Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович

• Мирзоян, Ваня Александрович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр,

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. РЙМАНОВЫ /¿¡С, -ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

§ I* Элементы формализма ковариантного

дифференцирования

§ 2. Действие операторов кривизны и определение римановых - полусимметрических пространств

§ 3. Основные классы римановых Нос- полусимметрических пространств

§ 4. - полусимметричность как

мультипликативное свойство

ГЛАВА 2, РЙМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ПОЛУПАРАЛЛЕЛЬНЫМ

СИММЕТРИЧЕСКИМ ЭНДОМОРФИЗМОМ

§ 5. Подпространства собственных векторов

симметрического эндоморфизма

§ б. У- и ¿и. — разложения

§ 7. Приводимость риманова пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом

ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РИМАНОВЫХ ¡¿Се -

- П0ЛУСЙ1МЕТР1ЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

§ 8. Основная структурная теорема и ее следствия

§ 9. Частные структурные теоремы и признак

приводимости

§ 10.Аналитические римановы и кэлеровы Шс -

- полусимметрические пространства

Ûfp.

§ II. /¿Ce-» полуошметрячесше пространства о

гармощчеокой кривизной

§ 12» Конусы с многомерными образующими над

двумерными л зйнштейновыми пространствами

глава 4. foc ~ шдашшдаЕсш юдшогоошаш m

§ 13. Основные определения, формулы и уравнения * •

§ 14. Проблема приводимости пояуоимметря-

ческшс подмногообразий а приводимость подмногообразия в евклидовом пространстве . •

§ 15. Признаки приводимости некоторых классов уй'с-

- полусишетрическшс подмногообразий • » ». •

§ 16. Полуояммбсричвокяб подмногообразия

ГЛАВА 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ I ПОЛУПАРАШ ДЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

на подмюгоошаюх

§ 17. Общие свойства параллельных

подмногообразий

§ 18. Локальная структура s - параллельных в

s ~ полутараллелышж подмногообразий « * »

fI9. параллельные подмногообразия

с лапласово S - рекуррентной второй фундаментальной формой

§ 20, Подмногообразия,несущие полупараллельные

структуры как огибающие

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны»

ВВЕДЕНИЕ

Открытие в 1925-1926 родах П.А.Широковым и Э.Картаном римановых симметрических пространств ознаменовало важный этан в развитии римановой геометрии. В настоящее время геометрия симметрических пространств оформилась в обширную и богатую приложениями теорию, которая активно взаимодействует с многими областями математики и оказывает на них значительное влияние. Основы этой теории и современное состояние ряда ее разделов освещены в монографиях Дж.Вольфа [ 8 Э.Картава [14] , ВиКобаяви и К.Номидзу [ 17 ] , 0.1ооса[ 23 ] , В.В.Трофимова [76], А.Т.Фоменко ( 78 ], С.Хелгасона/ 79 ] и др. Обзор работ по симметрическим пространствам и библиография даны в обзорной статье В.И.Ведерникова и А.С.Феденко[ б ].

Начиная с 1950-х годов, параллельно с развитием теории симметрических пространств, стали появляться различные теоретико-групповые обобщения симметрических пространств. Это ре-дуктивные пространства, введенные П.К.Рашевским, однородные Ф - пространства, введенные В.И.Ведерниковым, субсимметрические и трисимметрические пространства, определенные Л.В.Сабининым, 5- пространства, введенные А.Ледаером и далеко идущие обобщения этих пространств. Ближайшим и естественным обобщением неприводимых римановых симметрических пространств являются также однородные римановы пространства, у которых стационарная группа точки неприводимо действует на касательном пространстве. Классификация таких пространств впервые была получена О.В.Мантуровьш [ 33-35 В настоящее время геометрия обобщенных симметрических пространств оформилась в стройную и красивую теорию. Наиболее важные достижения этой теории отражены в монографиях О.Ковальского[ 19 ], посвящен-

ной теории ^ - структур, и А*С»Феденко [77 ] 9 посвященной в основном регулярным Ф ~ пространствам. В [77] А.О.Феде«-ко введены пространства о симметрия«», позволяющие рассматривать с единой точки зрения все разновидности симметрических пространств и многих их обобщений. Подробный обзор результатов по теории обобщенных симметрических пространств ш библиография приведены в обзорной статье Г 6 1. 1.1.Широковым [ 80 I, [ 81 ] рассматривались симметрические пространства, определяемые алгебрами. Это направление активно разрабатывалось и в дальнейшем оформилось в теорию пространств над алгебрами, основные достижения которой освещены в монографии В.В.Вишневского, А.II,Широкова, В.В.Вурыгшна [ 7 ].

Наряду с теоретико-групповыми обобщениями симметрических пространств рассматривались также их прямые дифференциально-геометрические обобщения» Еще П.А.Ищшковым [ 82 ] были рассмотрены римановы пространства с параллельным тензором Риччи (симметрические пространства этим свойством обладают) и доказано, что они разлагаются в произведение эйнштейновых пространств. Так как рашшово (локально) симметрическое пространство М характеризуется условием ковариаитного постоянства ми парюгашот (ЭДо тс же самое) тензора кривизны Г ,

VII - 0 , где V- риманова связность на М % го оно автоматически удовлетворяет таю условию И (Х} У) • Ц - О, где X, У - произвольны® касательные векторные поля, а

Ц (X, а ; = ¡7Х Уу - % ¡7/ - X, у Г

оператор кривизны. Это условие в своих исследованиях существенно использовали ЭДартан [ 14 ] и П.А.Широюв [ 83 ]. Ими же была поставлена проблема изучения римановых пространств, удовлетворяющих условию £ (У> 0. В теории геодези-

ческих отображений римановых пространств условие

£(Х рассматривалось Н.С.Синюковым [71 ] . Римановы

пространства, удовлетворяющие условию /¿(X,У) • Я =- О им были названы полусимметрическими [72 ], В настоящее время это название является общепринятым и мы также будем придерживаться его. Условие Я (X, У) 'Я =0 называется также условием полупараллельности тензора И •

В 1968 г. К.Номидзу (135 ] доказал, что полная гиперповерхность в евклидовом пространстве Е^^ с типовым числом к(х)^>3 хотя бы в одной точке и удовлетворяющая условию /1(Х>Ч)'/1 0 является произведением сферы ^ в (Н- К)-плоскости Е¡п_к (тогда V О!) и выдвинул гипотезу, что для полного неприводимого риманова пространства условие — О влечет VЯ — 0. Эта гипотеза

была опровергнута Х.Такаги [152 ] построением полной неприводимой трехмерной поверхности в Е^ , удовлетворяющей условиям |7 И И (X, {д)-Я = 0. Тем не менее, справедливость ги-

потезы К.Номидзу при различных дополнительных условиях доказали С.Фудхимура [103 ] , К.Секигава [ 141 [143-145] , С.Тайно [ 156 ] и др. Задачу локальной классификации римановых полусимметрических пространств решил З.Сабо [ 149 ]. Им рассмотрены также вопросы глобальной теории этих пространств и в евклидовом пространстве дана классификация полных внутренне полусимметрических гиперповерхностей, т.е. гиперповерхностей, удовлетворяющих условию Я(Х> Ю'М — 0. В пространстве постоянной кривизны М„ (с ) внутренне полусимметрические гиперповерхности рассматривал П.Райен[ 138 ]. Внутренне полусимметрические подмногообразия коразмерности > I в М^(с) с наложением ряда дополнительных условий рассмотрены К.Сакамото Г140 ] . В общем случае этот класс подмногообразий мало изучен.

