Разработка параллельных алгоритмов компьютерного моделирования процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов на основе сплайновой аппроксимации их границ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Верзилина, Ольга Александровна

• Верзилина, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Верзилина, Ольга Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы

1 АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПРАКТИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОМАССОВЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1 Развитие теории соударений

1.2 Анализ исследований многомассовых виброударных систем

1.3 Обзор методов моделирования многомассовых виброударных систем

1.4 Анализ существующих комплексов и программ моделирования многомассовых виброударных систем

1.5 Обзор программно-аппаратных средств для распараллеливания вычислений

1.6 Постановка целей и задач исследования

1.7 Выводы по первой главе

2 ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ. ЭТАПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВУМЕРНЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

2.1 Характеристика объекта исследования. Методы моделирования

2.2 Описание основных этапов моделирования двумерных виброударных систем

2.3 Структурная схема численного решения модели

2.4 Выводы по второй главе

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗЕРВОВ СОКРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ. РАЗРАБОТКА НОВОГО АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ С РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕМ ПРИ ПОМОЩИ ТЕХНОЛОГИИ NVIDIA CUDA

3.1 Выбор тестовой модели многомассовой дискретной виброударной системы для определения затрат времени на вычислительные процедуры

3.1.1 Влияние количества дискретных частиц виброударной системы на затраты времени моделирования по ранее разработанным моделям и программам

3.1.2 Влияние законов ударного трения на затраты времени моделирования по ранее разработанным моделям и программам

3.2 Детализация функций, входящих в процедуру интегрирования и возможности их распараллеливания

3.2.1 Индексация области моделирования

3.2.2 Функция вычисления контактных сил - «D»

3.2.3 Функции Buildboundary, предиктор, корректор

3.3 Выбор видеокарты

3.3.1 Видеокарта Nvidia GeForce GT 640

3.3.2 Видеокарта Nvidia GeForce 740m

3.3.3 Видеокарта Nvidia GeForce 970

3.3.4 Сравнение GPU характеристик, выбранных видеокарт

3.4 Разработка нового алгоритма моделирования виброударных систем с распараллеливанием на основе программной платформы NVIDIA CUDA

3.4.1Алгоритм компьютерного моделирования процедуры интегрирования с распараллеливанием

3.4.2 Алгоритм взаимодействия программных систем Delphi и C++

3.5 Выводы по третьей главе

4 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЭФФЕКТИВНОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВНИЯ С РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕМ НА ВИДЕОКАРТАХ NVIDIA

4.1 Выбор среды разработки

4.2 Взаимодействие Delphi и С++

4.3. Описание комплекса программ с распараллеливанием вычислений с помощью программной платформы NVIDIA CUDA

4.4 Оптимизация программы вычисления с распараллеливанием по критерию машинного времени

4.4.1 Использование разделяемой памяти

4.4.2 Использование cuda аналогов математических функций

4.4.3 Выбор размера ячейки разбиения пространственной сетки области моделирования

4.5 Преобразования функции соударения сплайна и частницы инструментальной среды

4.6 Конфликты доступа процессов к глобальной памяти

4.7 Результаты сокращения времени моделирования

4.7.1 Сокращение времени в зависимости от количества частиц инструментальной среды и сегмента сплайна

4.7.2 Сокращение времени в зависимости от типа видеокарты

4.8 Моделирование стыкового профиля нервюры крыла ИЛ-96-300М

4.9 Оценка достоверности моделирования стыкового профиля нервюры крыла ИЛ-96-300М

4.10 Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

144

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка параллельных алгоритмов компьютерного моделирования процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов на основе сплайновой аппроксимации их границ»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Совершенствование процесса виброударного упрочнения поверхностей объектов с позиции качественных изменений требуют исследований. При этом экспериментальные исследования требуют больших временных и финансовых затрат. Их альтернативой является компьютерное моделирование на основе адекватных математических моделей, позволяющих рассмотреть различные варианты реализации процесса.

Работу механизмов виброударного упрочения поверхностей объектов, широко применяемых в настоящее время, описывают многомассовые системы с распределенными параметрами. Для исследования таких систем широко применяются имитационные методы, использующие общие физические свойства системы, подходы, основанные на применении событийно управля-емых алгоритмов и методов молекулярной динамики.

Степень разработанности. Вопросы исследования виброударных систем с распределенными параметрами рассматривались различными учеными. В их числе: Бабичев А.П., Бабичев И.А., Григорян А.Т., Гольдсмит В., Золкас Николас, Батуев Г.С., Кильчевский Н.А., Кобринский А.Е., Пановко А.В., Соколинский В.Б., Александров Е.В.; Демьянов Ю.А., Рахматулин Х.А.; Огибалов П.М., Ионов В.Н., Самогонян А.Я., Батуев Г.С., Бабицкий З.И.; Рагульскис К.М., Рагульскене В. Л., Блехмана И. И.; Лавендел Э.Э.; Нагаев Р.Ф.; Плявниекс К.В.; Гончаревич И.Ф.; Саверин М.М.; Петросов В.В.; Ашавский А.М.; Виноградов В.Н.; Быховский И.И.; Шоршоров М.Х., Харламов Ю.А.; Десов А.Е.; Куннос Г.Я.; Скудр А.М., Копылов Ю.Р., Шевцов С.Н., Brennan J. N.

Наиболее значимыми работами в области моделирования многомассовых виброударных систем с распределенными параметрами относятся труды таких ученых, как Бабицкий, В.И., Биргелис О.К., Дорофеенко С.О., Кобринский А.Е., Копылов А. Ю., Копылов С.Ю., Копылов Ю.Р., Шевцов С.Н., Попов А.А., Петряев А.А., Субач А.П., Янушевскис А.В., Ante Munjiza, Cundall P.A. and Strack O.D.L.,

Pande, G., Beer, G. and Williams, J.R., Williams, J.R. and Pentland, A.P. (подробнее это рассматривается в первой главе).

