Режимы связи оптических мод в диэлектрических резонаторах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дмитриев Алексей Андреевич

• Дмитриев Алексей Андреевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Дмитриев Алексей Андреевич

Реферат

Synopsis

Introduction

1 Coupling regimes of two dipole modes in a two-dimensional dimer

1.1 Multiple scattering theory and dimer scattering spectra

1.1.1 General formulation of multiple scattering theories

1.1.2 MST for light scattering on a system of infinite cylinders

1.1.3 Expressions for the scattered field and extinction cross-section

1.1.4 Scattering spectra of dielectric infinite cylinder dimers

1.2 Optical downfolding method and dimer eigenmodes

1.2.1 Dipole approximation

1.2.2 Optical downfolding

1.2.3 Study of the asymptotics and the dimer effective Hamiltonian

1.2.4 Conventional model of coupled oscillators

1.3 Analysis of energy exchange between the cylinders

1.3.1 Instantaneous Poynting vector analytical expressions

1.3.2 Time-averaged Poynting vector analytical expressions

1.3.3 Dipolar approximation for energy exchange

1.3.4 Tidal energy flux

1.4 Weak-to-strong coupling transition critical distance

1.5 Conclusions to Chapter

1.6 Scientific statement

2 Coupling regimes in dimer-like structures supporting more than two dipole modes

2.1 Linear trimer of infinite cylinders

2.1.1 Scattering spectrum

2.1.2 Eigenmodes of linear trimers

2.1.3 Fano resonance

2.2 Overlapped dimer of infinite cylinders

2.2.1 Scattering spectra

2.2.2 Eigenmodes of overlapped dimers

2.2.3 Direct coupling regime

2.3 Dimer of spheres

2.3.1 Dipole approximation for three-dimensional dimers

2.3.2 Scattering spectra

2.3.3 Kerker effect for dimers

2.3.4 Eigenmodes of three-dimensional dimers

2.3.5 Weak-to-strong coupling transition critical distance

2.4 Conclusions to Chapter

2.5 Scientific statement

3 Exceptional points and "P-pseudo-Hermiticity in dimers

3.1 Methods of exceptional point search

3.1.1 Analytical expressions for EPs in the dipole approximation

3.1.2 Recursive eigenfrequency sheet topology (REST) analysis

3.2 "P-pseudo-Hermiticity in dimers operating on dipole resonances

3.2.1 V-pseudo-Hermiticity in sphere and infinite cylinder dimers

3.2.2 Single-material dimer P-pseudo-Hermiticity implementation

3.3 Retardation-induced contrast-less exceptional point

3.3.1 Equations for contrast-less retardation-induced EP

3.3.2 Contrast-less retardation-introduced EP dimer parameters

3.3.3 Contrast-less EP and P-pseudo-Hermiticity

3.4 Conclusions to Chapter

3.5 Scientific statement

3.6 Scientific statement

4 Conclusion

Acknowledgements

Acronyms

References

Appendix A. Texts of author's main publications

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Режимы связи оптических мод в диэлектрических резонаторах»

Актуальность темы

Говорят, что система, состоящая из двух или более подсистем, взаимодействующих друг с другом, находится в различных режимах связи, если ее физика существенно меняется в зависимости от силы связи между подсистемами. Особенно интересен режим сильной связи, который был идентифицирован в физике элементарных частиц [1], статистической механике [2], магнетизме и спиновых волнах [3, 4], сверхпроводимости [5] и многих других областях физики.

В волновой физике режимы взаимодействия наиболее интенсивно изучаются при взаимодействии света с веществом [10] и, в частности, в установках резонаторной квантовой электродинамики [11]. Такие установки рассматривают квантовые эмиттеры, заключенные в электромагнитные резонаторы, например, созданные парами распределенных брэгговских отражателей [12]. Таким образом, образуются две подсистемы: квантовая подсистема, т. е. излучатель, и фотонная подсистема, состоящая из электромагнитных волн в резонаторе, настроенном на частоту межуровневых переходов излучателя. Первый часто можно рассматривать как одиночный электрон в двухуровневой системе, состоящей из основного и возбужденного состояний. Связь между фотонной и квантовой подсистемами осуществляется посредством межуров-невых квантовых переходов (поглощения и излучения фотонов). В таких установках экспериментально выделяются режимы слабой и сильной связи в зависимости от спектра излучения: в режиме слабой связи имеется только один резонансный пик при на частоте, соответствующей разности энергий основного и возбуждённого уровней, а в режиме сильной связи наблюдается так называемое расщепление Раби резонансных пиков, известное также как расщепление Аутлера-Таунса. На рис. 1 (а) показаны такие спектры для перехода между режимами слабой и сильной связи [6]. В установках, где частота резонатора изменяется, переход от слабой связи к сильной также известен как переход от пересечения к антипересечению [13]. Недавно в системах резонаторной КЭД с несколькими излучателями были обнаружены

Experiment

Theory

(а)

1.484 1.4

Энергия, мэВ

(б)

Я

э

(-Н ^ 0.1

К

ffl S

4 К »■»

^ а-01

Я

¡Т> -0.2

ш 1j:i

СП 0.8 0.6

ей 114 «

К 0.0

д

Qspit = 1594

^strong = I777 °2peak = 2383

О $2ехо= 970

......._...... Strong coupling

Добротность

CM>

C\S,1).

w0 -i^lf-

wo - i Yf

C|e,0)

c\s,r>

(г)

III

lllll III

500 700 900

Длина волны, нм

(д)

- / cf

1.350W S>

3? <V

¡3 Частотная отстройка,

с?

Теория режимов связи оптических мод в диэлектрических резонаторах

(е) ю

"Ai" wi - ¿7 g "Ai

A2 g W2 + ¿7 A2

Рисунок 1 — Режимы связи оптических систем. (а) Экспериментальные спектры пропускания двух квантовых эмиттеров в планарном микрорезонаторе [6]. (б) Собственные энергии и ширины линий, предсказанные моделью Джейнса-Каммингса [6]. (в) Экспериментальные спектры рассеяния света парами кремниевых нанопроводов, разделённых различными промежутками [7]. (г) Рамки настоящей работы. (д) Спектры отражения слоистой структуры из слоёв с усилением и потерями, разделённых связывающим слоем [8]. (е) Собственные частоты двухуровневого гамильтониана с контрастом усиление-потери 7 [9]

Weak coup line

000

9

9

w

и иные режимы связи, такие как режимы сверхсильной и глубокой сильной связи [14, 15].

Теория, описывающая переход между режимами сильной и слабой связи в резонаторной КЭД, хорошо известна, и в простейшем случае ее можно записать в виде гамильтониана 2 х 2, показанного на вставке к рис. 1 (б), которая может быть получена из модели Джейнса-Каммингса [6]. Сила связи д сравнивается с потерями в системе, состоящими из резонаторных потерь 7сау и эмиссионных потерь 7^. Если сила связи больше этих 7сау и 7^, то наблюдается расщепление собственных частот, указывающее на режим сильной связи (см. рис. 1 (б)).

Здесь необходимо отметить важное значение потерь: в системах без потерь, описываемых эрмитовыми гамильтонианами, существует только режим сильной связи, т. е. любая связь между подсистемами, сколь бы малой она ни была, неизменно приводит к расщеплению собственных частот системы. Хорошо известным примером этого является задача о двух квантовых ямах: их собственные состояния неизменно гибридизуются, порождая симметричное и антисимметричное состояния [16]. Следовательно, имеет смысл различать режимы связи только в системах с потерями, которые описываются неэрмитовыми гамильтонианами. Неконсервативные системы, состоящие из двух связанных резонансных состояний, можно описать следующим 2 х 2 неэрмитовым гамильтонианом

4 =

их - «71 д

д ш- - «7-2

(1)

Хорошо известен частный случай, при котором данный гамильтониан является Р-псевдоэрмптовым (Н^ = РННV-1) по отношению к оператору Р с матричными элементами Р^ = 1 — [17, 18]. В этом случае, резонансные частоты должны быть одинаковыми (ш1 = и2 = ш0), в то время как потери должны иметь разные знаки (т.е., имеются и потери, и усиление, 71 = —72 = 7):

Н =

ио - «7 д д* шо + ¿7

(2)

В частоности, этим гамильтонианом описываются фотонные системы, подчиняющиеся симметрии четности-времени (РТ) [19, 20, 21]. Его собственные

частоты легко получить, решив уравнение Шрёдингера det(lН - ш!^

= 0:

ш± = Шо + у ^ - 72, (3)

таким образом, можно выделить следующие различные режимы связи. Если сила связи |д| превышает контраст усиление-потери 7, наблюдаются две различные вещественные собственные частоты, см. рис. 1 (е). Это режим сильной связи [21], который также известен как режим ТТ симметрии в фотонике [20, 22]. Если контраст усиление-потери 7 превышает константу связи д, то в системе имеются две комплексные собственные частоты с одинаковой вещественной частью, поэтому в экспериментальных спектрах расщепления не наблюдается, см. рис. 1 (д). Это режим слабой связи [21], также известный как разрушение ТТ симметрии [20]. Между этими двумя режимами, когда |д| = 7, существует так называемая исключительная точка (ЕР), в которой гамильтониан становится недиагонализуемым [21, 23]. В этой точке он превращается в жорданову клетку, поэтому его собственные векторы вырождаются вместе с собственными значениями, что приводит ко большому количеству уникальных физических явлений [21, 24].