Полусимметрические псевдоримановы пространства иооледовали с ь В.Р.Кайгородовым [ II-I3 ] в связи с применением их в теории гравитации. Подробный обзор работ в этом направлении и библиография приведены в [ 13 J. Алгебраическую трактовку условия /¿(X, =0 Дал П.И.Ковалев[18 J.

В связи с указанной выше гипотезой К.Номидзу, начиная о 1969 г., стали рассматриваться также римановы пространства и подмногообразия, удовлетворяющие условию R, (X^ У)*—О> где /?Х - тензор Риччи. Так как римановы пространства с параллельным тензором Риччи и полусимметрические пространства удовлетворяют этому условию (см. § 3), то этот класс римановых пространств является их естественным обобщением. Частные классы римановых пространств и подмногообразий, удовлетворяющих условию Я ( Х} У) * Ц^ = О рассматривались в работах С.Танно [ 155 ], К.Секигавы и Х.Такаги [146] , К.Секигавы /"142 J , Х.Такаги и Я.Ватанабе /"153 7 , Х.Накагавы и Р.Такаги [134 ] , Я.Матсуямы [ 127 J и др. В этих работах, с привлечением сильных дополнительных условий, решаются в основном вопросы приводимости, проверяются импликации К(Х,У )•£=() И(Х>Ч>К=0> ~ 0 VИi — 0 и выявляются некоторые свойства изучае-

мых объектов. Геодезические и голоморфно-проективные отображения римановых и кэлеровых пространств, удовлетворяющих условию Ц (Xi У)' Ri —0 рассматривались в работах й.Микеша Г 36 ] , [130 ] , Н.С.Синюкова и Е.Н.Синюковой [74 J и Е.Н.Синюковой [75 В этих работах римановы пространства, удовлетворяющие указанному условию, были названы риччи-полусимметрическими. Мы также будем придерживаться этого термина и называть их просто -полусимметрическими пространствами. Условие И (Х3 У) ' называется также условием полупараллельности тензора Эйн-

штейновы пространства также удовлетворяют условию Ц (X, 3) • * (¿± = 0. Им посвящены монографии А.Бессе [4,5] и А.З.Петрова

Гбз].

Среди подмногообразий пространств постоянной кривизны, моделирующих римановы локально симметрические пространства наиболее интересны (внешне) симметрические подмногообразия, аналитически характеризуемые параллельностью второй фундаментальной формы (ф.ф.) (т.е. V— 0 , где обозначает связность Ван дер Вардена-Бортолотти) и подмногообразия с параллельной ф.ф. высшего порядка ( Как показали

Д.Ферус [ 100-102 ] , а затем М.Такеути [ 154 Е.Бакес и Х.Рек-цигел [ 89 ] симметрические подмногообразия исчерпываются, в основном, стандартными вложениями симметрических Я, -пространств. Для подмногообразий с параллельной ф.ф. ( 3 ), которым посвящены работы автора [37,38 ] , [46],[50], [ 52 ],[59], [62] , Ю.Г.Лумисте [25-27] ,[109] ,[ПЗ ] ,[П6] , К.Рийвес [ 67], [б8 ] , Ф.Диллена [ 95-97 7 , классификационные задачи решены ( в основном Ю.Г.Лумисте и Ф.Дилленом) для случая плоской нормальной связности и для малых размерностей. В общем случае теория этих подмногообразий еще не разработана и многие проблемы остаются открытыми. Различные классы подмногообразий с параллельной ф.ф. с^л описаны Ю.Г.Лумисте в [ 114,115 ],[ 117-121 ] . Однако проблема их полного геометрического описания остается пока открытой. Более детальный обзор результатов по подмногообразиям с параллельной ф.ф. (б 2) дан в § 17 (см. также обзорные статьи [ 30]и [54] ).

Следующий наиболее изученный класс подмногообразий в пространствах постоянной кривизны составляют полусимметрические подмногообразия, характеризуемые условием полупараллельности

ф.#. ^ = 0, где R Ш) = % Гц -

'ff/fy ~F[x У J " оператор кривизны связности 7 )• В силу импликации Я (УU^-0 И(X, 3)'Я = О они имеют внутреннюю геометрию полуоимметрического риманова пространства, чем и обусловлен большой интерс к этим подмногообразиям. Им посвящены работы Й.Депр [93,94 7, Ю.Г.Лумисте [ 28-30 ] [ 105,106 J , [ 108 J ,["110-112 J,[ 114,115 J, [117-122 ], Ю.Г.Лумисте и К.Рийвес [ 123 ], К.Рийвес[ 69],[l37], Ф.Меркури [ 129], Ф.Диллена и С.Нёлкер Г 98 J, А.Асперти и Ф.Меркури [ 87 J и автора f53]. Обзор этих работ приведен в § 16. Здесь мы только отметим, что большая заслуга в решении классификационных задач полусимметрических подмногообразий (для подмногообразий малых размерностей и для случая плоской нормальной связности) и их геометрического описания принадлежат Ю.Г.Лумисте.

Подводя итог сделанному выше краткому обзору, можем сказать, что хотя и отдельные классы /¿¿с - полусимметрических пространств, такие как локально симметрические и эйнштейновы, всесторонне исследованы и классифицированы, тем не менее общая теория ршановых -Hit~ полусимметриче ских пространств еще не разработана. Особенно мало изучены изометрические реализации этих многообразий в пространствах постоянной кривизны (за исключением указанных выше частных случаев).

Настоящая диссертация, посвященная структурным и общим проблемам теории римановых Hie - полусимметрических пространств и их изометрических погружений, имеет своей целью восполнить в некоторой степени указанный выше пробел. Основными объектами исследования являются:

1) римановы пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом;

2) римановы Осе - полусимметрические пространства, ко-

торые исследуются как в общем случае, так и при наложении ряда дополнительных условий;

3) конусы с многомерными плоскими образующими над двумерными и эйнштейновыми пространствами;

4) ¡¿¿с - полу симметрические подмногообразия пространств постоянной кривизны и такие их частные классы как

а) внутренне полусимметрические подмногообразия,

б) подмногообразия с параллельным тензором Риччи,

в) полусимметрические подмногообразия,

г) подмногообразия с параллельными и полупараллельными фундаментальными формами высших порядков,

В связи с той исключительной ролью, которую играли и играют симметрические пространства и их обобщения в развитии ри~ мановой геометрии и приложениях, особенно в теоретической физике, изучение перечисленных выше классов римановых пространств и подмногообразий является задачей своевременной и весьма актуальной.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на 20 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы.

