Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Власова, Ольга Кузьминична

• Власова, Ольга Кузьминична
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Власова, Ольга Кузьминична

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

МЕТОД ДИФФУЗИИ ЛУЧА

1.1 История возникновения метода и основные результаты, полученные в предположении, что процесс рассеяния луча - марковский процесс.

1.2 Попытка обосновать запись уравнения Эйнштейна -Фоккера для диффузии луча, основанная на сопоставлении уравнения Ланжевена и уравнения луча.

1.3 Теория перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера.

ГЛАВА

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДИФФУЗИИ ЛУЧА

ГЛАВА

ДИФФУЗИЯ ЛУЧА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

3.1 Уравнения луча в анизотропной среде.

3.2 Представление уравнений луча в виде уравнений Ланжевена.

3.3 Диффузия луча в одноосном кристалле.

3.4 Рассеяние в гиротропной среде.

ГЛАВА

ДИФФУЗИЯ ЛУЧА В «ЛИНЕЙНОМ» СЛОЕ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.

4.3 Преобразование уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена

4.4 Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями. 4.5 Обсуждение решения уравнения Эйнштейна-Фоккера

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния»

Исследование рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями представляет интерес для многих областей физики, например, рассеяние электромагнитных волн в плазме, ионосфере и конденсированных средах, рассеяние звуковых волн в газах и жидкостях, включая атмосферу и морскую среду. Помимо случайных неоднородностей, упомянутые выше среды содержат регулярные неоднородности, кроме того, ионосфера, например, является анизотропной средой, благодаря влиянию магнитного поля Земли. Здесь и далее мы имеем в виду неоднородности электронной концентрации в плазме, флуктуации плотности и температуры в морской воде и тропосфере.

Существует достаточно много методов исследования волн в средах со случайными неоднородностями. Нами рассмотрен и развит метод диффузии луча, когда стохастическим уравнением является уравнение луча, что само по себе подразумевает приближение геометрической оптики. Метод диффузии луча широко использовался ранее при изучения рассеяния в средах со случайными неоднородностями. Однако, как выяснилось впоследствии, применение раннего варианта этого метода не было достаточно обоснованным.

Развитие теории броуновского движения и видимая аналогия между процессами диффузии броуновской частицы и рассеяния луча в среде со случайными неоднородностями позволили использовать достижения теории броуновского движения для исследования статистики луча.

Теория броуновского движения исходит из динамического уравнения du где и-скорость броуновской частицы.

Правая часть уравнения, представляющая силу, действующую на частицу, разделена на две части: детерминированную силу трения и случайную силу, являющуюся результатом большого числа толчков молекул жидкости или газа, в которой находится броуновская частица. Если случайная часть силы A(t) удовлетворяет следующим требованиям:

1)3(0=o,

2) A(t) - не зависит от й,

3) A(t)~ изменяется гораздо быстрее, чем изменяется й , то это уравнение называется уравнением Ланжевена.

Третье условие является основополагающим в теории броуновского движения, так как позволяет ввести интервал времени At, в течение которого изменение й будет весьма малым, в то время как за тот же интервал времени A(t) испытает несколько флуктуаций. Другими словами, можно сказать, что хотя u(t) и U(t + At) практически не отличаются друг от друга, все же между A(t) и A(t + At) не существует корреляции, при этом интервал At гораздо меньше всего времени исследования. В этом случае из уравнения Ланжевена можно получить, например, вероятность распределения W(u,t\u0,ta = 0). С другой стороны, можно определить функцию распределения W(u,t + At) из распределения W(u,t), если известна вероятность перехода \//(й;Ай), то есть вероятность того, что и испытывает приращение Ай за время At:

- Au,t)if/(u - Am; Au)d(Au).