Следует отметить, что существующие модели и разработанные программы моделирования процесса виброупрочнения поверхностей объектов обладают либо большой погрешностью (50 - 100 %), либо неприемлемо высоким временем расчета, которое напрямую зависит от количества элементов системы и для сложных систем составляет до десятков часов, что в частности затрудняет работу технолога на предприятии.

Поэтому является целесообразным разработать метод компьютерного моделирования, реализующийся в короткое время, который позволяет рассмотреть множество вариантов. Сокращение времени моделирования можно достичь на основе использования параллельных вычислений с применением современных многопроцессорных доступных компьютерных систем.

Для этого необходима модернизация математической модели путем приведения ее к виду допускающему построение параллельных алгоритмов. Ее совершенствование можно реализовать на основе адекватной аппроксимации границ упрочняемой поверхности объектов и, в частности, с использованием их сплайновой аппроксимации, что является актуальным с позиции ускорения процедур компьютерного моделирования исследуемых процессов.

Целью диссертационной работы является совершенствование методов компьютерного моделирования процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов на основе распараллеливания вычислений.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие

задачи исследования:

1. Анализ методов компьютерного моделирования процесса виброударного упрочнения поверхностей объектов с позиции распараллеливания вычислений;

2. Модификация математической модели с позиции разработки параллельных вычислительных алгоритмов на основе сплайновой аппроксимации границы упрочняемой поверхности объектов.

3. Приведение на основе метода дискретных элементов исходной системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс виброударного упрочнения поверхностей объектов с адекватным учетом его физических особенностей к виду, допускающему параллельные вычисления.

4. Разработка параллельных алгоритмов реализации модифицированной модели на базе многоядерных графических процессоров в операционной среде СиБА;

5. Разработка с учетом трудоемкости этапов моделирования программной реализации созданных параллельных алгоритмов для операционной среды СЦОА, допускающей их выполнение на доступных многопроцессорных компьютерных системах, включая визуализацию результатов моделирования;

6. Оценка работоспособности разработанной программной реализации на основе сравнительных вычислительных экспериментов.

Объектом исследования является моделирование процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов со сложной границей.

Предметом исследования является ускорение процессов компьютерного моделирования на основе распараллеливания вычислений.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований:

п.1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

п.2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей;

п.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента;

п.5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента;

п.8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модернизированная математическая модель процесса виброупрочнения поверхностей объектов, которая позволяет построить параллельные вычислительные процедуры компьютерного моделирования;

2. Программная реализация в операционной среде СЦОА алгоритмов параллельных вычислений при компьютерном моделировании процесса виброударного упрочнения поверхностей объектов, допускающая их использование на доступных многопроцессорных компьютерных системах;

3. Результаты вычислительных экспериментов, показывающие, что использование разработанной программной реализации параллельных алгоритмов позволяет в 20-25 раз по сравнению с последовательной организацией вычислений сократить время компьютерного моделирования процесса виброударного упрочнения поверхностей объектов.

Научную новизну работы составляет:

1. Модифицированная модель процесса виброупрочнения поверхностей объектов на основе сплайновой аппроксимации их границ.

2. Численный метод параллельной реализации математической модели виброупрочнения поверхностей объектов на основе метода дискретных элементов.

3. Алгоритмы параллельных вычислений при компьютерном моделировании процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов с учетом физических особенностей процесса.

4. Архитектура параллельных вычислений в операционной среде СЦОА при компьютерном моделировании процессов виброударного упрочнения поверхностей объектов.

Теоретическая значимость работы состоит в модифицированной модели и в архитектуре процедуры реализации параллельных вычислений в операционной среде СЦОА на основе многоядерных графических процессоров.

Практическая значимость работы определяется возможностью создания программных систем, позволяющих в целях совершенствования технологических

параметров процесса виброупрочнения поверхностей объектов осуществить их многократное моделирование за приемлемое время с использованием общедоступных компьютерных средств.

Разработанные прототипы использованы в учебном процессе бакалавров по направлению подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», что подтверждается соответствующими документами.

В ФИПС зарегистрирован программный модуль «Интеграл R2», входящий в состав программного комплекса и реализующий разработанные методы, и алгоритмы.

Реализация (тестирование) результатов работы проводилась на конкретных технологических примерах. В диссертации представлен пример работы модели для расчета поверхностного упрочнения длинномерной силовой нервюры крыла ИЛ-96.

Апробация работы. Основные положения диссертации были доложены и обсуждены на: Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы горно-металлургического комплекса. Энергосбережение. Экология. Новые технологии» (Старый Оскол, 2013); XI Международной научно-технической конференция "Вибрация-2014. Вибрационные технологии, мехатроника и управляемые машины" (Курск,2014); Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики"(Воронеж, 2013); XI Всероссийской научно-практической конференции аспирантов и студентов (Старый Оскол, 2014); XV Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов (Воронеж, 2014); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы горно-металлургического комплекса. Наука и производство» (Старый Оскол,2014); XVI Международной научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов (Воронеж, 2015); XIII Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы горно-металлургического комплекса. Наука и производство» (Старый Оскол, 2016); XIV Всероссийской научно-практической конференции с международным

участием «Современные проблемы горно-металлургического комплекса. Наука и производство» (Старый Оскол, 2017)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Работы, опубликованные в соавторстве приведены в конце автореферата. Лично соискателем предложены: в [4] - метод автоматизированного управления процессом упрочнения с использованием вибрационных технологий, в [5, 6, 7] -математические методы и модели и комплекс программ, допускающий распараллеливание вычислений при помощи NVIDIA CUDA , в [8] - структура и алгоритм проектирования многомассовой системы с распределенными параметрами с целью радикального уменьшения времени моделирования, [9] -метод распараллеливания задач при исследовании двумерной многомассовой системы с распределенными параметрами, [10] - разработка структуры программы, алгоритмов моделирования, реализация программы на языке программирования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы из 108 наименований. Основная часть работы изложена на 154 страницах, содержит 70 рисунков, 6 таблиц.

