Разработка моделей и программной среды для решения коллимационной задачи анизотропного малоуглового рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Захаров, Денис Дмитриевич

• Захаров, Денис Дмитриевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Захаров, Денис Дмитриевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

КОЛЛИМАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОГО МАЛОУГЛОВОГО РАССЕЯНИЯ

1.1. Коллимационная задача для изотропного рассеяния.

1.2. Итерационный метод Фридмана.

1.3. Метод базисных функций.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА II. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ УЧЁТА КОЛЛИМАЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИЙ ПРИ МАЛОУГЛОВОМ РЕНТГЕНОВСКОМ РАССЕЯНИИ НА АНИЗОТРОПНЫХ ОБЪЕКТАХ.

2.1. Математическая постановка задачи.

2.2. Метод базисных функций.

2.3. Выбор оптимальных значений регулизаторов в методе базисных функций.

2.4. Модифицированный итерационный метод Фридмана.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Модельные анизотропные системы.

3.2. Метод базисных функций.

3.3. Модифицированный метод Фридмана.

Выводы по третьей главе.

ГЛАВА IV. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗВИТЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ КОЛЛИМАЦИОННОГО ПЕРЕСЧЁТА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫМ ОБРАЗЦОМ.

4.1. Интерполяция двухмерной поверхности интенсивности рассеяния на основе экспериментальных индикатрис, измеренных для различных ориентаций анизотропного образца.

4.2. Применение разработанных методов учета коллимационных искажений для «экспериментальной» интенсивности рассеяния.

Выводы по четвертой главе.

ГЛАВА V. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗВИТЫХ МЕТОДОВ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

5.1. Модельные системы.

5.2. Оценка влияния погрешности в интенсивности рассеяния на качество коллимационного пересчёта (на примере рассеяния однородными цилиндрами).

5.3. Экспериментальная интенсивность рассеяния на отожжённой плёнке из высокоориентированного полиэтилена.

Выводы по пятой главе.

ГЛАВА VI. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ.

6.1. Необходимость разработки программной среды и требования к ней.

6.2. Сценарий вычислений.

6.3. Пользовательский интерфейс.

6.4. Разработка программы отображения трёхмерных графиков.

6.5. Ключевые моменты построения программной среды.

6.6. Особенности численной реализации процедуры интегрирования.

6.7. Использование параллельных вычислений и кэширования данных.

Выводы по шестой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка моделей и программной среды для решения коллимационной задачи анизотропного малоуглового рассеяния»

Среди многочисленных физических методов исследования свойств природных и синтетических материалов важную роль играют методы, основанные на малоугловом рассеянии рентгеновских лучей, нейтронов и электронов. Основанные на классической теории дифракции Фраунгофера, эти методы дают прямую информацию о структуре исследуемого объекта. Особое место занимает рентгеновское малоугловое диффузное рассеяние. Благодаря классическим работам О. Краткого, А. Гинье и Г. Порода [1 - 3], а также работам многочисленных исследователей, этот метод получил широкое теоретическое и экспериментальное развитие. Охватывая широкий интервал размеров исследуемых объектов (от ~ 1 нм до ~ 100 нм), он дает возможность определять такие важные структурные параметры рассеивающих частиц как их общие размеры, степень вытянутости, фрактальные свойства их поверхности, характер распределения электронной плотности, рассчитывать функции распределения частиц по размерам и многое другое. Благодаря этим возможностям метод малоуглового рентгеновского рассеяния в настоящее время широко используется во многих лабораториях мира.

Анализ и учет коллимационных искажений является одной из наиболее важных и сложных задач в методике малоуглового рентгеновского диффузного рассеяния. Суть проблемы сводится к тому, что на практике для повышения светосилы рентгеновской установки используют, как правило, щелевые коллиматоры и щелевые приёмники, в то время как почти вся развитая теория рентгеновского рассеяния построена для точечного источника и точечного приемника. Использование щелей приводит к искажению (подробнее в главе I) экспериментальных интенсивностей рассеяния, в результате которого затруднён их анализ с использованием развитой теории дифракции. Возникает «коллимационная» задача численного пересчёта экспериментальной («искажённой») интенсивности рассеяния, полученной с использованием щелей, на «точечную» интенсивность рассеяния, полученную при использовании точечного источника и точечного приемника. Здесь под точечным источником понимается источник, генерирующий точечный пучок рентгеновского излучения, а под точечным приёмником - двухкоординатный детектор.

