Свойства решений краевых задач для обобщенного уравнения Кавахары тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Опритова Мария Александровна

• Опритова Мария Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Опритова Мария Александровна

2.2 Задача Коши

3 Задача Коши для обобщенного уравнения Кавахары

3.1 Единственность и непрерывная зависимость слабых решений

3.2 Существование слабых решений

4 Обобщенные производные

4.1 Задача Коши

4.2 Начально-краевая задача

5 Непрерывные производные

5.1 Задача Коши

5.2 Начально-краевая задача

6 Убывание решений при больших временах

6.1 Задача Коши

6.2 Начально-краевая задача

7 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства решений краевых задач для обобщенного уравнения Кавахары»

1 Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задача Коши и начально-краевая задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары. Уравнение Кавахары является одним из вариантов обобщения уравнения Кортевега-де Фриза, описывающего распространение одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией. При необходимости рассмотрения среды с законом дисперсии более высокого порядка, чем для уравнения Кортевега-де Фриза, используется уравнение Кавахары, которое иногда называют уравнением Кортевега-де Фриза 5-го порядка.

Интенсивное изучение краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза началось с 60-х годов XX века. За прошедшее время в трудах таких математиков, как R. Temam, J.-C. Saut, T. Kato, J. Bona, С.Н. Кружков, A.B. Фаминский, J. Ginibre, Y. Tsutsumi, C. Kenig, G. Ponce, L. Vega, J. Bourgain, T. Tao, J. Colliander и других была развита теория разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для этого уравнения в различных функциональных пространствах.

Теория краевых задач для уравнения Кавахары разработана значительно меньше. Основные результаты были получены начиная с 90-х годов XX века в трудах таких математиков, как J.C. Saut, A.B. Фаминский, H. Biagioni, F. Linares, S Cui, D. Deng, H. Wang, НА. Ларькин, Г.Г. Доронин, и других, но эта теория далека от завершения.

При изучении свойств решений уравнения Кортевега-де Фриза в работах С.Н. Кружкова, A.B. Фаминского, T. Kato было обнаруже-

но свойство повышения их внутренней регулярности в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальной функции, которая сама может оставаться нерегулярной.

Одним из важных вопросов, возникающих при изучении свойств решений эволюционных уравнений, является вопрос об их поведении, в частности, об убывании при больших временах. В случае уравнения Кортевега-де Фриза или уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительной абсорбцией подобные вопросы были изучены в работах E. Zuazua, G.P. Menzala, A.F. Pazoto, L. Rosier, B.Y. Zhang, F. Linares, M. Cavalcanti, V. Domingos Cavalcanti, А.В. Фаминского, Н.А. Ларь-кина. В этих работах для различных краевых задач были найдены некоторые достаточные условия убывания решений при больших временах.

Цель работы. Целью работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в зависимости от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения, а также достаточных условий убывания этих решений при больших временах. Также в работе рассматриваются вопросы единственности в различных классах слабых решений задачи Коши для уравнения Кавахары.

Методика исследования. Исследование носит теоретический характер. Оно основано на сочетании нелинейных интегральных оценок решений рассматриваемых задач, обращении линейной части уравнения и использовании свойств линеаризованного уравнения Кавахары. В последнем случае при изучении фундаментального решения соответ-

ствующего дифференциального оператора применяются методы гармонического анализа и комплексного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Теоремы о существовании и единственности слабых решений задачи Коши для обобщенного уравнения Кавахары, уточнение классов единственности в случае самого уравнения Кавахары.

2) Теоремы о существовании обобщенных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары, порядок которых зависит от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения. В случае начально-краевой задачи производные до второго порядка построены вплоть до пространственной границы, все остальные производные — строго внутри рассматриваемых областей.

3) Теоремы о существовании строго внутри рассматриваемых областей непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе обобщенного уравнения Кавахары. Порядок производных и их оценки в нормах Гельдера зависят от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения.

4) Теоремы об убывании при больших временах слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в случае абсорбции, локализованной на бесконечности.

5) Оценки фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Кавахары.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

1) Результаты о существовании и единственности слабых решений задачи Коши для обобщенного уравнения Кавахары ранее были известны при других условиях на коэффициенты уравнения. Установлены новые классы единственности в случае самого уравнения Кавахары.

2) Результаты о существовании обобщенных производных слабых решений начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Каваха-ры не имеют аналогов. Аналогичные результаты для задачи Коши в значительной степени усиливают известные ранее результаты.

3) Результаты о существовании непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кавахары и оценки этих производных в нормах Гельдера получены впервые.

4) Результаты об убывании при больших временах слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в случае абсорбции, локализованной на бесконечности, получены впервые.

