Способы построения последовательных агрегированных электронных подписей с использованием многомерных квадратичных многочленов и алгебраических кодов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Макаров Артём Олегович

• Макаров Артём Олегович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Макаров Артём Олегович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 Схемы агрегированной электронной подписи и области их применения

1.1 Определение схемы электронной подписи

1.2 Модель стойкости схем электронной подписи

1.3 Схемы агрегированной электронной подписи

1.4 Формальное определение агрегированной подписи

1.5 Виды схем агрегированной электронной подписи

1.5.1 Схемы параллельной агрегированной электронной подписи

1.5.2 Схемы последовательной агрегированной электронной подписи

1.5.3 Схемы последовательной агрегированной электронной подписи с ленивой проверкой

1.5.4 Схемы синхронной агрегированной подписи

1.5.5 Схемы отказоустойчивой агрегированной подписи

1.5.6 Схемы мультиподписи

1.5.7 Схемы агрегированной электронной подписи для одного подписанта

1.5.8 Взаимосвязь схем агрегированной электронной подписи с другими моделями схем электронной подписи

1.6 Классификация схем электронной подписи

1.6.1 Классификация схем электронной подписи по моделям стойкости и возможностям противника

1.6.2 Классификация схем электронной подписи по свойствам основных элементов

1.6.3 Каркасная модель построения классификации схем электронной подписи

1.6.4 Соглашение об именовании каркасной модели классификации схем электронной подписи

1.6.5 Использование классификации схем электронной подписи в рамках предлагаемой каркасной модели

1.7 Способы построения схем агрегированной электронной подписи

1.8 Области применения схем агрегированной электронной подписи

1.8.1 Протоколы защищённой маршрутизации

1.8.2 Сенсорные сети

1.8.3 Криптовалюты и блокчейн

1.8.4 Быстрые подписи

1.8.5 Подпись пакетов программного обеспечения

1.8.6 Инфраструктура отрытых ключей

1.8.7 Защищённое журналирование

1.8.8 Требования к характеристикам схем агрегированной электронной подписи

1.9 Выводы

2 Построение схем последовательной агрегированной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов

2.1 Основные предположения о сложности вычислительных задач многомерных многочленов

2.2 Способы построения схем электронной подписи на основе квадратичных многочленов

2.2.1 Схемы HFEv- и Quartz

2.2.2 Схема GUI

2.2.3 Схема UOV

2.2.4 Схема Rainbow

2.2.5 Практические атаки на схемы на основе квадратичных многочленов, влияние квантовых атак

2.2.6 Прочие способы построения схем электронной подписи на основе многомерных многочленов

2.3 Построение схемы последовательной агрегированной электронной подписи SAS-UOV

2.3.1 Формальное определение схемы MQSAS

2.3.2 Расширяемость односторонних функций с секретом

2.3.3 Формальное определение схемы SAS-X

2.3.4 Теоретическая стойкость схемы SAS-X

2.3.5 Параметры схемы SAS-UOV

2.4 Построение схемы последовательной агрегированной электронной подписи с ленивой проверкой LSAS-UOV

2.4.1 Формальное определение схемы LSAS-X

2.4.2 Теоретическая стойкость схемы LSAS-X

2.4.3 Реализация идеального шифра

2.4.4 Влияние квантового алгоритма Гровера на стойкость криптосистем

2.4.5 Использование блочного шифра ЛЕБ (Rijndael) в постквантовых криптосистемах

2.4.6 Использование модели случайного оракула при доказательстве стойкости постквантовых криптосистем

2.4.7 Параметры схемы ЬБЛБ-ГОУ

2.4.8 Применимость схемы ЬБЛБ-иОУ

2.5 Реализация и оптимизация схем электронной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов

2.5.1 Использование специализированных аппаратных инструкций для реализации умножения в полях

2.5.2 Сжатие ключей схемы иОУ

2.5.3 Использование специализированных аппаратных инструкций для вычисления симметричных примитивов

2.5.4 Программная реализация схем БЛБ-иОУ и ЬБЛБ-иОУ

2.5.5 Производительность программной реализации схем БЛБ-иОУ и ЬБЛБ-иОУ

2.6 Выводы

3 Построение схем последовательной агрегированной подписи на основе теории алгебраического кодирования

3.1 Основные предположения о сложности вычислительных задач теории алгебраического кодирования

3.2 Способы построения схем электронной подписи на основе задач теории алгебраического кодирования

3.2.1 Криптосистема Нидеррайтера

3.2.2 Модифицированная криптосистема Нидеррайтера

3.2.3 Схема электронной подписи Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.2.4 Использование счётчика как части сообщения в схеме Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.2.5 Осуществление полного декодирования в схеме Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.2.6 Осуществление декодирования с использованием хэш-функций на основе теории кодирования

3.2.7 Прочие способы построения схем электронной подписи на основе теории алгебраического кодирования

3.3 Практические атаки на схему Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.3.1 Декодирование информационного множества

3.3.2 Обобщённый алгоритм дней рождений

3.3.3 Атака на разделение определяющего множества

3.3.4 Влияние квантовых вычислений на стойкость криптосистем на основе теории кодирования

3.4 Параллельная схема Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.5 Построение итеративной схемы электронной подписи Куртуа-Финиаса-Сендриера

3.5.1 Формальное описание схемы RCFS

3.5.2 Теоретическая стойкость RCFS

3.6 Построение схемы последовательной агрегированной электронной подписи на основе схемы CFS

3.6.1 Формальное описание схемы APCFS

3.6.2 Корректность схемы APCFS

3.6.3 Формальное описание схемы ARCFS

3.6.4 Теоретическая стойкость схемы APCFS/ARCFS

3.6.5 Практическая стойкость схемы APCFS/ARCFS

3.6.6 Вероятность неуспешной подписи

3.6.7 Параметры схем APCFS/ARCFS

3.7 Построение схемы последовательной агрегированной электронной подписи с ленивой проверкой LARCFS

3.7.1 Формальное описание схемы LARCFS

3.7.2 Теоретическая стойкость схемы LARCFS

3.7.3 Параметры схемы LARCFS

3.7.1 Применимость схемы LARCFS

3.8 Реализация и оптимизация схем электронной подписи на основе теории алгебраического кодирования

3.8.1 Программные оптимизации схем электронной подписи на основе теории алгебраического кодирования

3.8.2 Программная реализация схем APCFS/ARFCS и LARFCS

3.8.3 Производительность программной реализации схем APCFS/ARFCS и LARFCS

3.9 Выводы

4 Применение схем последовательной агрегированной электронной подписи в системах защищенного журналирования

4.1 Требования к системе защищённого журналирования

4.2 Модель системы защищённого журналирования

4.2.1 Основные определения и предположения

4.2.2 Возможности противника

4.2.3 Типы данных

4.3 Описание программной архитектуры системы защищённого аудита с использованием схемы последовательной агрегированной электронной подписи

4.3.1 Процедура формирования пакета событий аудита

4.3.2 Процедура проверки и сохранения пакета событий аудита

4.3.3 Процедура проверки целостности пакетов событий аудита

4.3.4 Процедура проверки целостности отдельного пакета аудита

4.3.5 Процедура проверки целостности последовательности событий аудита

4.3.6 Процедура удаления промежуточных подписей

4.4 Особенности предлагаемой архитектуры системы защищённого аудита

4.4.1 Основные типы атак на систему защищённого аудита на основе схем последовательной агрегированной электронной подписи

4.4.2 Особенности реализации и функционирования

4.5 Оценка применимости предлагаемых схем последовательной агрегированной электронной подписи в системе защищённого аудита

4.6 Внедрение результатов работы

4.7 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список публикаций по теме диссертации

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Перечисление типов предлагаемой классификации схем электронной подписи

I-тип: Классификация на основе свойств подписывающей стороны

II-тип: Классификация на основе свойств проверяющей стороны

Ш-тип: Классификация на основе свойств подписываемого сообщения

IV-тип: Классификация на основе способа создания открытого ключа

V-тип: Классификация на основе свойств закрытого ключа

VI-тип: Классификация на основе свойств подписи

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Сравнение схем агрегированной электронной подписи SAS-UOV, LSAS-UOV, APCFS/ARCRF, LARCFS со схемами-финалистами конкурса NIST

ПРИЛОЖЕНИЕ В Диаграмма базы данных системы защищённого аудита

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Алгоритмы системы защищённого аудита

ПРИЛОЖЕНИЕ Д Акты о внедрении

ПРИЛОЖЕНИЕ Е Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Способы построения последовательных агрегированных электронных подписей с использованием многомерных квадратичных многочленов и алгебраических кодов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Системам обеспечения безопасности часто приходится иметь дело с электронными подписями, выработанными различными пользователями для различных сообщений. Например, в инфраструктуре открытых ключей (PKI) глубины n подпись пользователя также содержит цепочку из п сертификатов. Эта цепочка содержит n подписей различных центров сертификации на n открытых ключах. Аналогичная ситуация складывается при использовании протоколов SBGP [1] и BGPsec [2], являющихся расширениями протокола BGP. Для рассылки информации о доступности автономная система подписывает свой адрес и адрес другой автономной системы, через которую она желает быть доступной. После получения сообщения другими автономными системами производится проверка подписи. Далее эти системы дополняют сообщение своим адресом и адресом следующей системы, которая получит данное сообщение, и затем подписывает это сообщение.

Обе описанные системы могли бы получить выигрыш при использовании алгоритма сжатия списка электронных подписей для разных сообщений, подписанных различными сторонами. Например, цепочка сертификатов может быть сокращена путём агрегации всех подписей в ней в единую подпись, которая может использоваться для проверки всех подписанных сообщений в цепочке.