Задача указанного коллимационного пересчёта имеет различную сложность в зависимости от того, является ли исследуемый объект изотропным или он проявляет анизотропные свойства. В случае изотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит только от угла рассеяния и является функцией одной переменной. Для изотропных объектов в различных лабораториях мира (в том числе и в лаборатории кафедры физики СПб НИУ ИТМО) разработана целая серия алгоритмов введения коллимационных поправок [4-7], позволяющих с высокой точностью [8, 9] осуществлять пересчёт искажённой интенсивности на точечную.

В случае анизотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит не только от угла рассеяния, но и от ориентации объекта в пространстве. В практическом отношении наиболее важным является случай рассеяния от анизотропных плёнок, расположенных перпендикулярно первичному пучку. При этом интенсивность рассеянного излучения зависит от двух параметров: угла рассеяния и угла поворота плёнки относительно коллимационной щели. Задача коллимационного пересчёта на точечную интенсивность в этом случае оказывается несравненно более сложной. К настоящему времени этот вопрос обсуждался только в работе [10], однако алгоритма для введения коллимационных поправок, приводящего к удовлетворительному результату, описано не было.

Рассматриваемая задача не является актуальной для тех исследователей, которые имеют возможность использовать синхротронное излучение [11, 12] (в сочетании с двухкоординатным детектором [13]) или другой мощный рентгеновский источник с высокой плотностью излучения. Однако очень малое число лабораторий имеет доступ к установкам такого типа по причине их высокой стоимости. Установки со щелевыми источником и приёмником значительно дешевле, при этом с учётом применения разработанных методов они дают приблизительно такую же точность измерений.

Вся развитая ниже теория учёта коллимационных искажений, а также её приложения к описанным модельным системам была применена в настоящей работе к рентгеновскому малоугловому диффузному рассеянию от анизотропных структур. Но, вообще говоря, её можно рассматривать и шире. В случае фраунгоферова приближения эта теория применима и к рассеянию нейтронов, электронов, а также - при некоторых допущениях - и к рассеянию света в видимой и ультрафиолетовой областях. Вопрос, разумеется, полностью снимается, если установки для указанных видов излучения имеют практически точечный источник радиации и двухкоординатный приёмник рассеянного излучения (или фоторегистрацию).

Целью работы является разработка модели внесения коллимационных искажений в случае анизотропных рассеивающих объектов и создание программной среды, позволяющей в автоматическом режиме вносить коллимационные поправки в интенсивность рентгеновского малоуглового рассеяния. Программная среда должна содержать реализацию двух различных методов внесения коллимационных поправок и проводить сравнение эффективности их работы как для модельных систем, так и для реального эксперимента.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Представление интегрального уравнения, связывающего искажённую и точечную интенсивности рассеяния на анизотропных объектах. Задача устранения искажений сводится к численному решению данного уравнения.

2. Усовершенствование двух различных методов решения коллимационной задачи в случае анизотропных объектов.

3. Разработка и внедрение программной среды, с помощью которой вносятся коллимационные поправки обоими разработанными методами, а также проводится точная их настройка и анализ выходных данных.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработана новая математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах.

2. Разработаны модификация метода разложения по базисным функциям и модификация итерационного метода Фридмана для решения задачи устранения коллимационных искажений.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах при щелевой коллимации.

2. Разработанный модифицированный метод Фридмана.

3. Разработанный модифицированный метод разложения по базисным функциям.

4. Программная среда для эффективной реализации разработанных методов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXVIII и XXXIX научные и учебно-методические конференции СПбГУ ИТМО (2009 г., 2010 г., Санкт-Петербург); XL научная и учебно-методическая конференция НИУ ИТМО (2011 г., Санкт-Петербург); VIII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых (2011 г., Санкт-Петербург).