Глава I включает в себе §§ 1-4. В § I излагаются элементы формализма ковариантного дифференцирования, который систематически применяется на протажении почти всей диссертационной работы. В § 2 приводятся некоторые стандартные сведения из римановой геометрии, устанавливается, что операторы кривизны действуют как дифференцирования тензорной алгебры, определяются полупараллельные тензорные поля, дается определение полусимметрических пространств и показывается, что условие Я(!с- полусимметричности равносильно коммутируемости

тензора Риччи со всеми операторами кривизны Ü

В § 3 перечисляются основные классы ¡¿¿С - полу симметрических пространств. Это, как было указано вше, римановы пространства с параллельным тензором Риччи и, в частности, эйнштейновы пространства, полусимметрические пространства, двумерные римановы пространства и, наконец, новый класс римановых пространств, который был введен автором в [ 54,55 J и назван полуэйнштейновыми. Полуэйнштейново пространство определяется следующим образом. Пусть М - риманово пространство с отличным от

-г (О)

нуля индексом дефектности, 1Х - пространство дефектности в точке х £ М , а Т^^- его ортогональное дополнение в касательном пространстве ТАМ) . ТА и // инвариантны относительно тензора Риччи R-± . Если в каждой точке * на каждом инвариантном подпространстве ¡x ^ тензор Риччи имеет только одно ненулевое собственное значение, то пространство М называется полуэйнштейновым. Доказано, что полуэйнштейновы пространства удовлетворяют условию И(Х, Ч)'/1± = Р. В § 4 доказывается, что если риманово пространство М локально является произведением римановых пространств 3 Д/ f то оно будет flit - полусимметрическим тогда и только тогда, когда каждое ML (Y = /,•-•, s ) будет fUc- полусимметрическим (теорема 4.1). На основании этого результата и известной теоремы разложения де Рама (теорема 4.2) формулируется теорема разложения де Рама для flic- полусимметрических пространств (теорема 4.3).

Вторая глава включает в себя § 5-7 и посвящена вопросам приводимости римановых пространств, на касательных расслоениях которых действует поле симметрического полупараллельного эндоморфизма А , т.е. удовлетворяющего условию Я(Х, О.

В § 5 доказывается инвариантность собственных распределений А у (¥=1,> £ ) эндоморфизма А относительно операторов кривизны &(Х,У) и определяетея действие последних в касательном расслоении (теорема 5.1). В § 6 для произвольного риманова многообразия М с помощью примитивной группы голономии в точке хе М строится неприводимое

относительно Рх разложение

касательного пространства в этой точке, которое называется V- разложением. Здесь У^ есть пространство дефектности в Х> Далее формулируется теорема стабильности (теорема 6,1), принадлежащая З.Сабо [ 149 которая в частности описывает поведение распределений ( 0, • ••, при ковариантных дифференцированиях. Доказывается, что если индекс дефектности риманова пространства равен нулю, т.е. если 1/у - нулевое подпространство, то все V параллельны и многообразие М локально разлагается в произведение их интегральных многообразий, которые также имеют нулевой индекс дефектности (тео-

и(о)

рема 6.2). Если распределение V является параллельным, то

1)®акже параллельны и М локально разлагается в произведение их интегральных многообразий, причем интегральное многообразие распределения Удивляется локально евклидовым (теорема 6.3). Далее описывается как по V - разложению строить 2 - разложение % (И) V • • • +

где все параллельны и попарно вполне ортогональны в каж-

дой точке (теорема 6.4). Интегральные многообразия этих распределений имеют, вообще говоря, ненулевой индекс дефектности. В § 7 для риманова многообразия М , на котором действует поле симметрического эндоморфизма А , удовлетворяющего условию И (Х^) '/\= О V - разложение пространства Тх (И)

строится, исходя из подпространств А±(у) , - * - > А^(х) собственных векторов эндоморфизма А , с учетом их инвариантности относительно операторов кривизны. Доказываются признаки приводимости такого пространства в случае I) нулевого индекса дефектности (теорема 7.1), 2) параллельности распределения (теорема 7.2), 3) когда /I имеет параллельное собственное распределение, содержащее У ^ (теорема 7.3). Наиболее общий критерий дает теорема 7.5, которая утверадает, что если ' " ' » А % - собственные распределения тензора А и хотя бы для двух индексов У ( УФ У ) ограничения /¿¡д* и ¡¿и У тензора кривизны Ц отличны от нуля, то пространство M локалшо приводимо. При доказательстве перечисленных теорем существенно используются V" 0 Z" разложения.

Глава 3, включающая §§ 8-12, посвящена классификационным и структурным проблемам ßt'c - полусимметрических пространств. В § 8 доказана общая классификационная теорема, которая утверждает, что риманово пространство класса С^ является Jà'c -полусимметрическим тогда и только тогда, когда оно I) либо двумерно, 2) либо эйнштейново, 3) либо полуэйнштейново, 4) либо является произведением (локально) таких пространств (теорема 8.1). При доказательстве этой теоремы были существенно использованы V- и 2Г- разложения, которые получаются при неприводимых разложениях подпространств собственных векторов тензора Риччи Hi относительно примитивной группы голономии. Из доказанной теоремы следует, что неприводимое Ht 'с- полусимметрическое пространство является либо неплоским двумерным, либо эйнштейновым, либо полуэйнштейновым. Риманово пространство с нулевым индексом дефектности является Нес - полу симметрическим тогда и только тогда, когда оно либо неплоское двумерное,

либо эйнштейново (но не ричч-плоское), либо риччи-плоское с нулевым индексом дефектности, либо локально является произведением таких пространств. В § 9 доказаны четыре частные структурные теоремы. Если риманово пространство М удовлетворяет условиям то оно локально разлагается в произведение неплоских двумерных пространств и эйнштейновых пространств, отличных от риччи-плоских (теорема 9.1). Если риманово ИСс - полусимметрическое пространство М имеет нулевой индекс дефектности и распределение дефектности V параллельно, то М локально разлагается в произведение пространств

м, м; •• м* где /7 - локально евклидово, М - риччи-плоское с нулевым индексом дефектности, а каждое из М (I — • • является либо не плоек им двумерным, либо эйнштейновым (но не риччи-плоским) пространством (теорема 9.3). Доказана аналогичная теорема, когда параллельным является распределение А отвечающее нулевому собственному значению тензора Риччи (теорема 9.4). В этом случае М разлагается в произведение пространств М, * • • > М* где

М - риччи-плоское, а М^ (1 > X ) - такие же как и теореме 9.3. В общем случае из условия

л(0)

следует, что распределение и является инволютивнш и вполне геодезическим (теорема 9.2). Доказано, что если тензор Риччи ЯI /&- полусимметрического пространства М имеет два или более ненулевых собственных значения, то М локально приводимо. В § 10 доказано, что если односвязное связное полное риманово пространство М класса С ^удовлетворяет условию

О 1

Я ( X, У)'Я± =0, то оно изометрично произведению М X М *

У• "X М,где М - евклидово пространство, а М ^ ( ,

- односвязные полные неприводимые римановы пространства класса со

Ь , каждое из которых является либо двумерным, либо эйнштей-

новый, либо полуэйнштейновым (теорема ЮЛ). Если при этом/V-- кэлерово, то М; М , ' ' ' М также кэлеровы, а изометрия между

