Смешанные краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений второго порядка и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лийко Виктория Владимировна

• Лийко Виктория Владимировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Лийко Виктория Владимировна

подобластях

2.4 Связь с нелокальной эллиптической краевой задачей в цилиндре

2.5 Гладкость обобщенных решений на границе цилиндрических подобластей

2.6 Гладкость обобщенных решений смешанной краевой задачи в точках сопряжения

Глава 3. Смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в произвольной ограниченной области

3.1 Постановка задачи

3.2 Разрешимость смешанной краевой задачи

3.3 Гладкость обобщенных решений внутри подобластей

3.4 Связь с нелокальной эллиптической краевой задачей

3.5 Гладкость обобщенных решений на границе соседних подобластей

3.6 Гладкость обобщенных решений в точках сопряжения

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений второго порядка и их приложения»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

В диссертации изучаются эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в частных производных. В таких уравнениях присутствуют не только дифференциальные операторы, а и операторы сдвига. Такие задачи относятся к нелокальным задачам.

Современная теория функционально-дифференциальных уравнений началась с работ А. Д. Мышкиса [22,23]. В дальнейшем ее развивали в своих работах многие математики: Л.Э. Эльсгольц [55], Н.Н. Красовский [15], Г. А. Каменский [13, 60], Дж. Хейл [52], Р. Беллман и К. Кук [2], и др. Существенные результаты по теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений получены в работах Ф.Хартмана и Г. Стампакья [64], А. Б. Антоне-вича [1], В. С. Рабиновича [30] и др. Интерес к этим уравнениям связан прежде всего с многими важными приложениями: к теории упругости [25,67,68,73], к нелинейной оптике [4,31,43,74,79], к теории многомерных диффузионных процессов [5,42,59,71,73,78], к проблеме Като о квадратном корне из оператора [44,45,61,76], и др. Важно отметить, что краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений тесно связаны с нелокальными краевыми задачами для эллиптических дифференциальных уравнений [36,40,44,57,58,73], теория которых стала активно разрабатываться после опубликования известной работы А. В. Бицадзе, А. А Самарского [3].

Основы теории краевых задач для эллиптических функционально-диффе-рециальных уравнений, содержащих сдвиги аргумента, которые могут отображать точки границы в область, построил в своих работах А. Л. Скубачев-ский [36-41,72]. Один из наиболее впечатляющих результатов в этой области показывает, что наличие таких сдвигов приводит к появлению решений, гладкость которых может нарушаться внутри области даже при бесконечно гладкой правой части. Однако, она сохраняется в некоторых подобластях. Наиболее полно результаты А. Л. Скубачевского в этой области представлены в монографии [73]. В дальнейшем краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений изучали также в своих работах его ученики. Так, изучались вопросы разрешимости и гладкости обобщенных решений, спектральная асимптотика,

вторая и третья краевые задачи, операторы с вырождением, краевые задачи для уравнений с несоизмеримыми сдвигами, см. [11,12,24,26-29,34,35,46,47,53,54,66].

Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиям аргументов и в том числе с растяжениями-сжатиями изучались в работах Л. Е. Россовского, А. А. Товсултанова, А. Л. Тасевич, и др, см. [32,33,69,70]. В работах В.Е. Назайкинского, А. Ю. Савина, Б. Ю. Стернина продолжилось изучение эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями переменных, отображающими область в себя [65]. Статьи А. Б. Муравника посвящены краевым задачам для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в полупространстве [20,21], задаче Коши для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами аргументов в старших членах [19]. Нелинейные эллиптические функционально-дифференциальные уравнения изучались в работах О.В. Солонухи, см. [49-51]. В связи с тем, что обобщенные решения краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений могут иметь степенные особенности в точках сопряжения, во многих случаях [41,47,75] для исследования вопросов разрешимости, гладкости и асимптотики решений используется аппарат теории весовых пространств, построенный в известной работе В. А. Кондратьева [14], посвященной теории эллиптических задач в областях с угловыми и коническими точками. В работах В. В. Власова, Н. А. Ра-утиан методами спектральной теории изучаются эволюционные функционально-дифференциальные уравнения с запаздыванием по времени, см. [6-8].