В эксперименте фотонные системы, описываемые Р-псевдоэрмитовым гамильтонианом (2), реализуются путем помещения друг рядом с другом резонаторов с потерями со резонаторами реализующими усиление за счёт стимулированного излучения под накачкой. Большинство изученных резонаторов, таких как кольцевые или дисковые резонаторы [25], слоистые системы [8] и системы связанных волноводов [26], имеют размеры, значительно превышающие длину волны, что позволяет пренебречь радиационными потерями, что значительно упрощает их теоретическое описание. Напротив, системы, размеры которых сравнимы с длиной волны, сложны для теоретического рассмотрения [27].

Имеется ряд экспериментальных работ, в которых феноменологически выделяется режим сильной связи в фотонных системах, состоящих из диэлектрических резонансных частиц, расположенных близко друг к другу, что проявляется в расщеплении резонансного пика [7, 28, 29, 30, 31]. По мере удаления резонаторов друг от друга пики сливаются, см. Рис. 1 (в). В то же время на данный момент не существует как единого определения режима

сильной связи в таких системах, так и критериев его формирования. Трудность выделения различных режимов связи связана с тем, что в отличие от резонаторной КЭД, где рассматриваются электрон и фотон, в системе связанных фотонных резонаторов все резонансные состояния, коих несколько, являются в сущности одной и той же частицей — фотоном. Из-за этого, во-первых, коэффициент связи содержит функцию Грина электромагнитного поля и, следовательно, становится частотно-зависимым [32]. Как следствие, эффективный гамильтониан такой системы зависит от собственного значения, что требует особого подхода [33, 34]. Во-вторых, связь между резонаторами и основной канал потерь в системе являются проявлениями одного и того же процесса — радиационного затухания, поэтому связь и потери нельзя рассматривать независимо. Следовательно, модели, разработанные в рамках резонаторной КЭД, не позволяют идентифицировать режимы связи в системах резонансных диэлектрических частиц.

Целью диссертационной работы является построение теоретического описания режимов связи оптических мод в комплексах из диэлектрических резонансных частиц.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. исследовать режимы связи оптических мод в простой структуре, поддерживающей пару резонансных состояний — димере из бесконечных цилиндров;

2. исследовать режимы взаимодействия оптических мод в димероподобных структурах, поддерживающих более двух резонансных состояний;

3. исследовать режимы взаимодействия в симметричных по четности ди-мероподобных структурах и возникновение исключительных точек.

Научная новизна

1. Впервые исследована зависимость характерного расстояния, на котором возникает расщепление резонансных частот в спектрах рассеяния димеров цилиндров, от показателя преломления.

2. Впервые получена аналитическая модель, описывающая рассеяние на димере перекрывающихся цилиндров.

3. Впервые построена аналитическая модель, описывающая появление исключительных точек в димерах без контраста усиление-потери.

4. Впервые был разработан дизайн димера, изготовленного из одного материала, реализующего исключительную точку с нулевым затуханием.

Фундаментальная и практическая значимость

Фундаментальная значимость работы состоит в выяснении условий возникновения резонансного расщепления нормальных мод димеров. Ранее не существовало критерия, позволяющего прогнозировать появление расщепления пиков. Особенно важно различать слабые и сильные связи в топологической фотонике. Например, простая цепочка осцилляторов с чередующейся слабой и сильной связью характеризуется появлением топологических краевых состояний. Однако для реализации этого эффекта в диэлектрических частицах ранее не было возможности определить условия, при которых реализуется слабая или сильная связь. Кроме того, понимание критериев образования синфазных мод между двумя рассеивателями может пролить свет на формирование синфазных мод в системах с большим количеством частиц и, в конечном счете, на условия делокализации мод.

Практическая значимость работы состоит в создании метода определения расстояния, на котором возникают нормальные моды между метаатомами, что необходимо для разработки метаматериалов, которые найдут применение в перспективных устройствах фотоники. В частности, для подбора необходимой фазы рассеяния можно использовать различные комбинации нормальных мод, поэтому димеры и олигомеры могут выступать в качестве «кирпичиков» для дизайна метаповерхностей, которые легче изготовить, поскольку используется только одна форма частиц, но оптический отклик управляется расстояниями между частицами. Кроме того, собственные моды димеров образуют точки локального усиления электрического и магнитного поля, что позволяет реализовывать более чувствительные сенсоры без применения металлов.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. В димерах бесконечных цилиндров выделяются режимы сильной и слабой связи дипольных оптических мод. Режим сильной связи характеризуется расщеплением резонансов в спектрах рассеяния. Расстояние между центрами цилиндров, соответствующее переходу от сильной связи к слабой, зависит от показателя преломления цилиндра линейно.

2. В перекрывающихся димерах бесконечных цилиндров реализуется режим прямой связи оптических мод, который описывается как результат взаимодействия собственных мод отдельных цилиндров с третьим нерезонансным эффективным рассеивателем, находящимся в центре области перекрытия.

3. Исключительные точки появляются в димерах сфер с одинаковыми размерами, показателями преломления и коэффициентами экстинкции из-за радиационных потерь энергии в свободное пространство и запаздывания в коэффициенте связи между частицами, который зависит от частоты.

4. "Р-псевдоэрмитовость, где оператор V меняет знаки декартовых координат, возможно реализовать в димере из заполненного и полого цилиндра, изготовленных из одного и того же материала, являющегося активной средой. Размер отверстия отвечает за контраст усиление-потери, а баланс между усилением и потерями достигается за счет правильного подбора коэффициента экстинкции материала.

Основные методы исследования

Для решения поставленных задач был использован комплекс аналитических методов, в том числе формализм диадных функций Грина, теория многократного рассеяния для оптики, также известная как метод связанных мультиполей, в том числе метод связанных диполей (в данной работе называемый приближением связанных диполей).

Также использовался ряд численных методов, в основном реализованных

автором на языке программирования MATLAB. Численное решение нелинейных задач на собственные значения выполнялось либо путем поиска корня комплексной функции с использованием интегральной формулы Коши, либо путем поиска нулей целевой функции с использованием ряда минимизаторов функций из Optimization Toolbox программного пакета MATLAB (в основном fminunc и fminbnd). Численное решение однородных матричных уравнений для нахождения собственных векторов нелинейной задачи на собственные значения проводилось с использованием сингулярного разложения в пакете программ MATLAB.

Моделирование рассеяния света на системах резонансных диэлектрических частиц проводилось либо с использованием теории многократного рассеяния, либо путём решения уравнений Максвелла из первых принципов при помощи численного моделирования. Для двумерных задач использовалась авторская реализация теории многократного рассеяния с параллелизацией вычислений на графическом процессоре при помощи набора инструментов Parallel Toolbox программного пакета MATLAB. Для задач трехмерного рассеяния использовалась реализация теории многократного рассеяния с открытым исходным кодом под названием SMUTHI, а также авторская реализация метода связанных диполей. Наряду с теорией многократного рассеяния использовалось решение уравнений Максвелла из первых принципов при помощи метода конечных элементов в программном пакете COMSOL Multiphysics.

На основе перечисленных выше методов автором были разработаны два оригинальных подхода: метод оптического сворачивания уровней (downfolding) для нахождения полного набора собственных мод вплоть до заданного номера моды в олигомерах диэлектрических частиц с использованием метода связанных мультиполей; и рекурсивный анализ топологии листов собственных частот, который позволяет находить исключительные точки с помощью моделирования методом конечных элементов.