Основная идея, лежащая в основе агрегации подписей: при наличии n

различных электронных подписей для n различных сообщений, выработанных

n различными пользователями, должна иметься возможность преобразовать

данные подписи в единую электронную подпись. Полученная подпись может

быть использована для проверки подписи для каждого из n сообщений.

Применение данного вида подписей снижает нагрузку на сеть при передаче

данных, а также сокращает время проверки подписей, так как для ряда схем

процедуры проверки агрегированных подписей проходят быстрее, чем для

17

проверки индивидуальных, что позволяет обеспечить неотказуемость и аутентичность информации в ряде приложений, для которых использование стандартных электронных подписей зачастую нецелесообразно (таких как сенсорные сети).

В 1994 г. Питером Шором был предложен эффективный квантовый алгоритм [3] для решения задачи нахождения скрытой подгруппы конечной абелевой группы, частным случаем которой являются задачи факторизации и дискретного логарифмирования. Возможность практического применения данного алгоритма с использованием квантового компьютера ставит под угрозу стойкость криптосистем, в основе которых лежат упомянутые задачи. Такие широко распространённые асимметричные криптосистемы, как RSA, DSA, а также различные криптографические протоколы, такие как протокол Диффи-Хеллмана, считающиеся стойкими в классическом смысле, перестают быть стойкими в квантовом.

В связи с этим ставится вопрос о существовании асимметричных криптосистем, стойких к квантовым атакам. В случае их наличия программные и аппаратные средства обеспечения криптографической защиты с учётом возможности квантовых атак должны быть разработаны задолго до потенциального появления квантового компьютера, так как процедуры стандартизации и замены аппаратных платформ занимают длительное время. К тому же следует учитывать существование информации, которая должна оставаться защищённой даже спустя длительное время, с учётом возможного появления квантовых компьютеров в будущем.

В связи с возможностью появления квантового компьютера в ближайшем будущем криптографическим сообществом активно ведётся разработка и анализ так называемых постквантовых криптографических примитивов, которые будут являться теоретически стойкими даже в условиях квантовой атаки. В настоящий момент существует несколько способов построения асимметричных примитивов, стойких к квантовым атакам. В

данной работе рассмотрены два из них — криптосистемы на основе многомерных квадратичных многочленов и теории алгебраического кодирования.

Тема диссертационного исследования связана с построением схем постквантовой агрегированной электронной подписи, а также с исследованием их применимости для различных приложений.

Степень разработанности темы

Вопросы построения протоколов мультиподписи рассматривались в работах Синева [4], Молдовяна [5], Масауки [6] Торреса [7]. Построение схем параллельной агрегированной подписи на основе спариваний рассматривались в работах Боне [8, 9] и Гентри [10]. Схемы последовательной агрегированной электронной подписи на основе односторонних подстановок с секретом приведены в работах Лисянской [11], Гентри [12], Брогла [13]; схемы последовательной агрегированной электронной подписи на основе односторонних функций с секретом рассматривались Менегетти и Сигнорини

[14]. Вопросы построения и анализа постквантовых схем электронной подписи были рассмотрены в ряде работ, представленных такими авторами, как Меркл

[15], Лампорт [16], МакЭлиес [17], Нидеррайтер [18], Атай [19], Шнор [20], Комарова [21], Хулсинг [22], Матсумото [23], Патарин [24], Петцолд [25], Молдовян [26], Александрова [27] Бернштейн [28, 29], Фенуи [30], Киршанова [31], Морозов [32] и другими. Рядом авторов получены постквантовые схемы агрегированной электронной подписи на основе решёток [6, 33-36], на основе многомерных многочленов [14, 37, 38], на основе неинтерактивных доказательств с нулевым разглашением [39].

Цель и задачи исследования

Целью исследования является уменьшение размера хранимых и передаваемых данных при использовании схем электронной подписи в информационных системах путём построения и реализации схем

последовательной агрегированной электронной подписи с учётом квантового противника.

Научная задача: построение схем последовательной агрегированной электронной подписи на основе односторонних функций с секретом с использованием многомерных квадратичных многочленов и алгебраических кодов.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

- анализ потенциального применения схем агрегированной электронной подписи в информационных системах;

- построение схем агрегированной электронной подписи с использованием многомерных квадратичных многочленов и алгебраических кодов, обоснование их стойкости и возможного применения;

- программная реализация предложенных схем агрегированной электронной подписи, получение данных по производительности схем;

- разработка и реализация программной архитектуры системы защищённого аудита с использованием схемы последовательной агрегированной электронной подписи.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- впервые предложен способ построения схем последовательной агрегированной электронной подписи SAS-X, являющийся обобщением способа построения схем последовательной агрегированной электронной подписи Лисянской на случай односторонних функций с секретом;

- впервые предложен способ построения схем последовательной агрегированной электронной подписи ЬБАБ-Х с ленивой проверкой, являющийся обобщением способа построения схем последовательной агрегированной электронной подписи Гентри на случай односторонних

функций с секретом, отличающийся от существующего способа Менегетти-Сигнорини меньшим размером подписи и большей производительностью;

- представлена новая схема последовательной агрегированной электронной подписи БАБ-ЦСУ на основе многомерных квадратичных многочленов, а также схемы АРСЕЗ/АКСБЗ на основе теории алгебраического кодирования с использованием кодов Гоппы;

- представлена новая схема последовательной агрегированной электронной подписи с ленивой проверкой ЬБАБ-ЦОУ на основе многомерных квадратичных многочленов, а также схема с ленивой проверкой ЬАВСББ на основе теории алгебраического кодирования с использованием кодов Гоппы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы заключается в получении способов построения схем последовательной агрегированной подписи на основе односторонней функции с секретом, разработке новых схем последовательной агрегированной электронной подписи.

Самостоятельное практическое значение имеют следующие результаты работы:

- оценка критичности требований к элементам схем агрегированной электронной подписи для различных приложений;

- данные о производительности схем последовательной агрегированной электронной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов и алгебраических кодов;

- программная архитектура системы защищённого аудита, использующая схему последовательной агрегированной электронной подписи.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории вероятности, теории алгебраического кодирования, теории чисел, алгебры, доказательной криптографии и теории сложности вычислений.

Положения, выносимые на защиту

- Способы построения схем последовательной агрегированной электронной подписи с использованием односторонних функций с секретом.

- Схемы последовательной агрегированной электронной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов и теории алгебраического кодирования, включая схемы с ленивой проверкой.

- Программная архитектура системы защищённого аудита с использованием схемы последовательной агрегированной электронной подписи.

Соответствие паспорту специальности

Диссертация соответствует паспорту специальности 2.3.6 — Методы и системы защиты информации, информационная безопасность в части п. 15 «Принципы и решения (технические, математические, организационные и др.) по созданию новых и совершенствованию существующих средств защиты информации и обеспечения информационной безопасности»; п. 19 «Исследования в области безопасности криптографических алгоритмов, криптографических примитивов, криптографических протоколов. Защита инфраструктуры обеспечения применения криптографических методов».

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность и обоснованность полученных автором результатов обеспечиваются строгими математическими доказательствами представленных утверждений.

Результаты диссертационного исследования докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- IX Всероссийская научно-техническая конференция «Безопасные информационные технологии» (БИТ-2018), 3-4 декабря 2018 г., г. Москва;

- Advanced Technologies in Robotics and Intelligent Systems. Mechanisms and Machine Science, 21-23 октября 2019 г., г. Москва;

- 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus), 27-30 января 2020 г., г. Москва;

- 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus), 26-29 января 2021 г., г. Москва;

- Семинар «Математические методы криптографического анализа», ВМК, МГУ им. М.В. Ломоносова, 17 июня 2025 г., г. Москва;

- XIV Всероссийская научно-техническая конференция «Безопасные информационные технологии» (БИТ-2025), 31 октября 2025 г., г. Москва;

- Третья Всероссийская научно-техническая конференция «Кибернетика и информационная безопасность» (КИБ-2025), 3-4 декабря 2025 г., г. Москва.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при проработке концепции и технических решений систем защищённого аудита в ООО «КРИПТО-ПРО» и АО «НПО «Эшелон».

Теоретические результаты исследования внедрены в учебный процесс НИЯУ МИФИ по дисциплинам «Методы и средства криптографической защиты информации» и «Прикладная криптография».

Соответствующие документы, подтверждающие практическое использование и внедрение результатов исследований, приведены в приложении к тексту диссертационной работы.

Публикации. Результаты диссертационного исследования

опубликованы в 9 печатных работах, из которых 2 опубликованы в изданиях,

рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской

Федерации (специальность 2.3.6); 4 — опубликованы в тезисах докладов

конференций, из которых 3 индексируются в международной системой

23

научного цитирования Scopus, 1 индексируются системой научного цитирования РИНЦ; 3 являются свидетельствами о регистрации программы для ЭВМ (приравниваются к публикациям в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации).

Личный вклад автора. Все результаты, представленные в текущей диссертационной работе, получены автором единолично. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем [40, 41], лично автору принадлежат: в работе [40] — описание подхода к построению расширяемой классификации, соглашение об именовании классов и типов схем, перечисления типов классификации; в работе [41] — применение подхода асимметричного выполнения для шифра Эль-Гамаля, анализ полученной схемы асимметричного выполнения, обоснование её стойкости, определение параметров схемы, оценка применимости схемы в протоколе PAKE.

Структура работы

Диссертация включает 4 главы.

В первой главе дано определение схемы агрегированной электронной подписи, рассмотрены различные виды схем агрегированной электронной подписи. Сделан вывод о необходимости построения новой модели классификации схем электронной подписи для получения расширяемой классификации схем с целью добавления в неё новых типов, включая схемы агрегированной электронной подписи.