Смешанные задачи для эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений второго порядка со сдвигами по пространственным переменным в старших производных рассматривались в [17,18,48,62,63].

Отметим, что смешанные краевые задачи для сильно эллиптических систем дифференциально-разностных уравнений возникают при исследовании упругих деформаций трехслойных пластин с гофрированным заполнителем в случае, когда две противоположные грани пластины жестко закреплены, а другие две - свободны [67], см. рисунок 0.1.

Цели и задачи работы Цель работы заключается в следующем: 1) исследовать эллиптические дифференциально-разностные операторы со смешанными краевыми условиями, рассматриваемые в цилиндрической и в произвольной ограниченной области; 2)

Рис. 0.1.

описать изоморфизмы функциональных пространств, порожденных этими операторами; 3) показать связь смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений и нелокальных смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциальных уравнений; 4) изучить разрешимость и гладкость обобщенных решений таких задач.

Научная новизна

В работе получены новые результаты об изоморфизме, порожденном разностным оператором с переменными коэффициентами. Этот результат позволяет использовать результаты о разрешимости и о гладкости обобщенных решений краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения с переменными коэффициентами для исследования нелокальной краевой задачи для эллиптического дифференциального уравнения, и обратно.

В диссертации рассмотрена смешанная краевая задача для эллиптического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. Получены новые результаты о постановке смешанных краевых условий. Для таких задач доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость обобщенных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых подобластях и может нарушаться на границах соседних подобластей. Получены новые результаты о гладкости обобщенных решений таких задач в точках сопряжения.

Теоретическая и практическая значимость работы Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в общей теории нелокальных краевых задач и в теории многослойных пластин с гофрированным заполнителем, а также для анализа результатов численного моделирования решений подобных задач.

Методология и методы исследования

Изучение смешанных краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений основано на комбинации методов исследования эллиптических дифференциальных уравнений, свойствах разностных операторов и теории пространств Соболева.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказаны теоремы об изоморфизмах функциональных пространств, порожденных разностными операторами с переменными коэффициентами.

2. Сформулированы корректные постановки смешанных краевых условий для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений.

3. Доказаны теорема об однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения и теорема о гладкости ее обобщенных решений в подобластях. Получено необходимое и достаточное условие сохранения гладкости обобщенных решений на границе соседних подобластей.

4. Построена связь смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения и нелокальной смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциального уравнения. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллииптического дифференциально-разностного уравнения, необязательно являющегося сильно эллиптическим.

5. Доказана теорема о сохранении гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в точках сопряжения в случае цилиндрической области и оператора Лапласа. Построен пример нарушения гладкости обобщенных решений в точках сопряжения в случае произвольной ограниченной области.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 96 страниц с 8 рисунками. Список литературы содержит 79 наименований.

Глава 1 состоит из четырех параграфов и посвящена изоморфизмам функциональных пространств, порожденным разностными операторами.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Приводятся результаты, посвященные разностным операторам в ограниченных областях. Строится разбиение области на классы подобластей, множество точек сопряжения, их геометрические свойства. Вводятся матрицы, характеризующие разностный оператор, составленные из его коэффициентов. Приводятся основные свойства разностных операторов в пространстве Ь2(^) и в пространствах Соболева.

Параграфы 1.2, 1.3 посвящены изучению разностного оператора с переменными коэффициентами в цилиндрической и в произвольной ограниченной области с бесконечно гладкой границей. Вводится определение регулярного разностного оператора. Доказываются теоремы об изоморфизмах функциональных пространств: регулярный разностный оператор отображает непрерывно

о

и взаимно однозначно пространство на подпространство функций в

W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (Теорема 1.1 для цилиндрической области, Теорема 1.3 для произвольной ограниченной области). Также, регулярный разностный оператор отображает непрерывно и взаимно однозначно подпространство функций в пространстве W21(Q) с нулевыми следами на элементах границы, которые могут быть отображены внутрь области сдвигами, порожденными разностным оператором, на подпространство функций в W21(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (Теоремы 1.2, 1.4). Эти изоморфизмы позволяют установить соответствие между краевой задачей для эллиптического дифференциально-разностного уравнения и эллиптическим дифференциальным уравнением с нелокальными краевыми условиями. Этот результат демонстрируется в параграфе 1.4 на примере краевой задачи Дирихле.