5) Подробное изучение свойств фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Кавахары проведено впервые. Полученные оценки являются аналогами классических оценок функции Эйри.

Теоретическая значимость. Развитые в диссертации методы изучения свойства повышения внутренней гладкости слабых решений и поведения решений при больших временах могут быть использованы при изучении других классов квазилинейных эволюционных уравне-

ний нечетного порядка. Содержание работы.

В работе рассматривается обобщенное уравнение Кавахары

и - иххххх + Ъпххх + ппх + д1(г,х)пх + до(г,х)п = /(£,х), (1.1)

где п = п(£, х), Ъ — действительная константа. Для этого уравнения изучаются две задачи:

1) задача Коши в полосе Пт = (0,Т) х К с начальным условием при х е К

п^=0 = по(х), (1.2)

2) начально-краевая задача а полуполосе П+ = (0,Т) х (= (0, ) с начальным условием (1.2) при х > 0 и краевыми условиями при 0 < £ < Т

п|х=о = пх1 х=о = и (£)- (1.3)

Обе задачи рассматриваются в нелокальной постановке: Т — любое положительное число. При изучении поведения решений при больших временах решения, разумеется, рассматриваются при всех £ > 0. Уравнение Кавахары

п — д^п + Ъд|п + апх + ппх = 0 (1.4)

впервые было выведено в статье [14] и является модельным для описания длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией. Следует отметить, что в различных физических ситуациях коэффициент Ъ может быть положительным, отрицательным или нулевым (см., например, [32, 26]). Это уравнение является модификацией уравнения

Кортевега-де Фриза

U + uxxx + aux + uux = 0 (1.5)

на случай дисперсионного соотношения более высокого порядка.

Переход от уравнения (1.4) к уравнению (1.1) позволяет учесть дополнительные эффекты, в частности, связанные с неоднородностью среды. Другой причиной рассмотрения именно уравнения (1.1) является его инвариантность относительно замены

u(t,x) = u(t,x) — '(t,x) (1.6)

для некоторой заданной функции ф. Действительно для функции u уравнение (1.1) переходит в уравнение

ut — дьхи + bdxu + uux + gi(t, x)ux + g0(t, x)u = f(t, x), (1.7)

где

9i = 9i+Ф, 9о = 90+Фх, f = f — фг + дхф — ьдхф — ффх — д\фх — доф.

(1.8)

В свою очередь, преобразование (1.6) является вполне естественным и широко используется, например, для обнуления краевых условий.

Уравнение Кавахары аналогично уравнению Кортевега-де Фриза обладает законами сохранения

i u2 dx = const, i \п2хх + Ъп2х — 1 u3 ] dx = const. (1.9) J R Jr\ 3 J

Для описания известных результатов о рассматриваемых задачах и результатов, установленных в настоящей работе, введем некоторые обозначения.

Символы ^,к,1,т,п везде в дальнейшем обозначают неотрицательные целые числа (если не оговорено противное). Символом [в] обозначается целая часть числа в ^ 0. Пусть х+ = тах(х, 0), х— = — тт(х, 0).

Для любых Т > 0, 6 е [0,Т) и х0 е К положим П^х° = (6,Т) х (х0, (в частности П+ = П^0).

Для р е [1, положим Ьр = Ьр(К), Ьр,+ = Ьр(К+), Wpk = wpk (К), wpk+ = wpk (К+), Нк = Нк (К), Н+ = Нк (К+).

Для х0 е К положим Ьр,х° = Ьр(х0, , WpXo = Wpk(х0, , Н0 = Нк(х0, (в частности, в наших обозначениях Wpkо0 = Wpk+ ,

нк = Нк+).

Введем специальные весовые пространства. Для а е К, р е [1, положим

Щ = {/(х) : (1 + х+)а/ е Ьр], Ь«х0 = {/(х) : (1 + х — Х0Г/ е ^}

и введем на этих пространствах естественные нормы. В дальнейших результатах начальная функция п0 будет выбираться из пространств ьа , ьа,+ = Ь,0 при а ^ 0.

Для описания свойств краевых условий будем использовать пространства Соболева дробного порядка: для в е К положим

Н'(М) = {/(£):(1 + |2Г/2)Ж) е Ь2},

где символом /2 обозначено преобразование Фурье функции /. Для интервала I С К через Нв(/) обозначим пространство сужений на I функций из Нв(К) с естественной нормой.

Положим

/> T п а+1

X(f; T) = sup f2(t,x) dxdt,

аеМ J 0 J а,

nT nxo+a+1

\(f; T, 5, x0) = sup / / f2(t,x) dxdt.