1 АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПРАКТИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОМАССОВЫХ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1 Развитие теории соударений

Удар - это совокупность быстропротекающих механических процессов взаимодействия нескольких твёрдых, жидких и газообразных тел, при котором за короткое время контакта, не превышающем времени наиболее продолжительного периода собственных колебаний одного из тел, координаты и скорости перемещений претерпевают значительные изменения и сопровождаются большими мгновенными силами.

Проблеме удара и её практическим приложениям уделяется большое внимание. В библиографии [87], изданной в 1958 г. в США, представлено около 1800 работ по ударным процессам; в монографии [24] - более 600 работ; в монографии [21] представлено 442 работы по удару; в монографии [28] - 463 работы.

Проблемы удара изучались Г. Галилеем уже в первой половине XVII в., Р. Декартом, И.Ньютоном, Мариотти, X. Гюйгенсом, Рено, Виллисом [20] и другими. Они рассматривали удар мгновенным и оценивали его, главным образом, по изменению скоростей. В незаконченной работе Г. Галилея "Шестой день Бесед" в 1638-1642 гг. делается важное заключение, что энергия удара слагается из скорости и веса, что эффект давления живого, т.е. движущего груза, отличается от эффекта статического груза. Р. Декартом сформулированы семь "правил", которые основываются на его законе о постоянстве суммы количества движений двух тел до и после их соударения. X. Гюйгенс восемь лет спустя высказал сомнение в правильности "правил" Р. Декарта кроме первого. В трактате "О движении тел под влиянием удара" в 1669 г. Х. Гюйгенс развил знания о центральном соударении упругих тел одинаковой массы и предложил считать, что кинетическая энергия при соударении не меняется. Виллис, рассматривая соударения неупругих тел, принял

знаки плюс и минус в законе Декарта о сохранении количества попутных и встречных движений; впервые констатировал о наличии восстанавливающей силы в упругих телах; предложил считать послеударные скорости обоих тел равными. Эксперименты Рено и Гука над упругими телами в 1668 году совпали с выводами Гюйгенса. Мариотти дополнил работы об ударе многочисленными экспериментами.

В 80-х годах семнадцатого века И. Ньютон установил связь между явлениями удара и сформулировал закон действия и противодействия; ввёл понятие о коэффициенте восстановления скорости соударения. Теоретические концепции И. Ньютона, как выяснилось позднее, не лишены недостатков, однако их простота и в некоторой степени универсальность, удовлетворительная точность для широкого круга технических задач, позволили им доминировать до середины девятнадцатого века.

В последующие годы проблема удара постоянно привлекала внимание учёных. При изучении ударных процессов Г. Герц основывался на гипотезах преимущественного влияния местных локальных деформаций на удар и малости инерционных сил. В последующие годы его теория многократно использовалась при разработке модернизированных моделей соударения Сирсом для случая продольного удара стержней с учётом волновых процессов; С. П. Тимошенко для случая поперечного удара о балку с учетом её колебаний; И. Я. Штаерманом для более плотного контакта соударяющихся тел; Н. А. Кильчевским для произвольной степенной зависимости сила - деформация [27]; Г. С. Батуевым [25] и другими для интенсивных пластических ударных деформаций.

В большом количестве задач об ударе возникает необходимость учитывать пластические деформации. Д. Табор и А. В. Крук для учёта пластических деформаций использовали закон Е. Мейера. Важным шагом в изучении упругопластических деформаций при ударе явилось предположение Герстнера о независимом развитии упругих и пластических деформаций. В работах А.Ю. Ишлинского и Н. Н. Давиденкова установлена прямо пропорциональная зависимость пластической деформации от контактной силы.

Н. А. Кильчевский, модернизируя теорию И. Я. Штаермана и Г. Герца, используя преобразование Лапласа, получил приближённое решение контактной задачи при произвольной зависимости напряжение-деформация. Г.С. Батуев и др. определили критерии подобия ударных процессов, с учётом упругопластических локальных и волновых деформаций [25]. В работе Такэда на основании экспериментальных исследований получена эмпирическая зависимость коэффициента восстановления от скорости соударения.

В. Гольдсмит [21] для малых упругопластических деформаций при соударении недеформируемой сферы со стальными материалами получил зависимости контактной силы; глубины деформации; диаметра пластического отпечатка и времени достижения максимальной деформации.

При исследовании процессов виброударной обработки [3, 43] периодические соударения частиц с деталью и друг с другом описываются гипотезой косых соударений, коэффициентом восстановления скорости соударений, контактные взаимодействия - теорией Герца, гипотезами вязкого и сухого ударного трения, теорией вибрирующих гранулированных сред [75].

Теория ударных процессов получает дальнейшее развитие в работах А.В. Пановко, В.Б. Соколинского и Е.В. Александрова; З. Николас; Ю.А. Демьянова и Х.А. Рахматулина; П.М. Огибалова и В.Н. Ионова, А.Я. Самогоняна, Г.С. Батуева и др., А.Е.Кобринского и A.A. Кобринского [28, 29]; З.И. Бабицкого [2]; К.М. Рагульскис и В. Л. Рагульскене, И. И. Блехмана; Э.Э. Лавендел; Р.Ф. Нагаева В.Ю.; Плявниекс К.В.; Фролова; И.Ф. Гончаревича; М.М. Саверина; В.В. Петросова; А.М. Ашавского; В.Н. Виноградова; И.И. Быховского; М.Х. Шоршорова и Ю.А. Харламова; А.Е. Десова; Г.Я. Кунноса; А.М. Скудра, и других исследователей.