Достоверность полученных теоретических предсказаний подтверждается их сравнением с численным моделированием и экспериментальными результатами полученными другими исследователями.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на одиннадцати ведущих международных и всероссийских конференциях, симпозиумах и школах, включая следующие: Nanophotonics and Micro/nano Optics International Conference NanoP, (Munich, 2019), International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO (Санкт-Петербург, Россия, 2019; онлайн, 2020 и 2021), Российская конференция по физике полупроводников (Новосибирск, Россия, 2019), Современные проблемы теории конденсированного состояния (Дубна, Россия, 2022), Всероссийская конференция «Технологии и методики Keysight PathWave Design в проектировании и преподавании» (Томск, Россия, 2022), Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, Россия, 2021), Международная зимняя школа по физике полупроводников ФТИ им. Иоффе (Зеленогорск, Россия, 2023), Международная молодежная конференция Фи-зикА.СПб (Санкт-Петербург, Россия, 2020), Annual International Conference Days on Diffraction (Санкт-Петербург, Россия, 2018); а также на семинарах в Городском университете Нью-Йорка (City University of New York, онлайн, 2021), университете ИТМО (Санкт-Петербург, Россия, 2019).

Личный вклад автора

Все результаты, представленные в диссертации, автор получил исключительно собственными усилиями или своим решающим вкладом. Им были проведены все аналитические и численные расчеты, представленные в диссертации, включая спектры рассеяния димеров, собственные моды и правила отбора для их возбуждения, а также формулировку и решение уравнений для исключительной точки и условий V-псевдоэрмитовости в димерах.

Рукописи всех одиннадцати работ, на которых основана диссертация, оформлялись с определяющим участием соискателя, что, как и его определяющий вклад в научную составляющую работ, подтверждается его первым авторством.

Содержание диссертации и научные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в работу.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы. Объём работы составляет 242 страниц, включая 26 рисунков. Список используемой литературы содержит 78 наименований. Список наиболее важных публикаций соискателя содержит 11 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится анализ современного состояния теоретических и экспериментальных исследований режимов связи оптических мод в фотонных структурах, показывается актуальность работы.

В первой главе изучаются режимы связи двух оптических мод в 2Э-димере ввиду простоты задачи, обусловленной тем, что ТЕ- и ТМ-поляризации в 2Э-задачах не взаимодействуют и могут рассматриваться независимо. Сначала рассматривается димер бесконечных эквивалентных цилиндров радиуса Л, изготовленных из диэлектрика с показателем преломления п. С помощью теории многократного рассеяния получены спектры рассеяния димера, освещенного плоскими волнами ТЕ и ТМ-поляризации, для различных расстояний ё, между осями цилиндра. Эти спектры показаны на рис. 2 (а) для димера с п =10, освещенного в ТМ-поляризации, в которой вектор электрического поля, параллелен осям цилиндров. На больших расстояниях между цилиндрами наблюдается только резонанс Ми, модулированный осцилляциями, соответствующими Фабри-Перо-подобным модам, а на малых расстояниях наблюдаются два резонансных пика, соответствующие гибридизованным модам. Широкий пик на более низкой частоте соответствует симметричной моде, а острый пик на более высокой частоте соответствует антисимметричной моде. Расщепление частот между этими пиками увеличивается с уменьшением расстояния между цилиндрами. Поэтому наличие режима сильной связи оптических мод можно определить по спектрам рассеяния. Однако из-за того, что пики имеют разную ширину и амплитуду, строгий критерий, позволяющий различать расщепленные и перекрывающиеся пики, не может быть однозначно введен. Поэтому вместо них были введены нижняя и верхняя

(а)

о

--ТМ-

■й — 150Я ........

й — 50Я гя*""^ й — 25Я

й — 12Я —• у й — й-

и — (И _—-» / " ■- '_/V

й — 5Я—'' Ч. " ' "" '

(б)

"в'

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Безразмерная частота кЯ

14 12 10

8 ' 6 4 2 0

Прибл. постоянной связи Точное решение связи X д Расщепление пиков --Ближневое прибл.

2 4 6 8 10

Показатель преломления п

Рисунок 2 — Появление режима сильной оптической связи мод в димерах бесконечных цилиндров. (а) Спектры рассеяния димера бесконечных цилиндров из диэлектрика с показателем преломления п =10 при освещении плоской волной ТМ-поляризации, рассчитанные с использованием теории многократного рассеяния. (б) Зависимость критического расстояния перехода в режим сильной связи от показателя преломления цилиндра. Рисунок воспроизводится по результатам публикации [А1]

0

границы расстояния соответствующие появлению провала между резонансными пиками (в данном случае они четко расщеплены) и слиянию в один резонансный пик с симметричной формой линии (в этом случае расщепления нет) соответственно.

Эти границы показаны треугольниками, обращенными вверх и вниз, на рис. 2 (б) для димеров с показателями преломления п, изменяющимися от 3 до 10, освещенных в поляризациях ТЕ и ТМ. Можно отметить, что расстояние, соответствующее переходу в режим сильной оптической связи мод, линейно увеличивается с ростом показателя преломления.

Из-за отсутствия строгого критерия перехода к режиму сильной оптической связи в спектрах рассеяния были изучены собственные частоты димеров. Для их получения был предложен оригинальный метод, названный «оптическим сворачиванием». Слово «сворачивание» ^ошпЮЫ!^) здесь было заимствовано из исследований антиферромагнитного порядка и означает „отвязать высокоэнергетические блоки в гамильтониане низкоэнергетических, которые предствляют основной интерес, рассматривая первые как объединён-

ное возмущение" [3]. В димерах каждая мультипольная мода одного цилиндра (дипольная, квадрупольная и т.д.) связана с каждой мультипольной модой другого цилиндра. Поэтому для упрощения задачи нахождения собственных частот «сворачивание» выполняется путем строгого решения задачи связанных осцилляторов только для низкочастотных мод, рассматривая высокочастотные моды как возмущение.

Сначала задача диполь-дипольной связи решается численно. Она описывается 2 х 2 эффективным гамильтонианом. Однако, поскольку недиагональный элемент содержит функцию Грина, сам гамильтониан зависит от собственной частоты. Более того, поскольку функция Грина является осциллирующей, существует бесконечное число собственных частот, каждая из которых соответствует Фабри-Перо-подобным модам с различным числом нулей поля на плоскости, проходящей через оси цилиндров. Чтобы решить это уравнение численно таким образом, чтобы охватить все собственные частоты в заданной спектральной области, сначала рассматривается предел бесконечно разделенных цилиндров ((! ^ то), где функция Ханкеля может быть заменена экспонентой. Таким образом, все собственные частоты оказываются примерно на расстоянии Аш = ъс/(1 и могут быть найдены численно, не пропустив ни одного решения. Затем расстояние ё, адиабатически уменьшается до ё, = 2Д, и на каждом шаге пересчитываются собственные частоты, таким образом, чтобы собственные частоты, соответствующие разным модам, не перепутались. Описанная процедура позволяет получить все решения диполь-дипольной задачи, показанные тонкими линиями на рис. 3 для димеров с показателем преломления п = 4 в ТЕ и ТМ поляризациях.

Далее вклад, соответствующий высшим мультиполям, вводится как возмущение следующим образом. На большом расстоянии ё, и на частотах, далеких от высших мультиполей, размер матрицы связанных мультиполей увеличивается, чтобы учесть все необходимые мультиполи. Затем комплексные частоты, при которых его определитель равен нулю, ищутся в области ш е (ша — пс/2<Л; ша + к с/2(1), где ша — каждая собственная частота полученная в результате решения диполь-дипольной задачи. Оказывается, что высшие мультиполи действительно не сильно влияют на собственные частоты, поэтому решения можно найти в заданных областях. Затем расстояние ё, снова адиа-

-Оптическое сворачивание, диполи+квадруполи

— Оптическое сворачивание, только диполи О Первопринципное моделирование

Рисунок 3 — Комплексные собственные частоты димера бесконечных цилиндров из германия (п = 4) для ТМ (а) и ТЕ (б) поляризаций. Кривые демонстрируют результаты, полученные в дипольном приближении (/тах = 0, тонкие линии) и с учетом квадруполей (/тах = 1, толстые линии). Кружками показаны комплексные собственные частоты, полученные в результате моделирования методом конечных элементов. Пунктирные линии соединяют участки одной и той же кривой частоты моды, разрезанной при 1ш{кЩ = —0.2. Рисунок воспроизводится по результатам публикации [А2]

батически уменьшается. Результаты показаны толстыми линиями на рис. 3. Для проверки метода собственные частоты были также вычислены методом конечных элементов. Полученные собственные частоты показаны кружками на рис. 3 и совпадают с результатами метода оптического сворачивания.

