Решение деформационных и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Привалова, Валентина Викторовна

• Привалова, Валентина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Привалова, Валентина Викторовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ.

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

2.1. Численно-аналитический алгоритм решения упругой задачи.

2.2. Анализ эффективности метода на примерах решения задач.

2.3. Анализ численной сходимости метода граничных элементов.

Выводы по разделу 2.

3. МОДИФИКАЦИЯ МГЭ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ.

3.1. Алгоритм решения упругой задачи.

3.2. Аналитическое вычисление интегралов.

Выводы по разделу 3.

4. СВЯЗАННАЯ ДЕФОРМАЦИОННО-ДИФФУЗИОННАЯ ДВУМЕРНАЯ

ЗАДАЧА.

4.1. Влияние диффузии на деформирование.

4.2. Численно-аналитический алгоритм решения деформационно-диффузионной задачи.

4.3. Задача диффузии водорода около круглой поры в напряжённом поле. 96 Выводы по разделу 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение деформационных и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов»

Актуальность темы диссертации. Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путём разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. В настоящее время такие методы достигли достаточно высокого развития и популярности. Но первым недостатком данных методов, несомненно, оставалась громоздкость вычислений при решении реальных задач.

С другой стороны, для решения практических задач математической физики, как правило, используются приближенные методы расчета, основанные на алгоритмах и программистской технологии последовательного счета. В последнее время наблюдается прогресс в распараллеливании программ для решения таких задач, однако, они по-прежнему основываются на алгоритмах, разработанных в свое время для последовательного счета: методе конечных разностей, методе конечных элементов, вариационных методах и т.д. Получаем второй существенный недостаток вышеописанных методов: невозможность абсолютного распараллеливания. Разработка алгоритмов, в которых изначально была бы заложена идеология распараллеливания, может существенно сократить время решения реальных задач.

Настоящая работа посвящена альтернативному методу, методу граничных элементов (МГЭ), способному конкурировать с вышеперечисленными методами. Данный метод в равной степени универсален и основан на изучении не самих дифференциальных уравнений, описывающих конкретную задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных уравнений. Одна из самых замечательных особенностей МГЭ состоит в том, что при его реализации дискретизации подлежат лишь границы изучаемых областей. Это естественно ведёт к существенному уменьшению числа дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внутренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно, для того, чтобы найти окончательное решение этим методом, нужно решить систему алгебраических уравнений более низкого порядка, чем при использовании других методов.

Помимо тех достоинств решения задач, которые уже были упомянуты, следующим резервом для роста быстродействия может быть увеличение аналитической части предварительных расчетов в рассматриваемой задаче. В результате, получаем ещё одно очень важное достоинство рассматриваемого метода: при решении задач теории упругости искомые функции (перемещения) определяются в виде аналитических функций, что является достоинством при дальнейшем расчёте деформаций, напряжений и градиентов напряжений, т.к. дифференцирование для получения этих функций также проводится аналитически.

Предлагаемый численно-аналитический метод, основанный на методе граничных элементов, сочетает в себе все эти качества и представляется эффективным средством решения некоторых задач механики деформируемого твёрдого тела.

Цель работы. Целью данной работы является построение численно - аналитических алгоритмов решения задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов; получение решения задачи теории упругости в явном аналитическом виде; проведение качественного и количественного анализа по ускорению и усовершенствованию расчёта задач рассматриваемым методом в сравнении с другими численными методами решения линейных задач механики сплошных сред.

Направление исследований.

Поиск решения двумерных и трёхмерных задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов в виде аналитических функций, допускающих аналитическое дифференцирование;

Усовершенствование МГЭ за счёт изменения рассмотрения численного блока «граничный элемент - точка влияния»;

Проведение предварительных аналитических вычислений необходимых интегралов от функций влияния;

Сравнение качественных и количественных скоростей решения задач механики сплошных сред различными численными методами;

Анализ полученных результатов и рекомендации для их усовершенствования на случай решения более сложных задач механики сплошных сред.

Научная новизна.

