Теоретическая характеризация квантового скирмионного состояния и определение связи с классическими топологически-защищёнными магнитными структурами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сотников Олег Михайлович

• Сотников Олег Михайлович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Сотников Олег Михайлович

Введение

Глава 1. Методы исследования

1.1 Базовые модели магнетизма

1.2 Методы определения параметров моделей

1.3 Методы моделирования квантовых спиновых систем

1.3.1 Методы точной диагонализации

1.3.2 Методы Монте-Карло

1.3.3 Нейросетевое представление квантовых состояний

1.3.4 Квантовые вычисления

Глава 2. Определение квантового аналога классического скирмиона

2.1 Постановка проблемы

2.2 Методы характеризации квантового скирмиона

2.3 Минимальная спиновая система для стабилизации квантового скирмионного состояния

2.4 Перспективы исследования квантовых скирмионов

2.5 Выводы

Глава 3. Поиск связи между квантовыми и классическими

скирмионными состояниями

3.1 Постановка проблемы

3.2 Разработка численного метода построения башен Андерсона

3.3 Воспроизведение классического скирмиона при помощи квантовых состояний

3.4 Квантовые и классические башни Андерсона

3.5 Сравнение со случаем квантовых антиферромагнетиков

3.6 Оптимизация квантового состояния с вырождением

3.7 Выводы

Стр.

Глава 4. Имитация квантового скирмионного состояния на

квантовом симуляторе и построение магнитных фазовых диаграмм

4.1 Постановка проблемы

4.2 Разработка метода для сертификации квантовых состояний

4.2.1 Апробация протокола на запутанных квантовых состояниях

4.2.2 Примеры применения протокола для

построения фазовых диаграмм

4.3 Оценка паттернов квантового скирмионного состояния

4.3.1 Учет симметрии при расчете структурной сложности

4.4 Карта квантовых состояний

4.5 Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическая характеризация квантового скирмионного состояния и определение связи с классическими топологически-защищёнными магнитными структурами»

Введение

Актуальность темы исследования. Одним из значительных достижений математики 20-го века является развитие топологических подходов, включая открытие гомотопических классов и степеней непрерывных отображений [1]. После появления работ Тони Скирма [2], показавшего возможность топологической классификации барионов, стало очевидно, что в физике топологическая классификация состояний важна и применима для широкого класса систем, описываемых нелинейными полями в рамках континуального подхода. Возможность использования топологических методов в теории ферромагнетиков была отмечена в работе [3]. В данной диссертационной работе будут рассматриваться двумерные скирмионы [4], являющиеся частным видом топологических магнитных солитонов. Развитие экспериментальных техник для наблюдения скирмионов [5; 6] открывает новые направления для теоретических исследований и численного моделирования упорядоченных магнитных фаз [7]. В настоящий момент времени, в научной литературе скирмионы в основном обсуждаются в контексте спинтро-ники, где данные стабильные магнитные структуры предлагается использовать в качестве бит магнитных запоминающих устройств [8]. Необходимость хранения всё больших объёмов информации требует разработки устройств ультра-плотного хранения данных, что приводит исследователей к изучению скирмионов нано-метрового масштаба, где за последнее десятилетие был достигнут существенный прогресс. Скирмионы с характерным размером порядка нескольких нанометров уже наблюдались в реальных экспериментах [9; 10] и были теоретически предсказаны в фрустрированных магнетиках [11], а также в изоляторах Мотта под воздействием лазерного излучения высокой частоты [12] и др. Пренебрегать квантовыми эффектами на таких малых характеристических масштабах длин по сравнению с постоянной решётки некорректно. Квантовые флуктуации играют критически важную роль потому, что, строго говоря, спин сам по себе является квантовой характеристикой электрона. Поэтому, численное изучение классических спиновых моделей для компактных скирмионов является лишь грубым приближением и не даёт исчерпывающего описания данной фазы.

Степень разработанности темы исследования. Распространённым подходом для решения данной задачи является навязывание классического поведения квантовой системе. В результате такого подхода рассмотрение компактных

скирмионов выполняется полу-классически, подразумевая, что динамика намагниченности определяется преимущественно классическими магнитными возбуждениями, которые появляются в основном состоянии системы с нарушенной симметрией [13]. Другим способом построения приближения является применение преобразований Гольштейна-Примакова, которые позволяют лишь вычислить квантовые поправки к классическому решению [14]. Стандартная методика обнаружения скирмионов по их паттерну намагниченности была использована недавно в работе [15], где были рассмотрены топологические состояния малых кластеров спинов, помещённых в ферромагнитную среду. Однако, все вышеперечисленные методы являются приближёнными и не могут воспроизвести свойства квантовой системы, получаемые на уровне точного квантово-механического описания. Данная работа призвана восполнить этот пробел, подробно рассматривая свойства и признаки квантового скирмионного состояния, возникающего при решении квантовой модели Гейзенберга с анизотропным взаимодействием Дзялошинского-Мории.

Задача характеризации скирмионного состояния заслуживает особого внимания, так как при переходе к квантовому описанию вектор магнитного момента становится плохо определённой величиной, что демонстрируется соотношениями неопределённости Гейзенберга. Это делает невозможным обнаружение скирмио-на по его магнитному упорядочению или по скирмионному числу. Для этой цели авторы работы [15] ввели аналог скирмионного числа, в котором скалярные произведения векторов магнитных моментов заменены на корреляционные функции соответствующих произведений операторов. Однако, это выражение не является наблюдаемым топологического числа в терминах квантовой механики и не демонстрирует свойств присущих его классическому аналогу. Очевидно, что для идентификации квантового скирмионного состояния требуется иной подход, согласующийся с его квантово-механическим описанием.

Другой трудностью при изучении скирмионов на квантовом уровне является ограниченный размер исследуемой системы из-за экспоненциального роста размерности гамильтониана с увеличением числа спинов в сверхъячейке. Данная проблема усугубляется тем, что скирмионы наблюдаются либо в системах с антисимметричным обменным взаимодействием, либо с конкурирующими обменными взаимодействиями между первыми и вторыми соседями. При учёте взаимодействия Дзялошинского-Мории в модели матрица гамильтониана уже не может быть представлена в блочно-диагональном виде, что приводит к необходи-

мости диагонализации полной матрицы. В свою очередь, добавление обменного взаимодействия между вторыми соседями требует увеличения размеров сверхъячейки, что также осложняет рассмотрение. Очевидно, что, в настоящее время, изучение квантовых скирмионов доступно только на минимально возможных для их стабилизации сверхъячейках, в которых сильны граничные эффекты. Тем не менее, появление квантовых вычислительных устройств с 150 кубитами и более открывает возможности для моделирования больших систем в обозримом будущем. Однако, результатом работы квантового компьютера являются проективные измерения спинов, которые необходимо выполнять множество раз для построения приближения волновой функции системы при помощи квантовой томографии. Авторы работы [16] показали, что для измерения наблюдаемых необязательно восстанавливать полную волновую функцию состояния, а вместо этого достаточно строить приближение матрицы плотности, позволяющее вычислять интересующие величины с некоторой точностью. Это показывает, что даже измерений в крайне ограниченном количестве проекций может быть достаточно для описания важных свойств системы. Так как квантовые компьютеры являются перспективным инструментом для изучения скирмионных состояний, важно уметь характеризовать такие волновые функции обладая исключительно результатами ограниченного количества проективных измерений.

Таким образом, разработка методик, позволяющих получать реалистичное описание магнитных систем на микроскопическом уровне, является важной задачей для современной физики, что обуславливает актуальность данной работы.

Целью данной работы является определение и характеризация квантового скирмионного состояния как на уровне наблюдаемых величин, так и на уровне квантовых волновых функций.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Найти аналог скирмионного числа, который позволит отличить квантовую систему, находящуюся в состоянии квантового скирмиона, от других магнитных фаз.

2. Исследовать режимы классической и квантовой анизотропной модели Гейзенберга на малых спиновых кластерах для различных параметров модели с целью обнаружения квантового скирмионного состояния.

3. Установить соответствие между квантовым и классическим описанием скирмионной и других магнитных фаз.

Научная новизна:

1. Впервые была выполнена полная теоретическая характеризация квантового скирмионного состояния, реализующегося в системах с антисимметричным обменным взаимодействием и периодическими граничными условиями.

