Скрученные подмножества в группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Мыльников, Андрей Леонидович

• Мыльников, Андрей Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мыльников, Андрей Леонидович

Общее введение

I Свойства скрученных подмножеств

1.1 Введение.

1.2 Известные результаты.

1.3 Общие свойства скрученных подмножеств.

1.4 Скрученные подмножества и ипволютивные автоморфизмы группы

1.5 Скрученные подмножества и Z*-rreopeMa Глаубермапа.

I.G Ипволютивнан декомпозиция группы

I.7 Теорема Лаграпжа для скрученных подмножеств

II Перекрученные группы

II. 1 Введение.

11.2 Известные результаты.

11.3 Вспомогательные результаты.

11.4 Общие свойства перекрученных групп.

11.5 Абелевы перекрученные группы.

11.6 Перекрученные группы Миллера-Морено.

11.7 Конечные нильпотентные перекрученные группы нечетного порядка

11.8 Разрешимость конечных перекрученных групп.

II.8.1 Редукционная теорема.

И.8.2 Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы.

II.8.3 Двухстуиенная разрешимость коночной по1)окручопной группы.

II.9 Минимальные пеперекрученныо группы.

11.9.1 MNS-груипы четного порядка.

11.9.2 Нильнотептпые MNS-групны нечетного порядка.

11.9.3 Ненильпотептпые MNS-грунпы нечетного порядка

III Конечные минимальные негрупповые скрученные подмножества

III. 1 Введение.

111.2 Известные результаты.

111.3 Свойства MNG-подмножеств.

111.4 MNG-подмножества с инволюциями.

111.4.1 MNG-нодмножества, содержащие более одной инволюции

111.4.2 MNG-нодмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую 2-иодгрупиу

111.4.3 Редуцированные MNG-подмножеетва, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-иодгруппу . 107 III.4.4 Нередуцированные MNG-подмножеетва, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-иодгруппу . 112 III.5 MNG-подмножеетва без инволюций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скрученные подмножества в группах»

Актуальность темы. Главным объектом изучения и диссертации является понятие скрученного подмножества в группе. Данное понятно принадлежит Беляеву В.В.

Дадим определение скрученного подмножества.

Определение 1. Подмножество К из группы, G называется скрученным подмножеством, если 1 £ К и для любых х,у из К ху~1х £ К.

Примеры скрученных подмножеств.

1) пусть G — группа и w — инволюция из G. Тогда подмножества К := иР U {1}, Т := {wwa\g £ G}, I := {g £ G : gw = д~1} являются с:к1)ученными подмножествами.

2) множество симметрических матриц в любой матричной группе М является скрученным подмножеством.

Стоит сказать, что скрученное подмножество из примера (2) совпадает с таким подмножеством матриц из М: {В £ М : tp(B) = В~'}, где (р автоморфизм Г1)уппы М, действующий на М так: для любой матрицы Л из М (р(А) = {Лт)~1.

Сразу отметим, что в работе М. Ашбахера [15| рассматривается аналогич-iibiii объект, называемый им скрученной подгруппой и определяемый следующим образом: Подмпоэюество К из группы G называется скрученной подгруппой, если 1 £ if и для любых х,у из К хух £ К.

Нетрудно показать, что скрученные подмножества являются скрученными подгруппами, по обратное не всегда верно. В случае, когда группа является периодической, скрученная подгруппа является скрученным подмножеством.

Необходимо отметить, что понятно скрученного подмножества, и, аналогичное ему, понятие скрученной подгруппы и группе, являются достаточно свежими и, поэтому, сколько-нибудь хорошей теории о строении этих объектом пока пет. В настоящей диссертации предпринимается попытка построения начал такой общей теории скрученных подмножеств. Затем, полученные результаты применяются для ответа па некоторые естественные вопросы о скрученных подмножествах.

Хотя скрученные подмножества и не подвергались тщательному изучению, можно выделить ряд исторических моментов, в которых математики изучали объекты, очень близкие к скрученным иомножествам, причем, что интересно, эти объекты происходили из разных областей математики и теоретической физики. Кроме того, стоит отметить, что в Коуровской тетради |8| поставлено несколько вопросов, прямо связанных с понятием скрученного подмножества (например, вопрос 4.75 В. П. Шуикова и вопрос 15.54 В. Д. Мазурова). Положительное решение вопросов 4.75, 15.54 вытекает из положительного решения следующего вопроса о скрученных подмножествах: верно ли, что в период и,ческой группе скрученное, подмножество, в котором любой элемент имеет нечетный порядок, порождает подгруппу нечетного периода?

Рассмотрим нышеупомянутые исторические примеры более подробно.

Скрученные подмножества и симметрические пространства

Понятие симметрического пространстна, ставшее классическим благодаря работам Э. Картана и вошедшее к настоящему моменту времени в учебники но дифференциальной геометрии (см. например |4|, |10|, [12|), фактически является первым историческим примером изучения на группе бинарной операции х о у — ху~1х.

