Тензорные произведения с конечным числом орбит тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Парфенов, Петр Глебович

• Парфенов, Петр Глебович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Парфенов, Петр Глебович

Введение

глава 1. классификация орбит.

1.1. Общие свойства орбит и их примыканий

1.2. группы £¿2,2,п и £¿2,2,™

1.3. группы <3£2,3,3 и вь2,3,

1.4. группы сь2)2,п, зь2,2,п, оь2>з,п и 5х2)з>п

глава 2. графы примыкаиий орбит

Глава 3. Когомологии Галуа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тензорные произведения с конечным числом орбит»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что проблема классификации орбит произвольного линейного представления алгебраической группы в общем случае, на данном этапе развития математики, неразрешима, то есть не имеет решения, которое можно описать за разумное время. Поэтому решение данной проблемы идет путем выделения классов действий, для которых это возможно, так как они обладают так называемыми хорошими свойствами. Примерами хороших свойств является конечность числа орбит, а также конечность числа орбит, имеющих в своем замыкании ноль. Если рассмотреть естественные действия прямых произведений СЬП1 (С) х • • • х СЬПг (С) полных линейных групп на тензорных произведениях С"1 (8) • • • ® СПг соответствующих векторных пространств, то используя, например, работу Каца 1 можно определить, список наборов (щ,. ,пг), для которых эти действия будут иметь конечное число орбит. Это лишь следующие наборы с точностью до перестановки чисел в каждом из них: (п), (п, т), (2,2, п), (2,3, п).

История исследований естественных действий ^Ьг(С) х 6?£т(С) х (2ЬП(С) в С2 ® Ст ® С" восходит еще к классической теории Кронекера-Вейерштрасса 2, где определены критерии ОЬт(С) хСЬп(С)-эквивалент-ности элементов пространства С2 <8> Ст ® которые называются пучками матриц.

Однако исследование действий алгебраических групп не ограничивается только классификацией орбит. Для многих приложений необходимо еще знать, как устроены замыкания орбит, то есть знать цепочки вырождений орбит.

Кас V. G. Some remarks on nilpotent orbits. J. Algebra-1980-64, p. 190-213. о

Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Для естественных действий групп С?1/т(С) х С?£П(С) в пространствах С2®Ст®С" более чем через сто лет после классификации орбит Рокг:зу\уа 3 и, независимо от него, НтпсЬвеп и О'НаПогап 4 получили критерии принадлежности одной орбиты к замыканию другой.

В истории похожих исследований следует отметить работы Нурми-ева а,е и Первушина 7'8'9, где они решили задачи классификации инвариантов, орбит и замыканий орбит для естественных представлений групп, соответственно, £Х3(С) х 5Х3(С) х £Х3(С) в С3 ® С3 ® С3 и ЗЬ2{ С) х 5Ь4( С) х ЗЬ4( С) вС2®С4® С4, а Первушин дополнительно сформулировал набор комбинаторных правил, позволяющих классифицировать орбиты и их замыкания для групп (21/2(С) х СЬт{С) х С) и (С) х££т (С) (С), действующих в пространствах С2<8>Ст<8>С™.

Важно здесь отметить метод 10'и>12? позволяющий во многих "хороших "случаях эффективно классифицировать орбиты и дающий, кроме этого, информацию о многих важных свойствах их геометрии. о

Pokrzywa A. On Perturbations and the Equivalence Orbit of a Matrix Pencl. Lin. Alg. Appl., 82:99-121, 1986.

Hinrichsen D., O'Halloran J. Orbit closures of singular matrix pencils. Journal of Pure and Applied Algebra 81 (1992) p. 117-137. Y иНурмиев А. Г. Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка. Матем. сб. 2000, 191 ,5 с. 101-108

Нурмисв А. Г. Замыкания нилъпотентных орбит кубических матриц порядка три. УМН, 2000, 55, 2(332), с. 143-144

Первушнн Д. Д. Инварианты и орбиты стандартного (SZ^C) х SZ<4(C) х SLz(С))-модуля. Изв. РАН. Сер. матем., 2000, 64:5, с. 133-146 о

Первушин Д. Д. О примыканиях нилъпотентных орбит пучков матриц четвертого порядка. Изв. РАН. Сер. матем., 2002, 66:5, с. 183-192

Pervouchine D. D. Invariants and orbits of square matrix pencils. Депонент ВИНИТИ РАН № 446-B2002, Март 12, 2002

Винберг Э. Б. Классификация однородных нилъпотентных элементов полупростой градуированной алгебры Ли. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1979, выпуск 19, с. 155-177

Вниберг Э. Б., Попов В. JI. Теория инвариантов. Итоги науки и техники, современные проблемы математики, фундаментальные направления, том 55, 1989, с. 137-315

Винберг Э. Б. Группа Вейля градуированной алгебры Ли. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40. №3. С. 489-525

Суть его состоит в том, что некоторые алгебраические группы можно интерпретировать как присоединенные группы полупростой градуированной алгебры Ли. Таким способом Винбергом и Элашвили 13 была получена классификация тривекторов девятимерного пространства. В упомянутых выше работах Нурмиева и Первушина, также, в основном использовался данный метод. В диссертации данный метод используется при рассмотрении стандартного представления группы 6X2 (С) х 5Ь3(С) х 8Ь3(С).