- получены аналитические формулы интегралов от тензоров влияния по произвольно ориентированному отрезку и любой точки наблюдения;

- исключена операция численного интегрирования, что позволило получить точные первые (деформации, напряжения) и вторые (градиенты напряжений) производные от решения упругой и диффузионной задачи;

- полученные аналитические формулы справедливы для любой двух или трехмерной упругой и диффузионной задач;

- показана быстрая сходимость метода на тестовых примерах задач теории упругости;

- заложенное на уровне алгоритма полное распараллеливание вычислений (кроме решения системы алгебраических уравнений) существенно сокращает время решения задач, что показано на различных примерах задачах;

- решена связная деформационно-диффузионная задача; анализ ее решения выявил взаимное влияние этих процессов.

Практическая значимость работы. Полученные алгоритмы позволяют считать задачу теории упругости и связанную деформационно-диффузионную задачу, во-первых, со значительным увеличением скорости счёта по сравнению с широко используемыми в настоящее время численными методами (например, метод конечных элементов, метод конечных разностей и т.п.); во-вторых, с использованием только аналитических операций.

Методы исследований, достоверность и обоснованность результатов. В работе использованы эмпирические и теоретические методы исследования. Полученные результаты на известных простых примерах и примерах задач с особенностями прошли сверку с известными аналитическими решениями. Проведено исследование сходимости рассматриваемого метода. Практическое использование полученных результатов было проведено в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук. Там же была оценена адекватность использования данного метода на многопроцессорных компьютерах.

На защиту выносятся: численно-аналитические алгоритмы решения трёхмерных и двумерных задач теории упругости, а также деформационно-диффузионной задачи; модификация метода граничных элементов; качественный и количественный анализ использования полученного модифицированного метода.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 141 названия. Объём диссертации составляет 120 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Привалова, Валентина Викторовна

Основные результаты, полученные при выполнении данной диссертации, состоят в следующем:

1. Получены алгоритмы для решения двумерной задачи упругости модифицированным методом граничных элементов. Выписаны и протестированы выражения: перемещения внутренних точек, полученные аналитическим интегрированием функций влияния; компонентов тензоров деформаций, напряжений и градиентов напряжений, полученные аналитическим дифференцированием.

2. Показано, что благодаря максимальному распараллеливанию, решение задачи на первом и третьем этапах (счёт интегралов от функций влияния и компонент тензоров деформации и напряжений) получается практически без уменьшения скорости счёта при увеличении разбиения границы.

3. Проведено сравнение по времени счёта и точности полученных решений с решениями, полученных методом конечных элементов и аналитических решений для задач с особенностями.

4. На примере трёхмерной задачи теории упругости проведена модификация метода граничных элементов, заключающаяся в следующем: в МГЭ фиксируется точка влияния, а затем численным интегрированием компонентов тензора Грина (или функций влияния) определяется влияние каждого элемента границы на изменение физических или механических характеристик этой точки; в полученной модификации точка влияния берется произвольной, а фиксируется наиболее удобный базовый элемент границы, по которому один раз производится аналитическое интегрирование компонентов функций влияния, результатом которого являются функции от координат произвольной точки влияния. Выписаны алгоритмы полученных решений в явном виде.

5. Для описанной модификации доказано, что для блока из любого элемента границы и любой точки влияния найдется точка, составляющая блок с базовым элементом, такая, что результаты интегрирования по этим блокам будут иметь простую связь.

6. Показано, что получение решений в виде аналитических формул, удовлетворяющих основным уравнениям теории упругости, позволяют корректно считать физические и механические характеристики, определяемые через производные искомых.

7. Успешно проведено тестирование полученных алгоритмов для трёхмерной задачи теории упругости.

8. Получен алгоритм решения деформационно-диффузионной задачи для влияния диффундирующего водорода на рост напряжения около дефекта в теле подверженном растягивающим напряжениям.

9. В представленном алгоритме используется модификация МГЭ, благодаря которой градиент напряжений в околопоровой зоне получен с использованием только аналитических операций и является аналитической функцией.