Рассматривая комплексные собственные частоты как зависимость от расстояния ё, между осями цилиндров, показанную на рис. 3, можно заметить, что при ё, < 10Я кривые собственных частот начинают проявлять спиральную форму, которая более выражена для ТЕ-поляризации. Для более детального изучения была рассмотрена ТЕ-поляризация и увеличен показатель преломления до п = 10. Полученные для этого случая собственные частоты показаны на рис. 4 (а). Можно отметить три четко выраженные области в зависимости от расстояния между цилиндрами: при ё, > 140Л существует ряд различных собственных частот, которые при фиксированном ё, распределены вдоль

Рисунок 4 — Собственные частоты димера бесконечных цилиндров (показатель преломления п = 10, ТЕ-поляризация). (а) Комплексные собственные частоты шЯ/с = Е — ¿Г как зависимость нормированного расстояния между осями цилиндра. (б) Действительные части собственных частот в зависимости от расстояния Рисунок воспроизводится по результатам публикации [А1]

действительной оси частот практически равномерно. При 3Я < (I < 140Д существуют две различные собственные частоты, которые имеют четкую спиралевидную форму, закрученную вокруг полюса рассеяния, соответствующего дипольному резонансу Ми. Наконец, при ё, < 3Я эти две собственные частоты расталкиваются на расстояние, значительно превышающее средний радиус спирали. Это сопровождается появлением резонансного расщепления пиков в спектрах рассеяния димера, поэтому данный диапазон расстояний соответствует режиму сильной связи оптических мод. Оказывается, что расстояние, соответствующее первому пересечению вещественных частей собственных частот (см. рис. 4), наиболее точно соответствует появлению расщепления в спектрах. Зависимости данного расстояния от показателя преломления для ТЕ и ТМ поляризаций показаны сплошными линиями на рис. 2 (б).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дмитриев Алексей Андреевич, 2023 год

œ - &c

rc = lim i(& -&c )üc,

(3)

in the vicinity of the scattering pole, where Tc is the oscillator strength.

Next, we consider a hollow cylinder, which can be treated as a core-shell particle. By matching the boundary conditions on the interfaces, one may arrive at the following formula for the scattering Lorenz— Mie coefficient of a hollow cylinder with a shell refractive index n, external radius Rc and internal radius Rh:

ah =

rp(c)rp(h) T(c)T(h) — T 21 T11 T22 T 21

T(c)T(h) T(c)T(h) ' T11 T11 "+" T12 T 21

(4)

where

T1(1h) = ñ H

(1)(ñ J) - H¡lh(ñt)J, (Ç),

where ( is the dimer complex eigenfrequency, roc,h are the scattering poles of each scatterer (a cylinder and a hollow cylinder) in the dimer and rc h are the respec-

T1(2h) = ñH<1)(fÇ)H<1)-(Ç) - H<1)-(fÇ)H<1)(Ç),

T(1h) = J'M)J, (Ç) - ñ J, (ñ&fá),

and = œ Rh /c.

To find the scattering poles, we once again equate the denominator of the scattering coefficient to zero:

■(cWh) 11 J11

■(cWh)J

y(c)yl

-I- J12 T21

= 0.

ira=®h

(5)

By solving this equation for (, we can obtain the shell refractive index n and the hollow radius Rh, which correspond to a hollow cylinder having a scattering pole at the frequency (h = ( - iyh. Then the scattering coefficient ah may be approximated in the vicinity of the pole in the same manner as in Eq. (3).

Let us study the dependence of the radiative loss with the hollow radius. Figure 2a,b show the dependences of the eigenfrequency ( h and the eigenstate damping rate jh of hollow cylinders with various refractive indices on the diameter of the hollow, while Fig. 2c shows the corresponding oscillator strengths rh. The losses can be seen to increase with increasing the hollow diameter. To distinguish between the increase of the radiative loss and the decrease of the gain medium volume, gain media (k < 0, shown with solid and dashed lines), zero-loss zero-gain media (k = 0, shown with dotted lines) and absorptive media (k > 0, shown with dash-dotted lines) have been studied. In all three cases, the losses increase while the medium volume decreases, therefore this increase can be attributed to the radiative loss.

The increase in the radiative loss is accompanied by a frequency shift, as can be seen from Fig. 2a. As we are interested in introducing a gain-loss contrast without a frequency shift, a scale transformation should be applied to the hollow cylinder to alleviate the frequency shift.

Let us now analyze the eigenfrequencies of a dimer composed of a cylinder and a hollow cylinder. The Hamiltonian is dependent on its eigenvalues, making the equation for the eigenfrequency non-quadratic. Therefore, to find the dimer eigenfrequencies, one has to search for the zeros of the function f ((), which is defined as follows

f ((») = det(œI - H).

(6)

/((sep) = 0,

f '(©ep) = 0.

(7)

1.5

s

3

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.4 0.3

«

0.2 0.1

J - ' /P'

— k = -0.5"

0 0.2 0.4 0.6 0.8 RJRC

Fig. 2. (Color online) Dependences of the dipolar scattering pole of an infinite hollow cylinder made of a dielectric with a complex refractive index n = n + i k on the hollow radius (Rh), respective to the external radius (Rc): resonant frequency (a), resonant state damping rate (b) and oscillator strength (c). TE polarization, refractive indices n = 2 and n = 4, and extinction coefficients k = -0.5, -0.4, ..., +0.1 considered.

Solving this equation system for the scattering poles fi)c h, one arrives at the following expression

®c,h = ®ep - ^rcrh

T±

T2 +.

1

rx

h

(8)

We search for the exceptional point, which is the point where two or more eigenfrequencies coalesce. Using a Taylor expansion, one may easily demonstrate that such a point c»EP satisfies the following conditions

where A = H^'O^pd/c) and t = (d /c)H1(1)((BEPd/c). Using Eq. (8), one may find the scattering poles of the particles, which, placed at the distance d, will form a dimer that is at the exceptional point, i.e., only has one eigenmode at the frequency (SEP instead of a pair of eigenmodes at different frequencies.

Using Eq. (8), we find the scattering poles of a dimer that is expected to have an exceptional point at the frequency (d = 1.186c/R„ (which corresponds to the vacuum wavelength 530 nm and the cylinder radius Rc = 100 nm). We also fix the distance between

(b)

0.1-

o 0.05-

0-

-0.05-

0.1

■s

is

o «

g

gl tu

s

0 ' ' ' ' R, = 1.286RC

Oo ........ -•---Ä„ = 0.9Ä,

OO ____—Rh = 0.8R,

©o Rk = 0.6R,

J aV Rh = 0.4 R,

©o ^^ - R,= 0.25 R,

J R* = 0

0.8 1

1.2 1.4 1.6

(ùRJc

1.8

Fig. 3. (Color online) Eigenfrequencies of a dimer consisting of a hollow and filled cylinders, as the dependence of the complex detuning 8ra - /8y on the exceptional point: eigenmode frequency (a), eigenmode damping rate (b).

the centers at d = 4.65R, which leads to a purely imaginary difference between the scattering poles, necessary for the PT symmetry regime. The following scattering poles are then found from Eq. (8): fi)c = (1.19 + 0.0642/)c/R, which corresponds to n = 1.99 - 0.488/, and ( = (1.19 - 0.161i)c/Rc. In order to match the frequencies oc and oh, the hollow cylinder has been upscaled, so that its external radius would become Rs = 1.286R., where Rc is the radius of the filled cylinder. The hollow radius corresponding to the scattering pole at (oh is Rh = 0.8Rs. The oscillator strengths of the cylinders then become rc = 0.28 and rh = 0.317.

