Случайные дзета-функции и тригонометрические многочлены тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бочков Иван Алексеевич

• Бочков Иван Алексеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Бочков Иван Алексеевич

Введение

Глава 1 Аналитическое продолжение дзета-функции Хелсона

1.1 Логарифмическая производная

1.2 Преобразования Меллина е заданными полюсами и вычетами в полосе , , , ,

Глава 2 Лемма Лева^Целищева

2.1 Обозначения

2.2 Основной результат

2.3 Т-поеледовательноети и ключевая лемма

2.4 Диадичеекое разбиение

2.5 Характеристическая функция множества

2.6 Доказательство теоремы 2,6

2.7 Вспомогательные результаты

2.8 Алгоритм диадического разложения

2.9 Скошенные отрезки

2.10 Завершение доказательства теоремы 2,2

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы и современное состояние

В данной работе решаются две аналитические задачи: задача о свойствах ряда Дирихле, возникающего в теории чисел, известного как дзета-функция Хелсона, и задача о локализации тригонометрических полиномов, мотивированная недавними исследованиями (квази)базисов Шаудера и фреймов, состоящих из сдвигов, в пространствах Ьр(М), Опишем первую задачу.

Дзета-функция Хелсона представляет собой замечательное обобщение дзета-функции Ри-мана. Она примечательна тем, что обладает двумя из трёх основных свойств последней — представлением в виде ряда Дирихле, см, (1) ниже, и представлением в виде произведения Эйлера (2) (третье свойство — функциональное уравнение; им дзета-функция Хелсона не обладает). Определим дзета-функцию Хелсона, Пусть \: N ^ Т, Т = {г € С: |г| = 1}, — вполне мультипликативная функция, то есть \(пт) = х(п)х(т) Для всех натуральных т, п. В дальнейшем будем иногда называть ее характером.

Определение

те

<*(*):= £ Х(п)п- (1)

п=

называется дзета-функцией Хелсона,

Определенная таким образом функция (х аналнтпчна в полуплоскости К > 1, Она допускает представление в виде произведения Эйлера:

<.« = П т-^ • и

В частности, функция (х не имеет нулей при Кз > 1,

Изучение функции (х было начато Генри Хелеоном [2], который в 1969 году показал, что

Теорема 0.2. [2] Для почти всех х функция (х аналитически продолжается в полуплоскость Кв > 1/2, и это продолжение не имеет нулей в указанной полуплоскости.

Результат Хелсона на самом деле более общий и доказан в контексте последовательностей Дирихле, связанных с дуальными группами подгрупп дискретной вещественной прямой, Только что сформулированное утверждение представляет собой частный случай, когда

дуальная группа представляет собой аддитивную группу логарифмов положительных рациональных чисел, «Почти все» в формулировке теоремы относится к мере на функциях X, индуцированной стандартной мерой произведения на бееконечномерном торе посредством отождествления функции ^ с последовательностью {х(р)} ^ её значений в простых числах.

Сравнительно недавно было показано [4, Theorem 1,6 and Lemma 2,19], что результат Хелеона оптимален в том смысле, что почти всякая функция (х по отношению к описанной выше мере не допускает мероморфного продолжения в полуплоскость > а для любого а < 1/2

В смысле теоремы Хелеона дзета-функция Римана принадлежит исключительному множеству благодаря своему полюсу в точке 0, Этот факт делает естественным вопрос о структуре аналитического продолжения дзета-функции Хелеона для х из исключительного множества.

Следующая теорема предеталяет собой наш первый основной результат. Она утверждает, что нули и полюса мероморфного продолжения функции (х в критическую полосу в существенном произвольны.

Зададимся множеством Р С С и функцией тр : Р ^ N. Пусть V (Р,тр) — множество мероморфных функций в полуплоскости с полюсами в Р, таких, что кратность полюса функции из V(Р, тр) в точке z G Р равна тр(z). Множество Z(Z, mz) определяется аналогичным образом с нулями вместо полюсов.

Теорема 0.3. Пусть Z и Р — произвольные непересекающиеся множества в полосе 21/40 < < 1, не имеющие точек накопления в не прям,ой = 21/40, и пуст ь mz : Z ^ N и тр : Р ^ N — произвольные функции.

1. Существует вполне мультипликативная функция х: N —> {e±2m/i, 1} такая, что функция (х допускает мероморфное продолжение в полуплоскость > 21/40, принадлежащее V(Р, тр) П Z(Z, mz)•

2. Если, кроме того, множества Z и Р, а также функции mz и тр, симметричны относительно числовой прямой, то существует вполне мультипликативная функция X: N —> {±1} 'такая, что функция (х допускает мероморфное продолжение в полуплоскость > 21/40, принадлежащее V(Р,тр) П Z(Z,mz)•

3. Если гипотеза Римана верна, то оба утверждения теоремы остаются, верными с за-

21/40 1/2

Эта теорема оптимальна в нескольких смыслах,

• Предположения о мощности множества значений характера х оптимальны, поскольку если % принимает всего два значения, то эти значения суть ±1 в силу полной мультипликативности, функция (х вещественна на вещественной прямой, а множества нулей и полюсов симметричны относительно неё.

• Доказательство конструктивно: указан рекуррентный алгоритм выбора одного из трёх (или двух, в зависимости от случая) значений х(р) Для каждого простого р.

Заметим также, что первая часть теоремы 0,3 верна с тем же доказательством, если множество {е±2™/3,1} в формулировке заменить на {г: г1 = 1}, для любо го I > 3,

Современная история такой постановки задачи начинается с работы К, Сейпа [1], где результат типа теоремы 0,3 был установлен для нулей мероморфного продолжения.

Теорема 0.4. ]1, Теорема 1.4] Для любого множества О, расположенного в полосе 1/2 < К < 39/40 и не имеющего точек накопления вне прям,ой Кз = 1/2, существует вполне мультипликативная функция х такая, что дзета-функция Хелсопа (х допускает мероморфное продолжение на, полуплоскость Кз > 1/2, причем,

1 39/40

Эта теорема, помимо прочего, показывает, что, хотя и существует дзета-функция Хелсона с заданными нулями и полюсами, удовлетворяющая условию плотности типа Бора-Ландау [6] в критической полосе, которая универсальна по Воронину в [1], общая дзета-функция Хелсона может быть весьма «неуниверсальной».