10. Полученный алгоритм применён на примере упругой полосы, на которую действуют растягивающие напряжения и диффундирующий водород.

11. На примере решения задачи показано, что рост внутреннего давления, вызванного водородом, приводит к критическим значениям напряжения в околопоровой зоне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Привалова, Валентина Викторовна, 2006 год

1. Алейников, С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований Текст. / С.М. Алейников. - М.: Издательство «АСВ», 2000. - 754 с.

2. Андрейкие, А.Е. Пространственные задачи теории трещин Текст. / А.Е. Андрейкив. Киев.: Наук, думка, 1982. - 345 с.

3. Астафьев, В.И. Накопление поврежденности и коррозионное растрескивание металлов под напряжением Текст. / В.И. Астафьев, Л.К. Ширяева. Самара: СамГУ, 1998. - 123 с.

4. Арсенин, В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции Текст. / В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1966. - 366 с.

5. Афанасьев, К.Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах. Учебное пособие Текст. / К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. - 208 с.

6. Афанасьев, К.Е. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами Текст. / К.Е. Афанасьев, Т.И. Самойлова // Вычислительные технологии. Новосибирск, 1995. - Вып. 7 - №11. - С. 19-37.

7. Бенерджи, П. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Р. Батгерфилд. М.: Мир, 1984. - 494 с.

8. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды Текст. / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

9. Болотин, В.В. Трещиностойкость материалов и континуальная механика повреждений Текст. / В.В. Болотин // ДАН. 2001. - Т. 376, №6. - С. 760-762.

10. Бочкарев, А.О. О применении метода граничных элементов к геометрически нелинейным задачам теории упругости Текст. / А.О. Бочкарев // Веста. Ленингр. ун-та. Сер. 1. - 1996. - Вып. 3 - С. 62-64.

11. Бреббия, К. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Ж. Теллес, JI. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

12. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике Текст. / К. Бреббия, С. Уокер. М.: Мир, 1982. - 248 с.

13. Броек, Д. Основы механики разрушения Текст. / Д. Броек. Перев. с англ. - М.: Высшая школа, 1980. - 36 с.

14. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности Текст. / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

15. Верюжский, Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики Текст. / Ю.В. Верюжский. Киев: «Вища школа», 1978.- 183 с.

16. Взаимодействие водорода с металлами Текст. / В.Н. Агеев, И.Н. Бекман, О.П. Бурмистрова и др. М.: Наука, 1987. - 296 с.

17. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1967. - 436 с.

18. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления Текст. / В.В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

19. Воеводин, В.В. Некоторые машинные аспекты распараллеливания вычислений Текст. / В.В. Воеводин. Препринт. ОВМ АН СССР. - Москва, 1981.-22 с.

20. Вычислительные методы в механике разрушения Текст. / Ф. Эрдо-ган, А. Кобаяси, С. Атлури и др. М.: Мир, 1990. - 392с.

21. Галактионова, Н.А. Водород в металлах Текст. / Н.А. Галактионо-ва. М.: Металлургиздат, 1959. - 256 с.

22. Гелъд, П.В. Водород в металлах и сплавах Текст. / П.В. Гельд, Р.А. Рябов. М.: Металлургия, 1974. - 272 с.

23. Грибов, А.П. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений Текст. / А.П. Грибов, Н.И. Куканов // Вестник УлГТУ. 2001. - №3. - С. 60-71.

24. Грибов, А.П. Расчет гибких упруго-пластических оболочек прямым методом граничных элементов Текст. / А.П. Грибов, В.Г. Малахов // Вестник УлГТУ. 2001. - №3. - С. 71-76.

25. Громадна, П. Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах Текст. / П.Т. Громадка, Ч. Лей. -М.: Мир, 1990. 303 с.

26. Дьяконов, В. Maple 7 Текст.: учеб. Курс / В.Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

27. Екобори, Т. Научные основы прочности и разрушения материалов Текст. / Т. Екобори. Киев: Наукова думка, 1978. - 352 с.