Сам Э. Картан |G] определял симметрическое пространство, как рима-пово многообразие, любая симметрия которого сохраняет метрику. В некоторых более поздних работах, например [9|, симметрическое пространство определяется, как гладкое многообразие М, на котором задана бинарная операция "■ ", у до в л с т в оря ю uit ая следующим условиям:

1) х • х = х;

2) х-(х- у) = у;

3) x-(y-z) = (x-y)-(x- z);

4) Оля любой точки х из М существует такая ее окрестность U, что равенство х • w = w влечет равенство х = w для всех точек w из U.

Операция "•" имеет сло/^ующую геометрическую интерпретацию: пусть А и В точки некоторой поверхности М, лежащие достаточно близко друг от друга, проведем геодезическую линию I из А в В. Продолжая I далее, отложим от точки В на линии I точку С с тем условием, что \АВ\ = \СВ\. Таким образом, сопоставляя двум точкам /1, В точку С, мы вводим бинарную операцию па точках поверхности М. Нетрудно проворить, что данная операция удовлетворяет условиям (1)--(4).

Далее, легко видеть, для бинарной операции х о у — ху~1х, заданной па произвол!,ной группе, справедливы свойства (1) — (3). Отметим, что согласно [9, стр. 42], любая группа Ли становится симметрическим пространством, если на пей ввести операцию хоу — ху~1х. Таким образом, симметрические пространства, полученные из групп Ли описанным in,пне способом, являются первыми примерами непосредственного изучения скрученных подмножеств.

В заключение отметим, что достаточно подробно, общая я теория симметрических пространств излагается в монографиях [2], [9|, [13].

Скрученные подмножества и исследования Глаубермана

В работах |22], |23|, Дж. Глауберман исследовал группы нечетного порядка с введенной следующим образом бинарной операцией: х • у = х^ухЛ\ относительно которой группа является лупой. В работе |22] для данных луп были доказанi,i несколько утверждений, которые являются аналогами таких классических теорем теории групп, как, например, теоремы Лагранжа и Силова.

Заметим, что , если Н — некоторое подмножество из группы нечетного порядка, содержащее 1 и замкнутое относительно операции то Н замкнуто относительно операции х * у = хух, поскольку х * у = х • {х • у). Таким образом, следуя терминологии М. Ашбахера [15], множество Н есть скрученная подгруппа. Но нетрудно показать, что тогда Н есть скрученное подмножество. Легко показать и обратное, то есть, если Н — скрученное подмножество из группы нечетного порядка, то Я замкнуто относительно операции В силу данной связи между скрученными подмножествами и подмножествами, содержащими 1 и замкнутыми относительно операции х-у = х^ух^, можно считать, что Дж. Глауберман был одним из первых, кто обратил внимание на то, что скрученные подмножества представляют определенный интерес, и, что ответы па некоторые тонкие вопросы теории групп, как, например, доказанная позднее Глауберманом Я*-теорема, упираются в понимание строения скрученных подмножеств.

В заключение отметим, что в настоящей диссертации приводится обобщение £*-теоремы Глаубермана с помощью скрученных подмножеств.

Скрученные подмножества и вычислительная сложность

В работе |17], Т. Феде!) и М. Варди вводят понятие околоподгруппы, как инструмент изучения вычислительной сложности проблем.

Определение 2. Скрученное помножеспгво К из группы G называется околоподгруппой, если для любых подгрупп N, М с N < М < G и М/N = Е\ не существует такого элемента g из G, что дК П М пересекается ровно по трем смежным классам.

Одним из основных обектов изучения в работе [17| является задаваемый определенным образом класс проблем CSP. Главный вопрос относительно класса CSP, на который пытаются ответить авторы, состоит в следующем: какие проблемы в CSP полиномиальны, а какие iVP-полны?

В дальнейшем, класс CSP разбивается на три подкласса проблем и показывается, что проблемы этих подклассов можно переформулировать в виде проблем для конкретных комбинаторных структур. Именно по этой причине и происходит разбиение CSP на три подкласса проблем (в зависимости от тина комбинаторной структуры).

Одим из этих трех типов комбинаторных структур являются конечные группы. Показывается, что, если все отношения в переформулированной проблеме есть смежные классы но подгруппам, то проблема полиномиальна, а, если есть отношение, не являющееся смежным классом по околоподгруппе, то проблема ./VP-полна. Кроме того, Т. Федор и М. Варди рассматривают случаи, когда все отношения являются смежными классами но околоподгруппам. В этом случае они показывают, что, если для каждой околоподгруппы К выполняется, так называемое, 2-элементпое свойство 5П < S П К >С /С, где S множество 2-элемеитов группы, то проблема полиномиальна.

Отметим, что ряд вопросов о вычислительной сложности, связанных с околоподгруппами, авторы работы [17| редуцируют к таким конкретным вопросам об околоподгруппах, как, например, будет ли пересечение околоиодгруип снова околоподгруппой? Или, верно ли, что для любой околоподгруппы выполняется 2-элементное свойство? Отчасти, именно ответам на эти вопросы иосвещепа работа М. Ашбахера |15|.