2. В данной работе был предложен новый метод построения башен состояний Андерсона, не требующий рассмотрения свойств симметрии системы и позволяющий рассчитать точные парциальные вклады волновых функций в итоговую суперпозицию.

3. Сформулирован протокол оценки структурных паттернов битовых строк для определения фазовых границ системы и классификации волновых функций используя непосредственные результаты её проективных измерений.

Теоретическая и практическая значимость работы. В данной диссертационной работе формулируется новая концепция квантового скирмионного состояния, приводятся способы его идентификации и характеризации, а также предлагается новый метод построения башен Андерсона для произвольных квантовых волновых функций, что обуславливает теоретическую значимость работы.

Описание наноскирмионов на квантовом уровне играет важную роль при проектировании и реализации устройств сверхплотного хранения информации [4].

Методология и методы исследования. Для моделирования квантовых скирмионов автором работы был разработан программный комплекс для составления и точной частичной диагонализации гамильтонианов решёточных систем со спином S = 1/2, использующий метод Арнольди, реализованный в библиотеке PARPACK. Вычисление необходимых наблюдаемых было реализовано в программном коде с использованием библиотек линейной алгебры BLAS и CuBLAS. Изучение связи классического и квантового скирмионов проводилось при помощи теории башен состояний Андерсона. Был также разработан ряд программ, осуществляющих непосредственное построение суперпозиции собственных волновых функций для заданного классического или квантового состояния путём оптимизации её коэффициентов методом градиентного спуска. Для ха-рактеризации состояний по проективным измерениям квантового компьютера использовался авторский метод оценки паттернов битовых строк, разработанный совместно с Мазуренко В.В., Яковлевым И.А., Кацнельсоном М.И. и Багро-

вым А.А. и вычисляющий структурную сложность при помощи итеративной процедуры ренормализации набора измерений.

Положения, выносимые на защиту:

1. В зависимости от величины внешнего магнитного поля основное состояние квантовой модели со спином S = 1/2, содержащей изотропные и анизотропные обменные взаимодействия, на треугольной решётке с периодическими граничными условиями демонстрирует свойства спин-спиральной, скирмионной и ферромагнитной фаз. Скалярная хиральность позволяет идентифицировать точки фазовых переходов в исследуемой системе. Состояние квантового скирмиона стабилизируется на сверхъячейке треугольной решётки с размером 19 спинов S = 1/2 и периодическими граничными условиями.

2. В спектре возбуждений квантовой модели со спином S = 1/2, содержащей взаимодействия Дзялошинского-Мории и Гейзенберга, на треугольной решётке с периодическими граничными условиями существует подмножество низколежащих собственных состояний, суперпозиция которых характеризуется классическим неколлинеарным магнитным порядком. Запутанное состояние квантового скирмиона может быть представлено в виде суперпозиции тривиальных когерентных состояний, соответствующих классическому магнитному упорядочению скирмиона.

3. Любая квантовая волновая функция может быть сертифицирована при помощи значений структурной сложности паттернов битовых строк, полученных в результате её проективных измерений в различных базисах. Поведение структурной сложности позволяет устанавливать границы фаз в различных квантовых моделях включая те, в которых стабилизируется состояние квантового скирмиона.

Достоверность полученных методических и расчетных результатов обеспечивается их внутренней согласованностью, непротиворечивостью современным представлениям физики конденсированного состояния, согласием с результатами экспериментов и предыдущих теоретических работ.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись на следующих конференциях всероссийского и международного уровней:

1. Международный воркшоп «Machine Learning for Quantum Technology» (Эрланген, Германия, 2019);

2. VI Международная молодежная научная конференция «Физика. Технологии. Инновации ФТИ-2019» (Екатеринбург, Россия, 2019);

3. Всероссийская LIV Школа ПИЯФ по физике конденсированного состояния «ФКС-2020» (Санкт-Петербург, Россия, 2020);

4. XL Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка» (Аб-заково, Россия, 2024);

Результаты исследования также представлялись на семинарах Института Физики Металлов УрО РАН (Россия, Екатеринбург) и департамента по изучению материалов университета Упсалы (Швеция, Упсала).

Личный вклад автора. Автором диссертации были реализованы в программных кодах точная диагонализация квантовых гамильтонианов, алгоритм построения башен Андерсона для неколлинеарных магнитных фаз по набору вырожденных собственных состояний квантовой модели и метод для характери-зации квантовых волновых функций по паттернам битовых строк, полученных в результате проективных измерений. Все численные результаты, представленные в диссертации, были получены автором лично. Планирование исследований, обсуждение результатов, а также их подготовка к публикации велись при участии научного руководителя, Мазуренко В.В. Разработка метода характеризации квантовых скирмионов с использованием оператора скалярной хиральности (глава 2), а также разработка подхода для реконструкции классических состояний на основе решения квантовых моделей (глава 3) были выполнены совместно с Мазуренко В.В., Степановым Е.А., Милой Ф. и Кацнельсоном М.И. Метод оценки структурной сложности паттернов битовых строк (глава 4) был предложен совместно с Мазуренко В.В., Яковлевым И.А., Кацнельсоном М.И. и Багровым А.А.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 научных работах, из них 6 опубликованы в рецензируемых научных журналах, определённых ВАК РФ и Аттестационным советом УрФУ и индексируемых Web of Science и Scopus.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 137 страниц, включая 54 рисунка и 2 таблицы. Список литературы содержит 204 наименования.

Публикации автора по теме диссертации

1. Sotnikov, O. M. Neural network agent playing spin Hamiltonian games on a quantum computer / O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2020. — Mar. — Vol. 53, no. 13. — 135303; (Web of Science, Scopus)

2. Sotnikov, O. M. Probing the topology of the quantum analog of a classical skyrmion / O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko, J. Colbois, F. Mila, M. I. Katsnelson, E. A. Stepanov // Phys. Rev. B. — 2021. — Feb. — Vol. 103, issue 6. — L060404; (Web of Science, Scopus)

3. Sotnikov, O. M. Certification of quantum states with hidden structure of their bitstrings / O. M. Sotnikov, I. A. Iakovlev, A. A. Iliasov, M. I. Katsnelson, A. A. Bagrov, V. V. Mazurenko // npj Quantum Information. — 2022. —Apr. — Vol. 8, no. 1. — 41; (Web of Science, Scopus)

4. Mazurenko, V. V. Estimating Patterns of Classical and Quantum Skyrmion States / V. V. Mazurenko, I. A. Iakovlev, O. M. Sotnikov, M. I. Katsnelson // Journal of the Physical Society of Japan. — 2023. — Vol. 92, no. 8. — 081004; (Web of Science, Scopus)

5. Sotnikov, O. M. Emergence of Classical Magnetic Order from Anderson Towers: Quantum Darwinism in Action / O. M. Sotnikov, E. A. Stepanov, M. I. Katsnelson, F. Mila, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. X. — 2023. — Nov. — Vol. 13, issue 4. — 041027; (Web of Science, Scopus)

6. Sotnikov, O. M. Achieving the volume-law entropy regime with random-sign Dicke states / O. M. Sotnikov, I. A. Iakovlev, E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. A. — 2024. — Dec. — Vol. 110, issue 6. — 062416; (Web of Science Q2, Scopus Q1)

Глава 1. Методы исследования

В этой главе проводится обзор моделей, которые широко используются для описания магнитных свойств современных коррелированных материалов. Далее кратко описываются подходы для оценки параметров моделей, а также методы моделирования квантовых спиновых систем, используемые в данной работе.

1.1 Базовые модели магнетизма

Модель Изинга в поперечном магнитном поле. Является простейшей квантовой моделью для описания магнитных систем, гамильтониан которой записывается следующим образом:

Н = J £6] а] + В £ 6?, (1.1)

(у)

где сумма по парам индексов (г]) ведётся по ближайшим соседям, J - энергия обменного взаимодействия между парой магнитных моментов г и ], а В - величина внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси х. Операторы 6га представляют собой матрицы Паули, действующие на г-й магнитный момент системы:

6?=(:;)■ 6-=С; -)■ 6.=(; -).

Фазовая диаграмма данной модели хорошо известна [17; 18] и демонстрирует переход из ферромагнитного состояния (J < 0) при малых полях в парамагнитное при значении магнитного поля В = 2 для одномерной цепочки магнитных моментов. Модель (1.1) часто используется в качестве первого теста для различных методов исследования свойств магнитных систем [16; 19; 20], идентификации фазовых границ [21] и моделирования при помощи квантовых вычислительных устройств [22]. Несмотря на свою простоту, она позволяет описать свойства реальных соединений, например LiHoF4 [23], а также активно применяется для исследования неравновесных фаз вещества, таких, как кристалл дискретного времени [24]. Для случая димера собственные векторы представлены в Таблице 1.

