Соединение асимптотик с помощью Паде-аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Шатров, Анатолий Викторович

• Шатров, Анатолий Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шатров, Анатолий Викторович

Введение б

Глава 1. Асимптотическая методология: принципы и применение.

1.1. Место асимптотических методов в структуре средств математического моделирования.

1.2. Асимптотическое разложение и его свойства.

1.3. Неравномерность асимптотических разложений.

1.4. Пограничные слои и функции пограничного слоя.

1.5. Внутренние и внешние асимптотики.

1.6. Процедуры описания переходного слоя: от метода сращивания до соединения асимптотик.

Глава 2. Паде-аппроксиманты

2.1. Предпосылки применения Паде-аппроксимант.

2.2. Определение одноточечных Паде-аппроксимант (РА).

2.3. Свойства одноточечных Паде-аппроксимант.

2.4. Примеры использования РА. 54 2:5. Двухточечные Паде-аппроксиманты (ТРРА). " 59 2.6.0собенности использования Паде-аппроксимант при решении задач механики жидкости и газа.

Глава 3. Выявление, локализация и соединение асимптотических разложений в гидрогазодинамике.

3.1. Основание метода. 66 3.1.1. Методическое обоснование применения Паде-аппроксимации для соединения внутренних и внешних асимптотик. . 66 3.1.2 Неоднозначность алгоритма.

3.2. Вычислительные аспекты процедуры соединения асимптотических разложений в переходных слоях.

3.3. Обзор и краткая характеристика поставленных задач.

Глава 4. Использование Паде-аппроксимант в автомодельных задачах вязкой несжимаемой жидкости.

4.1. Ламинарный пограничный слой плоской пластины (Задача Блазиуса). 82 4.1.1. Постановка задачи.

411.2. Внутренняя и внешняя асимптотики.

4.1.3. Паде-аппроксиманта функции Блазиуса.

4.1.4. Алгоритм расчета.

4.1.5. Сравнение полученных результатов с известными.

4.2. Учет неравномерности распределения внешней скорости. (Задача Фокнера-Скэн).

4.2.1. Уравнения Фокнера-Скэн

4.2.2. Внутренняя и внешняя асимптотики задачи Фокнера-Скэн.

4.2.3. Паде-аппроксиманта решения уравнения Фокнера-Скэн.

4.2.4. Полученные результаты.

4.3. Динамика пристенного слоя типа Экмана.

4.3.1. Постановка задачи и вывод уравнений.

4.3.2. Внутренние и внешние асимптотики.

4.3.3. Паде-аппроксиманты составляющих скорости.

4.4.4. Результаты расчетов.

4.4. Неизотермический пограничный слой вязкой несжимаемой жидкости

4.4.1. Постановка задачи и уравнения неизотермического пограничного слоя.

4.4.2. Задача об охлаждении нагретой пластины. /г '

4.4.3. Задача о теплообмене при теплоизолированной пластине.

Глава 5. Динамика и теплообмен в пограничном слое сжимаемого газа. 131 5.1. Постановка задачи.

5.1.1. Основные предположения.

5.1.2. Уравнения пограничного слоя.

5.1.3. Уравнения ламинарного пограничного слоя на пластине.

5.2. Применения Паде-аппроксимант для расчета динамики и теплообмена в сверхзвуковом слое пластины.

5.2.1. Решение в случае /л = Т.(п = 1).

5.2.2. Паде-интерполяция в случае ju = T.

5.2.3. Решение в общем случае ц = Т"{п * 1).

5.2.4. Паде-интерполяция для случая // = Т"(и * 1).

5.3. Соединение асимптотик в пограничном слое сжимаемого газа со степенным законом распределения внешней скорости.

5.3.1. Уравнения пограничного слоя.

5.3.2. Внутренние и внешние асимптотики решения.

5.3.3. Паде-интерполяция.

5.3.4. Полученные результаты.

5.4.Тепломассоперенос в пограничном слое.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Уравнения пограничного слоя.

5.4.3. Точные решения задачи.

5.4.4. Внутренние и внешние асимптотики.

5.4.5. Паде-интерполяция.

5.4.6. Упрощённая асимптотика задачи.

5.4.7. Полученные результаты.

Глава 6. Эволюция и устойчивость пограничного слоя на пластине во вращающейся системе.

6.1. Постановка задачи. Вывод уравнений.

6.2. Асимптотический анализ течения. 207 6.2.1. Асимптотика по продольно-ориентированной координате. (Горизонтальный переходный слой).

6.2.2. Асимптотика пограничного слоя (вертикальный переходный слой).

6.2.3. Паде-интерполяция.

6.2.4. Алгоритм решения и анализ полученных результатов.

6.3. Влияние трансверсального перемещения пластины на развитие пограничного слоя. 221 6.3.1 Постановка задачи.

6.3.2. Асимптотика горизонтального переходного слоя.

6.3.3. Асимптотика вертикального переходного слоя.

6.3.4. Полученные результаты.

6.4. Устойчивость развивающегося пограничного слоя Экмана.

6.4.1. Постановка задачи.