Предложена каркасная модель классификации схем, на основе которой представлена новая расширяемая фасетная классификация схем электронной подписи; классифицированы новые схемы электронной подписи, классификация которых в существующей классификации была невозможна; дана оценка общего числа классов схем электронной подписи; рассмотрены вопросы использования предлагаемой классификации схем электронной подписи для выделения и описания новых типов схем электронной подписи.

Представлен обзор возможных областей применения схем агрегированной электронной подписи в различных областях, таких как протоколы защищённой маршрутизации, сенсорные сети, блокчейн, быстрые подписи, подписи пакетов программного обеспечения, инфраструктура открытых ключей. Приведена качественная оценка критичности требований к элементам схем агрегированной электронной подписи в рамках указанных приложений.

Сделан вывод, что схемы агрегированной подписи могут быть использованы в ряде приложений с целью увеличения защищённости и/или производительности, что делает актуальной задачу построения схем агрегированной подписи, стойких к квантовым атакам.

Во второй главе рассматриваются вопросы построения схем последовательной агрегированной электронной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов. Представлен краткий обзор существующих способов построения схем последовательной агрегированной электронной подписи, рассмотрены вопросы теоретической и практической стойкости схем данного типа.

Описаны существующие способы построения схем последовательной агрегированной электронной подписи на основе односторонней подстановки с секретом. Предложены новые способы построения схем последовательной агрегированной электронной подписи на основе односторонней функции с секретом БАБ-Х и ЬБАБ-Х; доказана стойкость данных конструкций в сведении к стойкости используемой односторонней функции с секретом. На основе данных способов предложены две новые схемы последовательной агрегированной электронной подписи БАБ-ЦОУ и ЬБАБ-ЦОУ (с ленивой проверкой). Представлен набор параметров схем для параметра стойкости 128-256 бит, рассмотрены вопросы программной реализации и производительности представленных схем, а также их возможное применение.

В третьей главе рассматриваются вопросы построения схем последовательной агрегированной подписи на основе теории алгебраического кодирования. Рассмотрены вопросы теоретической и практической стойкости существующих схем данного типа. На основе конструкций БЛБ-Х и ЬБЛБ-Х предложены новые схемы последовательной агрегированной подписи ЛРСРЗ/ЛКСБЗ, а также схема с ленивой проверкой ЬЛКСБЗ; представлен набор параметров для параметра стойкости 80 бит; рассмотрены вопросы программной реализации и производительности представленных схем, а также их возможное применение.

Четвёртая глава посвящена практической применимости схем последовательной агрегированной электронной подписи в системах защищённого журналирования. Рассмотрена модель системы защищённого аудита; предложена программная архитектура системы защищённого аудита, использующая агрегированные подписи для обеспечения целостности журналов аудита. Описаны форматы хранимых данных, процедуры формирования, проверки целостности и удаления промежуточных значений пакетов записей аудита, а также рассмотрены особенности предлагаемой конструкции и возможные атаки. Произведена оценка применимости предлагаемых в рамках данной работы схем последовательной агрегированной электронной подписи в системе защищённого аудита, а также представлена информация по внедрению результатов диссертационного исследования.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Макаров Артём Олегович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены способы построения схем последовательной агрегированной электронной подписи, являющиеся обобщением способов Лисянской и Гентри на случай произвольных односторонних функций с секретом. Полученные конструкции позволяют строить стойкие схемы последовательной агрегированной электронной подписи с использованием квантово-стойких односторонних функций с секретом, не являющихся подстановками.

В ходе работы были получены следующие результаты:

1. Выделен набор характеристик основных элементов схем агрегированной подписи, значение которых может оказывать влияние на функционирование информационной системы в рамках рассмотренных приложений. Приведена качественная оценка критичности требований к элементам схем.

2. Предложена новая каркасная модель построения классификации электронных схем электронной подписи на основе выделенных свойств. Использование предлагаемой каркасной модели позволяет получить легко расширяемую и удобную классификацию схем. После переноса исходной классификации Цао в новую каркасную модель существующая классификация была расширена добавлением 20 новых свойств, 7 семейств свойств и 1 типа. Предлагаемая классификация легко расширяется любыми свойствами или типами классов. Теоретически можно построить до 11 541 420 классов схем электронной подписи, что должно охватывать практически все существующие схемы. Расширенная классификация должна быть полезной как для классификации существующих схем электронной подписи, так и для предложения новых. Также полученная классификация может быть использована для выбора направлений модификации существующих схем электронной подписи.

3. Разработан новый способ построения схем последовательной агрегированной электронной подписи БАБ-Х на основе произвольной стойкой односторонней функции с секретом. Показана стойкость схемы БАБ-Х в сведении к стойкости используемой односторонней функции с секретом.

4. Разработан новый способ построения схем последовательной агрегированной подписи с ленивой проверкой ЬБАБ-Х на основе модифицированной конструкции Гентри, использующей идеальный шифр и стойкую одностороннюю функцию с секретом. Показана стойкость схемы ЬБАБ-Х в сведении к стойкости используемой односторонней функции с секретом.

5. Предложены схемы последовательной агрегированной электронной подписи БАБ-иОУ и LSAS-UOV, являющиеся реализациями схем SAS-X и ЬБАБ-Х с использованием односторонней функции с секретом схемы постквантовой электронной подписи на основе многомерных квадратичных многочленов UOV. Показана стойкость данных схем в сведении к стойкости односторонней функции с секретом схемы иОУ. Представлен набор параметров схем для соответствия параметру стойкости 128-256 бит.

6. Предложена новая схема постквантовой электронной подписи на основе теории алгебраического кодирования ЯСББ, имеющая те же параметры, что и существующая схема электронной подписи Рага11е1-СЕ8, но более удобная для построения на её основе схемы последовательной агрегированной подписи с ленивой проверкой в схеме ЬБАБ-Х.

7. Предложена новая схема постквантовой последовательной агрегированной электронной подписи АРСББ на основе схемы Рага11е1-СБ8 в рамках конструкции Лисянской; схема А^СБ на основе схемы ЯСББ в рамках конструкции БАБ-Х. Данные схемы являются оптимальными.

8. Предложена новая схема постквантовой последовательной агрегированной электронной подписи с ленивой проверкой ЬДЕС на основе конструкции ЬБАБ-Х и схемы ЯСББ.

9. Проведён анализ схем ЯСББ, АРСББ, АЯСББ и ЬАЯСБЗ на основе теории алгебраического кодирования в сведении к стойкости функции зашифрования криптосистемы Нидеррайтера как односторонней функции с секретом. Предложен набор параметров схем для соответствия параметру стойкости 80 бит.

10. Рассмотрены вопросы программной реализации предложенных схем агрегированной электронной подписи БАБ-ИОУ, ЬБАБ-ИОУ, АРСЕЗ/АКСББ и ЬАКСББ. Получены данные о производительности предлагаемых схем.

11. Предложена программная архитектура системы защищённого аудита, использующая схему последовательной агрегированной электронной подписи для обеспечения целостности журналов аудита. Описаны процедуры формирования, проверки целостности, удаления промежуточных значений пакетов записей аудита, а также возможные атаки. Предложены форматы хранимых данных для проверки целостности записей аудита. Произведена оценка применимости предлагаемых в рамках данной работы схем последовательной агрегированной электронной подписи в системе защищённого аудита. Использование схем последовательной агрегированной электронной подписи в системах защищённого журналирования позволяет обеспечить целостность и последовательность цепочек пакетов записей аудита, выявлять изменённые пакеты, а также уменьшать размер хранимой информации по сравнению с применением классических схем электронной подписи.

Список публикаций по теме диссертации Статьи в рецензируемых журналах из Перечня ВАК: Макаров А. Схема Постквантовой Агрегированной Подписи С Ленивой Проверкой На Основе Многомерных Квадратичных Многочленов / А.О. Макаров // Безопасность Информационных Технологий. - 2023. - Т. 30. - №2 3. - С. 30-50. (ВАК, К2, специальность 2.3.6)

Макаров А. Схема пост-квантовой агрегированной подписи на основе теории алгебраического кодирования / А. Макаров // Вопросы кибербезопасности. - 2019. - № 2 (30). - С. 69-76. (ВАК, К1, специальность 2.3.6)

Печатные работы в сборниках трудов международных и всероссийских конференций:

Makarov A. Extended Classification of Signature-only Signature Models / A. Makarov, A.A. Varfolomeev // 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). - 2021. -P. 2385-2389. (Scopus)

Varfolomeev A.A. About Asymmetric Execution of the Asymmetric ElGamal Cipher / A.A. Varfolomeev, A. Makarov // 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). - St. Petersburg and Moscow, Russia: IEEE, 2020. - P. 2106-2109. (Scopus)

Makarov A. A Survey of Aggregate Signature Applications / A. Makarov // Advanced Technologies in Robotics and Intelligent Systems: Mechanisms and Machine Science. - Cham: Springer International Publishing, 2020. - P. 309-317 (Scopus)

Макаров А. Схема постквантовой агрегированной подписи на основе теории алгебраического кодирования // Безопасные информационные технологии. Сборник трудов Девятой всероссийской научно-технической конференции / под. ред. М.А.Басараба - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2018. -С. 124-128. (РИНЦ)

Свидетельства о регистрации программы для ЭВМ:

Свидетельство № 2025680777 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «AggreLink Audit» / А.О. Макаров. - Заявка № 2025667882 от 15.07.2025; дата гос. регистрации в Реестре 08.08.2025. - Реестр программ для ЭВМ. - 1 с.

Свидетельство № 2023667179 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Libuov» / А.О. Макаров. - Заявка № 2023666172 от 01.08.2023; дата гос. регистрации в Реестре 10.08.2023. - Реестр программ для ЭВМ. - 1 с.