а>0 J5 Jx0+a

Для описания классов функций, в которых будут рассматриваться слабые решения, при а > 0 введем пространство Xа(Пт), состоящее из функций f (t,x) таких, что

f е Cw([0,T]; La), X(fxx; т) < и, если а > 0, то дополнительно

fxx е L2(0,T; L2-+/2)

(символ Cw обозначает пространство слабых отображений) и пространство x a(nTxo) , состоящее из функций f (t,x) таких, что

f е Cw ([5,T]; L%X0), X(fxx; T,5,xo) <

и, если а > 0 , то дополнительно

fxx е L2(5,T; La2~0J2).

с естественными нормами. Тогда Xa(П+) = Xa(П^0).

Для области Q С М2 символом Cb(Q) будем обозначать пространство функций, непрерывных и ограниченных в Q.

На основе равенств (1.9) в статье [19] был получен первый результат, из которого следует существование и единственность глобального по времени решения задачи (1.4), (1.2) в пространстве L^(0,T; Hs(M))

при и0 е Нв(К) для в > 2 (на самом деле в указанной статье рассматривались уравнения более общего вида чем (1.4), но не включающего уравнения вида (1.1)). Аналогичный результат при в = 2 в пространстве С([0,Т]; Н2(К)) именно для задачи (1.4), (1.2) был также установлен в [1].

В статье [39] было доказано существование глобального по времени решения задачи (1.1), (1.2) при нерегулярных начальной функции и0 и правой части /. Если и0 е Ьа, / е Ь^0,Т; Ь а) для некоторого а > 0, то существует слабое решение м(£, х) из пространства Ха(Пт). Кроме того, если а > 3/8, то построенное решение единственно в указанном классе. При этом в [39] также рассматривались уравнения более общего чем (1.1) вида, но наложенные там условия применительно к уравнению (1.1) сильнее, чем рассматриваемые в настоящей работе. Из этого результата видно, что уравнение Кавахары (как и уравнение Кортевега—де Фриза) обладает эффектом локального сглаживания, а именно, решение имеет дополнительную производную ихх по сравнению с начальной функцией и0 е Ь2(К) (для уравнения Кортевега-де Фриза решение имеет производную на один порядок больше чем начальная функция).

Для начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) аналогичный результат в пространстве Ха (П+) был установлен в работе [37]. Его точная формулировка приводится далее при описании результатов настоящей работы.

В серии работ [4], [3], [22] по аналогии с уравнением Кортевега-де Фриза были получены результаты о глобальной корректности задачи Коши для уравнения Кавахары при начальной функции и0 е

Нв(К), в > —1/2 , в некоторых специальных пространствах типа Бур-гейна. Эти решения лежат также в пространстве С([0, Т]; Нв(К)) и обладают гладкостью по пространственной переменной на две единицы больше чем начальная функция. Однако, методика применения пространств Бургейна исключает их использование для рассматриваемых здесь уравнений типа (1.1).

В статье [36] доказана глобальная корректность задач (1.1), (1.2) и (1.1)—(1.3) в классах бесконечно гладких быстро убывающих функций.

Другие результаты о разрешимости и корректности начально-краевой задачи для самого уравнения Кавахары (1.4), (1.2), (1.3) можно найти в [17, 6, 31, 23]. Начально-краевая задача в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары изучена в [17, 5, 16, 7, 29, 30, 10, 11, 23].

В работах [28], [38] при изучении задачи Коши и [42] при изучении начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кортевега— де Фриза было установлено свойство повышения внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания нерегулярной начальной функции м0(х) и правой части уравнения / при х ^ . В частности, было показано, что если м0 е Ь а (соответственно Ь а+) для некоторого а ^ 0 (функция / также удовлетворяет некоторым условиям), то решение м(£,х) обладает обобщенными производными д^м до порядка п ^ 2а + 1 при £ > 0 (также при х > 0 в случае начально-краевой задачи). Для п < 2а — 1/2 эти производные являются непрерывными.

Аналогичные результаты о повышении внутренней гладкости слабых решений задачи Коши для уравнения Кавахары были установле-

ны в работе [21].

В работе [13] был получен результат о внутренней регулярности решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза при экспоненциально убывающей на начальной функции из L2. При этом решение становилось бесконечно гладким при t > 0.

В работах [28] и [38] были также установлены результаты о существовании непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера для слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи в полуполосе для уравнения Кортевега-де Фриза. Основной идеей этого исследования явилось обращение линейной части уравнения и использование свойств соответствующего фундаментального решения. При этом фундаментальное решение соответствующего оператора dt + выражается через хорошо изученную функцию Эйри.