6.4.2. Анализ полученных результатов. 242 Заключение. 256 Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соединение асимптотик с помощью Паде-аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики»

В диссертационной работе рассматривается с ^^етодической точки зрения применение асимптотических методов в конкретных задачах механики жидкости и газа. Предлагается новая альтернативная методика расчета внешних и внутренних задач обтекания тел вязкой жидкостью в областях с существенной неоднородностью распределения характеристик (скорости, температуры, концентрации) ламинарных; потоков.

Объекты исследования — переходные слои,,возникающие в окрестности границ, где неравномерность решения обусловлена физической сущностью явления, а также нелинейностью исходных уравнений и совместным взаимодействием нескольких факторов, определяемых через внешние параметры. Это обусловлено тем, что в гидродинамике понятиq пограничного слоя имеет ярко • выраженный асимптотический характер и связано с локализацией той области, где влиянием вязкости жидкости пренебречь нельзя. Таким образом, учет вязких сил необходим, но он упрощается за счет малости локальной зоны пограничного слоя. Следует отметить, что локализованные быстроизменяющиеся решения могут возникать не только у границ, но и во внутренних зонах рассматриваемых областей. В этом, смысле wcVU^-e ПО термин «переходные слои» шире понятия «пограничные слои» и употребляется в работе в широком смысле. По существу, задачи переходного слоя, это краевые задачи гидродинамики с малым параметром, являющиеся подклассом так называемых тихоновских систем.

Методы исследования — асимптотические разложения точных решений во внутренних (сингулярная или внутренняя асимптотика) и внешних (регулярная или внешняя асимптотика) областях, разделенных переходным слоем, где простые асимптотики не перекрываются. Метод эффективного прохождения переходного слоя, основанный на идее мероморфного продолжения локальной асимптотики, названный нами соединением внутренi . ней и внешней асимптотик состоит в том, что исходные асимптотические разложения преобразуются в дробно-рациональную функцию, называемую ' Паде-аппроксимантой. Основные преимущества перехода к Паде-аппроксимантам состоят

- в возможности учета особенностей искомого решения и описания нетривиального поведения в окрестности» внутренних и внешних границ при 8--> 0 и s -> оо, i

- в представлении полученного с помощью интерполяции решения \ аналитическим выражением,

- в возможности последующего математического анализа полученных аналитических выражений (дифференцирование, интегрирование, построение функционалов и т.д.)

Научная новизна предлагаемой методики заключается в том; что внутренняя и внешняя асимптотики, действующие в разных областях несшиваются (сращиваются) в априори неизвестной точке или области сращивания (Matching method), а соединяются непрерывной, аппроксимирующей искомое решение зависимостью, которая в переходной области, строго говоря, не является решением исходной краевой задачи, но содерI жит и определяется;через параметры, входящие в асимптотические разло- j жения и совпадает с этими асимптотическими разложениями в соответст- j I 1 вующих областях. Это позволяет за счет незначительной погрешности добиться аппроксимации решения поставленной краевой задачи. Выбранные в качестве интерполяций двухточечные Паде-аппроксиманты, (Two-Point Pade-Approximants — ТРРА) модифицированы для решения одно- и двухмерных задач.

Работа состоит из Введения и б глав с 51 рисунком и б таблицами и изложена на 180 страницах, включая рисунки и таблицы.

В Главе 1 приводится литературный обзор по асимптотическим методам, определяются основные понятия и термины, принятые в асимптотических методах, их свойства. Здесь же обсуждается концепция переходного слоя, методики, позволяющие строить эффективные приближения искомых решений.

В Главе 2 подробно описываются особенности использования аппарата Паде-аппроксимант в математической физике и, в частности, в гидродинамике. В Главе 3 кратко характеризуются те задачи, решение которых эффективно может быть получено выбранным методом, обсуждаются вычислительные аспекты процедуры соединения асимптотик, определения параметров Паде-аппроксимант.

В Главе 4 рассмотрены постановки и решения автомодельных задач вязкой несжимаемой жидкости: динамический, температурный слои Бла-зиуса вблизи плоской пластины; задачи Фокнера-Скэн, а также расчета течения во вращающемся канале, полученные с использованием Паде-аппроксимант.

В Главе 5 исследуется динамика и теплообмен в вязкой сжимаемой жидкости. Известно, что при больших числах Маха ударная волна прижимается к стенке, и это условие обеспечивает возможность близости асимптотического выхода на внешние условия динамического, температурного и концентрационного слоев.

Здесь же рассмотрен теплообмен в реагирующейпо схеме Вулиса смеси газов. В качестве примера приводится решение задачи с учетом реакций диссоциации воздуха при числах Маха М = 5 -г- 15.

В Главе 6 исследуется эволюция пограничного слоя на > пластине во вращающейся системе координат. Представленные результаты интересны с точки зрения совместного действия эффектов вязкости, сил инерции и вращения, образующих простую, но иллюстративную систему, демонстрирующую синергетику инерциальных жидких систем.

В Заключении формулируются основные выводы, отмечаются полученные результаты и рекомендации по использованию приведенной методики в методах математического моделирования.