В Главе 2 исследуется смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндре. В параграфе 2.1 доказывается основная Теорема 2.1 о корректности смешанных краевых условий для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндре с точки зрения сохранения минимальной гладкости функций. Показано, что естественно задавать однородные условия Дирихле на основаниях цилиндра и краевые условия второго рода на боковой поверхности цилиндра. В параграфе 2.2 доказана Теорема 2.2 об однозначной разрешимости такой задачи. Пара-

граф 2.3 содержит Теорему 2.3 о локальной гладкости обобщенных решений в цилиндрических подобластях. Также в этом параграфе объясняется в каком смысле обобщенное решение удовлетворяет самому уравнению и краевому условию второго рода на боковой поверхности цилиндра.

Параграф 2.4 посвящен теории нелокальных краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в цилиндре. В Теореме 2.4 доказано существование и единственность обобщенного решения нелокальной смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциального уравнения в цилиндре. Доказана Теорема 2.5 о гладкости обобщенных решений нелокальной краевой задачи для эллиптического дифференциального уравнения. На основании этого результата, в силу Теоремы 1.2 об изоморфизме, получен результат о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в предположении регулярности разностного оператора (Теорема 2.6).

Далее в работе обобщаются результаты о гладкости обобщенных решений смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре: в параграфе 2.5 получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости таких решений на границе соседних цилиндрических подобластей (Теорема 2.7 для случая целой длины основания цилиндра, Теорема 2.8 для случая нецелой длины основания цилиндра), в параграфе 2.6 доказана Теорема 2.10 о сохранении гладкости обобщенных решений вплоть до точек сопряжения в случае, когда дифференциальный оператор есть оператор Лапласа.

В Главе 3 исследуется смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в произвольной ограниченной области. В параграфе 3.1 доказывается основная Теорема 3.1 о корректности смешанных краевых условий для такого уравнения с точки зрения сохранения минимальной гладкости функций. Показано, что естественно задавать однородные условия Дирихле на элементах границы, которые могут быть отображены внутрь области сдвигами, порожденными разностным оператором, и краевые условия второго рода на остальных элементах границы. В параграфе 3.2 доказана Теорема 3.2 об однозначной разрешимости такой задачи. Параграф 3.3 содержит Теорему 3.3 о локальной гладкости обобщенных решений в подобластях.

Параграф 3.4 посвящен теории нелокальных краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в произвольной ограниченной области с бесконечно гладкой границей. В Теореме 3.4 доказано существование и единственность обобщенного решения нелокальной смешанной краевой задачи для сильно эллиптического дифференциального уравнения. Доказана Теорема 3.5 о гладкости обобщенных решений нелокальной краевой задачи для эллиптического дифференциального уравнения. На основании этого результата, в силу Теоремы 1.4 об изоморфизме, получен результат о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в предположении регулярности разностного оператора (Теорема 3.6).

Далее в работе обобщаются результаты о гладкости обобщенных решений смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений: в параграфе 3.5 получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости таких решений на границе соседних подобластей (Теорема 3.7). В параграфе 3.6 показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи точек сопряжения.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация результатов Результаты, представленные в диссертационной работе, излагались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством В. В. Власова, под руководством Г. А. Чечкина; на семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством И. С. Ломова; на научном семинаре кафедры высшей математики МФТИ под руководством Е. С. Половинкина; в Российском университете дружбы народов на семинаре под руководством А. Л. Скубачевского; на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (Москва, 2018, 2020); на Международной научной студенческой конференции МНСК-2018 (Новосибирск, 2018); на 29-й, 30-й и 31-й Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2018, 2019, 2020); на 5-й Международной конфе-

ренции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (Москва, 2018); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2019, 2021); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2020), на Международной конференции «Frontier in mathematics and computer science» (Ташкент, 2020).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17,18,62,63,77] из списка литературы, а также в следующих тезисах конференций.

