Теоремы вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Джосеф Дарил Джеймс

• Джосеф Дарил Джеймс
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Джосеф Дарил Джеймс

Введение

Глава 1. Неравенства для целых функций экспоненциального типа для пространств Морри М^(Шп)

1.1. Пространства Морри Мр(Шп)

1.2. Неравенство Бернштейна для пространств Морри М^(Кп)

1.3. Неравенство разных метрик для пространств Морри М^(Шп)

1.4. Неравенство разных измерений для пространств Морри М^(Шп)

Глава 2. Неравенства для тригонометрических многочленов для периодических пространств Морри (Мр )*(Шп)

2.1. Периодические пространства Морри (Мр )*(Шп)

2.2. Неравенство Бернштейна для пространств (Мр )*(Шп)

2.3. Неравенство разных метрик для пространств (М^)* (Шп)

2.4. Неравенство разных измерений для пространств (Мр )*(Шп)

Глава 3. Теорема вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри Бгв (Мр(Шп))

3.1. Пространство Никольского-Бесова-Морри Бгв(Мр(Шп))

3.2. Теорема вложения для пространств Бгв (Мр(Шп))

3.3. Прямая теорема о следах для пространств

Бгв(Ьр(Кп-т) х М(Шт))

3.4. Обратная теорема о следах для пространств Бгв(МР"(Кт))

р

Глава 4. Теорема вложения и теоремы о следах для периодических про-

странств Никольского-Бесова-Морри Щ((М^)*(Шп))

4.1. Периодические пространства Никольского-Бесова-Морри

вв ((Мр)*(Щ)

4.2. Теорема вложения для пространств Щ((М^)*(Кп))

4.3. Прямая теорема о следах для пространств Бгв((Ьр)*(Ши-т) х (МрА)*(Кт))

4.4. Обратная теорема о следах для пространств Бг0((МА)*(Кт))

Заключение

Список основных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

В последние десятилетия российские и зарубежные математики активно изучают пространства типа Морри и их свойства. Одним из направлений исследований является приближение целыми функциями.

Пусть п € М, V > 0. Функция g : Сп ^ С называется целой функцией экспоненциального типа V, если выполняются следующие свойства:

1) она разлагается в степенной ряд для любых г = (х\,...,гп) € Сп: для некоторых akь...,kn € С

00 00

g(z) = Y, ак1,...,кп я?1 ...гПп

к1= 0 кп=0

для любых г\,...,гп € С,

2) Уе > 0 ЗЛ£ > 0 такое, что для всех г € Сп выполняется неравенство

|д(г)| < —.

Обозначим через Ev(Сп) множество всех целых функции экспоненциального типа V и пусть Ev (Кп) - это множество всех функций g, заданных на Кп, для каждой из которых д(х) = О(x + гу) |у=0, х € Кп, Для некоторй функции О € Еу (Сп).

В дальнейшем мы всегда считаем, что V > 0, не оговаривая этого в каждом утверждении.

Пусть 1 < p < го. Положим (Кп) = Ev(Кп) П Ьр(Кп), где Ьр(Кп) -пространство Лебега всех измеримых по Лебегу функций /, для которых

г 1

/ Ц^М") =( |/(x)|p йЛр < ,

V /Кп /

при 1 < p < той

II/IUTO(Rn) = ess sup \/ (x)| < то,

при p = то.

В [34] и [36] доказаны следующие неравенства для целых функции экспоненциального типа g Е (Rn). (Подробное изложение в книге [36].)

1 < p < то, д Е (Rn) выполняются неравенства

дд

Эх3

< v^g^R^ j = 1,...,п.

(1)

Lp(Rn)

2. (Неравенство разных метрик) Пусть 1 < р < д < то, тогда для любой функции д Е (Кп) выполняется неравенство

| g|Lq (Rn) <

< 2nv

n n(1 -1)

1 / V p a >

|g|Lp(Rn) ■

(2)

3. (Неравенство разных измерений) Пусть т,п Е М, 1 < р < то, 1 < т < и, х = (и, у), и = (х\,..., хт) Е Кт, V = (хт+\,..., хп) Е Кп-т, тогда для любой функции д Е (Кп) имеет место неравенство

\g(u,v)\

< 2n—mv — ||д|Ьр(Rn),

Lp,„(Rm)

в частности,

\g(u, 0)|

Lp(Rm) < 2 v p |g|Lp(Rn).

(3)

Пусть п Е М, [ Е М0. Обозначим через М* множество всех тригонометри ческих многочленов порядка, не превышающего [ по каждой переменной

T^(x)= T^(xh...,xn) = ^

Ckj e

ik-x

—M<kj <m 3=l,...,n

L^ ,v (Rn-m

li —'m

^ • • • е

где XI,..., хп € К, с&ь...,&„ € С- постоянные коэффициенты, такие что с—& (при этом Т*(х) € К для любо го х € Кп).

Пусть далее 1 < р < го. Снабдим линейное пространство М* нормой

= с&

I/ 11ЬР = II/ 1кр(д(0,п)) <

,

где ф(х,г) = {у € Кп : |х, — у1 < г,] = 1,... ,п}. Обозначим получившеенся нормированное пространство через

В книге [36] доказаны следующие неравенства для тригонометрических многочленов Т* € М*,р = М* П (£р)*.

1. (Неравенство Бернштейна) Пусть 1 < р < го, тогда для любых тригонометрических многочленов Т* € М*,р выполняется неравенство

дТ*

дх.

<м1ТИЬ„, ] = 1,...,п.

(4)

2. (Неравенство разных метрик) Пусть 1 < р < д < го, тогда для любых тригонометрических многочленов Т* € М* р выполняется неравенство

1Т*|Ь < зпИР—1) ИТ,

(5)

3. (Неравенство разных измерений) Пусть 1 < р < го , 1 < ш<п, х = (и, у), и = (ж1,...,жт) € Кт, V = (хт+1,..., хп) € Кп—т, тогда для любоых тригонометрических многочленов Т* € М*р выполняется неравенство

1Т*(и,у)||Ьс

)

< 3п—>■

|Т(

(6)

Ьр

в частности,

п

\Т*(и, 0)|Ь„ < зп—>п

|Т(

(7)

*

*

Неравенства (5) - (7) были доказаны в книге [36] с помощью эквивалентной нормы ((Т*))*ь , определяемой следующим образом: пусть

2п

1 < р <то, хк. = кг—^ Е М, кг Е 1,... ,N,1 = 1,... ,п

п N N ■ 1

((T,))ip — m^iCNn) Е• • • Е -щ,...,хкп -un)f У

Неравенства (5) - (7) можно также доказать, используя предствления тригонометрических многочленов в виде свертки его с некоторым ядром, см., например, книгу [21], где используется представление в виде свертки с ядром Валле-Пуссенна V*:

Ти = V* * Т*.

Пусть 1 < р, в < то, I Е N Говорят, что функция / принадлежит простран-

ству Соболева Wlp (Rn), тел и f измерима на Rn и

\f Wwre (Rn) — ||f\\bp(Rn) + ||f llwp (Rn) < ж

где

Ifll WLp(Rn)

\J (Rn) —

pn

1 \h\

h=0,heRn |h|

и

Ahf — f (x + h) - f (x),

Af — Ah(Al-1f), Ahf — f, Ahf — Ah f.

Приведение выше неравенства (1), (2),(3),(4),(5) и (6) играют важную роль при изучении так называемых пространств Никольского-Бесова.