Автор считает необходимым вынести благодарность своему наставнику и учителю, научному консультанту, доктору физико-математических наук, профессору Санкт-Петербургского государственного университета Рэму Георгиевичу Баранцеву, инициировавшего нашу совместную работу в представленном направлении. Кроме того, автор выражает благодарность докторам физико-математических наук, профессорам Санкт-Петербургского государственного технического университета Евгению Михайловичу Смирнову и Юрию Сергеевичу Чумакову за поддержку и постановку некоторых задач, а также докторам физико-математических наук, профессорам Юрию Алексеевичу Дубравину, Игорю Ивановичу Липатову, Владимиру Ивановичу Жуку за внимание и полезные замечания при обсуждении работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шатров, Анатолий Викторович

Основные выводы по диссертации сводятся к следующему:

1. В рамках асимптотического подхода разработана методология синтеза разнопорядковых (разнобережных) асимптотик. Впервые для широкого класса краевых задач гидрогазодинамики предложен и обоснован метод соединения внутренних и внешних асимптотик.

2. Общим методологическим принципом работы является определение асимптотических методов через системную триаду «точность-локальность-простота», где каждая пара находится в соотношении дополнительности, а третий элемент задает меру совместности.

3. Обоснованность выбора объектов исследования — переходных слоев - следует из общей методики применения асимптотического подхода, так как, достигая упрощения за счет локализации, асимптотика проявляет тенденцию к сужению области действия.

4. Разработанная методика соединения асимптотик в переходном слое опирается на сравнительно новый аппарат Паде-аппроксимант. Полное описание переходного слоя достигается путем построения сложных асимптотик типа функции Эйри. В механике жидкости и газа широко используется метод сращивания внутренних и внешних асимптотик, основанный на гипотезе перекрытия сложных асимптотик. Метод соединения на основе двухточечных Паде-аппроксимант (ТРРА) обеспечивает наилучшее приближение асимптотических разложений, удовлетворительное описание области перехода, не требуя выполнения гипотезы перекрытия, тем самым существенно отличаясь от метода сращивания.

5. Исследованы свойства метода соединения, которые проявляются при реализации процедуры синтеза разнобережных асимптотик. Эти свойства; проявляются в следующих аспектах:

- многообразие выбора формы аппроксимант (определенное количество параметров в числителе и знаменателе дробно-рационального выражения, модификация ТРР А за счет весовых функций);

- выбор числа опорных членов во внутренних и внешних асимптотиках;

- выбор интегральных соотношений, замыкающих систему для определения параметров интерполяции;

6. Предложен алгоритм решения системы нелинейных уравнений, определяющих параметры Паде-аппроксимант.

7. На примерах автомодельных постановок модельных и содержательных задач несжимаемой жидкости показана эффективность.метода соединения. Возможности метода демонстрируются при решении двумерной неавтомодельной задачи о течении во вращающемся канале на основе разработанной методики локально-однопараметрического приближения. Полученные результаты можно использовать для практического применения.

8. Метод соединения использован для исследования теплообмена в гиперзвуковом пограничном слое. При этом в случае немонотонных профилей температуры в качестве одного из уравнений для определений параметров успешно применяется условие в точке максимума температуры.

9. Для решения неавтомодельных задач в двумерном развивающемся пограничном слое вращающейся жидкости предложен метод пошаговой интерполяции искомого решения по координате, характеризующей горизонтальный переходный слой. Исследованы процессы эволюции и устойчивости развивающегося слоя Экмана в зависимости от изменения начальных и краевых условий.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шатров, Анатолий Викторович, 2002 год

1. Фридрикс К.О. Асимптотические явления в математической физике. // Математика. 1957, № 2, с. 79-94.

2. Segel L.A. The Importance of Asymptotic Analysis in Applied Mathematics. //Amer. Math. Monthly. 1966, 73:1, p. 7-14.

3. Бабич B.M., БулдыревВ.С. Искусство асимптотики.// Вестн. Ле-нингр. Ун-та., 1977, №13, с.5-12.

4. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., Наука, 1969.

5. L.Euler. Nova methodus motum planetarum determinandi. // Acta Acad. Sci. Petropol. T.2, 1778 (1781), p. 277-302.

6. L.Euler. Methodus generalis summandi progressions // Commentarii academiae imperialis Petropol., 6, 1732, 68-97.

7. P.S. de la Place Laplace. Memoire sur les approximations des Formules qui sont functions des tres-grand hombres // Memoires de l'Acad. Royale des Sciences de Paris. 1782, 1-88.

8. Bienayme J. Considerations a l'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de probabilite dans la methode des moindres carre. // Compte Rendus hebdomadoir der Seance de l'Acad. des Science des Paris, 37, 1853, 309-324.

9. Kirchhoff G. Zur Theorie des Condensators, Berlin, 1877, Acad. Monatsber., p. 144-162.

10. Maxwell J.C. On the viscosity or internal friction of air and other gases. // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 156, 1866, p. 249-268.

11. Пуанкаре А. Новый метод небесной механики. Избранные труды. -М., Наука, 1971-1974.