Переходя к результатам о поведении решений уравнения Каваха-ры и его обобщений при больщих временах заметим, что первое из равенств (1.9), очевидно, делает невозможным убывание решений задачи Коши для уравнения Кавахары при t ^ в пространстве L2 (как и для уравнения Кортевега-де Фриза).

Если в левую часть уравнений (1.4) или (1.5) ввести абсорбирующее слагаемое, например, g0(x)u, где go > а0 = const > 0 для любого x Е R, то решения очевидно будут убывать экспоненциально быстро при больших временах, а именно,

||u(t OIIl^R) < e-aot||uo||L2(R).

В статье [2] аналогичный результат об экспоненциальном убывании решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в норме

L2 был установлен в случае, если подобная абсорбция эффективна только на бесконечности, а именно, д0 > 0 для любого x е М, д0 > а0 = const > 0 при |x| > R для некоторого R> 0. Идеи, использованные при получении этого результата, восходят к Л. Хермандеру. В случае начально-краевой задачи для уравнения Кортевега-де Фриза подобный результат был получен в работе [18]. Более подробную информацию по этому вопросу, в частности, библиографию, можно найти в [2].

Перейдем к описанию основных результатов настоящей работы. Прежде всего дадим определение слабого решения задачи Коши (1.1), (1.2).

Определение 1.1. Функция u(t,x) из пространства L((0,T; L2) называется слабым решением задачи (1.1), (1.2), если для любой функции 4>(t, x) такой, что ф е L2(0,T; H5), ф е b2(0,T; L2), ф|г=т = 0, выполняется интегральное тождество

'П7

и(ф - д5ф +ьд3ф + (gi^)x - д0ф) + 2u+ f ф

dxdt+

+ щ(х)ф{0,х) 1х = 0. (1.10) ,/м

Дадим определение слабого решения начально-краевой задачи

(1.1)-(1.3).

Определение 1.2. Функция п(Ь,х) из пространства Ьж(0,Т; Ь2,+) называется слабым решением задачи (1.1)-(1.3), если для любой функции ф(Ь,х) такой, что ф € Ь2(0,Т; Н+), € Ь2(0,Т; Ь2,+), ф\г=т = 0, ф\х=0 = фх\х=0 = фхх\х=о = 0, выполняется интегральное

тождество

Т

I

Т

+ / и0(ж)ф(0,ж) ¿ж + / (V(£}дХф(£, 0) - д(г)д£ф(£, 0)) ^ = 0.

м.

+

(1.11)

В случае задачи Коши (1.1), (1.2) в работе установлен следующий результат о существовании и единственности слабых решений.

Теорема 1.1. Пусть для некоторых Т > 0 и а > 0

Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (1.2) из пространства Xа(ПТ). Если а > 3/8, то решение из этого пространства единственно.

Если ограничиться только случаем самого уравнения Кавахары, то классы единственности можно уточнить.

Теорема 1.2. Слабые решения задачи (1.4), (1.2) единственны в пространствах ¿»(0,Т; ¿2/8) и X3/16(Пт).

Заметим, что для случая уравнения Кортевега—де Фриза аналог первого из этих результатов был установлен в статье [27], а второго — в статье [12] (с аналогичной методикой исследования).

Для начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) мы будем использовать следующий результата из работы [37].

до е ¿1(0, Т; ¿с»), 01 е ¿2(0,Т; ), и е ¿а, / е ¿1(0, Т; ¿а).

Теорема 1.3. Пусть для некоторых Т > 0 и а > 0

00 е ¿1(0, Т; ¿с,+), 01 е ¿2(0, Т; ^,+),

ио е ¿а,+ , / е ¿1(0, Т; ¿а,+),

д е Н2/5(0,Т), V е Н 1/5(0,Т).

Тогда существует слабое решение задачи (1.1) —(1.3) из пространства Xа(П+). Если а > 3/8, то решение из этого пространства единственно.

Следует отметить, что условия гладкости краевых функций д и V в данной теореме являются оптимальными в следующем смысле: если у(£, ж) — решение задачи Коши для линейного уравнения

у - д^у = 0, V|г=о = Уо е ¿2,

то (см., например, [15]) для любого ж е М

||Д2/5у(-,ж)||ь2(м;) = У^г1/5уж(^,ж)Уь2(м^) = ||уоУь2 .

Перейдем к результатам о повышении гладкости слабых решений и начнем с существования обобщенных производных при £ > 0.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия Теоремы 1.1 для некоторого а > 1/2 и дополнительно для любых 5 е (0,Т) и жо е М

0о,01 е ¿1(5, Т; ^,Ж0), ¡хх е ¿1 (5, Т; ¿а,-01/2). Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) и е Ха(ПТ) обладает сле-

дующим свойством: ихх е Xа 1/2(пТ^Ж0) для любых 5 е (0,Т)

и

жо е М.