Доказательство теоремы 0,4 в [1] строит функцию (х в виде произведения двух функций: (х = г1г2. Функция г1 определяется значениями характера х на некотором подмножестве V простых чисел. Множество V и значения характера х на простых числах из V определены явно таким образом, что функция г1 имеет требуемое аналитическое продолжение, множество нулей которого совпадает с О, в то время как функция г2 определяется значениями х на остальных простых числах и допускает аналитическое продолжение вплоть до критической прямой К = 1/2, не обращающееся в нуль. Следует отметить, что функция г2 построена вероятностными методами теоремы Хельсона, что делает теорему 0,4 в целом неконструктивной, Построение функции г1 использует «диполи» вида (г — р)-1 — (г — р')-1, где р € О, а р' - полюс вблизи р, в качестве строительных блоков для ее логарифмической производной. Набор полюсов, возникающих при таком построении, не контролируется. До нашей теоремы 0,3 результаты, в которых контролируются как нули, так и полюса, например, [1, Теорема 1,1], были известны только при дополнительных предположениях о плотности и регулярности соответствующих множеств.

Способ одновременного решения проблемы нулей и полюсов без дополнительных ограничений был найден в нашей исходной работе [14], где была установлена слабая версия теоремы 0,3, В этой работе существование характеров х: N ^ Тс заданными наборами нулей и полюсов было установлено для тех же полос, что и в теореме 0,3, однако рассуждение не позволяло контролировать область значений характера не говоря уже о том, чтобы оптимизировать ее. Кроме того, доказательство в [14] по-прежнему опиралось на мультипликативное пред-

ставление (х = r1r2 го работы Сейпа [1] с функцией г2, определяемой через вероятностные построения, и, следовательно, также было неконструктивным.

Опишем схему доказательства теоремы 0,3, Первые три шага рассуждения стандартны для результатов такого типа — с помощью представления типа Дирихле для логарифмической производной дзета-функции задача сводится к задаче мероморфного продолжения ряда Дирихле по простым числам (см, (1.1)). Далее с помощью преобразования Меллина и интегрирования по частям, эта задача, в свою очередь, превращается в задачу приближения частичной суммы ^2р<х х(р) logР 110 простым числам первообразной убывающей функции от х в степенной шкале. На следующем шаге мы учитываем, что достаточно добиться приближения на лакунарной последовательности точек {xj } при двух конкурирующих требованиях: интервалы между ними должны быть как можно меньше, чтобы контролировать приближение внутри интервала по приближению на концах, и в то же время содержать достаточно простых чисел, чтобы допускать приближение на концах. Фактически, их длина определяется наилучшим (=наименыним) доступным размером интервалов, содержащих «правильное» количество простых чисел, предполагаемое распределением простых чисел, то есть оценками вида#(ж,ж + у) n{primes} > Су/log х. В настоящее время лучшие известные оценки таковы: у = л/х log х при условии справделивости гипотезы Римана [5] и у = х21/40 [3] без каких-либо условий. Следующий шаг — последовательный (по j) выбор значений х(р) Для простых чисел р в иптервале (xj ,Xj+1). Именно здесь проявляется первое новшество нашего подхода: вместо того, чтобы считать х постоянным для стольких простых чисел р G (xj,Xj+1).J сколько необходимо для компенсации отклонения, как в [1], мы выбираем значение характера для каждого следующего простого числа в интервале так, чтобы уменьшить отклонение у точки Xj+1. Такой выбор всегда возможен, если характеры принимают значения, равные кубическим корням из единицы, поскольку на каждом шаге один из них образует угол < х/2 с требуемым направлением, В упомянутом ранее подходе количество простых чисел, необходимых для аппроксимации в точке Xj+1, намного меньше общего количества простых чисел в (xj ,Xj+1), что вынуждает прибегать к вероятностному аргументу для определения характера х на оставшихся простых числах. Наша процедура позволяет учесть любое количество «лишних» простых чисел на интервале, что делает доказательство конструктивным и дает возможность выбрать характер х с минимально возможной областью значений. Второе новшество - интерполяционная формула, иепользванная при построении функции с заданными нулями и полюсами в критической полосе. Построенная функция достаточно быстро убывает на бесконечности, чтобы гарантировать, что она представляет собой преобразование Меллина убывающей функции в силу элементарных свойств классов Харди и леммы Римана-Лебега,

Наконец, отметим, что аналог теоремы Хелсона справделив и для меры, порождённой чисто дискретной мерой па T с носителем в корнях из единицы и дающей равный вес каждому корню. Таким образом, характеры построенные в теореме 0,3, лежат в исключительном множестве даже относительно этой более тонкой меры,

В дальнейшем все суммы с переменной суммирования р пробегают простые числа в интер-

вале, указанном в пределах суммы. Если пределы суммирования не указаны, суммирование осуществляется по всем простым числам.

Опишем теперь вторую задачу, решённую в работе.

Известный открытый вопрос в анализе Фурье - существует ли базис Шаудера из сдвигов одной функции в пространстве Lp (R), 1 < р < œ, см., например, [11], В последнее время интерес вызывает ослабленный вариант этой задачи, а именно, существует ли в той же постановке фрейм Шаудера из сдвигов. По определению, для банахова пространства X множество {(е„,е*)} С X х X* называется фреймом Шаудера (квазибазисом в другой терминологии) для X, если ряд е*п(х)еп сходится к х для любого х G X. Это определение не требует единственности е^ и, таким образом, действительно обобщает базис Шаудера, Существование фреймов Шаудера трансляций было установлено в [12] для всех р, 1 < р < œ, но построенные там фреймы сильно избыточны — сдвиги не являются равномерно дискретными, и таким образом результат не проясняет исходную задачу, поскольку равномерная дискретность, как известно, необходима для того, чтобы сдвиги функции образовывали базиса Шаудера, С другой стороны, при р > 2 фреймы Шаудера существуют [13] для произвольной последовательности сдвигов,

В серии недавних работ Н, Лева и А, Целищева [8], [9] проблема существования фрейма Шаудера сдвигов была изучена для интервала 1 < р < 2, Основной результат этих работ заключается в том, что для всех р из этого промежутка не существует безусловного квазибазиса из сдвигов, а при р > (1 + л/5)/2 существует квазибазис, состоящий из равномерно разделённых сдвигов.