These values have been substituted into the effective Hamiltonian at Eq. (1). Then, to check if the system is indeed at the exceptional point, a symmetric frequency detuning 8(0 = Sro - /Sy was introduced into the scattering poles given by Eq. (8): (oC = (1.19 + 0.0642/)c/R + 8(0/2, and ( = (1.19 -0.161/)c/R - 8(o/2. The eigenfrequencies (o± = -iy± of the Hamiltonian were then sought for, as the dependence of the complex detuning S(o. The resulting eigenfrequency sheets, shown in Fig. 3, display the topology resemblant of the Riemann surface of a complex square root function, which is a characteristic fea-

Fig. 4. (Color online) Spectra of the outflowing energy of the dimer of hollow (radius Rs) and filled (radius Rc ) cylinders made of a gain medium with a refractive index n = 1.99 - 0.488; illuminated by a plane wave, as dependences of the hollow radius (Rh). TE polarization.

ture of an exceptional point [1, 3, 4]. We also note that, when only the gain—loss contrast is varied (Sro =0), a behavior similar to the PT symmetry is observed. When the gain—loss contrast is decreased compared to its value at the exceptional point, the dimer has two purely real eigenfrequencies. Increasing the gain—loss contrast, in turn, leads to the PT symmetry breakinglike behavior, where a damped (y± < 0) and an amplifying (y± > 0) modes exist at the same frequency (o± = ®EP). We, however, note, that the dimer itself does not possess the PT symmetry in the rigorous sense: because of a different geometry of the scatterers (a filled and a hollow cylinder), the composition of a parity and a time inversion transformations would yield a different system compared to the dimer considered.

Finally, we consider the scattering spectra on the dimer made of a gain medium with a refractive index n = 1.99 and the extinction coefficient k = -0.488, consisting of a cylinder with a radius Rc and a hollow cylinder with the external radius Rs = 1.286RC. To obtain the scattering spectra, we use the multiple scattering theory described elsewhere [13—24], considering only the dipolar contribution. The excitation is a plane wave with an incidence direction normal to the plane passing through the axes of the cylinders. As the dimer is made of a gain material and exists at a radiant regime, we consider the outflowing energy, which we define as the extinction cross-section taken with the negative sign. The spectra are shown in Fig. 4 as a dependence of the hole radius. Decreasing the hole size leads to a decrease in the gain—loss contrast, which is accompanied by a small eigenfrequency shift.

808 DMITRIEV et al.

This leads to a stronger coupling compared to the exceptional point, which leads to a frequency splitting. Increasing the hollow radius corresponds to an increase in the gain-loss contrast, which leads to the PT symmetry breaking. In this regime, the eigen-modes exist separately in the cylinder, which encompasses a radiant mode, and in the hollow cylinder, which has a decaying mode at the same frequency.

CONCLUSIONS

We have considered infinite dielectric cylinders with hollows and demonstrated that the radiative losses increase with increasing hollow diameter. This dependence allowed us to achieve a gain-loss contrast between a hollow cylinder and a cylinder without a hole made of the same material. Using the dipole approximation, we derived the equations for the geometric parameters of a dimer consisting of a cylinder and a hollow cylinder, that has an exceptional point at a given frequency. By selecting a purely real exceptional point frequency and a distance that corresponds to a purely imaginary difference between the scattering poles of the solid and hollow cylinder, we were able to construct a dimer with a PT symmetry-like behavior. With decreasing gain-loss contrast, this dimer displays two purely real eigenfrequencies, while increasing the gain-loss contrast leads to the appearance of a damping and an amplifying mode at the same frequency. We have analyzed the scattering spectra of the dimers of the solid cylinder and a cylinder with varied hollow diameter and demonstrated that decreasing the gain-loss contrast by decreasing the hollow diameter leads to emergence of a splitting of the resonance in the spectra.

Our findings might be useful for designing the metasurfaces operating almost at the PT symmetry and exceptional point regimes. We admit that the negative imaginary part of the refractive index as large as k = -0.5, that is required for our dimer to exhibit the PT symmetry-like behavior, can not be realized in optical gain media, which are currently limited by

k ~ 10-2. Such a strong gain is required to compensate the strong radiative decay of the dipole resonances. At the same time, the radiative losses, if not compensated, will overwhelm the loss contrast, making the PT symmetry effects impossible to observe. Therefore, considering the geometric resonances of a higher order, such as quadrupole or octopole states, which are characterized by a higher quality factor, seems to be a way to alleviate this problem. In particular, halide perovskites might be a suitable gain medium, as the compensation of the radiative losses in quadrupole and octopole states by gain, leading to single-particle lasing, has been experimentally demonstrated on this platform [25].

We considered infinite cylinders due to the simplicity of analysis. To fabricate real structures one

would need particles with finite sizes, such as finite cylinders. Hollow core waveguides can be used for implementation in the terahertz range, as their technology of fabrication with the diameters as small as 10 ^m is well established [26]. In optical range one may use hollow cylinders fabricated by electron beam lithography, which may have a radius as small as 100 nm. Heights of such cylinders can exceed the radius by several times [27]. However, in this case the resonance frequency is shifted from the value predicted by Mie theory (about 10% for the cylinder height being equal to three times the radius [28]) due to the coupling between the Mie modes and the Fabry-Perot modes in the cylinder, so one would have to take extra steps to treat this shift.

FUNDING

This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-79-10190).

CONFLICT OF INTEREST The authors declare that they have no conflicts of interest.

OPEN ACCESS

This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article's Creative Commons license, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article's Creative Commons license and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

REFERENCES

1. R. El-Ganainy, K. G. Makris, M. Khajavikhan, Z. H. Musslimani, S. Rotter, and D. N. Christ -odoulides, Nat. Phys. 14, 11 (2018).

2. L. Feng, R. El-Ganainy, and L. Ge, Nat. Photon. 11, 752 (2017).

3. M.-A. Miri and A. Alu, Science (Washington, DC, U. S.) 363, eaar7709 (2019).

4. §. K. Özdemir, S. Rotter, F. Nori, and L. Yang, Nat. Mater. 18, 783 (2019).

5. L. Feng, Z. J. Wong, R.-M. Ma, Y. Wang, and X. Zhang, Science (Washington, DC, U. S.) 346, 972 (2014).

6. Z. Lin, H. Ramezani, T. Eichelkraut, T. Kottos, H. Cao, and D. N. Christodoulides, Phys. Rev. Lett. 106, 213901 (2011).

7. L. Feng, X. Zhu, S. Yang, H. Zhu, P. Zhang, X. Yin, Y. Wang, and X. Zhang, Opt. Express 22, 1760 (2013).

8. L. Feng, M. Ayache, J. Huang, Y.-L. Xu, M.-H. Lu, Y.-F. Chen, Y. Fainman, and A. Scherer, Science (Washington, DC, U. S.) 333, 729 (2011).

9. K. J. H. Peters and S. R. K. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 129, 013901 (2022).

10. B. Peng, §. K. Özdemir, F. Lei, F. Monifi, M. Gianfre-da, G. L. Long, S. Fan, F. Nori, C. M. Bender, and L. Yang, Nat. Phys. 10, 394 (2014).

11. H. Hodaei, A. U. Hassan, S. Wittek, H. Garcia-Gracia, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides, and M. Khaja-vikhan, Nature (London, U.K.) 548, 187 (2017).

12. A. F. Kockum, A. Miranowicz, S. D. Liberato, S. Sa-vasta, and F. Nori, Nat. Rev. Phys. 1, 19 (2019).

13. A. A. Dmitriev and M. V. Rybin, Phys. Rev. A 99, 063837 (2019).

14. A. Egel, L. Pattelli, G. Mazzamuto, D. S. Wiersma, and U. Lemmer, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 199, 103 (2017).

15. D. Felbacq, G. Tayeb, and D. Maystre, J. Opt. Soc. Am. A 11, 2526 (1994).

16. K. M. Leung and Y. Qiu, Phys. Rev. B 48, 7767 (1993).

17. P. Lloyd and P. Smith, Adv. Phys. 21, 69 (1972).

18. P. Markos and V. Kuzmiak, Phys. Rev. A 94, 033845 (2016).

19. P. Markos, Opt. Commun. 361, 65 (2016).

20. E. E. Maslova, M. F. Limonov, and M. V. Rybin, Opt. Lett. 43, 5516 (2018).

21. A. Moroz, J. Phys.: Condens. Matter 6, 171 (1994).

22. N. A. Nicorovici, R. C. McPhedran, and L. C. Botten, Phys. Rev. E 52, 1135 (1995).

23. G. Tayeb and S. Enoch, J. Opt. Soc. Am. A 21, 1417 (2004).

24. X. Wang, X.-G. Zhang, Q. Yu, and B. Harmon, Phys. Rev. B 47, 4161 (1993).

25. E. Tiguntseva, K. Koshelev, A. Furasova, P. Tonkaev, V. Mikhailovskii, E. V. Ushakova, D. G. Baranov, T. Shegai, A. A. Zakhidov, Y. Kivshar, and S. V. Ma-karov, ACS Nano 14, 8149 (2020).