Пусть 1 < p, в < ж, а Е N, а > r > 0. Говорят, что функция f принадлежит пространству Никольского-Бесова Бгрв (Rn), тел и f измерима на Rn

и

\/(Мп) = |/УЬр(Мп) + |/11(Мп) < гo,

где

и,,, _([(ида/ 11ьР(к~) ^ ¿н л * ||/к*^ = ^ ^ ;

В частности, говорят что функция принадлежит пространству Никольского / € Нр (Кп), если / измерима на Кп и

||/У я;(Кп) = ||/||ьр(мп) + ||/У^рДМ") < гo,

где

т, ||Да/|Ь;(М")

\/ = эир -

/ , |Н|Г

Пространства Никольского-Бесова (Кп), ПРИ в = го были введены С.М. Никольским, а при в < го О.В. Бесовым. Теория этих пространств подобно изложена в книгах [24] и [36]. Пространства Вр е(Кп) характеризуются парамет-рв

имеют прямую связь с пространствами Соболева, а именно, при р = 2, в = 2 и I € N пространства Никольского-Бесова В22(Кп) совпадают с пространств Соболева W2(Кп). В общем случае 1 < р, в < го

в1рА (Кп) С wp(Кп) С вр,,2 (Кп),

где в1 = тт{р, 2}, в2 = тах{р, 2} причем прп р = 2 включения строгие. Кроме того, для любого £ > 0

Вр+1 (Кп) С Wlp(Кп) С (Кп),

в частности,

яр+е(кп) с wp(Кп) С яр(Кп).

По сравнению с пространством Соболева, пространства Никольского-Бесова предоставляют более тонкую основу для анализа функций с различными степенями гладкости. Ключевой особенностью пространств Цр0(Кп) является тот факт, что они могут быть определены с помощью нескольких эквивалентных норм (см, например [36]). Одна из таких норм определяется с помощью наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.

Обозначим через Е1У (/)ь (К„) наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа:

Е№кр(М") - II^ - ^ 1кр(М").

Пусть 1 < р, в < то, г > 0. Говорят, что функция принадлежит пространству Никольского-Бесова / Е Б7р0(Кп), если для некоторого а > 1

(ю \ 1/°

Е аГ°'Еа(f )bp(Rn) ) < ю

s=0 '

Обозначим через gas

целую функцию экспоненциального типа as такую, что ||f - gas II < 2Eas (f )¿p(Rn), s = 0,1,...

и положим

Qa0 = 9a°, Qas = 9aS - Qas- , S = 0, 1,----

Еще одна эквивалентная норма имеет следующий вид.

Пусть 1 < p, в < ю, r > 0. Говорят, что функция принадлежит пространству Никольского-Бесова f Е BP ° (Rn), если для некото poro а > 1

(ю \ 1/°

аГ°3 11 Qas 11 Lp(Rn) j < ю, (8)

s=0 '

f

ю

f = Y Q-s (x), x Е Rn, (9)

члены которого целые функции экспоненциального типаав, а инфимум берется по всем разложениям (9).

В периодическом случае аналогом этого определения является следующие определение.

Пусть 1 < p, в < то, r > 0. Говорят, что функция принадлежит периодическому пространству Никольского-Бесова )*(Rn) если

/ то .1/0

fПЬ;,в = inf( ЕHT2kIILJ , (Ю)

где / представпма в виде ряда

то

/ = ^Т2к(х), х е (И)

к=0

члены которого тригонометрические многочлены порядка не выше2к, а инфимум берется по всем разложениям (11).

Двумя важными результатами теории пространства Никольского-Бесова являются теорема вложения и теорема о следах.

Пусть , ^2- нормированные пространства. Говорят, что ^ непрерывно вложено в ^2(кратко ^ ^2), если С и существует с > 0 такое, что

1к < с11/,

для всех / е ^1.

Теорема вложения разных метрик для пространствах Никольского-Бесова имеет следующий вид:

^ Кв(®"),

где

(1 1

1 < p < q < то, 1 < в < то, r' = r — n(---) > 0,

Vp q,

и

то есть, ВРв(Кп) С Вгв(Кп) и существует с > 0 такое, что

/(К™) < с||/

г ./В"

Б^д (К™ ) < С|/ 1 1 (

для любых / е ВрГв(Кп).

Прямая теорема о следах (теорема вложения разных измерений) описывает поведение функций из пространств Никольского-Бесова при их сужении на подпространства меньшей размерности.

Пусть / е Ь1°С(КП) и д е Ь1°с(Кт). Функция д называется следом функции /, если существует функция эквивалентная £ на Кп, такая, что V) сходится к д(-) в Ь1°с(Кт), при V стремягцемся к 0.

Теорема о следах для пространствах Никольского-Бесова устанавливает связь между функцией / е В; в(Кп), заданной на п-мерном пространстве, и ее следом па т-мерном прострапстве Кт,

В,в(Кп) ^ В;*(Кт), (12)

где

„ . . п — т

1 < Р, # < то, 1 < т<п, г = г--> 0.

Р

Утверждается, что если г — > 0, то функц ия / е В;* (Кп) имеет след

п-т

/ |кт па Кт, принадлежащий пространству Р (Кт) и выполняется неравенство

|кт ||Бг-^ (Кт) < с||/||БР,д (К™),

> 0 /

В в обратима, то есть справедлива обратная теоремао следах

ВР'в(Кт) ^ В;,*(Кп), (13)

что означает, что для любой функции f Е BP е (Rm) существует функция F Е

BP е(Rn) такое, что F|Rm = f, причем

\\врв(Мп) < с\\!\\врв(М-),

где с > 0 те зависит от /. Теоремы (12) и (13) дают полное описание пространства следов на Мт функций го пространства Вр е(Мп), то есть

Для пространства (Вр 0)*(МП) справедливы теоремы, аналогичные теоремам (12) и (13).

В результате изучения этих пространств О.В. Бесовым было доказано, что пространства Никольского-Бесова являются следами пространств Соболева, то есть если / принадлежит пространству Соболева Wlp(Мп), то существует след

1_п—т

д в Врр р (Мт), а также обратная теорема о следах (теорема о продолжении),

I_п—т

д Вр р р (Мт)

/в Wlp (Мп), такая, ч то /\М- — д, то есть

I_п—т

ТгКтwp(Мп) — {/\мт : / Е wp(Мп)} — Вр-р р (Мт).

Пусть 0 < p <тои 0 < Л < n, тогда f Е Mp(Rn), если

f Е LPoc(Rn)

и

—А

llf wmNR") = Г ||f\\Lp(B(x,r)) <

p xEl" r>0

Предположение 0 < Л < Ip) связано с тем. что при Л < 0 и при Л > ^ эти пространства тривиальны, то есть состоят только из функций, эквивалентых

rP0(Rn) = Lp(

Lp(Rn) <£ MA(Rn) t Lp(Rn),

нулю на Rn. Очевидно, что MP0(Rn) = LP(Rn). Если 0 < Л < то

поэтому наряду с пространствами МЛ(К") полезно рассмотрение пространств

М(К") = МЛ(К") П ¿;(К").

Подробное изложение свойств этих пространств будет дано в следующей главе. Пространства МЛ(КП), называемые теперь пространствами Морри были в первые расмотрены Чарльз Морри [13] в 1938 году в связы с исследованием регулярность решений дифференцальных уравнений с частными производными. Их периодический аналог был рассмотрен в [26].

Интерес к этим пространствам возрос, когда он установил следующую теперь хорошо известную лемму.

Лемма Морри. Пусть функция м е £р(К"), Ум е М^К"), где " — 1 < Л < ". Тогда функция и эквивалентно функции М е Са(К") с показателем а = 1 — Л;, где Са(К") пространство Гёльдера, т.е. существует с > 0 такое, что Уж, у е К"

|М(ж) — М(у)| < с|ж — у|а.

В последнее время большое внимание уделяется изучению более общих пространств Никольского-Бесова-Морри, получаемых, если в определении пространств Никольского-Бесова базовое пространство (К") заменено на пространство Морри М^(К"). Подробное изложение результатов полученных к настоящему времени для этих пространств можно найти в обзорных статьях [3], [4], [8], [10],[15], [19], [20]. При этом пространства Никольского-Бесова-Морри строились с использованием различных эквивалентных норм в пространствах Никольского-Бесова.