Теорема 1.5. Пусть для некоторых Т > 0 и а > 1/2

до € 1*2(0, Т; Ьж+), дг € Ь2(0,Т; ^+), ио € Ц+, / € Ь2(0,Т; Ц+), » € Н4/5(0,Т), V € Н3/5(0,Т)

и пусть для некоторого а0 > 0 и любого 5 € (0,Т)

до, д\ € Ь\(5, Т; ^^), /хх € ^(5,Т; ьа;1/2).

Тогда слабое решение задачи (1.1)-(1.3) и € Ха(П+) обладает следующим свойством: ихх € Xа~1/2(пТо) для любого 5 € (0,Т).

Следующие теоремы относятся к существованию обобщенных производных более высоких порядков при I > 0 ив случае начально-краевой задачи х > 0 .

Теорема 1.6. Пусть выполнены условия Теоремы 1.4 для некоторого а > 3/4 и, дополнительно, существует т € [3,4а] такое, что для любых 5 € (0,Т) и хо € М

до, д1 € ьж(5, Т; W^íXo), дх/ € Ь1(5, Т; при 3 < I < т.

(1.12)

Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) и € Ха(Пт) обладает следующим свойством: д1хи € Xа~1/4(пТхо) при 3 < I < т для любых 5 € (0,Т), хо € М .

Теорема 1.7. Пусть выполнены условия Теоремы 1.5 для некоторого а > 3/4 и, дополнительно, существует т € [3,4а] такое, что для любых 5 € (0,Т) и хо > 0 выполнено свойство (1.12) Тогда слабое

решение задачи (1.1)-(1.3) u G Ха(П+) обладает следующим свойством: dXu G Xa-1/4(nT,X0) при 3 < l < m для любых 6 G (0,T), ж0 > 0.

Перейдем к вопросу существования непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера.

Теорема 1.8. Пусть для некоторых T> 0, m, £ G (0,1) и а = m/4+1/8 + £/4 выполнены условия Теоремы 1.1, а если m > 2, то и Теоремы 1.4. Пусть известно, что для любых 6 G (0,T), ж0 G R

g0 G Loo (6, T; wmaxx0(0'm-1)), gi G Loo (6, T; W^^), (1.13) dX/ G Lo(6, T; La-0/4) при l < m. (1.14)

Предположим также, что для некоторой константы a функция g1 представляется в виде

gi (t, ж) = a + g (t, ж), g G L (6, T; L^o) V6 G (0, T) Ужо G R,

(1.15)

где в = —1/8-£/4 при а < 1/4, в = -1/4 при а > 1/4. Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) u G Xа(Пт) непрерывно в Пт (возможно, после изменения на множестве нулевой меры) и u G О^П^0) при l < m для любых 6 G (0,T), ж0 G R. Более того, для любых t,T G [6,T], ж, y G [ж0, + oo )

|dmu(t, ж) — dymu(t,y)| < с(6,ж0)|ж — y |e (1.16)

и при j < 4 если m > j, то

ju(t, ж) — o^ju(t, ж)1 < c(6, ж0)|t — T|(e+j)/5. (1.17)

Теорема 1.9. Пусть для некоторых T > 0, m, £ G (0,1) и а = m/4 + 1/8 + £/4 выполнены условия Теоремы 1.3, а если m > 2, то и Теоремы 1.5. Пусть известно, что для любых 6 G (0,T), ж0 > 0 справедливы свойства (1.13) -(1.15). Тогда слабое решение задачи (1.1)-(1.3) u G Ха(П+) непрерывно в П+ (возможно, после изменения на множестве нулевой меры) и dXu G Cb(nT,Xo) при l < m для любых 6 G (0, T) , ж0 > 0 . Более того, для любых t, T G [6, T] , ж, y G [ж0, + oo ) справедливы неравенства (1.16), (1.17).

Для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза результаты о повышении внутренней гладкости решений аналогичные теоремам 1.41.9 были получены в в случае задачи Коши в работе [38], а в случае начально-краевой задачи в полуполосе П+ — в работе [42].

Наконец, в настоящей работе получены следующие результаты об убывании слабых решений рассматриваемых задач при больших временах.

