Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Горшков, Алексей Вячеславович

• Горшков, Алексей Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горшков, Алексей Вячеславович

Введение

1 Слабая поточечная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1], с управлением на границе

1.1 Степенная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка.

1.2 Пример отсутствия экспоненциальной стабилизации уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка

2 Стабилизация линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами, заданного во внешности ограниченной области, с управлением на границе

2.1 Постановка задачи.

2.2 Доказательство теоремы о стабилизации параболического уравнения.

3 Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, с управлением на границе

3.1 Постановка задачи степенной стабилизации.

3.2 Линейная задача Коши. Спектр оператора С,

3.3 Существование и единственность решения нелинейной задачи Коши. Полугруппа ST.

3.4 Инвариантные многообразия.

3.5 Доказательство существования стабилизации решения полулинейного уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы»

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию задачи стабилизации параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, при помощи граничного управления. Пусть В С M.d- ограниченная одно-связная область с гладкой границей класса С°°. В области Q = M.d\B рассматривается параболическое уравнение, описывающее диффузию тепла в среде с нелинейным объемным стоком энергии: х) - Ay{t, х) - \у\ч-1у = 0, z е Q, t е R+. (1) Заданы начальное и граничное условия y\t=o = Уо{х), (2) y(t,x') = u(t,x')1 х' €дП, (3) где u(t, х'), является управлением.

Для заданного к > О требуется найти такое управление u(t, х'), чтобы решение y(t, х) полученной краевой задачи (1) - (3) удовлетворяло оценке llv(t.-)ll*<p (4) в некотором гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||.

Для систем с распределенными параметрами, т.е. описываемых уравнениями в частных производных, исследованию задачи стабилизации предшествовало изучение задачи о точной управляемости. Пусть y(t, •) -фазовая функция решения параболического уравнения второго порядка

P(dudx){y)(t,x) = f(t,x), t е R+, ж G П, заданного в области ft С Rd. Для широкого класса параболических уравнений в случае ограниченной области Ct возможно за счет граничного управления u(t, х') перевести начальное состояние у(О, •) = ?/о(') € фазовой функции y(t, •) в нулевое финальное у(Т, •) = 0 за конечное время Т > 0.

Такого рода задачи называются задачами о точной нулъ-управляемо-сти. Эти задачи являются частным случаем задачи о точной управляемости, заключающейся в поиске такого управляющего воздействия, которое переводит начальное состояние уо(-) фазовой функции y(t, •) в заданное финальное у(Т, •) = #(•) за конечное время Т.

Теория точной управляемости активно исследуется начиная с середины прошлого столетия вплоть до настоящего времени. Первые исследования задачи точной управляемости для линейных систем, заданных в ограниченных областях, начатые в 50-х годах прошлого столетия и ставшие базисными для этой теории, были сделаны А.Г. Бутковским ([5]-[7]), Ю.В. Егоровым ([14],[15]), Л.И. Гальчуком [13]. Метод моментов, примененный Н.Н. Красовским [17] при решении задачи оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, был обобщен для систем, описываемых уравнениями в частных производных (см. также работы М.Г. Крейна, А.А. Нудельма-на [18], [19], Н.И. Ахиезера [2]). Впоследствии этот метод стал одним из основных методов исследования задач точной управляемости, наряду с принципом двойственности, сводящим задачу управляемости к задаче наблюдаемости сопряженного уравнения.

Классы исследуемых уравнений постоянно расширялись, начиная от конкретных линейных параболических и гиперболических уравнений до абстрактных систем. Значительный прогресс здесь был достигнут благодаря работам Д. Рассела, Г. Фатторини ([38], [39], [53], [54]), JI. Лазиешки, Р. Триджиани ([49]-[51], [58]), Т. Сеидмана [56], В. Литтмана [52] и многих других. Обзор результатов по точной управляемости, полученных к 70-м годам, приведен в работе Д. Рассела [53].

В 90-е годы А.В. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым был предложен метод карлемановских оценок, позволивший исследовать задачу локальной управляемости для нелинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса ([26]-[29], [31]-[33], [41]-[43], [45]). В работе И. Лазиешки и Р. Триджиани [49] с помощью карлемановских оценок была доказана управляемость гиперболических систем.

Общим для всех вышеприведенных работ явился тот факт, что область определения рассматриваемых дифференциальных уравнений была ограниченной. Однако, уже в простейшем случае уравнения теплопроводности, заданного на полупространстве fi = R+ х Rd1, начальное состояние уо(-) ф 0 ни при каком управлении с границы перевести в нулевое финальное у(Т, •) = 0 невозможно ни за какое конечное время Т ни при каком управлении с границы u(t, х'). Этот факт следует из свойства обратной единственности решения уравнения теплопроводности на полупространстве, установленного в работе Г. Серегина, В. Сверака [57].