Данная работа посвящена исследованию интегральных неравенств в пространствах Морри для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов их приложениям к пространству Никольского-Бесова.

Степень ее разработанности.

Обеспечивается строгостью приведенных доказательств, выступлениями на научных семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Цели и задачи.

Целью настоящей диссертации является доказательство аналогов неравенств Бернштейна, неравенства разных метрик и неравенства разных измерений для пространств Морри (гл. 1), аналогов неравенств Бернштейна, неравенства разных метрик и неравенства разных измерений для периодических пространств Морри (гл. 2) и доказательство теоремы вложения и теорем о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри, построенных, исходя из определения нормы (8) в непериодическом случае (гл. 3) и построенных исходя из определения нормы (10) периодическом случае (гл. 4).

Научная новизна.

В данной работе

1) получены интегральные неравенства для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов для пространств Морри, включая аналоги неравенств Бернштейна, неравенства разных метрик и неравенства разных измерений.

2) на основе применения доказанных неравенств установлены теоремы вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри и их периодических аналогов.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты работы носят теоретический характер. Полученные результаты:

Интегральные неравенства для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов в пространствах Морри и теоремы вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри и их аналоги для периодических пространств Никольского-Бесова-Морри могут найти применение в задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Методология и методы исследования.

Исследования основываются на общих методах функционального анализа и на методах, используемых в теоремы приближений с помощью целых функций экспоненциального типа и их периодических аналогов тригонометрических многочленов. Эти методы надлежащим образом модифицируются и развиваются так, чтобы их можно было применить к рассматриваемым в диссертационной работе для пространств Морри.

Положения, выносимые на защиту

1. Установлены неравенства Верши! ей ни в пространствах Морри для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов.

2. Установлены неравенства разных метрик в пространствах Морри для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов.

3. Установлены неравенства разных измерений в пространствах Морри для целых функций экспоненциального типа и тригонометрических многочленов.

4. Установлены теоремы вложения для пространства Никольского-Бесова-Морри и их периодические аналоги.

5. Установлены теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри и их периодические аналоги.

Степень достоверности

Достоверность полученних результатов обеспечивается строгостью проведенных доказательств, выступлениями на научных семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация результатов

Результаты, полученные в рамках работы над диссертацией, неоднократно излагались на научном семинаре Математического института РУДН по функциональному анализу и его приложениям под руководством профессоров В. И. Буренкова и М.Л. Гольдмана; на научном семинаре Математического института РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского; на научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова (семинар Никольского, руководитель член-корреспондент РАН О.В. Бесов); на научно-исследовательском семинаре по математическому анализу в МГУ им. М. В. Ломоносова, факультет ВМК, под руководством профессоров Г.Г. Брайчева, И.В. Тихонова и В.Б. Шерстюкова; на семинаре «Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления: теория и приложения» МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет под руководством профессоров A.B. Горшкова, М.И. Зеликина, В.Ю. Протасова, В.М. Тихомирова и A.B. Фурсикова; на научном семинаре кафедры «Дифференциальных и интегральных уравнений ЮФУ» под руководством доцента О.Г. Авсянкина.

Полученные результаты представлялись и обсуждались на следующих научных конференциях: Воронежская Зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (28 января 2023 г.), конференция «Владикавказской молодежной математической школы» (22-25 мая 2023 г.), конференция по теории функций многих действительных переменных, посвященная 90-летию со дня рождения чл.- корр. РАН О. В. Бесова, в Математическом институте им. В.А Стеклова (29 мая 2023 г.).

Основные определения и результаты. Глава 1 состоит из четырех параграфов.

Основными результатами первой главы являются теоремы 1,3,4 и 5. В параграфе 1.1 даются необходимые обозначения и определения.

Определение 1. Пусть 0 < р < <ж и 0 < Л < ^, тогда / е Мр (Мп), если

/ е Ь1р°с(Мп)

и

У/|М(МП) = йир вир Г-Л||/1\ьр(Б(х,т)) < р хеМ" г>0

В параграфе 1.2 получено неравенство Бернштейна для целых функций экспоненциального типа V для пространств Морри.

Теорема 1. Пусть Z (Мп) - нормированное пространств о функций / : Мп ^ С, причем норма || • ||z(М") инвариантна относительно сдвига: для любой функции / е Z(Мп)

||/(х + (М") = ||/Ь(М") ^ е Мп.

Тогда, для любой функции, д е Е„(Мп) П Z(Мп)

дд

дхj

< V||д(х)|^(М"), 3 = 1,...,п.

)

Следствие 1. Пусть 1 < р < ж , 0 < Л < п, тогда

Уд е Е(Кп) П МрЛ(Кп)

дд

дхj

< VЦдУм^(мп), з = 1,...,п.

.....п

ЫМШп) Р

р '

Л/ттрпА „.„ лТЛ/тгрп

Это неравенство также имеет место, если заменить ЫрЛ(М.п) на МрдКп).

В параграфе 1.3 даются необходимые определения и получены неравенства разных метрик для целых функций экспоненциального типа V для пространства Морри.

Определение 2. Пусть функции /, д е Ь1(Шп), тогда сверткой называется функция / * д : Кп ^ Кп7 определенная равенством

(/ * д)(г) = / /(г - т)д(Т)йт, г е кп.

п

,/М'

Лемма 1. Пусть 1 < р < д < 1 +1 = 1,/ е Ьд/(Кп) м д е М^р(Кп). Тогда для любых х,у е Кп

|(/ *д)(х) - (/ *д)(у)| < М||/\\ьч,(мп)УдУьр(мп)|х - у|,

где М = 2п^1+1 -р.

Определение 3. Преобразование Фурье функции / е Ь1(Шп) задаётся следующей формулой:

(Р/)(£) = (^Лр I /(х)е~^х(1х, £ е Кп, (14)

мп

е • х <>1Х1 + • • • + ^пхп.

Определение 4. Если, / е ¿р(Кп), где 1 < р < 2, то преобразование Фурье задается равенством

(р/)(е)= 11ш (Р(/ХВ(о,г)))(£) ¿р(®п),

Г—т>00

где р = р—1 (р + р = 1)- (Это равенство справедливо и при р—1 для преобразования Фурье Е/ . задаваемого равенством (14).)

Замечание 1. Пусть сначала Д„ = {|х^| < V, 3 = 1,... ,п}. Напомним, что для ф, д е Ь1(Мп)

(Е(Ф * д))(£) = (2п)"(Еф)(£)(Ед)(£), £ е Мп. (15)

Из (15) сразу следует, что если, (Еф)(£) = (2п)-" для любого £ е вирр Ед, то

Е(ф * д) = рд и

д(х) = (ф * д)(х) (16)

для почти всех х е Мп. Если ф е Ь1(Мп),д е М^д(Мп) м (Еф)(£) = (2п)-2 для любых £ е Д„, то обе фун,кции д и, согласно лемме 1с / = ф, р = 17 д = ж7 свертка ф * д непрерывны, на Мп7 поэтому равенство (16) имеет место для х е Мп.

Определение 5. Пусть 1 < р < ж, V > 0. Будем говорить, что ф е Jv,p(Мn)7 если ф е Ер(Мп) и преобразование Фурье Еф, понимаемое, вообще говоря, в смысле теории, обобщенных функций из пространства 5"(Мп)7 равно (2п)-2 на Ди.

Теорема 2. Пусть 1 < р < ж7 ф е Jv,p'(Мп)7 д е М^р(Мп). Тогда, равенство (16) справедливо для всех х е Мп.

