Скрученные подмножества в группах и их обобщения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Вепринцев, Дмитрий Владимирович

• Вепринцев, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вепринцев, Дмитрий Владимирович

Введение

Глава I Скрученные подмножества и симметроиды

1. Предварительные результаты.

2. Отношение коллинеарности в симметроидах.

3. Коллинеарность в групповых симметроидах

4. Проективные симметроиды.

5. Решение вопросов 1 и 2.

Глава II Симметричные подмножества в группах

1. Предварительные результаты.

2. Правые и левые подмножества.

3. Симметричные подмножества.

4. Редуцированные симметричные подмножества.

5. Связь симметричных подмножеств со скрученными.

Глава III Дивергенции автоморфизмов групп

1. Общие свойства дивергенций автоморфизмов.

2. Размеры дивергенций.

3. Вычисление числа дивергенций.

4. Ядра дивергенций.

5. Индуцированные автоморфизмы и их дивергенции.

6. Критерий инволютивной декомпозиции группы.

Глава IV Автоморфизмы малой ширины

1. Предварительные результаты.

2. Инволютивные автоморфизмы ширины 1.

3. Инволютивные автоморфизмы ширины 2.

A. Предварительный анализ.

B. Случай 2-группы.

C. Доказательство теоремы 2.

Б. Доказательство теоремы 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скрученные подмножества в группах и их обобщения»

В работе [13] М. Ашбахер вводит понятие скрученной подгруппы в группе. При этом скрученной подгруппой (twisted subgroup) называется подмножество К группы G, удовлетворяющее следующим условиям: tsi) 1 е к, ts2) Если х,у е К, то хух е К.

В.В. Беляевым было замечено, что в ряде случаев вместо свойства (ts2) удобнее рассматривать свойство ts2*) Если х,у G К, то xy~lx G К.

Основное определение. (Беляев В.В.) Подмножество К группы G, для которого выполняются (tsl) и (ts2*) будем называть скрученным подмноэюеством.

Нетрудно показать, что скрученные подмножества всегда являются скрученными подгруппами. В конечных группах справедливо и обратное, то есть любая скрученная подгруппа есть скрученное подмножество. При этом стоит заметить, что М. Ашбахер в [13] работает только в конечных группах.

Понятно, что любая подгруппа в группе является скрученным подмножеством. В качестве нетривиальных примеров скрученных подмножеств можно указать множество инволюций группы, пополненное 1, а также множества = { х G G | ip(x) = ж-1 } и D(ip) = { x~lcp(x) | х G G }, где ip — инволютивный автоморфизм группы G.

Следует отметить, что понятия скрученного подмножества и скрученной подгруппы в группе были введены недавно. Поэтому пока эти объекты не подвергались систематическому изучению. Так, например, в работе [13] М. Ашбахер исследует в основном скрученные подгруппы специального вида, которые возникают в работе Т. Федера и М. Варди [18] и связаны с прикладными задачами.

С другой стороны, понятие скрученного подмножества обнаруживает связь с рядом классических объектов, которые происходят как из теории групп так и из геометрии и теоретической физики. Остановимся на этой связи более подробно.

Пусть С? — произвольная группа. Исходя из определим на бинарную операцию х о у := ху~хх для всех х, у £ Таким образом, мы ставим в соответствие группе Сг группоид (С?, о). При этом скрученными подмножествами группы (7 являются подгруппоиды группоида (С, о), содержащие 1.

Несложно проверить, что в любой группе выполняются следующие тождества: з1) х о х = х,

62) х о (х о у) = у,

63) х о (у о г) = (х о у) о {х о х).

Симметрические пространства

Понятие симметрического пространства, ставшее классическим и вошедшее в учебники по дифференциальной геометрии (см. например [3], [10], [11]) благодаря работам Э. Картана является, по всей видимости, первым историческим примером изучения системы тождеств (з1)—(бЗ).

Сам Э. Картан [4] определял симметрическое пространство, как риманово многообразие, любая симметрия которого сохраняет метрику.

В более поздних работах, например [5], симметрическое пространство определяется, как гладкое многообразие М, на котором задана бинарная операция, удовлетворяющая тождествам (з1)—(бЗ) и дополнительному топологическому свойству б4) для любой точки х из М существует такая ее окрестность что равенство х о уо = т влечет равенство х = ги для всех точек т Е II.