Поскольку большинство методов теории инвариантов и классификации орбит "работают"только над алгебраически замкнутыми полями, то встает вопрос: как классифицировать орбиты над произвольными полями? С развитием гомологической алгебры ответ на данный вопрос был сформулирован еще Серром 14 и сводится к тому, что, если известна классификация орбит алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем К, то при определенных условиях можно получить классификацию орбит над его подполем' к, рассматривая некоторые множества одномерных когомологий групп Галуа расширений поля к.

Так классификация тривекторов 6-мерного пространства над произвольным полем была получена Леуоу 15 методом рассмотрения когомологий Галуа, также классификация тривекторов 8-мериого пространства над полем действительных чисел была получена Босоую 16 с использованием метода когомологий Галуа.

Хотя данный метод на наш взгляд является чрезвычайно продуктивным, но надо сказать, что он используется редко для классификации орбит алгебраических групп над незамкнутыми полями.

1 о

Винберг Э.Б., Элашвили А. Г. Классификация тривекторов 9-мерпого пространства. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-воМГУ, 1978. Вып. 18. 2. С. 197-233 ■^Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. 1968, изд. Мир, Москва.

15Revoy Ph. Trivecteurs de rang 6. Bull. Soc. Math. France. Mcmoire 59 (1979). 131-155. 1 (\

Docovic D. Z. Classification of trivectors of an eight-dimensional real vector space. Linear and Multilinear Algebra, 1563-5139, Volume 13, Issue 1, 1983, Pages 3-39

В диссертации для любого алгебраически замкнутого поля К нулевой характеристики определяется список наборов (щ,. ,пг), для которых естественные действия групп а,П1(К) х ■ х СЬпг(К) в пространствах КП1 (Е> • • • ® КПг имеют лишь конечное число орбит. Это лишь следующие наборы с точностью до перестановки чисел в каждом из них: (п), (п, га), (2,2, п), (2,3, п). Для действий, соответствующих всем таким нетривиальным наборам (2,2, п) и (2,3, п) классифицируются орбиты над любым полем нулевой характеристики и, в комплексном случае, описывается иерархия их замыканий. Причем классификация орбит проводится сначала над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, а, затем, используя полученную классификацию, через рассмотрение когомологий Галуа, классифицируются орбиты над произвольным полем нулевой характеристики. Также, необходимо отметить, что случай вещественных чисел уже подробно рассмотрен Босоугс и Т1г^1еу 17, где на основании опубликованных результатов автора диссертации, с привлечением различных дополнительных соображений и вычислений, но без использования когомологий Галуа, найдены представители орбит и описана иерархия замыканий орбит.

Дополнительно, в диссертации найдены образующие алгебры инвариантов и проведена классификация орбит для естественных действий групп ЗЬ2{К) х ЗЬ2(К) х ЗЬп{К) и ЗЬ2{К) х 5Ь3(Х) х ЗЬп{К) в соответствующих пространствах над алгебраически замкнутым полем.

Цель работы. Над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики определить список наборов (тц,., пг), для которых естественные действия групп ОЬП1(К) х ••• х СЬПг{К) в пространствах Кп1 <8> • - • <8> КПг имеют лишь конечное число орбит. Во всех этих случаях провести классификацию орбит и описать иерархию их замыканий. В тех же случаях найти образующие алгебры инвариантов и провести классификацию орбит для действий групп ЗЬП1(К) х • • • х ЗЬПг(К).

Docovic D. Z., Tingley P. W. Natural group actions on tensor products of three real vector spaces with finitely many orbits. The Electronic Journal of Linear Algebra Society-2001, vol. 8, pp. 60-82

Используя полученные результаты для тех же наборов {щ,., пг) классифицировать орбиты групп СЬПх{к) х • • •хОЬПг(к) в пространствах кП1 ® • • • ® кПт над произвольным полем к нулевой характеристики.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для любого алгебраически замкнутого поля К нулевой характеристики определяется список наборов (п1,., пг), для которых естественные действия групп СЬП1(К) х •■• х ОЬПт(К) в пространствах К711 ® •• - ® КПг имеют лишь конечное число орбит. Это лишь следующие наборы с точностью до перестановки чисел в каждом из них: (п), (п, т), (2,2, п), (2, 3, п).

2. Над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики классифицированы орбиты действий ОЬ2(К) х СЬ2(К) х ОЬп(К) : К2® К2®Кп и СЬ2{К) х СЬ3(К) х СЬп{К) : К2 ® К3 ® Кп.