Таблица 1 — Собственные энергии Ег и состояния |Фг) модели Изинга в поперечном поле (1.1) для димера.

г Ег Фг)

0 —^4В2 + 32 4 (1ТТ) + и) 7+^в2+72(|п) + ИТ)))

1 —3 ^ Ш — ИТ))

2 3 (1ТТ) — Ш))

3 V 4В2 + 32 £ (1ТТ) + И) — Ш + ИТ)))

Нормировочные множители состояний уг, указанные в таблице, записываются следующим образом:

Уо =

\

2, 3 + +2

2В

2В

Уз =

\

(1.3)

2, ^В^, + 2

2В

2В

Рассматривая основное состояние |Ф0) и его нормировочный множитель легко заметить, что в нулевом магнитном поле В ^ 0 возникает двукратно вырожденное состояние |Ф0д) = (1Т!) ± ЦТ)). В противоположном пределе больших магнитных полей В ^ то невырожденное основное состояние принимает однородный вид |Фо) = 1 (|ТТ) + И!) - |Т!) - ИТ)).

— 32 модель Гейзенберга. Следующая распространённая модель, используемая для описания в том числе топологических магнитных фаз, это модель Гейзенберга с изотропными обменными взаимодействиями между ближайшими и вторыми соседями:

Н = ¡3 ¿¡3 у + 32 ^^ ¡3 ¿¡3 у + В ^^ 3 ¿,

№) «у )) г

(1.4)

где (г]) и ((г])) обозначают пары индексов, связывающих ближайших и вторых соседей в кристаллической решётке, соответственно. 3 и 32 - энергия обменного взаимодействия между ближайшими и вторыми соседями в кристаллической решётке, а В - вектор внешнего однородного магнитного поля. Оператор спина представляет собой вектор, составленный из матриц Паули !3г = 1 { ¡х, , Щ}.

J V

~лг\г\г\г\г\глг Рисунок 1.1 — Модель Шастри-Сазерленда (1.5) с периодическими граничными

условиями. Ярким цветом обозначена элементарная ячейка 4 х 4 .

Фазовая диаграмма данной модели также детально изучена [25; 26] и для случая конкурирующих обменных взаимодействий < ;, ,12 > 0 в определённом диапазоне магнитных полей В стабилизируется топологическая магнитная фаза, представляющая собой скирмионную решётку [27], свойства которой будут рассмотрены в последующих главах.

Модель Шастри-Сазерленда. Модель Шастри-Сазерленда является частным случаем модели (1.4), была сформулирована в 1981 году [28] и описывает систему взаимодействующих антиферромагнитных димеров, упорядоченных на квадратной решётке. В частности, данная модель хорошо воспроизводит свойства соединения SrCu2(BOз)2 [29]. Гамильтониан модели представлен следующим выражением:

Н = Зх £ 64 + 32 £ 6Д-, (1.5)

dimer т:ег^тег

где суммы идут по взаимодействиям внутри димеров и между ними ,12, как изображено на Рис. 1.1.

Для данной модели было продемонстрировано существование двух фазовых переходов [30; 31], как изображено на Рис. 1.2. При малых значениях энергии обмена ,12 ^ Л димеры практически не взаимодействуют и характеризуются синглетным основным состоянием. Напротив, при больших значениях ,12 ^ обменное взаимодействие внутри димеров становится пренебрежимо малым и стабилизируется неелевское основное состояние на квадратной решётке. Особый интерес представляет «плакеточная» фаза при промежуточных значениях

0.675(2) 0.765(15)

Рисунок 1.2 — Фазовая диаграмма модели Шастри-Сазерленда (1.5). Рисунок

адаптирован из работы [31].

0.675(2)^1 < З2 < 0.765(15)^1, которая характеризуется наличием дальнего магнитного порядка.

Модель Гейзенберга с взаимодействием Дзялошинского-Мории. В 1957 году модель Гейзенберга была расширена Дзялошинским для объяснения возникновения магнитного момента в ряде антиферромагнетиков из соображений симметрии [32]. Позднее, Мория предложил микроскопический механизм образования антисимметричного взаимодействия, разработав теорию суперобмена [33], которая учитывает спин-орбитальное взаимодействие [34; 35]. Гамильтониан данной модели выглядит следующим образом:

Н = ^ Зу¡3*¡3, + ^ Бу • [Й* х ^] + В ^ Й, (1.6)

(ц > (ц > i

где Зу - интеграл обменного взаимодействия, Бу - взаимодействие Дзялошинского-Мории или антисимметричный обмен, В - величина магнитного поля в направлении оси г. Величина и направление векторов антисимметричного обмена Б у для каждой связи определяется симметрией решётки. Позднее, стало очевидно, что область применения данной модели не ограничивается антиферромагнитными изоляторами со слабым ферромагнетизмом. Так, она была использована для предсказания существования спиральной фазы в ряде магнетиков, не обладающих инверсионной симметрией [36], которая затем была обнаружена экспериментально в соединениях MnSi [37], FeGe [38] и сплавах Ре1_хСо*Si [39; 40]. Изучение материалов, характеризующихся наличием взаимодействия Дзялошинского-Мории сыграло важную роль в формировании новой

области исследования, связанной с топологически-защищёнными магнитными структурами.

1.2 Методы определения параметров моделей

Использование спиновых гамильтонианов для описания реальных материалов приводит к необходимости оценки параметров обменных взаимодействий. В данном разделе проводится анализ существующих подходов для расчёта магнитных взаимодействий. Разработка методов расчёта обменных взаимодействий между магнитными моментами в современных материалах представляет собой активную область исследований [41—44]. Некоторые важные примеры таких методов приведены в Таблице 2. В общем случае они применимы к сложным соединениям с различными магнитными и немагнитными атомами, обладающим трансляционной симметрией. Ниже мы кратко описываем и сравниваем разные подходы. Формула для оценки обменного взаимодействия в теории функционала электронной плотности, предложенная в работе [44], основана на идее бесконечно малых поворотов магнитных моментов относительно коллинеарного основного состояния. Итоговое значение обменного взаимодействия представляет собой отклик системы на это возмущение. Сформулированный в терминах функции Грина системы, такой подход имеет ряд важных преимуществ, например, он позволяет рассчитать вклады от отдельных орбиталей в полное обменное взаимодействие. Эта особенность предоставляет возможность микроскопического анализа магнитных взаимодействий.

Далее, в работе [41] был предложен метод расчёта магнитных взаимодействий в рамках LDA+DMFT схемы. Такой подход позволяет оценивать обменные взаимодействия с учётом динамических кулоновских корреляций [45—49]. В работе [43] была разработана общая техника извлечения полного набора магнитных взаимодействий, учитывая вершины двух-частичной функции Грина и нелокальные собственные энергии.

По своему построению методы, упомянутые выше, предполагают наличие в системе некоторого магнитного упорядочения. Таким образом, в этой области исследований возникает другая важная методологическая проблема, касающаяся определения магнитных взаимодействий в системе, находящейся в разупорядо-

Таблица 2 — Известные методы расчёта изотропных обменных взаимодействий. Здесь фг(ж) - волновая функция, центрированная на узле г. и и - интеграл перескока электронов с узла на узел и локальное кулоновское отталкивание, соответственно. г обозначает количество ближайших соседей. Ерм и ЕАРМ -энергии ферромагнитного и антиферромагнитного решений, полученных при помощи первопринципных расчётов.