Случайные процессы, удовлетворяющие последнему соотношению, называются марковскими процессами, для функции распределения вероятности которых справедливо уравнение Эйнштейна-Фоккера (диффузии). Действительно, если в последнем соотношении за вероятность перехода принять ту функцию, которая следует из уравнения Ланжевена и разложить левую и правую части в ряд Тейлора по малым величинам At и

Aui, то получим уравнение Эйнштейна-Фоккера, причем функция распределения W(u,t;u0,tQ= 0), следующая из решения уравнения Ланжевена, оказывается фундаментальным решением уравнения Эйнштейна-Фоккера.

Таким образом, стохастическая задача полностью определяется динамическим уравнением и предположениями о характере случайных воздействий (уравнение Ланжевена), поэтому при получении уравнения Эйнштейна-Фоккера следует исходить из динамических уравнений и условий, накладываемых на случайные функции, важнейшим из которых является д - корреляция по времени.

В приближении геометрической оптики уравнения, описывающие направления касательного к лучу единичного вектора S, кажутся аналогичными уравнению Ланжевена: где сг- длина пути, пройденного лучом, tj = In п,п- показатель преломления среды.

Однако эта аналогия не является полной в связи с тем, что случайная сила в уравнении луча является функцией показателя преломления, который, в свою очередь, есть функция радиус-вектора г , а не сг, как того требует уравнение Ланжевена. Более того, третье условие, наложенное на случайную силу, в данном случае не справедливо совсем, поскольку требует S - корреляции случайной силы, или очень малого радиуса корреляции, но показатель преломления не зависит от длины дуги, пройденной лучом, то есть имеет бесконечный радиус корреляции по сг. В.И. Кляцкин и В.И. Татарский, впервые сформулировавшие эту проблему (Кляцкин, Татарский 1971), предложили перейти от переменной сг к координате z, направление которой соответствует первоначальному направлению луча, с помощью соотношения dz g da и искать решение ищется в виде SL(z), где .

Тогда уравнения луча преобразуются следующим образом: = 7)]

Очевидно, что последнее уравнение справедливо лишь вдали от точки поворота луча. Полагая далее, что отклонение направления луча от первоначального направления мало, авторы получают приближенные уравнения, которые позволяют решить задачу диффузии луча в среде в среднем однородной и изотропной. Однако решение задачи в работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) не дает метода перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена, а лишь указывает на ошибку в предыдущих исследованиях и предлагает решение для случая среды в среднем однородной и изотропной.

Поскольку исследования рассеяния в средах со случайными неоднородностями не ограничиваются случаем изотропной и в среднем однородной среды, то целью настоящей работы явилось развитие метода диффузии луча для среды в среднем неоднородной, а также для анизотропой случайной среды. В соответствии с поставленной целью было намечено решение следующих задач:

• развитие метода диффузии луча, позволяющего записать уравнения луча в виде динамических уравнений типа уравнения Ланжевена;

• решение задачи рассеяния в анизотропной среде с помощью развитого метода диффузии луча;

• исследование диффузии луча в среде с регулярным градиентом диэлектрической проницаемости.

Первая глава посвящена обсуждению метода диффузии луча и результатов, полученных этим методом.

В первом параграфе подробно описаны результаты работ по изучению рассеяния луча в средах со случайными неоднородностями методом, основанным на предположении, что процесс рассеяния луча подобен процессу диффузии броуновской частицы.

Во втором параграфе рассмотрена работа В.М. Комиссарова (Комиссаров, 1966), в которой проводится сопоставление уравнения луча в плоскослоистой среде с уравнением Ланжевена, описывающем диффузию броуновской частицы в силовом поле. В приближении малых флуктуаций показателя преломления применяется метод последовательных приближений для исследования уравнения луча. В результате получены условия, при выполнении которых уравнение Ланжевена и уравнение луча совпадают. К сожалению, автор приписывает роль времени в уравнении Ланжевена длине дуги, пройденной лучом в уравнении луча.