1.2 Анализ исследований многомассовых виброударных систем

Одномерные виброударные системы типа "цепочек" и "столбиков" были рассмотренны в [28]. Теоретически было показано, что рассматриваемые одномерные виброударные системы могут обладать при определенных условиях квазиупругостью, которая выражается в том, что "столбик" или "цепочка" при соответствующих нагрузках ведёт себя как упругий элемент, качество которого находится в зависимости от начальных условий и от вибрационного воздействия.

Впоследствии в [43] экспериментально изучаются квазиупругие и вязкопластические свойства, динамические зазоры, массовые, амплитудные и фазо-частотные характеристики реальных виброударных технологических систем, использующих интегральные свойства для реальных систем. Теоретически исследовалась динамика процесса при жёстком и упругом креплении упрочняемой детали.

К числу исследования двумерных многомассовых систем относятся диссертационная работа Биргелиса О.К. [4] «Разработка методики расчёта кольцевых и винтовых вибромашин объёмной обработки», в основу которой положен метод моделирования на ЭВМ загрузки вибромашины феноменологической моделью, разработанной в проблемной лаборатории динамики машин и механизмов РПИ. В [4] этот метод получил дальнейшее развитие применительно к моделированию движения загрузки кольцевых и винтовых вибромашин. На этой основе разработана методика расчёта таких вибромашин, согласно которой ожидаемая производительность прогнозируется по уравнениям регрессии, рассчитанным на основе результатов моделирования на ЭВМ движения загрузки.

В монографии [68] Субач А.П. описал выявление взаимосвязей межу движением загрузки, контейнера, машины в целом и технологическим процессом объемной вибрационной, центробежной и виброцентробежной отделки насыпных элементов. Затем провел качественный анализ физики, кинематики и динамики системы источник энергии (двигатель) - привод - контейнер - обрабатывающая

среда - обрабатываемая деталь при объемной обработке насыпных элементов и связь с технологическим процессом. Выделил технологические и механические критерии оптимизации объемной обработки насыпных деталей и механического движения загрузки и контейнера. Описал математические модели описания движения загрузки контейнера машин объемной обработки насыпных элементов и оптимизировал процесс и способ большой вибрационной обработки насыпных элементов.

Шевцов С.Н. в своей работе «Моделирование динамики гранулированных сред при вибрационной отделочно-упрочняющей обработке» [75] описывает созданные методы и модели, а также программный комплекс имитационного моделирования различных ударных процессов, позволяющий строить фазовые траектории ансамбля частиц, а также их скоростей и механических напряжений. При этом Шевцов С.Н. рассматривает в своей работе уплотнённые системы частиц.

В работе «Влияние процесса виброударного упрочнения на деформации крупногабаритных деталей» [46-48, 61] Поповым А.А. был создан алгоритм и теоретический метод, позволяющий определять равномерность параметров качества поверхности деталей при виброударном упрочнении и как следствие на основе полученных закономерностей достичь снижение деформаций. При этом каждая деталь сложной формы разбивается на конечное множество её участков и в результате работы программы определяются координаты недостаточно упрочненных участков с указанием их точных координат.

В работе Петряева А.А. «Моделирование динамики гранулированных сред в технологических машинах» [56-58] был созданы методы, модели, алгоритмы моделирования, а также комплекс программ для описания моделирования движения разнородных гранулированных систем. Программы моделирования, реализующие описанные методы и алгоритмы позволяют учитывать различные контактные свойства границы частиц, а также их вращения вокруг собственной оси.

В монографии Копылова Ю.Р. «Динамика виброударного упрочнения» [44] изложена теория посплайнового моделирования динамики процесса

виброударного упрочнения деталей с закреплением, в которой изучаются траектории и скорости перемещений элементов технологической системы и энергия периодических соударений инструментальной среды с конечным множеством участков детали, определяются координаты расположения проблемных недостаточно упрочнённых участков детали, делается численная оценка эффективности принимаемых решений по повышению интенсивности и равномерности упрочнения.

Компьютерное моделирование процессов виброударного упрочнения деталей позволяет прогнозировать параметры качества упрочнения для различных участков детали, с указанием координат недостаточно упрочнённых участков и определения эффективности технических решений их устранения на этапе проектирования; сократить в 2-3 раза время и средства на проектирование и опытную обработку технологий; снизить вероятность возникновения брака дорогостоящих изделий; повысить усталостную прочность и долговечность изделий.

В труде Копылова А.Ю. «Снижение погрешности шероховатости, наклёпа и остаточных напряжений при виброударной обработке деталей» [30] изобретён способ точного прогнозирования и аналитического нахождения погрешностей шероховатости, наклепа и остаточных напряжений виброобработки в зависимости от габаритов, формы и расположений поверхностей, который обеспечивает сокращение ошибок, при отсутствии предварительных экспериментальных исследований вплоть до допустимых значений за счёт поджатия инструментальной среды.

Разработанный способ увеличивает подлинность аналитического определения режимов и уменьшает в 1,5 - 3 раза погрешность характеристик виброударной обработки.

В труде Копылова С.Ю. [33] описан созданный им математический аппарат исследования трёхмерной многомассовой системы с раздельными параметрами, имеющий отличительной особенностью то, что плоскость объекта способом сеток разбивается на плоские области, передвижение которых рассчитывается способом

фазовых траекторий с параллельной реализацией на ГП (графических ускорителях) с использованием технологии NVidia CUDA, которая даёт возможность определять проблемы проектирования и изучения трудоёмких многомерных систем.

В разработанном Копыловым С.Ю. математическом программном обеспечении графический ускоритель (видеокарта NVIDIA), выполняя функции вычислительного сопроцессора, а также ускоряя графические построения, позволяет сократить время моделирования трёхмерных систем до 10 раз и более.