Метод

Выражение

Обмен Гайтлера-Лондона Jij = f Теория суперобмена Андерсона

Ф* (ж)ф^ (ж)ф*(ж')ф4(ж')

jkin _ 4t2j

Jij _ U

Метод полных энергий

7 _ EFM -EAFM

J _ 4zS2

Теорема локальных сил

т _ д2Е Jij _ дS,öSj

ченной магнитной фазе. С этой целью был предложен подход, основанный на обобщённом методе теории возмущений для разупорядоченных магнитных моментов [50; 51]. Этот подход очень хорошо описывает обменные параметры, температуру Кюри и энергетические характеристики плоских спиновых спиралей в 3d магнетиках (Fe, Co и Ni). Одним из преимуществ обобщённого метода теории возмущений является возможность расчёта слагаемых более высокого порядка в модели Гейзенберга. В ряде магнитных экспериментов [52—54] были обнаружены квантовые спиновые системы, которые, благодаря низкоразмерной структуре кристалла, не проявляют признаков магнитного упорядочения даже при очень низких температурах. Так как интеграл перескока электронов tij в этих материалах существенно меньше локального кулоновского взаимодействия U, то магнитное взаимодействие может быть ассоциировано с суперобменным взаимодействием Андерсона Jij _ -Ц [55]. Для промежуточных значений отношения t/U ~ 0.1, всё ещё можно использовать чисто спиновую модель с параметрами, определёнными из разложения более высокого порядка в рамках теории возмущений [56; 57].

В свою очередь, моделирование обменных взаимодействий в высокотемпературных парамагнитных фазах может быть выполнено при помощи теории динамического среднего поля и её расширений. Например, в случае у железа, авторы работы [58] сравнивали магнитные восприимчивости, полученные для мо-

Рисунок 1.3 — Спектр моделей Хаббарда (сплошные линии) и Гейзенберга с обменным взаимодействием, рассчитанным по формуле (1.7) (треугольники), теоремы локальных сил (окружности) и теории суперобмена Андерсона (ромбы) для (а) димера и (г) цепи из трёх спинов. (б) Намагниченность как функция локализации электронов для димера. (в) Рассчитанные обменные взаимодействия

в цепи из трёх спинов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сотников Олег Михайлович, 2026 год

Список литературы

1. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 2 / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — Москва: Эдиториал УРСС, 1998. — 280 с.

2. Skyrme, T. A unified field theory of mesons and baryons / T. Skyrme // Nuclear Physics. — 1962. — Vol. 31. — P. 556—569.

3. Белавин, А. А. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика / А. А. Белавин, А. М. Поляков // Письма в ЖЭТФ. — 1975. — № 22. — С. 503.

4. Bogdanov, A. N. Thermodynamically stable 'vortices' in magnetically ordered crystals. The mixed state of magnets / A. N. Bogdanov, D. A. Yablonskii // Sov. Phys. JETP. — 1989. — Vol. 68. — P. 101—103.

5. Skyrmion Lattice in a Chiral Magnet / S. Mtihlbauer [et al.] // Science. — 2009. — Vol. 323, no. 5916. — P. 915—919.

6. Real-space observation of a two-dimensional skyrmion crystal / X. Z. Yu [et al.] // Nature. — 2010. — June. — Vol. 465, no. 7300. — P. 901—904.

7. The 2020 skyrmionics roadmap / C. Back [et al.] // Journal of Physics D: Applied Physics. — 2020. — June. — Vol. 53, no. 36. — P. 363001.

8. Fert, A. Skyrmions on the track / A. Fert, V. Cros, J. Sampaio // Nature Nan-otechnology. — 2013. — Mar. — Vol. 8, no. 3. — P. 152—156.

9. Spontaneous atomic-scale magnetic skyrmion lattice in two dimensions / S. Heinze [et al.] // Nature Physics. — 2011. — Sept. — Vol. 7, no. 9. — P. 713—718.

10. Nanometric square skyrmion lattice in a centrosymmetric tetragonal magnet / N. D. Khanh [и др.] // Nature Nanotechnology. — 2020. — Июнь. — Т. 15, № 6. — С. 444—449.

11. Leonov, A. O. Multiply periodic states and isolated skyrmions in an anisotropic frustrated magnet / A. O. Leonov, M. Mostovoy // Nat. Com. — 2015. — Vol. 6. — P. 8275.

12. Stepanov, E. A. Dynamical and Reversible Control of Topological Spin Textures / E. A. Stepanov, C. Dutreix, M. I. Katsnelson // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Apr. — Vol. 118, issue 15. — P. 157201.

13. Takashima, R. Quantum skyrmions in two-dimensional chiral magnets / R. Takashima, H. Ishizuka, L. Balents // Phys. Rev. B. — 2016. — Oct. — Vol. 94, issue 13. — P. 134415.

14. Quantum fluctuations stabilize skyrmion textures / A. Roldan-Molina [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Dec. — Vol. 92, issue 24. — P. 245436.

15. Quantum Skyrmions in Frustrated Ferromagnets / V. Lohani [et al.] // Phys. Rev. X. — 2019. — Dec. — Vol. 9, issue 4. — P. 041063.

16. Huang, H.-Y. Predicting many properties of a quantum system from very few measurements / H.-Y. Huang, R. Kueng, J. Preskill // Nature Physics. — 2020. — Oct. — Vol. 16, no. 10. — P. 1050—1057.

17. Pfeuty, P. The one-dimensional Ising model with a transverse field / P. Pfeuty // Annals of Physics. — 1970. — Vol. 57, no. 1. — P. 79—90.

18. Elliott, R. J. Ising Model with a Transverse Field / R. J. Elliott, P. Pfeuty, C. Wood // Phys. Rev. Lett. — 1970. — Aug. — Vol. 25, issue 7. — P. 443—446.

19. Carleo, G. Solving the quantum many-body problem with artificial neural networks / G. Carleo, M. Troyer // Science. — 2017. — Vol. 355, no. 6325. — P. 602—606.

20. Carleo, G. Constructing exact representations of quantum many-body systems with deep neural networks / G. Carleo, Y. Nomura, M. Imada // Nature Communications. — 2018. — Dec. — Vol. 9, no. 1. — P. 5322.

21. Vecsei, P. M. Lee-Yang theory of quantum phase transitions with neural network quantum states / P. M. Vecsei, C. Flindt, J. L. Lado. — 2023.

22. Stable Quantum-Correlated Many Body States via Engineered Dissipation / X. Mi [et al.]. — 2023.

23. Bitko, D. Quantum Critical Behavior for a Model Magnet / D. Bitko, T. F. Rosenbaum, G. Aeppli // Phys. Rev. Lett. — 1996. — July. — Vol. 77, issue 5. — P. 940—943.

24. Time-crystalline eigenstate order on a quantum processor / X. Mi [et al.] // Nature. — 2022. — Jan. — Vol. 601, no. 7894. — P. 531—536.

25. Weihong, Z. Phase diagram for a class of spin-2 Heisenberg models interpolating between the square-lattice, the triangular-lattice, and the linear-chain limits / Z. Weihong, R. H. McKenzie, R. R. P. Singh // Phys. Rev. B. — 1999. — June. — Vol. 59, issue 22. — P. 14367—14375.

26. Phase diagram of the spin-2 J\-J2 Heisenberg model on a honeycomb lattice / S.-S. Gong [et al.] // Phys. Rev. B. — 2013. — Oct. — Vol. 88, issue 16. — P. 165138.

27. Okubo, T. Multiple-q States and the Skyrmion Lattice of the Triangular-Lattice Heisenberg Antiferromagnet under Magnetic Fields / T. Okubo, S. Chung, H. Kawamura// Phys. Rev. Lett. — 2012. — Jan. — Vol. 108, issue 1. — P. 017206.

28. Sriram Shastry, B. Exact ground state of a quantum mechanical antiferromagnet / B. Sriram Shastry, B. Sutherland // Physica B+C. — 1981. — Vol. 108, no. 1. — P. 1069—1070.

29. SrCu2 (BO3) 2 under pressure: A first-principles study / D. I. Badrtdinov [et al.] // Phys. Rev. B. — 2020. — June. — Vol. 101, issue 22. — P. 224424.

30. Koga, A. Quantum Phase Transitions in the Shastry-Sutherland Model for SrCu2(BO3)2 / A. Koga, N. Kawakami // Phys. Rev. Lett. — 2000. — May. — Vol. 84, issue 19. — P. 4461—4464.

31. Corboz, P. Tensor network study of the Shastry-Sutherland model in zero magnetic field / P. Corboz, F. Mila // Phys. Rev. B. — 2013. — Mar. — Vol. 87, issue 11. — P. 115144.

32. Dzyaloshinsky, I. A thermodynamic theory of "weak" ferromagnetism of antifer-romagnetics /1. Dzyaloshinsky // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 1958. — Vol. 4, no. 4. — P. 241—255.

33. Moriya, T. Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromagnetism / T. Moriya // Phys. Rev. — 1960. — Oct. — Vol. 120, issue 1. — P. 91—98.