1. Лийко В.В. Об изоморфизме, порожденном разностным оператором с переменными коэффициентами. Математика: Материалы 56-й Международной научной студенческой конференции (22 — 27 апреля 2018 года), Новосибирск: Издательско-полиграфический центр НГУ, стр. 69.

2. Лийко В.В. Об одном свойстве невырожденных разностных операторов с переменными коэффициентами. Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2018». Отв. Ред. И.А. Алешков-ский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2018.

3. Лийко В.В. Об одном свойстве невырожденного разностного оператора с переменными коэффициентами в цилиндре. Сборник материалов международной конференции КРОМШ- 2018 «XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». Симферополь, издательство и типография ООО «Полипринт», стр. 19-20.

4. Лийко В.В. Об изоморфизме, порождённом дифференциально-разностным оператором с переменными коэффициентами в цилиндре. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования: тезисы докладов Пятой Международной конференции, посвящённой 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 26-29 ноября 2018 г. — М.: РУДН, 2018, стр. 137.

5. Лийко В.В. Об одном свойстве разностного оператора с переменными коэффициентами. Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа (28 января - 2 февраля 2019 г.) Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2019, стр. 182.

6. Скубачевский А.Л., Лийко В.В. Об одном свойстве регулярного разностного оператора в цилиндре. Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 18-20 июня 2019 г.: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, 2019, стр. 60-61.

7. Лийко В.В. Смешанные краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре. Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2019 «XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». Симферополь, издательство и типография ООО «Полипринт», стр. 179181.

8. Лийко В.В. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями. Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2020» [Электронный ресурс] Отв.ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. - М.: МАКС Пресс, 2020.

9. Лийко В.В. Смешанные краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XXXI» (3-9 мая 2020 г.) Воронежский государственный университет; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Математический институт имени В. А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2020, стр. 133.

10. Лийко В.В. Гладкость обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндре. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020 «XXXI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». Симферополь, издательство и типография ООО «Полипринт», стр. 162-163.

11. Liiko V. Smoothness of Generalized Solutions of Mixed Problem for Elliptic Equations Near Boundaries of Subdomains. FRONTIER IN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE Abstracts of the International Online Conference (October 12-15, 2020, Tashkent), pp. 62-63.

12. Skubachevskii A.L., Liiko V.V. Mixed Boundary-Value Problem for Second Order Elliptic Differential-Difference Equations in a Cylinder. FRONTIER IN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE Abstracts of the International Online Conference (October 12-15, 2020, Tashkent), pp. 102-103.

13. Лийко В.В. О гладкости обобщенных решений смешанных краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа (28 января - 2 февраля 2021 г.) Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2021, стр. 184-185.

Глава 1. Изоморфизмы функциональных пространств, порожденные разностными операторами

Эта глава посвящена изоморфизмам функциональных пространств, порожденным разностными операторами. Также в главе представлены вспомогательные результаты, используемые в диссертации. Основные результаты этой главы опубликованы в статьях [17,77].

1.1 Геометрические вопросы. Простейшие свойства разностного оператора

В этом параграфе будут представлены геометрические факты, связанные с постановкой задачи, а также представлены основные свойства разностных операторов, используемые в диссертации, доказательства см. в гл. II из [73].

1.1.1. Рассмотрим разностный оператор Я : Ь2(Шп) ^ Ь2(Шп), определенный по формуле

Яи(х) = ^^ аН(х)и(х + Н), (1.1)

НеМ

где М С Кп - конечное множество векторов с целочисленными координатами. Коэффициенты разностного оператора будем предполагать бесконечно гладкими функциями, х = (х1,..., хп) е Кп, п > 2.

Пусть 5 С Кп - ограниченная область с бесконечно гладкой границей д(5 е Сж или 5 = (0, ё) х С, где С С Кп-1 - ограниченная область с границей дС е Сж, если п > 3, и С = (а, Ь), если п = 2.