12. Баранцев Р.Г., Энгельгарт В.Н. Асимптотические методы в механике газа и жидкости: Учебное пособие. JL, ЛГУ, 1987, 89с.

13. Kruskal М.В. Asymptotology. Math. Models in Phys. Sci. N.-J., 1963, p. 17-48.

14. Грэхем, Д. Кнут, О. Поташник. Конкретная математика. Основание информатики.: Пер. с англ. М., Мир, 1998, 703 с.

15. Баранцев. Об асимптотологии. // Вестн. Ленингр. ун-та, 1976, № 1, с. 69-77.

16. Баранцев. Дефиниции асимптотики и системные, триады. // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск, 1980, с. 70-81.

17. Bachmann P. Die analythische Zahlentheorie. Toubner, Leipzig, 1894.

18. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972, 274с.

19. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига, т. 1, 1974, с. 390; т.2, 1977, с. 463; т.З, 1981, с. 370.

20. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961, 247с.

21. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы, применения. М.: Аслан, 1994, 160с.

22. Баранцев Р.Г. Принцип неопределенности в асимптотической математике. // Методы возмущений в механике. Иркутск, 1984, с. 107113.

23. Баранцев Р.Г. Неизбежность асимптотической математики. // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7, 4.1, сб. научн. тр. Под ред. Г.Ю. Ризниченко, М., Прогресс-традиция, 2000, с. 27-33.

24. Баранцев Р.Г. Что же такое асимптотические методы? (Попытка определения) // В кн.: Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотоло-гия: идеи, методы, применения. М., Аслан, 1994, 160с.

25. Эрдейн А. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962 -127с.

26. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. -М.: Наука, 1978. 375с.

27. Найфе А.Х. Методы возмущений. М., Мир, 1976. — 455с.

28. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.-320с.

29. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., Наука, 1989, 936 с.

30. Prandtl L. Uber Fliissigkeitbewegung bei sehr kleiner Reibung, III Internal Math. Kongr., Heidelberg, 1904, s. 484-941.

31. Лойцянский Л.Г. Аэродинамика пограничного слоя. М.-Л.: Гостех-издат, 1941, 412 с.

32. Лойцянский Л.Г. Приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя на крыле. // ДАН СССР, нов. серия,' 1942, т.35, № 8, с. 255-260.

33. Лойцянский Л.Г. Пограничный слой / В кн. «Механика в СССР за^ 30 лет» М.-Л., Гостехиздат, 1950, с. 300-350.

34. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматиз, 1962, 479 с.

35. Лойцянский Л.Г. Параметры подобия в теории пограничного слоя. // Сб. Проблемы механики сплошной среды, поев. 60-летию акад. Л.И. Седова. М., Наука, 1969, с. 301-310.

36. Лойцянский Л.Г. и др. Динамика вязких жидкостей и газов, теория ламинарных и турбулентных пограничных слоев // В кн.: «Механика в СССР за 50 лет» Т.Г. М., Наука, 1970, с. 507-559.

37. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6. М., Наука, 1978, 840 с.

38. Курдюмов С.П. Локализация диффузионных процессов и возникновение структур при развитии в диссипативной среде режимов с обострением. (Докт. Диссерт., 1979)

39. Самарский А.А., Змитриенко Ю.В., Курдюмов С.П. и др. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью. // ДАН СССР, 1975, Т. 223, № 6.

40. Самарский А.А., Змитриенко Ю.В., Курдюмов С.П. и др. Тепловые, структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла. // ДАН СССР, 1976, Т. 227, №2.

41. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Локализация тепла в нелинейных средах. // Дифф. Уравнения, 1981, № 17.

42. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. -М., Наука, 1998.-255с.

43. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Принципы и применение. М., Наука, 1997. —

44. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массобмена. М., Наука, 1984, 288 с.

45. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М., Мир, 1967,310с.

46. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.-УМН, 1957, 12, №5, с. 3-122.

47. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотические поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или бы-строизменяющимися коэффициентами и граничными условиями! // УМН. 1960. - т. 19, вып. 4. - с. 3-95.

48. Треногин В.А. Развитие и приложение метода Люстерника-Вишика. //УМН-1970, т. 25, в. 4, с. 123-156.

49. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981,398 с.

50. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнений {i2Au-R2(x,y)u = f(x,y) в прямоугольной области. Дифф. ур., 1973, 9, №9, с. 1654-1660.

51. Бутузов В.Ф. Об одном сингулярно возмущенном уравнении пара1. V-.болического типа. Вест. Московск. Ун-та, сер. Вычислит. Матём. и кибернетика. 1978, № 2, с. 49-56.

52. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М., Наука, 1973.

53. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М., Изд. МГУ, 1979.

54. Бутузов В.Ф. 2-я Всес. Конф. По асимптотическом моделям в теории сингулярно возмущенных уравнений. — УМН, 1980, 35, № 1, с. 240-241.

55. G.A. Baker, jr. and T.L. Gammel. The Pade approximants. // J. Math. Anal. And Appl. 2, № 16 p. 21.

56. G.A. Baker, jr. The Theory and application of the Pade approximant method. // in "Adv. In Theor. Phys., ed. K.A. Bruckner, v. 1. N.-Y., 1965, p.l.

