 1-274.

6. Проект TSS-1 электронный ресурс, режим доступа свободный: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraftDisplay.do?id=TSS-l Загл. с экрана.

7. Туе, G. On the Dynamics of Spinning Tethered Space Vehicles Text. / Tyc, G. and Ray P.S. Han // Philosophical Transactions: Mathematical, Physical & Engineering Sciences of the Royal Society, 359, 2161-2190,2001.

8. Электронный ресурс Канадского космического агентства, режим доступа свободный:http://www.asc-csa.gc.ca/images/recherche/images/90 hr.jpg Загл. с экрана.

9. Vigneron, F. R. Tether deployment and trajectory modeling for space plasma science missions Text. / F. R. Vigneron, F. Schultz, A. M. Jablonski, G. Tyc // Journal of spacecraft and rockets. Vol. 37, No, 1, January-February 2000.

10. Michel Kruijff. Applicability of tether deployment simulation and tests based on YES 2 flight data Text. / Michel Kruijff. AIAA -2008-7036, pp. 1-24.

11. Проект YES2 Электронный ресурс. Режим доступа свободный: http://www.yes2.info/ Загл. с экрана.

12. Белецкий, В. В. Об относительном движении связки двух тел на орбите Текст. / В.В. Белецкий, Е.Т. Новикова // Космическиеисследования, 1969. Т. 7. Вып. 3. С. 377-384.

13. Алпатов, А. П. Динамика космических систем с тросовыми ишарнирными соединениями Текст. / А. П. Алпатов и др. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 560 с.

14. Сазонов В. В. Математическое моделирование развертывания тросовой системы с учетом массы троса Текст./ В.В. Сазонов. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. - 2006. - 36 с.

15. Фефелов Д. И. Моделирование и анализ развертывания и снижения соколоземной орбиты тросовой системы со спускаемой капсулой152

16. Текст. : дис. канд. техн. наук : 05.07.09 : защищена 27.09.2007 / Фефелов Денис Иванович ; Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева. Самара : СГАУ, 2007. - 131 с.

17. Дигнат, Ф. Управление колебаниями орбитальной тросовой системы Текст. / Ф. Дигнат, В. Шилен // Прикладная математика имеханика. 2000. Том 64. Вып. 5. С. 747-754.

18. Еленев, Д. В. Движение космического аппарата с тросовымаэродинамическим стабилизатором Текст. / Д. В. Еленев, Ю. М. Заболотнов. Самара: Издательство СНЦРАН, 2011. - 114 с.

19. Martin, В. Larsen. Nonlinear control of electrodynamics tether in equatorial or somewhat inclined orbits Text. / Martin B. Larsen, Morgens Blanke. Proceedings of the 15th Mediterranean conference on control and automation, July 27-29, 2007, pp. 1 6.

20. Kalyan, K. Mankala. A boundary controller on linear infinite dimensional system for station keeping of a tethered satellite system Text. / Kalyan K. Mankala, Sunil K. Agrawal // American control conference, 14-16 June 2006, pp. 1-6.

21. Williams, P. Dynamics and control of spinning tethers for rendezvous in elliptical orbit Text. / Paul Williams // Journal of Vibration and control, 12(7), 2006, pp. 731-771.

22. Mankala, К. K. Dynamic modeling and simulation of satellite tethered systems Text. / К. K. Mankala, S. K. Agrawal // Journal of vibration and acoustics, v. 127, n. 2, 2005, pp. 144 156.

23. Асланов, В. С. Уравнения движения орбитальной тросовой системы с учетом колебаний космического аппарата Текст. / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник СГАУ, №1, 2008. С. 16 - 22.

24. Стратилатов, Н. Р. Динамика космической тросовой системы для доставки полезной нагрузки на Землю Текст. / Н. Р. Стратилатов // Диссертация кандидата технических наук: 01.02.01 / Сам. гос. аэрокосм, ун-т им. С. П. Королёва. Самара, 2010.-124 с.

25. Белецкий, В. В. Модельная задача о космическом лифте Текст. / В. В. Белецкий, М. Б. Иванов, Е. И. Отставнов // Космические исследования Т. 43, № 2, 2005. - С.157-160.

26. Robert, L. Forward. Terminator tether: spacecraft deorbit device Text. / Robert L. Forward, Robert P. Hoyt // Journal of spacecraft and rockets -Vol. 37, № 2, March-April 2000, pp. 187 196.

27. Guang Zhai. System dynamics and feedforward control for tether-net space robot system Text. / Guang Zhai, Yue Qiu, Bin Liang and Cheng Li // International journal of advanced robotic systems, vol. 6, № 2 (2009) ISSN 1729-8806, pp. 137-144.

28. Eric, L. Near-Earth asteroid mission using tether sling shot assist Text. / Eric L., M. Lanoix, Arun K. Mirsa // Journal of spacecraft and rockets Vol. 37, № 2, March-April 2000, pp. 475 - 480.

29. Лаптев, E. В. Метод учёта характеристик троса при моделировании движения орбитальной тросовой системы Текст. / Е. В. Лаптев // Вестник СГАУ, № 2, 2010, с. 34-38.

30. Заболотнов, Ю. М. Движение в атмосфере тросовой системы спускаемый аппарат аэродинамический стабилизатор Текст. / Ю. М. Заболотнов, Д. В. Еленев // Известия СНЦ РАН, т.8, № 3, 2006. - С. 833 - 840.