Введем также оператор Яд : Ь2(5) ^ Ь2(5), действующий по формуле

ЯQ = РдЯ1д, (1.2)

где 1д : Ь2(5) ^ Ь2(Кп) - оператор продолжения функций из Ь2(5) нулем в Кп \ 5, Рд : Ь2(М.п) ^ Ь2(5) - оператор сужения функций из Ь2(Шп) на 5. Через М обозначим аддитивную группу, порожденную множеством М, а

через - открытые связные компоненты множества Q \ ( У (дф + Н)).

Не М

Определение 1.1. Множество будем называть подобластью. Множество М всех подобластей (г = 1, 2,...) - разбиением области ф.

Для множества подобластей справедливы следующие результаты:

Лемма 1.1. и дфг = Ш (дф + Н)) П

г Нем

Лемма 1.2. и = ф.

г

Лемма 1.3. Для любых фГ1 и Н е М либо существует фг2 такое, что фг2 = + Н, либо фг1 + Н С \ (.

Разбиение М естественным образом распадается на непересекающиеся классы: подобласти фГ1, фг2 е М принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор Н е М, для которого фг2 = фг1 + Н. Обозначим подобласти через фв/, где й - номер класса (й = 1, 2,...), а I - порядковый номер данной подобласти в й-м классе. Очевидно, что каждый класс состоит из конечного числа N = N(й) подобластей . Будем предполагать, что множество различных классов конечно. Обозначим число различных классов через й1.

1.1.2. Кроме разбиения области, рассмотрим свойства разбиения границы дф. Введем множество

к = у к п (дф + Н1) проТНУйдогад}. (1.3)

Н1,Н2еМ

Будем предполагать, что множество К П дф имеет нулевую (п — 1)-мерную меру Лебега дп—1(^). Однако, в общем случае может оказаться 1(К П дф) = 0, см. пример 7.6 из [73]. Граница дф разбивается множеством К на открытые связные в топологии дф компоненты множества дф \ К, которые мы будем обозначать Гр.

Введем также множество К = 0, если дф е и К = ({0} х дС) и ({¿} х дС), если ф = (0,^) х С.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1.4. Если (Гр + Н) П ф = 0 при некотором Н е М, то либо Гр + Н С ф, либо существует Гг С дф \ К такое, что Гр + Н = Гг.

В силу леммы 1.4 множество {Гр + Н : Гр + Н С 5,р = 1, 2,...; Н е М} можно разбить на классы следующим образом: множества ГР1 + Н1 и ГР2 + Н2 принадлежат одному и тому же классу, если:

1) существует Н е М такое, что ГР1 + Н1 = ГР2 + Н2 + Н, и

2) в случае ГР1 + Н1, ГР2 + Н2 С д5 направления внешних нормалей к д5 в точках х е ГР1 + Н1 и х — Н е ГР2 + Н2 совпадают.

Будем предполагать, что число различных классов конечно и равно г1. Очевидно, что множество ГР С д5 может принадлежать лишь одному классу, а множество ГР + Н С 5 - не более, чем двум классам. Будем обозначать множества ГР + Н через Г^, где г = 1, 2,... ,г1 - номер класса, ] - номер элемента в данном классе (1 < ] < J = J(г)). Не ограничивая общности, будем считать, что ГГ1,..., Г^0 С 5, Г^+1,..., ГrJ С д5 (0 < 3 = 3о(г) < 3 (г)). Из определения множества К вытекают следующие утверждения.

Лемма 1.5. Для любого Гг^ С д5 существует подобласть 5а1 такая, что Гг^ С д5а1, при этом Гг^ П д5а111 = 0, если ^, 11) = (в, I).

Лемма 1.6. Для любого г = 1, 2,...,г1 существует единственное в = в (г) такое, что N (в) = 3(г) и после некоторой перенумерации Гг1 С д5а1 (I = 1,...,М (в)).

Лемма 1.7. Для любого Гг^ С 5 существуют 5а111 и 5а212 такие, что 5а111 = 5а212, С д5а111 П д5а212 и П д5а313 = 0, если (вз, 1з) = (в1,к), (в2, ь2).