57. The Pade approximants in theoretical physics., ed. G.A. Baker, Jr. and J.L. Gammel, Acad, N.-Y. and London, 1970.

58. G.A. Baker, Jr. Essentials of Pade approximants, Acad., N.Y., 1975.

59. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.

60. Гончар А.А. Локальное условие однозначности аналитических функций. //Матем. Сб., т. 89 (131), 1972, с. 148-164.

61. Гончар А.А. О сходимости аппроксимаций Паде. // Матем. Сб., т. 92 (134), 1973, с. 152-164.

62. Гончар А.А. О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде ме-роморфных функций. // Матем. Сб., т. 98 (140), 1975, с. 564-577.

63. Рахманов Е.А. О .сходимости диагональных аппроксимаций Паде. Матем. Сб., т. 108 (150), 1977, с. 272-291.

64. Вавилов В.В. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций. // Матем. Сб., т. 101 (143), 1976, с. 44-56.

65. Вавилов В.В., Лопес Г., Прохоров В.А. Об одной обратной задаче для строк таблицы Паде. // Матем. Сб., т. 110 (152), 1979, с. 117-127.

66. Ковачева Р.К. Обобщенные аппроксимации Паде и мероморфное продолжение функций. .//Матем. Сб., т. 109 (151), 1979, с. 365-377.

67. Суетин С.П. Обратные теоремы об обобщенных аппроксимациях Паде. // Матем. Сб., т. 109 (151), 1979, с. 629-646.

68. Гончар А.А., Лунгу К.Н. Полюсы диагональных аппроксимаций Паде и аналитическое продолжение функций. // Матем. Сб., т. 111 (153), 1980, с. 279-297.

69. Лопес Г. О сходимости аппроксимаций Паде для мероморфных функций стильтьесовского типа. // Матем. Сб., т. 111 (153), 1980, с. 308-316.

70. Гончар А.А. Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций. //Матем. Сб., т. 115 (157), 1981, с. 590-613.

71. Гончар А.А. Об общей сходимости диагональных аппроксимаций Паде. // Матем. Сб., т. 118 (160), 1982, с. 535-556.

72. Гончар А.А. //Матем. Сб., т. 125 (167), 1984, с. 117-135.

73. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М., Наука, 1988. 254с.

74. Аптекарев А.И. Аналитические свойства функций. // Препринт ИПМ,№79, 1985, 12с.

75. Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное продолжение степенного ряда.// УМН, тю57, вып. 1., 2002, с. 45-142.

76. Апресян Л.А. Аппроксиманты Паде. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, т. XXII, № 6,1979, с. 653-674.

77. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотические методы и физические теории. М., Знание, 1898, 64с.

78. Андрианов И.В., Шапиро Г.Д. Обращение преобразований Лапласа с помощью двухточечных Паде-аппроксимант. // Проблемы машиностроения, 1990, № 3-4, с. 58-60.

79. Andrianov I.V. The use of Pade approximations to eliminate nonunifor-mities of asymptotic expansion. // Fluid Dynamics, vol. 19, N 3, 1984, p. 484-486.

80. Andrianov I.V., Manevich L.I. Asymptotology 1: Problems, ideas and results. I. Natural Geometry, vol. 2, N 2, 1992, p. 137-150.

81. Awrejcevicz J, Andrianov I.V., Manevich L.I. Asymptotic Approach in Nonlinear Dynamics. Berlin e.a., 1998, 310p.

82. Andrianov I.V., Blawdziewicz J., Tokarzewski S. Effective conductivity for denstly packed hightly condensed cylinders. // Appl. Physics A., vol. 59, 1994, p. 601-604.

83. Andrianov I.V., Gistechak V.Z., Ivankov A.O. New asymptotic method for the natural, free and forced oscillations of rectangular plates with mixed boundary conditions. Technische Mechanik, vol. 14, N 3-4, 1994, p. 185-193.

84. Andrianov I.V., Ivankov A.O. New asymptotic method for solving of mixed boundary value problem. // Intern. Series Number. Maths, vol. 106, 1992,39-45.

85. Andrianov I.V. Two point Pade approximations in the mechanics of solids. ZAMM, vol. 74, N4, 1994, 121-122.

86. Andrianov I.V., Starushenko G.A. Asymptotic methods in the theory of perforated membranes of nonhomogenous structures. Engn. Trans., vol. 43, N 1-2, 1995, p.5-18.

87. Баранцев Р.Г., Майоров E.B., Прохоров И.В. Асимптотическое исследование теплообмена к горячей стенке в высокоскоростном потоке. // Тепломассообмен ММФ - 92. - Минск, 1992 - с. 67-70.

88. Barantsev R.G. Combination of asymptotics in the boundary layer by means of Pade-approximants. // 2 nd European Fluid Mechanics Conference. — Warsaw, 1994. Abstract of Papers.

89. Баранцев P.F., Пашкевич Д.А. Соединение асимптотик в переходном слое. // Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектировании летательных аппаратов. — Иркутск. — 1994, с. 67-70.