31. Заболотнов, Ю. М. Динамика движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты Текст. / Ю.М. Заболотнов, Д.И. Фефелов // Известия СНЦ РАН, т.8, № 3, 2006. С. 841 - 848.

32. Заболотнова, О. Ю. Синтез алгоритмов управления для развертывания космической тросовой системы Текст. / О.Ю. Заболотнова // Полет, № 10, 2010.

33. Белецкий, В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс Текст. / В. В. Белецкий // Москва. Наука, 1965-416 с.

34. Асланов В. С. Малые колебания осесимметричного космического аппарата с тросовой системой текст. / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. Механика. № 6(65), с. 202 - 208.

35. Наумов, С. А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы для спуска малой капсулы Текст. / С. А. Наумов // дис. канд. техн. наук: 05.07.09 Самара, 2006, 96 с.

36. Ишков, С. А. Определение параметров орбитальной тросовой системы, предназначенной для спуска малых капсул с орбиты Текст. /

37. С. А. Ишков, И. В. Шейников // Известия СНЦ РАН, т.11, № 5, 2009.-С. 208-215.

38. Ишков, С. А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы Текст. / С. А. Ишков, С. А. Наумов // Вестник СГАУ. 2006. Вып.1.-С. 81-90.

39. Заболотнов, Ю. М. Движение спускаемой капсулы относительно центра масс при развертывании орбитальной тросовой системы Текст. / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Космические исследования, т.50, №2, 2012.-С.177-187.

40. Наумов, О. Н. Демпфирование колебаний спускаемой капсулы при управляемом развертывании тросовой системы Текст. / О. Н. Наумов // Полет, №2, 2012. С. 45-50.

41. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения легкой спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы Текст. / О. Н. Наумов // Изв. вузов. Авиационная техника, №2, 2012.-С. 37-40.

42. Заболотнов, Ю. М. Анализ пространственного вращательного движения концевого тела при развертывании орбитальной тросовой системы Текст. / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Известия СНЦ РАН. Т.11. №3. - 2009. - С. 249-256.

43. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения капсулы на тросе электронный ресурс. // О. Н. Наумов. Электронный многопредметный научный журнал «Исследовано в России». М:

44. МФТИ, 072, стр. 943-952, 2009 г. Режим доступа http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2009/072.pdf Загл. с экрана.

45. Коренев, Г. В. Тензорное исчисление Текст. / Г. В. Коренев. Учеб. Пособие: Для вузов. М.: Изд-во МФТИ, 2000. - 240 с.

46. ГОСТ 25645.101-83 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для проектных баллистических расчетов искусственных спутников Земли. - М.: Издательство стандартов. - 172 с.

47. Мирер, С. А. Механика космического полета. Орбитальное движение Текст. / С. А. Мирер. Учебное пособие. М: Резолит, 2007. - 270 с.

48. Мепоп, С. Design and Testing of a Space Mechanism for Tether Deployment Text. / С. Menon, M. Kruijff, A. Vavonliotis // J. Spacecraft and Rockets, Vol.44, No.4, July-August, 2007.

49. Рубановский, В. Н. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах Текст. / В. Н. Рубановский, Самсонов В. А. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2003. - 304 с.

50. Маркеев, А. П. Теоретическая механика Текст. / А. П. Маркеев. Учебник для университетов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 592 с.

51. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // (3-е изд.)-М.: Физматгиз, 1963.

52. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н. Н. Моисеев. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

53. Ярошевский, В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере Текст. / В. А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1978. - 168 с.

54. Заболотнов, Ю. М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений в атмосфере КА с малой асимметрией I Текст. / Ю. М. Заболотнов // Космические исследования, Т. 31, № 6, 1993. С. 39-50.

55. Ландау, JI. Д. Теоретическая физика: Т.1. Механика Текст. / J1. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Учеб. Пособ.: Для вузов. 5-е изд., стереот. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.

56. Заболотнов, Ю. М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией III Текст. / Ю.М. Заболотнов // Космические исследования, Т. 32. № 4-5, 1994. -С. 112-125.

57. Заболотнов, Ю. М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу Текст. / Ю. М. Заболотнов, В. В. Любимов // Космические исследования. Т. 41, № 5, 2003.- С. 481-487.

58. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний Текст. / Я. Г. Пановко. Учеб. Пособие для вузов,- 3-е изд., перераб. -М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1991. 256 с.

59. Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / В. С. Пугачев. Учеб. Пособие. 2-е изд., исправл. и дополн. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с.

60. Протасов, К. В. Статистический анализ экспериментальных данных Текст. / К. В. Протасов. М.: Мир, 2005. - 142 с.

61. Вадзинский Р. Н. Справочник по верояностным распределениям Текст. / Р. Н. Вадзинский . СПб.: Наука, 2001. - 295 с.

62. Хастингс Н. Справочник по статистическим распределениям Текст. / Н. Хастингс, Дж. Пикок // Пер. с англ. А. К. Зворкина- М.: Статистика,1980.-95 с.

63. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия Текст. / Е. 3. Демиденко // Москва, издательство «Финансы и статистика»,1981.-303 с.

64. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе МАТНСАБ Текст. / В. А. Охорзин. Учебное пособие. 2-е изд, испр. И доп. СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 352 с.