Недостатком реализации моделирования трёхмерной многомассовой системы с дискретно распределёнными параметрами является использование разностной схемы 1-го порядка точности для реализации интегрирования, в связи с тем, что при увеличении порядка точности необходимо больше памяти GPU, что на момент создания программы было недоступно. В результате моделирования трёхмерной многомассовой системы формируется массив информации объемом от 10 Гб, что требует использование очень мощного ПК.

Несмотря на множество разработанных программ моделирования процесса виброударного упрочнения, время моделирования 2 секунд рассматриваемого процесса осуществляется в течение более 2-х часов для системы от 500 частиц и до 10 часов для системы от 9600 частиц, а для реальных технологических систем составляет от 20 часов и болеее. Для более оперативного принятия решения в результате моделирования весомое значение имеет быстрота численных расчётов.

1.3 Обзор методов моделирования многомассовых виброударных

систем

Одним из первых методов моделирования динамики многомассовых систем в 1990-е годы был метод имитационного моделирования, базирующийся на их групповых свойствах [44, 68, 85].

При рассмотрении данного метода моделирования, интенсивно вибрирующие частицы (инструментальная среда) сначала рассматривалась как материальная точка [5], затем как упруго-вязко-пластичное тело [68], а в затем в виде послойной сплошной среды. Имитационное моделирование осуществляется в отсутствии информации о параметрах технологической системы, далее согласно итогам сопоставления теоретических характеристик, с экспериментальными, математическая модель наделяется упругодиссипативными и иными свойствами, обеспечивающими максимальное их совпадение [2]. Метод никак не предусматривает конфигурацию элемента и обладает в данном отношении неудовлетворительную достоверность. Точность изучения при имитационном моделировании по технологическим параметрам достигает более 100 %.

Моделирование методом интегральных оценок параметров инструментальной среды, представленной средой с накопленными (интегральными), упруго-диссипативными, зазорными и массовыми свойствами [44]. Осуществляется математическое моделирование основываясь на экспериментально определенных интегральных квазиупругих и диссипативных свойствах, динамических зазоров инструментальной среды, которые записывают в матрицу динамических свойств и методом перебора при постоянной частоте и фиксированных ускорениях, позволяет точнее определить динамические параметры процесса (фазовый угол соударения, импульс, силы и т.д.). Расчётные значения шероховатости, наклёпа и остаточных напряжений присваиваются всем участкам поверхности детали. Для деталей простой формы [43] погрешность метода составляет от 50 до 100 %. Существенным недостатком рассматриваемого метода является необходимость для каждой моделируемой детали опытного

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Верзилина, Ольга Александровна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI: учеб. пособие / А.С. Антонов.- М.: МГУ, 2004. - 71 с.

2 Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. Приближенные методы. / В.И. Бабицкий. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

3 Бабичев А.П. Основы вибрационной технологии. / А.П. Бабичев, И.А. Бабичев. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1998. - 624 с.

4 Биргелис О.К. Разработка методики расчета кольцевых и винтовых вибромашин объемной обработки: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Биргелис О.К.; Рига ; науч. рук. А.П. Субач. - Рига, 1984. - 267 с.

5 Блехман И.И. Вибрационное перемещение / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. - М.: Наука, 1964. - 412 с.

6 Боресков А.В. Основы работы с технологией CUDA. / А.В. Боресков, А.А. Харламов. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 232 с.

7 Боресков А.В. и др. Предисл.: В. А. Садовничий. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA: учеб. пособие / А.В. Боресков.

- Москва, 2012. - 336 с.

8 Верзилина О.А. Применение метода дискретных элементов для моделирования виброударных систем/ О.А. Верзилина // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Экономика. Информатика. - 2018.

- т.45, № 1. - С. 103-110.

9 Верзилина О.А. Взаимодействие программных платформ DELPHI и C++ в рамках исследования двумерной виброударной многомассовой системы с распределенными параметрами с целью сокращения времени моделирования / О.А. Верзилина // Современные наукоемкие технологии. - 2016. - № 10-2. - С. 233 - 238.

10 Верзилина О.А. Разработка эффективного алгоритма исследования двумерной многомассовой системы с распределенными параметрами / О.А. Верзилина // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 11-2. - С. 255 - 259.

11 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р. Компьютерное автоматизированное

управление процессом виброударного упрочнения. Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции СТИ НИТУ «МИСиС», Старый Оскол, 2013. Т.2. С. 170 - 172.

12 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р. Сокращение времени моделирования виброударного упрочнения методом дискретных элементов с использованием технологии CUDA. Сборник трудов всероссийской научно-технической конференции Юго-Западный Государственный университет. - Курск, 2014. Т.1. С. 260 - 266.

13 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р. Сокращение времени моделирования виброударного упрочнения деталей сложной формы с помощью программной платформы Nvidia cuda. Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции СТИ НИТУ «МИСиС». - Старый Оскол, 2014. С.157 - 160.

14 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р. Сокращение времени моделирования виброударного упрочнения на базе NVIDIA CUDA. Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции ВГТУ. - Воронеж, 2014. С. 6 - 8.

15 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р., Копылов С.Ю. Алгоритмы сокращения времени процесса виброударного упрочения при помощи технологии NVIDIA CUDA. Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции СТИ НИТУ «МИСиС». - Старый Оскол, 2014. Т.1. С. 158 - 163.

16 Верзилина О.А., Копылов Ю.Р. К вопросу повышения производительности моделирования процесса виброударного упрочнения. Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции ВГТУ. -Воронеж, 2015. С. 7 - 12.

17 Верзилина О.А. Моделирование виброударного упрочнения деталей сложной формы. Сборник трудов IV всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы горнометаллургического комплекса. Наука и производство» СТИ НИТУ «МИСиС». -Старый Оскол, 2017. С. 262 - 268.