Операция "о" имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть А и В — точки некоторой поверхности М, лежащие достаточно близко друг от друга. Проведем геодезическую линию / из В в А. Продолжая I далее, отложим от точки А на линии I точку С с тем условием, что \ВА\ = \АС\. Полагая, теперь А о В := С, мы вводим бинарную операцию на точках поверхности М. Проверяется, что данная операция удовлетворяет условиям (в1)-(в4).

Отметим, что общая теория симметрических пространств излагается в монографиях [2], [5], [12].

Системы корней

Понятие системы корней возникает в теории групп лиева типа и необходимо для построения группы Вейля [16].

Пусть V — евклидово пространство размерности п. Скалярное произведение векторов х, у £ V будем обозначать через {х,у). Для произвольного ненулевого вектора V £ V определим отображение V —* V

2 (Х,У) У)„{х) := х - --—г;.

Геометрически шь{х) есть отражение вектора х относительно гиперплоскости, ортогональной вектору V. Отображение тг1 является линейным оператором пространства V для всякого V ф 0, причем ш,,(г>) = —V.

Подмножество ФСК называется системой корней пространства V [16], если выполняются следующие аксиомы:

1) Ф — конечное множество ненулевых векторов.

2) Ф порождает V.

3) Если г, 5 € Ф, то гуг(5) € Ф.

4) Если Ф, то 2(г, з)/(г, г) — целое число.

5) Если г, Ля € Ф, где Л € Е, то Л = ±1.

Пусть Ф — система корней пространства V. Определим на Ф бинарную операцию г о б := гиг(з) для произвольных г, в Е Ф.

Непосредственная проверка показывает, что операция "©"удовлетворяет тождествам (з2) и (бЗ). Заметим, однако, что г ог — —г для всех г € Ф.

Далее, из условия (3) следует, что если г 6 Ф, то— г Ё Ф. Рассмотрим разбиение тг множества Ф на подмножества вида {г,—г}, где г € Ф. Нетрудно видеть, что разбиение 7Г является конгруэнцией группоида (Ф,о). Следовательно в фактор-группоиде Ф = Ф/тг выполняются (в2) и (эЗ). Кроме того в Ф выполняется и (б1).

Таким образом, произвольной системе корней можно поставить в соответствие группоид, в котором бинарная операция удовлетворяет тождествам (з1)—(эЗ).

Заметим в заключении, что если функция ги сопоставляет элементам из группоида Ф их действие на V, то образ гЬф лежит в группе ортогональных преобразований пространства V и является подмножеством, замкнутым относительно операции "о", причем гиг*03* = ги^ о гЬ8* для всех г, в £ Ф.

Симметричные матрицы

Множество симметричных матриц в матричных кольцах играет большую роль в связи с задачей классификации симметричных билинейных форм.

Пусть 5 — множество симметричных матриц в матричной группе С?. Тогда понятно, что Е € 5, где Е — единичная матрица. Оказывается также, что для произвольных матриц 6 5 матрица X о У = ХУ~1Х снова содержится в ¿>. Это можно проверить непосредственно, а можно заметить, что £ совпадает с множеством 1(<р), где <р — инволютивный автоморфизм группы (2, переводящий произвольную матрицу X в матрицу

Таким образом, множество £ является скрученным подмножеством группы С.

Заметим, что скрученным подмножеством в (3 будет также множество матриц вида ХХТ, где X Е 6?. Это следует из того, что указанное множество совпадает с -О(^) для определенного выше автоморфизма </?.

Лупы нечетного порядка

В работах [21], [22], Дж. Глауберман исследовал группы нечетного порядка с введенной следующим образом бинарной операцией: х 0 у ух^. Относительно этой операции группа является лупой. В работе [21] для данных луп были доказаны аналоги теорем Лагранжа и Силова.

Заметим, что если подмножество Н группы нечетного порядка содержит 1 и замкнуто относительно операции "О", то Н замкнуто и относительно операции х * у — хух, поскольку х*у = х<Э(х<Эу). Таким образом, следуя терминологии М. Ашбахера [13], множество Н есть скрученная подгруппа. Но нетрудно показать, что тогда Н есть скрученное подмножество. Справедливо и обратное, то есть, если Н — скрученное подмножество из группы нечетного порядка, то Н замкнуто относительно операции "О".

Таким образом, фактически, в работах [21], [22] изучались скрученные подмножества в группах нечетного порядка.

Возвращаясь к свойствам операции 110"в группах нечетного порядка, что Дж. Глауберман отмечает в [21], что имеет место следующее тождество:

Ь) х О (у О {х © г)) = (х О {у 0 ж)) О г.