1.1.3. Перейдем к свойствам разностных операторов в пространстве Ь2(5). Будем рассматривать разностный оператор Я : Ь2(Шп) ^ Ь2(Шп), заданный формулой (1.1).

Лемма 1.8. Оператор Я : Ь2(Шп) ^ Ь2(Шп) ограниченный и

Я*и(х) = ^^ аН(х — Н)и(х — Н).

НеМ

Для введенных в п. 1.1.1 операторов 1д : Ь2(5) ^ Ь2(Шп), Рд : Ь2(Кп) ^ Ь2(5), Яд : Ь2(5) ^ Ь2(5) справедлива следующая лемма.

Лемма 1.9. Операторы Рд, Яд, 1д ограниченные, при этом ¡Од = Рд и Яд = РдЯЧд.

Для каждого класса й определим объединение всех его подобластей как ВД

Л- := и . Обозначим через Ь2(А8) подпространство функций в Ь2(0, рав-/=1

ных нулю вне Л8. Можно показать, что

¿2(« = 0 ¿2 (Л-) . (1.4)

Более того, справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.10. Ь2(Л8) - инвариантное подпространство оператора Яд.

Обозначим через Р8 : Ь2(0 ^ Ь2(Л8) оператор ортогонального проектирования на Ь2(Л8).

Для всех й =1,...,й1, I = 1,..., N (й) введем векторы Н8/ такие, что ф81 + Н8/ = Q8/ (Н81 = 0). Для дальнейших исследований нам будет удобно ввести изоморфизм гильбертовых пространств и8 : Ь2(Л8) ^ ^(Q81) по формуле

(и-и)/(х) = и(х + Н-/) (х е ф-1; I = 1,..., N = N(5)), (1.5)

где ^(Q8l) ^ П^Юл). /

Тогда является справедливой следующая лемма. Лемма 1.11. Оператор Яд8 : ^(ф^) ^ (Q8l), определяемый формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лийко Виктория Владимировна, 2021 год

Литература

[1] Антоневич А. Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе, Дифференц. уравн, 1972.-8, № 2.-С. 309-317.

[2] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967.

[3] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач, Докл. АН СССР, 1969. — 185, № 4. — С. 739-740.

[4] Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике, Соврем. мат. Фундам. направл., 2007. — 21. — С. 5-36.

[5] Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов, Теория вероятн. и ее примен., 1959. — 4, № 2. —С. 172-185.

[6] Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, Матем. сб., 1995. — 186, № 8. — С.67-92.

[7] Власов В. В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений, МАКС Пресс, М., 2016.

[8] Власов В. В., Раутиан Н.А. Исследование функционально-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, Докл. РАН, 2017. — 477, № 6. —С. 641-645.

Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

[9] Ибрагимов А. И. Некоторые качественные свойства решений смешанной задачи для эллиптических уравнений в негладких областях, Докл. АН СССР, 1982.— 265, № 1.—С. 27-31.

[10] Ибрагимов А. И. О разрешимости смешанной задачи для эллиптических уравнений второго порядка, Дифференц. уравн., 1983.— 19, № 1.—С. 56-65.

[11] Иванова Е. П. О коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов, Соврем. мат. Фундам. направл., 2016. — 62.—С. 85-99.

[12] Иванова Е. П. О гладких решениях дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов Матем. заметки, 2019. — 105, № 1.—С. 145-148.

[13] Каменский Г. А., Хвилон Е. А., Необходимое условие оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, Автоматика и телемеханика, 1969.—№ 3.—С. 20-32.

[14] Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками, Тр. Моск. мат. о-ва., 1967. — 16.— С. 209-292.

[15] Красовский Н. Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени, Докл. АН СССР, 1957.— 114. № 2. — С. 252255.

[16] Ладыженская О. А, Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973.

[17] Лийко В. В., Скубачевский А. Л. Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями в цилиндрической области, Соврем. мат. Фундам. направл., 2019. — 65, № 4. — С. 635654.