М и М°х

/V/ х • ' • X мг является голоморфной (теорема

10.2). В § II рассматриваются Иьс- - полусимметрические пространства с гармонической кривизной. Доказано, что для такого М условие постоянства длины тензора Hi эквивалентно его параллельности (теорема 11,1). Если, кроме того, М компактно, то является параллельным (теорема II.2). Теорема II.3 дает подробное описание локальной структуры риманова многообразия с кодац-циевым тензорным полем и, в частности, с гармонической кривизной. Доказано, что каждое полуэйнштейново пространство с гармонической кривизной является цилиндром с локально плоскими образующими над эйнштейновым пространством с ненулевым тензором Риччи. В § 12 впервые вводится понятие конуса с многомерными плоскими образующими над произвольным римановым пространством, метрика которой определяется формулой (12.I) и является частным случаем метрики полуприводимого риманова пространства или скрещенного произведения двух римановых пространств (что то же самое). Доказано, что всякий конус с К - мерными (К>/ Í) плоскими образующими над произвольным двумерным римановым пространством непостоянной кривизны или эйнштейновым пространством с эйнштейновой константой Я ^ 0 является неприводимым полуэйнштейновым пространством индекса дефектности к (теоремы 12.2,

12.3). Всякий конус с к - мерными плоскими образующими над эйнштейновым пространством с эйнштейновой константой Я > 0 является либо I) риччи-плоским пространством, либо 2) неприводимым полуэйнштейновым пространством индекса дефектности к . Более того, выбором вершины конуса всегда можно добиться как случая I), так и случая 2) (теорема 12.4). Дается также метод построения риччи-плоских пространств над конечным семейством эйнштейно-

вых пространств.

Глава 4 состоит ив § 13-16 и посвящена проблемам приводимости Иис - поду симметрических подмногообразий и изучению их общих свойств в пространствах постоянной кривизны. В § 13 приводятся основные определения, формулы и уравнения и формулируются признаки того, чтобы подмногообразие было вполне геодезическим или имело плоскую нормальную связность (теоремы 13.1 -13.3). Доказано, что если в пространстве постоянной кривизны А/Л подмногообразие М имеет плоскую нормальную связность, то тензор Риччи И± коммутирует со всеми вторыми фундаментальными тензорами (теорема 13.4). Далее приводятся определение полупараллельного и коммутирующего нормального векторного поля и раскрывается геометрический смысл последнего. Определяются фундаментальные формы высших порядков и связанные с ними некоторые объекты. § 14 посвящен вопросам приводимости подмногообразия в евклидовом пространстве Е ^ . Сначала доказывается, что условие Я1с - полусимметричности для подмногообразий также является мультипликативным свойством (теорема 14,1), а затем доказывается фундаментальная теорема 14.2, дающая необходимый и достаточный признак локальной приводимости подмногообразия в Еп. Приведенное доказательство достаточности условий этой теоремы совершенно отлично от известного доказательства Дж.Мура [ 132] и в отличие от последнего раскрывает всю схему разложения подмногообразия в произведение. Теорема 14.3 дает некоторые частные признаки приводимости подмногообразия. В § 15 изучаются вопросы приводимости некоторых классов полу симметрических под-

многообразий. Теоремы 15.1 - 15.8 являются теоремами разложения /2Сс - полусимметрических подмногообразий при различных дополнительных условиях. На основании этих теорем сформулированы те-

ореда 15,9 - 15.14, которые дают признак» приводимости внутренне полусимметраческих подмногообразий. Далее рассматриваются подмногообразия с параллельным тензором Рита. Доказано, что если в этом случае собственные распределения тензора Риччи сопряжены относительно второй фундаментальной форш ^ , то подмногообразие локально разлагается в произведение Эйнштейновых подмногообразий (теорема 15.15). Если нормальная связность плоская и тензор Риччи параллелен, то подмногообразие всегда разлагается в произведение нормально плоских эйнштейновых подмногообразий (теорема 15.17)» Указана совокупность условий, которые совместно с условием параллельности тензора Риччи приводит к условию параллельности формы (теорема 15.18). В § 16 рассматриваются нолусим-метрическме подмногообразия в пространствах постоянно! кривизны. Доказывается, что вектор средней кривизны Н произвольного полу-сштетрического подмногообразия является коммутирующим (лемма 16.1) и дается описание локального строения подмногообразия о коммутирующим нормальным векторным полем (теорема 16.1), что позволяет сформулировать общую теорему 16.2 о локальной структуре полусимметрического подмногообразия. Последняя в частности утверждает, что собственные распределения второго фундаментального тензора Ац инволютишш, сопряжены относительно второй §«#. ш попарно ортогональны. $то значит, что полусимметрические подмногообразия, как правило, несут ортогональные сопряженные системы. Минимальные полусимметрические подмногообразия ш пространстве непою»тельной постоянной кривизны являются вполне геодезическими (лемма 16.2). Если у компактного полуоимметричеокого подмногообразия вектор средней кривизны И удовлетворяет условию У17Н -О, то = о (лемма 16.3). I случае нулевого индекса дефектности полусимметрическое подмногообразие в

разлагается в произведение псевдоомбилических полусимметрических подмногообразий с нулевыми индексами дефектности (теорема 16,3). Дается признак внутренней приводимости полусимметрического подмногообразия (теорема 16.4) и доказывается, что внутренне неприводимое полусимметриче ское подмногообразие с нулевым индексом дефектности является псевдоомбилическим и удовлетворяет условию ¡/ О (теорема 16.5).

Глава 5 посвящена, в основном, изучению подмногообразий с параллельной и полупараллельной ф.ф. ( 3 ), которые, в целях краткости, называются также 5 - параллельными и £ -

- полупараллельными подмногообразиями. В § 17 изучаются общие свойства Б- параллельных подмногообразий. Доказано, что из

—0 следует V /2 — 0 (теорема 17.1). Если О и

~ то подмногообразие некомпактно (теорема 17.2). Если М - компактное подмногообразие в Мп (с)} ю из условия

- О ( ) следует 7^—0 (теорема 17.3). Если М~

- полное внутренне неприводимое подмногообразие в М^Сс), то условие Уо£3 = О 3) влечет —О (теорема 17.4). Всякое полное подмногообразие с ненулевой параллельной ф.ф.