Теорема 3. Пусть 1 < р<д<оо, 1 + 1 = 1 + 1, 0< Л < п, тогда

¡г а — г — 1 — 7 д г р' — — р '

Р 1 — Р

дКЛти, < су'пР 9)||д^тм^Ыьр^")

п( Р -1) || 119 ,, ||- 9

м < с^' Кр оЛ1 9 11

V (М")

для любых V > 0 и д е Е„(Мп) П Мр(Мп), где

с = с(п,р, д) = т£ ЦфЦъ(М"),

(М") г ( )

в предположении, что с < ж.

Следствие 2. В предположениях теоремы 3

НдУ^, , < ^п(Р 1 )|д\^л(мп)

Мд9 (Мп) мр (М )

(?ЛЛ любых V > 0 м д е Е(Мп) П Мр(Мп).

3

• г. , 1 1 1 2р

1 < р < ш1п{2, д}---> - ^^ д >

р д 2 2 — р'

то

1 п 11

^(г') ^Ч 2 / V\п( р —1) Р 1 — Р

"ГТ/ Ы р 9 ||д||М^|д|к(Мп)

и

1 п. 11

(г')ГЛ 2 (V\п(р—1)

< —~ (") ||д||МЛ(мп), Мд9 (Мп) \ г 1 / ^п/ Мр(М )

е частности, при, д = оо, для любых 1 < р < 2 м д е (Мп)

1 . п

рР Р

р = 2 р = 1

||д|ито(Мп) < ( ——X М" ) |д|Ьр(Мп); \(р') р'

|д|Ьто(Мп) < ||д|^2(Мп),

( V \ п

|д|Ьто(Мп) < [л) |д|^1(Мп).

Замечание 2. (Неулучшаемость показ а,теля, ^ Л в неравенстве разных метрик) Предположим, что для не которых д > 0 и с > 07 для любых V > 0 и д е Е(Мп) П МЛ(Мп) выполнятся неравенство

(1-1) £ 1—Е ) < ^п(Р 9)|д|Мгл(мп)Уд^(Мп).

Тогда д = Лр.

В параграфе 1.4 даются необходимые обозначения и определения и получены неравенства разных измерений для целых функций экспоненциального типа V дЛЯ пространств Морри.

Определение 6. Пусть

0 <р1,р2 < ж, т1,т2 е М, 0 < Л1 < —, 0 < Л2 < —.

р1 р2

Определим пространство

М^ (Мт1) х М^ (Мт2)

со смешанной квазинорм,ой как множество всех измеримых на Мт1+т2 функ-/

||/ ^Ир1 (Мт1) х Мр22 (Мт2) = ||||/ (и1,и2)|МрЛ11,„1 (Мт1) |МрЛ22,„2 (Мт2) < ж.

Аналогично определяются пространства

МЛ1 (Мт1) х МЛ2 (Мт2). Теорема 4. Пусть 1 < р < ж, т,п е М, т < п, 0 < Л < п, тогда

.. .. _ _ "—т ,,

^^^"^хИ^М™) < 2 р ||g||Lp(М"-m)хИpЛ(Мm),

в частности, если х = (и, V), и = (х1... хт), V = (хт+1,... , хп), то

Уд(u, 0)||МрЛ(Мт) < 2n-mV Р ^ |ир(М"-т)хИрЛ(Мт)

для любых д е Е^(Мп-т) П (Ьр(Мп-т) х М*(Мт)); и, существует такое с4 = с4(т, п, Л) > 07 что

II II "-т , Лт || ||

||д||Ьто(М"-т)хИ.Л(Мт) < C4V Р max{1,V }|д|И.Л(М"),

в частности,

v)

II / N11 п—т л

УдК0)|МгЛ(Мт) < C4V Р шax{1,v ||д|Мл(Мп) для любых V > 0 и д е Е(Мп) П Мр(Мп).

Теорема 5. Пусть 1 < р < о, т,п е М, т < п, 0 < Л < п, тогда существует с5 = с5(т,п) > 0 и ¿лл любой функции д е Е(Мт) П Мр(Мт) существует функция О е Е(Мп) П Мр(Мп) такая, что О(и, 0) = д(и) для любых и е Мт,

_п—т

||о|ьр(мп—т)хмрл(мт) < с5V Р ||д||мрл(мт)

для любых д е М^(Мт) и

¿лл любых g G Mp(Rm).

Глава 2 состоит из четырех параграфов.

Основными результатами второй главы являются теоремы 6,8,9, 10 и 11. В параграфе 2.1 даются необходимые обозначения и определения.

Определение 7. Пусть 0 < p — ж и 0 — Л — p, тогда функция, f G (Mp)*, если она имеет период 2п7 измерима по лебегу на Rn и

||f IIM^ = SUP SUP r-AHf iil(Q(x,r)) < ж

p xGQ(0,n) 0<r—n

В параграфе 2.2 получено неравенство Бернштейна для тригонометрических многочленов для периодических пространств Морри.

Теорема 6. Пусть Z* — нормированное пространство периодических функций, периода по каждой переменной, причем норма || • ||Z инвариантна относительно сдвига, т.е. для любой функции f G Z*

||f(x + h)||Z = ||f ||Z Vh G

Тогда для любых тригонометрических многочленов Т* Е Z* порядка ц Е N по каждой переменной

0X4

< м1№, 3 = !,...,п.

Z

Следствие 4. Пусть 1 < р < о 7 0 < Л < п , Т* Е (М3)*7 тогда имеет место

неравенство

ОТ, дх4

< мКУМ*, 3 = 1,...,п.

В параграфе 2.3 даются необходимые определения и получены неравенства разных метрик для тригонометрических многочленов для периодических пространств Морри с помощью эквивалентных норм и представления в виде сверток.

Определение 8. Пусть 1 < р < оо, 0 < Л < п7 Е N, Т* Е М и

((Т*))МЛ = яиР яиР г

хЕд(0,п) 0<Г<П

- N

^ 1

^ 1

Е ••• Е

к =—N к„=- N

(Г Г

х1 + N^1,... ,хп + Nkn

_р\ 1/р

Теорема 7. Пусть 1 < р < о п,ц,Ы Е N, 0 < Л < ^, Т* Е тогда имеет место неравенство

п

\ТЛ*м£ < ((Ти))Мр\ < (1 + .

Теорема 8. Пусть 1 < р < д < о п(1 - 1) < Л < п, Т* Е М*. Тогда

р ' * 4— * ■

\ГТ1 I I *

1 _ 1) < (1+ п)пцп(р-?)|Т*

*нмрл.

Лемма 2. Пусть п Е N, ц Е N ф Е Ь1(^(0,п)) — 2п-периодическая функция по каждой переменной. Для того, чтобы для любого тригонометрического

*

п

многочлена ТМ порядка, не превышающего д по каждой переменной, выполня-

лось равенство

Тм = ф * Т„

(17)

необходимо и достаточно, чтобы

с^ (ф) = (2п)—п Ук е Жп : | < д, ; = 1,...,п.

Замечание 3. Если, ф - тригонометрический многочлен порядка, д по каждой переменной, то равенство (17) выполняется для любых тригонометрических многочленов ТМ порядка, не превышающего д по каждой переменной тогда и только тогда, теогс^а

1

ф(х) = 721> £

1

П£

1

п

п

(2п)п ^ (2п)п

Х = ^пП ^(Х ) = П^ ).

з=1 з=1

Определение 9. Пусть д, V е N и V > д. Ядро Балле Пуссена определяется

следующим образом

в частности,

Положим

V-1

^(х) = (V — д)-1^ А(Х),

/=М

^м(х) = д > 1, Шо(ж) = 1.