Свидетельство № 2018613440 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «ПО "ПАК "КриптоПро DSS" версии 2.0" ("КриптоПро DSS 2.0")» / Горлатых А.В., Смирнов П.В., Усанова Т.И., Хоменко М.В., Корнев Д.К., Макаров А.О., Садофьев Г.А. -Заявка № 2018610515 от 19.01.2018; дата гос. регистрации в Реестре 14.01.2018. - Реестр программ для ЭВМ. - 1 с.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаров Артём Олегович, 2026 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Kent S. Secure Border Gateway Protocol (S-BGP) — Real World Performance and Deployment Issues / S. Kent [et al.]. - 14 p.

2. Lepinski M. BGPsec Protocol Specification / M. Lepinski, K. Sriram. -Internet Engineering Task Force, 2017. - 45 p.

3. Shor P.W. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer / P.W. Shor // SIAM Journal on Computing. - 1997. - Vol. 26. - № 5. - P. 1484-1509.

4. Синев В.Е. Повышение уровня безопасности протокола групповой цифровой подписи, основанного на механизме маскирования открытых ключей / В.Е. Синев // Известия Спбгэту Лэти. - 2016. - № 6.

5. Молдовян А.А. Утверждаемая групповая подпись: новые протоколы / А.А. Молдовян, А.И. Галанов, В.Е. Синев // Вопросы Защиты Информации. - 2016. - Утверждаемая групповая подпись. - № 2 (113).

6. Fukumitsu M. A Lattice-Based Provably Secure Multisignature Scheme in Quantum Random Oracle Model / M. Fukumitsu, S. Hasegawa // Provable and Practical Security: 14th International Conference, ProvSec 2020, Singapore, November 29 - December 1, 2020, Proceedings. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2020. - P. 45-64.

7. Torres W.A.A. Post-Quantum Linkable Ring Signature Enabling Distributed Authorised Ring Confidential Transactions in Blockchain [Электронный ресурс]. - URL: https://eprint.iacr.org/2020/1121.pdf (дата обращения: 20.05.2023).

8. Boneh D. Aggregate and Verifiably Encrypted Signatures from Bilinear Maps / D. Boneh [et al.] // Advances in Cryptology — EUROCRYPT 2003 : Lecture Notes in Computer Science / ed. E. Biham. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. -P. 416-432.

9. Boneh D. Homomorphic Signatures for Polynomial Functions / D. Boneh, D.M. Freeman // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2011 : Lecture

210

Notes in Computer Science / ed. K.G. Paterson. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 149-168.

10. Gentry C. Identity-Based Aggregate Signatures / C. Gentry, Z. Ramzan // Public Key Cryptography - PKC 2006 : Lecture Notes in Computer Science / eds. M. Yung [et al.]. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. - P. 257-273.

11. Lysyanskaya A. Sequential Aggregate Signatures from Trapdoor Permutations / A. Lysyanskaya [et al.] // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2004 : Lecture Notes in Computer Science / eds. C. Cachin, J.L. Camenisch. -Berlin, Heidelberg: Springer, 2004. - P. 74-90.

12. Gentry C. A Unified Framework for Trapdoor-Permutation-Based Sequential Aggregate Signatures / C. Gentry, A. O'Neill, L. Reyzin // Public-Key Cryptography - PKC 2018 : Lecture Notes in Computer Science / eds. M. Abdalla, R. Dahab. - Cham: Springer International Publishing, 2018. - P. 34-57.

13. Brogle K. Sequential aggregate signatures with lazy verification from trapdoor permutations / K. Brogle, S. Goldberg, L. Reyzin // Information and Computation. - 2014. - Vol. 239. - P. 356-376.

14. Meneghetti A. History-Free Sequential Aggregation of Hash-and-Sign Signatures / A. Meneghetti, E. Signorini Publication info: Published elsewhere. Minor revision. CT-RSA 2024. - 2023.

15. Merkle R.C. A Certified Digital Signature / R.C. Merkle // Advances in Cryptology — CRYPTO' 89 Proceedings : Lecture Notes in Computer Science / ed. G. Brassard. - New York, NY: Springer, 1990. - P. 218-238.

16. Lamport L. Constructing Digital Signatures from a One Way Function / L. Lamport. - 1979.

17. McEliece R.J. A Public-Key Cryptosystem Based On Algebraic Coding Theory / R.J. McEliece // Deep Space Network Progress Report. - 1978. - Vol. 44. - P. 114-116.

18. Niederreiter H. Knapsack-type cryptosystems and algebraic coding theory / H. Niederreiter // Prob. Contr. Inform. Theory. - Vol. 15. - № 2. - P. 157166.

19. Ajtai M. Generating hard instances of lattice problems (extended abstract) / M. Ajtai // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of Computing : STOC '96. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 1996. - P. 99-108.

20. Schnorr C.P. A more efficient algorithm for lattice basis reduction / C.P. Schnorr // Journal of Algorithms. - 1988. - Vol. 9. - № 1. - P. 47-62.

21. Комарова А. Анализ основных существующих пост-квантовых подходов и схем электронной подписи / А. Комарова, А. Коробейников // Вопросы кибербезопасности. - 2019. - № 2 (30). - С. 58-68.

22. Hülsing A. W-OTS+ - Shorter Signatures for Hash-Based Signature Schemes / A. Hülsing // Progress in Cryptology - AFRICACRYPT 2013 : Lecture Notes in Computer Science / eds. A. Youssef, A. Nitaj, A.E. Hassanien. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2013. - P. 173-188.

23. Matsumoto T. Public Quadratic Polynomial-Tuples for Efficient Signature-Verification and Message-Encryption / T. Matsumoto, H. Imai // Advances in Cryptology — EUROCRYPT '88 : Lecture Notes in Computer Science / eds. D. Barstow [et al.]. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1988. - P. 419-453.

24. Patarin J. Cryptanalysis of the Matsumoto and Imai Public Key Scheme of Eurocrypt'88 / J. Patarin // Advances in Cryptology — CRYPTO' 95 : Lecture Notes in Computer Science / ed. D. Coppersmith. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1995. - P. 248-261.

25. Petzoldt A. Design Principles for HFEv- Based Multivariate Signature Schemes. Vol. 9452 / A. Petzoldt [et al.]. - 2015. - 311 p.

26. Андреевич М.Н. Схема постквантовой электронной цифровой подписи на основе усиленной формы скрытой задачи дискретного логарифмирования / М.Н. Андреевич, А.И. Константинович // Вестник Санкт-

Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2019. - № 2. - С. 212-220.

27. Александрова Е.Б. Применение постквантовой и гомоморфной криптографии в задачах кибербезопасности / Е.Б. Александрова, Н.Н. Шенец // Неделя науки СПбПУ. - 2015. - С. 9-17.

28. Bernstein D. Cost analysis of hash collisions: Will quantum computers make SHARCS obsolete / D. Bernstein. - 2009. - Cost analysis of hash collisions.

29. Bernstein D.J. List Decoding for Binary Goppa Codes / D.J. Bernstein // Coding and Cryptology / eds. Y.M. Chee [et al.]. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 62-80.

30. Feneuil T. CAPSS: A Framework for SNARK-Friendly Post-Quantum Signatures. CAPSS / T. Feneuil, M. Rivain Publication info: Preprint. - 2025.

31. Kirshanova E. Breaking Goppa-Based McEliece with Hints / E. Kirshanova, A. May Publication info: Published elsewhere. SCN2022. - 2022.

32. Morozov K. On the security of the Courtois-Finiasz-Sendrier signature / K. Morozov [et al.] // Open Mathematics. - 2018. - Vol. 16. - № 1. - P. 161-167.

33. El Bansarkhani R. Towards Lattice Based Aggregate Signatures / R. El Bansarkhani, J. Buchmann // Progress in Cryptology - AFRICACRYPT 2014 : Lecture Notes in Computer Science / eds. D. Pointcheval, D. Vergnaud. - Cham: Springer International Publishing, 2014. - P. 336-355.

34. Jing Z. An Efficient Homomorphic Aggregate Signature Scheme Based on Lattice / Z. Jing // Mathematical Problems in Engineering. - 2014. - Vol. 2014. - P. e536527.

35. Ozmen M.O. Fast Authentication from Aggregate Signatures with Improved Security / M.O. Ozmen, R. Behnia, A. Yavuz. - 2019. - P. 686-705.

36. Aardal M.A. Aggregating Falcon Signatures with LaBRADOR / M.A. Aardal [et al.] // Advances in Cryptology - CRYPTO 2024 / eds. L. Reyzin, D. Stebila. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2024. - P. 71-106.

37. El Bansarkhani R. MQSAS - A Multivariate Sequential Aggregate Signature Scheme / R. El Bansarkhani, M.S.E. Mohamed, A. Petzoldt // Information Security : Lecture Notes in Computer Science / eds. M. Bishop, A.C.A. Nascimento.

- Cham: Springer International Publishing, 2016. - P. 426-439.

38. Chen J. MQ Aggregate Signature Schemes with Exact Security Based on UOV Signature / J. Chen [et al.] // Lecture Notes in Computer Science / eds. Z. Liu, M. Yung Book Title: Information Security and CryptologyDOI: 10.1007/9783-030-42921 -8_26. - Cham: Springer International Publishing, 2020. - Vol. 12020.

- p. 443-451.

39. Zhang X. Loquat: A SNARK-Friendly Post-quantum Signature Based on the Legendre PRF with Applications in Ring and Aggregate Signatures / X. Zhang [et al.] // Advances in Cryptology - CRYPTO 2024 / eds. L. Reyzin, D. Stebila. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2024. - Loquat. - P. 3-38.

40. Makarov A. Extended Classification of Signature-only Signature Models / A. Makarov, A.A. Varfolomeev // 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). - 2021. -P. 2385-2389.