34. Freimuth, F. Relation of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction to spin currents and to the spin-orbit field / F. Freimuth, S. Blugel, Y. Mokrousov // Phys. Rev. B. — 2017. — Aug. — Vol. 96, issue 5. — P. 054403.

35. Kundu, A. Dzyaloshinskii-Moriya interaction mediated by spin-polarized band with Rashba spin-orbit coupling / A. Kundu, S. Zhang // Phys. Rev. B. — 2015. — Sept. — Vol. 92, issue 9. — P. 094434.

36. Dzyaloshinsky, I. Theory of Helicoidal Structures in Antiferromagnets. I. Non-metals /1. Dzyaloshinsky // Sov. Phys. JETP. — 1964. — Vol. 46. — P. 1420.

37. Helical spin structure in manganese silicide MnSi / Y. Ishikawa [et al.] // Solid State Communications. — 1976. — Vol. 19, no. 6. — P. 525—528.

38. Lebech, B. Magnetic structures of cubic FeGe studied by small-angle neutron scattering / B. Lebech, J. Bernhard, T. Freltoft // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1989. — Sept. — Vol. 1, no. 35. — P. 6105.

39. Beille, J. Long period helimagnetism in the cubic B20 FexCo1-xSi and CoxMn1-x Si alloys / J. Beille, J. Voiron, M. Roth // Solid State Communications. — 1983. — Vol. 47, no. 5. — P. 399—402.

40. Helimagnetic structure of the FexCo1-xSi alloys / J. Beille [et al.] // Journal of Physics F: Metal Physics. — 1981. — Oct. — Vol. 11, no. 10. — P. 2153.

41. Katsnelson, M. I. First-principles calculations of magnetic interactions in correlated systems / M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. — 2000. — Apr. — Vol. 61, issue 13. — P. 8906—8912.

42. Bhattacharjee, S. Atomistic Spin Dynamic Method with both Damping and Moment of Inertia Effects Included from First Principles / S. Bhattacharjee, L. Nordstrom, J. Fransson // Phys. Rev. Lett. — 2012. — Jan. — Vol. 108, issue 5. — P. 057204.

43. Secchi, A. Magnetic interactions in strongly correlated systems: Spin and orbital contributions / A. Secchi, A. Lichtenstein, M. Katsnelson //Annals of Physics. — 2015. — Vol. 360. — P. 61—97.

44. Local spin density functional approach to the theory of exchange interactions in ferromagnetic metals and alloys / A. Liechtenstein [et al.] // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1987. — Vol. 67, no. 1. — P. 65—74.

45. Exchange parameters of strongly correlated materials: Extraction from spin-polarized density functional theory plus dynamical mean-field theory / Y. O. Kvashnin [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Mar. — Vol. 91, issue 12. — P. 125133.

46. Electronic topological transition and noncollinear magnetism in compressed hcp Co / Y. O. Kvashnin [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Oct. — Vol. 92, issue 13. — P. 134422.

47. Layer-resolved magnetic exchange interactions of surfaces of late 3d elements: Effects of electronic correlations / S. Keshavarz [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Oct. — Vol. 92, issue 16. — P. 165129.

48. Solovyev, I. V. Mechanisms and origins of half-metallic ferromagnetism in CrO2 / I. V. Solovyev, I. V. Kashin, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. B. — 2015. — Oct. — Vol. 92, issue 14. — P. 144407.

49. Wan, X. Calculation of Magnetic Exchange Interactions in Mott-Hubbard Systems / X. Wan, Q. Yin, S. Y. Savrasov // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Dec. — Vol. 97, issue 26. — P. 266403.

50. Atomic and magnetic configurational energetics by the generalized perturbation method / A. V. Ruban [et al.] // Phys. Rev. B. — 2004. — Sept. — Vol. 70, issue 12. — P. 125115.

51. An ab initio effective Hamiltonian for magnetism including longitudinal spin fluctuations / S. Shallcross [et al.] // Phys. Rev. B. — 2005. — Sept. — Vol. 72, issue 10. — P. 104437.

52. Miyahara, S. Theory of the orthogonal dimer Heisenberg spin model for SrCu2(BO3)2 / S. Miyahara, K. Ueda // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2003. — Feb. — Vol. 15, no. 9. — R327—R366.

53. Two energy scales of spin dimers in clinoclase Cu3(AsO4)(OH)3 / S. Lebernegg [et al.] // Phys. Rev. B. — 2013. — June. — Vol. 87, issue 23. — P. 235117.

54. Magnetic properties of Ag2VOP2O7: An unexpected spin dimer system / A. A. Tsirlin [et al.] // Phys. Rev. B. — 2008. — Mar. — Vol. 77, issue 10. — P. 104436.

55. Anderson, P. W. New Approach to the Theory of Superexchange Interactions / P. W. Anderson // Phys. Rev. — 1959. — July. — Vol. 115, issue 1. — P. 2—13.

56. Stein, J. Flow equations and the strong-coupling expansion for the Hubbard model / J. Stein // Journal of Statistical Physics. — 1997. — July. — Vol. 88, no. 1. — P. 487—511.

57. Effective Spin Model for the Spin-Liquid Phase of the Hubbard Model on the Triangular Lattice / H.-Y. Yang [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Dec. — Vol. 105, issue 26. — P. 267204.

58. Magnetic fluctuations and effective magnetic moments in y-iron due to electronic structure peculiarities / P. A. Igoshev [et al.] // Phys. Rev. B. — 2013. — Oct. — Vol. 88, issue 15. — P. 155120.

59. Igoshev, P. A Magnetic exchange in a-iron from ab initio calculations in the paramagnetic phase / P. A. Igoshev, A. V. Efremov, A. A. Katanin // Phys. Rev. B. — 2015. — May. — Vol. 91, issue 19. — P. 195123.

60. Sotnikov, O. M. High-temperature expansion method for calculating paramagnetic exchange interactions / O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. B. — 2016. — Oct. — Vol. 94, issue 19. — P. 195107.

61. Hogben, L. Handbook of linear algebra / L. Hogben. — First. — Boca Raton, FL : Chapman, Hall/CRC, 2007.

62. White, S. R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups / S. R. White // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Nov. — Vol. 69, issue 19. — P. 2863—2866.

63. White, S. R. Density-matrix algorithms for quantum renormalization groups / S. R. White // Phys. Rev. B. — 1993. — Oct. — Vol. 48, issue 14. — P. 10345—10356.

64. Landau, D. P. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics / D. P. Landau, K. Binder. — Cambridge University Press, 2014.

65. A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor / A. Peruzzo [et al.] // Nature Communications. — 2014. — July 23. — Vol. 5, no. 1. — P. 4213.

66. Korn, G. A. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review / G. A. Korn, T. M. Korn. — McGraw-Hill, 1968.

67. LAPACK Users' Guide / E. Anderson [et al.]. — Third. — Philadelphia, PA : Society for Industrial, Applied Mathematics, 1999.

68. Blackford, L. ScaLAPACK Users' Guide / L. Blackford [et al.]. — SIAM, 1997.

69. Arnoldi, W. E. The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem / W. E. Arnoldi. — 1951.

70. Lanczos, C. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators / C. Lanczos. — 10/1950.

71. Saad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems / Y. Saad. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 2011.

72. Lehoucq, R. B. ARPACK Users' Guide / R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, C. Yang. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1998.

73. Emergence of global receptive fields capturing multipartite quantum correlations / O. M. Sotnikov [et al.] // Phys. Rev. B. — 2025. — Aug. — Vol. 112, issue 5. — P. 054425.

74. QuCumber: wavefunction reconstruction with neural networks / M. J. S. Beach [et al.] // SciPost Phys. — 2019. — Vol. 7, issue 1. — P. 9.

75. Gambetta, J. IBM's roadmap for scaling quantum technology / J. Gambetta // IBM Research Blog (September 2020). — 2020.

76. Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets / A. Kandala [et al.] // Nature. — 2017. — Vol. 549, no. 7671. — P. 242—246.

77. Sotnikov, O. M. Neural network agent playing spin Hamiltonian games on a quantum computer / O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2020. — Mar. — Vol. 53, no. 13. — P. 135303.

78. Lin, L. J. Reinforcement Learning for Robots Using Neural Networks : PhD thesis / Lin L. J. — Pittsburgh, PA 15213 : School of Computer Science Carnegie Mellon University, 12/1993.

