Свойства отношения сопряжения в алгебрах инцидентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Маренич, Валентина Евгеньевна

• Маренич, Валентина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маренич, Валентина Евгеньевна

Введение.

§1 Частично упорядоченные множества. п.1. Предварительные сведения о частично упорядоченных множествах. п.2. Классические частично упорядоченные множества. п.З. Выпуклая вложимость частично упорядоченных множеств. п.4. Частично упорядоченные множества, интервалы которых согласованы с ранговой функцией. п.5. Частично упорядоченные множества частичных порядков длины <1.

§2 Дизъюнктные суммы функций инцидентности. п.1. Предварительные сведения об алгебрах инцидентности. п.2. Дизъюнктные суммы. п.З. Сопряжённость дизъюнктных сумм. п.4. Функции инцидентности, значения которых согласованы с ранговой функцией.

§3 Основные свойства сопряжения в алгебрах инцидентности. п.1. Сопряжённость функций инцидентности дизъюнктной сумме. п.2. Невозможность сведения функций инцидентности подобием к функциям, у которых вне главной диагонали расположены 0 и 1. п.З. Функция Се + йкак аналог жордановой клетки.

§4 Функции инцидентности, сопряжённые с диагональными. п.1. Диагонализируемые функции инцидентности. п.2. Условие коммутируемости диагонализируемых функций инцидентности. п.З. Одновременно диагонализируемое семейство функций.

§5 Функции инцидентности, сопряжённые с Се + п.1. Основная теорема. п.2. Отношение сопряжения в алгебре IncF(P, <), где (Р, <) - локально конечное частично упорядоченное множество, все интервалы которого - цепи I. п.З Отношение сопряжения в алгебре IncF{P,<), где (Р,<) - локально конечное ЧУМ, все интервалы которого - цепи, II. п.4. Отношение сопряжения в алгебре IncF(P,<), где (Р,<) - линейно упорядоченное множество. п.5. Произведение частично упорядоченного множества длины 1 на частично упорядоченное множество, все интервалы которого согласованы с ранговой функцией.

§6 Частично упорядоченные множества (Р,<),для которых £ ~ С, в алгебре 1пср{Р,<). п.1. Дзета — свойство частично упорядоченного множества. п.2. Построение частично упорядоченных множеств, обладающих дзета - свойством. п.З. Ранги комбинаторных матриц. п.4. Частично упорядоченное множество подмножеств, мощности которых кратны числу т.

§7 Матричная интерпретация.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства отношения сопряжения в алгебрах инцидентности»

Пусть (Р,<) - локально конечное частично упорядоченное множество (ЧУМ). Алгебра инцидентности локально конечного частично упорядоченного множества (Р, <) над полем F, обозначается Incр (Р, <), была введена в рассмотрение в середине 60-х годов прошлого века как естественный инструмент комбинаторного анализа. Это направление исследований было начато циклом работ Дж.-К. Рота и его школы под общим названием «Основы комбинаторной теории»: Рота [1964]; Рота, Муллин [1970]; Голдман, Рота [1970]; Дубиле, Рота, Стенли [1972]; Дубиле [1972]; Рота, Каханер и Одлизко [1975]. На русском языке была также опубликована работа Барнабеи М., Брини А., Рота Дж.-К. [1986], примыкающая к этой серии.

Позднее было замечено, что алгебра инцидентности сама является интересным объектом для изучения. Начало исследований алгебраических свойств алгебр инцидентности было положено работами Дубиле, Рота и Стенли [1972]; Баклавского [1972]; Фаркаса [1974]; Лерукса и Сараилле [1981]. Эти работы вызвали большой интерес и повлекли за собой многочисленные исследования в этой области. Алгебры инцидентности изучались Начевым [1972], [1981,1], [1981,11] и Шматковым [1991], [1994, I], [1994, И]. В работах Начева проводились исследования полиномиальных тождеств, глобальной размерности и других вопросов, которые были продолжены многими авторами, например, Шпигелем [2001]. В работах Шматко-ва изучались изоморфизмы алгебр инцидентности, свойства алгебр бинарных функций и изоморфизмы алгебр бинарных функций.