90. Баранцев Р.Г., Шатров А.В. Соединение асимптотик в пограничном слое с помощью Паде-аппроксимант. //10-я Зимняя школа по механике сплошных сред, тез. докл., Екатеринбург, 1995, с. 24-25.

91. Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г., Шатров А.В. Соединение температурных асимптотик в пограничном слое. // Вестник СпбГУ, 1996, сер. 1,№ 8, с. 96-99.

92. Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г., Пашкевич Д.А. Применение Паде-аппроксимант для расчета температур в гиперзвуковом пограничном слое. // Тепломассообмен ММФ-96, Минск, 1996, т.1, ч.1, с. 114-118.

93. Barantsev R.G. Combination of asymptotics in the Kundsen layer. // 20th Intern. Symp. On Rarefield Gas Dynamics. Beijing, 1996, p." 14.

94. Barantsev R.G., Pashkevich D.A. Combination of asymptotics in the gas boundary layer near a wedge // Asymptotics in Mechanics. — St.Petersburg, 1996, p. 17-18.

95. Шатров А.В. Использование Паде-аппроксимаций при соединении асимптотических решений в гидрогазодинамике. // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 6, ч. 2, сб. научн. тр. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. М., Прогресс- Традиция, 1999, с. 305-312.

96. Шатров А.В. Соединение асимптотических разложений в гидрогазодинамике. // 12-я Зимняя школа по механике сплошныхсред. 25-31 января 1999, г. Пермь. Екатеринбург - 1999, с. 246.

97. Шатров А.В. Аппроксимация решений краевых задач гидрогазодинамики путем соединения асимптотических решений в пе-. реходной области. // Вестник ВВО АТН, сер. Проблемы информации, № 1, 1999, с. 165-171.

98. Шатров А.В. Паде-аппроксимации асимптотических решений вгидрогазодинамике. // ПРОТЭК научн. конф. ВятГТУ 19-26 мая 1999, г. Киров, тез. докл. - Киров, 1999, с.2.

99. Barantsev R.G., Pashkevich D.A., Shatrov A.V. Combination of as-ymptotics in the boundary layer of a reacting gas mixture. // Dynamical systems theory and applications. Lodz, 1999, p. 137-140.

100. Баранцев Р.Г., Пашкевич Д.А., Шатров А.В. Теплоперенос в пограничном слое реагирующего газа. // Тепломассообмен 2000 -ММФ. - Минск, 2000, т. 1, с. 185-188.

101. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978.

102. Jones W.B., Thron W.J. Analytic theory and applications. Addison-WesleyPubl. Co. London, 1980.

103. Basdevant J.L. The Pade approximation and its physical applications. // Fortschritte der Physik, 20, N 5, 1972, p. 283.

104. Литвинов Г.Л. Построение приближений рациональными аппроксимациями и эффект самоустранения ошибки. // Математика и моделирование. Пущино, 1990, с.99-141.

105. Luke Y.L. Computations of coefficients in the polynominals of Pade approximants by solving systems of linear equations. J. Сотр. Appl. Math., vol. 6, N 3,1980, p. 213-218.

106. Martin P., Baker G.A. Jr. Two-point quasi-fractional approximant in physics. Truncation error. // J. Math. Phys., vol. 32, N 6, 1991, p. ИТОНУ?.

107. Baker G.A. Jr., Gammel J.L. and Wills J.G. An investigation of the applicability of the Pade-approximant method. // J. Math. Anal. And Appl., 2, 1961, p. 405.

108. Baker G.A. Jr. Convergence of the Pade-approximants using the solution of linear functional equations. // J. Math. Phys., vol. 16, N 4, 1975, p. 813.

109. Baker G.A. Jr., Graves-Morris P.R. Convergence of rows of the Pade table. // J. Math. Anal. And Appl., v. 57, N 2, 1977, p. 323.

110. Frost P.A., Harper E.Y. Extended Pade procedure for constructing global approximations from asymptotic expansion: an application with examples. // SIAM Rev., v. 18, 1976, p. 62-91.

111. Grundy R. E. Laplace transform inversion using two-point rational ap-proximants. // J. Inst. Maths Applies., v. 20, 1977, p. 299-306.

112. Grundy R. E. The solution of Volterra integral equations of the convolution type using two-point rational approximants. // J. Inst. Maths Applies., v. 22, 1978, 147-158.

113. Grundy R. E. On the solution of nonlinear Volterra integral equations using two-point Pade approximants. J. Inst. Maths Applies., v. 22, 1978, 147-158.

114. Draux A. On two-point Pade-type and On two-point Pade approximants. // Ann. Math. Pures et Appl., N 158, 1991, p. 99-124.

115. Ortoleva P. Dynamical Pade approximants in the theory of perturbated and chaotic chemical center waves. // J. Chem. Phys., v. 69, N 1, 1978, p. 300-307. •

116. РоучП. Вычислительная гидродинамика. М., Мир, 1980, 616с.

117. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: 1973, 632 с.

118. Ван-Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию тел гиперзвуковым потоком // Сб. «Исследование гиперзвуковых течений». Мир, 1964.