26. F. Yu, W. J. Wadsworth, and J. C. Knight, Opt. Express 20, 11153 (2012).

27. Z.-B. Fan, H.-Y. Qiu, H.-L. Zhang, X.-N. Pang, L.-D. Zhou, L. Liu, H. Ren, Q.-H. Wang, and J.-W. Dong, Light Sci. Appl. 8, 67 (2019).

28. M. V. Rybin, K. B. Samusev, P. V. Kapitanova, D. S. Filonov, P. A. Belov, Y. S. Kivshar, and M. F. Li-monov, Phys. Rev. B 95, 165119 (2017).

О возможности изготовления РТ-симметричных оптических димеров без поглощающего свет материала

А. А.Дмитриев+1\ К. В. Барышникова+, М. В. Рыбин+* + Физико-технический мегафакультет, университет ИТМО, 197101 С.-Петербург, Россия

* Физико-технический институт им. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 30 марта 2023 г.

После переработки 17 апреля 2023 г. Принята к публикации 28 апреля 2023 г.

Рассмотрен подход к созданию оптического димера частиц, работающих в спектральной области вблизи дипольного резонанса, обладающего свойствами симметрии четность-время. Предполагается, что обе частицы состоят из активной среды с одним и тем же показателем преломления и коэффициентом экстинкции. Мы предлагаем ввести контраст усиления-потери путем изменения радиационных потерь частиц за счет вариации их формы. Чтобы проиллюстрировать данный подход, мы рассмотрели димер, состоящий из заполненного и полого бесконечных цилиндров. Продемонстрировано, что увеличение диаметра полости приводит к более сильному радиационному затуханию. После, мы нашли параметры димера с исключительной точкой на вещественной частоте, в котором при увеличении контраста усиление-потери появляются две вещественные собственные частоты.

БО!: 10.31857/81234567823110022, ЕБ№ а^х

За последнее десятилетие было проведено множество исследований в области неэрмитовой фотоники [1-4]. Связанная с неэрмитовостью системы контринтуитивная физика, которая проявляется, например, в вещественности спектра гамильтониана в системах с симметрией четность-время (РТ), и в вырождении (т.е. недиагонализуемости) гамильтониана в исключительных точках (ЕР), приводит к множеству оптических эффектов, таких как одномодовая лазерная генерация в системе из двух резонаторов [5], однонаправленная передача света без отражения [6, 7], нарушение взаимности [8] и расщепление собственных частот по корневому закону при снятии вырождения [9].

Данные эффекты были успешно продемонстрированы в системах, размеры которых значительно превышают длину волны, такие как связанные волноводы, связанные кольцевые и дисковые резонаторы и плоские слоистые структуры. Неэрмитовость вводится в эти системы как потери и усиление - за счет поглощения в среде и вынужденного излучения при наличии накачки соответственно [10], - или же путем пространственно структурированной оптической накачки активной среды [11]. Для создания неэрмитовых метаповерхностей с уникальными свойствами, основанными на РТ-симметрии и исключительных

1)e-mail: [e-mail]

точках, необходимо использовать резонансные частицы, размер которых меньше или сравним с длиной волны. В этом случае применение пространственно-структурированной накачки ограничено дифракционным пределом, а для изготовления метаматериала, элементарная ячейка которого состоит из активной среды и материала с поглощением, необходим сложный технологический процесс.

Gain medium

Рис. 1. (Цветной онлайн) Эскиз исследуемой системы -димера полого цилиндра и заполненного цилиндра

В данной работе рассматривается идея подбора формы резонаторов, изготовленных из активной среды, таким образом, чтобы ввести в систему контраст усиление-потери за счет отличия в коэффициентах радиационного затухания, что позволит создать ме-таповерхность с РТ-симметрией из одной только активной среды, работающей при равномерной накач-

ке. Чтобы продемонстрировать применение данного подхода, мы рассмотрели простейшую систему, представляющую собой димер, изображенный на рис. 1, состоящий из бесконечного цилиндра из диэлектрической усиливающей среды и бесконечного же полого цилиндра из того же материала. Исследован случай ТЕ-поляризации, в которой вектор магнитного поля ориентирован вдоль осей цилиндра. Показано, что радиационные потери усиливаются при наличии полости, что обеспечивает возможность достижения контраста усиление-потери в димере из одного материала. Также была найдена геометрия димера, состоящего из цилиндра и полого цилиндра, реализующего режим исключительной точки (ЕР), и исследованы его собственные частоты и спектры рассеяния вблизи ЕР.

Фотоника в системах с РТ симметрией и исключительными точками традиционно изучается в рамках хорошо известных из квантовой электродинамики в резонаторе (КЭД-р) неэрмитовых двухуровневых моделей путем сопоставления "уровней" локализованным возбуждениям в резонаторах или волноводах [12]. Системы, размеры которых значительно превышают длину волны, были всесторонне изучены и хорошо описываются этими моделями. Однако, несмотря на простоту двухуровневой модели, строгое рассмотрение лежащей в ее основе задачи о распространении электромагнитных волн часто оказывается довольно сложным. Причина этой сложности заключается в том, что, в отличие от КЭД-р, где связаны разные типы частиц (например, возбужденные электрон и фотон являются "уровнями", а связь осуществляется посредством межуровневых квантовых переходов), в системах связанных оптических резонаторов, и "уровни", и связь - это по существу одно и то же возбуждение, а именно, электромагнитное поле. Из этого следуют два утверждения, каждое из которых соответствует усложнению задачи.

Первое из них заключается в том, что обмен энергией между резонаторами осуществляется электромагнитными волнами, в которые входят запаздывающие потенциалы. Связь между резонаторами, в свою очередь, также подвержена эффектам запаздывания. В фотонике эффективный двухуровневый гамильтониан определяется как оператор эволюции системы во времени, и в данном случае он становится зависимым от своего же собственного значения, т.е. от частоты. Однако в случае, когда резонаторы большие по сравнению с длиной волны, их можно рассматривать как некое подобие волноводов, а в них благодаря трансляционной симметрии можно ввести волновой вектор, который и становится собственным

значением основного уравнения системы вместо частоты.

Вторая сложность связана с наличием радиационных потерь, что делает потери и связь неразделимыми. В волноводных структурах, таких как резонаторы на модах шепчущей галереи, потери на излучение обычно незначительны, при этом основным каналом потерь обычно является рассеяние либо поглощение, что позволяет исследовать систему связанных резонаторов при помощи двухуровневой модели. Напротив, когда размер резонаторов сравним с длиной волны, радиационные потери и связь между резонаторами остаются неразделимы [13].

Несмотря на эти сложности, двухуровневая модель может быть выведена для данной системы при помощи подхода, основанного на теории многократного рассеяния для связанных фотонных резонаторов, работающих на дипольном резонансе Ми, однако эффективный гамильтониан Н оказывается зависимым от собственного значения [13]

£ I- Н =

ш-шс гТ сН^^а) ш-шн

(1)

Здесь £ - комплексная собственная частота диме-ра, £а,ь - полюса рассеяния каждого рассеивателя димера (цилиндра и полого цилиндра) по отдельности, Ге,ь - соответствующие силы осцилляторов, Н01)(ж) - функция Ханкеля первого рода, описывающая дипольное поле в двумерном пространстве, с -скорость света, а с! - расстояние между центрами цилиндров.

Для описания электромагнитных волн вокруг цилиндров мы используем базис мультиполей, построенных на функциях Бесселя и Ханкеля. В этом случае рассеяние на цилиндре описывается коэффициентами Лоренца-Ми. Для бесконечных цилиндров радиуса Яс коэффициент рассеяния Лоренца-Ми может быть выражен как

Т

(с)

Т

21 (с)'

(2)

11

где

Т1(с) = Н((1)(х)Л' (пх) — йН^^хД(Их), Т<2с) = Яг(1)(х)Яг(1)'(йх) - пЯг(1)'(х)Яг(1)(йх), = п J'l(x)Jl (пх) — Л (х)Л' (пх),

Т2(2с) = п Н(1)(п х)Л (х) — Н^1 ''(йх)Л (х),

п = п + гк - показатель преломления цилиндра, I -азимутальное число, которое в случае диполей равно нулю, и х = £Йс/с.