79. Human-level control through deep reinforcement learning / V. Mnih [et al.] // Nature. — 2015. — Vol. 518, no. 7540. — P. 529—533.

80. Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search / D. Silver [et al.] // Nature. — 2016. — Vol. 529, no. 7587. — P. 484-489.

81. Mastering the game of Go without human knowledge / D. Silver [et al.] // Nature. — 2017. — Vol. 550, no. 7676. — P. 354—359.

82. Reinforcement learning-based multi-agent system for network traffic signal control /1. Arel [et al.] // IET Intell. Transp. Syst. — 2017. — Vol. 4. — P. 128.

83. Resource Management with Deep Reinforcement Learning / H. Mao [et al.] // Proceedings of the 15th ACM Workshop on Hot Topics in Networks. — Atlanta, GA, USA : Association for Computing Machinery, 2016. — P. 50—56. — (HotNets '16).

84. DRN: A Deep Reinforcement Learning Framework for News Recommendation / G. Zheng [et al.] // Proceedings of the 2018 World Wide Web Conference. — Lyon, France : International World Wide Web Conferences Steering Committee, 2018. — P. 167—176. — (WWW '18).

85. Zhou, Z. Optimizing Chemical Reactions with Deep Reinforcement Learning / Z. Zhou, X. Li, R. N. Zare // ACS Central Science. — 2017. — Dec. — Vol. 3, no. 12. — P. 1337—1344.

86. Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems / Z. Bai [et al.] ; ed. by Z. Bai [et al.]. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 2000.

87. Heisenberg-exchange-free nanoskyrmion mosaic / E. A. Stepanov [et al.] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2019. — Feb. — Vol. 31, no. 17. — 17LT01.

88. Near room-temperature formation of a skyrmion crystal in thin-films of the he-limagnet FeGe / X. Z. Yu [et al.] // Nature Materials. — 2011. — Feb. — Vol. 10, no. 2. — P. 106—109.

89. Reciprocal space tomography of 3D skyrmion lattice order in a chiral magnet / S. Zhang [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2018. — Vol. 115, no. 25. — P. 6386—6391.

90. Bogdanov, A. Thermodynamically stable magnetic vortex states in magnetic crystals / A. Bogdanov, A. Hubert // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1994. — Vol. 138, no. 3. — P. 255—269.

91. Rosales, H. D. Three-sublattice skyrmion crystal in the antiferromagnetic triangular lattice / H. D. Rosales, D. C. Cabra, P. Pujol // Phys. Rev. B. — 2015. — Dec. — Vol. 92, issue 21. — P. 214439.

92. Spin Transfer Torques in MnSi at Ultralow Current Densities / F. Jonietz [et al.] // Science. — 2010. — Vol. 330, no. 6011. — P. 1648—1651.

93. A strategy for the design of skyrmion racetrack memories / R. Tomasello [et al.] // Scientific Reports. — 2014. — Oct. — Vol. 4, no. 1. — P. 6784.

94. Writing and Deleting Single Magnetic Skyrmions / N. Romming [et al.] // Science. — 2013. — Vol. 341, no. 6146. — P. 636—639.

95. Bogdanov, A. N. Physical foundations and basic properties of magnetic skyrmions / A. N. Bogdanov, C. Panagopoulos // Nature Reviews Physics. — 2020. — Sept. — Vol. 2, no. 9. — P. 492—498.

96. Schliemann, J. Vortices in quantum spin systems / J. Schliemann, F. G. Mertens // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. — 1999. — May. — Vol. 9, no. 2. — P. 237—243.

97. Troyer, M. Computational Complexity and Fundamental Limitations to Fermionic Quantum Monte Carlo Simulations / M. Troyer, U.-J. Wiese // Phys. Rev. Lett. — 2005. — May. — Vol. 94, issue 17. — P. 170201.

98. Lauchli, A. M. Ground-state energy and spin gap of spin-1 Kagome-Heisenberg antiferromagnetic clusters: Large-scale exact diagonalization results / A. M. Lauchli, J. Sudan, E. S. S0rensen // Phys. Rev. B. — 2011. — June. — Vol. 83, issue 21. — P. 212401.

99. Wietek, A. Sublattice coding algorithm and distributed memory parallelization for large-scale exact diagonalizations of quantum many-body systems / A. Wietek, A. M. Lauchli // Phys. Rev. E. — 2018. — Sept. — Vol. 98, issue 3. — P. 033309.

100. Berg, B. Definition and statistical distributions of a topological number in the lattice O(3) a-model / B. Berg, M. Luscher // Nuclear Physics B. — 1981. — Vol. 190, no. 2. — P. 412—424.

101. Iakovlev, I. A. Supervised learning approach for recognizing magnetic skyrmion phases / I. A. Iakovlev, O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. B. —

2018. — Nov. — Vol. 98, issue 17. — P. 174411.

102. Switching of chiral magnetic skyrmions by picosecond magnetic field pulses via transient topological states / C. Heo [et al.] // Scientific Reports. — 2016. — June. — Vol. 6, no. 1. — P. 27146.

103. Iakovlev, I. A. Profile approach for recognition of three-dimensional magnetic structures /1. A. Iakovlev, O. M. Sotnikov, V. V. Mazurenko // Phys. Rev. B. —

2019. — Jan. — Vol. 99, issue 2. — P. 024430.

104. Jozsa, R. Fidelity for Mixed Quantum States / R. Jozsa // Journal of Modern Optics. — 1994. — Vol. 41, no. 12. — P. 2315—2323.

105. Controlled creation of quantum skyrmions / P. Siegl [et al.] // Phys. Rev. Research. — 2022. — May. — Vol. 4, issue 2. — P. 023111.

106. Mwland, K. Quantum fluctuations in the order parameter of quantum skyrmion crystals / K. Msland, A. Sudb0 // Phys. Rev. B. — 2022. — June. — Vol. 105, issue 22. — P. 224416.

107. Quantum Skyrmion Lattices in Heisenberg Ferromagnets / A. Haller [et al.]. — 2021.

108. Derras-Chouk, A. Quantum states of a skyrmion in a two-dimensional antiferro-magnet / A. Derras-Chouk, E. M. Chudnovsky, D. A. Garanin // Phys. Rev. B. — 2021. — June. — Vol. 103, issue 22. — P. 224423.

109. Yambe, R. Effective spin model in momentum space: Toward a systematic understanding of multiple-Q instability by momentum-resolved anisotropic exchange interactions / R. Yambe, S. Hayami // Phys. Rev. B. — 2022. — Nov. — Vol. 106, issue 17. — P. 174437.

110. Topological dynamical quantum phase transition in a quantum skyrmion phase / V. Vijayan [et al.] // Phys. Rev. B. — 2023. — Mar. — Vol. 107, issue 10. — P. L100419.

111. M&land, K. Quantum topological phase transitions in skyrmion crystals / K. Ms-land, A. Sudb0 // Phys. Rev. Res. — 2022. — Aug. — Vol. 4, issue 3. — P. L032025.

112. Quantum simulation of generic spin exchange models in Floquet-engineered Ry-dberg atom arrays / N. Nishad [et al.]. — 2023.

113. Joshi, A. Ground State Properties of Quantum Skyrmions described by Neural Network Quantum States / A. Joshi, R. Peters, T. Posske. — 2023.

114. Peters, R. The quantum skyrmion Hall effect in f electron systems / R. Peters, J. Neuhaus-Steinmetz, T. Posske. — 2023.

115. Makuta, R. Spin-orbit coupled Hubbard skyrmions / R. Makuta, C. Hotta. — 2023.

116. Topological Hall Effect in the A Phase of MnSi / A. Neubauer [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2009. — May. — Vol. 102, issue 18. — P. 186602.

117. Spin Chirality, Berry Phase, and Anomalous Hall Effect in a Frustrated Fer-romagnet / Y. Taguchi [et al.] // Science. — 2001. — Vol. 291, no. 5513. — P. 2573—2576.

118. Large Topological Hall Effect in a Short-Period Helimagnet MnGe / N. Kanazawa [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Apr. — Vol. 106, issue 15. — P. 156603.

119. A nontrivial crossover in topological Hall effect regimes / K. S. Denisov [et al.] // Scientific Reports. — 2017. — Dec. — Vol. 7, no. 1. — P. 17204.

120. Shindou, R. Orbital Ferromagnetism and Anomalous Hall Effect in Antiferro-magnets on the Distorted fcc Lattice / R. Shindou, N. Nagaosa // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Aug. — Vol. 87, issue 11. — P. 116801.

