Структура и фазовые переходы в аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Чижиков, Вячеслав Анатольевич

• Чижиков, Вячеслав Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чижиков, Вячеслав Анатольевич

Введение.

Пгава1. Квазикристаллы и аппроксиманты.

1.1 Открытие квазикристаллов. Квазикристаллы и несоизмеримые кристаллические фазы.

1.2 Проективный метод. Последовательность Фибоначчи.

1.3 Мозаики Пенроуза.

1.4 Атомная структура квазикристаллов. Аппроксиманты.

Гиава2. Пространственные группы симметрии и атомная структура кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов.

2.1 Введение: атомная структура аппроксимантов.

2.2 Кристаллы Фибоначчи.

2.3 Точечные группы кристаллов Фибоначчи.

2.4 Пространственные группы симметрии кристаллов Фибоначчи.

2.5 Примеры кристаллов Фибоначчи.

2.6 Обсуждение результатов.

ПгаваЗ. Фазовые переходы без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах. 49 3.1 Введение.

3.2 Феноменология фазовых переходов.

3.3 Соответствие переходов в икосаэдрической и кубической фазах.

3.4 Примеры: переходы в аппроксиманте 0/1.

Ггава4. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых переходов в аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов.

4.1 Введение: переходы, нарушающие симметрию между четной и нечетной подрешетками.

4.1. А Феноменология.

4.1.В Приближение Горского—Брэгга—Вильямса (ГБВ).

4.2 Модификация ГБВ.

4.3 Вычисление температуры перехода.

4.4 Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура и фазовые переходы в аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов»

Физика квазикристаллов - молодая и быстро развивающаяся область знания. Специфика квазикристаллов - их необычная симметрия, и поэтому основные экспериментальные и теоретические исследования в этой области направлены на поиск ответов на вопросы о том, каким образом природе удается создавать столь удивительные типы веществ, и как странная симметрия влияет на их физические свойства. В частности, к таким свойствам относятся фазовые переходы, одним из важнейших следствий которых является изменение группы симметрии. Еще одним объектом для исследований стали кристаллы с большими элементарными ячейками, часто наблюдающиеся в квазикристаллических системах. Эти вещества, называемые кристаллическими аппрок-симантами, имеют близкие с квазикристаллами структуры и физические свойства. Большое количество экспериментальных данных о фазовых переходах в квазикристаллах и аппроксимантах вызывает интерес к их теоретическому описанию.

Основной цепью представленной работы является теоретическое исследование фазовых переходов в кристаллических аппроксимантах ико-саэдрических квазикристаллов в рамках термодинамической и статистической теорий.

Степень достоверности результатов работы достаточно высока; это подтверждается тем, что они получены на основе широко применяемых теоретических методов, а именно: проективного метода, используемого для описания структур квазикристаллов и их аппроксимантов, а также термодинамической и статистической теорий упорядочения. Полученные данные согласуются с ранее известными результатами.

Научная новизна работы состоит в том, что: проведена классификация кубических аппроксимантов (кристаллов Фибоначчи) по группам симметрии, некоторым стуктурным особенностям и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам; проведено феноменологическое исследование фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксиман-тах, и установлена их связь с фазовыми переходами в икосаэдрических квазикристаллах; показано, что в любой структуре с додекаэдрическим локальным упорядочением (ДЛУ) атомов можно выделить две подрешетки таким образом, чтобы узлы каждой из них были окружены узлами другой; исследован возможный фазовый переход упорядочения в ромбоэдрическом А1Рс1, связанный с заполнением атомами разных элементов двух эквивалентных подрешеток его структуры с ДЛУ атомов.

Практическая ценность работы заключается в том, что получил свое развитие метод додекаэдрического проецирования удобный для описания веществ с часто наблюдаемым в природе додекаэдрическим локальным упорядочением атомов; предложена модификация микроскопической теории упорядочения Горского—Брэгга—Вильямса (ГБВ), учитывающая неэквивалентные позиции атомов, которые всегда присутствуют в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах; в рамках модифицированной теории ГБВ получен ряд интересных результатов, качественно описывающих протекание фазовых переходов упорядочения в квазикристаллах и их аппроксимантах.