Ключевую роль в доказательстве последнего результата играет следующая лемма. Пусть Q = S т t G R, — тригонометрический поли пом. Для р G [1, œ) положим

IqIap = Em IЯт|p)1/p- Обозначим через sn(Q) = ^n Qmezmt частичную сумму Фурье для Q.

Лемма 0.5. Пусть р > (1 + л/5)/2. Тогда для любого е > 0 существуют тригонометрические многочлены Р = J2m PmZtmt и Q = J2m QmZtmt, t G R, такие, что

(i) qo = 0 max.,- fy | < e;

(ii) IP - 1UP <e;

(iii) |PQ - % < e;

(iv) lPSm(Q)lAp < Cp для некоторой конст анты Ср, зависящей тюль ко от р.

Условие р > (1 + л/5)/2 в основном результате Лева-Целищева вытекает из этой леммы. Авторы [8] отметили, что из справедливости леммы для всех р > 1 следовало бы существование искомого фрейма Шаудера для всех р > 1,

Мы покажем, что лемма 0,5 неверна для р G (1, (1 + л/5)/2). Этот результат сформулирован ниже в виде теоремы 2,2 (ее формулировка довольно техническая, поэтому мы не воспроизводим ее во введении). Фактически, мы показываем, что в указанном диапазоне

р неверна даже ослабленная версия леммы Лева-Целищева, в которой тригонометрические полиномы заменяются произвольными функциями, для которых утверждение имеет смысл.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Случайные дзета-функции и тригонометрические многочлены»

Цель работы

Наша задача состоит из четырёх пунктов. Во-первых, мы хотели бы выяснить, можно ли выбирать полюса аналитического продолжения дзета-функции Хелсона в критической полосе произвольно и независимо от её нулей. Во-вторых, мы хотим исследовать, существует ли конструктивный способ найти характер с заданными наборами нулей и полюсов в критической полосе, и, в-третьих, можно ли найти характер х> «минимальный» в смысле области значений. Четвёртой целью было выяснить, выполняется ли лемма Льва-Целищева для р в диапазоне от 1 до золотого сечения.

Все четыре пункта этой программы выполнены. Наборы полюсов и нулей в нашей основной теореме 0,3 независимы и не зависят от каких-либо предположений о плотности распределения, Указана рекуррентная процедура восстановления значений х на простых числах для получения функции (х с заданными наборами нулей и полюсов, при этом заданные значения х(р) равны кубическим корням из единицы (или ±1).

Показано, что аналог леммы Льва-Целищева неверен для всех р Е (1, (1 + л/5)/2).

Структура и содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Основной результат в задаче о дзета-функции Хелсона сформулирован во введении. Результат о локализации тригонометрических полиномов - теорема 2,2 - имеет весьма техническую формулировку и приведен в разделе 2,2 "Основной результат "главы 2,

Глава 1 посвящена доказательству теоремы 0,3, в главе 2 доказывается теорема 2,2,

Практическое и теоретическое значение

Работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть применены в аналитической теории чисел, изучении дзета-функций, рядов Дирихле, анализе Фурье и теории обработки сигналов.

Научная новизна работы

Все результаты доказаны с математической строгостью и опубликованы в рецензируемых научных журналах, что подтверждает их достоверность.

Методы исследования

Наши основные методы включают методы комплексного анализа, преобразования Меллина, теории пространств Харди, диадичееких разложений и локализации для тригонометрических полиномов.

Основные научные результаты

1, Существование дзета-функции Хелсона с заданными нулями и полюсами в критической полосе 1/2 < < 1 (при условии справедливости гипотезы Римана) или 21/40 < < 1 (безусловно) [14].

2, Явное построение характера, реализующего дзета-функцию Хелсона из предыдущего пункта, с тремя значениями (общий случай) или двумя значениями (если нули и полюса расположены симметрично относительно действительной оси) [15].

3, Доказательство принципа неопределенности, показывающего, в частности, что утверждение леммы Лева-Целищева перестает быть верным при р Е (1, (1 + л/5)/2) [15].

Апробация работы и публикации

Результаты данной диссертации были представлены на международных конференциях и научных семинарах:

1. Конференция по комплексному анализу и его приложениям 11-15 сентября 2023 г., Красноярск.

2. Международная конференция по комплексному анализу, посвященная памяти Андрея Гончара и Анатолия Витушкина, Ноябрь 2023 г., МИЛН. Москва.

3. Семинар по теории операторов и теории функций, Апрель 2025 г. и май 2022 г., ПОМП. Санкт-Петербург.

4. Дни анализа в Сириусе, октябрь 2022 г.

Основные результаты опубликованы в рецензируемых научных журналах: две статьи опубликованы ([14] и [15]). Статья [14] написана совместно с научным руководителем, сформулировавшим задачу.

Благодарности

Мы выражаем благодарность Р. Романову за неоценимую помощь в работе, К. Сейпу за

±1

Глава 1 Аналитическое продолжение дзета-функции

Хелсона

Эта глава посвящена доказательству теоремы 0,3,

1.1 Логарифмическая производная

Пусть (х — дзета-функция Хелсона, Из представления в виде произведения Эйлера будем иметь:

С'(s) те

= - £ х(пЩп)п~s = - £ х(раЩра)Р~as =

^^^ п=1 р,а

- £ х(р)Л(р)р~s - £ х(ра)Л(ра)р~as,

р р,а>2

где р пробегает простые числа, а — натуральные, а Л — функция фон Мангольдта,

log п, п = pj ,j > 1, р primе;

I

Л

0, otherwise.

Вторая сумма в правой части абсолютно сходится при > 1/2, следовательно, левая часть допускает мероморфное продолжение в полуплоскость > а., а > 1/2, тогда и только тогда, когда функция

~g(s) = Х(Р)Р~s logР (1-1)

р

допускает такое продолжение, причем эти продолжения имеют одинаковые полюса и вычеты. Таким образом, задача сводится к построению функции д с требуемыми полюсами и вычетами. Будем искать функцию д в виде

/те

q(x)x~sdx, > 1,

где функция h аналптнчна в полуплоскости > 1/2, а функция q(x) = о(1), х ^

Лемма 1.1. Пусть q — непрерывная функция на, [1, причем q(x) = о(1), х ^

Тогда существует вполне мультипликативная функция х: N —> |е±27п/3,1} 'такая, что функция

/•те

/ q(x)x~sdx - ^^ х(р)р~s logР,

и

первоначально определенная в полуплоскости Rs > 1, аналитически продолжается, на полуплоскость Rs > 21/40, а при условии, справделивости, гипотезы, Римана, - и на, полуплоскость Rs > 1/2.