41. Varfolomeev A.A. About Asymmetric Execution of the Asymmetric ElGamal Cipher / A.A. Varfolomeev, A. Makarov // 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). -St. Petersburg and Moscow, Russia: IEEE, 2020. - P. 2106-2109.

42. Bellare M. The Security of Triple Encryption and a Framework for Code-Based Game-Playing Proofs / M. Bellare, P. Rogaway // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2006 : Lecture Notes in Computer Science / ed. S. Vaudenay. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. - P. 409-426.

43. Rogaway P. On the Role Definitions in and Beyond Cryptography / P. Rogaway // Advances in Computer Science - ASIAN 2004. Higher-Level Decision Making : Lecture Notes in Computer Science / ed. M.J. Maher. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. - P. 13-32.

44. Bellare M. The Game-Playing Technique [Электронный ресурс]. -URL: https://cr.yp.to/bib/2004/bellare-games.pdf (дата обращения: 20.05.2023).

45. Bellare M. Random oracles are practical: a paradigm for designing efficient protocols / M. Bellare, P. Rogaway // Proceedings of the 1st ACM conference on Computer and communications security - CCS '93 the 1st ACM conference. - Fairfax, Virginia, United States: ACM Press, 1993. - P. 62-73.

46. Boneh D. Aggregate Signatures / D. Boneh // Encyclopedia of Cryptography, Security and Privacy. - Springer, Cham, 2025. - P. 46-47.

47. Boneh D. A Survey of Two Signature Aggregation Techniques / D. Boneh, B. Lynn // RSA Cryptobytes. - 2003. - Vol. 6. - P. 1-9.

48. Ahn J.H. Synchronized aggregate signatures: new definitions, constructions and applications / J.H. Ahn, M. Green, S. Hohenberger // CCS '10. -2010. - Synchronized aggregate signatures.

49. Hartung G. Fault-Tolerant Aggregate Signatures / G. Hartung [et al.] // Public-Key Cryptography - PKC 2016 : Lecture Notes in Computer Science / eds. C.-M. Cheng [et al.]. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2016. - P. 331-356.

50. Micali S. Accountable-subgroup multisignatures: extended abstract / S. Micali, K. Ohta, L. Reyzin // Proceedings of the 8th ACM conference on Computer and Communications Security : CCS '01. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 2001. - Accountable-subgroup multisignatures. - P. 245254.

51. Bleumer G. Group Signatures / G. Bleumer // Encyclopedia of Cryptography, Security and Privacy. - Springer, Cham, 2025. - P. 1046-1049.

52. Yavuz A.A. BAF and FI-BAF: Efficient and Publicly Verifiable Cryptographic Schemes for Secure Logging in Resource-Constrained Systems / A.A. Yavuz, P. Ning, M.K. Reiter // ACM Transactions on Information and System Security. - 2012. - Vol. 15. - BAF and FI-BAF. - № 2. - P. 9:1-9:28.

53. Cao Z. Classification of signature-only signature models / Z. Cao, M. Liu // Science in China Series F: Information Sciences. - 2008. - Vol. 51. - № 8. -P. 1083.

54. Yao D. Cascaded Authorization with Anonymous-Signer Aggregate Signatures / D. Yao, Tamassia // 2006 IEEE Information Assurance Workshop 2006 IEEE Information Assurance Workshop. - 2006. - P. 84-91.

55. Amos R. One-shot signatures and applications to hybrid quantum/classical authentication / R. Amos [et al.] // Proceedings of the 52nd Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 2020. - P. 255-268.

56. Derler D. Key-homomorphic signatures: definitions and applications to multiparty signatures and non-interactive zero-knowledge / D. Derler, D. Slamanig // Designs, Codes and Cryptography. - 2019. - Vol. 87. - Key-homomorphic signatures. - № 6. - P. 1373-1413.

57. Makarov A. A Survey of Aggregate Signature Applications / A. Makarov // Advanced Technologies in Robotics and Intelligent Systems : Mechanisms and Machine Science. - Cham: Springer International Publishing, 2020. - P. 309-317.

58. Butler K. A Survey of BGP Security Issues and Solutions / K. Butler [et al.] // Proceedings of the IEEE. - 2010. - Vol. 98. - № 1. - P. 100-122.

59. How Pakistan knocked YouTube offline (and how to make sure it never happens again) - CNET [Электронный ресурс]. - URL: https://www.cnet.com/culture/how-pakistan-knocked-youtube-offline-and-how-to-make-sure-it-never-happens-again/ (дата обращения: 02.04.2022).

60. Chinese ISP hijacks the Internet | BGPmon [Электронный ресурс]. -URL: https://bgpmon.net/chinese-isp-hijacked- 10-of-the-internet/ (дата обращения: 02.04.2022).

61. BGP hijacking for cryptocurrency profit [Электронный ресурс]. -URL : https://www.helpnetsecurity.com/2014/08/19/bgp-hij acking-for-cryptocurrency-profit/ (дата обращения: 02.04.2022).

62. BGP in 2018 — The BGP Table [Электронный ресурс]. - URL: https://blog.apnic.net/2019/01/16/bgp-in-2018-the-bgp-table/ (дата обращения: 19.02.2022).

63. Akyildiz I.F. A survey on sensor networks / I.F. Akyildiz [et al.] // IEEE Communications Magazine. - 2002. - Vol. 40. - № 8. - P. 102-114.

64. Ko J. Wireless sensing systems in clinical environments: improving the efficiency of the patient monitoring process / J. Ko [et al.] // IEEE engineering in medicine and biology magazine: the quarterly magazine of the Engineering in Medicine & Biology Society. - 2010. - Vol. 29. - Wireless sensing systems in clinical environments. - № 2. - P. 103-109.

65. CAR 2 CAR Communication Consortium [Электронный ресурс]. -URL: https://www.car-2-car.org/ (дата обращения: 19.02.2022).

66. Schnorr C.P. Efficient signature generation by smart cards / C.P. Schnorr // Journal of Cryptology. - 1991. - Vol. 4. - № 3. - P. 161-174.

67. Schnorr Signatures Are Coming to Bitcoin Cash - Here's What You Should Know - Technology Bitcoin News. - 2019.

68. Hoffstein J. NTRUSign: Digital Signatures Using the NTRU Lattice / J. Hoffstein [et al.] // Topics in Cryptology — CT-RSA 2003 : Lecture Notes in Computer Science / ed. M. Joye. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. - NTRUSign. - P. 122-140.

69. Hartung G. Practical and Robust Secure Logging from Fault-Tolerant Sequential Aggregate Signatures / G. Hartung [et al.] // Provable Security / eds. T. Okamoto [et al.]. - Cham: Springer International Publishing, 2017. - P. 87-106.

70. Garey M.R. Computers and Intractability; A Guide to the Theory of NP-Completeness / M.R. Garey, D.S. Johnson. - USA: W. H. Freeman & Co., 1990. -338 p.

71. Bernstein D.J. Post Quantum Cryptography / D.J. Bernstein, J. Buchmann, E. Dahmen. - 1st. - Springer Publishing Company, Incorporated, 2008. - 245 p.

72. Patarin J. Hidden Fields Equations (HFE) and Isomorphisms of Polynomials (IP): Two New Families of Asymmetric Algorithms / J. Patarin // Advances in Cryptology — EUROCRYPT '96 : Lecture Notes in Computer Science / ed. U. Maurer. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1996. - Hidden Fields Equations (HFE) and Isomorphisms of Polynomials (IP). - P. 33-48.

73. Given N. Gui : Revisiting Multivariate Digital Signature Schemes based on HFEv - [Электронный ресурс]. - URL: http://csrc.nist.gov/groups/ ST/post-quantum-2015/papers/session1-ding-paper.pdf (дата обращения: 19.02.2022).

74. Patarin J. FLASH, a Fast Multivariate Signature Algorithm / J. Patarin, N. Courtois, L. Goubin // Topics in Cryptology — CT-RSA 2001 : Lecture Notes in Computer Science / ed. D. Naccache. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - P. 298307.

75. Kipnis A. Unbalanced Oil and Vinegar Signature Schemes / A. Kipnis, J. Patarin, L. Goubin // Advances in Cryptology — EUROCRYPT '99 : Lecture Notes in Computer Science / ed. J. Stern. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1999. -P. 206-222.

76. Ding J. Rainbow, a New Multivariable Polynomial Signature Scheme / J. Ding, D. Schmidt // Applied Cryptography and Network Security : Lecture Notes in Computer Science / eds. J. Ioannidis, A. Keromytis, M. Yung. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. - P. 164-175.

77. Cogliati B. New Security Proofs and Techniques for Hash-and-Sign with Retry Signature Schemes / B. Cogliati [et al.] Publication info: Preprint. - 2024.

78. Rabin M.O. Probabilistic Algorithms in Finite Fields / M.O. Rabin // SIAM Journal on Computing. - 1980. - Vol. 9. - № 2. - P. 273-280.

79. Patarin J. QUARTZ, 128-Bit Long Digital Signatures / J. Patarin, N. Courtois, L. Goubin // Topics in Cryptology — CT-RSA 2001 : Lecture Notes in

Computer Science / ed. D. Naccache. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - P. 282297.

80. Secure Hash Standard (SHS). - U.S. Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, 2015.

81. Beullens W. Oil and Vinegar: Modern Parameters and Implementations / W. Beullens [et al.] Publication info: Published by the IACR in TCHES 2023. -2023.

82. Tao C. Efficient Key Recovery for All HFE Signature Variants / C. Tao, A. Petzoldt, J. Ding // Advances in Cryptology - CRYPTO 2021 / eds. T. Malkin, C. Peikert. - Cham: Springer International Publishing, 2021. - P. 70-93.