В третьем параграфе на основе работы В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский, 1971), рассмотрена современная теория перехода от стохастического дифференциального уравнения, случайные функции которого удовлетворяют определенным требованиям, к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским показано, что уравнения луча отличнаются от динамических стохастических уравнений тем, что случайная сила в уравнении луча, в рассматриваемом случае являющаяся флуктуациями показателя преломления, не зависит от длины дуги а, пройденной лучом, в связи с чем не может удовлятворять условию 5 -корреляции по а, необходимому для перехода к уравнению Эйнштейна-Фоккера. Поэтому в этой же работе предлагается перейти от длины дуги в уравнении луча к переменной z, вдоль которой первоначально направлен луч и от которой зависит случайная сила. Оказывается, что при таком преобразовании флуктуации направления луча должны быть малы относительно первоначального направления луча. Однако метод решения задачи рассеяния в среде в среднем однородной и изотропной, приведенный в указанной работе, не является универсальным, поскольку не позволяет решить, например, задачу рассеяния а анизотропной случайной среде, или в среде, где невозмущенная траектория луча отлична от прямой.

Во второй главе представлен развитый нами метод диффузии луча. На примере среды в среднем однородной и изотропной рассмотрен переход от уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена. Для этого после замены длины дуги, пройденной лучом, на координату z, вдоль первоначального направления луча, используется метод последовательных приближений в предположении, что диэлектрическая проницаемость может быть представлена следующим образом: = £0 + asa(fx,z), где а« 1, ?±{х,у}.

Последнее предположение следует из условия малости флуктуаций направления луча и условия малого радиуса корреляции неоднородностей по сравнению с расстоянием, пройденным лучом, справедливого для марковских процессов. Подставляя далее в уравнения луча решение в виде разложения по «и учитывая также, что n = yje{r,a), получим эти уравнения с точностью до 0{аг) в виде стохастических дифференциальных уравнений типа уравнения Ланжевена: dz м- 1 dz

Показано, что в изотропной среде уравнение луча для Sz является тождеством, следующим из уравнений для Sx, Sy и того, что =1.

Отметим, что решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, полученного из приведенных выше уравнений луча для среды в среднем однородной и изотропной, совпадает с решениями, приведенным в работах В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971), а также Е.Л. Фейнберга (Фейнберг 1961).

Предложенный в диссертации метод перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена позволяет осуществить аналогичный переход не только для среды в среднем однородной и изотропной, но и в анизотропной среде, и в среде с регулярной рефракцией.

В третьей главе на основе метода, описанного во второй главе диссертации, исследуется диффузия луча в анизотропной среде.

Первый параграф посвящен выводу уравнения луча из принципа Ферма, при этом осуществляется требуемый переход от ст кг.

Во втором параграфе переходим от уравнений луча к приближенным уравнениям луча, отвечающим требованиям уравнения Ланжевена. Для этого предполагаем, что рассеяние вызвано малыми флуктуациями электронной концентрации:

К = К0 + аКа(г), или, например, рассеяние света в одноосном кристалле есть результат малых флуктуаций диэлектрических проницаемостей вдоль и поперек оптической оси, являющихся в свою очередь следствием флуктуаций электронной концентрации: s^e^+as^if)'

Следуя далее методу решения, развитому во второй главе, и представляя показатель преломления вдоль луча следующим образом: ju = ju{SL(z,a),K[r^z,a),z,a]}, получим в результате уравнения луча в анизотропной среде

-\(д/лдКа ay дка dz дк dxk dKdSx, dz '

При определенных требованиях к случайным воздействиям от этих уравнений можно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В последнем уравнении SX] =SX, SXz =Sy, aik~x -определяются производными ds.ds,'

В третьем параграфе этой главы в качестве примера рассмотрена диффузия света в одноосном кристалле, поскольку в этом случае известно выражение для показателя преломления вдоль луча: где у = (Sa)-косинус угла между лучом и оптической осью, заданной направлением а.