3. Для указанных выше действий описана иерархия замыканий орбит.

4. Описана алгебра инвариантов и орбиты действий ЗЬ2{К) х ЗЬ2{К) х ЗЬп{К) : К2 ® К2 ® Кп и ЗЬ2{К) х БЬ^К) х ЗЬп(К) : К2® К3® Кп.

5. Проведена классификация орбит действий СЬ2{к) хСЬ2(к) х ОЬп(к) : к2 ® к2 ® кп и СЬ2(к) х СЬз(к) х СЬп(к) : к2® к3® кп над произвольным полем к нулевой характеристики.

Методы, исследования. В диссертации применяются методы теории линейных алгебраических групп, в частности, теория инвариантов и теория градуированных алгебр Ли, теория Кронекера-Вейерштрасса пучков матриц, методы гомологической алгебры.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории групп Ли и алгебраических групп, теории инвариантов и их приложений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре механико-математического факультета МГУ "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э. Б. Вииберга и В. Л. Онищика в 1996-1999 годах, а также на международной конференции в университете Лейпцига "100 лет после Софуса Ли"в июле 1999 года.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора (2 из них в журналах из списка ВАК), список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая глава включает 4 параграфа) и списка литературы из 23 наименований. Общий объем диссертации составляет 74 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Парфенов, Петр Глебович, 2010 год

1. Винберг Э. Б. Группа Вейля градуированной алгебры Ли. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40. №3. С. 489-525

2. Винберг Э. Б. Классификация однородных нильпотентных элементов полупростой градуированной алгебры Ли. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1979, выпуск 19, с. 155-177.

3. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов Теория инвариантов. Итоги науки и техники, современные проблемы математики, фундаментальные направления, том 55, 1989. с. 137-315.

4. Винберг Э.Б., Элашвили А. Г. Классификация тривекторов 9-мерного пространства. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-воМГУ, 1978. Вып. 18. № 2. С. 197-233

5. Ф. Р. Гантмахер "Теория матриц". М.: Наука, 1966.

6. Ж. Дьёдонне "Геометрия классических групп". М.: Мир, 1974.

7. X. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

8. Нурмиев А. Г. Замыкания нильпотентных орбит кубических матриц порядка три. УМН, 2000, 55, 2(332), с. 143-144.

9. Нурмиев А. Г. Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка. Матем. сб. 2000, 191 ,5 с. 101-108

10. Первушин Д. Д. Инварианты и орбиты стандартного (БЬ^С) х БЬа(С) х 8£2(С))-модуля. Изв. РАН. Сер. матем., 2000, 64:5, с. 133-146.

11. Первушин Д. Д. О примыканиях нильпотентных орбит пучков матриц четвертого порядка. Изв. РАН. Сер. матем., 2002, 66:5, с. 183-192.

12. Ж.-П. Серр. "Когомологии Галуа."1968, изд. Мир, Москва.

13. Дж. Хамфри "Линейные алгебраические группы". Наука, 1980.

14. Элашвили А. Г. "Стационарные подалгебры точек общего положения для неприводимых линейных групп Ли". // Функциональный анализ и его приложения-1972-6, номер 2, с. 65-78.

15. Docovic D. Z. Classification of trivectors of an eight-dimensional real vector space. Linear and Multilinear Algebra, 1563-5139, Volume 13, Issue 1, 1983, Pages 3 39.

16. D. Z. Docovic. P. W. Tingley "Natural group actions on tensor products of three real vector spaces with finitely many orbits."//The Electronic Journal of Linear Algebra Society-2001, vol. 8, pp. 60-82.

17. Hinrichsen D., O'Halloran J. Orbit closures of singular matrix pencils. Journal of Pure and Applied Algebra 81 (1992) p. 117-137.

18. Кас V. G. "Some remarks on nilpotent orbits"// J. Algebra-1980-64, p. 190-213.

19. Pervouchine D. D. Invariants and orbits of square matrix pencils. Депонент ВИНИТИ РАН № 446-B2002, Март 12, 2002

20. Pokrzywa A. On Perturbations and the Equivalence Orbit of a Matrix Pencl. Lin. Alg. Appl., 82:99-121, 1986.Работы автора по теме диссертации

21. П. Г. Парфенов "Орбиты и их замыкания в пространствах Ckl<8>• • -СВ) Скг.]]// Математический сборник, 2001, том 192, № 1. стр. 89-112.

22. П. Г. Парфенов "Тензорные произведения с конечным числом орбит."// Успехи математических наук, 1998 г., т. 53, вып. 3(321). стр. 193-194.

23. П. Г. Парфенов "Тензорные произведения с конечным числом орбит: когомологии Галуа."// Депонент ВИНИТИ РАН Май 2010. 13 стр.