Отсутствие точной нуль-управляемости в неограниченных областях является одной из мотиваций к исследованию задачи стабилизации, но не главной. И в ограниченных областях задача стабилизации также представляет собой отдельный самостоятельный интерес.

Основная мотивация заключается в практической значимости задачи стабилизации, которая обусловлена возможностью численной реализации ее решения. В первую очередь это связано с использованием в этих задачах управления с обратной связью, делающего процесс стабилизации устойчивым по отношению к разного рода возмущениям системы. Основные подходы к решению задачи точной нуль-управляемости, упоминаемые выше, дают в качестве решения управление, которое воздействует на систему по заранее определенному закону и = u(t, Уо{'), Т). Такого рода управление называют еще программным управлением. Недостатком программного управления является его неустойчивость по отношению к возмущениям системы, и поэтому его весьма затруднительно реализовать на практике.

Исследованием задачи стабилизации решений уравнений в частных производных занимались многие математики. Здесь мы отметим работы И. Лазиешки, Р. Триджиани ([46] - [48], [59]) в которых для параболических и гиперболических систем в ограниченных областях было установлено существование управления с обратной связью, стабилизирующего решение к нулю с экспоненциальной скоростью вида

IIy(t, ОИя < Се~аг\\уо(-)\\н, а > 0, t eR+ (5) для малых по норме начальных условий уо(-).

В работах А.В. Фурсикова ([23], [24], [40]) исследовалась задача локальной стабилизации решений около стационарного состояния у(•) для квазилинейного параболического уравнения и системы Навье-Стокса, заданных в ограниченной области, с использованием управления с обратной связью. Она заключалась в поиске граничного управления такого, при котором решение y(t, •) стремилось к заданному стационарному состоянию у(-) с экспоненциальной скоростью:

•) - у(-)||я < Се-а\ а > 0, t е R+. (6)

Реализация обратной связи в управлении отчетливо видна в задаче стабилизации решений уравнения Навье-Стокса в ограниченных областях, рассмотренной в работах А.В. Фурсикова [24], [40]. Задача стабилизации сводилась к одной краевой задаче для системы Навье-Стокса в некоторой большей области. Для последней строилось устойчивое инвариантное многообразие М такое, что решение y(t, •) под действием фазового потока {S1}^о стремилось к стационарному решению $/(•) с экспоненциальной скоростью. Однако, при численной реализации задачи неизбежно возникающие флюктуации не позволяли решению y(t, •) оказаться в точности на многообразии М. При наложении ограничений малости возможных флюктуаций в работе была построена конструкция управления с обратной связью, обеспечивающего контроль за текущим состоянием y(t, •), лежащим в окрестности М.

Однако, как и в случае точной управляемости, неограниченная область привносит свои особенности в исследуемую задачу. В диссертации доказано, что в неограниченной области невозможна не только точная нуль-управляемость, но и экспоненциальная стабилизация вида (5), (6). Этот факт мотивирует исследование степенной стабилизации

4), когда рассматриваемая область становится неограниченной.

Изучение задачи стабилизации в диссертации основывается на исследованиях свойств решений полулинейного уравнения (1) в пространстве Rd. Здесь мы отметим работы В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.А. Самарского [9]-[12], К. Уэйна, Дж. Экмана, Т. Галлай ([37], [44], [60]), Дж. Бричмонта, А. Купанина [34].

В совместной работе В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.А. Самарского [9] были построены так называемые автомодельные решения для уравнения (1) и соответствующие множества притяжения, которые под действием фазового потока {5*}г>о сходились к этим автомодельным решениям в пространствах C{Rd) и L^R^) со степенной скоростью.

Основной трудностью, создаваемой неограниченной областью при исследовании стабилизации уравнений вида (1) является тот факт, что спектр оператора Лапласа Д является непрерывным, а не дискретным, в отличие от случая ограниченной области. В работах К. Уэйна, Дж. Экмана [37], [60] представлено специальное пространственно-временное преобразование, сводящее уравнение (1) к уравнению, которое обладает более удобной спектральной структурой в пространствах Соболева с весом. Посредством такого преобразования становилось возможным отделить дискретную часть спектра от непрерывной, и на основе полученного спектра построить инвариантные многообразия как линейной, так и нелинейной задач. Это позволило построить достаточно точные асимптотики для решений уравнения (1).

Цель работы

Целью диссертации является доказательство разрешимости задачи степенной стабилизации решений линейных и полулинейных параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, и нахождение возможных скоростей этой стабилизации в зависимости от выбранного управления.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой R, на одном примере начального условия уо(') с ограниченным носителем показана невозможность слабой поточечной экспоненциальной стабилизации вида на множестве х G Н С R\[—1,1] ненулевой меры. Этот результат доказывает актуальность задачи степенной стабилизации в неограниченных областях.