^ 3 ) в М^(с) является внутренне приводимым (теорема 17.5). § 18 посвящен изучению локального строения Б - параллельных и 2 - полупараллельных подмногообразий. Леммы 18.1 -18.5 дают совокупность условий, при которых для подмногообразия М в М^Сс ), несущего ортогональную сопряженную систему, условия 5 - параллельности или полупараллельности являются наследственными (необходимые условия даются леммами 18.2 и 18.3, а достаточные - леммами 18.4 и 18.5). В теоремах 18.1 и 18.2 устанавливается мультипликативность условий 5 - параллельности и 5- полупараллельности при разложениях подмногообразия в произведение. Если собственные распределения тензора

Риччи 2- параллельного подмногообразия сопряжены относительно второй ф.ф. , то оно локально разлагается в произведение эйнштейновых б - параллельных подмногообразий. В случав плоской нормальной связности такое разложение всегда имеет место (теорема 18.3). Далее дается определение коммутирующего и вполне коммутирующего подрасслоения нормального расслоения подмногообразия, приводятся их примеры (леммы 18.6 - 18.9) и доказывается, что 5 - параллельные подмногообразия допускают параллельное нормальное подрасслоение с плоской нормальной связностью, а 5 - полупараллельные подмногообразия допускают вполне коммутирующее нормальное подрасслоение (теорема 18.4). Локальное строение - полупараллельного подмногообразия

описывается теоремой 18.6, утверждающей, что такое подмногообразие несет ортогональную сопряженную систему, каздая многомерная компонента которой является омбилическим относительного некоторого вполне коммутирующего нормального подрасслоения , порожденного формой ^ . Эта утверждение базируется на теоре-

о1 о

ме 18.7, описывающей локальное строение подмногообразия с р~ - мерным вполне коммутирующим нормальным подрасслоением. В § 19 рассматриваются подмногообразия, удовлетворяющие следующим условиям : А5^ = У о^л , где Л - оператор Лапласа. Локальная структура таких подмногообразий дается теоремами 19.1 и 19.2. Последняя является прямым обобщением известной теоремы Д.Феруса [100] о локальной структуре подмногообразия с В § 20 решается фундаментальная проблема о взаимосвязи между различными параллельными и полупараллельными подмногообразиями в Мп (с). Речь идет об Б - параллельных и 2 - полупараллельных подмногообразиях, об И - параллельных (характеризуемых условием УИ-О ) ш И - полупараллель-

ных {Я(Х}У)'Я = 0) подмногообразиях, о ¡¿¿С - параллельных ( У {¿¿С = 0 ) и /йс- полупараллельных ( У) • — 0) подмногообразиях, о - параллельных {7Я~—0} Я - тензор кривизны нормальной связности) и Л - полупараллельных

подмногообразиях, о Н- параллельных {РгиН= =■ 0 ) и Н - полупараллельных (Я1(Х)Ю'/-1 — 0 ) подмногообразиях. Для описания связей между этими классами подмногообразий введены понятия огибающего, у?- огибающего, /&-огибающего , ЦХ- огибающего и Н - огибающего подмногообразий. 1 терминах этих огибающих теоремы 20.2, 20.3, 20.5-20.13 дают полное решение проблемы взаимосвязей между подмногообразиями, удовлетворяющими какому-либо из указанных условий нояупарзл-лельности, и подмногообразиями, удовлетворяющими соответствующему условию параллельности. Теорема 20.4 утверждает, что ( Б - 1 )- и полупараллельное подмногообразие удовлетво-

ряет условию Я (Х>Ю-Я = 0* а в случае плоской нормальной связности — условию Я (Х> т.е. является полусиммет-

рическим.

Основное содержание диссертации с достаточной полнотой отражено в

публикациях автора Г 39-62 ]и[131]. О полученных результатах автор докладывал на Всесоюзном геометрческом семинаре им. Г.Ф.Лаптева при ВИНИТИ АН СССР, на Всесоюзном и Международном совещаниях, посвященных памяти Н.В.Ефимова, на научных сессиях Армянского Математического Союза, на геометрических семинарах Казанского, Московского и Тартуского государственных университетов.

В заключение автор выражает свою искреннюю благодарность академику АН Эстонии профессору Лумисте Ю.Г., с кем неоднократно обсуждались полученные результаты.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис i.A. О строении двухкомпонентжых сопряженных систем.

- Тр. реометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР. 1966, т.1, С.7-31.

2. Акивис i.A. О строений сопряженных систем на многомерных поверхностях. -Изв. вузов. Мат. I97Q, й 10, С.З-П.

3. Базылев В.Т., Кузьмин М.К., Столяров A.B. Сети на многообразиях. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии.

1981, f. 12, С.97-125.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.Х. -М. : Мир, 1990.-3X8 о.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.2. -М. : Мир, 1990.-384 с.

6. Ведерников В.И., Феденко A.C. Симметрические пространства и их обобщения. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1976, т.14, С.249-280.

7. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. -Казань : йзд-во Казанск. ун-та, 1985. -262 с.

8. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. -М. : Наука,

1982. -480 с.

9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия : Методы и приложения. -М. : Наука, 1986. -760 с.

Ю. Евтушик I.E., Лумисте Ю.Г., Оетиану H.H., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях.

- Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1979, т. 9, С.5-246. #

11. Кайгородов В.Р. О римановых пространствах Кh . - Тр. гео-метр"УВМНИТИ АН СССР. 1974, т.5, С.359-373.

12. Кайгородов В.Р. Полусимметрические лоренцовы пространства с совершенной группой голономии. -Гравитация и теория относи-тельн. Казань, Казанск. ун-т. 1978, Ш 14-15, C.II3-I20.

13. Кайгородов В.Р. Структура кривизны пространства - времени.

-Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР, Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.177-204.

14. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М. : 1Д, 1949. -384 с.

15. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М. : Изд. МГУ, i960. -307 с.

16. Кобаяси I., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. T.I. -М. : Наука, 1981. -344 с.

17. Кобаяси 1., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. -М. : Наука, 1981. -416 с.

18. Ковалев и.И. Тройные системы Ли и пространства аффинной связности. -Мат. заметки. 1973, т.14, № I, C.I07-II2.

19. Ковальский 0. Обобщенные симметрические пространства. -М.: Мир, 1984. -240 с.

20. Кручкович Г. И. Об одном классе римановых пространств. -Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. 1961, вып. II,

С.103-128.

21. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей. -Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. "Геометрия 1963й. 1965, С.5-64.

22. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. -М. : ЙЛ, i960. -216 с.

23. Лоос 0. Симметрические пространства. -М. : Наука, 1985. -208 с.

24. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1975, т.13, С.273-340.

25. Лумисте Ю.Г. Неприводимые подмногообразия малых размерностей с параллельной третьей фундаментальной формой. -Уч.

зап. Тартуск. ун-та. 1986, выи. 734, C.5Q-62.

26. Лумисте Ю.Г. Подмногообразия с плоской связность© Ван-дер -Вардена-Вортолотти и параллельность третьей фундаментальной формы. -Изв. вузов. Мат. 1987, Нг I, С,18-27.

27. Лумисте Ю.Г. Приводимость подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой. -Изв. вузов. Мат. 1987, N» II, С.32-41.

28. Лумиете Ю.Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. I. -Изв. вузов. Мат. 1990, 1 8, С.45-53.

29. Лумиете Ю.Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. II. -Изв. вузов. Мат. 1990, № 9, С.31-40.

30. Лумисте Ю.Г. Полусимметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл.геометрии. 1991, т.23, С,3-28.

31. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем. -Изв. вузов. Мат. 1974, № 5, С.148-157.

32. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны. - Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1981, т.12, С.3-30.