тогда

V- 1

^(х) = дм(х) + ^ (х)

V — д

/=М+1

Теорема 9. Пусть 1 < г,р<д < о п, д е N 0 < Л < п, 1 + 1 = 1 + 1. Тогда

ТмГ рл < с(|Тм|Мл)9(|ТмУЬр)

М99

9 III / ,,11 г I1 9

25

< спА(1—р)«Т*|М,л

для любого Т" Е (М^)*, где

с = с(п,ц,г) = т| нфуЬг.

Следствие 5. Пусть 1 < р < д < о, п,ц Е N 0 < Л < р. Есл,и ф = V*(х), Т* Е (МрА)*, тогда

* / —1)пцп( 1—1 )пА(1—р)(|т II*Лр(|Т..II** )1—р

< (3(2п)?—1)пцп( 1—1 )пА(1—р)(|Т*|Мгл)р(|Т*|Ьв)] < (3(2п)1—1)ппА(1—р)цп(р—1)||Т*|Мл.

Следствие 6. Пусть 1 < р < д < о, п,ц Е N п( 1 — 1) < Л < ^ Если

А

Т* Е (МА) *, тогда

* л_„(1 _ 1) < п*—А+п(р—1 >||Т"|Г лр < (3(2п)р—1)пп<1—1 »<А"—п»цп<1—1 >||Т*||МлЛ.

мч р а мчч р

Следствие 7. Если 1 < р < 2, д > то для любого Т" Е (М^)*

1|т*||* рл < (Щ+1)п(р ''(НТ^нмл)а (|Т*Ир)1—р,

мач \ 2п I р

1а

в частности, для 0 < Л < |

< (2ц+1)2 (И1* пмл пт^пь, )1

и при, Л = 0, д = 2 и р =1

п

ит*иь2 < 2 пт"11ь1

а при Л = 0, д = о, р = 2

)

"ИЬ«> < I I ИТ"ИЬ2.

2

В последнем неравенстве постояная точная, равенство достигается для

ад = пп=1 я м(х/).

В параграфе 2.4 даются необходимые обозначения и определения и получены неравенства разных измерений для тригонометрических многочленов для периодических пространств Морри.

Определение 10. Пусть

0 <р1,р2 < о, т1,т2 е М, 0 < Л1 < —, 0 < Л2 < —.

р1 р2

Определим пространство

(М^1 )*(К)т1 х (М^2)*(Мт2)

со смешанной квазинорм,ой как множество всех измеримых по Лебегу на Кт1+т2 функций для которых

I Тм 11 МЛ1 (Мт1 ) х МЛ2 (Мт2 ) | ^ Тм (и1 , и2 ) У МД1,„1 ^ МрЛ22„2

вир вир р-Л21| вир вир г-Л1

уед(0,п)(мт2) о<р<п жед(о,п)(мт1) о<г<п

Тм(и1, и2)|Ьр1,„1 (д(х,г))|Ьр2,„2(д(х,г)) <

Лемма 3. Пусть 0 < р < о, ть т2 е М, 0 < Л1 < т, 0 < Л2 < т. Тогда

(МЛ1 )*(мт1) х (мл2)*(мт2) с (мл1+л2)*(мт1+т2),

причем

IТ 11 * ^ 11Т

м||Мр1+Л2(Мт1+т2) < || ^Мр1 (Мт1 )хМ*2(Мт2)

для любых / е М„Л1 (Кт1) х МЛ2 (Кт2).

Теорема 10. Пусть 1 < р < то, т,п е М, т < п, 0 < Л < п, тогда

р

нт н* < зп-шп""р^нт н*

Теорема 11. Пусть 1 < р < то, 1 < 0 < то, д,т,п е М, т < п, 0 < Л < ^, тогда для любого е (Мр)*(Кт) существует Тм е (Мр)*(Мп) такое что Тм(и, 0) = Тм(и) для любых и е Кт м

Основные результаты опубликованы в работах [7] и [29]. Глава 3 состоит из четырех параграфов.

Основными результатами третьей главы являются теоремы 12-14. В параграфе 3.1 даются необходимые обозначения и определения.

Определение 11. Пусть 1 < р, 0 < то, г > 0, 0 < Л < р. Будем говорить, что функция принадлежит, пространству Никольского-Бесова-Морри / е В(Мр(Мп))7 если для некоторого а > 1

/ то .1/0

I/II ЙГ(М*(К")) = ^ ( ^^ а < то,

^ в=0 р

(М*(К")) 1111 \ ^ " ^а ||М^(М")

/

то

/ = ^ За- (х), X е (18)

в=0

члены которого целые функции, экспоненциального типа аа, то ееть ^^ е (Кп) П Мр(Мп)7 а инфимум берется по всем разложениям (18).

В параграфе 3.2 доказана теорема вложения для пространств Никольского-Бесова-Морри.

Теорема 12. Пусть 1 < р < д < о, 1 < в < о, г > 0, 0 < Л < ^ и

(1 1А

г = г — п---> 0.

рд

Тогда

-.рл

Б?(МА(Кп)) ^ Бгв (Мча (Кп)).

В параграфе 3.3 доказана прямая теорема о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри.

Теорема 13. Пусть 1 < р < о 1 < т <п, и г' = г — > 0. Тогда, имеет место вложение

Бгв(£;(Кп—т) х мА(Кт)) ^ Бгв (£о(Кп—т) х МА(Кт)),

в част,ноет,и,,

Бгв(ь;(кп—т) х м;(кт)) ^ б^ (м;(кт)), (19)

В параграфе 3.4 доказана обратная теорема о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри.

Теорема 14. Пусть 1 < р,в < о п,т Е N т < п, 0 < Л < у,

г' = г — > 0. Тогда

р

бГ (МрА(кт)) ^ щ (мрА(мп))

и

Бгв (ЙА(Кт)) ^ Бв(Ь;(Кп—т) х МА(Кт)). (20)

Замечание 4. Яз прямой теоремы, о следах (19) и обратной теоремы, о следах (20) следует утверждение об полном описании пространства следов на Кт функций из пространства Бгв(Ьр(Кп—т) х М^К™-)).

Теорема 15. Пусть 1 < р,9 < ж7 п,т е М, т < п, г > ^р^,

0 < Л < т Тогда

— — р

ТгжтВ(Тр(Мп"т) х ))) = {/|кт : / е ВГ(Тр(Мп"т) х МА(Мт))}

= вг' (М(мт)).

Глава 4 состоит из четырех параграфов.

Основными результатами четвертой главы являются теоремы 16 - 18. В параграфе 4.1 даются необходимые обозначения и определения.

Определение 12. Пусть 1 < р,в < ж, г > 0, 0 < Л < р. Будем говорите, что функция / принадлежит, периодическому пространству Никольского-

ъ ((М

для которой

Бесова-Морри Вгв ((М„Л)*(МП))7 если / — 2п-периодическая измеримая функция,

, 1/0

I/ = И Е^(ут2к||Мл)0) < ж,

4 к=0 7

где / представима в виде ряда

ж

/ = ^Т2к(ж), х е Мп, (21)

к=0

члены которого тригонометрические многочлены порядка не выше 2к7 а ин-фимум берется по всем разложениям (21).

В параграфе 4.2 доказана теорема вложения для периодических пространств Никольского-Бесова-Морри.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джосеф Дарил Джеймс, 2025 год

Е - Е

к1 =—Ж кп=- Ж

гг Т, I х1 + ^к1,..., хп + N

<7\ 1/«

^ -(Л-п(1-1 )и г N 1

— ¡ир ¡ир г к ^Р

Х€д(0,п) 0<г—п

Ж-1

Е

к1=—Ж

Ж—1

Е

к„ = —Ж

(г г

х1 + ^к1, . . . , хп + ^кп

р\ 1/р

¡ир ¡ир г

Х€д(0,п) 0<г—п

— (Л—п( Р — 1))

п_п

1_1 ^ / г \ 1 р { { г

Р 9'

(г г

х1 + ^к1, . . . , хп + ^кп

Ж-1 Ж-1

Е - 11

к1=—Ж кп=—Ж р\ 1/р

пп

= N п—п — -----■Л

¡ир ¡ир г

Х€д(0,п) 0<г—п

г

N

Ж—1 Ж—1

I ■■■ Е

к1 =—Ж кп = —Ж

р

1

п

гг ( х1 + ^к1, . . . , хп + ^кп

р\ 1/р

1 = АТ п( 1 — 1)

= Nп( р—1 )((Тм))Мрл№.