Скрученные подмножества и гирогруппы

Гирогруипа это специального вида лупа. Впервые, гирогруппы появились 15 работе Абрахама А. Унгара [25] в 1988 году. В данной работе изучалась гирогруипа < R'j5,© >, где - единичный шар евклидова трехмерного пространства, 0 — релятивистская операция сложения нормализованных скоростей (т.е. рассматриваются векторы скоростей вида где с скорость света в вакууме). В противовес нашей интуиции, эта операция сложения скоростей не является ни коммутативной, пи ассоциативной.

В |28| показано, что групповая структура сложения скоростей в классической механике, которая утрачивается при переходе к группоиду < Rj,0 >, заменяется структурой лупы, использующей релятивистское особое вращение, называемое прецессией Томаса. В работах |2С|, [27| и |29| излагаются другие примеры гирогруип и их связь с физикой и геометрией. Обобщая релятивистский группоид < Rf,0 > с его прецессией Томаса, естественным образом приходим к понятию гирогруппы.

Определение 3. Группоид (G, •) называется гирогруппой, если его бинарная операция "•" удовлетворяет следующим условиям:

1) в G существует по крайней мере один элемент (обозначим его I), такой, что для любого элемента g из G 1 • g — g;

2) существует элемент 1 из G, удовлстворяюи^ий (1), такой, что для любого элемента g из G существует элемент z из G, uitio z-g = 1;

3) для любых элементов a,b,z из G существует единственный элемент gyr[a, b](z) £ G, что а • (b • z) = (а • b) • gyr[a, b](z);

4) обозначим gyr[a,b] отобраэюсиие из G в G, определенное соответствием z —»• gyr[a,b](z), тогда gyr[a,b] £ Aut(G, •).

В работах [19], [28] показано, что любая гирогрупна может быть пложена и некоторую группу и виде скрученной подгруппы и, обратно, на скрученной подгруппе можно задать некоторым образом структуру гирогрупиы. Поскольку во многих случаях скрученные подмножества и скрученные подгруппы совпадают, то, в силу дайной связи с гирогруииами, имеем перед глазами пример применения скрученных подмножеств в теоретической физике.

Цель работы. Основная цель работы состоит в изучении групп, у которых любое скрученное подмножество является подгруппой (перекрученных групп); и минимальных негрупповых скрученных подмножеств (MNGподмиожеств).

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие повью результаты:

• общая проблема исследования конечных перекрученных групп сведена к проблеме исследования конечных перекрученных групп нечетного порядка;

• классифицированы абелевы перекрученные группы и конечные иплыю-теитпые перекрученные группы;

• доказана двух стуненная разрешимость конечных перекрученных групп;

• классифицированы конечные минимальные неперекручепные группы;

• классифицированы конечные М./У(7-подмпожества с инволюциями и конечные редуцированные MNG-подмножества без инволюций, а также груиni)[, порожденные такими скрученными подмножествами.

Теоретическая И практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании скрученных подмножеств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па международной конференции "Алгебра и ее приложепия"(Красноярск, 2002 г.), международной конференции 11 Малы невские чтепия"(Новосибирск, 2003 г., 2005 г.), алгебраических семинарах Московского и Красноярского государственных университетов, а также в Московском физико-техническом институте.

Структура И объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 40 наименовании. Общий объем работы 127 страниц текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мыльников, Андрей Леонидович, 2006 год

1. Лоос О. Симметрические пространства. — М.: Наука, 1985.

2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Романова геометрия. — М.: Изд-во "Факториал", 1998.11| Судзуки М. Строение группы и строение структуры, ее подгрупп. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 19G0.

3. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметричесхие пространства. —- М.: Мир, 19G4.14| Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит-1)ы, 19G2.

5. Fognel Т., Ungar A.A. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups// J. Group Theory.-2003.- v.3. N2. -P. 27-4G.20| Glanbermaii G. Central elements of core-free groups// J.Algebra. 19GG. N4. -P. 403-420.

6. Glanbermaii G. On groups with a quaternion Sylow 2-subgroup// Illinois J. Math. ---1974. -v. 18. -P. G0-G5.

7. Glanboriiian G. On loops of odd order// -I. of Algebra. 19G4. N1. -P. 374395.

8. Glanbermaii G. On loops of odd order //// J. of Algebra. 19G4. N8. -P. 393-414.

9. Gorienstein D. Finite groups, Harper and Row, New York, 19G8.

10. Вепринцев Д.В., Мыльников A.JI. Ииволютивпая декомпозиция группы и скрученные подмпо'жества с малым количеством инволюций, Математические системы. Вып.5, Краспояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. — 200G. -С. 5-9.

11. Мыльников A. JI. Конечные перекрученные группы, Математические системы. Вып.З, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. -2005. -С. 53-58.