33. Мантуров О.В. Об однородных римановых пространствах с неприводимой группой вращений. -Докл. АН СССР. 1961, т. 141, I! 4, С.792-795.

34. Мантуров О.В. Римановы пространства с неприводимой группой вращений и ортогональными и симплектическими группами движений. -Докл.АН СССР. 1961, т.141, Ш 5, C.I034-I037.

35. Мантуров O.B. Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений. -Тр. еемин. по векторн. и тензорн. анализу. 1966, вып. ХШ, С.68-145.

36. Микен I. О геодезических отображениях Риччи 2-симметричес-ких римановых пространств. -Мат. заметки. I98Ö, т.28, üs 2, С.313-317.

37. Мирзоян В.А. Подмногообразия е параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -ВИНИТИ. Х978, 47 с. Ш 2074-78 Деп.

38. Мирзоян В.А, Подмногообразия о параллельными фундаментальными формами высшего порядка. Диссертация на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат.наук. -Тарту, 1979. -128 с.

39. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутативным нормальным векторным полем. -Тезисы конф. "Теоретические и прикл. вопросы математики". Тарту, 1980, С.81-83.

40. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Докл. АН Арм.ССР. 1981, т.72, Ш I, С.14--17.

41. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Уч. зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1981, Ш 3 (148), С.9-16.

42. Мирзоян В.А. О канонических погружениях Ц -пространств. -Мат.заметки. 1983, т.ЗЗ, Ш 2, С.255-260.

43. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим /'-мерным подраеслоением нормального расслоения. -Уч.зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1983, Ш I (152), С.20-27.

44. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным нолем. -Итога науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.73-100.

45. Мирзоян В.А. Нормальная дефектность подмногообразия. -Докл.

АН Арм. ССР. 1983, ш.77, № I, СД1-15.

46. Мирзоян В,А. О локальном отроении подмногообразия о параллельной фундаментальной формой (^>3). - Шестая прибалт.геометр.конф. Тезисы докл. Таллин, 1984, С.83.

47. Мирзоян В.А. Нормальная дефектность подмногообразия в ри-мановом многообразий. -Уч.зап. Тартуск.ун-та. 1986, выи. 734, С.63-79.

48. Мирзоян В.А. Внутренне симметрически подмногообразия. -Тезисы конф. "Проблемы теоретической и прикл.математики". Тарту, 1990, С.58-60.

49. Мирзоян В.А. Подмногообразия с параллельным тензором Рич-чи. -Всесоюзн.совещание ученых по дифф.геометрии,посвящ. 80-и летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 29 сентября-5 октября 1990 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1990, 0.72.

50. Мирзоян В.А. О подмногообразиях с параллельной фундаментальной формой и3 (5^-3 ). - Уч. зап.Тартуск.ун-та. 1991, вып. 930, С,97412 .

51. Мирзоян В.А. Подмногообразия с полупараллельным тензором Риччи. - Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1991, вып. 930, С.ПЗ--128.

52. Мирзоян В.А. Разложение в произведение подмногообразий с параллельной фундаментальной формой -Изв. вузов. Мат. 1991, 1 8, С.44-53.

53. Мирзоян В.А. Полусимметрические подмногообразия и их разложение в произведение. -Изв. вузов. Мат. 1991, 1 9,

С.29-38.

54. Мирзоян В.А. А'с-пол у симметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1991, т.23, С.29-66.

55. Мирзоян В.А. Структурные теоремы для римановых нолу-симметрических пространств. -Изв.вузов. Мат. 1992, № 6,

С,80-89.

56. Мирзоян В.А. Подмногообразия е параллельным тензором Риччи в евклидовых пространствах. -Изв.вузов. Мат. 1993, 1 9,

С.22—27.

57. Мирзоян В.А. Структурные теоремы для кэлеровых Нее -полусимметрических пространств. -Докл. НАН Армении. 1995,

т. 95, Ш I, С.3-5.

58. Мирзоян В.А. О к -полупараллельных подмногообразиях. -Международная геометр.школа-семинар памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2? сентября-4 октября 1996 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1996, С.141-142.

59. Мирзоян В.А. Об одном классе подмногообразий с лапласово рекуррентной второй фундаментальной формой. -Международный геометр, семинар "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, 4-6 февраля 1997 г.). Тезисы докл. Казань, 1997, С.85.

60. Мирзоян В.А. Подмногообразия с симметрическими фундаментальными формами высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1997, № 9 (424), С. 35-40.

61. Мирзоян В.А. Подмногообразия с полупараллельными фундаментальными формами высшего порядка как огибающие. -Изв. вузов. Мат. 1998, №2, С.13-%0.

62. Мирзоян В.А. Об одном классе подмногообразий с параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1998, 6, С. 46-ГЗ.

63. Петров А.В. Пространства Эйнштейна. -М. : Физматгиз, 1961. - 463 с.

64. Постников М.М. Введение в теорию Морса. -М. : Наука, 1971, -568 с.

65. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1У. Дифференциальная геометрия. -М. : Наука, 1988. -496 с.

66. Рашевский ПД. Риманова геометрия и тензорный анализ, -i.: Наука, 1967. -

67. Рийвес К.В. 0 поверхностях V^c:EgQ параллельной третьей фундаментальной формой, имеющих неплоскую нормальную связность. -Восьмая Всес.научная конференция по современным проблемам геометрии (Одесса, сентябрь 1984 г.). Тезисы докл. Одесса, 1984, С.131.

68. Рийвес К.В. Подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой в евклидовом пространстве Е^. -Уч. зап. Тартуск.ун-та. 1986, вып.734, C.IÖ2-XI0.

69. Рийвес К.В. О двух классах полусимметрических подмногообразий. -Уч.зап. Тартуск.ун-та. 1988, вып.803, C.95-I02.

70. Рыжков В.В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях. -Тр. Моск.мат. о-ва. 1958, т.7, C.I79-226.

71» Сшшков Н.С. О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановы пространства. -ДАН СССР. 1954, т.98, Ш I, С.21-23.

72. Синюков Н.С, 0 геодезическом отображении римановых пространств. -Труды третьего всесоюзного матем.съезда. 1956, т.1, С.167-168.

73. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. -М.: Наука, 1979, -256 с.

74. Синюков Н.С., Синюкова E.H. О голоморфно-проективных отображениях специальных кэлеровых пространств. -Мат. заметки. 1984, т.36, Ш 3, С.417-423.

75. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств. -Мат.заметки. 1981, т.30, № 6, С.889-894.

76. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с еиммет-риями• -М. : Изд. МГУ, 1989, -359 о.

77. Феденко A.C. Пространства с оимметриями. -Мн. : Изд. БГУ, 1977. -168 с.

78. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. -M. i Изд. МГУ, 1983. -216 с.

79. Хелгасон G. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. -М. : Мир, 1964. -533 с.

80. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами. -Изв.вузов. Мат. 1963, É6, СЛ59-171.

81. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых коммутативными алгебрами 4-го порядка. -Уч.зап. Казанск. ун-та. 1966, T.I26, è I, С.60-80.

82. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. -Изв. физ.-мат. общества при КГУ. Серия 2. 1925, т. 25, С.86-114.

83. Широков П.А. Симметрические пространства 1-го класса. -Уч. зап. Казанск. ун-та. 1954, т.114, ш 8, C.7I-82.

84. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. -Казань : Изд. КГУ, 1966. -432 с.

85. Akbar-Zadeh H., Couty R. Espaces a tenseur de Ricci parallele admettant des transformations projectives.-Rend.mat.1978, v.11, No 1, p.85-96.

86. Akiba S. Submanifolds with flat normal connection and parallel second fundamental tensor. - Sci.Repts Yokohama Nat.Univ.Sec.1, 1976, No 23, p.7-14.

87. Asperti A.C., Mercuri F. Semi-parallel immersions into space forms. - Boll.Unione Mat.Ital. 1994, (7)8-B,

p.833-895.

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

1 00

1 01

1 02

1 03

1 04

Backes E. Geometrie applications of euclidean Jordan triple systems. - Manuscr.math. 1983, v.42,No 2-3, p.265-272. Backes E., Reckziegel H. On symmetric submanifolds of spaces of constant curvature. - Math.Ann. 1983, v.263, No 4, p.41 9-433.

Bishop R., O'Neill B. Manifolds of negative curvature. -

- Trans.Amer.Math.Soc. 1969, v.145, p.1-49.

Chen B.-Y. Geometry of submanifolds. - New York: Marcel Dekker, 1973,- 308p.

Chern S.S., Kuiper N. Some theorems on the isometric imbedding of compact Riemann manifolds in euclidean space.

- Ann.Math. 1952, v.56, No 3, p.422-430.

Deprez I. Semi-parallel surfaces in euclidean space. -

- J.Geom. 1985, v.25, No 2, p.192-200.

Deprez I. Semi-parallel hypersurfaces. - Rend.Semin.mat. Univ. e politechn.Torino. 1987, v.44, No 2, p.303-316. Dillen F. The classification of ¿ypersurfaces of euclidean space with parallel higher order fundamental form. - Math. Z. 1990, v.203, p.635-643.

Dillen F. Sur les hypersurfaces paralleles d'ordre supérieur. - C.r.Acad. sei. ser.1 , 1 990, v.311, p.1 85-1 87. Dillen F. Higher order parallel submanifolds. - Geom.and Topology of Submanifolds, III. 1990, p.148-152. Dillen F., Nolker S. Semi-parallelity, multi-rotation surfaces and the helix-property. - J.Rein.Angew.Math. 1993, v.435, p.33-63.

Eisenhart L.P. Symmetric tensors of the second order whose first covariant derivatives are zero. - Trans.Amer.Math. Soc. 1923, v.25, p.297-306.

Ferus D. Product-Zerlegung von Immersionen paralleler zweiter Fundamentalform. - Math.Ann. 1974, v.211, No 1, p.1-5 Ferus D. Immersions with parallel second fundamental form.

- Math.Z. 1974, v.140, No 1, p.87-92.

Ferus D. Symmetrie submanifolds of euclidean space. - Math. Ann. 1980, v.247, No 1, p.81-93.

Fujimura S. On Riemannian manifolds satisfying the condition RfX,Y)• R = 0. - J.Fac.Sei.Hokkaido Univ. Ser 1 . 1972, v. 22, No 1-2 , p.1-8.

Houh C.-S. Pseudo-umbilical surfaces with parallel second

fundamental form. - Tensor. 1972, v.26, p.262-266.

105. Lumiste U. Decomposition and classification theorems for semi-symmetric immersions. - Proc.Acad.Sci.ESSR. Phys. Math. 1 987, v.36, No 4, p.414-417.

106. Lumiste U. Decomposition of semi-symmetric submanifolds.-

- Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1988, 803, p.69-78.

107. Lumiste U. Classification of two-codimentional semi-symmetric submanifolds. - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1988, 803, p.79-94.

108. Lumiste U. Normally flat semi-symmetric submanifolds. -

- Differ.Geom.and its Appl.: Proc.Conf.Dubrovnik, June 26 - July 3, 1988. Novi Sad, 1989, p.159-171,

109. Lumiste U. Normally flat submanifolds with parallel third fundamental form. - Proc.Acad.Sci.ESSR. Phys.Math. 1989, v.38, No 2, p.129-138.

110.Lumiste U. Semi-symmetric submanifolds with maximal first normal space. - Proc.Estonian Acad.Sci.Phys.Math. 1989, v.38, No 4, p.453-457.

111. Lumiste U. Semi-symmetric submanifolds as the second order envelope of symmetric submanifolds. - Proc.Estonian Acad. Sci.Phys.Math. 1990, v.39, No 1, p.1-8.

112. Lumiste U. Classification of three-dimensional semi-symmetric submanifolds in euclidean spaces. - Acta et comment. Univ.Tartuensis. 1990, 899, p.29-44,

113. Lumiste U. Three-dimensional submanifolds with parallel third fundamental form in euclidean spaces. - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1990, 899, p.45-56.

114. Lumiste U. Second order envelopes of symmetric Segre submanifolds. - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1991, 930, p. 15-26.

115. Lumiste U. Second order envelopes of m-dimensional Veronese submanifolds. - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1991, 930, p.35-46.

116. Lumiste U. On submanifolds with parallel higher order fundamental form in euclidean spaces. - Lecture Notes in Math. 1 991 , 1 481 , p.1 26-1 37.

117. Lumiste U. Symmetric orbits of the orthogonal Segre action and their second order envelopes. - Rend.Semin.Mat.Messina.

1 1 8

11 9

1 20

1 21

1 22

1 23

1 24

1 25

1 26

1 27

128

1 29

130

1 31

Ser.II 1991, v.1, p.141-150

Lumiste U. Symmetric orbits of orthogonal Veronese actions and their second order envelopes. - Results in Math. 1995, v.27, p.284-301

Lumiste U. Modified Nomizu problem for semi-parallel sub-manifolds. - Geom.and Topology of Submanifolds, YII. 1995, p. 176-181

Lumiste U. Symmetric orbits of orthogonal Plucker actions and triviality of their second order envelopes. - Ann. Global Analysis and Geom. 1996, v.14, p.237-256 Lumiste U. Semiparallel submanifolds of cylindrical or toroidal Segre type. - Proc.Estonian Acad.Sci.Phys.Math. 1996, v.45, No 2/3, p.161-177

Lumiste U. Semi-parallel submanifolds as some immersed fibred bundles with flat connections. - Geom.and Topology of Submanifolds, YIII, 1996, p.236-244

Lumiste U., Riives K. Three-dimensional semi-symmetric submanifolds with axial, planar or spatial points in euclidean spaces. - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1990, 899, p.13-28

Maeda S. Isotropic immersions with parallel second fundamental form. - Can.Math.Bull. 1983, v.26, No 3, p.291-296 Maeda S. Isotropic immersions with parallel second fundamental form. II. - Yokahama Math.J. 1983, v.31, No 1-2, p.131-138