28. Еременко, С.Ю. Метод равновесных граничных элементов в краевых задачах теории упругости Текст. / С.Ю. Еременко // ПММ, 1993. Т. 57, Вып. 6. - С. 69-78.

29. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в пространственных задачах теории упругости Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение. 1995. - №4-6. - С. 11-16.

30. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в задачах для бесконечных областей Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение. 1991. - № 10-12. - С. 3-7.

31. Жернаков, В. С. Метод граничных элементов в задачах термоупругости Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение, 1991. -N 1-3. -С.7-9

32. Зарубин, B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций Текст. / B.C. Зарубин. М.: Машиностроение, 1985. - 292 с.

33. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 542 с.

34. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация Текст. / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1987. - 318 с.

35. Зиновьев, Б.М. О вычислении сингулярных интегралов при численном решении задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений Текст. / Б.М. Зиновьев, А .Я. Александров // ДАН СССР, 1981. т. 257, №6.-С. 1328-1332.

36. Зиновьев, Б.М. Численное решение задач теории упругости для тел с разрезами Текст. / Б.М. Зиновьев, А .Я. Александров. // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - Вып 5. - С. 89-97.

37. Злоческий, А. Б. Методика экспериментального определения коэффициента интенсивности напряжений для поверхностных трещин Текст. / А.Б. Злоческий, П.П. Мельничук // Заводская лаборатория. 1984. - №4. - С. 59-63.

38. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды Текст. / А.А. Ильюшин. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.

39. Инспекция трубопроводов с помощью интеллектуальных дефектоскопов-снарядов Текст. / Б.Р. Павловский, X. Гедике, Р. Кизингер, Н.В. Холза-ков // Безопасность труда в промышленности, 1992. № 3. - С.15-18.

40. Карпенко, Г.В. Влияние среды на прочность и долговечность металлов Текст. / Г.В. Карпенко. Киев: Наукова думка, 1976. - 128 с.

41. Карпенко, Г.В. Прочность стали в коррозионной среде Текст. / Г.В. Карпенко. М.: Машгиз, 1963.- 187 с.

42. Ковалъчук, Б.И. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций Текст. / Б.И. Ковальчук, А.А. Лебедев, С.Э. Уман-ский. Киев: Наук, думка, 1987. - 278 с.

43. Колачев, Б.А. Водородная хрупкость металлов Текст. / Б.А. Кола-чев. М.: Металлургия, 1985. - 216 с.

44. Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением Текст. / В.Л. Колмогоров. М.: Металлургия, 1986. - 688 с.

45. Корн, Г. Справочник по математике. Определения, теоремы, формулы Текст. / Г. Корн, Т. Корн. СПб.: Издательство «Лань», 2003. - 832 с.

46. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения Текст. / М.Л. Краснов. -М.: Наука, 1975. 304 с.

47. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела Текст. / С. Крауч, А. Старфилд А. М.: Мир, 1987. - 328 с.

48. Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости Текст. / В.Д. Купрадзе. М.: Физматгиз, 1962. - 462 с.

49. Леонов, М.Я. Механика деформаций и разрушения Текст. / М.Я. Леонов. Фрунзе: Ильм, 1981. - 236 с.

50. Лурье, А.И. Теория упругости Текст. / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. - 940 с.

51. Маричев, А.А. Связь критической концентрации водорода и критического коэффициента интенсивности напряжений при водородном охрупчива-нии конструкционных материалов Текст. / А.А. Маричев // Физико-химическая механика материалов. 1984. - №3. - С. 6-14.

52. Матвиенко, Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения Текст. / Ю.Г. Матвиенко. М.: Физматлит, 2006. - 326 с.

53. Матросов, А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А.В. Матросов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

54. Механика водородного охрупчивания металлов и расчет элементов конструкций на прочность Текст. / А.Е. Андрейкив, В.В. Панасюк, Л.И. Поляков, B.C. Харин. // Львов.: Препринт №133. Физико-механический институт им. Г.В.Карпенко, 1987. 50с.

55. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966. - 432 с.

