Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Нетай, Игорь Витальевич

• Нетай, Игорь Витальевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Нетай, Игорь Витальевич

Глава 1. Введение..........................................................3

1.1. Постановка задачи....................................................3

1.2. Основные результаты диссертации..................................6

Глава 2. Предварительные сведения..................................9

2.1. Комплекс Кошуля....................................................9

2.2 Проективные координатные алгебры...............10

2.3. Когомологии алгебр Ли.......................11

2.4. Резольвенты пучков.........................12

Глава 3. Обозначения и комбинаторика...............17

3.1. Комбинаторные кубы........................17

3.2. Представления............................18

3.3. Диаграммы..............................21

Глава 4. Изотинические компоненты комплекса Кошуля ... 26

4.1. Вложение Сегре...........................26

4.2. Квадратичное в. юженпе Веронезе.................35

Приложение А. Представления с простым спектром......40

A.1. Классификация представлений со свойствами 3.2.1 и 3.2.2 ... 40

Приложение Б. Взвешенные проективные пространства .... 43

Приложение В. Примеры........................44

B.1. Сишгпи................................44

В 2. Резольвенты пучков.........................47

I [> б шкации по 1сме диссертации ....................48

Слисок литературы ............................48

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе»

1.1. Постановка задачи

Работа посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств.

Для любого проективного многообразия X с Р(И/) рассмотрим проективную координатную алгебру А = Б/1{Х) как градуированный 5-модуль, где Б = — алгебра многочленов на пространстве IV и 1{Х) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента

——-О,

являющаяся точной последовательностью свободных градуированных ^-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях [5], если выбирать минимальный наборы образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получим конечную свободную резольвенту. В каждом таком модуле выберем минимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через его д-ую однородную компоненту. Обозначим через (р) сдвиг градуировки на р, то есть прибавление р к степени каждого элемента модуля. Тогда

Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала с? имеют положительные степени. Пространство Ярл для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени д. Следовательно, тензорное умножение на тривиальный ¿'-модуль к аннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте, и мы получаем

Ям=(Тогр5(Дк))д, (1.1)

откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора резольвенты. Пространство (Тог^ (А, к))^ — д-ая однородная компонента градуированного векторного пространства Тог^(Л,к).

В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае

нормальной рациональной кривой в проективном пространстве очень хорошо известен ответ (см. пример 2.4.5, а также [6, 26]). Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в [6]. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе [7] доказано, если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство Р51-1 пространство (Тог5_2(/, k))g-4 Ф 0) то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке X (см. [26]), где I — однородный идеал кривой С.

Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого iVp-свойства. Свойство Np состоит в том, что Rij = 0 для j ф i +1 и 1 ^ г ^ р, а также R0j = 0 при j ф 0 и о = к. В частности, Nq означает проективную нормальность, N\ означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в [17]. В работе [9] исследовано свойство Np для вложений Веронезе. В работе [10] исследуется Л^-свойство кубического вложения Веронезе. В работе [11] исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе [12] свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе [13] исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.

Допустим, группа G С GL(W) линейно действует на проективном пространстве P(W) и сохраняет многообразие X С Р(И/"). Значит, группа G сохраняет и идеал 1(Х). Отсюда можно получить действие G на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы G.

В работе [8] найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грассман-нианов Gr(2,n), и описаны представления группы GL(n) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе [14] показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.

В данной работе мы исследуем вложение Сегре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 1/2.2 и 1.2.4. В замечании 4.1.11 мы доказываем некоторое свойство умножения в сумме пространств сизигий

вложения Сегре.

Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий и идеалов. Допустим, У — некоторое пространство матриц, и в алгебре к [У] задан идеал I, порождённый минорами матриц. Например, если У — пространство симметрических матриц, а идеал I порождён всеми 2 х 2-минорами, то идеал I является однородным идеалом квадратичного вложения Веро-незе Р(1У) С Р(У), где У — Зут2^. Сизигии идеалов определяются аналогичным образом. Если I — однородный идеал в алгебре к[У], то положим = (Тог^и , к)^ . Аналогичным образом можно определять сизигии градуированных модулей над к [У]. В работе [18] исследуются свойства детерминантальных идеалов методами теории колец. В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами к[Эут2 У] и к[II <8> V] (см. теоремы 4.1.9, 4.2.4), обобщая результаты работ [19, 20].