(1)'

а

с

Полюсы рассеяния - это точки, в которых знаменатель двумерного коэффициента дипольного рассеяния Лоренца-Ми равен нулю, т.е. Т^^ш = Шс) = 0. Решая это уравнение относительно Шс, получаем показатель преломления пс цилиндра, имеющего полюс рассеяния на частоте Шс = шс — г^с. После этого коэффициент Лоренца-Ми можно аппроксимировать вблизи полюса рассеяния выражением

-¿Гс

Гс = Иш ¿(Ш — с¡сс)ас, (3)

где Гс - сила осциллятора.

Далее рассмотрим полый цилиндр, который можно исследовать как частицу ядро-оболочка. Применяя граничные условия на границах раздела, можно получить следующую формулу для коэффициента рассеяния Лоренца-Ми полого цилиндра с оболо-чечным показателем преломления п, внешним радиусом Дс и внутренним радиусом Дн

ан =

гр(с)гр(н) . гр(с)гр(н)

21 111 т ±22 21

гр{с)гр{Ь) гр{с)гр{Ь) ' Т11 Т11 + Т 12 Т21

(4)

где

Т(н) = пи(1) (пе) 1 (е) — и(1)'( зд(е),

п И

(1) (п е)иг(1),(е) — иг(1),(пе)иг(1) (е),

,(Н) 12

2(н) = 1(пе)1 (е) — п!(йе)1/(е),

т(н) = 1'(пе)н(1) (е) — щ (пе)и(1)'(е),

и е = шДн/с.

Чтобы найти полюс рассеяния, вновь приравняем знаменатель коэффициента рассеяния к нулю:

гр(с)гр(н) гр(с)гр(н) Т11 Т11 + Т 12 Т21

0.

(5)

Решая это уравнение относительно Шн, можно найти показатель преломления оболочки п и радиус полости Дн, которые соответствуют полому цилиндру, имеющему полюс рассеяния на частоте Шн = шн — ¿7н. В этом случае коэффициент рассеяния ан можно аппроксимировать вблизи полюса таким же образом, как в формуле (3).

Исследуем зависимость радиационных потерь от радиуса полости. На рисунке 2а, Ь показаны зависимости собственной частоты шн и коэффициента затухания собственных состояний 7н полых цилиндров с различными показателями преломления от диаметра полости, а на рис. 2с приведены соответствующие силы осцилляторов Гн. Видно, что потери увеличиваются с увеличением диаметра полости. Чтобы различить увеличение радиационных потерь и уменьшение объема усиливающей среды, были рассмотрены

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимости дипольного полюса рассеяния бесконечного полого цилиндра из диэлектрика с комплексным показателем преломления п = п + гк от радиуса полости (Ян), по отношению к внешнему радиусу (Яс): резонансная частота (а), коэффициент затухания резонансного состояния (Ь) и сила осциллятора (с). Рассматривается ТЕ-поляризация, показатели преломления п = 2 и п = 4, коэффициенты экстинкции к = -0.5, -0.4,... , +0.1

усиливающие среды (к < 0, показаны сплошной и штриховыми линиями), среды без потерь и усиления (к = 0, показано пунктиром) и поглощающие среды (к > 0, показано штрихпунктиром). Во всех трех случаях коэффициент затухания увеличивается при уменьшении объема среды, таким образом можно утверждать, что это увеличение связано с радиационными потерями.

Увеличение радиационных потерь сопровождается сдвигом частоты, как видно из рис. 2а. Поскольку нашей целью является ввести контраст усиления-потери без сдвига частоты, к полому цилиндру следует применить масштабное преобразование, чтобы компенсировать частотный сдвиг.

а

с

с

Теперь проанализируем собственные частоты ди-мера, состоящего из цилиндра и полого цилиндра. Гамильтониан зависит от своих собственных значений, из-за чего уравнение на собственную частоту не является квадратичным. Поэтому для определения собственных частот димеров необходимо найти нули функции / (й), определенной следующим образом:

/(й) = ёе^йI — Ж).

(6)

Наша задача - найти исключительную точку, т.е. точку, в которой сливаются две или более собственных частот. Используя разложение Тейлора, нетрудно показать, что такая точка йер удовлетворяет следующим условиям:

(7)

i /(йер)=0, \ /'(йер) = 0.

Решая эту систему уравнений относительно полюсов рассеяния йс,н, приходим к следующему выражению

й с,н = йер — АГС Гн

т ± А т2 +

1

ГсГн

(8)

где А = Н^\шЕр<1/с) и г = ^Я^^йерс1/с). Используя формулу (8), можно найти полюса рассеяния частиц, которые, находясь на расстоянии !, образуют димер, находящийся в режиме исключительной точки, т.е. имеющий только одну собственную моду на частоте йер, вместо пары собственных мод на различных частотах.

Пользуясь формулой (8), найдем полюсы рассеяния димера, который, как ожидается, будет иметь исключительную точку на частоте й = 1.186с/Дс (что соответствует длине волны в вакууме 530 нм и радиусу цилиндра Дс = 100нм). Также, выберем и зафиксируем расстояние между центрами равным с! = 4.65Дс, таким образом, чтобы получить чисто мнимую разность между полюсами рассеяния, необходимую для режима РТ-симметрии. Формула (8) в этом случае дает следующие полюса рассеяния: йс = (1.19 + 0.0642г)е/Дс, что соответствует п = 1.99 — 0.488г и йн = (1.19 — 0.161г)е/Дс. Чтобы приравнять частоты йс и йн , применим к полому цилиндру масштабное преобразование, таким образом, чтобы его внешний радиус стал равен Дя = 1.286Дс, где Дс - радиус цилиндра без отверстия. Радиус полости, соответствующий полюсу рассеяния в точке йн, равен Дн = 0.8ДЯ. Силы осцилляторов цилиндров в этом случае оказываются равны Гс = 0.28 и Гн = 0.317.

Данные значения были подставлены в эффективный гамильтониан в уравнении (1). Затем, чтобы проверить, действительно ли система оказалась

в исключительной точке, введем симметричную отстройку 6й = 6й — ¿67 по частоте в полюсы рассеяния, определенные по формуле (8): йс = (1.19 + +0.0642г)е/Дс+6й/2 и йн = (1.19—0.161г)е/Дс—6й/2. Будем искать собственные частоты й± = й± — ¿7± гамильтониана, как зависимость комплексной расстройки 6й . Полученные листы собственных частот, показанные на рис. 3, демонстрируют топологию, по-

(а)

1.25-

и

1.20-

«с

3 1.15-

0.1

(Ъ)

0.1-

и 0.05-

0-

г- -0.05-

0.1'

Рис. 3. (Цветной онлайн) Собственные частоты диме-ра, состоящего из полого и заполненного цилиндров, как зависимость комплексной отстройки 5ш — от исключительной точки: частота собственной моды (а), коэффициент затухания собственной моды (Ь)

добную римановой поверхности функции комплексного квадратного корня, что является характерным признаком исключительной точки [1, 3, 4]. Отметим также, что при изменении только контраста усиление-потери (6й = 0) наблюдается поведение по типу РТ симметрии. Когда контраст усиление-потери уменьшается по сравнению с его значением в исключительной точке, димер имеет две чисто вещественные собственные частоты. Увеличение контраста усиление-потери, в свою очередь, приводит к поведению, подобному разрушению РТ симметрии, с возникновением затухающей (7± < 0) и усиливающейся (7± > 0) мод на одной и той же частоте (й± = йер). Заметим, однако, что сам димер не подчиняется РТ симметрии в строгом смысле этого сло-

ва: из-за отличающейся геометрии рассеивателей (заполненный и полый цилиндр), композиция преобразований четности и инверсии времени дает систему, отличную от изначально рассматриваемого димера.