56. Мороз, Л.С. Водородная хрупкость металлов Текст. / JT.C. Мороз, Б.Б. Чечулин. М.: Металлургия, 1967. - 256 с.

57. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения Текст. / Е.М. Морозов, Т.П. Никишков. М.: Наука, 1980. - 256 с.

58. Мусхелишвши, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 709 с.

59. Науменко, В.В. Исследование концентрации упругопластических напряжений в бесконечной плоскости с разрезом методом граничных элементов в непрямой формулировке Текст. / В.В. Науменко, Е.А. Стрельникова // Журнал «Проблемы машиностроения», 1999. Т. 2.

60. Новацкий, В. Теория упругости Текст. / В. Новацкий. М.: Мир, 1975.-872 с.

61. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред Текст. / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

62. Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными Текст. / О.А. Олейник. М.: БИНОМ, 2005. - 260 с.

63. Орлов, В.А. Гликман Л.А. Влияние водорода на межкристаллитную прочность стали Текст. / В.А. Орлов, Л.А. Гликман // Физико-химическая механика материалов. 1965. - № 3. - С.299-305.

64. Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем Текст. / Дж. Ортега. М.: Мир, 1991. - 367 с.

65. Панасюк, В.В. О важнейших задачах исследований по физико химической механике конструкционных материалов Текст. /В.В. Панасюк // Физ.- хим. механика материалов, 1974. - № 4. - С. 75-80.

66. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости Текст. / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1977. - 312 с.

67. Партон, В.З. Методы математической теории упругости Текст. / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1981. - 688 с.

68. Перлин, П.И. Об одном применении расходящихся интегралов в задачах теории потенциала и теории упругости Текст. / П.И. Перлин // ПММ, 1993. Т. 57, Вып. 4. - С. 144-146.

69. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности Текст. /Б.Е. Победря. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 343с.

70. Полянин, АД. Справочник по линейным уравнениям математической физики Текст. / А.Д. Полянин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

71. Привалова, В.В. Параллельные алгоритмы для задач деформирования и разрушения Текст. / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Тр. международ, конф. Екатеринбург: 2003.-С. 21.

72. Привалова, В.В. Модификация метода граничных элементов для трёхмерных задач теории упругости Текст. /В.В. Привалова, В.П. Федотов,

73. Л.Ф. Спевак // Вестник УГТУ-УПИ . Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Сборник научных трудов.

74. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

75. Резников, Ю.Н. Возможности и проблемы применения метода граничных элементов в расчетах процессов объемной штамповки Текст. / Ю.Н. Резников // Вестник ДГТУ. Сер. Проблемы производства машин. Ростов н/Д, 2000. - С.92 - 97.

76. Резников, Ю.Н. О применении метода граничных элементов о математическом моделировании нестационарных в математическом моделировании нестационарных процессов деформации Текст. / Ю.Н. Резников, А.В. Вовченко // Металлы. 2002. - №6. - С.49-54.

77. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике Текст. / К. Ректорис. М.: Мир, 1983. - 712 с.

78. Саратори, М. Вычислительная механика разрушения Текст. / Пе-рев. с японск. под ред. Е.М. Морозова. / М. Саратори, Т. Миеси, X. Мацусита. -М.: Мир, 1986.-334 с.

79. Свойства элементов Текст. / М.Е. Дриц, П.Б. Будберг, Г.С. Бурха-нов и др. М.: Металлургия, 1985. - 672 с.

80. Свойства элементов. Ч. 1. Физические свойства Текст. / Т.В. Андреева, А.С. Болгар, М.В. Власова и др. М.: Металлургия, 1976. - 600 с.

81. Седов, J1.K Механика сплошной среды Текст.: в 2 т. / Л.И. Седов. -М.: Наука, 1970. Т 2. - 568 с.

82. Соколкж, Ю.В. Приложение метода граничных элементов к экспериментальному исследованию развития усталостных трещин Текст. /Ю.В. Со-колкин, А.А. Чекалкин, Е.М. Якушина // Математ. моделир. систем и проц., 1997.-N5.-С.115-120.

