Решение обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Венецкий, Александр Сергеевич

• Венецкий, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Венецкий, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО АМПЛИТУДНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ДВУМ ФАЗОВЫМ

ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПРОШЕДШИХ ПОЛЕЙ.

ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ИЛИ ПО ЗАКОНУ ОТОБРАЖЕНИЯ И

ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ТРЕМ ФАЗОВЫМ

ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПРОШЕДШИХ ПОЛЕЙ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией»

Актуальность темы.

Первые экспериментальные исследования плавно-неоднородных (градиентных) линз с коэффициентом преломления, зависящим от радиуса в цилиндрической системе координат, были сделаны в оптическом диапазоне в работах Экснера, Матиссена, Шотта и Вуда в конце 19-го - начале 20-го века [1].

Первые экспериментальные исследования неоднородных линз в СВЧ диапазоне электромагнитных волн были проведены Микаэляном [2], Келехером и Гоатлеем [3] в середине прошлого века. Однако в СВЧ диапазоне неоднородные линзы с осевой симметрией не нашли пока широкого практического использования в отличие от линз с центральной симметрией (линз Люнеберга). Это объясняется наличием у линз с осевой симметрией аберраций при смещении источника по углу, в отличие от линз Люнеберга, где такие аберрации полностью отсутствуют. С другой стороны, реализация неоднородных линз в диапазоне миллиметровых и сантиметровых волн требует гораздо более сложной технологии, чем реализация однородных линз с асферическими поверхностями, которые находят применение в этих диапазонах волн.

Реальное внедрение градиентных линз началось в оптическом диапазоне в 70-е годы для различных видов объективов, в частности для оптических систем для считывания и записи информации, медицинских эндоскопов и т.д., в связи с прогрессом в технологии ионной имплантации [4].

Параллельно экспериментальным исследованиям развивалась геометро-оптическая теория анализа и синтеза градиентных линз с осевой симметрией. Точное решение задачи синтеза линзы с плоскими поверхностями, радиальным законом изменения коэффициента преломления среды, одним фокусом на поверхности и другим в бесконечности было получено в работах [5,6]. В ряде книг [7,8,9] приводится точное решение для произвольного положения одного из фокусов. Однако, как показали наши исследования [10], это решение не является точным. К числу точных решений в рамках геометрической оптики относится полученное в [11] аналитическое решение для радиально-градиентного аксикона, который преобразует плоский падающий фронт в конический.

Начиная с 70-х годов, стали публиковаться работы, посвященные исследованию аберрационных свойств цилиндрических линз с радиальным градиентом [12-15, 21]. Рассматривались задачи расчета хода лучей и нахождения аналитических выражений для аберраций. Зависимость коэффициентов преломления задавалась в виде ряда по степеням расстояния от оси. Поверхности линз, как правило, предполагались плоскими или сферическими. В работах [14, 21] приведены выражения для аберраций 5 порядка, а в работе [15] - выражения для аберраций 7 порядка. Результаты этих работ позволяют находить до 4-х членов разложения коэффициента преломления по степеням расстояния от оси путем численной оптимизации.

В работах [16,17] получены частные численные решения задачи синтеза амплитудного и амплитудно-фазового распределения для двумерно-неоднородной среды с плоскими границами.

Другое направление применения геометрооптических методов для решения обратных задач связано с диагностикой неоднородных сред и структур (земной атмосферы, плазмы, градиентных волокон, линз и т.д. [18 - 20]).

Во всех этих работах использовалась непрерывная модель среды. Известны работы, где рассматривалось решение прямой задачи геометрической оптики для плоскослоистой среды, а для определения неизвестных параметров слоев использовались различные методы оптимизации [22].

Таким образом, в этих работах не описан метод, позволяющий находить по заданным преобразованиям фазы, амплитуды или закону отображения падающего и выходящего фронтов коэффициент преломления и (или) форму границ радиально-неоднородной среды. Поэтому разработка таких методов является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией и применение этих методов для решения задач определения коэффициента преломления, формы границ или того и другого одновременно, по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов, в рамках геометрической оптики.

Научная новизна результатов.

