Свойства решений краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Антонова Анастасия Петровна

• Антонова Анастасия Петровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Антонова Анастасия Петровна

Содержание

1 Введение

2 Линеаризованное уравнение Захарова^Кузнецова

2.1 Свойства фундаментального решения линеаризованного уравнения

2.2 Обращение линейной части уравнения

2.3 Начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова

3 Обобщенные производные

3.1 Существование обобщенных производных решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова

3.2 Вспомогательная нелинейная начально-краевая задача

3.3 Существование обобщенных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова

4 Непрерывные производные

4.1 Существование непрерывных производных решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова

4.2 Существование непрерывных производных решения начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова

5 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства решений краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова»

1 Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматривается задача Коши и начально-краевая задача для уравнения Захарова-Кузнецова в случае двух пространственных переменных. Это уравнение является одним из вариантов многомерного обобщения уравнения Кортевега-де Фриза, описывающего распространение одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией. Для учета возможных деформаций подобных волн в поперечном направлении используется уравнение Захарова-Кузнецова.

Интенсивное изучение краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза началось с 60-х годов XX века. За прошедшее время в трудах таких математиков, как R. Temam, J.-C. Saut, T. Kato, J. Bona, С.H. Кружков, A.B. Фаминский, J. Ginibre, Y. Tsutsumi, C. Kenig, G. Ponce, L. Vega, J. Bourgain, T. Tao, J. Colliander и других была развита теория разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для этого уравнения в различных функциональных пространствах.

Теория краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова разработана значительно меньше. Основные результаты были получены начиная с 90-х годов XX века в трудах таких математиков, как J.C. Saut, A.B. Фаминский, F. Linares, A. Pastor, R. Temam, H.A. Ларькин, Г.Г. Доронин, F. Ribaud, S. Vento и других, но эта теория далека от завершения. Основные трудности по сравнению с уравнением Кортевега-де Фриза, разумеется, лежат в переходе с прямой на плоскость.

При изучении свойств решений уравнения Кортепеги де Фриза в работах С.Н. Кружкова, A.B. Фаминского, Т. Kato было обнаружено свойство повышения их внутренней регулярности в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальной функции, которая сама может оставаться нерегулярной.

Цель работы. Целью работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в зависимости от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения. Рассматриваемые слабые решения были ранее построены в работах A.B. Фаминского.

Методика исследования. Исследование носит теоретический характер. Оно основано на сочетании нелинейных интегральных оценок решений рассматриваемых задач, обращения линейной части уравнения и использовании свойств линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова. В последнем случае при изучении фундаментального решения соответствующего дифференциального операторв применяются методы гармонического анализа.

Основные положения, выносимые на защиту. 1) Теоремы о существовании обобщенных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова, порядок которых зависит от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения. В случае начально-краевой задачи производные первого порядка построены вплоть до пространственной границы, все остальные производные — строго внутри рассматриваемых областей.

2) Теоремы о существовании строго внутри рассматриваемых областей непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи уравнения Захарова-Кузнецова. Порядок производных и их оценки в нормах Гёльдера зависят от скорости убывания на бесконечности нерегулярной начальной функции и правой части уравнения.

3) Оценки фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Захарова-Кузнецова.

4) Глобальная корректность начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в пространстве гладких экспоненциально быстро убывающих на бескончности функций.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

1) Результаты о существовании обобщенных производных слабых решений начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова не имеют аналогов. Аналогичные результаты для задачи Коши в значительной степени усиливают и уточняют известные ранее результаты.

2) Результаты о существовании непрерывных производных слабых решений задачи Коши и начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова и оценки этих производных в нормах Гёльдера получены впервые.

3) Подробное изучение свойств фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Захарова-Кузнецова проведено впервые. Полученные оценки являются аналогами классических оценок функции Эйри.

4) Теорема о глобальной корректности начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в пространстве гладких экспоненциально быстро убывающих на бескончности функций ранее не была известна. В случае задачи Коши аналогичный результат уже был установлен.

Теоретическая значимость. Развитые в диссертации методы изучения свойства повышения внутренней гладкости слабых решений могут быть использованы при изучении других классов квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. Самостоятельный интерес имеют результаты о свойствах фундаментального решения дифференциального оператора, соответствующего линеаризованному уравнению Захарова-Кузнецова, которые могут быть применены при изучении широкого круга вопросов, связанных с уравнением Захарова-Кузнецова и его обобщениями.

Содержание работы. В диссертации рассматривается задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова

(п = п(£,х,у)) в слое Пт = {(£, х,у) : 0 < £ < Т, (х,у) е К2} с начальным условием

при х е К2 и начально-краевая задача для уравнения (1.1) в области П+ = {(£,х,у) :0 < £ < Т, х > 0,у е К} с начальным условием (1.2) при х > 0 у е К и краевым условием

п1 + пххх + пхуу + ппх / {^Ч X, у)

(1.1)

п|(=0 = п0(х,у)

(1.2)

п

х=0

п(г,у), 0 < г < Т, у е К.