[18] Лийко В. В., Скубачевский А. Л. Смешанные задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре, Матем. заметки, 2020. — 107, № 5. —С. 693-716.

[19] Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши, Соврем. мат. Фундам. направл., 2014. — 52.—С. 3-141.

[20] Муравник А. Б. Эллиптические задачи с нелокальным потенциалом, возникающие в моделях нелинейной оптики, Матем. заметки, 2019. — 105, № 5.—С. 747-762.

[21] Муравник А. Б. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения в полупространстве, Матем. заметки, 2020.— 108, № 5.—С. 764-770.

[22] Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, УМН, 1949.— 4, № 5 (33).—С. 99-141.

[23] Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Гостехиздат, М.-Л., 1951.

[24] Неверова Д. А. Гладкость обобщенных решений задачи Неймана для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей, Соврем. мат. Фундам. направл., 2020.— 66, № 2.— С. 272-291.

[25] Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела, Прикл. мех., 1979.— 15, № 5.—С. 39-47.

[26] Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. О полноте и базисности системы корневых функций сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов, УМН, 1996. — 51, № 6.—С. 219-220.

[27] Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, Дифференц. уравн, 1999. — 35, № 6.—С. 793-800.

[28] Попов В. А., Скубачевский А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением, Соврем. мат. Фундам. направл., 2010.— 36.—С. 125-142.

[29] Попов В. А., Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением, Соврем. мат. Фундам. направл., 2011.— 39.—С. 130-140.

[30] Рабинович В. С. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на ив полупространстве, Докл. АН СССР, 1978.— 243, № 5.—С. 11341137.

[31] Разгулин А. В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с пре- образованным аргументом, Журн. вычисл. матем. и матем. физ, 1993.— 33, № 1.—С. 69-80.

[32] Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции, Соврем. мат. Фундам. направл., 2014.— 54.—С. 3-138.

[33] Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. Об однозначной разрешимости функционально- дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах, Дифференц. уравн., 2017.— 53, № 12.— С. 1679-1692.

[34] Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 2007. — 26. —С. 324-347.

[35] Селицкий А. М. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Соврем. мат. Фундам. направл., 2007. — 21. —С. 114-132.

[36] Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач, Матем. сб., 1982.— 117, №4.—С. 548-558.

[37] Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах, Дифференц. уравн., 1982.— 18, № 9.—С. 1590-1599.

[38] Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи с вырождением, Дифференц. уравн., 1983.— 19, № 1.—С. 457-470.

[39] Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения, Матем. заметки, 1983.— 34, № 1.—С. 105-112.

[40] Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом, Матем. заметки, 1985.— 38, № 4.—С. 587-598.

[41] Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы, Матем. сб., 1986. —129(171), № 2. — С. 279-302.

[42] Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов, Докл. АН СССР, 1989. —307, № 2. — С. 287-292.

[43] Скубачевский А. Л. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов, Функц. анализ и его прил, 1997. — 31, № 4. —С. 60-65.

[44] Скубачевский А. Л., Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения, УМН, 2016.— 71, № 5.— С. 3-112.

[45] Скубачевский А. Л. Об одном классе функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Като, Алгебра и анализ, 2018. — 30, № 2. —С. 249-273.

[46] Скубачевский А. Л., Цветков Е. Л. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Дифференц. уравн., 1989.— 25, № 10. —С. 1766-1776.

[47] Скубачевский А. Л., Цветков Е. Л. Общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Тр. Санкт-Петербург. мат. об-ва, 1998. — 5. — С. 223-288.

[48] Скубачевский А. Л. , Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Матем. заметки, 1999. — 66, № 1.— С. 145-153.

[49] Солонуха О. В. Об одной нелинейной нелокальной задаче эллиптического типа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 2017. — 57, № 3. —С. 417-428.

[50] Солонуха О. В. Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов, Матем. заметки, 2018. — 104, № 4. — С. 604-620.

[51] Солонуха О. В. Обобщенные решения квазилинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 2020.- 60, № 12.-C. 2085-2097.

[52] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984.