2. Получен результат о существовании слабой поточечной степенной стабилизации решений уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой R, вида при помощи управления с границы.

3. Получен результат о существовании равномерной степенной стабилизации (4) для многомерного линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами без младших членов, определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

4. Получен результат о локальном существовании равномерной степенной стабилизации (4) решений с малыми по норме начальными данными уо(-) для полулинейного параболического уравнения (1), определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

Методы исследования

В работе используются методы уравнений в частных производных, спектральной теории непрерывных полугрупп, инвариантных многообразий.

С использованием метода, разработанного и примененного А.В. Фур-сиковым при решении задачи стабилизации параболических уравнений и системы Навье-Стокса в ограниченных областях ([23], [24]), задача стабилизации во внешности ограниченной области сводится к решению задачи Коши со специальным начальным условием. При исследовании задачи Коши используется методика, применяемая в работах К. Уэйна, Дж. Эк-мана, Т.Галлай ([37], [44], [60]) при построении инвариантных многообразий для полулинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса в Rd.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и содержит 91 страницу, 4 рисунка и 66 наименований литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горшков, Алексей Вячеславович, 2003 год

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи Математических Наук. 1964. Т. 19(3). С. 43-161.

2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.:Физматгиз. 1961. 310 с.

3. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.:Наука. 1989. 293 с.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., С.М. Никольский. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука. 1975. 480 с.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1965. 474 с.

6. Бутковский А.Г. Финитное управление распределенными линейными системами // ДАН СССР. 1969. Т.188(3). С. 538-541.

7. Бутковский А.Г. Финитное управление и управляемость в распределенных системах // ДАН СССР. 1970. Т.191(6). С. 1247-1248.

8. Бутковский А.Г., Полтавский Л.Н. Финитное управление линейными системами с сосредоточенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1967. Т. 9. С. 44-58.

9. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об асимптотических "собственных функциях" задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Матем. сб. 1985. Т. 126(4). С. 435-472.

10. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об асимптотической устойчивости инвариантных решений нелинейных уравнений теплопроводности с источником // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20(4). С. 614-632.

11. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19(12). С. 2123-2140.

12. Галактионов В.А., Самарский А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности // Матем. сб. 1982. Т. 118(160). С. 291-322.

13. Гальчук Л.И. О некоторых задачах на оптимальное управление системами, описываемыми параболическими уравнениям // Вестник МГУ. Математика, Механика. 1965. Т. 1(3). С. 21-33.

14. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журнал Вычислительной Математики м математической физики. 1963. Т. 3(5). С. 887-904.

15. Егоров Ю.В. О некоторых задачах теории оптимального управления // ДАН СССР. 1962. Т. 145(2). С. 241-244.

16. Иосида. К. Функциональный анализ. М.:Мир. 1967. 624с.

17. Красовский Н.Н. Оптимальное управление в обыкновенных динамических системах. // Успехи Математических Наук. 1965. Т. 20(3). С. 153-174.

18. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны // ДАН СССР. 1952. Т. 82(5). С. 669-672.

19. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука. 1973. 551 с.

20. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир. 1971. 371 с.

21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука. 1983. 424 с.

22. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.:Наука. 1966. 623 с.

23. Фурсиков А.В. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью // Матем. сб. 2001. Т. 192(4). С. 593-639.

24. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск:Научная книга. 1999. 350 с.

25. Фурсиков А.В. Некоторые вопросы теории управления нелинейными системами с распределенными параметрами // Труды сем. им. Петровского. 1983. Т. 9. С. 167-189.

26. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1996. Т. 187(9). С. 102-138.

27. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Локальная точная управляемость уравнений Буссинеска // Вестн. РУДН, сер. Матем. 1996. Т. 3(1). С. 177-194.

28. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // Успехи мат. наук. 1999. Т.54, вып. 3(227). С. 93-146.

29. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.:Мир. 1965. 379 с.

30. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболическими уравнениями // Успехи Матем. Наук. 1993. Т. 48(3). С. 211-212.

31. Эмануилов О.Ю. Точная управляемость полулинейного параболического уравнения // Вестник Росс. Ун. Дружбы Нар., сер мат. 1994. Т. 1. С. 109-116.

32. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений // Матем. сб. 1995. Т. 186(6). С. 109-132.

33. Brichmont J., Kupiainen A. Stable поп gaussian diffusive profiles // Nonlinear Analysis. 1995. V. 26. P. 583-593.

34. Chae D., Imanuvilov O.Yu., Kim S.M. Exact controllability for semilinear parabolic equations with Neumann boundary conditions // J. of Dynamical and Control Syst. 1996. V. 2(4). P. 449-483.

35. Coron J.-M., Fursikov A.V. Global exact controllability of the 2-D Navier-Stokes equations on manifold without boundary // Russian Journal of Math. Physics. 1996. V. 4(3). P. 1-20.