(1.3)

Везде предполагается, что Т — произвольное положительное число.

Уравнение (1.1) является одним из вариантов (2 + 1)-мерного обобщения уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

и^ + иххх + иих

Впервые оно было выведено в работе [8] для описания распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова-Кузнецова. Это уравнение является модельным для описания волн, двигающихся в заданном направлении и испытывающих поперечные деформации. Физический смысл рассматриваемой начально-краевой задачи состоит в описании волн, распространящихся от начальной "стенки" х = 0.

Для описания известных результатов о разрешимости этих задач и установленных в настоящей работе свойств внутренней регулярности построенных решений введем некоторые обозначения.

Положим = {(х,у) : х > 0} = {(х,у) : х < 0} Вт = (0, Т)хМ, Ьр = Ьр(Ш2\ ЬрЛ = ЬР(ШЦ Wp = Wpk(К2), Wpk+ = Wpk(М+), Нк = Нк(К2) Н+ = Нк). Если V = (к1,к2) — целочисленный мультииндекс, IV | = к1 + к2, то положим дV = дХ1 д+2. Пусть

1/2

|£кф1 = (^ф)2) , |Яф| = |^ф|.

д ^ А2

IV |=к

Символом [V] обозначается целая часть числа й ^ 0. Для любого а € К положим

Ьар = {ф(х,у) € Ь1;с(и2) : ф € Ьр(и2_), (1 + х)аф € Ьр+},

6

= {Ф(х,у) е : (1 + х)аф е

^ = {Ф(х,у) е п тс^м2): фх,фу е }, = {ф(х,у) е п : фх,фу е ¿£+},

Н 1'а = Жа1'", Н+'а = и введем на этих пространствах естественные нормы. В дальнейших

п0

5 Н1,а и Н+'а при а ^ 0. Для описания свойств краевых условий будем использовать анизотропные пространства Соболева дробного порядка: для , й2 > 0 положим

Н*1'*2 (К2) = {М(£,у) : (1 + + |^2 )/2(6,6) е Ь2(К2)},

где символом д обозначено преобразование Фурье функции д. Для области П С К2 через Нв1'в2 (П) обозначим пространство сужений на П функций из Нв1'в2 (К2) с естественной нормой.

3 х

Для 6 е [0,Т), х0 е К положим Птхо = (6, Т) х (х0, х К (в

ТТ+ тт0'0\

частности, П+ = П^ ),

Ьа,х0 = {ф(х,у) : (1 + х - Хо)аф е ^2((хо, х К)} (в частности, Щ + = Щ0),

!> т !> х1+1 г Л(/; Т) = вир / / /2

'0 х1 ,/М />Т />х1+1 />

Л(/; Т, 6, х0) = вир / / /2

х^хо «/з ,/х1 ,/м

Введем пространство функций Xа(Пт) при а ^ 0, состоящее из функций /(£,х,у) таких, что

/ е ([0, Т]; Л(|Я/1; Т) < гс,

а>0

|Я/1 € Ь2(0,Т; Ьа~1/2)

символ Си обозначает пространство слабо непрерывных отображений).

Через Xа(ПуХо) обозначим пространство функций /(1,х,у) таких,

НТО

/ € Си([£, Т]; Цххо), Л(|л/1; Т,5,хо) < ж,

а>0

№| € Ь2(6,Т; ¿£_1/2).

Тогда Xа(П+) = Xа(П^0).

Символом СЬк(П) будем обозначать пространство функций, обла-

к

но, непрерывными и ограниченными в П. Положим С ¡к = СЬк (К2),

_2 _ _

Ск+ = Скк(М+), СЬ(П) = С0(П).

Определение 1.1. Пусть и0 € Ь2; / € (0,Т; Ь2). Функция и €

Ьж (0,Т; Ь2) называется слабым решением задачи (1.1), (1.2) в ПТ, если для любой функции ф € Ь2(0,Т; Н3) такой, что фч € Ь2(0,Т; Ь2), ф^=т = 07 справедливо равенство:

1

'П7

и(фч + фххх + фхуу) + 2и фх + ^

(хАу(И+

+ и0ф\ч=0 (х(у = 0. (1.4)

и и Ж2 =

Определение 1.2. Пусть и0 € Ь2;+, и1 € Ь2(ВТ), / € Ь1 (0,Т; Ь2;+). Функция и € Ьж(0,Т; Ь2;+) называется слабым решением задачи

(1.1)-(1.3), если для любой функции ф(£,х,у) е Ь2(0,Т; Н+) такой, что ф е Ь2(0,Т; £2,+), ф|*=т = 0 ф|х=о = фх|х=о = 07 справедливо равенство

1

'и+

п(ф + фххх + фхуу ) + 2 пфх + /ф

+ Поф|^=0¿х^у + // П1фхх|х=0= 0. (1.5)

J «/ J и Вт

Замечание 1.1. Так как Н2 С то фх е Ь2(0,Т; и, следовательно, интеграл ///п п2фх в равенстве (1.4) существует. Аналогично, существует интеграл ///п+ п2фх в равенстве (1.5).