В результате развитого метода диффузии луча получаем уравнение Эйнштейна-Фоккера, решением которого будет следующее распределение:

W(r±,S±,z-,r1=S±=0,z = 0) = ,2

ЗА2

4tt2D2Z4 х ехр

Dza

Si + Si - \ (Sxx + syy % + j, (x2 + y1 ^f)

Mo

S' l

Mo

1 Mo

2 gl qI где A = £e^15 ^о=л/^±оСо+4^0' 2(Si + Cjqx), S0,C0 - соответственно

Mo v Mo синус и косинус угла между лучом и оптической осью в среде без флуктуаций, s2a - дисперсия флуктуаций соответствующей диэлектрической

1 00 1 d проницаемости, —= [---р(г) - нормированный коэффициент корреляции изомерных флуктуаций той же диэлектрической проницаемости, кроме того, предполагаем, что eLa = qz - const.

Из приведенного решения следует, что рассеяние будет анизотропным даже при изотропии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Степень анизотропии характеризуется отношением квадратов показателей преломления вдоль луча в среде без флуктуаций обыкновенной и необыкновенной волн. Далее в этом параграфе исследуется рассеяние необыкновенной волны в положительном и отрицательном кристаллах.

В четвертом параграфе рассматривается рассеяние в гиротропной случайной среде. Здесь уравнения луча совпадают с соответствующими уравнениями для одноосного кристалла, однако коэффициенты, характеризующие рассеяние, различны. Изучается рассеяние обыкновенной и необыкновенной волн.

В четвертой главе рассмотрена диффузия луча в «линейном» слое. Поскольку траектория луча в среде с регулярным градиентом показателя преломления отлична от прямой, то переход от длины дуги в уравнениях луча к одной из координат радиус-вектора f, от которой зависит показатель преломления, затруднителен. Трудность вызвана тем обстоятельством, что координата радиус-вектора, которой следует заменить длину дуги, должна указывать положение луча, находящегося приблизительно на невозмущенной траектории, то есть невозмущенная траектория дожна быть одной из координатных линий.

В первом параграфе этой главы предлагается рассмотреть наклонное падение на слой, регулярный показатель преломления которого имеет вид: где z0 = const - характеризует размер слоя.

Невозмущенная траектория луча в этом случае является параболой. Переходя далее к декартовым координатам, начало которых находится в фокусе данной параболы, вводим систему координат параболического цилиндра х, г, <т таким образом, чтобы координатная линия, полученная при пересечении двух координатных поверхностей т2=т*,х = 0 описывала невозмущенную траекторию. Тогда координата сг будет указывать положение луча на невозмущенной траектории.

Во втором параграфе записываем уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.

В третьем параграфе преобразуем уравнения луча к уравнениям типа уравнений Ланжевена. Для этого переходим в уравнениях луча от дифференцирования по длине дуги к дифференцированию по одной из координат системы параболического цилиндра <т, указывающей положение луча на невозмущенной траектории. Затем применяем метод последовательных приближений, предполагая, что флуктуации диэлектрической проницаемости малы относительно величины регулярной диэлектрической проницаемости: при этом следует учесть, что ер=е (а). В результате получаем уравнения луча с точностью 0(аг) в виде динамических уравнений, от которых уже можно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера при определенных требованиях к случайной силе: s = £р + а£{ f 1 Л dsa ^ Т0 с л

Точка означает дифференцирование по а, пй= yjs^ = (у[£^)а=0.

Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями, представлен в четвертом параграфе.

Пятый параграф посвящен обсуждению решения уравнения Эйнштейна-Фоккера и условий его применимости. Ввиду громоздкого вида уравнения и его решения мы не приводим их в настоящем введении, однако укажем на границы применимости развитого здесь метода диффузии луча в «линейном» слое. Помимо условия, ограничивающего флуктуации показателя преломления, получено условие: r0«A/0«2z0^,90, где г0 - радиус корреляции неоднородностей, Д/0 - отрезки длины, проходимые лучом и отсчитываемые вдоль невозмущенной траектории, 3° - угол падения луча на слой, являющиеся условием того, что процесс диффузии луча, записанный с помощью динамических уравнений, приведенных выше, является марковским процессом.