Если при этом функция q вещественна, то существует вполне мультипликативная функция х: N —> {±1} с тем,и же свойствам,и.

Для доказательства нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 1.2. [3, с. 562], [5] Существует константа С > 0, такая, что количество простых чисел в интервале (х,х + х21/4°) больше, чем х21/40/ log х для всех достаточно больших х. Если, гипотеза Римана, верна, то для всех с > 3 количество простых чисел, в интервале [х,х + c^Jxlogх] оценивается снизу как у/х для, х > х0(с) для, некоторого х0(с).

Доказательство. Рассуждая, как в [1, 8.1], используем тождество

/<х

q(x)x-sdx — ^^ x(p)p-s logР = р

/<Х/ / fX __\

yj Q(y)dy — x(p)log Pjx-s-1dx. (1.2)

Достаточно показать, что существует характер х такой, что

/х

q(y)dy — ^^ х(р) logР = 0(х30 logх). (1.3)

р<х

Пусть

31

х0 = 2, Xj+1 = Xj + х40. (1.4)

Достаточно установить справедливость (1.3) па последовательности х = Xj. Действительно, если (1.3) выполняется для х = Xj, то для х G [xj,Xj+1) будем иметь:

/х

Q(y)dy — X(P)log Р.

"3 Xj <р<х

Первый член в правой части равен 0(х21/4° logх) по предположению,

¡•х

q(y)dy = 0(х30)

Jxj

ввиду ограниченности функции q, а самый правый член в правой части тривиально оценивается как 0(х21/4° log х).

Осталось выбрать функцию х так, чтобы r(xj) = 0(ух21/4° log Xj), Фактически мы выберем ее так, чтобы r(xj) = 0(logXj), Выбор осуществляется индукцией по j. Мы выберем х(р) Для простых чисел р G [xj,Xj+1) так, чтобы

Изд)! < max {lr(Xj)1, 3logxj+1}

для всех достаточно больших j.

Обозначим через с1 е [-ж, ж) аргумент комплексного числа

rxi+1

pj := r(xj) + / ^

Jxj

и пусть к1 е {0, ±1} выбрано так, что |2fci^/3 - ci| < ^/3, Пусть ^ — наименьшее простое число в [xj, Xj+1), и пусть х(р1) = е2гк1ж/3. Рассмотрим число pj - х(р1) logр1 и обозначим через с2 е [-его аргумент, выберем к2 е {0, ±1} так, чтобы |2fc2^/3 - с2| < ^/3, и пусть х(р2) = е2гк2ж/3, где р2 - наименьшее простое число в [xj, Xj+1), большее чем р1, и так далее для всех простых чисел в [xj ,Xj+1). Имеем:

fXj+1 V-^

r(xj+1) = r(xj) + Q - x(p) logp =

X] Pt[Xj ,Xj + l)

Pj - е2гк1ж/3 log P1 - £ X(p) log p.

pe(pi,xj+i)

Из элементарной тригонометрии легко видеть, что

| - g^W3 log pi\ = ||pj | - ег(2к1^/3-1) log p1| <

|Pj I- (log P1)/4, log p1 <lp31/2, 3logръ logpi > |pj|/2.

(1.5)

поскольку 2cos(2fc1^/3 - c1) > 1 и |a - еш/3Ь1 < a - b/4 для веществен пых a,b таких, что 0 < b < a/2. Повторно применяя эту о цепку с р^ = pj - е2гк1ж/3 log р1 на месте pj, получим:

1 1 2iW3i Г, I log P1 +log Р2 О! 1 | Р1 - е 2 7 logP2I < max |pjI--4-, 3logр^> ,

и так далее. Теперь воспользуемся тем фактом, что интервал [xj ,Xj+1) содержит не менее / log Xj простых чисел для некоторой константы С1 > 0 не зависящей от j, см. лемму 1.2. Из нее следует, что после учёта всех простых чисел па интервале [xj,Xj+1).J первое из двух чисел, по которым берётся максимум, |pj | - (log р1 + log р2 + ... )/4, не превышает |pj | - /4. Второе число в максимуме, очевидно, оценивается сверху как 3logр* < 3log Xj+1l где р* — наибольшее простое число па [xj ,Xj+1). Таким образом,

|r(Xj+1)| < max{ |pj1 - C1xf/A0/4, 3log Xj+1j

С другой стороны,

|Pj I<Ir(Xj )| + o(xf/40),

поскольку функция q обращается в нуль на бесконечности по предположению. Выбирая число М достаточно большим, чтобы член о(х21/4°) стад меньше C1x2il/i40/8 для i < М, получим,

что при j > М

!r(xj+1)! < max {\r(xj)1, 3logXj+1} ,

что и требовалось. Таким образом, !r(xj+1)! = О (log Xj+1). В качестве подразумеваемой константы можно взять максимум по |r(^j)|/ log Xi, г < Ми 3, Безусловная часть утверждения доказана.

Предполагая справедливость гипотезы Римана, мы следуем тем же рассуждениям, используя Xi+1 = Xi + 4х~12 log Xi вместо (1.4), и учитываем, что согласно лемме 1,2 простых чисел в интервале [х,х + Су/х log ж] не менее у[х для всех с> 3. Это дает

г(х) = 0(у/х log2 х),

что доказывает требуемое утверждение в условном случае.

Часть утверждения, относящаяся к случаю вещественного q, доказывается аналогично, но проще — в этом случае вместо (1.5) мы будем иметь просто:

!Pj — хЫ logР1! = \!Pj1 — logР1!!.

□

Таким образом, осталось найти аналитическую функцию д1 в полуплоскости Rs > 1 вида

/те

q(x)x-sdx,

с функцией д, обращающейся в нуль при х ^ допускающую мероморфное продолжение на полуплоскость Rs > 21/40 с заданными полюсами и вычетами в них.