Для решения перечисленных выше задач были разработаны два метода. Первый из них основан на представлении коэффициента преломления и границ среды в виде рядов по степеням расстояния от оси симметрии среды и рекуррентной процедуре определения заданного числа неизвестных коэффициентов этих рядов. Второй - на использовании слоистой модели среды с постоянным или меняющимся по линейному закону значением диэлектрической проницаемости внутри каждого слоя, замене гладких границ среды на кусочно-линейные и рекуррентной процедуре определения диэлектрической проницаемости (коэффициента преломления), а также границ среды для каждого слоя.

В диссертациии впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням расстояния от оси по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.

В диссертации впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости, а также точек, описывающих границы среды по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным фазовым распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудным распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудно-фазовым распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально-неоднородной апланатической линзы с заданной формой одной из ее поверхностей.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы: а) при решении задач синтеза градиентных линз с требуемыми амплитудно-фазовыми характеристиками; б) при решении задач минимизации аберраций градиентных линз с асферическими поверхностями; в) при решении задач восстановления параметров (коэффициента преломления и формы границ) осесимметричных ограниченных радиально-неоднородных сред по амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших полей; г) при конструировании оптических и микроволновых систем, формирующих изображение; д) при конструировании оптических и микроволновых систем, обеспечивающих заданное распределение мощности на выходе.

Достоверность полученных результатов подтверждена решением соответствующих прямых задач в рамках геометрической оптики.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международном симпозиуме по электромагнитной теории, С.-Петербург, 1995, Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» ММЕТ-98 (Харьков), X Всероссийской школе «Волновые явления в неоднородных средах (Волны-2006)», Московском электродинамическом семинаре. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-градиентной среды с осевой симметрией, позволяющий получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням отношения расстояния от оси к осевой толщине.

2. Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-слоистой среды с осевой симметрией, позволяющий получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости внутри слоев, а также точек, описывающих границы среды.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения, Списка литературы и двух Приложений. В ней содержится 113 страниц текста, включая 40 рисунков. Библиография включает 22 наименования.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Венецкий, Александр Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны методы решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной (градиентной) среды с осевой симметрией и радиально-слоистой среды с осевой симметрией.

Разработанные методы были применены для решения конкретных задач: синтеза и диагностики среды по фазовому распределению на выходе для одного или нескольких положений источника, по амплитудному и амплитудно-фазовому распределению на выходе, по фазовому распределению и закону отображения фронтов.

В работе показано, что результаты решения обратной задачи для слоистой среды при уменьшении толщины слоев могут быть использованы и для градиентной среды и наоборот, результаты для градиентной среды могут быть использованы для мелкослоистой. При этом существует возможность комбинированного использования обеих моделей. Анализ показал, что решения для градиентной среды в окрестности оси на основе рядов работают лучше, чем решения для слоистой модели, но по мере увеличения расстояния от оси - наоборот (точность для слоистой модели падает медленнее). Это позволяет использовать до определенного радиуса апертуры решения на основе степенных разложений, а далее использовать решения на основе слоистой модели среды.

Одним из результатов работы является тот факт, что слоистая модель с постоянным значением коэффициента преломления в каждом слое хорошо работает для задач синтеза требуемого фазового распределения волнового поля (или задачи восстановления параметров среды по известному фазовому распределению на выходе). Однако, для задач синтеза заданного амплитудного распределения поля (либо определения параметров среды по известному амплитудному распределению на выходе) эта модель не обеспечивает достаточной точности при увеличении числа слоев. В этом случае приемлемые результаты дало использование слоистой модели с линейно-меняющимся квадратом коэффициента преломления в каждом слое. По-видимому, можно ожидать еще лучших результатов в случае использования слоистой модели с параболическим законом изменения квадрата коэффициента преломления внутри каждого слоя.

Представление параметров среды в виде рядов по степеням расстояния от оси является хорошим в том случае, если эти ряды являются быстро сходящимися. Если они сходятся медленно или расходятся, то их применение оказывается неэффективным. Улучшить точность решений в виде-рядов можно с помощью аппроксимации Падэ, вид которой определяется в каждом конкретном случае. В диссертации рассмотрен частный случай аппроксимации Падэ коэффициента преломления со степенным разложением в знаменателе.