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [10, 14 - 16], в том числе 3 статьи в изданиях из перечня изданий ВАК РФ [14-16]. Структура работы имеет следующий вид:

Первая глава содержит аналитический обзор методов внесения коллимационных поправок при рентгеновском малоугловом рассеянии. Кратко описывается постановка задачи, приводятся описания классического метода Фридмана и метода базисных функций.

Вторая глава содержит математическую постановку задачи внесения коллимационных поправок при рассеянии на анизотропных объектах. Описываются модификации метода Фридмана и метода базисных функций.

Третья глава содержит описание результатов внесения коллимационных поправок с помощью модифицированных методов в интенсивности рассеяния от анизотропных модельных объектов. Такими объектами выбраны: вытянутые однородные параллелепипеды, ламеллы и однородные цилиндры.

В четвертой главе представлен осуществлённый обоими методами коллимационный пересчёт экспериментальной интенсивности рентгеновского малоуглового рассеяния анизотропными плёнками из высокоориентированного полиэтилена.

В пятой главе проведено сравнение результативности двух методов коллимационного пересчёта как для интенсивностей рассеяния модельными системами, так и для экспериментальной интенсивности.

В шестой главе описаны принципы работы и ключевые моменты разработки программной среды для эффективной реализации обоих методов.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Захаров, Денис Дмитриевич

Выводы по шестой главе

1. В ходе выполнения настоящей работы были получены численные процедуры решения поставленной задачи, однако точная настройка методов оказалась невозможной без анализа большого объёма выходных данных в зависимости от входных параметров. Возникла необходимость в разработке программной среды, которая позволяла бы пользователям выполнять такой анализ без специальной подготовки в области программирования.

2. Имеющиеся программные средства не смогли удовлетворить поставленным требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность лёгкого перехода на другую операционную систему.

3. При построении программной среды были введены понятия сценария вычислений, операторов, входных и выходных параметров.

Пользователь может создавать собственный произвольный сценарий вычислений, ограниченный предоставленным набором операторов.

4. Для анализа зависимости выходных данных численных процедур от значений входных параметров введена возможность организации циклов вычислений. Параметры циклов определяются в программной среде достаточно интуитивно.

5. При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кэшируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа разработанных методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе впервые поставлена и решена задача учета коллимационных искажений при малоугловом рентгеновском рассеянии на анизотропных объектах; показана эффективность предложенного решения как для модельных систем, так и в случае реального эксперимента; построена программная среда для реализации предложенных алгоритмов.

1. Сформулирована математическая задача по внесению коллимационных поправок в интенсивность, полученную при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах. Представлено интегральное уравнение I рода типа Вольтерра, записанное в нестандартной форме, связывающее коллимационно искажённую интенсивность рассеяния 3 с «точечной» интенсивностью I, отнесенной к точечному источнику и точечному приемнику рентгеновских лучей.

2. Для решения указанной задачи разработаны два различных подхода. Первый из них - метод разложения искомого решения по двумерным базисным функциям с регуляризаторами, обеспечивающими необходимую гладкость решения и учитывающие необходимые физические ограничения. Второй подход основан на итерационном методе Фридмана, который существенно модифицирован в соответствии с особенностями настоящей задачи: введена функция, учитывающая влияние локального значения точечной интенсивности рассеяния на значения искажённой интенсивности.

3. Была проведена оценка эффективности рассмотренных методов учета коллимационных искажений для ряда модельных систем. Показано, что исходная точечная интенсивность рассеяния и точечная интенсивность Г, «восстановленная» по схеме /—>/—>/', совпадают с погрешностью не более 4% даже с учетом искусственно введенного в искажённую интенсивность шума. Оба метода дают приблизительно одинаковый результат внесения коллимационных поправок.

4. В случае экспериментальной интенсивности анизотропного рассеяния применение разработанных методов для внесения коллимационных поправок приводит к расхождению в полученных точечных интенсивностях ~ 20%. Это можно объяснить недостатком экспериментальных данных и/или значительной погрешностью в экспериментальной интенсивности.