Лемма 1.3. Пусть д — аналитическая функция в полуплоскости Rz > 1 такая, что sup |z|2|g(z)| < го. Тогда, существует непрерывная функция q, q(s) = о(1), s ^ +го, такая, что

/те

q(s)x-sdx, Rs > 1.

Если, при этом функция g(s) вещественна при вещественном, s, то q также вещественна.

Доказательство. Рассмотрим функцию h(t) = g(—it + 1) Функция h принадлежит классу Харди Н+ в верхней полуплоскости, и, стало быть, сужение h|R есть обратное преобразование Фурье некоторой функции р G L2(R), обращающейся в нуль на отрицательной полуоси. Поскольку h|R G L2 П L\ функция р представляет собой классическое преобразование Фурье функции h, следовательно, она непрерывна и обращается в нуль при х ^ +го по лемме Римана-Лебега. Функция q(s) := p(log s) тогда также обращается в нуль при s ^ +го. Наконец, имеем (напомним, что s = —it + 1):

рте рте рте

/ q(x)x-sdx = q(ey )e(1-s)y dy = p(y)elty dy = h(t) = g(s), 1 0 0

как и требовалось. Осталось заметить, что если функция д(в) вещественна при вещественном з, то ^(¿) = Н(—¿), и, следовательно, функции р и q вещественны, □

1.2 Преобразования Меллина с заданными полюсами и вычетами в

полосе

Пусть а = 21/40 в безусловном случае и а = 1/2, если выполняется гипотеза Римана, Предположим сначала, что множества ^ и Р не имеют конечных точек накопления. Ввиду леммы 1,1, теорема 0,3 для этого случая будет доказана, если нам удастся найти аналитическую в полуплоскости Кз > 1 функци ю ^удовлетворяющую условию вир^^ 1д^)1 |г|2 < тоЬ допускающую мероморфное продолжение на полуплоскость Кг > а с заданными полюсами и вычетами в полосе а < Кг < 1,

Сначала отметим, что для заданной точки а < Кг0 < 1 и числа С > 0 можно выбрать п = п(С,г0) достаточно большим так, чтобы функция

9г0 (г) 1

(z - Z0)(Z - Zo + 1)2п

обладала следующими свойствами:

(i) IgZ0(z)| < С при Kz > 1,

(ii) gZ0 аналитична в полуплоскости {Kz > а} за исключением точки z0, имеет простой полюс в точке z0 с вычетом ResZ0 gZ0 = 1,

(iii) IgZ0(z)| < С при Iz - z0I > 3, Kz > a.

Лемма 1.4. Пусть £ — подмножество nолоеы a < Kz < 1, не имеющее конечных точек накопления, и пусть т: £ —> C \ {0} — произвольная, функция. Тогда, существует меро-морфная функция g в полуплоско emu Kz > а, множество полюсов которой с овпадает с £, все полюса простые, ResZ g = m(z) при z е £, и

sup |g(z)||z|2 < то.

Uz >1

£

ция т принимает вещественные значения и m(z) = m(z), то g(z) вещественно при вещественном z.

Доказательство. Пусть G1 — аналитическая функция в полуплоскости Kz > а, не имеющая нулей, вещественная при вещественном z, удовлетворяющая оценке G1(z) = 0(|z|-2) при |z| ^ то, а в остальном произвольная. Например, можно взять G1(z) = e-Zz-2.

Фиксируем произвольную нумерацию множества £, Для р^ е £ определим gi как функцию gVi, удовлетворяющую свойствам (i)-(iii) с

с IGMI

1т(рг)1*+1'

Пусть

g(z) = G1(z) ^ m(pi) .

(1.6)

Проверим, что ряд в правой части абсолютно сходится в любой точке г ф Е полуплоскости Кг > а, причем сходимость равномерна на компактах в (Кг > а} \ Е, и, таким образом, функция д мероморфна с простыми полюсами в Е и не имеет других особенностей.

Действительно, пусть г ф Е, Кг > а. Очевидно, что число точек рг, для которых — Рг1 < 3, конечно, Еели — рк | > 3 для некоторого к, то

|g1 (№ )| Ырк ^^

согласно (iii), откуда

т(рк)

9к (z)

G1(pk)

<2

-к-1

сходимость доказана. Равенство Кв8Р4 д = т(рг) очевидно. Остаётся заметить, что при

?R.z > 1 имеем

m(pi)

9i(z)

G1(j>i)

2

-г-1

следовательно, ^(z)| < |G1(z)|, и, таким образом, sup^2>1 |z|2|g(z)| < го, что и требовалось.

Утверждение о вещественности g(z) при веществен ном z для симметричного множества Е следует непосредственно из (1.6). □

Таким образом, теорема 0.3 доказана в частном случае, когда множества Z и Р не накапливаются на конечном расстоянии. Общий случай сводится к этому посредством диади-ческого разложения полосы так же, как в [1, Section 8.1].

и

Глава 2 Лемма Лева-Целищева

В серии недавних работ Н, Лева и А. Целищева [8], [9] исследовался вопрос о существовании квазибазиса (фрейма Шаудера) в пространстве Ьр(К), 1 < р < 2, состоящего из сдвигов одной функции. Основной результат этих работ состоит в том, что безусловный квазибазис такого типа не существует для всех р из рассматриваемого интервала, а при 2 > р > (1 + л/5)/2 существует квазибазис, состоящий из равномерно разделенных сдвигов функции, т, е, функций вида $(• — Х^), где функция д фиксирована, а множество (Х^} удовлетворяет условию т£ = |Xi — Х^| > 0.

Ключевую роль в доказательстве существования квазибазиса в этих работах играет следующая лемма. Пусть Q = ^т дтегт\ í е К, — тригонометрический многочлен. Для р е [1, го) положим = (^т 1я_т\р)1/р- Обозначим через частичную сумму Фу-

рье^(д) = ЕN Яше™^

Лемма 2.1. Пусть р > (1 + л/5)/2. Тогда для любого е > 0 существуют тригонометрические многочлены Р = ^т ртегт1 и Ц = ^т t е К, такие, что

(1) до = 0 шах^-1 < е; (и) 1Р — 1|Ар <е; (ш) № — <е;

(Ь') 1Р8т^)1А < Ср для некоторой конст анты Ср, зависящей тюль ко от р.