Известно, что уравнение (1.1) (при / = 0) обладает двумя законами сохранения

JJ п2 ¿х^у = СОШ^ JJ ^х + п2 — 1 п3^ ¿х^у = соп(1.6)

аналогичным законам сохранения для уравнения КдФ. Данные законы сохранения были использованы ранее для построения глобальных по времени решений рассматриваемых задач.

Первый результат о существовании глобальных решений задачи (1.1), (1.2) в пространстве Ьто(0,Т; Н1) при п0 е Н1 на основе законов сохранения (1.6) был получен в статье [35] (в статье рассматривались уравнения более общего вида), однако единственность построенных решений не была установлена.

Далее, с помощью первого из равенств (1.6) в статье [13] были построены глобальные решения задачи (1.1), (1.2) из пространства Ха(Пт), а именно при п0 е / е Ь1(0,Т; Ьа) (па самом деле, в той статье также рассматривались уравнения более общего вида). Сле-

дует отметить, что единственность подобных решений также не была установлена и до настоящего момента остается открытой задачей. Эти результаты аналогичны результатам о задаче Коши для уравнения Кортевега-де Фриза, полученным в статьях [9, 11].

Первые классы глобальной корректности задачи (1.1), (1.2) были построены в работе [14], где с использованием обоих равенств (1.6) была установлена глобальная корректность задачи (1.1), (1.2) при начальной функции из Нт и правой част и из (0,Т; Нт) при натуральных т в некотором специальном классе функций Кт(Пт) С С([0,Т]; Нт). Для т = 1 этот класс описывается следующим образом:

К1(Пт) = {и € С([0,Т]; Н1) П Ьз(0,Т; С^) П ¿2(Кх; Сь(Вт)),

дхи € Сь(Шх; Н(2_')/3>2_'(Вт)), 0 < ] < 2}.

Ранее аналогичные классы функций в случае уравнения КдФ были введены в статье [29].

В работах [9] и [11] при изучении задачи Коши для уравнения КдФ было установлено свойство повышения внутренней гладкости обобщенных решений в зависимости от скорости убывания нерегулярной начальной функции и0(х) и правой части уравнения / при х ^ В частности, было показано, что если и0 € Ь2(Ш) и хаи0 € ¿2(К+) для некоторого а ^ 0 (функция / также удовлетворяет некоторым условиям), то решение и(Ь, х) обладает обобщенными производными д'Пи до порядка п ^ 2а + 1 при I > 0. Для п < 2а _ 1/2 эти производные являются непрерывными. Если дополнительно тем же свойством, что и сама начальная функция обладает ее производная и0, то порядок всех упомянутых производных может быть увеличен на единицу.

В работе [28] также был получен результат о внутренней регулярности решения задачи Коши для уравнения КдФ при экспоненциально убывающей па начальной функции из Ь2(К). При этом решение становилось бесконечно гладким при £ > 0.

Первый результат о внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова был установлен в работе [32] (в действительности, там рассматривались даже более общие уравнения третьего порядка на плоскости). В ней результат о повышении гла-дости был получен для решений, обладающих априори обобщенными производными по пространственным переменным до шестого порядка включительно, принадлежащими пространству Ь2 с некоторым степенным весом при х ^ Существование подобных решений было доказано только локально по времени при начальной функции из пространства Н6 с соответствующим весом.

В настоящей работе для задачи (1.1), (1.2) установлен результат аналогичный результатам статей [9] и [11] для случая уравнения КдФ. При этом решения рассматриваются при начальной функции из пространств Ьа и Н

Теорема 1.1. Пусть по е / е (0,Т; для некоторого а ^ 1/2 и дополнительно существует натуральное число т е [1, 2а] такое, что ду/ е Ь1(^0,Т; ^|/2) при 1 ^ | ^ т для некоторого е [0,Т), причем еели т = 2, то а > 1. Тогда, существует слабое решение п(£,х,у) задачи (1.1), (1.2) из пространстваха(ПТ), которое при, £ > обладает обобщенными производными д^п до порядка

|v| ^ m + 1. При этом для любых 6 G (60,T) и x0 G R

dvu G Xa-|vl/2(nT,X0), 1 ^ |v| ^ m. (1.7)

Замечание 1.2. Если m < 2a, то

|Dm+1u| G L2(6, T; La-(m+1)/2) Vx1 ^ xo, (1.8)

причем норма оценивается равномерно по xi.