Magid M.A. Isometric immersions of Lorentz space with parallel second fundamental form. - Tsukuba J.Math. 1984, v.8, No 1, p.31-54

Matsuyama Y. Hypersurfaces with R » S = 0 in euclidean space. - Tm ^aitraisy pakoraicydy kiae. 1981, v.24, P. 13-19 Matsuyama Y. Submanifolds with parallel Ricci tensor. -

- Kodai Math.J. 1988, v.11, No 2, p.244-248

Mercuri F. Parallel and semi-parallel immersions into space forms. - Riv.Mat.Univ.Parma(4). 1991, v.17, p.91-108 Mikesh I. Geodesic mappings of special Riemannian spaces. -

- Top.Differ.Geom.: Colloq. Debrecen. 26 Aug.-Sept.1. 1984. 2. Amsterdam etc., 1988, p.793-813

Mirzoyan V.A. S-semi-parallel submanifolds in spaces of constant curvature as the envelopes of s-parallel submani-

1 32

1 33

1 34

1 35

1 36

1 37

1 38

1 39

1 40

1 41

1 42

1 43

1 44

1 45

1 46

folds. - Izvestiya Natsionalnoi Akademii Nauk Armenii. Matematika. 1996, v.31, No 5, p.37-48.

Moor I.d. Isometric immersions of Riemannian products. -

- J.Differ.Geom. 1971, v.5, No 1-2, p.159-168. Naitoh H. Isotropic submanifolds with parallel second fundamental forms in symmetric spaces. - Osaka J.Math. 1 980, v. 1 7, p.95-100.

Nakagawa H., Takagi R. Kaehler submanifolds with R » S = 0 in a complex projective space. - Hokkaido Math.J. 1976, v.5, No 1, p.67-70.

Nomizu K. On hypersurfaces satifying a certain condition on the curvature tensor. - Tohoku Math,J. 1968, v.20, No 1, p.46-59,

Nomizu K., Ozeki H. A theorem on curvature tensor fields. -

- Proc.Nat.Acad.Sci. USA, 1962, p.206-207.

Riives K. Second order envelopes of congruent Veronese 6

surfaces in E . - Acta et comment.Univ.Tartuensis. 1991, v.930, p.47-52.

Ryan P.J. Homogenity and some curvature condition for

hypersurfaces. - Tohoku Math.J. 1969, v.21, No 3, p.363-388.

Ryan P.J. Hypersurfaces with parallel Ricci tensor. - Osaka

J.Math. 1971, v. 8, No 2, p.251-259.

Sakamoto K. Submanifolds satisfying the condition

K(X,Y) • K = 0. - Kodai Math.Semin.Rept. 1 973, v.25, No 2,

p.1*43-1 52.

Sekigawa K. On 4-dimensional connected Einstein spaces satisfying the condition R(X,Y) • R = 0. - Sci.Repts.Niigata Univ. 1 969, No 7, p. 29-31.

Sekigawa K. On some hypersurfaces satisfying R(X,Y)«R = 0.

- Hokkaido Math.J. 1972, v.1, No 1, p.102-109.

Sekigawa K. On some hypersurfaces satisfying R(X,Y)«R = 0.

- Tensor. 1972, v.25, p.133-136.

Sekigawa K. On some 3-dimensional complete Riemannian manifolds satisfying R(X,Y) • R = 0. - Tohoku Math.J. 1 973, v.27, No 4, p.561-568.

Sekigawa K. On some 4-dimensional Riemannian manifolds satisfying R(X,Y) » R = 0. - Hokkaido Math.J. 1977, v.6, No 2, p.21 6-229.

Sekigawa K., Takagi H. On conformally flat spaces satis-

1 47

1 48

1 49

1 50

1 51

1 52

1 53

1 54

1 55

1 56

1 57

158

1 59

1 60

zzz

fying a certain condition on the Ricci tensor. - TÖhoku Math. J. 1971. v. 23, No 1, p.1-11,

Simon U., Weinstein A. Anwendungen der De Rhamschen Zerlegung auf Probleme der lokalen Flachentheorie. - Manuscr. Math. 1969, v.1, No 2, p.139-146.

Strubing W. Symmetrie submanifolds of Riemannian manifolds.

- Math.Ann. 1979, v.245, No 1, p.37-44,

Szabo Z.I. Structure theorems on Riemannian spaces satisfying R(X,Y) • R = 0.1. The local version. - J.Differ.Geom. 1982, v.17, p.531-582,

Szabo Z.I. Classification and construction of complete hypersurfaces satisfying R(X,Y)• R = 0. - Acta.sei.math. 1984, v.47, No 3-4, p.321-348.

Szabo Z.I. Structure theorems on Riemannian spaces satisfying R(X,Y) * R = 0. II. Global version. - Geom.dedic. 1985, v.19, p.65-1 08.

Takagi H. An example of Riemannian manifolds satisfying R(X,Y) • R = 0 but not V R = 0. - Tohoku Math.J. 1 972, v.24, No 1, p.105-108,

Takagi H., Watanabe Y. Kaehlerian manifolds with vanishing Bochner curvature tensor satisfying R(X,Y) • R = 0. -Hokkaido Math.J. 1974, v.3, No 1, p.129-132. Takeuchi M. Parallel submanifolds of space forms. I» Manifolds and Lie groups. Papers in honour of Y.Matsushima. -

- Basel: Birkhauser. 1981, p.429-447.

Tanno S. Hypersurfaces satisfying a certain condition on the Ricci tensor. - Tohoku Math.J. 1969, v.21, No 2, p.297-303.

Tanno S. A class of Riemannian manifolds satisfying R(X,Y) • R = 0. - Nagoya Math.J. 1971, v.42, p.67-77. Tsukada K. Parallel kaehler submanifolds of hermitian symmetric spaces. - Math.Z. 1985, v.190, No 1, p.129-150. Tsukada K. Parallel submanifolds in a quaternion projective space. - Osaka J.Math. 1985, v.22, p.187-241, Tsukada K. Parallel submanifolds of Cayley plan.—Sei.Repts Niigata Univ. 1985, A, No 21, p.19-32.

O T 2

Venzi P. The metric ds"4, = F(ü)duÄ + Giujds' and an application to concircular mappings. - Util.Math. 1 982, v. 22, p.221 -233.

161. Vilms J. Submanifolds of Euclidean space with parallel second fundamental form. - Proc.Amer.Math.Soc. 1972, v.32, No 1 , p.263-267.

162. Waiden R. Untermannigfaltigkeiten mit paralleler zweiter Fundamentalform in euklidischen Räumen und Spheren. -Manuscr.math. 1973, v.10, No 1, p.91-102.

163. Yano K. Submanifolds with parallel mean curvature vector of a Euclidean space or sphere.-Kodai Math.Semin.Repts. 1971, v.23, No 2, p.144-159.

164. Yano K., Ishihara S. Submanifolds with parallel mean curvature vector. - J.Differ.Geom. 1971, v.6, p.95-118.

165. Yano K., Ishihara S. Submanifolds of codimension 2 or 3 with parallel second fundamental tensor. - J.Korean Math. Soc. 1972, v.9, p.1-11.