Автор выносит на защиту: результаты классификации кубических аппроксимантов по группам пространственной симметрии, структурным особенностям и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам; результаты феноменологического исследования фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах и их связи с переходами в квазикристаллах; результаты поиска возможных супер структур в кубическом ап-проксиманте со структурой В20; модификация микроскопической теории упорядочения Горского— Брэгга—Вильямса для фазовых переходов в квазикристаллах и аппроксимантах; результаты численного моделирования и качественного анализа возможного фазового перехода упорядочения в ромбоэдрическом А1Рс1.

Работа разделена на главы и параграфы. В главе 1 настоящей диссертации представлен обзор основных понятий, терминов и методов физики квазикристаллов.

В главе 2 для описания структур икосаэдрических квазикристаллов и их кристаллических аппроксимантов введен метод додекаэдри-ческого проецирования, в котором орты шестимерной гиперкубической решетки проецируются на оси симметрии третьего порядка икосаэдра в физическом пространстве. Такой способ проецирования соответствует часто наблюдаемому в квазикристаллах и аппроксиман-тах додекаэдрическому локальному упорядочению атомов, при котором ближайшие соседи каждого атома расположены в вершинах додекаэдра с центром в этом атоме. При помощи данного метода проведена классификация структур кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов (кристаллов Фибоначчи). Результаты по группам симметрии сравниваются с данными Ниизеки [53], полученными ранее методом икосаэдрического проецирования.

В главе 3 проведено феноменологическое исследование возможных фазовых переходов в кристаллах Фибоначчи, происходящих без изменения числа атомов в элементарной ячейке. Установлено соответствие этих фазовых переходов переходам, происходящим в икосаэдрических квазикристаллах. Проведено подробное исследование фазовых переходов замещения в кристаллах типа ГеЯь

В главе 4 вводится модификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Вильямса, которая учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда присутствующие в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах. Данный метод был применен для описания фазового перехода упорядочения в кристалле А1Рс1. Анализ полученных данных позволил сделать несколько общих выводов о протекании фазовых переходов упорядочения в квазикристаллах и аппро-ксимантах.

В заключительной части резюмируются основные итоги диссертации. По результатам диссертации был сделан доклад на Международной конференции Арепос11с'97 (Франция), опубликовано четыре статьи [89, 90, 91, 92].

Гйава 1. Квазикристаллы и аппроксиманты.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Чижиков, Вячеслав Анатольевич

Основные результаты и выводы.

1. Проведена классификация кубических аппроксимантов (кристаллов Фибоначчи) по группам симметрии, некоторым особенностям структуры и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам с использованием метода додекаэдрического проецирования. Результаты по группам симметрии сравнены с данными, полученными ранее другими методами. В частности, исправлена ошибка по группе симметрии 12 1З. Впервые в рамках проективного метода учтены часто наблюдаемые в квазикристаллических системах кристаллы со структурой типа С8С1.

2. Проведено теоретико-групповое исследование фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксиман-тах, и установлена их связь с фазовыми переходами в квазикристаллах. Эта связь определяется соответствием между неприводимыми представлениями Г3, Г'3, Г4 и Г5 группы У и неприводимыми представлениями А, Е и Р группы Т, которое можно выразить следующим образом:

Г37 Г'3 Б; Г4 А + Б; Г5-Е + Р.

3. Показано, что фазовый переход I рода, проходящий в кубическом аппроксиманте по трехмерному представлению Р точечной группы Т и соответствующий фазовому переходу II рода, проходящему в квазикристалле по одному из трехмерных представлений Г3 и Г3 точечной группы У, является слабым переходом I рода.