В заключении сформулированы научные достижения и выводы диссертации. т

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Власова, Ольга Кузьминична

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие метода диффузии луча, предложенное в диссертации, позволяет перейти от лучевых уравнений к динамическим стохастическим уравнениям типа уравнения Ланжевена и уравнению Эйнштейна-Фоккера, что дало возможность впервые решить ряд задач рассеяния и уточнить полученные ранее результаты.

С помощью предложенного метода записано уравнение луча для среды в среднем анизотропной в виде стохастических динамических уравнений, характеристики случайной силы которых позволяют перейти к уравнению диффузии.

Решена задача диффузии света в одноосном кристалле. Из решения следует, что рассеяние в одноосном кристалле будет анизотропным даже при изометрии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Для положительного кристалла рассеяние в плоскости главного сечения превосходит рассеяние в перпендикуляром направлении, для кристалла отрицательного - рассеяние в плоскости главного сечения будет слабее, чем в перпендикулярной плоскости. Рассеяние луча изотропно, если первоначальное направление луча совпадает с направлением оптической оси. Рассеяние нормали отличается от рассеяния луча тем, что рассеяние в главной плоскости всегда меньше, чем в перпендикулярном направлении. Кроме того, рассеяние нормали изотропно, если первоначальное направление нормали перпендикулярно к оптической оси.

Предложенный метод позволил изучить особенности рассеяния в магнитоактивной среде. Установлены различия в рассеянии обыкновенной и необыкновенной волн.

Показано, что для решения задач рассеяния в среде в среднем неоднородной развитым в диссертации методом диффузии луча, следует перейти к такой системе координат, где невозмущенная траектория будет одной из координатных линий. Решена задача диффузии в «линейном» слое. Из решения уравнения Эйнштейна-Фоккера найдены законы рассеяния направления и смещения луча относительно невозмущенной траектории. Характеристики рассеяния могут быть вычислены в любой точке траектории.

Автор выражает искреннюю признательность своему покойному руководителю Виктору Дмитриевичу Гусеву, роль которого в написании диссертации трудно переоценить. Автор также благодарен своему второму научному руководителю Лидии Ивановне Приходько за ценные советы и многочисленные обсуждения диссертации, Владимиру Григорьевичу Еленскому, Александру Георгиевичу Вологдину и Николаю Васильевичу Карабанову за большую помощь при подготовке диссертации к защите.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Власова, Ольга Кузьминична, 2004 год

1. Борн М., Вольф Э., Основы оптики, Изд-во «Наука», Москва, 1973.

2. Ван Кампен Н.Г., Стохастические процессы в физике и химии, Изд-во1. Высшая школа» М., 1990.

3. Власова O.K., Гайлит Т.А., Гусев В.Д., Приходько Л.И., Угол рассеяния при отражении радиоволн от ионосферы, Геомагнетизм и аэрономия, 1974, т. 14, №2, стр.256-260.

4. Гардинер К.В., Стохастические методы в естественных науках, Изд-во «Мир», М„ 1986.

5. Гинзбург В.Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, Изд-во «Наука», М., 1967.

6. Голынский С.М., Статистика лучей в неоднородных средах. Кандидатская диссертация, МГУ, М.,1976.

7. Голынский С.М., Гусев В.Д., Статистика лучей в среде с эллипсоидальными неоднородностями и регулярной рефракцией, Геомагнетизм и аэрономия, 1976, т. 16, №6, стр.1026-1031.

8. Гусев В.Д., Рассеяние волн в неоднородном турбулентном слое в геометрико-оптическом приближении, Радиотехника и электроника, 1973, т.18, № 12, стр. 2487-2492.

9. Гусев В.Д., Влияние неоднородностей ионосферы на распространение радиоволн, Докторская диссертация, МГУ, М.,1976.

10. Гусев В.Д., Власова O.K., Флуктуации направления распространения электромагнитных волн в турбулентной гиротропной среде, Геомагнетизм и аэрономия, 1969, т.9, №5, стр.828-833.