Условие р > (1 + л/5)/2 в основном результате Льва-Целищева вытекает из этой леммы. Авторы [8] отметили, что справедливость леммы для всех р > 1 подразумевала бы существование искомого фрейма Шаудера для всех р > 1,

Цель данной статьи — показать, что при р < (1 + л/5)/2 лемма 0,5 неверна, а значит, вопрос о фрейме Шаудера из сдвигов одной функции, не может быть решён методом Лева-Целищева, Отметим, что справедливость леммы при р = (1 + л/5)/2 остается открытым вопросом,

2Л Обозначения

Т — единичная окружность, отождествлённая с отрезком [0, 2^], обозначения меры Лебега подмножества М С Т. х = в (у) означает, что у = О(х);

Мы используем |М| для

х У у означает, что х > Су с некоторой абсолютной константой С. В данной работе показатель степени суммируемости р будет фиксированным, все константы могут зависеть от него.

Мы будем естественным образом отождествлять измеримые комплекенозначные функции на единичной окружности с их тригонометрическими рядами. Через ¡т будем обозначать коэффициенты Фурье функции / € Ь1 (Т), Через мы обозначаем Ьр-норму функции Р

на окружности, а через 1АР — /р-норму её коэффициентов Фурье, Классическое неравенство Хауедорфа-Юнга утверждает, что |АР > ср|Рр € [1, 2], где ср — абсолютная константа, зависящая от р, а 5 = р/(р — 1) _ показатель, двойственный р. Ьля любой интегрируемой функции / на единичной окружности (/) = ^т=-ы 1те%тг ~ ее частная сумма Фурье, Иногда мы используем | • | ¡Р для обозначепия Iр-нормы.

Для двух функций А, В на единичной окружности А * В обозначает их свёртку. Для сегмента окружности I и функции Р через Е/(Р) обозначается среднее значение Р по сегменту I относительно меры Лебега, если не указано иное. Через Е(Р) обозначается среднее значение Р то всей окружности. Через [ Р обозначается интеграл от Р по всей окружности,

А(т) - т-й коэффициент Фурье функции А.

Для векторов и,у через (и, V) обозначим их скалярное произведение. Через Хк обозначим характеристическую функцию отрезка [— к, /ф Через Хм для произвольного множества М обозначим характеристическую функцию этого множества. Через ¥АЕ( Р) обозначим вариацию функции Р, Через Дт обозначим т-е ядро Дирихле, Ит(х) = ^пк=_п . Через К Р обозначим вещественную часть функции Р,

цией Р на окружности следующим образом: Р(ж) = ъ /(х + 2жп). Для функции /, заданной на [—ж, ж], это совпадает с классическим пониманием.

2.2 Основной результат

1+У5

двойственный показатель, С > Ср > 1

доста-

Теорема 2.2. Пусть 1 < р < ^Ч^, ц

1 > > 0

число. Пусть А € А1 таково, что для некоторой функции В € А1 выполняются следующие условия:

1) Е(В) = 1,

2) К(Е(А)) ^ С-1,

3) тахт (1 — А)Бт(В)

1

Ап

4) (1 — А)В Тогда

Аъ

А

УС р

Ап

для, любого е > 0, где константы здесь и в пункте 3) могут зависеть от р. Заметим, что я(2-^-1 > 0 при всех р < ■

Из этого следует, что утверждение леммы 0,5 не выполняется ни для какого р е (1, )■ Действительно, если бы оно выполнялось для некоторого р из этого интервала, то для любого заданного С > 1, взяв достаточно малое е и положив А =1 — Р., В = 1 — Q, мы получили бы тригонометрические многочлены А и В, удовлетворяющие условиям теоремы при заданном И. Действительно, условия (1), (111) и (гу) проверяются непосредственно, а условие (и) следует из того, что при стремлении Ар-нормы функции А к 0, в частности, стремится к нулю и ее постоянный член |А(0)|, а значит, и К(ЕА) ^ 0,

Утверждение теоремы теперь, очевидно, несовместно с условием (и) леммы. Сначала мы докажем лемму, которая позволит нам оценить Лр-норму функции через объект, называемый нами Т-поеледовательноетыо,

2.3 Т-последовательности и ключевая лемма

Назовем Т-системой ТБт = (^т,Тт) кортеж из натурального числа т, функции Рт па единичной окружности Т и конечного набора попарно непересекающихся отрезков Тт = (Тт>1,Тт>2,... Тт,кт}, С Т, со следующими свойствами:

1. Рт = 0 гае Тт,

2. У (Т Рт = 0,

3. Ух 1Рт(х)1 ^ 1,

4. У? 1Тт, | ^ £

5. ¥АК(^т) х кт.

Для системы Т положим: =

Последовательность Т-еиете м ТБ 0, ТБ1,..., ТБ к,... будем в дальнейшем называть Т-последовател ьностью,

Лемма 2.3. Зафиксируем вещественные числа р, г, а, такие, что 2 > р, г > 1, 2 — р > а > 0. Пусть для некоторых вещественных чисел, М, С, таких, что М ^ 1, С ^ 1, существуют Т-последовательность V и комплекснозначная функция А на, окружности со следующими, свойствам,и:

1. |ВДЛ)| У

2. ^ X С-г,

3. Ег * У

г(2-р)-1

Тогда У С р (подразумеваемая константа может зависеть от р,г,а).

Доказательство. Для данной функции Р € Ь1 (Т) и числа ] € N обозначим через Р) (Р) проекцию на пространство функций, носитель преобразования Фурье которых лежит на объединении отрезков [— 27+1, — 27] и [27, 2-7+1], то есть положим:

Р (Р )(х) = £ Рпвгпх.