18 Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений: учеб. пособие. / В.П. Гергель. - М. : Интернет-Университет Информационных Технологий.

БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 423 с.

19 Гергель В.П. Основы параллельных вычислений для много процессорных вычислительных систем: учеб. пособие / В.П. Гергель, Р.Г. Стронгин. - Нижний Новгород: изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2003. - 184 с.

20 Григорян А.Т. Механика от античности до наших дней. / А.Т. Григоря. -М.: Наука, 1974. С. 154 - 167.

21 Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел. / В. Гольдсмит. - М.: Стройиздат, 1965. - 448 с.

22 Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике. / Х. Гулд, Я. Тобочник.

- М.: Мир, 1990. Т. 1 - 2.

23 Дорофеенко С.О. Моделирование сыпучих сред методом дискретных элементов: дис. на соискание уч. степ. к-та физ.-мат. наук. Черноголовка: РАН Институт проблем химической физики, 2008. - 114 с.

24 Золкае Николас. Динамика удара: пер. с англ. С. С. Григорян. / Золкае Николас. - М.: Мир, 1985. - 296 с.

25 Инженерные методы исследования ударных процессов. Г.С. Батуев и др.

- М. : Машиностроение, 1977. - 240 с.

26 Казённов А.М. Основы технологии CUDA. Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. № 3. С. 295-308.

27 Кильчевский Н.А. Теория соударения твердых тел. / Н.А. Кильчевский. -Киев: Наука думка, 1969. - 320 с.

28 Кобринский А.Е. Виброударные системы. Динамика и устойчивость. / А.Е. Кобринский. - М.: Наука, 1973. - 591 с.

29 Кобринский А.Е. Двумерные виброударные системы. / А.Е. Кобринский, А.А. Кобринский. - М. : Наука, 1981. - 335 с.

30 Копылов А.Ю. Снижение погрешности шероховатости, наклепа и остаточных напряжений при виброударной обработке деталей. / А.Ю. Копылов. -Воронеж, 2004. - 178 с.

31 Копылов С.Ю. Трехмерное численное моделирование процесса виброударного упрочнения центробежной крыльчатки / С.Ю. Копылов //

Фундаментальные исследования. - 2013. - № 8. № 8-2. - С. 286 - 290.

32 Копылов С.Ю. Трехмерное формирование шероховатости при виброударном упрочнении проточных каналов рабочего колеса компрессора / С.Ю. Копылов // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - № 5. -URL: http://www.science-education.ru/111-10276 (дата обращения 25.04.2016).

33 Копылов С.Ю. Методы и средства распараллеливания задач трехмерной сеточной визуализации многомассовых систем. / С.Ю. Копылов. - Воронеж, 2013.

- 138 с.

34 Копылов Ю.Р. Трехмерное моделирование виброударного упрочнения с использованием программной платформы CUDA / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2012. - № 2-6 (292). - С. 100-105.

35 Копылов Ю. Р. Интеллектуальная система подготовки производства на базе конструкторско-технологического кодирования / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Труды XI Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем. - АКТ-2010.- Воронеж. - 2010.

- С. 65-68.

36 Копылов Ю. Р. Компьютерное проектирование технологий виброударного упрочнения на основе кодирования / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Сб. науч. статей в 2-х частях IX научно-технической конференции «Управляемые вибрационные технологии и машины». - Курск, 2010. - Ч. 2. - С. 197 - 201.

37 Копылов, Ю.Р. Трехмерное моделирование виброударного упрочнения с использованием программной платформы CUDA / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. Сб. докладов XI международная конференция. - Орел: Госуниверситет-УНПК, 2012. - С. 222 - 224.

38 Копылов Ю.Р. Исследование стабильности виброударного упрочнения с использованием параллельных трехмерных вычислений / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов, А.В. Глазков // Вопросы вибрационной технологии: межвуз. сб. науч. ст.

- Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2012. - С. 26 - 31.

39. Копылов Ю.Р. Моделирование стабильности виброударного упрочнения деталей сложной формы / Ю.Р. Копылов, С. Ю. Копылов, А.В. Глазков // Механика ударно-волновых процессов в технологических системах. Сборник научных трудов международной конференции. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2012. - С. 127-131.

40 Копылов Ю.Р. К теории трехмерного моделирования виброударного упрочнения / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Фундаментальные и прикладные проблемы модернизации современного машиностроения и металлургии: сб. науч. тр. международная конференция Ч. 1. - Липецк: ЛГТУ, 2012. - С. 182 - 186.

41 Копылов Ю.Р. Развитие сплайнового моделирования процессов виброударного упрочнения на основе метода дискретных элементов / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Наукоемкие комбинированные и виброволновые технологии обработки материалов. сборник Международной научно-технической конференции. - Ростов-на-Дону: изд. Центр ДГТУ, 2013. - С.14 - 20.

42 Копылов Ю.Р. Влияния вращения на трехмерное распределение шероховатости в проточных каналах крыльчатки при виброударном упрочнении / Ю.Р. Копылов, С.Ю. Копылов // Труды XIV Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем. АКТ-2013. - Воронеж, 2013. - С. 152 - 157.

43 Копылов Ю.Р. Виброударное упрочнение. / Ю.Р. Копылов. - Воронеж: ВИМВД, 1999. - 386 с.

44 Копылов Ю.Р. Динамика процессов виброударного упрочнения: монография / Ю.Р. Копылов - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. - 568 с.

45 Копылов Ю.Р., Попов А.А. Численное моделирование динамических параметров процесса виброударного упрочнения деталей сложной формы. Вестник Орловского государственного технического университета. Серия: Машиностроение. Приборостроение. 2004.

46 Копылов Ю.Р., Шевцов С.Н., Попов А.А., Сорокин А.В. Воздействие расположения детали на скоростные и технологические параметры процесса

виброударной обработки. Межвузовский сборник научных статей. Вопросы вибрационной технологии. Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2004.