Наконец, рассмотрим спектры рассеяния на ди-мере из активной среды с показателем преломления п = 1.99 и коэффициентом экстинкции к = —0.488, состоящем из цилиндра радиусом Дс и полого цилиндра с внешним радиусом Дя = 1.286Дс. Для получения спектров рассеяния мы используем описанную в литературе теорию многократного рассеяния [1324], рассматривая только дипольный вклад. Возбуждение представляет собой плоскую волну с направлением падения, перпендикулярным плоскости, проходящей через оси цилиндров. Так как димер состоит из активной среды и находится в режиме излучения, мы рассматриваем вытекающую из димера энергию, которую определяем как сечение экстинкции, взятое со знаком минус. Спектры показаны на рис.4 в зависимости от радиуса отверстия. Уменьшение размера отверстия приводит к уменьшению контраста усиление-потери в совокупности с небольшим сдвигом собственной частоты. Как результат, моды связаны сильнее, чем в исключительной точке, что обуславливает наличия расщепления по частоте. Увеличение радиуса полости соответствует увеличению контраста усиление-потери, что приводит к разрушению РТ симметрии. В этом режиме собственные моды существуют отдельно в цилиндре, мода в котором оказывается излучательной, и в полом цилиндре, в котором локализуется затухающая мода на той же частоте.

Заключение. Мы рассмотрели бесконечные диэлектрические цилиндры с полостью и продемонстрировали, что радиационное затухание растет с увеличением диаметра полости. Эта зависимость позволила нам получить контраст усиление-потери между полым цилиндром и цилиндром без отверстия из того же материала. В дипольном приближении нами были получены уравнения для геометрических параметров димера, состоящего из цилиндра и полого цилиндра, имеющего исключительную точку на заданной частоте. Выбрав чисто вещественную частоту исключительной точки и расстояние, соответствующее чисто мнимой разности между полюсами рассеяния сплошного и полого цилиндра, мы смогли найти параметры димера с поведением, подобным РТ симметрии. При уменьшении контраста усиление-потери данный димер имеет две чисто вещественные собственные частоты, а увеличение контраста усиление-потери приводит к появлению затухающей и усиливающейся мод на одной и той же

Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектры вытекающей энергии димера полого (радиус Яв) и заполненного (радиус Яс) цилиндров из активной среды с показателем преломления п = 1.99 — 0.488г при освещении плоской волной, в зависимости от радиуса полости (Ян). ТЕ поляризация

частоте. Мы проанализировали спектры рассеяния на димерах сплошного цилиндра и полого цилиндра с различным диаметром полости и показали, что уменьшение контраста усиление-потери за счет уменьшения диаметра полости приводит к расщеплению резонанса в спектрах.

Полученные результаты могут быть полезны для проектирования метаповерхностей, работающих в режимах, близких к РТ симметрии и к исключительной точке. Мы признаем, что столь большое значение отрицательной мнимой части показателя преломления - к = —0.5, - необходимой для того, чтобы наш димер демонстрировал поведение по типу РТ симметрии, не может быть достигнуто в активных средах оптического диапазона, где значения порядка к ~ 10-2 на данный момент являются порогом. Столь большое усиление требуется для компенсации значительного радиационного затухания дипольных резонансов. Вместе с тем, если радиационное затухание не скомпенсировано, то средние потери будут значительно больше контраста потерь, что приведет к невозможности пронаблюдать эффекты РТ симметрии. Таким образом, переход к геометрическим резонансам более высокого порядка, таким как квад-рупольные или октопольные состояния, для которых характерна более высокая добротность, представляется способом решить эту проблему. В частности, подходящей активной средой могут быть галогенид-ные перовскиты, так как на этой платформе экспери-

ментально продемонстрирована компенсация радиационных потерь усилением в квадрупольных и окто-польных состояниях, приводящим к одночастичной генерации [25].

Бесконечные цилиндры были рассмотрены из-за простоты анализа. Для изготовления реальных структур необходимы частицы конечного размера, в роли которых могут выступать и конечные цилиндры. Для реализации в терагерцовом диапазоне могут быть использованы пустотелые волноводы, технология изготовления которых с диаметрами от 10мкм является хорошо отработанной [26]. В оптическом же диапазоне при помощи электронной литографии могут быть изготовлены цилиндры с радиусом от 100 нм с отверстием внутри. Высота таких цилиндров может превышать радиус в несколько раз [27]. Однако в этом случае из-за взаимодействия мод Ми цилиндра с модами Фабри-Перо происходит сдвиг резонансной частоты относительно предсказанного теорией Ми значения (около 10 % в случае высоты цилиндра, равной трем радиусам [28]), который необходимо учитывать отдельно.

Авторский коллектив благодарит за финансовую поддержку Российский научный фонд (грант #21-79-10190).

1. R. El-Ganainy, K. G. Makris, M. Khajavikhan, Z. H. Musslimani, S. Rotter, and D. N. Christodoulides, Nat. Phys. 14, 11 (2018).

2. L. Feng, R. El-Ganainy, and L. Ge, Nature Photon. 11, 752 (2017).

3. M.-A. Miri and A. Alu, Science 363, eaar7709 (2019).

4. §.K. (Özdemir, S. Rotter, F. Nori, and L. Yang, Nat. Mater. 18, 783 (2019).

5. L. Feng, Z. J. Wong, R.-M. Ma, Y. Wang, and X. Zhang, Science 346, 972 (2014).

6. Z. Lin, H. Ramezani, T. Eichelkraut, T. Kottos, H. Cao, D. N. Christodoulides, Phys. Rev. Lett. 106, 213901 (2011).

7. L. Feng, X. Zhu, S. Yang, H. Zhu, P. Zhang, X. Yin, Y. Wang, X. Zhang, Opt. Express 22, 1760 (2013).

8. L. Feng, M. Ayache, J. Huang, Y.-L. Xu, M.-H. Lu, Y.-F. Chen, Y. Fainman, and A. Scherer, Science 333, 729 (2011).

9. K. J. H. Peters and S. R. K. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 129, 013901 (2022).

10. B. Peng, S K. Özdemir, F. Lei, F. Monifi, M. Gianfreda, G. L. Long, S. Fan, F. Nori, C. M. Bender, and L. Yang, Nat. Phys. 10, 394 (2014).

11. H. Hodaei, A. U. Hassan, S. Wittek, H. Garcia-Gracia, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides, and M. Khajavikhan, Nature 548, 187 (2017).

12. A. F. Kockum, A. Miranowicz, S.D. Liberato, S. Savasta, and F. Nori, Nat. Rev. Phys. 1, 19 (2019).

13. A.A. Dmitriev and M. V. Rybin, Phys. Rev. A 99, 063837 (2019).

14. A. Egel, L. Pattelli, G. Mazzamuto, D. S. Wiersma, and U. Lemmer, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer 199, 103 (2017).

15. D. Felbacq, G. Tayeb, and D. Maystre, J. Opt. Soc. Am. A 11, 2526 (1994).

16. K. M. Leung and Y. Qiu, Phys. Rev. B 48, 7767 (1993).

17. P. Lloyd and P. Smith, Adv. Phys. 21, 69 (1972).

18. P. Markos and V. Kuzmiak, Phys. Rev. A 94, 033845 (2016).

19. P. Markos, Opt. Commun. 361, 65 (2016).

20. E. E. Maslova, M. F. Limonov, and M. V. Rybin, Opt. Lett. 43, 5516 (2018).

21. A. Moroz, J. Phys. Condens. Matter 6, 171 (1994).

22. N. A. Nicorovici, R. C. McPhedran, and L. C. Botten, Phys. Rev. E 52, 1135 (1995).

23. G. Tayeb and S. Enoch, J. Opt. Soc. Am. A 21, 1417 (2004).

24. X. Wang, X.-G. Zhang, Q. Yu, and B. Harmon, Phys. Rev. B 47, 4161 (1993).

25. E. Tiguntseva, K. Koshelev, A. Furasova, P. Tonkaev, V. Mikhailovskii, E.V. Ushakova, D. G. Baranov, T. Shegai, A.A. Zakhidov, Y. Kivshar, and S.V. Makarov, ACS Nano 14, 8149 (2020).

26. F. Yu, W. J. Wadsworth, and J. C. Knight, Opt. Express 20, 11153 (2012).

27. Z.-B. Fan, H.-Y. Qiu, H.-L. Zhang, X.-N. Pang, L.-D. Zhou, L. Liu, H. Ren, Q.-H. Wang, and J.-W. Dong, Light Sci. Appl. 8, 67 (2019).

28. M. V. Rybin, K.B. Samusev, P. V. Kapitanova, D.S. Filonov, P.A. Belov, Y. S. Kivshar, and M.F. Limonov, Phys. Rev. B 95, 165119 (2017).