Теорема 1.2. Пусть u0 G H1,a, f G L1(0,T; H1,a) для некоторого a > 0. Тогда, если u(t,x,y) G К1(ПТ) — слабое решение задачи (1.1), (1.2), то при, |v| < 1

dvu G Xа(Пт). (1.9)

Теорема 1.3. Пусть условия Теоремы 1.2 выполнены для a ^ 1/2 и дополнительно существует натуральное число m G [2, 2a + 1] такое, что dvf G L1(60,T; La¿ |v|/2+1/2) npU 2 ^ |v| ^ m для некоторого 60 G [0, T). Тогда, слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (1.2) из пространства К1(Пт) обладает при, t > 60 обобщенными производными dv u порядка |v | ^ m + 1. При, этом для л юбых 6 G (60,T) и x0 G R

dvu G Xa-|vl/2+1/2 (nT,X0), 2 ^ |v| ^ m. (1.10)

m < 2a + 1

|Dm+1u| G L2(6,T; La-m/2) Vx1 ^ X0, (1.11)

x1

Замечание 1.4. Поскольку в силу самого уравнения (1.1) производная t

переменным, то, если дополнительно предположить соответствующую гладкость функции f по t, решение будет также обладать гладкостью по переменной t.

Замечание 1.5. Нижеследующий пример показывает, что без соответствующего убывания начальной функции при x ^ даже в случае бесконечно гладкой начальной функции решение задачи Ко-ши может стать разрывным за конечное время. Рассмотрим уравнение (1.1) при f = 0, пусть начальная функция u0 £ H1 имеет компактный носитель и разрывна. Тогда в силу Теоремы 1.3 (и Замечания 1.4) существует единственное слабое решение этой задачи u £ К1(ПТ) бесконечно диффференцируемое при t > 0. Положим v(t,x,y) = u(T — t, —x,y) £ К1(Пт)• Тогда функция v является слабым решением задачи Коши для того же уравнения (1.1) (f = 0) с начальной функцией u(T, —x, y) £ H1П CTO(R2). Однако при t = T решение становится разрывным. Аналогичный пример можно построить для начальной функции u0 £ L2 с компактным носителем на основе Теоремы 1.1.

Полученные результаты (разумеется, без учета переменной y) аналогичны полученным в статье [11]) для уравнения КдФ.

Следует также отметить, что свойства (1.9), (1.10) аналогичны свойствам, полученным в статье [32], с той разницей, что в последней исходное пространство Hзаменено на пространство H6'а, определяемое аналогичным образом.

Доказательство Теорем 1.1-1.3 содержится в п. 3.1. Оно основано на интегральных оценках и развивает методику работ [9] и [11] на дву-

мерный случай. Решения строятся как пределы последовательностей гладких быстро убывающих при x ^ решений, существование которых следует из результатов работ [14, 32].

В работах [9] и [11] для доказательства непрерывности производных рассматриваемых решений уравнения КдФ применяется также идея обращения линейной части уравнения и использования свойств фундаментального решения оператора dt + d3xx. Это фундаментальное решение выражается через хорошо изученную функцию Эйри.

В отличие от уравнения КдФ свойства линеаризованного уравнения Захарова-Кузнецова изучены гораздо меньше. В п. 2.1 настоящей работы изучаются свойства фундаментального решения оператора dt + d3xx + Bxyy) в частности, его поведепне при |x| ^ Полученные оценки используются в дальнейшем в п. 4.1, 4.2, но представляют также и самостоятельный интерес.

В п. 4.1 установлены следующие результаты о непрерывности производных рассматриваемых решений уравнения Захарова-Кузнецова.

Теорема 1.4. Пусть u0 G L^, f G Lœ (0,T; Щ) для некоторого а > 3/4 такого, что число (2а — 1/2) — нецелое, дvf G Lœ(50,T; L^ |v|/2) для 1 ^ |v| ^ 2а и некоторого 50 G [0,T), m = [2а — 1/2], v0 = [2а] при а = 1, v0 = 1 при а = 1. Тогда, существует слабое решение задачи (1.1), (1.2) u(t,x,y) G Xа(ПТ), обладающее свойством (1.1) при 1 ^ |v| ^ v0, которое при, t > 50 непрерывно и обладает непрерывными производными дv u до порядка |v | ^ m — 1, причем, для л юбых 5 G (5o,T), xo G R

sup |dvu(t, x, y)| < œ, 0 < |v| < m — 1. (1.12)

(i,x,y)GnTf0

Более того, если | = т — 1, £ = 2а — т — 1/2, то для любых 5 е (50, Т), х0 е Ш при х1, х2 ^ х0, у1, у2 е К и £ е [5, Т]

|д"п(£,х1,у1) — д"п(£,х2,у2)| ^ с(|х1 — х2|е—а + |у 1 — у2Г"а)

Уа е (0,£); (1.13)

а если | = т — 1 — ^ ^ = 0,1, 2, £ = 2а — т — 1/2 + то для любых 5 е (50, Т )7 х0 е Ш пр и х ^ х0, у е Ш и £, т е [5, Т]

|д"п(£,х,у) — д"п(т,х,у)| < с|£ — т|^ Уа е (0,е), (1.14)

где константы зависят от х0, 50, а, а.