11. Гусев В.Д., Власова O.K., Статистика лучей в однородной изотропной турбулентной среде с эллипсоидальными неоднородностями, Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т.11, №3, стр.453-457.

12. Гусев В.Д., Власова O.K., Статистика лучей в однородной гиротропной среде с эллипсоидальными неоднородностями, Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т. 11, №4.стр.709-710.

13. Гусев В.Д., Власова O.K., Диффузия луча в «линейном» слое, Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 1984, т.25, №5, стр74-81.

14. Гусев В.Д.,Власова O.K., Рассеяние луча в гиротропной среде, Геомагнетизм и аэрономия, 1985, т.25, №5, стр.764-767.

15. Кляцкин В.И., Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами, Изд-во «Наука», М., 1975. Кляцкин В.И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, Изд-во «Наука», М., 1980.

16. Комиссаров В.М., Статистика лучей в плоскослоистой среде со случайной неоднородностью, Изв.вузов, Радиофизика, 1966, т.9, №2, стр.292-301. Корн Г. и Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, Изд-во «Наука», М., 1973.

17. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд-во АН СССР, М., 1961.

18. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И., Геометрическая оптика неоднородных сред, Изд-во «Наука», М., 1980.

19. Рыжов Ю.А., О стохастическом описании динамических систем, находящихся под действием случайных сил, Изв.вузов. Радиофизика, 1974, т. 19,№7, стр.1001-1014.

20. Рытов С.М., Некоторые теоремы о групповой скорости электромагнитных волн, ЖЭТФ, 1947, т. 17, стр.930.

21. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику, Изд-во «Наука», М., 1966.

22. Стратонович Р.Л., Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике, Изд-во «Советское радио», М.,1961.

23. Татарский В.И., О критерии применимости геометрической оптики в задачах о распространении волн в среде со слабыми неоднородностями коэффициента преломления, ЖЭТФ, 1953, т.25, вып. 1(7), стр.84-86.

24. Тихонов В.И., О вычислении коэффициентов сноса и диффузии для марковских процессов, Радиотехника и электроника, 1970, т.15, №7, стр. 1440-1445.

25. Фейнберг E.JI., Распространение радиоволн вдоль земной поверхности, Изд-во АН СССР, М„ 1961.

26. Франк Ф., Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Часть вторая. ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, Л.,М.,1937.

27. Харанен В.Я., О распространении звука в среде со случайными флуктуациями показателя преломления, Доклады АН СССР, 1953, т.88, №2, стр.253-256.

28. Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, Изд-во иностранной литературы, Москва, 1947.

29. Чернов JI.A., Распространение звука в статистически-неоднородной среде, ЖЭТФ, 1953, т.24, вып.2, стр.210-213.

30. Чернов J1.A., Распространение волн в среде со случайными неднородностями, изд. АН СССР, М., 1958.

31. Чернов JI.A., Волны в случайно-неоднородных средах, Изд-во «Наука», М., 1975.

32. АГрег! Ya.L., The near-Earth and interplanetary plasma, 1981, vol.1, Cambridge University Press.

33. Chandrasekhar S., Stochastic Problems in Physics and Astronomy, Reviews of Modern Physics, v. 15, N1, p.l

34. Cornbleet S., Microwave and Geometrical Optics, Academic Press, 1944, p.231. Furutsu K., On the Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluctuating Medium (1). Jornal of Research NBS, D. Radio Propagation, 1963. V.67D, N3, p.303-323.

35. Keller J.B., Wave propagation in random media, Proc.Symp.Appl.Math., 1962, v.13, p.227-246, Amer.Math.Soc.,Providence.

36. So K.C., Yen K.C., Generalized Stochastic Equations, J.Phys.A (Proc.Phys.Soc.), 1968, ser.2, v.l, p.447-454.

37. Yen K.C, Liu C.H., Displacement of Rays in a Turbulent Medium, IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1968, v.AP-16, N6, pp.678-683.