119. Hiemenz К. Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussig-keitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder.//Diss., Gottingen, 1911. Dingl. Polytechn. J., v. 326, 321. (1911).

120. Howarth L. On the calculation of the study flow in the boundary layer near the surface of a cylinder in a stream. ARC RM 1632, 1935.

121. Falkner V.M., Skan S.W. Some approximate solutions of the boundary layer equations. Phil. Mag., 1931, v. 12.

122. Hattree D.R. On an equation occurring in Falkner-Skan's approximate treatment of the equations of the boundary layer. Proc. Camb. Phil. Soc., 1937, v. 33j p. 11.

123. Куликовский А.Г., Слободкина О.А. О выборе автомодельного решения в теории пограничного слоя. — МЖГ, 1974, № 4, с. 42-46.

124. Ekman V.W. On the influence of the earth's rotation on ocean currents // Arkiv for Matematik, Astronomy och Fysik, 1905, v. 2, № 11, p. 1-53.

125. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Д., Гидрометеоиз-дат, 1975, 304 с.

126. Ludwig Н. Die ausgebildete Kanalstromungen in einem rotierenden. System//Ing. Arch., 1951, b. 19, s. 296-308.

127. Гольдштик M.A. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1981, с. 190-235.

128. Смирнов Е.М. Динамика вязкой жидкости во вращающихся каналах: Дисс. на соиск. уч ст. докт. физ.-мат. Наук, ЛПИ, Л., 1987, 351 с.

129. Смирнов Е.М. Двумерные и трехмерные задачи динамики вязкой жидкости и теплообмена во . вращающихся каналах // Проблемы механики жидкости и газа. Спб: Изд-во СПбГТУ, 2000, с. 180-205.

130. Шатров А.В. Численное моделирование ламинарных, переходных и турбулентных пристенных течений типа слоя Экмана: Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук, ЛПИ, Д., 1983, 170с.

131. Овчинников О.Н., Смирнов ЕМ. Динамика потока и теплообмен во вращающемся щелеобразном канале // ИФЖ, 1978, т.35, № 1, с. 87-92.

132. Смирнов Е.М., Шатров А.В. Развитие пограничного слоя на пластине во вращающейся системе. // Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1982, с. 154-157.

133. Смирнов Е.М., Шатров А.В. К моделированию сильных эффектов вращения системы в расчетах турбулентных течений по каналам // Журнал ПМТФ, 1985, № 5, с. 35-41.

134. Mityakov V.Y., Petropavlovsky R.R., Ris V.V., Smirnov E.M., Smir-nov S.A. Tiy:bulent flow and heat transfer in rotating channels and tubes // Heat and Mass Transfer Rotat. Machinary. Berlin e.a., Washington e.a, 1984, p. 63-69.

135. Ходак A.E. Численное моделирование развитого турбулентного течения и теплового начального участка во вращающихся каналах. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук, ЛПИ, 1991, 118 с.

136. Calldwell D., Van Atta C.W. A laboratory study of the turbulent Ek-man layer. // Geophysical Fluids Dynamics, 1972, v.3, pp. 125-160.

137. Штихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

138. Cohen С.В., Reshotko Е. Similar solutions for the compressible laminar boundary layer with heat transfer and pressurej;ra4ient. NACA Rep. 1293, 1956.

139. Лойцянский Л.Г. Из моих воспоминаний. Записки профессора -политехника. С-Пб. Б.С.К., 1998, 1 Юс.

140. Тропп Э.А. Идея пограничного слоя за пределами теории Прандт-ля. // Проблемы механики жидкости и газа. СПб, изд. СПбГТУ, 2000, с. 125-133.

141. S. Tokarzewski, J. Blawzdziewicz, I. Andrianov. Two-point Pade ap-proximants for Stieltjes Series // Prace IPPT, 30/1993, Warszawa, 1993, p.17. "

142. S. Torarzewski, J. Blawzdziewicz, I. Andrianov. Two-point Pade ap-proximants for formal Stieltjes Series // Numerical Algorithms, 8, 1994, p. 313-328.

143. S. Tokarzewski and T.J. Telega. Bounds on effective moduli by analytical continuation on the Stieltjes function expanded dt zero and infinity//ZAMP, 49, 1998, p. 137-155.

144. Алексеев Б.В. Пограничный слой с химическими реакциями. М., Вычислительный центр АН СССР, 1967, с.21.

145. Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975,278с.

146. Ступоченко Е.А., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационное процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965, 484с.

147. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1970, 343с.

148. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. 2-е изд. М.: Наука, 1982, 312с.

149. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989, 370с.

150. Гришин A.M., Фомин В.М. Нестационарные и сопряженные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: 1984. •

151. Алексеев Б.В. Математическая кинетика реагирующих газов. М.: Наука, 1982.

152. Blottner F.G. Chemical nonequilibrium boundary layer // AIAA J., 164, 2, № 2.

153. Громов В.Г. Химически неравновесный ламинарный пограничный слой в диссоцированном воздухе. АН СССР, МЖГ, 2, 1966.