5. Была разработана программная среда, удовлетворяющая следующим требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность лёгкого перехода на другую операционную систему. При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кэшируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа и применения разработанных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Захаров, Денис Дмитриевич, 2011 год

1. Kratky О. 1.strumentation, Experimental Technique, Slit Collimation, in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, 53 - 84.

2. Guinier A., Fournet G. Small-angle Scattering of X-rays : New-York: Wiley, 1955, 268 p.

3. Porod G. General Theory in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, 17-52

4. Glatter O., Kratky O. Small Angle X-ray Scattering: Academic Press, 1982

5. Свергун Д. И., Фейгин Л. А. Рентгеновское и малоугловое рассеяние .- М: Наука-1986, 280 с.

6. Федоров Б.А. Учет коллимационных искажений при малоугловом рассеянии рентгеновых лучей. Поправка на высоту щелей. Кристаллография, 1968, т. 13, №5, 763-769.

7. Schelten J., Hossfeld F. Application of spline functions to the correction of resolution errors in small angle scattering. J. Appl. Cryst. 1971, 4(3), 210-223.

8. Сизиков B.C., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Решение одномерной коллимационной задачи оценки рентгеновского изотропного рассеяния излучения методом итераций. Изв. вузов. Приборостроение, 2005, том 48, № 10, 44-52.

9. Смирнов А. В., Сизиков В. С., Федоров Б. А. Решение обратной коллимационной задачи для рентгеновского малоуглового изотропного рассеяния с помощью сплайновых функций. Изв. вузов. Приборостроение, 2006, том 49, № 1,41-47.

10. Anastasiadis S. H. Following the Synthesis of Metal Nanoparticles within pH99

11. Responsive Microgel Particles by SAXS // Macromolecules, 2010, 43, 98289836.

12. Allen A.J., Hackley V.A., Jemian P.R., Ilavsky J., Raitano J.M. Chan S.W.In situ ultra-small-angle X-ray scattering study of the solution-mediated formation and growth of nanocrystalline ceria. //J. Appl. Cryst., 2008, 41, 918-929.

13. Schleptitz C.M., Mariager S.O., Pauli S.A., Feidenhans R., Willmott P.R. Angle calculations for a (2+3)-type diffractometer: focus on area detectors // J. Appl. Cryst. (2011). 44, 73-83.

14. Захаров Д.Д., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Решение коллимационной задачи при малоугловом рентгеновском рассеянии на анизотропных объектах //Наносистемы: физика, химия, математика. 2011. - Т. 2. - № 2. - С. 32-47

15. Захаров Д.Д. Разработка интерактивной программной среды для решения некорректных интегральных уравнений. Ее применение к обработке результатов малоуглового рентгеновского эксперимента //Изв. вузов. Приборостроение, 2011, том 54, № 9, 82-83

16. Тихонов А. Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Наука, М, 1979, 284 с.

17. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Наук, думка, Киев, 1986, 548 с.

18. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001.

19. Kratky, О., Porod, G. and Kahovec, L. (1951). Einige Neuerungen in der Technik und Auswertung von Rontgen-Kleinwinkelmessungen //Z. Elektrochem. 55, p. 53-59.

20. Heine, S.; Kratky, O.; Roppert, Lichtstreuung und röntgenkleinwinkelstreuung von statistisch verknäuelten fadenmolekülen, berechnet nach der „Monte Carlo methode"// Die Makromolekulare Chemie, 1962, 56, №1, 150-168.

21. Schmidt, P. W. Collimation corrections in small angle X-ray scattering //Acta Cryst. 1965, 19, 938-942.

22. Taylor. T.R. and Schmidt, P.W. A computer program for slit-length collimation corrections for small angle X-ray scattering data obtained with the kratky camera //J. Appl. Cryst., 1967, 2, p. 143-144.

23. Damaschun, G., Müller, J.J. and Pürschel, H.V. Über die Meo-Strategie bei der Untersuchung der Röntgenkleinwinkelstreuung von verdünnten monodispersen Lösungen von Makromolekülen, 1. Mitt // Mh. Chem.,1968, 99, 2343-2348.