4. Рассмотрены фазовые переходы упорядочения без изменения чиела атомов в элементарной ячейке в аппроксиманте со структурой В20 (кристаллы типа Бе81), часто наблюдаемом в квазикристаллических системах. Найдены возможные сверхструктуры.

5. Показано, что любую структуру с додекаэдрическим локальным упорядочением атомов можно разбить на две подрешетки, атомы каждой из которых окружены атомами другой. Эти подрешетки могут быть кристаллографически эквивалентными, что имеет место в примитивном икосаэдрическом квазикристалле и его аппроксимантах с группами симметрии РаЗ, /тЗ, /23, РпЗ и 12\3.

6. Для структур с двумя эквивалентными подрешетками рассмотрен фазовый переход II рода, связанный со сверхструктурным упорядочением на подрешетках атомов двух разных элементов. С этой целью была предложена модификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Вильямса, которая учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда присутствующие в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах.

7. Модифицированный метод Еорского - Брэгга - Вильямса применен для описания фазового перехода упорядочения в кристалле А1Рс1. Обнаружено, что следствием учета неэквивалентных позиций атомов является понижение температуры перехода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Е.Дмитриенко за постановку задач и помощь в поисках наиболее эффективных путей их решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чижиков, Вячеслав Анатольевич, 2000 год

1. Shechtman В., Blech 1., Gratias В., Cahn J.W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.1951-1953.

2. Ланцау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. Часть 1. М.: Наука, 1976, 584 с.

3. Henley C.L. Quasicrystal order, its origins and its consequences a survey of current models. Comments Cond. Mat. Phys., 1987, v.13, 1Ю.2, p.59-117.

4. Janot C. Quasicrystals: a primer. Oxford Science Publication, 1992, 150 p.

5. Lectures on quasicrystals. ed. by Hippert F., Gratias D. France: Les editions de physique, 1994, 565 p.

6. Levine В., Steinhardt P.J. Quasicrystals: a new class of ordered structures. Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.2477-2480.

7. Janssen T. Crystallography of quasicrystals. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.261-271.

8. Лифшиц E.M. К теории фазовых переходов второго рода. -ЖЭТФ, 1941, т.11, с.255-268.

9. Toledano J.-С., Toledano P. The Landau Theory of Phase Transition. World Scientific Publishing, 1987. - перевод: Толедано Ж.-К., To-ледано П. Теория Ландау фазовых переходов. - М.: Мир, 1994, 461с.

10. Wang N., Chen Н., Кио К.Н. Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1987, v.59, p.1010-1013.

11. Bendersky L. Quasicrystal with one-dimensional translational symmetry and a tenfold rotational axis. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.1461-1463.

12. Fung KG., Yang C.Y., Zhou Y.Q., Zhao J.G., Zhan W.S., Shen B.G. Icosahedrally related decagonal quasicrystal in rapidly cooled Al-14-at%-Fe alloy. Phys. Rev. Lett., 1986, v.56, p.2060-2063.

13. Ishimasa Т., Nissen H.-U., Fukano Y. New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.511 513.

14. Калугин П.А., Китаев А.Ю., Левитов JI.С. А10;8бМпод4 — шестимерный кристалл. Письма в ЖЭТФ, 1985, т.41, с.119-121.

15. Elser V. Comment on "Quasicrystals: a new class of ordered structures." Phys. Rev. Lett., 1985, v.54, p.1730.

16. Dune au M., Katz A. Quasiperiodic patterns. Phys. Rev. Lett., 1985, v.54, p.2688 2691.

17. Bale P. Icosahedral crystals: where are the atoms? Phys. Rev. Lett., 1986, v.56, p.861-864.

18. Bak P. Icosahedral crystals from cuts in six-dimensional space. Scr. Metall, 1986, v.20, p.1199-1204.

19. Wolff P.M. de The pseudo-symmetry of modulated crystal structures. Acta Cryst. A, 1974, v.30, p.777-785.

20. Wolff P.M. de Symmetry operations for displacively modulated structures. Acta Cryst. A, 1977, v.33, p.493-497.

21. Janner A., Janssen T. Symmetry of periodically distorted crystals. -Phys. Rev. B, 1977, v.15, p.643-658.

22. Janner A., Janssen T. Superspace groups. Physica A, 1979, v.99, p.47-76.

23. Janner AJanssen T. Symmetry of incommensurate crystal phases.I. Commensurate basic structures. Acta Cryst. A, 1980, v.36, p.399-408.