36. Eckman J.-P., Wayne C.E. Non-linear Stability Analysis of Higher Order Dissipative Partial Differential Equations // Math. Phys. Electron. J., 4:Paper 3(electronic). 1998. 20pp.

37. Fattorini H.O. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon // SIAM J. Control Optim. 1975. V. 13. P. 1-13.

38. Fattoriny H.O., Russel D.L. Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension // Archive for rational mechanics and analysis. 1971. V. 43(3). P. 272-292.

39. Fursikov A.V. Real process corresponding to the 3D Navier-Stokes system, and its feedback stabilization from the boundary // Amer. Math. Soc. 2002. V. 206(2). P. 95-123.

40. Fursikov A.V. Exact boundary zero controllability of three-dimensional Navier-Stokes equations //J. Dynam. Control Systems. 1995. V. 1(3). P. 325-350.

41. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On controllability of certain systems * simulating a fluid flows. // Flow Control (Minneapolis, MN, 1992) IMA Volume Math. Appl., 68, Springer-Verlag, New-York. 1995. P. 149-184.

42. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1996. V. 323. P. 275-280.

43. Gallay Th., Wayne C.E. Invariant manifolds and the long-time asymptotics of the Navier-Stokes and vorticity equations on M2 // Arch. Rat. Mech. Anal. 2002. V. 163(3) P. 209-258.

44. Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability for the 2-D Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions //in Turbulence Modeling and Vortex Dynamics. Lecture Notes in Physics. 1997. V. 491. P. 148-168.

45. Lasiecka I. Stabilization of hyperbolic and parabolic systems with nonlinearly pertubed boundary conditions //J. Diff. Eq. 1988. V. 75(1). P. 53-87.

46. Lasiecka I., TYiggiani R. Uniform exponential energy decay in a bounded region with 1/2(0, oo; /^(Г)) feedback of finite range // J. Math. Anal. Appl. 1983. V 97. P. 112-130.

47. Lasiecka I., Triggiani R. Stabilization and structural assignment of Dirichlet boundary feedback parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 1983. V 21. P. 766-802.

48. Lasiecka I., Triggiani R. Controllability of semilinear abstract systems with application to waves and plates boundary control problems // Appl. Math. Optim. 1991. V. 23. P. 109-154.

49. Lasiecka I., Triggiani R. Optimal regularity, exact controllability and uniform stabilization of Schrodinger equations with Dirichlet control // Differential and Integral Equations. 1992. V.5(3). P. 521-535.

50. Littman W. Boundary control theory for hyperbolic and parabolic equations with constant coefficients // Annali Scuola Normale Superiore Pisa IV. 1978. P. 567-580.

51. Russel D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations. Recent progress and open questions // SIAM Review. 1978. V. 20 P. 639-739.

52. Russel D.L. A unified boundary controllability theory for hyperbolicand parabolic partial differential equations // Studies in Applied Math. 1973. V. 52(3). P. 189-211.

53. Russel D.L., Dolecki K. A general theory of observation and control // SIAM J. Control and Optimization. 1977. V. 15(2). P. 185-220.

54. Seidman T. Two results on exact boundary controllability of parabolic equations // Applied Math, and Optim. 1984. V. 11. P. 145-152.

55. Seregin G., Sver&k V. The Navier-Stokes equations and backward uniqueness // IMA preprint series 2001.

56. Triggiany R. Controllability and observability in banach space with bounded operators // SIAM J. Control. 1975. V. 13(2). P. 462-483.

57. Triggiany R. Boundary feedback stabilizability of parabolic equations // Appl. Math. Optim. 1980. V 6. P. 201-220.

58. Wayne C.E. Invariant manifolds for Parabolic Differential Equations on Unbounded Domains // Arch. Rat. Mech. Anal. 1997. V. 138. P. 279-306.

59. Xu-Yan Chen, Hale J., Bin Tan. Invariant foliations for С1 semigroups in banach spaces // J. Diff. eq. 1997. V. 139(2). P. 283-318.

60. Yung-Jen, Lin Guo, Littman W. Null boundary controllability for semilinear heat equations // Appl. Math. Optim. 1995. V. 32. P. 281-316.Работы автора по теме диссертации:

61. Горшков А.В. Стабилизация одномерного уравнения теплопроводности на полуограниченном стержне // Успехи Математических Наук. 2001. Т. 56(2). С. 213-214.

62. Gorshkov A.V. Stabilization of Parabolic Equations Defined in the Unbounded Domains // International conference "Navier-Stokes equations and related topics", abstracts. 2002. P. 31.

63. Горшков А.В. Граничное управление нелинейными параболическими уравнениями // Деп. в ВИНИТИ. 2003. ДО994-В2003. 16 стр.

64. Горшков А.В. Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы // Матем. сб. 2003. Т. 194(10). С. 49-78.