Еще одно ограничение развитой в работе методики разложений связано с тем, что реальным параметром разложения является отношение расстояния до оси к осевой толщине среды. С уменьшением толщины среды сходимость степенных разложений ухудшается и поэтому для малых значений толщины надо применять другой вид разложения.

При решении обратных задач предполагалось, что фазовое или амплитудное распределение на выходе задается точно. При решении задач диагностики на практике эти распределения определяются в результате измерений и поэтому неизбежны ошибки (шумы). В диссертации вопрос о влиянии на решения задач диагностики ошибок измерений фазы или амплитуды не рассматривался.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Венецкий, Александр Сергеевич, 2007 год

1. Вуд Р. Физическая оптика : Пер. с англ. под ред. Д.С. Рождественского. -Л., М.: ОНТИ, 1936.-895 с.

2. Микаэлян А.Л. Линзовые антенны с переменным показателем преломления. МЭИС. 1951. Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн. наук.

3. Kelleher K.S., Goatley С. Dielectric Lens for Microwaves ."Electronics". 1955. Vol.28. №8. P.142-145.

4. Архипова Л.Н., Карапетян Г.О., Таганцев Д.К. Проблемы градиентной оптики. Изв. вузов. Приборостроение. - 1996. №5-6. С.31-61.

5. Микаэлян А.Л. Применение слоистой среды для фокусирования волн. ДАН СССР. 1951. Т. 81. №4. С.569-571.

6. Fletcher A., Murphy Т., Young A. Solutions of two optical problems. Proceedings of the Royal Society. Series A. April 1954. N1153. Vol.223. P.216-225.

7. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Антенно-фидерные устройства. 4.2. Изд. ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского. 1959. 552 с.

8. Зелкин Е.Г., Петрова P.A. Линзовые антенны. М.: - Сов. радио. 1974. -280 с.

9. Микаэлян А.Л. Оптические методы в информатике. М.: - Наука. 1990.232 с.

10. Венецкий A.C., Калошин В.А. Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией. Радиотехника и электроника 1991. Т.36. №12. -С.2301-2307.

11. Котляр В.В., Мелехин A.C. Преобразование Абеля в задачах синтеза градиентных оптических элементов. Компьютерная оптика. 2001. Вып. 22. С.29-36.

12. Kenichi Iga Theory for gradient-index imaging. Applied Optics. 1980. Vol.19. No.7. P.1039-1043.

13. Duncan T. Moore, Robert T. Salvage Radial gradient-index lenses with zero Petzval aberration. Applied Optics. 1980. Vol.19. No.7. P. 1081-1086.

14. Marchand E.W. Fifth-order analysis of GRIN lenses. Applied Optics. 1985. Vol.24. No.24. P.4371-4374.

15. Bociort F., Kross J. New ray-tracing method for radial gradient-index lenses SPIE. 1993. V. 1780. P.216-225.

16. Котляр B.B., Мелехин A.C. Расчет градиентного оптического элемента, выполняющего заданное преобразование светового поля. Компьютерная оптика. 2000. Вып. 20. С.37-40.

17. Котляр В.В., Мелехин А.С. Расчет составного градиентного оптического элемента, формирующего заданное распределение интенсивности. Компьютерная оптика. 2001. Вып. 21. С.92-95.

18. Dennis Gregoris, Keigo Iizuka Measuring cylindrically symmetric refractive-index profiles: a method. Applied Optics. 1983. Vol.22. No.3. P.424-429.

19. Кравцов Ю.А.,Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. - 304 с.

20. Ильин В.Г., Ремизов Н.В. Интерференционный метод измерения распределения показателя преломления в передающих изображение гра-данах. Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 10. №2. С. 105-110.

21. Степанов С.А., Грейсух Г.И. Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие градиентные и дифракционные линзы. Оптика и спектроскопия. 1996. Т.81. №4. С.698-701.

22. Тихонравов А.В., Трубецков М.К. Новые задачи многослойной оптики. Радиотехника и электроника 2005. Т.50. №2. - С.265-272.

23. Определение границе среды.108 .