В работе [19] тождество (Ь) называется левым тождеством Бола, а лупы, в которых оно имеет место, соответственно, левыми лупами Бола. В [24, 26] рассматривается двойственное тождество

И,) ((г © х) © у) © х = г ® ((ж © у) © х).

Лупы обладающие свойством (Ы) называются правыми лупами Бола. Естественно, результаты, полученные, скажем, для правых луп Бола могут быть легко перенесены на левые и наоборот.

М. Ашбахер в [14] работает с тождеством (Я). Следуя Бэру [15], для произвольной лупы (X, •) рассматривается множество К(Х) = { И{х) | х € X } С Зут(Х), где каждая подстановка Я(х) действует на X следующим образом: уН{х) := у ■ х для всякого у е X. Со ссылкой на работы [19, 25], Ашбахер отмечает, что лупа X является правой лупой Бола тогда и только тогда, когда множество подстановок К(Х) является скрученным подмножеством группы Зут(Х).

Гирогруппы

Гирогруппы — это лупы специального вида, которые, по всей видимости, впервые появились в работе Абрахама А. Унгара [30] в 1988 году. В этой работе рассматривался так называемый релятивистский группоид в котором бинарная операция не является ни коммутативной, ни ассоциативной. Понятие гирогруппы обобщает конструкцию релятивистского группоида .

Группоид (С, О) называется гирогруппой [17, 20], если его бинарная операция удовлетворяет следующим условиям:

1) в С существует по крайней мере один элемент, обозначаемый 1, такой, что 1 0 д — д для любого элемента д из С.

2) существует элемент 1 из С, удовлетворяющий (1), такой, что для любого элемента д из С? найдется элемент г из С, такой, что -г 0 д = 1.

3) для любых элементов а, Ь, г из С? существует единственный элемент дуг[а, Ъ){г) е (2, такой, что а © (Ь © г) = (а © Ь) © дуг[а, Ъ]{г).

4) отображение гг —> дуг [а, 6] (ж) является автоморфизмом группоида

С,©).

5) дуг[а, 6] = дуг[а © 6,6] для всех а, Ь е С.

Конструкции гирогрупп и их физические интерпретации приводятся в работах [31],[32] и [34].

В работах [20], [33] показано, что любая гирогруппа может быть вложена в некоторую группу в виде скрученной подгруппы. Таким образом, скрученные подмножества в группах обнаруживают связь с конструкциями, возникающими в теоретической физике.

В силу приведенных выше примеров правомерно поставить общий вопрос об изучении скрученных подмножеств и разработке некоторой теории этих структур. Заметим, что построению начал такой теории посвящены работы Мыльникова А.Л. [6, 7, 8, 9] и совместная работа Беляева В.В. и Мыльникова А.Л. [1].

В настоящей диссертации продолжается исследование скрученных подмножеств в группах.

В главе I мы вводим на произвольной группе новую бинарную операцию х о у := ху~1х, которую называем операцией скручивания и исследуем свойства скрученных подмножеств с точки зрения тождеств, которым удовлетворяет эта операция.

В главе II исследуется поведение скрученных подмножеств в подгруппах, ими порожденных и вводится понятие симметричного подмножества, которое обобщает понятие скрученного.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вепринцев, Дмитрий Владимирович, 2008 год

1. Беляев, В.В. Оценка порядка группы, порожденной конечным скрученным подмножеством /В.В. Беляев, А.Л. Мыльников. //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.— Красноярск, 2007.—С. 3—5.

2. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны /Дж. Вольф.— М.: Наука, 1982.

3. Дубровин, Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения. В 2т. Т.2 Геометрия и топология многообразий /Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко.— М.: Эдиториал УРСС, 1998.

4. Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства: сб. ст. /Э. Картан— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.

5. Лоос, О. Симметрические пространства /О. Лоос— М.: Наука, 1985.

6. Мыльников, А.Л. Конечные перекрученные группы /А.Л. Мыльников //Математические системы. Вып.З /Краснояр. гос. аграр. ун-т,— Красноярск, 2005.—С. 53—58.

7. Мыльников, А.Л. Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы /А.Л.Мыльников //Сиб. матем. ж.—2006.— Т.47,—N5,—С. 1117-1127.

8. Мыльников, A.JI. О ступени разрешимости конечной перекрученной группы /A.JI. Мыльников //Вестник Красноярского госуниверситета.— 2006—N1.-C. 61-67.

9. Мыльников, A.JI. Конечные минимальные неперекрученные группы /A.JI. Мыльников //Вестник Красноярского госуниверситета.—2005.— N1.-C. 71-76.

10. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. /М.М. Постников— М.: Изд-во "Факториал", 1998.

11. Трофимов, В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями /В.В. Трофимов- М.: Изд-во МГУ, 1989.

12. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /С. Хелгасон— М.: Мир, 1964.

13. Aschbacher, М. Near subgroups of finite groups /М. Aschbacher //J. Group Theory.—1998.—v.l. N2.-P. 113-129.

14. Aschbacher, M. On Bol loops of exponent 2 /М. Aschbacher //J. of Algebra 288(2005).-P. 99-136.

15. Baer, R. Nets and Groups /R. Baer //Trans. Amer. Math. Soc. 47(1939)—P. 110-141.

16. Carter, R. W. Simple groups of Lie type /R.W. Carter //New York: Wiley and Sons—1972.

17. Feder, T. Strong near subgroups and left gyrogroups /Т. Feder //J. of Algebra 259(2003).-P. 177-190.

18. Feder, T. The computational structure of monotone monadic SNP and constraint satisfaction: A study through datalog and group theory /Т. Feder, M. Vardi //SIAM J. Comput. N28. -1998.-P. 57-104.

19. Foguel, T. On twisted subgroups and Bol loops of odd order /T. Foguel, M. Kinyon, J. Philips //submitted for publication.

20. Foguel, T. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups /T. Foguel, A.A. Ungar //J. Group Theory 3(2000).-P. 27-46.

21. Glauberman, G. On loops of odd order /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. Nl.-P. 374-395.

22. Glauberman, G. On loops of odd order II /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. N8—P. 393-414.

23. Gorenstein, D. Finite groups /D. Gorenstein //Harper and Row.—New York, 1968.

24. Kiechle, H. Theory of K-loops, Lecture Notes in Mathematics 1778 /H. Kiechle //Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.—2002.

25. Kreuzer, A. Inner mappings of Bruck loops /A. Kreuzer //Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 123 (1998).-P. 53-57.

26. Robinson, D. A. Bol loops /D.A. Robinson //Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966).—P. 341-354.

27. Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups.—4th ed. /Joseph Rotman //1995 Springer-Verlag New York, Inc.

28. Suzuki, M. Group theory I /Michio Suzuki //1982 Springer-Verlag New York, Inc.

29. Suzuki, M. Group theory II /Michio Suzuki //1986 Springer-Verlag New York, Inc.

30. Ungar, A.A. Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group /A.A. Ungar //Found. Phys. Lett—1988. N1.—P. 57—89.

31. Ungar, A.A. Thomas precession and its associated grouplike structure /A.A. Ungar // Amer. J. Phys—1991. -v.59.-P. 824-834.

32. Ungar, A.A. The holomorphic automorphism group of complex disk /A.A. Ungar //Aequat. Math—1994—v.47—P. 240-254.

33. Ungar, A.A. Thomas precession: its underlying gyrogroup axiom and their use in hyperbolic geometry and relativistic physics /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997.—v.27.—P. 881-951.

34. Ungar, A.A. From Pythagoras to Einstein: the hyperbolic Pythagorean theorem /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997. —v.28.—P. 1283—1321.Работы автора по теме диссертации

35. Вепринцев, Д.В. Симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.4 /Краснояр. гос. аграр. унт—Красноярск, 2005—С. 3—12.

36. Вепринцев, Д.В. Редуцированные симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.4 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.—Красноярск, 2005.—С. 13—17.

37. Вепринцев, Д.В. Конечные группы, обладающие инволютивным автоморфизмом с небольшим числом неподвижных классов сопряженных элементов /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.—Красноярск, 2007.—С. 17—39.

38. Вепринцев, Д.В. Об операции скручивания в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.— Красноярск, 2007.—С. 6—16.

39. Вепринцев, Д.В. Инволютивная декомпозиция группы и скрученные подмножества с малым количеством инволюций /Д.В. Вепринцев, А.Л. Мыльников //Сиб. матем. ж.-2008.-Т.49,-Ш,-С. 275—280.

40. Вепринцев, Д.В. Симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Мат-лы ХЫУ междунар. науч. студен, конф.— Новосибирск, 2006.—С. 89.

41. Вепринцев, Д.В. Конечные группы, обладающие инволютивным автоморфизмом с небольшим числом неподвижных классов сопряженных элементов /Д.В. Вепринцев //Мат-лы междунар. конф. „Алгебра и ее приложения" .—Красноярск, 2007.—С. 29—30.У