Теорема 1.10. Пусть u0 G L2, g0,g1 G Lo(R+; ), f = 0 . Предположим также, что

2g0(t, ж) — gix(t, ж) > 0 Vt> 0 Уж G R (1.18)

и существуют константы R > 0, а0 > 0 такие, что

2g0(t, ж) — gix(t, ж) > а0 Vt> 0 V|ж| > R. (1.19)

Тогда существуют положительные константы c и c0, зависящие от ||u0Hi2, llg0||LTO(R+;W¿), ||gi Hl^r+w,) такие, что для слабого решения задачи (1.1), (1.2) u G Х0(ПТ) VT > 0, построенного в Тео-

18

реме 1.1, справедливо неравенство

\\и(г, •)\ь2 < св~с° Уг > 0. (1.20)

Теорема 1.11. Пусть ио € Ь2+, до,д1 € Ь^(М+; +), ¡1 = V = 0, / = 0. Предположим также, что свойство (1.18) справедливо при любом х > 0, а свойство (1.19) — при любом х > Я. Тогда существуют положительные константы с и со, зависящие от \\ио\\ь2+ , \\до\ьте(Е^), \\д\-) такие, что для слабого решения задачи (1.1)-(1.3) и € Хо(П+) УТ > 0, построенного в Теореме 1.3, справедливо неравенство (1.20).

В случае уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным абсорбирующим слагаемым до(х)и аналогичный результат для задачи Ко-ши был ранее установлен в статье [2], а для начально-краевой задачи при х > 0 — в статье [18].

Значительная часть методики исследования настоящей работы основана на идее обращения линейной части уравнения и использования свойств фундаментального решения соответствующего оператора дг — дххххх + Ьдххх + адх. В отличие от уравнения Кортевега-де Фриза, где свойства соответствующего фундаментального решения хорошо известны, в рассматриваемом случае эти свойства требуют специального исследования. Подобное исследование проведено в главе 2 настоящей работы и полученный результат (см. Лемму 2.1) представляет самостоятельный интерес. В этой же главе приводятся некоторые вспомогательные результаты о задаче Коши для линеаризованного уравнения Кавахары, которые используются в дальнейшем при доказательстве результатов единственности слабых решений задачи

Коши в нелинейном случае и существовании и оценках непрерывных производных.

В главе 3 устанавливаются результаты о существовании и единственности слабых решений задачи Коши (1.1), (1.2). Глава 4 посвящена вопросам существования обобщенных производных слабых решений обеих рассматриваемых задач, а глава 5 — существования непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера. Вопросы поведения решений при больших временах изучаются в главе 6.

В дальнейшем будем говорить, что ^(ж) — допустимая весовая функция, если ^ бесконечно дифференцируемая положительная на К функция, такая что ^^(ж)| < )^(ж) для любого натурального ] и любого ж Е К.

Будем пользоваться следующим интерполяционным неравенством, установленным в [39]. Пусть ^>0(ж), ^(ж) — две допустимые весовые функции такие, что ^0(ж) < с^1(ж) для любого ж Е К. Тогда для д Е [2, + оо ], натурального к и т < к — 1

и

,(ш) * т1/2—8|| ^ С|и(к)т1/2|2« Iи|,л1/21|1-28 + с|и„л1/211 (1 21)

1 ^0^1 < С11и ^0 11ь2Нь2 + ||ь2, (1.21)

где

2т + 1 1

й =

4к 2кд

Точно такое же неравенство остается справедливым, если в нем функции, заданные на К заменить на функции, заданные на , а пространства на пространства (см. [36]).

В дальнейшем через п(ж) будем обозначать срезающую функцию, а именно, п - бесконечно дифференцируемая неубывающая функция такая, что п(ж) = 0 при ж < 0, п(ж) = 1 при ж > 1.

Введем также вспомогательные функции paß(x), а > 0,ß > 0, следующим образом: pa,ß Е C°° (R) - возрастающая функция такая, что раф(x) = евх при x < —1, pa:ß(x) = (1 + x)aex/(x+1) при x > 0, P'a ß(x) > 0 при —1 < x < 0. Заметим, что p'a ß и pa,ß являются допустимыми весовыми функциями и p'a ß(x) < c(a,ß)pa, ß(x).

Тогда условия на функции , if1 выполнены для = p'a ß , if1 = paß . В частности, из неравенства (1.21) на R+ следует, что при а > 0, а > 0, m < 1

sim Um)(x)\ < c\\v"(ß' )i/2H(2m+1)/4Hvp1/2\\(3—2m)/4 + \\ i/2 II

sup \V (x)\ < c\\V (pa,ß) ||l2+ \\Vpaß\\L2 + + \\Vpaß\\L2

(m)...... ...........

. .. WL2, + II r'a,ß\\L2 , + II • a,e 11 L2 , +

xE|0,a|

(1.22)

Символом § будем обозначать пространство Шварца §(М) бесконечно гладких быстро убывающих функций. Также на полуосях М— и М+ введем пространства бесконечно гладких экспоненциально быстро убывающих функций, а именно,

§ехр(М±) = {и(х) € С0 (М±) : ев1х1и(п)(х) € Ь2(М±) У в > 0 Уп > 0}.