Теорема 1.5. Пусть п0 е Н1,а, / е (0,Т; Н1,а) для некоторого а > 3/4 такого, что число (2а + 1/2) — нецелое, д^/ е (50,Т; И/2+1/2) ¿}ля 2 ^ | ^ 2а + 1 и некоторого 50 е [0,Т)7 т = [2а + 1/2]. Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) п(£,х,у) е К1(ПТ) при£ > 50 непрерывно и обладает непрерывными производными д^п порядка | ^ т—1, причем, для любых5 е (50, Т), х0 е Ш справедлива оценка (1.12). Более того, если | V| = т — 1, £ = 2а — т + 1/27 то для любых 5 е (50, Т ), х0 е Ш пр и х1, х2 ^ х0, у1, у2 е Ш и £ е [5, Т] справедливо неравенство (1.13), а если ^| = т — 1 — ] = 0,1, 2, £ = 2а — т + 1/2 + то для любых 5 е (50, Т) и х0 е Ш пр и х ^ х0, у е Ш и £,т е [5, Т] справедливо неравенство (1.14), где константы х0 50 а а

Данные результаты аналогичны полученным в статьях [9, 11] для уравнения КдФ за исключением снижения порядка производных на

а

ства основана на обращении линейной части уравнения (см п. 2.2) и

использовании ранее установленных в п. 2.1 свойств фундаментального решения соответствующего оператора, что позволяет получить свойства (1.12) и (1.13). Оценка (1.14) следует из этих свойств на основе общих результатов статьи [10] об оценке модуля непрерывности решения по времени через известный модуль непрерывности по пространственным переменным для эволюционных уравнений дивергентного вида 1-го порядка по времени.

Глобальная разрешимость начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) в пространствах Xа (П+) изучалась в работах [21, 25] (на самом деле там рассматривались уравнения более общего вида) и [23, 24]. В статье [24] доказано, что при п0 е п1 е Нв/3>в(Вт), / е Ь1(0,Т; Ь^) для некоторых а ^ 0и й> 3/2 существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) из пространства Xа(П+). При этом, если а ^ 1, то это решение единственно в рассматриваемом классе. Заметим, что эти результаты о существовании глобальных слабых решений аналогичны результатам статьи [13] для задачи Коши, а результат о единственности решений аналога не имеет.

При более гладких граничных данных глобальная корректность рассматриваемой задачи рассматривалась в статьях [23, 24]). Введем пространство функций

К1(П+) = {п е С([0, Т]; Н+) П ¿2(0, Т; С>+) П ^(М*; С6(Вт)), п е СЬ(Ш+; Н(2—')/3>2—'(Вт)), 0 < з < 2}.

В работе [23] был установлено, что при п0 е Н+, п1 е Н 2/3>2(Вт), / е Ь2(0,Т; Н+), п1 (0,у) = п0(0,у), существует единственное слабое решение задачи (1.1)—(1.3) из пространства К1 (П+).

Глобальная корректность рассматриваемой задачи при более гладких граничных данных и0 € Н+, их € Н(к+1У3,к+1(Бт) при к ^ 2 доказана в [24]. Результаты работ [23, 24] аналогичны результатам работы [14] для задачи Коши.

Данные результаты являются аналогами результатов для соответствующей начально-краевой задачи для уравнения КдФ из статей [12, 19, 22].

Другие начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова изучались в работах [25, 24, 27, 36, 34, 37, 31, 30, 18, 20] и других.

В настоящей работе устанавливается, что при дополнительных условиях убывания начальной функции и0 и правой части / при х ^ решения, построенные в работах [23, 24]), обладают дополнительной гладкостью внутри области П+.

Теорема 1.6. Пусть ио € их € Н2/3'2(ВТ), / € £2(0, Т; Щ+), 3й/ € Ь2(60,Т; +1/2) при \и| = 1 для некоторых а ^ 1/2 и 60 € [0,Т). Тогда существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) и € Xа(П+), обладающее приЬ > 60 обобщенными производними в"и до порядка | < 2, причем дии € Xа~1/2(пТ°) при | = 1 для любого 6 € (6о,Т).

Теорема 1.7. Пусть выполнены условия Теоремы 1.6 при а ^ 1 и пусть дополнительно существует натуральное число т € [2,2а] такое, что д"/ € Ьх(60,Т; Ь^ а'^'/2) для 2 < | < т и некоторого а ^ 0. Тогда если и € Xа(П+) — слабое решение задачи (1.1)-(1.3), то оно обладает при, Ь > 60, х > а обобщенными производными дуи

до порядка ^| < т + 1, причем д^п е Xа ^(П^0) при 2 < ^| < т для любых 5 е (50, Т) м х0 > а.