Рассмотрим на проективном пространстве Р(У) когерентный пучок . Обозначим через соЬ(Х) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S') — категорию конечно порождённых градуированных ¿"-модулей. Пусть X С Р*^ — проективное многообразие. Определим функтор соЬ(Х) —>• grmod(S') формулой

= 0 Г (Р*, (-п) = Нот ( 0 -

Определение 1.1.1. Назовём минимальной резольвентой пучка & последовательность

■•■->© М1Л{Р(3?У) ® -> 0 М0,,(^)) ® 0(-д) & 0,

дей qeZ

где МРЛ{—) = (Тогр(—, к)) . Факт, что эта последовательность является резольвентой, следует из теорем А и В работы [17]. Пространства МРЛ(Р{^)) будем называть сизигиями пучка & и будем обозначать

Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективном пространстве Р(У) оказываются связаны с сизигиями градуированных модулей над к [У]. Результаты о построении минимальных резольвент пучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут быть найдены в [15]. В данной работе мы построим минимальные резольвенты пучков ^(у)(а)

в P(Sym2 V) для а ^ — dim V и <^р(£/)хр(у)(а> Ь) в Р(£/ <8> У) для а ^ — dim(C/) и 6 ^ — dimУ (см. теоремы 4.1.9, 4.2.4).

1.2. Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав и приложения.

Глава 1 — введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты.

Глава 2 носит в основном вспомогательный характер и описывает технические средства, позволяющие вычислять сизигии.

В главе 3 мы вводим основные обозначения. В параграфе 3.1 мы вводим понятие обрезанного комбинаторного куба, являющего комплексом над абелевой категорией. В параграфе 3.2 мы формулируем условия на старший вес 7г неприводимого представления редуктивной группы G, при выполнении которых сизигии допускают комбинаторное вычисление (см. свойства 3.2.1 и 3.2.2, а также предложение 3.2.3). В параграфе 3.3 мы вводим обозначения, связанные с диаграммами Юнга.

Глава 4 содержит основные вычисления и доказательства основных результатов диссертации. В параграфе 4.1 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Кошуля, вычисляющего сизигии пучков &(а,Ь) на Р(С7) х P(V) С Р(U®V). Оказывается, что эти изотипические компоненты являются обрезанными комбинаторными кубами.

Определение 1.2.1. Для диаграммы Юнга Л обозначим ¿(А) и wt(A) длину диагонали диаграммы Л (то есть пересечение диаграммы с множеством клеток {(к, £;)} для всех к G Z) и вес (то есть количество клеток Л). Обозначим через е(А, к) диаграмму, полученную из А добавлением клетки в конец каждого из первых к столбцов диаграммы А. Символом А' обозначим диаграмму, полученную из А транспонированием. Через V\ обозначим неприводимое представление группы Gh(V) со старшим весом А.

Теорема 1.2.2. Пусть Ярл — пространства сизигий вложения Се-гре Р(С/) х P(V) С Р(U (g> V). Тогда существует изоморфизм представлений G = GL(U) х GL(V):

RP,1 ~ ф (Ue(X,q-p) ® Ve(X>,q-p)) •

wt(A)=p, i(A)=g-p

Обозначения, связанные с отмеченными диаграммами Юнга 9, диаграммами А(9) и ¡и(9) вводятся в параграфе 3.3. Для отмеченной диаграммы Юнга 9 множество В(9) определено в 3.3.2. Множество ¿¡(го, а, Ь, к) отмеченных диаграмм Юнга определено в параграфе 4.1.

Теорема 1.2.3 (4.1.9). Рассмотрим вложение Сегре X — Р(17) х Р(У) с Р(и ® V). Пусть а ^ — т и Ъ ^ —п. Тогда существует резольвента

?а>Ъ ^ /9 Г 1 1Л__ /ТЛ Г)аФ

• • • — Ф Rimi ® ^(-1 - fe) — Ф ® — 0х(а, Ь) —»О,

где т = dim U, п — dim V и

{® д>0шшр = д = 0;

оа,6 _ ) wt(^=p v > ч/ v , чу

1 Ф^М.М) (c^V) ® vke)) > g = О, Р > 0.

В параграфе 4.2 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Ко-шуля, вычисляющего сизигии пучков fff(у){а) на P(V) С P(Sym2F). Оказывается, что изотипические компоненты этого комплекса также являются обрезанными комбинаторными кубами.

Теорема 1.2.4. Пусть Rpq — пространства сизигий вложения Вероне-зе P(F) С P(Sym2y). Тогда существует изоморфизм представлений группы G = G L(V):

0 П-

wt(A)=2p l(X)=2q-2p A—A'

Для диаграммы Юнга А множество C(А) будет определено в 3.3.7. Обозначение диаграммы Юнга (ai,..., ak\bk,..., b\) будет дано в 3.3.6.

Теорема 1.2.5 (4.2.4). Пусть X = Р(У) с P(Sym2 V) — вложение Веронезе степени 2. Пусть а ^ —п. Тогда существует резольвента

Ф Д?ы-1 ® 0{-k - 1) — ф Щь ® 0(-к) — 0х{а) — 0,

Li,fc+i

к^О к>0

где п = dim V и

ф V*, q > 0 или р = q — 0,

Т>а __

p,p+q *

wt (uj) — q l(u>)=2q—a

e (КГ)®^"'), p> 0,! = 0,.e

(1.3)

wt(cj)=2p-f-a

где 5 = \ (]Сг=1 \аг - &» - 1| - а).