□

Теорема 2.3. Пусть 1 — р — д — то п(р — 1) — Л — ^, Т, Е Тогда

||Тл.НМл-п( р -1) — (1+ п)прп( 1—1 ^ВДМ*. (2.12)

м9

Доказательство. Для любого N Е N

там-п(1 -1) — ((^м^1 - * — р—1 ^»Ми

— Nп( р—1 )(1 + ^рЛИМл

^ I ^мим^

п(1 — Р)

9Р

— ( £ 1 Р (1 + ^р)прп(Р — 1 )|Т,

Полагая здесь N = р, получим неравенство (2.12). □

Рассмотрим свёртку функций ф,д Е Ь1(^(0,п)), 2п-периодических по каждой переменной

(ф * д)(х) = ф(х — У)дЫ^ х Е Мп.

^д(0,п)

Определение 2.3. Коэффициент Фурье функции ф Е Ь1(Мп) задаётся следующей формулой:

Ск(ф) = (2^ / ф(х)б—гк'Х^х, к Е Жп, д(0,п)

к * х == к1х1 + * * * + кпхп. Напомним, что Vk Е Жп

Ск(ф * д) = (2п)пСк(ф)ск(д). (2.13)

Если Ск(ф) = (2п)-п для к Е Жп, для шторых Ск($) = 0, то

СкЫ = Ск(ф *

Лемма 2.5. Пусть —,д Е ^ ф Е (ф(0,п)) - 2п-периодическая функция по каждой переменной. Для того, чтобы для любого тригонометрического многочлена Тм порядка, не превышающего д по каждой переменной, выполнялось равенство

= ф * Тм, (2.14)

необходимо и достаточно, чтобы

Ск(ф) = (2п)-п Ук Е Жп : |к| < д, з = 1,•••,—• (2.15)

Доказательство. Необходимость, Пусть равенство (2.14) выполняется для любых тригонометрических многочленов Тм порядка, не превышающего д по каждой переменной. Согласно (2.13)

(2п )ск (ф)ск (Тм) = Ск (Тм)

для любых к Е Жп таких, что | к^ | < д, з = 1, • • •, —. Для каждого такого к существует тригонометрический многочлен Тм порядка, не превышающего д по каждой переменной, для которого Ск(Тм) = 0, откуда следует, что выполняется равенство (2.15).

Достаточность. Пусть выполняется равенство (2.15) для любых тригонометрических многочленов Тм порядка, те превышающего д по каждой переменной:

ЗД= I Ск= I Ск(Тм)е^

Тогда

м(Х) =2^ Ске = Ск(тм)е

.7=:,...,п ^'=:,...,п

(ф * тм)(х)= I Ск(ТДф * егк-)(х)

Е Ск(Т,)( / ф(х — «)бгк^#

к К, 3=1,...,п

Е Ск(Т,// ф(х — «)б!к-<Х-

б«к-ж

к- К, ^(0'П)

3=1,...,п

„гк-у . \ „гк-ж

Е Ск(Т,)( / ф(у)бгк'у¿у)бг

к к, з=1,...,п

Е Ск(Т,)(2п)пСк(ф)бгк'Х 3=1,...,п

Е Ск(Т,)бгк-Х = (Т,)(х). з=1,...,п

Определение 2.4. (Ядро Дирихле) Для р Е N

гл / ч 1 ^ гкж 1 V ^ / 7 \ ¡т(р + 1 )х £,(х) = - > бгкХ = - + > ео^кх) = ———, м ; 2 ^ 2 ^ у ' 2 ¡1пх

к=—, к=1 2

Д«(х) = 1 Д,(х).

Отметим, "¿то

и

□

Из неравенств (2.16) и (2.17) следует, что для любых 2 — р — то

ЦДЛр — — Р (2.18)

так как согласно интерполяционному неравеству для лебеговых пространств

2 1_ 2 ||бЛ, — (|№)'(||^5Р

Частным случаем равенства (2.14) является хорошо известное равенство

ТДж) = 3Дх) * ТДж)

Замечание 2.1. Если ф - тригонометрический многочлен порядка, д по дой переменной, то равенство (2.14) выполняется для любых тригонометрических многочленов Т^ порядка, не превышающего д по каждой переменной, тогда и только тогда, когда

п 1 п п

ф(ж) = (2П)п I е'к'Х = (2П)п П I е!к'Х = - П ) = П )•

У 7 |кд |<м У 7 =1 к |<м ¿=1 ¿=1

Замечание 2.2. Пусть для а,— Е N

Д«(3) = {к Е Жп, |к^| < а}

и

Да = Д«(1) X • • • X Д«(—)•

Если ф - тригонометрический многочлен порядка V > д по каждой переменной, то равенство (2.14) выпольняется для любых тригонометрических многочленов Тм порядка, не превышающего д по каждой переменной, тогда и только тогда, когда

ф(ж) = Скегк- = -П- ^2 екх + ^2 Ске*к х

к€Д^ ( ) к€Дм кеДДДм

= П )+ £ Ск е*- • (2.19)

¿=1 кЕД^ \ДМ

В частности, при — = 1 ф(ж) = (ж) + ( 1 + ^к=^+1) Скегк^ )

Определение 2.5. Пусть для р £ N, Обозначим через J* множество всех 2п-периодических функций ф £ Li(Q(0,n)); удовлетворяющих условию (2.15) (следовательно, имеющих вид (2.19) для некоторого v £ N, v > р).

Согласно лемме 2.5 для таких функии ф справедлива равенство (2.14).

Определение 2.6. ^сж. [21]j Пусть р, v £ N и v > р. Ядро Балле Пуссена определяется следующим образом

V-1

(x) = (v - р)-1 Е Di(x),

б частности,

V(x) = VM,2M(x), р > 1, Vo(x) = 1. Замечание 2.3. Длл v > р представим ядро Дирихле в виде

DV (x) = 1 + cos x + • • • + cos рх + (cos^ + 1)x + • • • + cos vx) 2

где

= DM (x) + Dm,v (x),

V

DM,V(x) = ^^ cos /x.

l=M+1

Тогда

V- 1 V-1

V,v(x) =-V Di(x) =-(D(x)+ V Di(x)

v р v р

DM(x) + £ D

M(x) + DM,i(x)

7—V / /

v — р x

1 ' V-1

v Г(v - ^(xH V D^(x))

v - р V i=M+1 У

1 M-1

= DM(x) + —р £ DM,i (x).

р l=m+1

Положим

б частности,

23м = V м,2м(ж),

тогда

V- 1

2м,,(ж) = зОм(х) + X) 13м,1 (ж)

V - д

1=М+1

Частным случаем равенства (2.14) является равенство

Тм(ж) = Vм,,(ж) * Тм(ж),

в частности,

Тм(ж) = Vм(ж) * Тм(ж),

Теорема 2.4. Пусть д Е N 1 < Р < то7 тогда

IVмНЬр < 3(2п)1/р-1д

1/р-1 ,.1-1/р

(2.20)

Это неравенство следует из одномерных оценок для ядра Валле-Пуссена, приведенных в книге В.Н. Темлякова [21] на стр.10, с учетом принятого в этой книге определения нормы || • (см. стр. 500):

^мНЬ1 < 6п

и

Тм\\Ь. < 3д

и интерполяционного неравенства

^мНЬр < (Н^мНь1)А(\\тм\\Г )1-1:

Уи

если учесть, что в наших обозначениях = т^.