Замечание 1.6. Теоремы 1.6 и 1.7 являются аналогами Теоремы 1.1 для рассматриваемой начально-краевой задачи. Разделение на две теоремы вызвано во-первых тем, что в Теореме 1.6 внутренняя регулярность

х=0

реме 1.7 она установлена строго внутри области П+, а во-вторых тем, что в условиях Теоремы 1.7 можно воспользоваться результатом из статьи [21] о единственности слабого решения в пространствеXа(П+) при а > 1. Отметим, что по сравнению с Теоремой 1.1 в Теореме 1.7

а > 1 т = 2

Теорема 1.8. Пусть п е Н+>а, п е Н2/3>2(Вт), / е ^(0,Т; Н+>а) для некоторого а > 0 п1(0,у) = п0(0,у). Тогда, если п е К1(П+) — слабое решение задачи (1.1)-(1.3); то д^п е Xа(П+) при |v| < 1.

Теорема 1.9. Пусть выполнены условия Теоремы 1.8 при, а ^ 1/2 и пусть дополнительно существует натуральное число т е [2, 2а + 1] такое, что д^/ е Ь1(50,Т; ^|/2+1/2) При 2 < ^| < т для некоторых 50 е [0, Т) и а ^ 0. Тогда если п е К1(П+) — слабое решение зада-

£ > 50 х > а

водными д^п до порядка ^| < т + 1, причем д^п е X|/2+1/2(пт>Х0) при, 2 < ^| < т для любых 5 е (50, Т) и х0 > а.

Замечание 1.7. Теоремы 1.8 и 1.9 являются аналогами Теорем 1.2 и 1.3 для рассматриваемой начально-краевой задачи.

Доказательство Теорем 1.6-1.9 содержится в п. 3.3. Как и в случае задачи Коши решения строятся как пределы последовательностей

гладких быстро убывающих при x ^ решений. При этом в отличие от задачи Коши существование подобных решений не было ранее известно (гладкие решения, построенные в работе [24] не обладают свойствами быстрого убывания при x ^ Поэтому в настоящей

работе в п. 3.2 устанавливаются результаты о разрешимости вспомогательной начально-краевой задачи в классах гладких экспоненциально быстро убывающих при x ^ решений (экспоненциальные веса указались удобнее для применения в случае начально-краевой задачи, чем степенные в случае задачи Коши). При этом в п. 3 предварительно в данных классах изучена соответствующая линеаризованная задача.

Замечание 1.8. Условия, накладываемые в Теоремах 1.6 и 1.8 на функцию щ можно считать естественными, так как они индуцированы свойствами дифференциального оператора dt + дХ + dxdy2 в следующем смысле. Пусть v(t, x, y) является решением задачи Коши из пространства Cb(Rt; H 1(R2)) для уравнения

vt + VXxx + vXyy = 0 (1.15)

с начальной функцией v0 £ H 1(R2). Тогда согласно [14] для любого x £ R

||v(-,x, 0ЦЯ2А2 (R2) = ||(|6|2/3 + ¡бРЖб^ЫЦ^ (R2) ~ yVv0yL2(R2).

Как и в случае задачи Коши в работе устанавливаются результаты о существовании непрерывных производных рассматриваемых реше-

ний строго внутри области П+. Эти результаты полностью аналогичны

случаю задачи Коши.

Теорема 1.10. Пусть п е щ е Н2/3>2(Вт), / е Ьто(0,Т; ££>+) для некоторого а > 3/4 такого, что число (2а — 1/2) — нецелое, ду/ е ЬТО(50,Т; |/2) при 1 ^ |v| ^ 2а для некоторого 50 е [0,Т), т = [2а — 1/2]. Тогда, существует слабое решение п(£,х,у) задачи (1.1) —(1.3) из пространства Xй(П+), такое что пх,пу е Xа—П^0) для любого 5 е (50,Т). При £ > 50 и х > 0 это решение непрерывно и обладает непрерывными производными д^п до порядка ^ | ^ т — 1, причем, для любых 5 е (50,Т) м х0 > 0 для 0 ^ |v| ^ т — 1 справедливо неравенство (1.12). Более того, если ^| = т — 1, е = 2а — т — 1/27 то для любых 5 е (50, Т), х0 > 0 щи х1, х2 ^ х0, у1, у2 е М. и £ е [5, Т] справедливо неравенство (1.13), а если ^| = т — 1 — з з = 0,1, 27 е = 2а — т — 1/2 + з то для любых х ^ х0, у е К и £,т е [5, Т] справедливо неравенство (1.14).

Теорема 1.11. Пусть п0 е Н+>а, п1 е Н2/3>2(Вт), п0(0,у) = п1(0,у)7 / е Ьто(0,Т; Н1а) для некоторого а > 3/4 такого, что число (2а + 1/2) - нецелое, д/ е ЬТО(50,Т; £а~И/2+1/2) длл 2 < |v| < 2а + 1 и некоторого 50 е [0,Т), т = [2а + 1/2]. Тогда, слабое решение задачи (1.1)-(1.3) п(£,х,у) е К1(П+) пр и £ > 50 м х > 0 непрерывно и обладает непрерывными производными д^п до порядка ^| ^ т — 17 причем, для любых 5 е (50,Т) м х0 > 0 для 0 ^ ^| ^ т — 1 справедливо неравенство (1.12). Более того, если ^| = т — 1, е = 2а — т + 1/27 то для любых 5 е (50,Т) и х0 > 0 щи х1,х2 ^ х0, у1,у2 е К и £ е [5, Т] справедливо неравенство (1.13), а если ^| = т — 1 — з з = 0,1, 2, е = 2а — т + 1/2 + з, то для любых 5 е (50, Т) м х0 > 0 щи х ^ х0, у е Км £,т е [5, Т ] справедливо неравенство (1.14).