Далее при рассмотрении задачи Коши мы будем опускать пределы интегрирования в интегралах по М, а при рассмотрении начально-краевой задачи — по М+ .

Степень достоверности и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [43, 8, 33, 34, 35, 9].

Результаты диссертации заслушивались и обсуждались на следующих научных семинарах: кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора А.В. Арутюнова, кафедры прикладной математики РУДН под руководством профессора А.Л. Скубачевского.

Результаты диссертационного исследования были доложены на следующих международных и межвузовских конференциях: "Всероссийская научно-практическая конференция"(Москва, 2013), "The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Едиа^опз"(Москва, 2014), "Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications"(Долгопрудный, 2015).

2 Линеаризованное уравнение Кавахары

2.1 Свойства фундаментального решения

Согласно определению фундаментальным решением оператора д — + + адх называется функция Са>ь Е Ф'(К2), удовлетворяющая уравнению

а>ь а>ь + + = ж). (2.1)

д£ дж5 дж3 дж

По теореме Хермандера С Е §'(К2). Положим =

^ж[Са>ь(£, ж)](£), тогда из (2.1) получаем уравнение

^ + г(£5 + ^3 — <)" = 6(*) х 1(е).

Рассмотрим задачу

г' + г(£5 + 3 — а^)г = 0, г(0) = 1.

Решением этой задачи является функция г(£) = ей(^5+ь^3—а^), следовательно, функция ) = в(£)ег^5+ь£3—а^) и Са>ь(£,ж) = в(£)^—1 '(ж), где в - функция Хевисайда (см., например, [25, с. 200-201]).

Итак, фундаментальное решение оператора д^ — дХхххх + + адх задается формулой

Са>ь(^,ж) = ](ж) =

^ / N в(£) ^ /ж — а£ \ , .

= Со>ь(^, ж — а£) = Ф6Л2/^, (2.2)

где

Фь(ж) = ^[е^+^ж). (2.3) 23

Лемма 2.1. Для любого Ъ € М функция Ф^ задается сходящимся интегралом

Ф~ь(х) = — ( ег(^5+ь^3+х^) ¿С, х € М, (2.4)

2п.¡м

бесконечно дифференцируема на М и удовлетворяет уравнению

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Опритова Мария Александровна, 2016 год

Список литературы

[1] Biagioni H.A., Linares F. On the Benny—Lin and Kawahara equations // J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 211, № 1. P. 131-152.

[2] Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Faminskii A., Natali F. Decay of solutions to damped Korteweg-de Vries equation // Appl. Math. Optim. 2012. V. 65, № 2. P. 221-251.

[3] Cui S., Deng D., Tao S. Global existence of solutions for the Cauchy problem of the Kawahara equation with L2 initial data // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2006. V. 22, № 5. P. 1457-1466.

[4] Cui S., Tao S. Stricharts estimates for dispersive equations and solvability of the Kawahara equation //J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 304. P. 683-702.

[5] Doronin G.G., Larkin N.A. Kawahara equation in a bounded domain // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2008. V. 10, № 4. P. 783-799.

[6] Doronin G.G., Larkin N.A. Quarter-plane problem for the Kawahara equation // Pacific J. Appl. Math. 2008. V. 1, № 3. P. 151-176.

[7] Doronin G.G., Larkin N.A. Well and ill-posed problems for the KdV and Kawahara equations // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.). 2008. V. 26, № 1-2. P. 133-137.

[8] Faminskii A. V., Opritova M. A. On the initial-boundary-value problem in a half-strip for a generalized Kawahara equation //J. Math. Sci. 2015. V. 206, № 1. P. 17-38.

[9] Faminskii A. V., Opritova M.A. On properties of solutions to Kawahara equation// Abstracts, The seventh international conference on differential and functional differential equations, Moscow, 2014. P. 40-41.

[10] Faminskii A.V., Larkin N.A. Initial-boundary value problems for quasilinear dispersive equations posed on a bounded interval // Electronic J. Differential Equ. 2010. № 1. P. 1-20.

[11] Faminskii A.V, Larkin N.A. Odd-order evolution equations posed on a bounded interval // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.). 2010. V. 28, № 1, P. 67-77.

[12] Ginibre G., Tsutsumi Y. Uniqueness of solutions for the generalized Korteweg-de Vries equation // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20, № 6. P. 1388-1425.

[13] Kato T. On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg-de Vries equation // Stud. Appl. Math., Adv. Math. Suppl. Stud. 1983. V. 8. P. 93-128.