83. Стеклов, О. И. Стойкость материалов и конструкций к коррозии под напряжением Текст. / О.И. Стеклов. М.: Машиностроение, 1990. - 384 с.

84. Сызранцев, В.Н., Сызранцева К.В. Расчет напряженно-деформированного состояния деталей методами конечных и граничных элементов Текст. / В.Н. Сызранцев, К.В. Сызранцева. Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2000.- 111с.

85. Тараканов, В.И. Граничные вариационные уравнения в краевых задачах теории упругости Текст. / В.И. Тараканов. Изд-во Томск, ун-та, 1982. - 141 с.

86. Терещенко, В.Я. К вопросу обоснования вариационных формулировок метода граничных элементов Текст. / В.Я. Терещенко // ПММ, 1991. Том 55,№2.-С. 309-316.

87. Тетелъман, А. Водородная хрупкость сплавов железа. В кн. Разрушение твердых тел Текст. / А. Тетельман. М.: Металлургия, 1967. - С.463-499.

88. Тимошенко, СЛ. Теория упругости Текст. / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1979. - 560 с.

89. Трубицын, А.А. Вычисление сингулярных интегралов при решении задачи Дирихле методом граничных элементов Текст. / А.А. Трубицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. - Т. 35. -№4. - С. 532-542.

90. Угодчиков, А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. Изд. Казанского университета, 1986. - 296 с.

91. Фаддеева, В.Н. Параллельные вычисления в линейной алгебре Текст. / В.Н. Фаддеева, Д.К. Фаддеев // Кибернетика, 1977. № 6. - С. 28-40.

92. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров Текст. / С. Фарлоу. М.: Мир, 1985. - 384 с.

93. Хеллан, К. Введение в механику разрушения Текст. / К. Хеллан. -М.: Мир, 1988. 364 с.

94. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения Текст. / Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1974. - 640 с.

95. Численное моделирование упругой задачи на многопроцессорных вычислительных системах Текст. / В.Л. Гасилов, Т.Д. Думшева, Е.С. Зенкова,

96. В.П. Федотов // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений.- 2002. № 6. - С. 104-124.

97. Яненко, Н.Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики Текст. / Н.Н. Яненко // Параллельное программирование и высокопроизводительные системы. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980. - Ч. 1. - С. 135-144.

98. Aliabadi, М.Н. Applications in Solids and Structures Текст. / M.H. Ali-abadi // The Boundary Element Method. 2002. - Vol. 2. - 598 p.

99. Banerjee, P.K. Integral equation method for analysis of piece-wise non-homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape / P.K. Banerjee. // Int. J. Mech. Sci., 1976. v.18. - P. 293-303.

100. Brebbia, C.A. Fundamentals of Finite Elements Techniques for Structural Engineers Текст. / C.A. Brebbia, J.J. Connor. Butterworths, London, 1973.

101. Brebbia, C.A. Finite Elements Techniques for Fluid Flow Текст. / C.A. Brebbia, J.J. Connor. Butterworths, London, 1976.

102. Bombara, G. Two cases of stress cracking of pressure vessels in chemical plants Текст. / G. Bombara, M. Cavallini I I Brit. Corros. J., 1977. V. 12, № 4.- P.241-242.

103. Butterfleld, R. Integral techniques for solving zoned anisotropic continuum problems Текст. / R. Butterfleld, G.R. Tomlin // In Proc. Int. Conf. On Variational Methods in Engineering, Vol. 2. Southampton University Press, Southampton, 1972.

104. Cartwright, D.J. Underlying Principles of the Boundary Element Method Текст. / D. J. Cartwrigh. Witt Press. - Bucknell University USA. - 2001. - 296p.

105. Chang, Y.P. The use of fundamental Green's function for the solution of problems of heat conduction in anisotropic media Текст. / Y.P. Chang, C.S. Kang, D.J. Chen // Int. J. Heat Mass Transfer 16, 1973. P. 1905-1918.

106. Courant, R. Methods of Mathematical Phisics Текст. / R. Courant, D. Hilbert Interscience, New York, 1953.

107. Cracknell, A. The effect of hydrogen on steel Текст. / A. Cracknell // Chem. Eng. (Gr. Brit.), 1976. № 306. - P. 92-94.