Замечание 1.9. Если а ^ 1, то в силу единственности решений в классе Xа(П+) построенное в Теореме 1.10 решение рассматриваемой задачи обладает также свойствами решения из Теоремы 1.7 для а = 0. Аналогично решение из Теоремы 1.11 обладает свойствами решений из

а=0

В дальнейшем мы будем использовать следующие вспомогательные функции. Положим

í ce1/(x2-1), |х| < 1, ш(х) = < (1.16)

{ 0, |х| ^ 1,

где положительная константа с выбрана так, чтобы ш(х) dx = 1. Свойства этой функции хорошо известны, в частности, ш G CTO(R). Положим

/2х—1 ¡>x

ш(С) dC = 2/ ш(2С — 1) dC. (1.17)

-то J —то

Тогда п G CTO(R), r¡'(x) > 0 при х G (0,1) п(х) = 0 при х < 0 п(х) = 1 при х ^ 1, п(х) + п(1 — х) = 1.

Введем вспомогательную весовую функцию ра,в(х), а ^ 0,в > 0, следующим образом: ра,в G CTO(R) - возрастающая функция такая, что ра,в(х) = евх при х < —1, раф(х) = (1 + х)а если а > 0 и р0,в(х) = 2 — (1 + х)—1/2 при х > 0 р'а в(х) > 0 при —1 < х < 0. Заметим, что р'а,в(х) < с(а,в)ра,в(х) ^ав(х)| < с(к,а,в)рав(х) для любых х G R и натуральных к ^ 2.

Будем использовать следующее интерполяционное неравенство из статьи [13]. Пусть ^о(х), ^1(х) — две положительные бесконечно гладкие функции такие, что 'ф0(х) < сф1(х)) |^к)(х)| < c(k)i^j(х) для всех х G R, натуральных к и j = 0 ми 1а и)(х,у) такая функция, что

w^/2 G L2. Тогда для q G [2,

< c(q)y|Dw|^J/2y|s2||w^ /2||L—2s + c(q)||w^i/2||l2, (1.18)

где s = 1/2 — 1/q. В статье [21] доказано, что данное неравенство остается верным, если заменить пространства функций, определенных на R2, на соответствующие пространства для функций, опеределённых на R+.

Далее, когда рассматриваем задачу Коши, мы будем опускать пределы интегрирования в интегралах noR2, а в случае начально-краевой задачи - по R+. Положим = max(x, 0) = — min(x, 0).

Степень достоверности и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [3, 2, 4, 1, 17, 26].

Результаты диссертации заслушивались и обсуждались на следующих научных семинарах: кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора A.B. Арутюнова, кафедры прикладной математики РУДН под руководством профессора А.Л. Скубачевского, кафедры дифференциальных уравнений МГУ под руководством профессоров В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, A.C. Шамаева, Т.А. Шапошниковой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антонова Анастасия Петровна, 2016 год

Список литературы

[1] Антонова А. П. On the Cauchy problem for the Zakharov-Kuznetsov equation// Труды Всероссийской научно-практической конференции (Москва, РУДН, 23-26 апреля 2013 г.), 2013 — С. 45.

[2] Антонова А.П., Фаминский А.В. О регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в нормах Гёльдера// Матем. заметки., 2015. — 97, вып. 1. — С. 13-22.

[3] Антонова А.П., Фаминский A.B. О внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова// Вестник Тамбовского ун-та., 2015. — Т. 20, вып. 5. — С. 999-1006.

[4] Антонова А.П., Фаминский A.B. О регулярности решений начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова// Современная математика. Фундаментальные направления., 2015. - Т. 58. - С. 5-21.

[5] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

[6] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1996.

[7] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

[8] Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах// Журн. экспер. теорет. физ., 1974. — 66, № 2. — С. 594-597.

[9] Кружков С.Н., Фаминский A.B. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортеиеги де Фриза // Матем. сб., 1983. — Т. 120(162). № 3. - С. 396-425.

[10] Кружков С.Н., Фаминский А.В О свойствах непрерывности решений некоторых классов нестационарных уравнений// Вестник Моск. ун-та, сер. 1, Математика, Механика., 1983. 3. О. 29-34.

[11] Фаминский A.B. Задача Коши для уравнения Кортеиеги де Фриза и его обобщений // Труды сем. им. И.Г. Петровского., 1988. — Вып. 13. — С. 56-105.

[12] Фаминский A.B. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кортеиеги де Фриза и его обобщений// Труды ММО., 1988. — 51. - С. 54-94.