121. Topological orbital magnetization and emergent Hall effect of an atomic-scale spin lattice at a surface / M. Hoffmann [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — July. — Vol. 92, issue 2. — P. 020401.

122. Role of Berry phase theory for describing orbital magnetism: From magnetic heterostructures to topological orbital ferromagnets / J.-P. Hanke [et al.] // Phys. Rev. B. — 2016. — Sept. — Vol. 94, issue 12. — P. 121114.

123. Chirality-driven orbital magnetic moments as a new probe for topological magnetic structures / M. dos Santos Dias [et al.] // Nature Communications. — 2016. — Dec. — Vol. 7, no. 1. — P. 13613.

124. Engineering chiral and topological orbital magnetism of domain walls and skyrmions / F. R. Lux [et al.] // Communications Physics. — 2018. — Oct. — Vol. 1, no. 1. — P. 60.

125. Topological-chiral magnetic interactions driven by emergent orbital magnetism / S. Grytsiuk [et al.] // Nature Communications. — 2020. — Jan. — Vol. 11, no. 1. — P. 511.

126. Kirilyuk, A. Magnetization-induced-second-harmonic generation from surfaces and interfaces / A. Kirilyuk, T. Rasing // J. Opt. Soc. Am. B. — 2005. — Jan. — Vol. 22, no. 1. — P. 148—167.

127. Magnetization-induced second- and third-harmonic generation in magnetic thin films and nanoparticles / O. A. Aktsipetrov [et al.] // J. Opt. Soc. Am. B. — 2005. — Jan. — Vol. 22, no. 1. — P. 138—147.

128. Plasmons Reveal the Direction of Magnetization in Nickel Nanostructures / V. K. Valev [et al.] //ACS Nano. — 2011. — Jan. — Vol. 5, no. 1. — P. 91—96.

129. Giant nonreciprocal second-harmonic generation from antiferromagnetic bilayer CrI3 / Z. Sun [et al.] // Nature. — 2019. — Aug. — Vol. 572, no. 7770. — P. 497—501.

130. Probing the topology of the quantum analog of a classical skyrmion / O. M. Sotnikov [et al.] // Phys. Rev. B. — 2021. — Feb. — Vol. 103, issue 6. — P. L060404.

131. Joos, E. The emergence of classical properties through interaction with the environment / E. Joos, H. D. Zeh // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter. — 1985. — June. — Vol. 59, no. 2. — P. 223—243.

132. Decoherence and the appearance of a classical world in quantum theory / E. Joos [et al.]. — 2nd ed. — Springer Science & Business Media, 2013.

133. Zurek, W. H. Pointer basis of quantum apparatus: Into what mixture does the wave packet collapse? / W. H. Zurek // Phys. Rev. D. — 1981. — Sept. — Vol. 24, issue 6. — P. 1516—1525.

134. Zurek, W. H. Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical / W. H. Zurek // Rev. Mod. Phys. — 2003. — May. — Vol. 75, issue 3. — P. 715—775.

135. Zurek, W. H. Quantum Darwinism / W. H. Zurek // Nature Physics. — 2009. — Mar. — Vol. 5, no. 3. — P. 181—188.

136. Quantum Theory and Measurement / ed. by J. A. Wheeler, Z. W. H. — Princeton University Press, 1983.

137. Bohr, N. The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory / N. Bohr // Nature. — 1928. — Apr. — Vol. 121, no. 3050. — P. 580—590.

138. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics / ed. by J. von Neumann. — Princeton University Press, 1955.

139. Mensky, M. Continuous Quantum Measurements and Path Integrals / M. Men-sky. — 1st ed. — Boca Raton : CRC Press, 1993.

140. Katsnelson, M. I. Propagation of local decohering action in distributed quantum systems / M. I. Katsnelson, V. V. Dobrovitski, B. N. Harmon // Phys. Rev. A. — 2000. — July. — Vol. 62, issue 2. — P. 022118.

141. Hamieh, S. D. Quantum entanglement dynamics and decoherence wave in spin chains at finite temperatures / S.D. Hamieh, M. I. Katsnelson // Phys. Rev. A. — 2005. — Sept. — Vol. 72, issue 3. — P. 032316.

142. Donker, H. C. Decoherence wave in magnetic systems and creation of Neel antiferromagnetic state by measurement / H. C. Donker, H. De Raedt, M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. — 2016. — May. — Vol. 93, issue 18. — P. 184426.

143. Vonsovsky, S. Magnetism / S. Vonsovsky. — New York : Wiley, 1974.

144. Anderson, P. W. An Approximate Quantum Theory of the Antiferromagnetic Ground State / P. W. Anderson // Phys. Rev. — 1952. — June. — Vol. 86, issue 5. — P. 694—701.

145. Lieb, E. Ordering Energy Levels of Interacting Spin Systems / E. Lieb, D. Mat-tis // Journal of Mathematical Physics. — 1962. — July. — Vol. 3, no. 4. — P. 749—751.

146. Wietek, A. Studying Continuous Symmetry Breaking using Energy Level Spectroscopy /A. Wietek, M. Schuler, A. M. Lauchli. — 2017.

147. Bernu, B. Signature of Neel order in exact spectra of quantum antiferromagnets on finite lattices / B. Bernu, C. Lhuillier, L. Pierre // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Oct. — Vol. 69, issue 17. — P. 2590—2593.

148. Misguich, G. Detecting spontaneous symmetry breaking in finite-size spectra of frustrated quantum antiferromagnets / G. Misguich, P. Sindzingre // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2007. — Mar. — Vol. 19, no. 14. — P. 145202.

149. Quantum phase transition in the SU(4) spin-orbital model on the triangular lattice / K. Penc [et al.] // Phys. Rev. B. — 2003. — July. — Vol. 68, issue 1. — P. 012408.

150. Istomin, R. A. Overlap integral for quantum skyrmions / R. A. Istomin, A. S. Moskvin // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2000. — Apr. — Vol. 71, no. 8. — P. 338—341.

151. Perelomov, A. Generalized Coherent States and Their Applications / A. Perelo-mov. — Springer Berlin, Heidelberg, 1986.

152. Inomata, A. Path Integrals and Coherent States of SU(2) and SU(1,1) / A. Ino-mata, H. Kuratsuji, C. C. Gerry. — WORLD SCIENTIFIC, 1992.

153. Nielsen, M. A. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition / M. A. Nielsen, I. L. Chuang. — Cambridge University Press, 2010.

154. Villain, J. A magnetic analogue of stereoisomerism : application to helimag-netism in two dimensions / Villain, J. // J. Phys. France. — 1977. — Vol. 38, no. 4. — P. 385—391.

155. Leung, P. W. Spin-1/2 quantum antiferromagnets on the triangular lattice / P. W. Leung, K. J. Runge // Phys. Rev. B. — 1993. — Mar. — Vol. 47, issue 10. — P. 5861—5873.

156. Nishimori, H. Ground State of Quantum Spin Systems on the Triangular Lattice /

H. Nishimori, H. Nakanishi // Journal of the Physical Society of Japan. —1988. — Vol. 57, no. 2. — P. 626—638.

157. Azaria, P. Spontaneous symmetry breaking in quantum frustrated antiferromag-nets / P. Azaria, B. Delamotte, D. Mouhanna // Phys. Rev. Lett. —1993. — Apr. — Vol. 70, issue 16. — P. 2483—2486.

158. Wiesendanger, R. Spin mapping at the nanoscale and atomic scale / R. Wiesendanger // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Nov. — Vol. 81, issue 4. — P. 1495—1550.

159. Everett, H. "Relative State" Formulation of Quantum Mechanics / H. Everett // Rev. Mod. Phys. — 1957. — July. — Vol. 29, issue 3. — P. 454—462.

160. J\-J2 quantum Heisenberg antiferromagnet on the triangular lattice: A group-symmetry analysis of order by disorder / P. Lecheminant [et al.] // Phys. Rev. B. — 1995. — Sept. - Vol. 52, issue 9. — P. 6647—6652.

161. Emergence of Classical Magnetic Order from Anderson Towers: Quantum Darwinism in Action / O. M. Sotnikov [et al.] // Phys. Rev. X. — 2023. — Nov. — Vol. 13, issue 4. — P. 041027.

162. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / F. Arute [et al.] // Nature. — 2019. — Oct. — Vol. 574, no. 7779. — P. 505—510.