24. Janner A., Janssen T. Symmetry of incommensurate crystal phases.I. Incommensurate basic structures. Acta Cryst. A, 1980, v.36, p.408-415.

25. Wolff P.M. de, Janssen Т., Janner A. The space groups for in-comennsurate crystal structures with a one-dimensional modulation.- Acta Cryst. A, 1981, v.37, p.625-636.

26. Levine D., Steinhardt P.J. Quasicrystals I. Definition of structure. -Phys. Rev. В., 1986, v.34, p.596-616.

27. Bruijn N.G. de Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. A, 1981, v.43, p.39.

28. Kramer P. Non-periodic central space filling with icosahedral symmetry using copies of seven elementary cells. Acta Cryst. A, 1982, v.38, p.257-264.

29. Kramer P., Neri R. On periodic and non-periodic space filling of Em obtained as projection. Acta Cryst. A, 1984, v.40, p.580-587.

30. Katz A., Duneau M. Quasiperiodic pattern and icosahedral symmetry.- J. Physique, 1986, v.47, p.181-196.

31. Penrose R. Pentaplexity: a class of nonperiodic tilings of the plane. -Math. Intelligencer, 1979, v.2. p.32-37.

32. Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers. NY: W.H. Freeman and Company, 1989. перевод: Гарднер M. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.: Мир, 1993, 416 с.

33. Mackay A.L. Crystallography and the Penrose pattern. Physica A, 1982, v.114,^p.609-613.

34. Маккей А.Л. De nive quinquangula — о пятиугольных снежинках. Кристаллография, 1981, т.26, с.910-919.

35. Mosseri R., Sadoc J.F. in Structure of noncrystalline materials 1982.1.ndon: Taylor and Francis, 1983.

36. Cornier-Quiquandon M., Quivy A., Lefebvre S., Elkaim E., Heger G., Katz A., Gratias D. Neutron-diffraction study of icosahedral Al-Cu-Fe quasicrystals. Phys. Rev. В., 1991, v.44, p.2071-2084.

37. Cockayne E., Phillips R., Кап X.B., Moss S.C., Robertson J.L., Ishi-masa Т., Mori M. Use of periodic approximants in the structure refinement of icosahedral AlCuFe. J. Non-Cryst. Solids, 1993, v.153-154, p.140-144.

38. Katz A., Gratias D. A geometrical approach to chemical ordering of icosahedral structures. J. Non-Cryst. Solids, 1993, v.153-154, p.187-195.

39. Cockayne E. Nonconnected atomic surfaces for quasicrystalline spere packings. Phys. Rev. B, 1994, v.49, p.5896-5910.

40. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B. Atomic model for the growth of icosahedral quasicrystals. Письма в ЖЭТФ, 1995, т.61, с.316-320.

41. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B. Oscillating interatomic potentials and growth of icosahedral quasicrystals. Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, p.1538-1541.

42. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B., Kleman M. Friedel oscillations and atomic growth of quasicrystals. Proceedings of Aperiodic'97 - World Scientific Publishing, Singapore, 1998, p.493-497.

43. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B., Kleman M. Monte Carlo simulations of icosahedral quasicrystal growth and melting. Physical Review B, 1999, v.59, p.286-293.

44. Budai J.D., Tischler J.Z., Habenschuss A., Ice G.E., Elser V. X-ray diffraction study of phason strain field in oriented icosahedral Al-Mn.