108. Greminger, M.A. Deformable Object Tracking Using the Boundary Element Method Текст. / M.A. Greminger, В.J. Nelson // 2003 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR '03). Vol. 1 - P. 289.

109. Ingham, D.B. The Boundary Element Method for Solving Текст. / D.B. Ingham, Y. Yuan. Topics in Engineering. -Witt Press. - Vol. 19 - 1994. - 160p.

110. Kim, J. Discrete wavenumber boundary element method for 3D scattering problems Текст. / J. Kim, A. Papageogiou // J. Eng. Mech. ASCE, 119. - 1993.-P. 603-624

111. Lachat, J.C. Further developments of the boundary integral techniques for elasto-statics: Ph.D. thes / J.C. Lachat. Southampton Univ., 1975.

112. Morlett, J.G. A New Concept of Hydrogen Embrittlement in Steel Текст. / J.G. Morlett, H. H. Johnson, A. R. Troiano // Journal of Iron and Steel Institute, 1958.-Vol. 189.-P. 37.

113. Pian T.H.H. Basis of finite element method for solid continua Текст. / T.H.H. Pian, P. Tong // Int. J. Numerical Method Engng. 1, 1969. P. 3-28.

114. Pozrikidis, С A Practical Guide to Boundary-Element Methods with the software library BEMLIB Текст. / С. Pozdrikis. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. - 440 p.

115. Qin, Q.H. The Trefftz Finite and Boundary Element Method Текст. / Q. H. Qin. Witt Press. - Tianjin University, P.r. China. - 2000. - 296p.

116. Rashed, Y.F. Boundary Element Formulations for Thick Plates. Текст. / Y.F. Rashed. Topics in Engineering. - Witt Press. - Vol 35 - 1999. - 176p.

117. Reissner, E. A note on variational principles in elasticity Текст. / E. Re-issner. // Int. J. Solids Structures 1,1965. P. 93-95.

118. Rizzo, F.J. A method of solution for certain problems of transient heat conduction Текст. / FJ. Rizzo, D.J. Shippy // AIAA J. 8, 1970. P. 2004-2009.

119. Shaw, R.P. An integral equation approach to diffusion Текст. / Int. J. Heat Mass Transfer 17, 1974. P. 693-699.

120. Sims, C.E. Effect of Hydrogen on the Ductility of Cast Steels Текст. / C.E. Sims, G.A. Moore, D.W. Wiillims. // Transactions of the Metallurgical Society ofAIME, 1948.-Vol. Ill-P. 283.

121. Sladek, V. Singular Integrals in Boundary Element Methods Текст. / V. Sladek, J. Sladek. Witpress. - Advances in Boundary Elements, 1998. - Vol. 3 -448p.

122. Sofronis, P. Hydrogen transport and large strain elastoplasticity near a notch in alloy X-750 Текст. / P. Sofronis, J. Lufrano // Engineering Fracture Mechanics. 1998. - vol. 59. - № 6. - P. 827-845.

123. Wrobel, L.C. The boundary elements method for steady-state and transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // In Numerical Method in Thermal Problems. Pineridge Press, Swansea, Wales, 1979.

124. Wrobel, L.C. A formulation of the boundary elements method for axi-symmetric transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // Int. J. Heat Mass Transfer 24, 1981. P. 843-850.

125. Wu, J.C. Fundamental solutions and Boundary element methods Текст. / J.C. Wu. Atlanta: Computational Mechanics Publications. - Atlanta, 1987.

126. Wu, J. C. Fundamental solution and numerical methods for flow problems Текст. / J.C. Wu // International Journal for numerical methods in fluids. Atlanta, 1984.-vol. 4.

127. Zapffe, C.A. Hydrogen Embrittlement, Internal Stress and Defects in Steel Текст. / C.A. Zapffe, C.E. Sims // Transactions of the Metallurgical Society of AIME, 1941. Vol. 145 - P. 225.