[53] Цветков Е. Л. Разрешимость и спектр третьей краевой задачи для эллиптического дифференциальноразностного уравнения, Матем. заметки, 1992.- 51, № 1.-С. 107-114.

[54] Цветков Е. Л. О гладкости обобщенных решений третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения, Укр. мат. ж, 1993.- 45, № 8.-С. 1140-1150.

[55] Эльсгольц Л. Э., Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений, УМН, 1954.- 9, № 4 (62).-С. 95-112.

[56] Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, Наука, М., 1973.

[57] Browder F. Non-local elliptic boundary value problems, Amer. J. Math., 1964.-86.-P. 735-750.

[58] Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications Verhandlungen des Internat. Math. Kongr., Zurich, 1932.- 1.-P. 132-151.

[59] Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations, Ann. of Math., 1952.- 55, № 3.-P. 468-519.

[60] Kamenskii G. Extrema of Nonlocal Functionals and Boundary Value Problems for Functional Differential Equations, Nova Science Publishers, New York, 2007.

[61] Kato T. Fractional powers of dissipative operators, J. Math. Soc. Japan, 1961.— 13, № 3.- P. 246-274.

[62] Liiko V. V., Skubachevskii A. L. Smoothness of solutions to the mixed problem for elliptic differential-difference equation in cylinder,

Complex Variables and Elliptic Equations, 2020. Published online. DOI: 10.1080/17476933.2020.1833871.

[63] Liiko V. V. Mixed boundary value problem for strongly elliptic differential difference equations in a bounded domain, Russian J. Math. Phys., 2021.— 28, № 2.— P. 270-274.

[64] Hartman F., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential-functional equations, Acta Math., 1966.— 115.—P. 271-310.

[65] Nazaikinskii V. E. , Savin A. Yu. , Sternin B.Yu. Elliptic theory and noncommutative geometry. Nonlocal elliptic operators, Birkhauser, Basel, 2008, 224pp.

[66] Neverova D.A., Regularity of solutions to the Robin problem for differential-difference equations, Complex Variables and Elliptic Equations, 2020. Published online. DOI: 10.1080/17476933.2020.1833872.

[67] Onanov G. G., Tsvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory, Russian J. Math. Phys., 1995.— 3, № 4.—P. 491-500.

[68] Onanov G.G., Skubachevskii A. L. Nonlocal Problems in the Mechanics of Three-Layer Shells, Math. Model. Nat. Phenom, 2017.— 12.—P. 192-207.

[69] Rossovskii L. E. Elliptic functional differential equations with incommensurable contractions, Math. Model. Nat. Phenom., 2017.— 12, № 6.—P. 1-14.

[70] Rossovskii L. E., Tovsultanov A. A, Elliptic functional differential equation with affine transformations, J. Math. Anal. and Applications, 2019.— 480, № 2.— P. 1-9.

[71] Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary, J. Math. Kyoto Univ., 1964/1965.— 4. —P. 529-605.

[72] Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations, J. Differential Equations, 1986.— 63, № 3.— P. 332-361.

[73] Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, Basel—Boston—Berlin, 1997.

[74] Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics, Nonlinear Analysis-Theory Methods & Applications, 1998.— 32, № 2.—P. 261-278.

[75] Skubachevskii A. L. Regularity of solutions of a nonlocal elliptic problem, Russian J. of Math. Physics, 2001. — 8, № 3.—P. 365-374.

[76] Skubachevskii A. L. Elliptic differential-difference operators with degeneration and the Kato square root problem, J. Mathematische Nachrichten., 2018. — 291.—P. 2660-2692.

[77] Skubachevskii A. L., Liiko V. V. On a certain property of a regular difference operator with variable coefficients, Complex Variables and Elliptic Equations, 2019. — 64, № 5.—P. 852-865.

[78] Taira K. On the existence of Feller semigroups with boundary conditions, Mem. Amer. Math. Soc, 1992. — 99.—P. 1-65.

[79] Vorontsov M.A., Iroshnikov N.G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation, Chaos, Solitons, and Fractals, 1994.— 4.—P. 1701-1716.