45. Phys. Rev. Lett., 1987, v.58, p.2304-2307.

46. Chen H.S., Kortan A.B., Parsey J.M. Growth-induced phason strains in icosahedral quasicrystals of Al-Li-Cu. Phys. Rev. B., 1988, v.38, p.1654-1658.

47. Mackay A.L. The symmetry of icosahedral tilings. Scr. Metall., 1986, v.20, p.1205-1210.

48. Kuriyama M., Long G.G. Single crystal structure of rapidly cooled alloys with icosahedral symmetry. I. Experimental analysis. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.156-164.

49. Kuriyama M., Long G.G. Single crystal structure of rapidly cooled alloys with icosahedral symmetry. I. Theoretical analysis — internal modulations. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.164-172.

50. Gratias D., Cahn J.W. Periodic and quasiperiodic crystals. Scr. Metall., 1986, v.20, p.1193-1197.

51. Дмитриенко B.E. Al86Mni4 — квазикристалл или кубический кристалл? Письма в ЖЭТФ, 1987, т.45, с.31-34.

52. Abe Е., Tsai А.P. Quasicrystal-crystal transformation in Zn-Mg-rare-earth alloys. Phys. Rev. Lett., 1999, v.83, p.753-756.

53. Dmitrienko V.E. Cubic approximants in quasicrystal structures. J. Phys. France, 1990, v.51, p.2717-2732.

54. Niizelci K. The space groups of orthorhombic approximants to the icosahedral quasicrystal. J. Phys. A: Math.Gen., 1992, v.25, p.1843-1854.

55. Drager J., Lifshitz R., Mermin N.D. Tetrahedral quasicrystals. Proc. of the 5th International Conference on Quasicrystals - World Scientific Publishing, 1995, p.72-75.

56. Rokhsar D.S., Mermin N.D., Wright D.C. Rudimentary quasicrystal-lography: the icosahedral and decagonal reciprocal lattices. Phys. Rev. B, 1987, v.35, p.5487-5495.

57. Levitov L.S., Rhyner J. Crystallography of quasycrystals; application to icosahedral symmetry. J, Phys. France, 1988, v.49, p.1835-1849.

58. Devaud-Rzepski J., Quivy A., Calvayrac Y., Cornier-Quiquandon M., Gratias D. Antiphase domains in icosahedral Al-Cu-Fe alloy Phil. Mag. B, 1989, v.60, p.855-869.

59. Ebalard S., Spaepen F. The body-centered-cubic-type icosahedral reciprocal lattice of the Al-Cu-Fe quasi-periodic: crystal. J. Mater. Res., 1989, v.4, p.39-43.

60. Tsai A.P., Inoue A., Masumoto T. Chemical order in an Al-Pd-Mn icosahedral quasycrystals. Phil. Mag. Lett., 1990, v.62, p.95-102.

61. Hiraga K., Hirabayashi M., Tsai A.P. et a 1. Mater. Trans. Japan Inst. Metals, 1991, v.32, p.308.

62. Waseda A., Kimura K., Ino H. Mater. Trans. Japan Inst. Metals, 1993, v.34, p.169.

63. Dmitrienko V.E. Quasicrystals and their approximants: dodecahedral local ordering versus canonical-cell description. Acta. Cryst. A, 1994, v.50, p.515-526.

64. Dmitrienko V.E. Dodecahedral local ordering in quasicrystals and in approximants. Mater. Sei. Forum, 1994, v.150-151, p.199 210.

65. Koptsik V.A. Generalized symmetry in crystal physics. Comput. Math. Appl., 1988, v.16, p.407-424.

66. Koptsik V.A. Crystallography of quasicrystals: the problem of restoration of broken symmetry. Lecture notes in Physics - Berlin, 1991, v.382. p.588-600.

67. Беляев О.А., Копцик В.А. Теория нелинейных акустических эффектов в слоистых квазикристаллах. Кристаллография, 1997, т.42, в.2, с.225-232.