154. Кривцова Н.В. Ламинарный пограничный слой в равновесно-диссоциированном газе при произвольном распределении внешней скорости. // Изв. АН СССР, МЖГ, № 5, 1966.

155. Громов В.Г. Расчет ламинарного пограничного слоя при наличии неравновесных химических реакций. — в кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 1. Течения в пограничном слое. -М.: Изд-во МГУ, 1971.

156. Oyeybesan А.О., Algermissen J. Nonequilibrium laminar-boundary layer flow of dissotiating air. // Acta astrnaut., v.3, № 5-6," 1976.

157. Лапин Ю.В. Развитие теории пограничного слоя в СССР за 70 лет (1917-1987). // Проблемы механики жидкости и газа. СПб: изд. СПбГТУ, 2000, 73-113.

158. Пасконов В.Н., Чудов Л.А. Работы по численному решению задач пограничного слоя, выполненные в ВЦ МГУ // Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук, 1967, вып. 3, 2889.

159. Гришин A.M. Математическое моделирование некоторых нестационарных аэротермохимических явлений. Томск: Изд. ТГУ, 1973. .

160. Алексеев A.M., Гришин A.M. Введение в аэротермохимию. Саратов: Изд-во СГУ, 1978.

161. Алексеев A.M., Гришин A.M. Физическая газодинамика реагирующих сред: Учебное пособие для студентов механико-математических и физических специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1985,465с.

162. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. Математическое моделирование тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987, 272с.

163. Oran E.S., Boris J.P. Numerical solution of reactive flows. Elsevier Science Publishing, 1987.

164. Egorov Yu.E., Zhmakin A.I. Numerical simulation of low-Mach number gas mixture flows with heat and mass transfer using unstructured grid // Computational Material Science, 11, 1998, p. 204-220.

165. Головачев Ю.П., Жмакин А.И., Шмидт A.A. Численное решение некоторых задач физической газовой динамики // Проблемы механики жидкости и газа. СПб: Изд. СПбГТУ, 2000, с. 153 -179.

166. Лосев С.А., Сергиевская А.Л. Моделирование физико-химических процессов в термически неравновесном газе. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с. 404-405.

167. Петров В.Е. О математическом моделировании химически реагирующего течения с двумерной турбулентностью // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с.484.

168. Shatrov A.V. Conjunction of asymptotics in boundary problems of hydrodynamics // Optimization of finite element approximations & splines and wavelets. St.-Peterburg, 2001, 59-60.

169. Шатров А.В. Соединение внутренних и внешних асимптотик в переходных слоях вязкой жидкости и газа. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с.602-603.

170. Овчинников О.Н., Руколайне А.В. Начальный участок в канале, вращающемся вокруг поперечной оси // Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 5, с. 41-46.

171. Рис В.В., Ходак А.Е. Тепловой начальный участок, при ламинарном течении во вращающемся канале квадратного сечения // Теплофизика высоких температур, 1990, т.28, № 5, с. 940-947.

172. Fann S., Yang W.-J. Hydrodynamically thermally developing laminar flow through rotating channels having isothermal walls // Num. Heat Transfer, 1992, vol. 22, p. 257-288.

173. Fann S., Yang W.-J. Heating effects on laminar flow through a rotating square channel. // J. Thermophys. And Heat Transfer, 1994, vol. 8, № 2, p. 295-302.

174. Yan W.M., Soon C.Y. Simultaneously developing mixed convection in radially rotating rectangular ducts // Int. J. Heat Mass Transfer, 1995, vol. 38, p. 665-677.

175. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Д.: Изд. ЛГУ, 1988, 240с.

176. Колмогоров А.Н., Петровский Г.И., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. Моск. ун-та, 1937, т.1,№6.

177. Шатров А.В. Об устойчивости волновых решений одной параболической задачи // Ежегодн. научн.-техн. конф. ВятГТУ, Тезисы докл., ч. II. Киров, 2000, с.26-27.

178. Шатров А.В. Связь уравнений развивающегося слоя Экмана с эта-' лонным уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова // Ежегодн. научн.-техн. конф. ВятГТУ, Тезисы докл., ч. II. — Киров, 2000, с.31-32.

179. Kurosaka М. The oscillatory boundary layer growth over the top and battom plates of a rotating channel.// Trans. ASME, Ser D, 1973, v. 95, No 1, p. 139-146.

180. Смирнов E.M. Локальное нарушение двухвихревой структуры вторичного течения во вращающемся канале при малых и больших входных неравномерностях // Изв. РАН, МЖГ, 1999, № 3, с.40-48.

181. Шатров А.В. Существование двух аттракторов решения задачи об эволюции пограничного слоя на вращающейся пластине с учетом ее трансверсального перемещения // Сб. тр. ВятГТУ,. вып. 3. Киров, изд. ВятГТУ, 1998, с.230-237.

182. Шатров А.В. Устойчивость развивающегося слоя Экмана. // Математика. Компьютер. Образование, вып. 7, ч II. Сб. научн. тр. под ред. Г.Ю. Ризниченко. М., Прогресс-Традиция, 2000, с.310-314