83. Beullens W. Breaking Rainbow Takes a Weekend on a Laptop / W. Beullens // Advances in Cryptology - CRYPTO 2022 / eds. Y. Dodis, T. Shrimpton. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2022. - P. 464-479.

84. Suzuki T. An Extended Rectangular MinRank Attack against UOV and Its Variants / T. Suzuki [et al.] // Cryptology ePrint Archive. - 2025.

85. Ding J. Current State of Multivariate Cryptography / J. Ding, A. Petzoldt // IEEE Security Privacy. - 2017. - Vol. 15. - № 4. - P. 28-36.

86. Beullens W. Improved Cryptanalysis of UOV and Rainbow / W. Beullens // Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2021 / eds. A. Canteaut, F.-X. Standaert. - Cham: Springer International Publishing, 2021. - P. 348-373.

87. Petzoldt A. Selecting and reducing key sizes for multivariate cryptography / A. Petzoldt. - tuprints, 2013.

88. Coppersmith D. Attacks on the Birational Permutation Signature Schemes / D. Coppersmith, J. Stern, S. Vaudenay // Advances in Cryptology — CRYPTO' 93 : Lecture Notes in Computer Science / ed. D.R. Stinson. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1994. - P. 435-443.

89. Ding J. New Differential-Algebraic Attacks and Reparametrization of Rainbow / J. Ding [et al.] // Applied Cryptography and Network Security : Lecture

Notes in Computer Science / eds. S.M. Bellovin [et al.]. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - P. 242-257.

90. Faugère J.-C. Algebraic Cryptanalysis of Hidden Field Equation (HFE) Cryptosystems Using Gröbner Bases / J.-C. Faugère, A. Joux // Advances in Cryptology - CRYPTO 2003 / ed. D. Boneh. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. - P. 44-60.

91. Grover L.K. A fast quantum mechanical algorithm for database search / L.K. Grover // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of Computing : STOC '96. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 1996. - P. 212-219.

92. Benadjila R. MQ on my Mind: Post-Quantum Signatures from the Non-Structured Multivariate Quadratic Problem / R. Benadjila, T. Feneuil, M. Rivain // 2024 IEEE 9th European Symposium on Security and Privacy (EuroS&P) 2024 IEEE 9th European Symposium on Security and Privacy (EuroS&P). - Vienna, Austria: IEEE, 2024. - MQ on my Mind. - C. 468-485.

93. Ishai Y. Zero-knowledge from secure multiparty computation / Y. Ishai [et al.] // Proceedings of the thirty-ninth annual ACM symposium on Theory of computing : STOC '07. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 2007. - P. 21-30.

94. Chase M. Post-Quantum Zero-Knowledge and Signatures from Symmetric-Key Primitives / M. Chase [et al.] // Proceedings of the 2017 ACM SIGSAC Conference on Computer and Communications Security CCS '17: 2017 ACM SIGSAC Conference on Computer and Communications Security. - Dallas Texas USA: ACM, 2017. - P. 1825-1842.

95. Beullens W. MAYO: Practical Post-Quantum Signatures from Oil-and-Vinegar Maps. MAYO / W. Beullens Publication info: Published elsewhere. SAC 2021. - 2021.

96. Furue H. A New Variant of Unbalanced Oil and Vinegar Using Quotient Ring: QR-UOV / H. Furue [et al.] // Advances in Cryptology -

ASIACRYPT 2021 / eds. M. Tibouchi, H. Wang. - Cham: Springer International Publishing, 2021. - A New Variant of Unbalanced Oil and Vinegar Using Quotient Ring. - P. 187-217.

97. Ganguly A. VDOO: A Short, Fast, Post-quantum Multivariate Digital Signature Scheme / A. Ganguly, A. Karmakar, N. Saxena // Progress in Cryptology - INDOCRYPT 2023 / eds. A. Chattopadhyay [et al.]. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2024. - VDOO. - P. 197-222.

98. Zhuang Z. A Provably Secure W-OTS$A+$ based on MQ Problem / Z. Zhuang, Y. Zhang, J. Ding // Cryptology ePrint Archive. - 2025.

99. Макаров А.О. Схема Постквантовой Агрегированной Подписи С Ленивой Проверкой На Основе Многомерных Квадратичных Многочленов / А.О. Макаров // Безопасность Информационных Технологий. - 2023. - Т. 30. -№ 3. - С. 30-50.

100. Matsuda T. On Black-Box Separations among Injective One-Way Functions / T. Matsuda, K. Matsuura // Theory of Cryptography / ed. Y. Ishai. -Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 597-614.

101. Anand M.V. Post-Quantum Security of the CBC, CFB, OFB, CTR, and XTS Modes of Operation / M.V. Anand [et al.] // Post-Quantum Cryptography : Lecture Notes in Computer Science / ed. T. Takagi. - Cham: Springer International Publishing, 2016. - Vol. 9606. - P. 44-63.

102. Mandal S. Implementing Grover's on AES-based AEAD schemes / S. Mandal [et al.] // Scientific Reports. - 2024. - Vol. 14. - № 1.

103. Bhargavan K. On the Practical (In-)Security of 64-bit Block Ciphers: Collision Attacks on HTTP over TLS and OpenVPN / K. Bhargavan, G. Leurent // Proceedings of the 2016 ACM SIGSAC Conference on Computer and Communications Security : CCS '16. - New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 2016. - On the Practical (In-)Security of 64-bit Block Ciphers. - P. 456-467.

104. Leurent G. The Missing Difference Problem, and Its Applications to Counter Mode Encryption / G. Leurent, F. Sibleyras // Advances in Cryptology -EUROCRYPT 2018 / eds. J.B. Nielsen, V. Rijmen. - Cham: Springer International Publishing, 2018. - P. 745-770.

105. Finiasz M. Parallel-CFS: Strengthening the CFS McEliece-based signature scheme : Lecture Notes in Computer Science / M. Finiasz // Workshop on Selected Areas in Cryptography - SAC 2010. - 2010. - Parallel-CFS. - P. 159-170.

106. Neven G. Efficient Sequential Aggregate Signed Data / G. Neven // IEEE Transactions on Information Theory. - 2011. - Vol. 57. - № 3. - P. 18031815.

107. Black J. The Ideal-Cipher Model, Revisited: An Uninstantiable Blockcipher-Based Hash Function / J. Black // Fast Software Encryption / ed. M. Robshaw. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. - The Ideal-Cipher Model, Revisited. - P. 328-340.

108. Boneh D. A Graduate Course in Applied Cryptography [Электронный ресурс]. - URL: crypto.stanford.edu/~dabo/cryptobook/BonehShoup_0_6.pdf (дата обращения: 21.09.2025).

109. Coron J.-S. The Random Oracle Model and the Ideal Cipher Model Are Equivalent / J.-S. Coron, J. Patarin, Y. Seurin // Advances in Cryptology - CRYPTO 2008 : Lecture Notes in Computer Science / ed. D. Wagner. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - P. 1-20.

110. Coron J.-S. How to Build an Ideal Cipher: The Indifferentiability of the Feistel Construction / J.-S. Coron [et al.] // Journal of Cryptology. - 2016. - Vol. 29. - How to Build an Ideal Cipher. - № 1. - P. 61-114.

111. Dai Y. Indifferentiability of 8-round Feistel networks / Y. Dai, J. Steinberger // Annual International Cryptology Conference. - Springer, 2016. -P. 95-120.

112. Feigenbaum J. On the random-self-reducibility of complete sets / J. Feigenbaum, L. Fortnow // [1991] Proceedings of the Sixth Annual Structure in

Complexity Theory Conference [1991] Proceedings of the Sixth Annual Structure in Complexity Theory Conference. - 1991. - P. 124-132.

113. Dodis Y. On the Power of Claw-Free Permutations / Y. Dodis, L. Reyzin // Security in Communication Networks : Lecture Notes in Computer Science / eds. S. Cimato, G. Persiano, C. Galdi. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. - P. 55-73.

114. Brogle K. Sequential Aggregate Signatures with Lazy Verification from Trapdoor Permutations (Extended Abstract) / K. Brogle, S. Goldberg, L. Reyzin. -P. 19.

115. Dara S. FNR: Arbitrary Length Small Domain Block Cipher Proposal / S. Dara, S.R. Fluhrer // SPACE. - 2014. - FNR.

116. Coron J.-S. A Domain Extender for the Ideal Cipher / J.-S. Coron [et al.] // Theory of Cryptography / ed. D. Micciancio. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. - P. 273-289.

117. Bellare M. Separate Your Domains: NIST PQC KEMs, Oracle Cloning and Read-Only Indifferentiability. Separate Your Domains / M. Bellare, H. Davis, F. Günther Report Number: 241. - 2020.

118. Computer Security Division I.T.L. Post-Quantum Cryptography | CSRC | CSRC [Электронный ресурс]. - URL: https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography/faqs (дата обращения: 08.02.2025).

119. Zalka C. Grover's quantum searching algorithm is optimal / C. Zalka // Physical Review A. - 1999. - Vol. 60. - № 4. - P. 2746-2751.

120. Bernstein D.J. Post-quantum cryptography / D.J. Bernstein, T. Lange // Nature. - 2017. - Vol. 549. - № 7671. - P. 188-194.

121. Advanced Encryption Standard (AES). - U.S. Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, 2023.

122. D. S. On the practical cost of Grover for AES key recovery / S. D., P. C. - UK National Cyber Security Centre, 2024.

123. Jaques S. Implementing Grover Oracles for Quantum Key Search on AES and LowMC / S. Jaques [et al.] // Advances in Cryptology - EUROCRYPT

2020: 39th Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques, Zagreb, Croatia, May 10-14, 2020, Proceedings, Part II.

- Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2020. - P. 280-310.