163. Barren plateaus in quantum neural network training landscapes / J. R. McClean [et al.] // Nature Communications. — 2018. — Oct. — Vol. 9, no. 1. — P. 4812.

164. A Review of Barren Plateaus in Variational Quantum Computing / M. Larocca [et al.]. — 2024.

165. Numerical hardware-efficient variational quantum simulation of a soliton solution/A. Kardashin [et al.] // Phys. Rev. A. — 2021. — Aug. — Vol. 104, issue 2. — P. L020402.

166. Shende, V. Synthesis of quantum-logic circuits / V. Shende, S. Bullock,

I. Markov // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. — 2006. — Vol. 25, no. 6. — P. 1000—1010.

167. Quantum State Tomography via Compressed Sensing / D. Gross [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Oct. — Vol. 105, issue 15. — P. 150401.

168. Permutationally Invariant Quantum Tomography / G. Toth [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Dec. — Vol. 105, issue 25. — P. 250403.

169. Neural-network quantum state tomography / G. Torlai [et al.] // Nature Physics. — 2018. — May. — Vol. 14, no. 5. — P. 447—450.

170. Reconstructing quantum states with generative models / J. Carrasquilla [et al.] // Nature Machine Intelligence. — 2019. — Mar. — Vol. 1, no. 3. — P. 155—161.

171. Deng, D.-L. Quantum Entanglement in Neural Network States / D.-L. Deng, X. Li, S. Das Sarma // Phys. Rev. X. — 2017. — May. — Vol. 7, issue 2. — P. 021021.

172. Generalization properties of neural network approximations to frustrated magnet ground states / T. Westerhout [et al.] // Nature Communications. — 2020. — Mar. — Vol. 11, no. 1. — P. 1593.

173. Characterizing quantum supremacy in near-term devices / S. Boixo [et al.] // Nature Physics. — 2018. — June. — Vol. 14, no. 6. — P. 595—600.

174. Qiskit: An Open-source Framework for Quantum Computing / M. S. ANIS [et al.]. — 2021.

175. Quantum circuits to measure scalar spin chirality / L.I. Reascos [et al.] // Phys. Rev. Res. — 2023. — Oct. — Vol. 5, issue 4. — P. 043087.

176. Wecker, D. Progress towards practical quantum variational algorithms / D. Wecker, M. B. Hastings, M. Troyer // Phys. Rev. A. — 2015. — Oct. — Vol. 92, issue 4. — P. 042303.

177. Born, M. Beweis des Adiabatensatzes / M. Born, V. Fock // Zeitschrift für Physik. — 1928. — Mar. — Vol. 51, no. 3. — P. 165—180.

178. Farhi, E. A Numerical Study of the Performance of a Quantum Adiabatic Evolution Algorithm for Satisfiability / E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann //ArXiv e-prints. — 2000. — July. — Vol. quant—ph/0007071.

179. A Quantum Adiabatic Evolution Algorithm Applied to Random Instances of an NP-Complete Problem / E. Farhi [et al.] // Science. — 2001. — Vol. 292, no. 5516. — P. 472—475.

180. Smith, A. W. R. Efficient Quantum State Sample Tomography with Basis-Dependent Neural Networks / A. W. R. Smith, J. Gray, M. S. Kim // PRX Quantum. — 2021. — June. — Vol. 2, issue 2. — P. 020348.

181. Kuzmak, A. Detecting entanglement by the mean value of spin on a quantum computer / A. Kuzmak, V. Tkachuk // Physics Letters A. — 2020. — Vol. 384, no. 24. — P. 126579.

182. Dicke, R. H. Coherence in Spontaneous Radiation Processes / R. H. Dicke // Phys. Rev. — 1954. — Jan. — Vol. 93, issue 1. — P. 99—110.

183. Experimental Realization of Dicke States of up to Six Qubits for Multiparty Quantum Networking / R. Prevedel [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2009. — July. — Vol. 103, issue 2. — P. 020503.

184. Efficient Verification of Dicke States / Y.-C. Liu [et al.] // Phys. Rev. Applied. — 2019. — Oct. — Vol. 12, issue 4. — P. 044020.

185. Richter, J. Simulating Hydrodynamics on Noisy Intermediate-Scale Quantum Devices with Random Circuits / J. Richter, A. Pal // Phys. Rev. Lett. — 2021. — June. — Vol. 126, issue 23. — P. 230501.

186. Achieving the volume-law entropy regime with random-sign Dicke states / O. M. Sotnikov [et al.] // Phys. Rev. A. — 2024. — Dec. — Vol. 110, issue 6. — P. 062416.

187. Nomura, Y. Dirac-Type Nodal Spin Liquid Revealed by Refined Quantum Many-Body Solver Using Neural-Network Wave Function, Correlation Ratio, and Level Spectroscopy / Y. Nomura, M. Imada // Phys. Rev. X. — 2021. — Aug. — Vol. 11, issue 3. — P. 031034.

188. Nieuwenburg, E. P. L. van. Learning phase transitions by confusion / E. P. L. van Nieuwenburg, Y.-H. Liu, S. D. Huber // Nature Physics. — 2017. — May. — Vol. 13, no. 5. — P. 435—439.

189. Machine learning in electronic-quantum-matter imaging experiments / Y. Zhang [et al.] // Nature. — 2019. — June. — Vol. 570, no. 7762. — P. 484—490.

190. Uvarov, A. V. Machine learning phase transitions with a quantum processor / A. V. Uvarov, A. S. Kardashin, J. D. Biamonte // Phys. Rev. A. — 2020. — July. — Vol. 102, issue 1. — P. 012415.

191. Visualizing quantum phases and identifying quantum phase transitions by nonlinear dimensional reduction / Y. Yang [et al.] // Phys. Rev. B. — 2021. — Feb. — Vol. 103, issue 7. — P. 075106.

192. Detecting quantum critical points in the t-t' Fermi-Hubbard model via complex network theory / A. A. Bagrov [et al.] // Scientific Reports. — 2020. — Oct. — Vol. 10, no. 1. — P. 20470.

193. Lewis-Swan, R. J. Detecting Out-of-Time-Order Correlations via Quasiadiabatic Echoes as a Tool to Reveal Quantum Coherence in Equilibrium Quantum Phase Transitions / R. J. Lewis-Swan, S. R. Muleady, A. M. Rey // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Dec. — Vol. 125, issue 24. — P. 240605.

194. A Mott insulator of fermionic atoms in an optical lattice / R. Jördens [et al.] // Nature. — 2008. — Sept. — Vol. 455, no. 7210. — P. 204—207.

195. Metallic and Insulating Phases of Repulsively Interacting Fermions in a 3D Optical Lattice / U. Schneider [et al.] // Science. — 2008. — Vol. 322, no. 5907. — P. 1520—1525.

196. A cold-atom Fermi-Hubbard antiferromagnet / A. Mazurenko [et al.] // Nature. — 2017. — May. — Vol. 545, no. 7655. — P. 462-466.

197. Multiscale structural complexity of natural patterns / A. A. Bagrov [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2020. — Vol. 117, no. 48. — P. 30241—30251.

198. Westerhout, T. 'lattice-symmetries': A package for working with quantum many-body bases / T. Westerhout // Journal of Open Source Software. — 2021. — Vol. 6, no. 64. — P. 3537.

199. Many-body topological invariants from randomized measurements in synthetic quantum matter / A. Elben [et al.] // Science Advances. — 2020. — Vol. 6, no. 15. — eaaz3666.

200. Provably efficient machine learning for quantum many-body problems / H.-Y. Huang [et al.] //ArXiv e-prints. — 2022. — Feb.

201. Principal component analysis / M. Greenacre [et al.] // Nature Reviews Methods Primers. — 2022. — Dec. — Vol. 2, no. 1. — P. 100.

202. Maaten, L. van der. Visualizing Data using t-SNE / L. van der Maaten, G. Hinton // Journal of Machine Learning Research. — 2008. — Vol. 9, no. 86. — P. 2579--2605.

203. Certification of quantum states with hidden structure of their bitstrings / O. M. Sotnikov [et al.] // npj Quantum Information. — 2022. — Apr. — Vol. 8, no. 1. — P. 41.

204. Estimating Patterns of Classical and Quantum Skyrmion States / V. V. Mazurenko [et al.] // Journal of the Physical Society of Japan. — 2023. — Vol. 92, no. 8. — P. 081004.