В последнее время появилось много работ, посвящённых изучению алгебраических свойств алгебр инцидентности IncF(P,<) локально конечного частично упорядоченного множества (Р,<). Например в книге Шпигеля и О'Доннела [1997] подробно рассмотрены функции Мёбиуса, редуцированные алгебры, радикалы, максимальные идеалы, минимальные простые идеалы, дифференцирования и изоморфизмы, а также кольцевые свойства алгебр инцидентности.

На алгебры инцидентности можно смотреть как на обобщение полных матричных алгебр и, поэтому, естественно переносить свойства матриц на функции инцидентности. Например, в книге Р. Стенли [1986, рус. перевод, с.235] поставлен вопрос: «Есть ли разумный критерий для определения того, когда два элемента алгебры инцидентности сопряжены, (по аналогии с теорией канонической формы Жордана)?».

Ответ на вопрос Стенли в настоящее время не известен и, по-видимому, для каждого частичного порядка может быть свой ответ. Например, алгебра верхних треугольных матриц над полем может рассматриваться как простейшая алгебра инцидентности конечного линейно упорядоченного множества. Уже для этой алгебры, критерии сопряжённости (аналогичные теории жордановой формы), повидимому, не известны. В представленной работе получен ряд результатов, отвечающих на вопрос Стенли, для произвольных алгебр инцидентности. Основные результаты диссертации:

• Доказано, что любая функция инцидентности сопряжена с дизъюнктной суммой функций, постоянных на диагонали и принадлежащих «меньшим» алгебрам инцидентности (пункт 3.1, теоремы 1,2). Таким образом, вопрос о сопряжении функций в алгебре Incp (Р, <) иногда можно свести к вопросу о сопряжении дизъюнктных слагаемых, постоянных на диагонали, в «меньших» алгебрах инцидентности (пункт 3.1, замечание 1).

• Установлен критерий диагонализируемости для функций, являющихся диагонально <-выпуклыми (пункт 4.1, теорема 1). В частности, если значения функции на главной диагонали попарно различны, то функция сопряжена с диагональю, что является аналогом известной матричной теоремы (пункт 4.1, теорема 2).

• Для диагонализируемых функций, найдены условия коммутируемости и одновременной диагонализируемости, обобщающие известные матричные теоремы (пункт 4.2). Доказано, что для диагонально <-выпуклых функций, условия коммутируемости и одновременной диагонализируемости эквивалентны (пункт 4.2, теорема 1). Доказано, что семейство диагонализируемых и коммутирующих функций (состоящее из диагонально < -выпуклых функций) является одновременно диагонализируемым семейством (пункт 4.3, теорема 1).

• Для различных видов частично упорядоченных множеств найдены условия, при выполнении которых функция / сопряжена с аналогом жордановой клетки Се + для некоторых классов функций эти условия дают критерии сопряжённости (пункты 5.1-5.4). Доказано, что функции С)< и сопряжены для классических частично упорядоченных множеств (пункт 6.1). Исследованы ЧУМ, для которых функции С3< и С,<4 сопряжены. Найдены контр-примеры, показывающие, что функции С3< и сопряжены не для всех ЧУМ (пункт

6.1).

• Даны применения полученных выше результатов к вычислению рангов некоторых комбинаторных матриц и к установлению новых свойств верхних треугольных матриц (§7).

В диссертации применяются как известные алгебраические и комбинаторные методы, так и развитые автором методы работы в алгебрах инцидентности, например, метод дизъюнктных сумм, с использованием которого получены многие результаты работы.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут найти применения в алгебрах инцидентности и различных разделах комбинаторного анализа.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка литературы. Полный объём диссертации - 102 страницы. Библиография включает 50 наименований.