124. Computer Security Division I.T.L. Security (Evaluation Criteria) -Post-Quantum Cryptography | CSRC | CSRC [Электронный ресурс]. - URL: https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography/post-quantum-cryptography-standardization/evaluation-criteria/security-(evaluation-criteria) (дата обращения: 08.02.2025).

125. Bonnetain X. Quantum Security Analysis of AES / X. Bonnetain, M. Naya-Plasencia, A. Schrottenloher // IACR Transactions on Symmetric Cryptology.

- 2019. - P. 55-93.

126. Grassl M. Applying Grover's Algorithm to AES: Quantum Resource Estimates / M. Grassl [et al.] // Post-Quantum Cryptography / ed. T. Takagi. - Cham: Springer International Publishing, 2016. - Applying Grover's Algorithm to AES. -P. 29-43.

127. ГОСТ Р 34.12-2015 Информационная технология. Криптографическая защита информации. Блочные шифры. - М.: Стандартинформ, 2015. - 25 с.

128. ГОСТ Р 34.11-2012 Информационная технология. Криптографическая защита информации. Функция хэширования. - М.: Стандартинформ, 2013. - 25 с.

129. Boneh D. Random Oracles in a Quantum World / D. Boneh [et al.] // Advances in Cryptology - ASIACRYPT 2011 / eds. D.H. Lee, X. Wang. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 41-69.

130. Zhang J. On the (Quantum) Random Oracle Methodology: New Separations and More / J. Zhang [et al.] // Cryptology ePrint Archive. - 2019.

131. Yamakawa T. Classical vs Quantum Random Oracles / T. Yamakawa, M. Zhandry // Publication info: A major revision of an IACR publication in EUROCRYPT 2021. - Cryptology ePrint Archive, 2020.

132. Cojocaru A. Quantum Lifting for Invertible Permutations and Ideal Ciphers / A. Cojocaru [et al.] // Advances in Cryptology - CRYPTO 2025 / eds. Y. Tauman Kalai, S.F. Kamara. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2025. - P. 481512.

133. Daemen J. The Block Cipher Rijndael / J. Daemen, V. Rijmen // Smart Card Research and Applications / eds. J.-J. Quisquater, B. Schneier. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. - P. 277-284.

134. Beullens W. UOV: Unbalanced Oil and Vinegar. Algorithm Specifications and Supporting Documentation Version 1.0 [Электронный ресурс]. - URL: https://csrc.nist.gov/csrc/media/Projects/pqc-dig-sig/documents/round-1/spec-files/UOV-spec-web.pdf.

135. Computer Security Division I.T.L. Post-Quantum Cryptography: Additional Digital Signature Schemes | CSRC | CSRC [Электронный ресурс]. -URL: https://csrc.nist.gov/projects/pqc-dig-sig (дата обращения: 28.01.2025).

136. Sikeridis D. Post-Quantum Authentication in TLS 1.3: A Performance Study. Post-Quantum Authentication in TLS 1.3 / D. Sikeridis, P. Kampanakis, M. Devetsikiotis. - 2020.

137. Shelton M.A. Rosita: Towards Automatic Elimination of Power-Analysis Leakage in Ciphers / M.A. Shelton [et al.] // Proceedings 2021 Network and Distributed System Security Symposium. - 2021. - Rosita.

138. VPSHUFB (YMM, YMM, M256) [Электронный ресурс]. - URL: https://uops.info/html-tp/BDW/VPSHUFB_YMM_YMM_M256-IACA2.3.html (дата обращения: 10.02.2025).

139. PSHUFB — Packed Shuffle Bytes [Электронный ресурс]. - URL: https://www.felixcloutier.com/x86/pshufb (дата обращения: 10.02.2025).

140. Intel® Advanced Encryption Standard Instructions (AES-NI) [Электронный ресурс]. - URL: https://www.intel.com/content/www/us/en/developer/articles/technical/advanced-encryption-standard-instructions-aes-ni.html (дата обращения: 10.02.2025).

141. Reference implementation of the oil and vinegar (OV) signature system [Электронный ресурс]. - URL: https://github.com/pqov/pqov/tree/main/src (дата обращения: 11.02.2023).

142. OpenSSL Library [Электронный ресурс]. - URL: https://openssl-library.org/ (дата обращения: 11.02.2025).

143. Home | BenchmarkDotNet [Электронный ресурс]. - URL: https://benchmarkdotnet.org/ (дата обращения: 11.02.2025).

144. ГОСТ Р 34.10-2012 Информационная технология. Криптографическая защита информации. Процессы формирования и проверки электронной цифровой подписи. - М.: Стандартинформ, 2012. - 33 с.

145. Algorithms, key size and parameters report - 2014 // ENISA. Publications Office. - 2013. - P. 37.

146. Barker E. Recommendation for Key Management: Part 1 - General / E. Barker // National Institute of Standards and Technology. - 2020. -Recommendation for Key Management. - P. 54-55.

147. Post-Quantum Cryptography | CSRC | Selected Algorithms [Электронный ресурс]. - URL: https://csrc.nist.gov/Projects/post-quantum-cryptography/selected-algorithms (дата обращения: 07.07.2025).

148. Li Y.X. On the equivalence of McEliece's and Niederreiter's public-key cryptosystems / Y.X. Li, R.H. Deng, X.M. Wang // IEEE Transactions on Information Theory. - 1994. - Vol. 40. - № 1. - P. 271-273.

149. Courtois N.T. How to Achieve a McEliece-Based Digital Signature Scheme / N.T. Courtois, M. Finiasz, N. Sendrier // Advances in Cryptology — ASIACRYPT 2001 / ed. C. Boyd. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - P. 157174.

150. Гоппа В.Д. Новый класс линейных корректирующих кодов / В.Д. Гоппа // Пробл. передачи информ. - 1970. - Т. 6. - № 3. - С. 24-30.

151. Гоппа В.Д. Рациональное представление кодов и ^^)-коды / В.Д. Гоппа // Пробл. передачи информ. - 1971. - Т. 7. - № 3. - С. 41-49.

152. Луадро П. Коды, полученные из двоичных кодов Гоппы / П. Луадро // Пробл. передачи информ. - 2001. - Т. 37. - № 2. - С. 8-17.

153. Рацеев С.М. Об алгоритмах декодирования кодов Гоппы / С.М. Рацеев // Челябинский Физико-Математический Журнал. - 2020. - Т. 5. - № 3. - С. 327-341.

154. Barg A. Complexity Issues in Coding Theory / A. Barg // Electron. Colloquium Comput. Complex. - 1997.

155. Berlekamp E. On the inherent intractability of certain coding problems (Corresp.) / E. Berlekamp, R. McEliece, H. van Tilborg // IEEE Transactions on Information Theory. - 1978. - Vol. 24. - № 3. - P. 384-386.

156. Zheng D. Code-based Ring Signature Scheme / D. Zheng, X. Li, K. Chen // Int. J. Netw. Secur. - 2007.

157. Aguilar Melchor C. A New Efficient Threshold Ring Signature Scheme Based on Coding Theory / C. Aguilar Melchor, P.-L. Cayrel, P. Gaborit // PostQuantum Cryptography / eds. J. Buchmann, J. Ding. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - P. 1-16.

158. Dallot L. Provably Secure Code-Based Threshold Ring Signatures / L. Dallot, D. Vergnaud // Cryptography and Coding / ed. M.G. Parker. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. - P. 222-235.

159. Ren F. An Efficient Code Based Digital Signature Algorithm / F. Ren, D. Zheng, W. Wang // Int. J. Netw. Secur. - 2017.

160. Peterson G.L. Myths about the mutual exclusion problem / G.L. Peterson // Information Processing Letters. - 1981. - Vol. 12. - № 3. - P. 115-116.

161. Canteaut A. Cryptanalysis of the Original McEliece Cryptosystem / A. Canteaut, N. Sendrier // Advances in Cryptology — ASIACRYPT'98 / eds. K. Ohta, D. Pei. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1998. - P. 187-199.

162. Bernstein D.J. Attacking and defending the McEliece cryptosystem / D.J. Bernstein, T. Lange, C. Peters Publication info: Published elsewhere. Unknown where it was published. - 2008.

163. Becker A. Decoding Random Binary Linear Codes in 2A(n/20}: How 1+1=0 Improves Information Set Decoding / A. Becker [et al.] Publication info: Published elsewhere. This is a full version of our same-named EUROCRYPT 2012 accepted paper. - 2012.

164. Hirose S. May-Ozerov Algorithm for Nearest-Neighbor Problem over F_q and Its Application to Information Set Decoding / S. Hirose // Innovative Security Solutions for Information Technology and Communications / eds. I. Bica, R. Reyhanitabar. - Cham: Springer International Publishing, 2016. - P. 115-126.

165. Biswas B. McEliece Cryptosystem Implementation: Theory and Practice / B. Biswas, N. Sendrier // Post-Quantum Cryptography / eds. J. Buchmann, J. Ding. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - McEliece Cryptosystem Implementation. -P. 47-62.

166. Lee Y. Modified pqsigRM: RM Code-Based Signature Scheme / Y. Lee [et al.] // IEEE Access. - 2020. - Vol. 8. - Modified pqsigRM. - P. 177506-177518.

167. No J.-S. Enhanced pqsigRM: Code-Based Digital Signature Scheme with Short Signature and Fast Verification for Post-Quantum Cryptography / J.-S. No [et al.] // IACR Cryptol. ePrint Arch. - 2022. - Enhanced pqsigRM.

168. Khurana R. ENR DigiSig: an efficient post-quantum digital signature scheme using polar codes / R. Khurana, E. Narwal, S. Ahlawat // Quantum Information Processing. - 2024. - Vol. 23. - ENR DigiSig. - P. 1-16.