[14] Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media //J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33, № 1. P. 260-264.

[15] Kenig C.E., Ponce G, Vega L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg-de Vries equation //J. Amer. Math. Soc. 1991. V. 4, № 2, P. 323-347.

[16] Larkin N.A. Correct initial boundary value problems for dispersive equations //J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 344, № 2, P. 1079-1092.

[17] Larkin N.A., Doronin G.G. Kawahara equation in a quarter-plane and in a finite domain // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.). 2007. V. 25, № 1-2, P. 9-16.

[18] Linares F., Pazoto A.F. Asymptotic behavior of the Korteweg-de Vries equation posed in a quarter plane //J. Differential Equ. 2009. V. 246. P. 1342-1353.

[19] Saut J.-C. Sur quelques generalizations de l'equation de Korteweg-de Vries // J. Math. Pures Appl. 1979. V. 58, № 1. P. 21-61.

[20] Stein E.M. Oscillatory integrals in Fourier analysis // Beijing lectures in harmonic analysis. Princeton: Univ. Press, 1971. P. 307-355.

[21] Villagran O. P. V. Gain of regularity for a Korteweg - de Vries -Kawahara equation // Electronic J. Differential Equ. 2004. № 71. P. 1-24.

[22] Wang H., Cui S, Deng D. Global existence of solutions for the Cauchy problem of the Kawahara equations in Sobolev spaces of negative indices // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2007. V. 22, № 8. P. 14351446.

[23] Фаминский А.В., Кувшинов Р.В. Начально-краевые задачи для обобщенного уравнения Кавахары // Успехи матем. наук. 2011. Т. 66, № 4, С. 187-188.

о-

[24] Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные неравенства. Введение. М.: Мир, 1980.

[25] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

[26] Ильичев А. Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией // Труды МИАН. 1989. Т 186. С. 222226.

[27] Кружков С. Н., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега—де Фриза // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 3. С. 396-425.

[28] Кружков С. Н., Фаминский А. В. О свойствах непрерывности решений некоторых классов нестационарных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 матем. мех. 1983. № 3. С. 29-36.

[29] Кувшинов Р.В. Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары // Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем., инф., физ. 2010. Т. 3. С. 5-16.

[30] Кувшинов Р.В. Нелокальная корректность смешанной задачи в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары // Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем., инф., физ. 2010. V. 4. C. 5-47.

[31] Кувшинов Р.В., Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары // Дифф. уравнения. 2009. V. 45, № 3, C. 391-402.

[32] Марченко А. В. О длинный волнах в мелкой воде под ледяным покровом // Прикл. матем. мех. 1988. T. 52, № 2. С. 230-234.

[33] Опритова М.А. О внутренней регулярности решений смешанной задачи для уравнения Кавахары// Труды Всероссийской научно-практической конференции (Москва, РУДН, 23-26 апреля 2013 г.), 2013. С. 36.

[34] Опритова М. А., Фаминский А. В. Об убывании при больших временах решений начально-краевой задачи на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары // Вестник Тамбовского ун-та.,

2015. Т. 20, вып. 5. С. 1331-1337.

[35] Опритова М. А., Фаминский А. В. О задаче Коши для обобщенного уравнения Кавахары // Дифференциальные уравнения.

2016. T. 52, № 3. С. -378-390.

[36] Сангаре К. Смешанная задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в пространстве бесконечно дифференцируемых экспоненциально убывающих функций // Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем. 2003. Т. 10, № 1. С. 91-107.

[37] Сангаре К., Фаминский А.В. Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары // Матем. заметки. 2009. Т. 85, № 1. С. 98-109.

[38] Фаминский А. В. Задача Коши для уравнения Кортевега— де Фриза и его обобщений // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1988. V. 13. С. 56-105.

[39] Фаминский А. В. Задача Коши для квазилинейных уравнений нечетного порядка // Мат. сб. 1989. V. 180, № 9. С. 1183-1210.

[40] Фаминский А. В. Избранные главы теории эволюционных уравнений. Москва, Российский Университет Дружбы Народов, 2011.

[41] Фаминский А. В. Функциональные пространства эволюционного типа. Москва, Российский Университет Дружбы Народов, 2014.

[42] Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений // Труды ММО. 1988. Т. 51. С. 54-94.

[43] Фаминский А.В., Опритова М.А. О задаче Коши для уравнения Кавахары // Современная математика. Фундаментальные направления. 2012. Т. 45. С. 132-150.

[44] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

[45] Шананин Н.А. О частичной квазианалитичности обобщенных решений слабо нелинейных дифференциальных уравнений со взвешенными производными // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 4, С. 608-619.