Теорема 2.5. (Следствие из неравенство типа Юнга для периодических пространств Морри, см. [26],) Пусть

„ л п , 111

0 < Л <-, 1 < г,р<д < то, 1+ - = - + -, р д г р

/1 е (¿г)* м /2 е (МрЛ)*. Тогда

11/1 * МГ РА < М/1МЬг (11/211М ) Р ("/2 Щ )1-Р . (2-21)

Теорема 2.6. Пусть 1 < г,р < д < то п, д е М, 0 < Л < ^, 1 + 1 = 1 + р.

Тогда

ЦТмМ* РА < С(цТ„цма)5(МТмМЬр)1-5 (2.22)

м,' Р

-Р)

< спл(1-р >МТ„ММ,А

для любого ТМ е (М^)*, где

с = с(п,д,г) = .

Доказательство. Используя равенство (2.14) и неравенства (2.21) и (2.3), по-

лучим, что для любой функции ф е </* и для люб ого ТМ е (М^)*

МН^ = ||Ф * т„||М* < МФМЬТСММ*)Р(МтмМЬр)1-5

< пЛ(1 Р ^М^ мтнм* .

Переходя к ннфнмуму по ф е </*, получим утверждение теоремы. □

Следствие 2.2. Пусть 1 < р < д < то, п, д е М, 0 < Л < ^ Тогда длл любых тм е (Мрл)*

ММ* РА < (3(2п)1 -1 )>п(Р-1 )(мТммма)Р(МТИЬр)1-5 (2.23)

ма5

< (3(2п) 1-Р)ппл(1-РУ( 1-1 )МТ/ЛМ

мИм* .

Доказательство. В качестве функции ф Е ^П Ь* в теореме 2.6 возьмем фукн-цию

п

ф(ж) = П ^^^ ¿=1

Тогда согласно неравенству (2.20)

п

I = \\ф\к= П )\к(-*,*) < (3(2п)1 -1)пдп(1-1)

¿=1

1 - А ч п, п( А - 1)

О А I / / ^ А О '

= (3(2п) О - А )пдп( А - О^

□

Следствие 2.3. Пусть 1 < р < д < то, —,д Е N, —(1 - 1) < А < п. Если Тм Е (ма)*7 то из неравенства (2.1) и следствия 2.2 следует, что

мН л-п(р-1, < п*-А+п(А-0>НТ„Н* лр < 3(2ппЛ-)1 -1 дп(р-1 'НТмНМл•

Следствие 2.4. 1 < р < 2, д > 23-, то для любого Тм Е (МЗ)*

2-р'

г( А-1)

НТмН* рл < ' ' (НТмНМл)0(НТмНЬр)1-0

м„° V 2п / р р

е частности, для 0 < А < п

< 2 (\ТНмлНТмН1,)2,

и при, д = то, р = 2

п

\\TkiiL < 2 НТмН^2• (2-24)

В последнем неравенстве постояная точная, равенство достигается для

Тм(ж) = П п=1 м(ж1 )•

Доказательство. В рассматриваемом случае г > 2, в качестве функции ф е </* П Ь* в теореме 2.6 берется функция

п

ф(х) = П ^ (х) 1=1

ф

обращается в равенство, следует из формул (2.16) и (2.17). □

Замечание 2.4. Неравенство (2.23) - это периодический аналог неравенства разных метрик для целых функций экспоненциального типа (1.23).

2.4. Неравенство разных измерений для пространств (MA)*(Rn)

Определение 2.7. Пусть

0 <Р1,Р2 < оо, mi,m2 G N, 0 < Ai < —, 0 < Л2 < —.

Pi Р2

Определим пространство

(M^(R)mi)Л х (MA22(Rm2))*

со смешанной квазинорм,ой как множество всех измеримых по Лебегу на Rmi+m2 фуНКци,ц / ¿)ля которых

11 II Mp1 (Rmi) х Mp2 (Rm2 ) = 11^ (ui , U2 ) II Mpi1,ui (Rmi ) II M>22iU2 (Rm2 )

= sup sup p-A2 II sup sup r-Ai

yGQ(0,n)(Rm2) 0<p<n xGQ(0,n)(Rmi) 0<r<n

ITM(u1,u2)ILpi,„i(Q(x,r))ILp2,„2(Q(x,r)) <

Отметим некоторые свойства этих пространств.

Лемма 2.6. Пусть выполнены условия (1.32), / G (MAi)*(Rmi) /2 G (MA2)*(Rm2). Тогда /1/2 G (MAi)*(Rmi) х (MA2)*(Rm2) и

11 fif11 Mpi (Rmi) хMp2 (Rm2) = 11 f111 Mpi (Rmi)11 /211 Mp2 (Rm2). (2.25)

Доказательство. Действительно,

If1 /2 ^ Mpi (Rmi) хMp2 (Rm2) III f1 (U1)/2 (U2) 11 Mp,Ui (Rmi)11 Mp,2 2 (Rm2)

У |/2(u2)| I/1(u1)IMp,Ui (Rmi )IMp22 (Rm)

11 f1 11 Л/ТЛ! Шmi ^ 11 /2 I

Mi(Rmi) И-72"МрЛ2(Rm2)•

□

Лемма 2.7. Пусть 0 < р < то, ШЬШ2 е М, 0 < Л1 < т, 0 < Л2 < т. Тогда (МрЛ1 )*(Мт1) х (МрЛ2)*(Мт2) с (МЛ1+Л2)*(Мт1+т2), (2.26)

причем

^^(м™1+™2) < МТ"ММр1 (мт1 )хМр2(мт2) (2.27)

для любых / е МрЛ (Мт1) х МЛ2 (Мт2).

Доказательство. 1. Пусть щ е Мт1, и2 е Мт2, г > 0, тогда

^М»1+т2 ((М1,М2),г) = (щ ,г) X (^2,г) (2.28)

Используя равенство (2.28), получим, что

К^1^2 ) = ^ ^^ 8ги!э Г-Л1-Л2 МГММ^ ((„Ь^))

,г))

= ^ ^ Г-Л1-Л2 К^Ь^УЬр (0,т1 (иы)хдкт2 („2,

м1ект1 м2ект2 г>0

= вир вир вирг-Л2 Мг-Л1 МтМ(^1,^2)МЬ„^ (^ (и1,г)У:

„1еМ т1 и2 е«т2 г>0 -Л2

виМртвирг-Л2М 8имрт1 г-Л1 МТм(^1,^2)МЬр,^1 (О^ (иы)^(д^(„2,Г))

и2еМт2 г>0 и1еМт1

< 8иРт2 'иР Г-Л2 М 8иМР1 8ир Р-Л1 МТМ(^1,^2)МЬр„ ^ („1,Р)УЬР,„2 (0^ („2,г))

и2еМт2 г>0 и1еМт1 р>0

= вир

и2еМт2 г>0

вир г-Л2 М МТм(.1 ,^2)ММра11 (Мт1 )М^2 („2,Г))

= М К^Ь^Нмр,^(Мт1) ММр,|2(Мт2) = Р^Мр*1 (Мт1 )хМр2(Мт2).