169. Forghani P. PolarSig: An efficient digital signature based on polar codes / P. Forghani, M. Masoumeh Koochak, A. Mohammad // IET Communications. -Vol. 14. - PolarSig. - № 17. - P. 2889-2897.

170. Mohan A. A Review on the Concept of Polar Codes / A. Mohan, R.P. Sreedharan // 2018 International Conference on Wireless Communications, Signal Processing and Networking (WiSPNET) 2018 International Conference on Wireless Communications, Signal Processing and Networking (WiSPNET). - 2018. - P. 1-5.

171. Hooshmand R. Id-PC: An Identification Scheme based on Polar Codes / R. Hooshmand, A. Jafari, G. Karamali // Information Security Journal: A Global Perspective. - 2023. - Vol. 32. - Id-PC. - № 4. - P. 283-296.

172. Sahu R. A Code-Based Digital Signature Scheme Using Modified Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check Codes (QC-LDPC) / R. Sahu, B.P. Tripathi, Assistant Professor, in the Deptt. of Mathematics, Govt. N. PG. College of Science, Raipur, India. // International Journal of Engineering and Advanced Technology. - 2019. - P. 2759-2763.

173. Guimaraes A. Optimized implementation of QC-MDPC code-based cryptography / A. Guimaraes, D.F. Aranha, E. Borin // Concurrency and Computation: Practice and Experience. - 2019. - Vol. 31. - № 18. - P. e5089.

174. Khurana R. Padding Techniques for Identifying Decodable Syndrome in Post-Quantum Digital Signature Schemes / R. Khurana, E. Narwal, D. Deepika // Indian Journal Of Science And Technology. - 2023. - Vol. 16. - № 48. - P. 46384647.

175. Сидельников В.М. О системе шифрования, построенной на основе обобщенных кодов Рида-Соломона / В.М. Сидельников, С.О. Шестаков // Дискретная математика. - 1992. - Т. 4. - № 3. - С. 57-63.

176. Khurana R. Analysis of Code-based Digital Signature Schemes / R. Khurana, E. Narwal // International Journal of Electrical and Computer Engineering. - 2023. - Т. 13. - С. 5534-5541.

177. Liu X. A Secure and Efficient Code-Based Signature Scheme / X. Liu [et al.] // International Journal of Foundations of Computer Science. - 2019. -Vol. 30. - № 04. - P. 635-645.

178. Dallot L. Towards a Concrete Security Proof of Courtois, Finiasz and Sendrier Signature Scheme / L. Dallot // Research in Cryptology : Lecture Notes in Computer Science / eds. S. Lucks, A.-R. Sadeghi, C. Wolf. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - P. 65-77.

179. D'Alconzo G. Security issues of CFS-like digital signature algorithms / G. D'Alconzo, A. Meneghetti, P. Piasenti // Journal of Discrete Mathematical Sciences & Cryptography. - 2024. - Vol. 27. - № 1. - P. 175-187.

180. Stern J. A new identification scheme based on syndrome decoding / J. Stern // Advances in Cryptology — CRYPTO' 93 / ed. D.R. Stinson. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1994. - P. 13-21.

181. Alamélou Q. A code-based group signature scheme / Q. Alamélou [et al.] // Designs, Codes and Cryptography. - 2017. - Vol. 82. - № 1. - P. 469-493.

182. Roy P.S. Evaluation of Code-based Signature Schemes / P.S. Roy [et al.]. - 2019.

183. Fiat A. How To Prove Yourself: Practical Solutions to Identification and Signature Problems / A. Fiat, A. Shamir // Advances in Cryptology — CRYPTO' 86 : Lecture Notes in Computer Science / ed. A.M. Odlyzko. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1987. - How To Prove Yourself. - P. 186-194.

184. Baldi M. Zero Knowledge Protocols and Signatures from the Restricted Syndrome Decoding Problem / M. Baldi [et al.] Publication info: A minor revision of an IACR publication in PKC 2024. - 2023.

185. Chou T. On Linear Equivalence, Canonical Forms, and Digital Signatures / T. Chou, E. Persichetti, P. Santini Publication info: Published elsewhere. Designs, Codes and Cryptography. - 2023.

186. Feneuil T. Syndrome Decoding in the Head: Shorter Signatures from Zero-Knowledge Proofs / T. Feneuil, A. Joux, M. Rivain // Advances in Cryptology - CRYPTO 2022 / eds. Y. Dodis, T. Shrimpton. - Cham: Springer Nature Switzerland, 2022. - Syndrome Decoding in the Head. - P. 541-572.

187. Bidoux L. RYDE: a digital signature scheme based on rank syndrome decoding problem with MPC-in-the-Head paradigm / L. Bidoux [et al.] // Designs, Codes and Cryptography. - 2025. - RYDE.

188. Faugère J.-C. Algebraic Cryptanalysis of McEliece Variants with Compact Keys / J.-C. Faugère [et al.]. - 2010. - 279 p.

189. Sendrier N. Decoding One Out of Many / N. Sendrier // Post-Quantum Cryptography / ed. B.-Y. Yang. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 51-67.

190. Johansson T. On the complexity of some cryptographic problems based on the general decoding problem / T. Johansson, F. Jonsson // IEEE Transactions on Information Theory. - 2002. - Vol. 48. - № 10. - P. 2669-2678.

191. Canteaut A. A new algorithm for finding minimum-weight words in a linear code: application to McEliece's cryptosystem and to narrow-sense BCH codes of length 511 / A. Canteaut, F. Chabaud // IEEE Transactions on Information Theory. - 1998. - Vol. 44. - A new algorithm for finding minimum-weight words in a linear code. - № 1. - P. 367-378.

192. Finiasz M. Security Bounds for the Design of Code-Based Cryptosystems / M. Finiasz, N. Sendrier // Advances in Cryptology - ASIACRYPT 2009 / ed. M. Matsui. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. - P. 88-105.

193. Wagner D. A Generalized Birthday Problem / D. Wagner // Advances in Cryptology — CRYPTO 2002 / ed. M. Yung. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2002. - P. 288-304.

194. Minder L. The Extended k-tree Algorithm / L. Minder, A. Sinclair // Journal of Cryptology. - 2012. - Vol. 25. - № 2. - P. 349-382.

195. Bleichenbacher D. On the Generation of DSA One-Time Keys. / D. Bleichenbacher // Presentation at Cryptography Research, Inc. - San Francisco, 2007.

196. Sendrier N. Finding the permutation between equivalent linear codes: the support splitting algorithm / N. Sendrier // IEEE Trans. Inf. Theor. - 2006. -Vol. 46. - Finding the permutation between equivalent linear codes. - № 4. -P. 1193-1203.

197. Sendrier N. The Support Splitting Algorithm / N. Sendrier. - INRIA,

1999.

198. Dinh H. McEliece and Niederreiter Cryptosystems That Resist Quantum Fourier Sampling Attacks / H. Dinh, C. Moore, A. Russell // Advances in Cryptology

- CRYPTO 2011 / ed. P. Rogaway. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2011. - P. 761779.

199. Meziani M. A Multi-Signature Scheme based on Coding Theory / M. Meziani, P.-L. Cayrel // World Academy of Science, Engineering and Technology.

- 2010. - Vol. 63.

200. Макаров А. Схема пост-квантовой агрегированной подписи на основе теории алгебраического кодирования / А. Макаров // Вопросы кибербезопасности. - 2019. - № 2 (30). - С. 69-76.

201. Housley R. Cryptographic Message Syntax (CMS) / R. Housley. -Internet Engineering Task Force, 2009. - 56 p.

202. Landais G. CFS Software Implementation / G. Landais, N. Sendrier // Cryptology ePrint Archive. - 2012.

203. Marchiori D. Probabilistic root finding in code-based cryptography / D. Marchiori [et al.] // Journal of Cryptographic Engineering. - 2023. - Vol. 14. - P. 115.

204. textbrowser/spot-on [Электронный ресурс]. - URL: https://github.com/textbrowser/spot-on (дата обращения: 02.03.2025).

205. Implementation of signature schemes with additional properties - PierreLouis Cayrel [Электронный ресурс]. - URL: https://www.cayrel.net/7Implementation-of-signature (дата обращения: 02.03.2021).

206. Classic McEliece: Implementation [Электронный ресурс]. - URL: https://classic.mceliece.org/impl.html (дата обращения: 02.03.2025).

207. Blass E.-O. Secure Logging with Crash Tolerance / E.-O. Blass, G. Noubir // Cryptology ePrint Archive. - 2017.

208. Dörre F. Secure Logging in between Theory and Practice: Security Analysis of the Implementation of Forward Secure Log Sealing in Journald / F. Dörre, A. Ottenhues // Cryptology ePrint Archive. - 2023. - Secure Logging in between Theory and Practice.

209. Hartung G. Secure Audit Logs with Verifiable Excerpts / G. Härtung // Topics in Cryptology - CT-RSA 2016 / ed. K. Sako. - Cham: Springer International Publishing, 2016. - P. 183-199.

210. Ma D. A New Approach to Secure Logging / D. Ma, G. Tsudik // Data and Applications Security XXII / ed. V. Atluri. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.

- P. 48-63.

211. Dowling B. Secure Logging Schemes and Certificate Transparency / B. Dowling [et al.] // Computer Security - ESORICS 2016 / eds. I. Askoxylakis [et al.].

- Cham: Springer International Publishing, 2016. - P. 140-158.

212. Hartung G. Attacks on Secure Logging Schemes / G. Hartung // Financial Cryptography and Data Security / ed. A. Kiayias. - Cham: Springer International Publishing, 2017. - P. 268-284.

213. КриптоПро | КриптоПро DSS 2.0 [Электронный ресурс]. - URL: https://www.cryptopro.ru/products/dss (дата обращения: 28.06.2025).