Случайные кубатурные формулы в задачах планирования эксперимента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мисов, Трифон Иванов

• Мисов, Трифон Иванов
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мисов, Трифон Иванов

Введение

Глава 1. Задачи, использующие распределение А

1.1 Приближенное вычисление интегралов (задача 1)

1.2 Разделение ошибок в регрессионном анализе (задача 2)

1.3 Нахождение точных D-оптимальных планов (задача 3)

Глава 2. Моделирование распределения А2 в непрерывном случае

2.1 Подходы и известные результаты. Метод отбора.

2.2 Оценка трудоемкости метода отбора.

2.3 Условные плотности как смеси распределений

2.4 Оценка трудоемкости моделирования условных плотностей.

2.5 Сравнение величины трудоемкости методов отбора и условных плотностей

2.6 Примеры вычисления интегралов

Глава 3. Моделирование распределения А2 в дискретном случае

3.1 Подходы и известные результаты. Метод обращения.

3.2 Использование метода отбора.

3.3 Использование условных плотностей

3.4 Сравнение трудоемкостей предложенных методов.

3.5 Примеры разделения ошибок

Глава 4. Моделирование обобщенного распределения А2 и вычисление точных /^-оптимальных планов

4.1 Вид условных плотностей обобщенного Д2-распределения

4.2 Моделирование обобщенного распределения А2 и оценка его трудоемкости

4.3 Качество приближения

4.4 Замечание о моделировании в области сложного вида

4.5 Примеры нахождения D-оптимальных планов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Случайные кубатурные формулы в задачах планирования эксперимента»

Распределение А2 играет важную роль по крайней мере в трех задачах: уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло (условимся называть ее в дальнейшем задачей 1), анализа систематической погрешности в регрессионном анализе (задача 2), а также построения точных jD-оптимальных планов в теории планирования эксперимента (задача 3). Первая задача рассматривается подробно в [4], а вторая в работах [4] и [16].

Использование распределения А2 требует его моделирования. Однако, до недавнего времени были предложены методы (в непрерывном случае -метод отбора, а в дискретном - метод обращения), чьи трудоемкости растут очень быстро с ростом п размерности моделируемого вектора. Это обстоятельство создавало значительные трудности при решении задач, в которых п велико.

Целями данной работы являются, во первых, построение эффективных алгортимов моделировния распределения А2 во всех его модификациях -непрерывной, дискретной и обобщенной. Во вторых, проиллюстрировать на важных примерах преимущество использования распределения А2 в задачах 1 и 2. В третьих, рассмотреть неисследованную в контексте А2 задачу 3, получить результаты о близости полученной аппроксимации точного D-оптимального плана и проиллюстрировать предложенную процедуру на примерах. В частности, в двумерной области в случае квадратичной регрессии.

В Главе 1 изложены постановки и известные решения задач 1 и 2, а также исследована задача 3 в контексте обобщенного распределения А2. Главы 2, 3 и 4 посвящены моделированию А2 в непрерывном, дискретном и обобщенном случае, соответственно, причем в каждой из них приводятся содержательные иллюстративные примеры.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мисов, Трифон Иванов

Заключение

В этой работе рассмотрено три задачи - задача оценивания интералов (задача 1), задача разделения ошибок в регрессионном анализе (задача 2) и задача нахождения точных 2}-оптимальиых планов (задача 3). Все они допускают решение с помощью распределения А2 в его соотвествующей форме - непрерывной (задача 1), дискретной (задача 2) или обобщенной (задача 3). Обзор известных результатов изложен в пунктах 1.1 и 1.2 Главы 1, а в пункте 1.3 предложен новый подход решения задачи 3, основанный на приближении точного D-оптимального плана с помощью моды выборки из генеральной совокуности с обобщенным А2-распределением. В Главе 2 изложен эффективный алгоритм моделирования A2(Q) основанный на основных плотностях. Важным условием, хоть и не сильно ограничительным, его применения является ортонормированность базисных функций cpi,.,(pn либо в области X, либо в другой области более простой структуры,- содержащей X. По сравнению с чистым отбором, используемым до этого в литературе как единственным в данном случае, метод моделирования условных плотностей менее трудоемкий и позволяет в самой общей постановке задачи моделировать вектора большой размерности. В конце Главы X приведены примеры оценивания кратных интегралов из теории надежности с помощью интерполяционно-кубатурных формул.