□

Теорема 2.7. Пусть 1 < р < то, т,п е М, т < п, 0 < Л < п, тогда

р

~ ~ п—т

п—т,

мМ!ю(м«-т)хМА(мт) < зп тМ Р У^Мкр(М"-т)хм„л(мт). (2.29)

Доказательство. Пусть ж = (и,V). Так как для любого и Е >(0,п) Тм(и, v) Е Мм,-(Мп-т), то согласно неравенству (2.22) с д = то

\\Тм(и,^)\\Ь_(мп-т) < 3п-тд^\\ТмМ)\\^(!«-»)•

Следовательно,

\\Тм\\ьто(Мп-т)хМА(Мт) = \\\Тм(и, ^^^(Мп-т)\\мАИ(Мт)

< 3п тд р \\\Тм(и, "^^р^ (Мп-т)\\мрР„(Мт)

= 3п тд р НТм\хр(Мп-т)хМрЛ(Мт)•

□

А=0

(Ьр)*(Мп-т) х (М-0)*(Мт) = (Ьр)*(Мп-т) х (Ьр)*(Мт) = (Ьр)*(мп),

однако, при 0 < А < ^ согласно лемме 2.7

(Ьр)*(Мп-т) х (М-А)*(Мт) с (МА)*(Мп):

но

(ьр)*(мп-т) х (мрА)*(мт) = (мА)*(мп)

Теорема 2.8. Пусть 1 < р < то, 1 < 0 < то, д,т,— Е N, т < —, 0 < А < ^, тогда для любого Тм Е (МА)*(Мт) существует Тм Е (МА)*(Мп) такое что Тм(и, 0) = Тм(и) для любых и Е Мт п

НТмНМрл(Мп) < Сд р \\Тм\\мрл(Мт)•

А ^ ^ /ТСР ^ Л т/ Л Л _ "ГТп ^и^')

Доказательство. Пусть ж = (и^), Тм Е (МА)*(Мт), Уц^) = Пп=т+1 V(0)

и

Тм(и^) = Тм(и)Уц^) для люб ых и Е Мт и V Е Мп

Л1 = 0, Л2 = Л, т1 = п - т, т2 = т

Гм^Еп) < ГмМЬр(М"-т)хМрА(Мт) = М^ММЬР(М"-т)МТМММ^(Мт)

_п—т .. ..

< СМ Р МТМММ^(Мт).

□

85

Глава 3

Теорема вложения и теоремы о следах для пространств Никольского-Бесова-Морри В(Мр(Мп))

3.1. Пространство Никольского-Бесова-Морри В(Мр(Мп))

Определение 3.1. Пусть 1 < р, ^ < то, г > 0, 0 < Л < п Будем говорить, что функция принадлежит, пространству Никольского-Бесова-Морри / е ВГ(Мр(Мп))7 если для некоторого а > 1

/ ТО ч 1/0

М/(МА(Мп)) = 1п£ ( £ММА(мп) ) < то

4 в=0 '

/

то

/ = £^(х), X е Мп, (3.1)

в=0

члены которого целые функции, экспоненциального типа ав7 а инфимум берется по всем разложениям (3.1).

Замечание 3.1. Аналогично определяются пространства В(М^(Мп)), ВГ'(^ (Мп-т) х М^Мт)).

3.2. Теорема вложения для пространств В(МА(Мп))

Теорема 3.1. Пусть 1 < р<д < то, 1 < 0 < то, г > 0, 0 < А < ^ и

(1 1А

г = г - —---> 0^

рд

Тогда

.. ,--АЛ

В(М-А(мп)) ^ ВГ (мд° (мп)) (3.2)

Доказательство. Пусть / Е В(МА(Мп)) и а > 1. Представим функция / в виде ряда

то

/ = I^(ж), ж Е мп, в=0

члены которого целые функции экспоненциального типаав. Согласно неравенству (1.26)

/ то N 1/0 , то N 1/0

/то Ч 1/0

= С( ЕаГ0'Н^а8 ^(Мп)) • 4 в=0 р /

Следовательно, переходя к пнфпмумам по всем разложениям , получим

Н/Н<№(мп)) < СН/НВ(мгл(мп)),

откуда и следует вложение (3.2). □

()

г > 0, 1 < р< то

и

11

1 < р < д < д < то, г = г - —---> 0^

рд

Тогда имеет место теорема вложение (3.2)7 которое можно рассматривать

как переход от г и р кг' и д.

, -ра

Если положим, что пространство В0Г' (Мч5 (Мп)) является исходным, при,

г'' = г' — п ( 1 — 1 ) > 0, тогда ? ч* / '

5ра

1ч*

В (Мч5 (мп)) ^ в (М/ (мп)) = в (Мч** (мп)).

Но если г'' = г - п( 1 —1* ) > 0, тогда имеем место вложение

р ч

_ра

в(МрЛ(Мп)) ^ В0* М (Мп))

и имеем, место равенство

г'' = г''.

Это следует, что вложения из первого пространства во второе, а затем из второго в третье можно заменить одним вложением из первого в тре-

тье.

3.3. Прямая теорема о следах для пространств

В(Кп—т) х МЛ(жт))

Определение 3.2. (см. [2]) Пусть / е 1/10С(Кп) м д е Ьг1°е(Кт). Говорят, что функция д является следом функции, кратко, д = £гкт/7 если существует функция к, эквивалентная / на Кп7 которая такова, что V) ^ д(0 в ¿1°С(Кт) при V ^ 0.

Теорема 3.2. Пусть 1 < р, 0 < то7 1 < т < п, 0 < Л < ^ Тогда, имеет место вложение

В(Ьр(Кп-т) х ЙЛ(Кт)) ^ (Ьто(Кп-т) х ЙЛ(Кт)), (3.3)

е част,ноет,и,,

В(Ьр(Кп-т) х МДКт)) ^ В (МДКт)), (3.4)

гЛг' = г - > 0, то есть, для любых С е В(Ьр(Кп-т) х МА(Кт))

существует след д е (МА(Кт)) на С|кт = д.

д

то

д = 5^

в=0

где О^ — целая функция экспоненциального типа ав, а > 1. 1. Согласно неравенству (1.46), получаем

00

д(и,^)УВг' (^ (М"-т)хМ„(Мт)) 1ПЧ Е аГ ^Н0«' <

4 в=0 '

/ то \ 1

< ^ ( \^20(П—1т)аг%*(^)|| О «II 0 ~ 1 4 в=0 7

/ ^ \ 1

2«—т -г / \ л ав0г|| О II0 \ = 2«—'т\\

2 1П1 \ а НОаЯ ^ (Мп-т)хМ^(Мт^ 2 ПдИВг (^ (М"-т)хМ^(Мт)).

4 в=0

откуда и следует вложение (3.3). □

3.4. Обратная теорема о следах для пространств В0Г(Мр(Мт))

Теорема 3.3. Пусть 1 <р < то7 1 < т<п, 0 < Л < т 7 г' = г - п-т > 0. Тогда имеет место вложение

ВГ'(МЛ(Мт)) ^ ВГ(МрЛ(Мп)) (3.5)

и

вГ(Mp(Rm)) ^ B(Lp(Rn-m) х Mp(Rm)). (3.6)

Доказательство. Пусть х = (и, V) и е Мт, V е Мп т. Рассмотрим произвольное разложение / е В0Г' (М^(Мт))

то

/(и) = £^(и), и е Мт,

в=0

где ^^ - целая функция экспоненциального типа ав, а > 1.

Рассмотрим функцию ^ определяемую равенством (1.49) и определим но-х е Мп

g(x) = £ q«* (x)

s=0

где

У«* (x) = Qas (u)has (v).

(Это специальное разложение g(x) по целым функциям от x экспоненциального типа a\

Согласно неравенству (1.40) и равенству (1.34) с Ai = А, А2 = 0, mi = m, m2 = n — m и неравенству (1.50)

✓ \ I

< inf i V^ as0rllq IIв — Ш1 ^ " НУ«* llL (l»-m)xM^„(lm)

s=0

в

00 • 1

ш ^ а-вг цда. («)л,,. (V)

- У

Ь г, (/"-т1Х М А (Ют

• / ^ ^ в в \ 1

4 в=0 у

/ то \ 1