68. Беляев О.А. К теории несоразмерно модулированных квазикристаллов: модель типа Френкеля—Конторовой для квазирешетки Фибоначчи. Кристаллография, 1998, т.43, в.4, с.398.

69. Галиулин Р.В. Идеальные кристаллы в пространствах постоянной кривизны. Кристаллография, 1994, т.39, в.4, с.581-585.

70. Воробьев ЯЛ. Числа Фибоначчи. М: Наука, 1969, 112с.

71. Elser V., Henley C.L. Crystal and quasicrystal structures in Al-Mn-Si alloys. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.2883-2886.

72. Dmitriev V.P., Rochal S.B., Lorman V.L., Toledano P. Density-wave theory of the crystal-to-quasicrystal phase transition in FeTi2 alloys. Phys. Rev. B, 1994, v.49, p.838-843.

73. Rochal S.B., Dmitriev V.P., Lorman V.L., Toledano P. Local mechanism for crystal-quasicrystal transformation. Physics Lett. A, 1996, v.220, p.111-115.

74. Рошаль С.Б. Теория фазового перехода кристалл—квазикристапл и ее приложения к конкретным структурам. Кристаллография, 1997, т.42, н.5, е.780-790.

75. Рошаль С.Б., Дмитриев В.П., Лорман B.JI., Толедано П. Механизм фазового перехода кристалл—квазикристалл и особенности окта-гонального квазикристаллического порядка в сплавах Mni2Si2- -ФТТ, 1995, т.37, н.1, с.237-248.

76. Ishii Y. Mode loking in quasicrystals. Plays. Rev. В., 1989, v.39, p.11862-11871.

77. Фрадкин M.A. Фазовая диаграмма упругой нестабильности ико-саэдрических квазикристаллов. Письма в ЖЭТФ, 1990, т.51, с.28-31.

78. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989, 752 с.

79. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла. Кристаллография, 1960, т.5, с.115-125.

80. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. ЖЭТФ, 1937, т.7, с.19-32.

81. Gorsky W. Rontgenographische Untersuchung von Umwandlungen in der legierung CuAu Z. Phys., 1928, v.50, p.64.

82. Bragg W.L., Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-I. Proc. Roy. Soc. A, 1934, v.145, p.699.

83. Bragg W.L., Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-II. Proc. Roy. Soc. A, 1935, v.151, p.540.

84. Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-Ill. Proc. Roy. Soc. A, 1935, v.152, p.231.

85. Кривоглаз M.A., Смирнов А.А. Теория упорядочивающихся сплавов. M: Гос. иод. физ.-мат. лит., 1958, 388с.

86. Смирнов А.А. Теория сплавов внедрения. М: Наука, 1979, 368с.

87. Heychenko V.V., Smirnov А.А. The theory of order—disorder transformations in alloys with several phase-transition points. Proc. Inter. Symp. Order-Disorder Transform, in Alloys NY: Springer, 1974, p.80-85.

88. Канюка А.К., Смирнов А.А. Теория влияния давления на упорядочение сплавов, учитывающая зависимость объема от степени дальнего порядка. ФММ, 1967, т.24, с.989-999.

89. Dotera Т., Steinhardt P.J. Ising-like transition and phason unlocking in icosahedrak quasicrystal. Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, p.1670-1673.

90. Chizhikov V.A., Dmitrienko V.E. Superstructural ordering and defects in the approximants of quasicrystals. Proceedings of Aperiodic'97 -World Scientific Publishing, 1998, p.581-585.

91. Чижиков В.А. Пространственные группы симметрии и атомная структура кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов. Кристаллография, 1999, т.44, с.814-822.

92. Чижиков В.А. Фазовые переходы без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. Кристаллография, 1999, т.44, н.6, с.1094-1099.

93. Чижиков В.А. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых переходовв аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. -Кристаллография, 2000, т.45, н.1, c.1ZS~ /33.