24. Damaschun, G., Müller, JJ. and Pürschel, H.V. Entschmierung von fehlerbehafteten Röntgen-Kleinwinkel-Streukurven //Acta Cryst. A27 (1971), IIIS

25. Lake J.A. An iterative method of slit-correcting small angle X-ray data //Acta Cryst. 1967, 23, p. 191-194.

26. Schmidt, P.W. Comparison of two methods for calculating slit-length collimation corrections in small angle X-ray scattering //J. Appl. Cryst., 1970, 3, 137-145.

27. Walter, G., Kranold, R. and Becherer, G. Zu Problemen der Ver- und Entschmierung von Röntgen-Kleinwinkel-Streu- kurven //Stud. Biophys., 1974, 47, 49-62.

28. Hossfeld, F. The correction of resolution errors in small-angle scattering using Hermite functions //Acta Cryst. A24 (1968), 643-650.

29. Greville T. N. E. Introduction to spline functions. In Theory and Applications of Spline Functions. Academic Press, New York, 1969, 1-35.

30. Vonk C.G. A procedure for desmearing X-ray small-angle scattering curves /'/ J. Appl. Cryst. 1971, 4(3), p. 340-342.

31. Glatter, O. A new iterative method for collimation correction in small-angle scattering//J. Appl. Cryst., 1974, 7, 147-153.

32. Glatter О. Data Treatment //in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, p. 119-166

33. Glatter O. Data Evaluation in Small Angle Scattering: Calculation Electron Density Distribution by Means of Indirect Fourier Transformation. Acta Physica Austriaca. 1977, 47, 83-102.

34. Glatter O. Interpretation //in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, p. 167-196

35. Deutsch M., Luban M. Exact solution of the slit-height correction problem in small-angle X-ray scattering. I. The general method and its accuracy in application to simulated data //J. Appl. Cryst. 1978, p. 87-97

36. Deutsch M., Luban M. Exact solution of the slit-height correction problem in small-angle X-ray scattering. II. A method for arbitrary slit transmission functions //J. Appl. Cryst. 1978, p. 98-101

37. Федоров Б.А., Андреева H.A., Волкова Л.А., Воронин JI.A. Кристаллография. 1968. №13 (770-775)

38. Schmidt P.W., Fedorov В.А. Use of the slit function for slit-length correction in small-angle X-ray scattering //J. Appl. Cryst. 1978, 11, p. 411-416

39. Полянин А. Д., Манжиров А. В., Справочник по интегральным уравнениям, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 608с.

40. Сизиков В. С., Смирнов А. В., Федоров Б. А. Численное решение сингулярного интегрального уравнения Абеля обобщенным методом квадратур // Изв. вузов. Математика. 2004. № 8 (507). С. 62—70.

41. Фридман В. М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. — Успехи мат. наук, 1956, 11, № 1, с. 233234.

42. Bonse U., Hart М. In "Small-Angle X-Ray Scattering" (H. Brumberger, ed.), Gordon & Breach, New York, p. 121.

43. Bonse U., Hart M. An X-Ray Interferometer, 1965, 6, 155-156.

44. Deutsch.M. The asymmetrically cut Bonse-Hart X-ray diffractometer. I. Design principles and performance. //J. Appl. Cryst., 1980, 13, 252-255.

45. Schnabel E., Hosemann R., Röde B. New small-angle X-Ray camera with two glass blocks. //J. Appl. Phys, 1972, 43, 3237-3239.

46. Damaschun G., Kley G., Miller J.J, 1968, Acta Physica Austriaca, 28, 223.

47. Kratky O. Ein von parasitärer Streuung und rechnerisch zu eliminierenden Kollimationseffekten freies Blendensystem für Röntgen-Kleinwinkelaufnahmen. Mh. Chem., 1969, 100, p. 376-378, p. 1788-1796 (2 Mitt).