47 Копылов Ю.Р., Попов А.А. Моделирование виброабразивной обработки межлопаточной зоны центробежной крыльчатки. Сборник научных трудов по материалам 7-ой Международной научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии". Курск: Издание КГТУ, 2005. - С. 200 - 203.

48 Копылов Ю.Р., Попов А.А. Моделирование процесса виброабразивной обработки центробежной крыльчатки. Труды 3-й Международной научно-технической конференции "Разработка, производство и эксплуатация турбо -, электронасосных агрегатов и систем на их основе. СИНТ-05". Воронеж, 2005. - С. 231 - 234.

49 Копылов Ю.Р. К теории виброударного упрочнения // Машиноведение. АН СССР, 1989. - № 6. - C. 79 - 83.

50 Левин М.П. Параллельное программирование с использованием OpenMP: учеб. пособие / М.П. Левин. - М.: Интернет-Университет Информационных Технологий: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 118 с.

51 Логинова Н.Б. Исследование динамики гранулированных сред: дис. на соискание уч. степ. к-та физ.-мат. наук. Москва: Московский государственный университет путей сообщения, 2004. - 136 с.

52 Лупин С.А.Технологии параллельного программирования. / С.А. Лупин, М.А. Посыпки. - М.: ИНФРА-М, 2011. - 208 с.

53 Лупин С.А. Архитектура ЭВМ. / С.А. Лупин, В.Д. Колдаев.- М.: ИНФРА-М, 2011. - 210 с.

54 Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. - М.: Наука, 1980. - 344 с.

55 Отделочно-упрочняющая обработка деталей многоконтактным виброударным инструментом. Бабичев А.П., Мотренко П.Д. и др. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2003. - 192 с.

56 Петряев А.А. Компьютерное моделирование динамики гранулированных сред в вибрационных технологических машинах. - Ростов-на-Дону, 2003. - 218 с.

57 Петряев А.А., Тамаркин М.А., Шевцов С.Н. Технологические приложения нестационарных задач динамики бинарных гранулированных сред. Труды международной конференции. Ростов-на-Дону : Изд. ДГТУ, 2001, Т. 1. С. 226 - 228.

58 Петряев А.А., Тамаркин М.А., Шевцов С.Н. Прямое моделирование динамики гранулированных сред в некоторых технологических процессах. 8-й всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Екатеринбург: Изд. УрО РАН, 2001, - С. 485.

59 Пирумов У.Г. Численные методы: учеб. пособие / У.Г. Пирумов. - М.: Изд-во МАИ, 1998, - 188 с.

60 Плявниекс В.Ю. Косое соударение двух тел // Вопросы динамики и прочности. - Рига : Зинатне, 1969. - Вып.19.

61 Попов А.А. Влияние процесса виброударного упрочнения на деформации крупногабаритных деталей. / А.А. Попов. - Воронеж, 2007. - 180 с.

62 Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. В 3 т. / Под ред. И.А. Биргер. - М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. - 478 с.

63 Черняев Н. Оценка стабильности технологического процесса / Н. Черняев // Техника и технологии. - 2011. - С. 51 - 53.

64 Самарский А.А. Численные методы математической физики, 2-е изд. / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Научный мир, 2003. - 316 с.

65 Сандерс Дж. Технология CUDA в примерах. Введение в программирование графических процессоров./ Дж. Сандерс, Э. Кэндрот. - 2011. -232 с.: ил.

66 ГОСТ Р 50779.42-2001. Статистические методы. Показатели возможностей процессов. Основные методы расчета. М.: Изд-во станлдартов, 2004 - С. 1 - 31.

67 Солнцев Д.В. Численное моделирование процесса виброударной обработки в плоском сечении системы станок-интрумент-деталь: автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.03.01 / Копылов Ю.Р. - Воронеж, 2003. - 148.

68 Субач А.П. Динамика процессов и машин объемной вибрационной обработки насыпных деталей / А.П. Субач. - Рига: Зинатне, 1991. - 400 с.

69 Сызранцев В.Н., Сызранцева К.В. Расчет напряженно-деформиро-ванного состояния деталей методами конечных и граничных элементов: Монография. -Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2000. - 111с.

70 Фаронов В. Программирование баз данных в Delphi 6. Учебный курс (+дискета). - СПб.: Питер, 2002, - 352 с.

71 Халпери П. Стандартная бибилиотека C++ на примерах.: пер. с англ.: - М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. - 336 с.

72 Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 640 с.

73 Хьюз К., Хьюз Т. Параллельное и распределенное программирование на C++.: пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 672 с.

74 Хэзвилд Р., Кирби Л. Искусство программирвоания на C. Фундаментальные алгоритмы, структуры данных и примеры приложений. Энциклопедия программиста.: пер. с англ. / Хэзвилд Р., Кирби Л. и др. - К.: издательство «Диасофт», 2001. - 736 с.

75 Шевцов С.Н. Моделирование динамики гранулированных сред при вибрационной отделочно-упрочняющей обработке. / С.Н. Шевцов. - Ростов-на-Дону, 2001. - 287 с.

76 Шевцов С.Н., Петряев А.Л., Савченко И.Л., Машинное моделирование динамики технологических гранулированных сред при отделочной обработке // Материалы международного науч.-техн. семинара Высокие технологии в машиностроении. - Харьков: ХГПУ, 1999. - С. 78 - 80.

77 Шевцов С.Н., Горбунов Н.Н., Петряев А.А, В.Н. Аксенов, Моделирование ударной волны в уплотненной гранулированной среде, Автоматизация и информатизация в машиностроении. Сборник трудов 1 электрон, междунар. науч.-техн. конф. - Тула, 2000.