23 <|п|<2-?'+1

Пусть Аз = р (А)|а ■ Для доказательства леммы нужно оценить ^ А Предложение 2.4. Длл любого ] € N

||Р ( Рт)Щ(Т) ^ ^. (2-1)

Доказательство. Отметим, что ЦР,( Рт)||Ъз(Т) ^ ||Рт||Ъ2(Т) ^ поэтому достаточно рассмотреть |т — Л > 10,

При ] < т рассмотрим функцию Т = 27+2Рт * х-з-2. Имеем:

I 2 2

1|ТЩ = 22 Рт(*) Й- (I)2 У £ Рт(^) = ||Р,(Р„"12

2-?' ^|4|<2^'+1

л-1 т НЪ2

поскольку | х22——(¿) | У 2-:' для 27 ^ |£| < 27+1. Согласно предположению (2) из определения Т-систем средние значения Рт по интервалам системы равны нулю, следовательно, функция Т(х) обращается в нуль всякий раз, когда ни один из концов интервала (х — 2-7-2,х + 2-7-2)

Тт Тт

Т

этих наблюдений показывает, что мера носителя Т есть 0(/1т), а второе - что |Т(ж)| ^ 27-т для любого х. Отсюда следует, что

||Р ( Рт)И1(Т) ^НТ ПЪ ^ ^ ,

что и требовалось.

При ] > т рассмотрим функцию

Т = Рт — 2-2Рт * Х22-, .

Оценка ||Р,( Рт)||Ъз(Т) ^ ||Т||Ъз в этой ситуации сохраняется, С другой стороны, разрезав окружность на ~ 2-7 равных интервалов, получим, что

г2ж ¡-^ 2^3-1 |

|Т I =/ ,2"3 Е|т (* + 27-3)

г=0

йх.

Поскольку

|Т(ж)| ^ шах (и) — Рт(х)1

| и-х\<22—з

сумма в подынтегральном выражении оценивается сверху величиной УАК(^т), Учитывая, что |Т | X 1, получим:

г-2ж

/ |т|2 X / |Т| ^

оо

к„ ~2з

что в точности равно (2,1) в случае ] > т. Предложение 2.5. | X для, 2^ ^ |п| <

□

Доказательство. Отметим, что ^ |^т| X Мт, поэтому достаточно расемотреть |га — Ц > 10, Зафиксируем произвольное п такое, что |п| Ф [2^, 2-?+1), Если ] ^ т, то для произвольного I Ф Тт, I = [и, имеем

Рт(х)е?

егпи I Рт(г)(ет(х-и) — 1) + егпи I Рт(х)

X |п|

следовательно, |^т(п)| X кт2^-2т = ^т2:>-т, что и требовалось.

Для ] ^ т используем [13, Уо1. I. ТЬеогет 4,12], согласно которой Ц(п)| X ¥АЕ(/)/|п| для любой функции / ограниченной вариации. Применительно к / = Рт, это дает < ¥АЕ(^т)2" X кт2-^ = что и требовалось, □

Доказательство леммы 2.3. Пусть д — показатель, двойственный к р. Имеем:

£ ^(Л)| ^(Рг)1

>

неравенство Гёльдера в каждой сумме по 1

(23+1

Е ^г(1)А( — 1) |!|=2

№№)| у §.

В силу предложений 2,4 и 2,5

\р, №)И. X |р, № й |1^(п)|)-2 X 5-2

Подставляя это в предыдущее неравенство, можно продолжить оценку ((1 + (д — 2))/д = 1/р):

м -

Суммируя по г и используя неравенство Гёльдера, находим, что

Ег ^ М

X

£ ^(А)^ 2- 1 1 ^ < ^(А)ГАр 2~т 1 1 /?)

1/р

г,3

г,3

(£ 11/ X ^ (£ X Ил, (Е С"5<5

2

для некоторых положительных т, т.

Теперь, разделив на и используя предположение (3) леммы 2,3, получим:

|А|А у м(2~а)/р~1с?($-1)-$ > с($-1)-$,

что и требовалось, □

2.4 Диадическое разбиение

Идея основного доказательства заключается в следующем: мы рассматриваем процесс диа-дичеекого разбиения окружности на всё более и более мелкие отрезки, сохраняя при этом определённые инварианты.

Результатом работы алгоритма разбиения будет набор некоторых отрезков — вершин

Т

А

Зафиксируем общую терминологию, связанную с диадическим разбиением окружности. На каждом шаге алгоритма разбиения имеется некоторый набор живых отрезков (обозначаемых чере , На каждом шаге алгоритма мы берём самый длинный отрезок I € удаляем его из и либо объявляем его листом по определённым правилам (обозначим множество листьев как £), либо делим его па два отрезка (называемых детьми или сыновьями отрезка I) Д, 12 и помещаем их в Обратите внимание, что отрезки Д, 12, вообще говоря, могут иметь различную длину.

Рассматриваемые в ходе алгоритма отрезки образуют множество корневых деревьев, корнями которых являются отрезки из в начале алгоритма. Назовём отцом отрезка I такой отрезок I', что I - сын отрезка Г. Если у отрезка I имеется отец, обозначим его через Т(/), Потомков отрезка I, если таковые имеются, обозначим через С1(1), С2(1). Будем говорить,

что отрезок I - предок отрезка I', если I лежит па пути от I' к корню его дерева, В этой

'

Т

С(Т).

2.5 Характеристическая функция множества

Продемонстрируем идею доказательства на частном случае задачи, при рассмотрении которого используются те же идеи, что и в общей ситуации, но технические детали проще.

Теорема 2.6. Пусть 1 < р < , ? — двойственный показатель. А

окружности меры, С — достаточно большое число. Тогда, если для любого т

1

|(1 — А)5т(А)|АР = 0(С;)

то |А|АР ^ С6 при 5(р) = ч^-1.

Эта теорема представляет собой частный случай теоремы 2,2 в ситуации А = А, В = С А. Заметим без доказательства, что при р > условие этой теоремы не выполняется,

что можно показать, слегка модифицируя пример Целищева и Льва, Критический случай Р = остаётся открытым,

2.6 Доказательство теоремы 2.6

Рассмотрим процесс диадичеекого разбиения окружности. Сначала мы помещаем в ДС один отрезок, равный всей окружности [0, 2ж\. Опишем, как мы обрабатываем текущий отрезок: Алгоритм 1.

1, Если Е/А ^ ил и Е/А ^ мы помещав м I в С и завершаем работу с отрезком, В первом случае мы будем называть этот лист малым, а во втором — большим. Обозначим множество малых листьев через 5С, больших — через БС,

2, В противном случае удаляем I из ДС, делим его на две равные половины 12 и помещаем отрезки и 12 в ЛС,

Этот алгоритм можно продолжать бесконечно, но суммарная мера листьев равна мере всего круга, поэтому мы можем работать и с бесконечным деревом тоже.