48. Kratky O., Stabinger H., Wrentschur E., Zipper R., Acta Physica Austriaca, 1976, 44, 173.

49. Kratky O. Z. Elektrochem, 1954, 58, 49; 1958, 62, 66.

50. Kratky O., Skala Z., Z. Elektrochem, 1958, 62, 73.

51. Henke J., Schulze G.E.R., 1958, Exp. Techn. Phys. 5, 180.

52. Orthaber D., Bergmann A., Glatter O.SAXS experiments on absolute scale with Kratky systems using water as a secondary standard //J. Appl. Cryst., 2000, 33, 218-225.

53. Kratky O., Laggner P. X-ray Small-Angle Scattering // Encyclopedia of Physical Science and Technology, 1987, 14, 693-742.

54. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989, 199 с.

55. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наук, 1980, 286 с.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987, 608 с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, стр. 458. М.: Наука, 1968, 832 с.

58. Hansen S. Bayesian estimation of hyperparameters for indirect Fourier transformation in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2000, 33, 1415-1421.

59. Hansen S. Estimation of chord length distributions from small-angle scattering using indirect Fourier transformation // J. Appl. Cryst., 2003, 36, 1190-1196.

60. Hansen S. Simultaneous estimation of the form factor and structure factor for globular particles in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2008, 41, 436-445.

61. Vestergaard В., Hansen S. Application of Bayesian analysis to indirect Fourier transformation in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2006, 39, 797-804.

62. Svergun D.I. Determination of the regularization parameter in indirect-transform methods using perceptual criteria // J. Appl. Cryst., 1992, 25, 495-503

63. Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. СПб: Политехника, 2003.

64. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-Posed, Ill-Posed, and Intermediate Problems with Applications. Leiden-Boston: Brill Acad. Publishers, VSP et al., 2005.

65. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972, 379 с.

66. Бахвалов Н.С., Житков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, стр. 203206. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004, 636 с.

67. Rosen J. В. Minimum error bounds for multidimensional spline approximation. //J. Comput. Sys. Sci., 1971, 5, 430-452.

68. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физику и технике. М.: Сов. Радио, 1979, 272 с.

69. Glatter, О. Data Evaluation in Small Angle Scattering: Calculation of the Radial Electron Density Distribution by Means of Indirect Fourier Transformation // Acta Physica Austriaca, 1977, 47, p. 83-102.

70. Glatter О., Michael H. Interpretation of Elastic Light Scattering Data. III. Determination of Size Distributions of Polydisperse Systems // Journal of Colloid and Interface Science, 1988, 122(2), 496-505.

71. Мельничук А.П., Прищепёнок О.Б., Смирнов A.B., Фёдоров Б.А. Прецизионная юстировка камеры Краткого и программа первичной обработки данных рентгеновского малоуглового рассеяния // Изв. Вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 7. С. 48-54.

72. Вайнштейн Б. К. Дифракция рентгеновских лучей на цепных молекулах. Издательство АН СССР, М., 1963, 372с.

73. Ельяшевич Г.К., Козлов А.Г., Монева И.Т. Исследование процессов ориентации при формировании пористых структур из полиэтилена// Высокомолекулярные соединения, сер. Б, 1998, том 40, № 3, 483-486.

74. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 с. ISBN 5-03-003392-0.

75. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с. ISBN 5-02-0139963.

76. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. — 13-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 432 с.

77. MATLAB The Language of Technical Computing (http://www.mathworks.com/products/matlab/index.html)83 .Mathcad (http://www.ptc.com/products/mathcad/)

78. Scilab Free Open Source Software for Numerical Computation (http://www.scilab.org/)

79. Maple (http://www.maplesoft.com/)

80. Гамма Э., Хелм Р., Джонсон Р., Влиссидес Д. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. Изд. "Питер", 2006, 368 с.

81. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Изд. Тбилисского университета, 1983, 264 с.

82. Левин М. Параллельное программирование с использованием ОрепМР. -М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008, 120 с.

83. Богачёв К. Основы параллельного программирования. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010, 342 с.

84. Гергель В. Теория и практика параллельных вычислений. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2007, 424 с.