78 Шевцов С.Н., Петряев А.А., Моделирование динамики гранулированных сред в вибрационных технологических машинах на стадии предпроектных исследований, качество машин. Сборник трудов IV международной научно-технической конференции БГТУ, Воронеж, 2001. Т.1, С. 100 - 102.

79 Шевцов С.Н., Петряев А.А., Численное моделирование динамики гранулированных сред в технологических машинах. Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI международной конференции Ростов-на-Дону: Изд. СКНЦ ВШ, 2001. Т.1. С. 236 - 243.

80 Шевцов С.Н., Петряев А.А., Технологические приложения некоторых нестационарных задач динамики бинарных гранулированных сред. Динамика технологических систем. Труды международной конференции Ростов-на-на-Дону: Изд. ДГТУ. Т.1. С. 220 - 228.

81 Шевцов С.Н., Петряев А.А., Прямое моделирование динамики гранулированных сред в некоторых технологических процессах, VIII всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: Изд. УрО РАН, 2001. - С. 485.

82 Шевцов С.Н., Петряев А.А., Программа моделирования динамики быстрых движений гранулированных сред GrandMos. Свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ №2000610902, Российское агентство по патентам и товарным знакам (Роспатент) от 14.09.2000.

83 Шикин А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели./ А.В. Шикин, А.В. Боресков. - М.: Диалог-МИФИ, 2001. - 464 с.

84 Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования: пер. с англ. / Г.Р. Эндрюс. - М.: издательский дом «Вильямс», 2003. - 512 с.

85 Янушевскис А.В. Принципы и структура построения автоматизированной системы имитационного моделирования ИМИТА // Вопросы динамики и прочности: Сб. науч. тр. РПИ. - Рига: Зинатне, 1985. - Вып.45. - С. 48 - 60.

86 Ante Munjiza, The Combined Finite-Discrete Element Method Wiley, 2004, ISBN 0-470-84199-0.

87 Bibliography on Shock and Shock Excited Vibrations, volland II,J. N. Brennan, Editor. - Engineering Research Bulletin, 1957-58 y. 3 68. № 6.

88 Brach R.M. Mechanical impact dynamic: Rigid body collisions. - New York: John Wiley & Sons, 1991. - 126 p.

89 Campbell C.S. Computer simulation of power flows, Proc 10th US National Congress of Appl. Mech. - pp. 327 - 338.

90 Ciavarella M. Tangential loading of general three-dimensional contacts //Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1998 (Dec). - Vol.65. - pp. 998 - 1003.

91 CUDA C Best Practices Guide. -Version 8.0. - NVIDIA Corporation, 2017.http://developer.download.nvidia.com/compute/cuda/8_0/toolkit/docs/CUDA_C_ Best_Practices_Guide.pdf.

92 CUDA C Programming Guide. -Version 8.0. - NVIDIA Corporation, 2017. -http://developer.download.nvidia.com/compute/cuda/8_0/toolkit/docs/ CUDA_C_Programming_Guide.pdf.

93 Cundall P.A. and Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. - Vol. 29. - No. 1. - pp. 47 - 65.

94 Cundall P.A. Formulation of a three-dimensional distinct element model - Part I. A scheme to detect and represent contacts in a system composed of many polyhedral blocks // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr. - 1988. - Vol. 25. - No. 3. -pp. 107 - 116.

95 Kumaran V. Velocity distribution function for a dilute granular material in sheer flow. J.Fluid.Mech. 1997-340 - p. 319 - 341.

96 Luding S., Herrmann H.J., and Blumen A. Simulations of two-dimensional arrays of beads under external vibrations: scaling behavior // Phys, Rev. E. - 1994.-Vol.50.-No. 4. - pp. 3100 - 3108.

97 Luding S. Granular material under vibration: Simulation of rotating spheres // Phys.Rev.E. - 1995.-Vol.52.-No.4. - pp. 4442 - 4457.

98 Luding S., Clement E., Blumen A., Rajchenbach J., Duran J. Onset of convection in molecular dynamics simulations of grains, // Phys. Rev. E. - 19946. - Vol. 50. - pp.1762- 1765.

99 Luding S., Clement E., Blumen A., Rajchenbach J., Duran J. Anomalous energy dissipation in molecular-dunamics simulations of graints: The «detachment» effect. // Phys. Rev. E. - 1994b. - Vol. 50. - P. 4113-4122.

100 Pande, G., Beer, G. and Williams, J.R., Numerical Modeling in Rock

Mechanics, John Wiley and Sons, 1990.

101 Rosato A., et al., Monte Carlo simulation of particulate matter segregation. Powder Tech., Vol 40. - pp. 59 - 69.

102 Shinbrot, T. et al. A Simple model for granular convection // Phys. Rev. Lett.- 1997.-Vol. 79.- No.5. - pp. 829 - 832.

103 Shwartz L.M., Jonson, D.L., Feng S. Vibrational Modes in Granular Materials. Phys.Rev.Lett. 1984, 52. - pp. 831 - 834.

104 Thornton С Coefficient of Restitution for Collinear Collisions of Elastic-Perfectly Plastic Spheres // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - June 1997. - Vol. 64. - pp. 383 - 386.

105 Williams, J.R. and Pentland, A.P., "Superquadric and Modal Dynamics for Discrete Elements in Concurrent Design" National Science Foundation Sponsored 1st U.S. Conference of Discrete Element Methods, Golden, CO, October 19-20, 1989.

106 Инфраструктура компилятора Open64 [Электронный ресурс]: программа. - URL: http://www.open64.net/ (дата обращения 27.05.2016).

107 Метод дискретных элементов [Электронный ресурс]: программа. - URL: https://www.sunspire.ru/articles/part21 (дата обращения 17.07.2016).

108 NVOPENCC - вариант компилятора Open64 с поддержкой CUDA. [Электронный ресурс]: программа. - URL: http://download.nvidia.com/CUDA Open64/ (дата обращения 23.07.2016).