Назовём потенциалом отрезка величину РУ = (Е/А)2|/|, а дисбалансом Д/ отрезка I — число

= — Е /2А|,

1, 2

Лемма 2.7. Пусть Т — произвольный набор отрезков, образующих поддерево в диадичееком дереве разбиения, корнем которого является, Тогда,

£ '-Д = ( £ р- ) ~ръ -

1еТ\с(т) 1еТпс(Т)

= 2 ((ЕадА)2 + (ЕС2(1)А)2) — (ЕМ)2,

в силу числового тождества ( 5 — ¿)2 = 2(в2 + ¿2) — ( 5 + ¿)2. С использованием обозначения Р^ это равенство записывается в виде:

РС1(1) + Рс2(1) — Р1 = [о2,.

При суммировании этого тождества по отрезкам I, каждое Рх, за исключением тех, которые соответствуют корню и листьям, появляется в сумме ровно дважды: один раз сам по себе и

один раз как чей-то еын, е противоположными знаками. Следовательно, еумма сворачивается в (Еier(i)nc(T) Pi) — Pioi чт0 и требовалось, □

Назовём отрезок диадичеекого разбиения I звёздным, если выполняется одно из следующих условий:

1, Е/А > 100, или

2, Е/А > и Т(I) является звёздным.

Другими словами, звёздный отрезок — это отрезок, для которого среднее значение А по нему самому или по одному из его предков не менее 1/100, причем в последнем случае для всех отрезков на пути от данного отрезка до этого предка среднее значение А те мен ее

Назовём звёздный отрезок базовым, если его отец не является звёздным. Также назовем отрезок конечным, если он либо является листом, либо не является звёздным, но его отец является звёздным. Обозначим множество звёздных отрезков через 5Z, множество конечных отрезков через TZ, а множество базовых отрезков через -BZ,

Для каждого отрезка I G ßZ рассмотрим максимальное поддерево Sj с корнем в точке /, такое, что для любого отрезка I\ G Si либо Д = /, либо Т(Д) G 5Z, Такое поддерево определяется однозначно.

Предложение 2.8. Поддеревья Sp отвечающие разным базовым отрезкам,, не пересекаются.

Доказательство. Предположим, что Si1 и Si2 пересекаются. Без потери общности можно считать, что отрезок 12 лежит в поддереве Sj^ Но тогда Т(Д) G □

Предложение 2.9. Sl pi') — Pi > 5000111-

Доказательство. Заметим сначала, что 50 > Е/А > 1/100 поскольку отрезок I -звёздный (второе неравенство), а отрезок Т(I) - нет (первое неравенство), В частности, Pj < (1/2500)\I|. Рассмотрим интеграл ffA. Этот интеграл представляет собой сумму интегралов по трём непересекающимся множествам — объединению малых листов, содержащихся в Si, объединению больших листов, соде ржащихея в Si, и объединению отрез ков из Si, которые не являются ни листами, ни звёздными; соответствующие интегралы будут обозначены через (I), (II) и (III). ^^то, что (I) X О (С-2)\I \ в силу самого определения малых листов и что (III) < (1/1000)\/^ поскольку Ер А < 1000 для любого незвёздного отрезка I' G Si. Подставляя эти оценки в оценку ff А = \1 \Е/А > (1/100)\/\, заключаем, что

(П) = ¡BCllSr А > 1000 \

то есть

IBCnSi — 1000 \

98

\1 \< £ \J ЕА.

1000'

j eßcnS!

Поскольку Е3А > для любого большого листа 3, отсюда следует, что

зе^в, > 1000011

Значит,

2

5000

(

У Р3 I — Р/ > -\1\.

3 1 > 50001 1

\ зевспс(в1)

□

Следствие 2.10. \I\Dj —

Доказательство. Заметим, что любой звездный отрезок Д € 5Х содержится в единственном дереве Б/,1 € Ы. Следовательно,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бочков Иван Алексеевич, 2025 год

Литература

[1] К, Seip, Universality and distribution of zeros and poles of some zeta functions, J, Anal, Math. 141(2020), no. 1, 331-381. arXiv:1812.11729.

[2] Henry Helson. Compact groups and Dirichlet series, Ark. Mat. 8 (1969), 139-143.

[3] R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz. The difference between consecutive primes. II, Proc. London Math. Soc. 83(2001), 532-562.

[4] E. Saksman and C. Webb. The Riemann zeta function and Gaussian multiplicative chaos: statistics on the critical Une, Ann. Probab. 48 (2020), No. 6, 2680-2754. arXiv: 1609.00027.

[5] A. Dudek. On the Riemann hypothesis and the difference between primes, Int. J. Number Theory 11 (2015), 771-778.

[6] H. Bohr and E. Landau. Sur les zéros de la fonction ((s) de Riemann, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 158 (1914), 106-110.

[7] Johan Andersson. Mittag-Leffler type theorems for Helson zeta-functions, Preprint http://arxiv.org/abs 2 108.15713vl (2024)

[8] N. Lev and A. Tselischchev. Schauder frames of discrete translates in LP(R). Preprint, arXiv:2402.09915 [math.CA] (2024).

[9] N. Lev and A. Tselischchev. There are no unconditional Schauder frames of translates in LP(R), 1 < p < 2. Adv. Math. 460, Article ID 110036, 11 p. (2025); Preprint arXiv:2312.01757 [math.CA] (2023).

[10] A. Zygmund. Trigonometric Series, 2 vols., Cambridge, Eng., 1959.

[11] T. E. Olson and R. A. Zalik, Nonexistence of a Riesz basis of translates, in "Approximation theory"(Memphis, TN, 1991), 401-408. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 138 Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.

[12] D. Freeman, A. M. Powell, M. A. Taylor. A Schauder basis for L2 consisting of non-negative functions. Math. Ann. 381 (2021), no. 1-2, 181-208.

[13] D. Freeman, E. Odell, Th. Schlumprecht, A. Zs'ak. Unconditional structures of translates for Lp(Rd). Israel J. Math. 203 (2014), no. 1, 189-209.

[14] I. Bochkov and R. Romanov, On zeroes and poles of Helson zeta functions, J, Funct, Anal, 282 (2022) 109398.

[15] I. Bochkov. Helson zeta functions for characters with finitely many values, Bull. London Math. Soc. 55 (2023), 2233-2241.