[13] Фаминский A.B. Задача Коши для квазилинейных уравнений нечетного порядка // Матем. сб. 1989. — Т. 180. № 9. — С. 11831210.

[14] Фаминский A.B. Задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова// Дифф. уравн., 1995. — 31, № 6. — С. 1070-1081.

[15] Фаминский A.B. Избранные главы теории эволюционных уравнений, _ рудн. 2014. - С. 66-74.

[16] Фсдорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.

[17] Antonova А.P. On Interior Regularity of Solutions to Zakharov-Kuznetsov Equation// The Seventh International Conference on

Differential Equations, Moscow, Russia, August 22-29, 2014, Abstarcts, 2014 - P. 6-7.

[18] Baykova E.S., Faminskii A. V. On initial-boundary-value problems in a strip for the generalized two-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation// Adv. Differential Equ., 2013. - 18, №7-8. - C. 663-686.

[19] Bona J.L., Sun S., Zhang B.Y. A nonohomogeneous boundary-value problem for the Korteweg-de Vries equation in a quarter plane// Trans. Amer. Math. Soc., 2002. - V. 354, № 2. - P.427-490.

[20] Doronin G.G., Larkin N.A. Stabilization of regular solutions for the Zakharov-Kuznetsov equation posed on bounded rectangles and on a strip// Proc. Edinburgh Math. Soc., 2015. — DOI: 10.1017/S0013091514000248. - P. 1-22.

[21] Faminskii A. V. On the mixed problem for quasilinear equations of the third order// J. Math. Sci., 2002. - 110, № 2. - C. 2476-2507.

[22] Faminskii A. V. An initial boundary-value problem in a half-strip for the Korteweg-de Vries equation in fractional-order Sobolev spaces// Comm. Part. Differential Equ., 2004. - V. 29, № 11-12. - P.1653-1695.

[23] Faminskii A. V. Nonlocal well-posedness of the mixed problem for the Zakharov-Kuznetsov equation// J. Math. Sci., 2007. — 147,№ 1. — C. 6524-6537.

[24] Faminskii A.V. Well posed initial-boundary value problems for

the Zakharov-Kuznetsov equation// Electronic J. Differential Equ., 2008. - № 1. - C. 1-20.

[25] Faminskii A. V. Weak solutions to initial-boundary-value problems for quasilinear equations of an odd order// Adv. Differential Equ., 2012. - 17, № 5-6. - C. 421-470.

[26] Faminskii A.V., Antonova A.P On internal regularity of solutions to the initial value problem for the Zakharov-Kuznetsov equation// Progress in Partial Differential Equations, M. Reissig, M. Ruzhansky (eds.), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics., 2013. — 44. - C. 53-74.

[27] Faminskii A.V., Bashlykova I.Yu Weak solutions to one initial-boundary value problem with three boundary conditions for quasilinear equations of the third order// Ukrainian Math. Bull., 2008. - 5, № 1. - C. 83-98.

[28] Kato T. On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg-de Vries equation// Stud. Appl. Math., Adv. Math. Suppl. Stud.,

1983_ _ V. g. _ P 93^128.

[29] Kenig C.E., Ponce G., Vega L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg-de Vries equation //J. Amer. Math. Soc., 1991. - V. 4. № 2. - P. 323-347.

[30] Larkin N.A. Exponential decay of the H^norm for the 2D Zakharov-Kuznetsov equation on a half-strip// J. Math. Anal. Appl., 2013. — 405. № 1. - C. 326-335.

[31] Larkin N.A., Tronco E. Regular solutions of the 2D Zakharov-Kuznetsov equation on a half-strip// J. Differential Equ., 2013. — 254, № 1. - C. 81-101.

[32] Levandosky J.L. Smoothing properties of nonlinear dispersive equations in two spatial dimensions// J. Differential Equ., 2001. — / 75. № 2. - C. 275-301.

[33] Linares F., Pastor A. Well-posedness for the 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation // SIAM J. Math. Anal., 2009. - V. 41. № 4. -P. 1323-1339.

[34] Linares F., Pastor A., Saut J.-C. Well-posedness for the Zakharov-Kuznetsov equation in a cylinder and on the background of a KdV soliton// Comm. Partial Differential Equ., 2010. — 35, № 9. — C. 1674-1689.

[35] Saut J.-C. Sur quelques generalizations de l'equation de Korteweg-de Vries// J. Math. Pures Appl, 1979. - V. 221, № 1. - P.21-61.

[36] Saut J.-C., Temarn R. An initial boundary-value problem for the Zakharov-Kuznetsov equation// Adv. Differential Equ., 2010. — 15, № 11-12. - C. 1001-1031.

[37] Saut J.C., Tern,am, R., Wang C. An initial and boundary-value problem for the Zakharov-Kuznetsov equation in a bounded domain// J. Math. Phys., 2012. - 53. - 115612. - doi: 10.1063/1.4752102.

[38] Stein E.M. Oscillatory integrals in Fourier analysis // Beijing Lectures in Harmonic Analysis. Princeton University Press, 1971. — P. 307-355.