Приложение А содержит классификацию старших весов представлений полупростых групп, обладающих свойствами 3.2.1 и 3.2.2. Приложение Б описывает связь результатов с сизигиями взвешенных проективных пространств. Приложение В содержит примеры и список литературы.

Автор выражает благодарность научному руководителю

A. Л. Городенцеву, С. О. Горчинскому, А.Г.Кузнецову, Э. Б. Винбергу и

B. М. Бухштаберу за полезные обсуждения работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нетай, Игорь Витальевич, 2013 год

Публикации по теме диссертации

[1] И. В. Нетай, "Алгебры сизигий вложений Сегре", Функц. анализ и его прил., 47:3 (2013), 54-74 МаМай. <wef; Fund. Anal. Appl., 47:3 (2013), 210-226 «о«»* игаяшян.

[2] И. В. Нетай, "Параболически связные подгруппы", Матем. сб., 202:8 (2011), 81-94 №Шь «о**« Sb. Math., 202:8 (2011), 1169-1182 ШЖШШгШШ-

[3] И. В. Нетай, "Сизигии вложений Сегре", тезисы летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для моложых учёных России, Ярославль, ЯГПУ, 2013, 65-67.

[4] И. В. Нетай, "Syzygies of quadratic Veronese embedding", тезисы международной русско-китайской конференции Torus actions: topology, geometry and number theory, Хабаровск, ТОГУ, 2013, 53-55.

Список литературы

[5] D.Hilbert, "Uber die Theorie der algebraischen Formen", Ges. Abh., II 2 (1970), 199257.

[6] D. Eisenbud, The Geometry of Syzygies, 2002.

[7] В. Saint-Donat, "On Petri's analysis of the linear system of quadrics through a canonical curve", 206 (1973), 157-175.

[8] A. L. Gorodentsev, A. S. Khoroshkin, A. N. Rudakov, "On syzygies of highest weight orbits", Amer. Math. Soc. Transl. (2), 221 (2007), 79-120.

[9] G. Ottaviani, R. Paoletti, "Syzygies of Veronese embeddings", arXiv: 981113J.

[10] Thavn Vu, iîNq property for third Veronese embedding", arXiv: 1303.5532vl.

[11] E. Rubei, "On syzygies of Segre embeddings", Proceedings of the American Mathematical Society, 130:12 (2002), 3483-3493.

[12] L.Manivel, "On the syzygies of flag manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society, 124:8 (1996).

[13] D. Eisenbud, M. Green, K. Hulek, S. Popescu, "Restricting linear syzygies: algebra and geometry", 2004, arXiv:04(M516vl.

[14] A. Snowden, "Syzygies of Segre embeddings and Д-modules", arXiv: 1006.5218v4.

[15] J. Weyman, Cohornology of vector bundles and syzygies, CUP, 2003 cross*«*.

[16] W. Fulton, Young tableaux, CUP, 1997.

[17] M.Green, "Koszul cohornology and the geometry of projective varieties, I, II", J. Diff. Geom., 19, 20 (1984), 125-171, 279-289.

[18] v'lJh (Mitsuyasu Hashimoto), "Determinantal Ideals and Their Betti Numbers — A Survey", Щ857^ ( 1994 ^ ), 40-50.

[19] A. Lascoux, "Syzygies de variétés déterminantales", Adv. Math., 30 (1978), 202-237.

[20] V. Reiner, J. Roberts, "Minimal resolutions and the homology of matching and chessboard complexes", 1997.

[21] С. И. Гельфанд, Ю.И.Манин, "Гомологическая алгебра", Алгебра - 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 38, ВИНИТИ, М., 1989, 5-233 fath-NetRu iÉaâSâet ZentralMATH.

[22] G. Lancaster, J. Towber, "Representation-functors and flag-algebras for the classical groups", J. Algebra, 59 (1979), 16-38.

[23] Э. Б. Винберг, В. JI. Попов, "Об одном классе квазиоднородных аффинных многообразий", Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:4 (1972), 749-764 намьь шаз&ьы Zs,1Hjath; Math. USSR-Izv., 6:4 (1972), 743-758 co^f.

[24] W.Fulton, J.Harris, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag, 1991.

[25] A. Polyshchuk, L. Positselsky, Quadratic algebras, AMS, 2005.

[26] J.Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995..

[27] И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, М.:Мир, 1985.

[28] Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Семинары по группам Ли и алгебраическим группам, УРСС, 1995.

[29] Tobias Pechcr, "Classification of skew multiplicity-free modules", Transformation Groups, 17:1 (2012), 233-257.