В Главах 3 и 4 составлены и исследованы алгоритмы моделирования А2 -распределения в дискретном и обобщенном случае. Они являются лишь модификациями основного алгоритма, изложенного в Главе 2, но в каждой из задач 2 и 3 являются эффективными и также применимыми к широкому классу постановок. В Главе 3 приведены содержательные примеры разделения ошибок, как в одномерной, так и в двумерной области. Рассмотрены случаи и активного и пассивного проведения эксперимента. Один из основных результатов работы связан с нахождением точных D-оптимальных планов с помощью обобщенного распределения А2. Показано, что по сравнению с простейшим случайным поиском эта процедура требует меньшего числа моделируемых точек для попадания в окрестность искомого плана с данной точностью. Среди примеров приближенного вычисления D-оптимальных планов наиболее интересен результат, полученный для квадратичной регрессии в двумерной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мисов, Трифон Иванов, 2008 год

1. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц, М.: "Наука", 1966, 576с.

2. Ермаков, С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М.: "Наука", 1975, 327с.

3. Ермаков, С.М., Жиглявский, А.А. Математическая теория оптимального эксперимента, М.: "Наука", 1987, 319с.

4. Ермаков, С.М., Золотухин, В.Г. Полиномиальные приближения и метод Монте-Карло , Теория вероятностей и ее применения (1960) 5, №4, с.473-475.

5. Ермаков С.М., Мисов Т.И. Моделирование А2-распределения, Вестник СПбГУ, Вып.4, 2005. с. 123-140.

6. Ермаков С.М., Мисов Т.И. О методах типа "ресемплинг" в регрессионном анализе, Математические модели. Теория и приложения, Вып. 6, СПб.:ВВМ, 2005, с. 27-36.

7. Жиглявский А.А. Математическая теория глобального случайного поиска, Д.: Изд-во ЛГУ, 1985.

8. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума, М.: Наука. 1991.

9. Крамер, Г. Математические методы статистики, М.: "Мир",1975,654с.

10. Мысовских, И.П. Интерполяционные кубатурные формулы, М.: "Наука", 1981, 333с.

11. Подкорытов, А.Н. О свойствах D-оптимальных планов в случае квадратичной регрессии, Вестник СПбГУ, Вып. 2„ No. 7, 1975. с. 163166.

12. Тихомиров А.С. О скорости сходимости однородного марковского монотонного поиска экстремума, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47 (5), с.817-828.

13. Тихомиров А.С. Об одном сеточном методе поиска экстремума, 2007 (в печати)

14. Федоров, В.В. Теория оптимального эксперимента, М.: "Наука", 1971.

15. Dette Н., Melas V.B., Biederman S. D-optimal designs for trigonometric regression models on a partial circle a functional-algebraic approach, Stat. Prob. Let., 57 (2003), 389-397.

16. Ermakov S.M., Schwabe R. On Randomizing Estimators in Linear Regression Models, Freie Universitaet Berlin Verlag, Serie A Mathematik, 1999, Юр.

17. Fedorov V.V., Hackl P. Model-oriented design of experiments, Springer-Verlag, New York, 1997.

18. Hammersley J.M., Morton K.W. A New Monte Carlo Technique Antithetic Variat.es, Proc. Cambr. Phil. Soc., 1956, 449-474.

19. Hickernell F.J., Wozniakowski H. Integration and approximation in arbitrary dimensions, Adv. in Сотр. Math., 12 (2000), 25-58.

20. Melas V.B. Functional approach to optimal experimental design, Springer-Verlag, New York, 2006.

21. MissovT.I., Ermakov S.M. Simulation of the A2-distribution. The discrete case. Proceedings of the 5th St. Petersburg Workshop on Simulation, 2005. pp. 499-502.

22. Missov T.I. Integral Evaluation Using the A2-distribution. Simulation and Illustration. Monte Carlo Methods and Applications, Vol. 13, No. 2 (2007), pp. 219-225.

23. Novak E., Ritter K. High dimensional integration of smooth functions over cubes, Numer. Math., 75 (1996), 79-97.

24. Pukelsheim F. Optimal designs of experiments, John Wiley & Sons, New York, 1993.

25. Pukelsheim F., Rieder S. Efficient rounding of approximate designs, Biometrika, 79 (1992), 763-770.

26. Wasilkowski G.W. Integration and approximation of multivariate functions: average case complexity with isotropic Wiener measure, Journal of Approximation Theory, 77 (1994), 212-227.