Теоретическое исследование электронной и пространственной структуры наклонных межзеренных границ в кристаллическом кремнии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Лазебных, Виталий Юрьевич

• Лазебных, Виталий Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лазебных, Виталий Юрьевич

Содержание

Введение

1 Методы вычислительной химии

1.1 Молекулярная механика

1.2 Оптимизация геометрии сложных структур

1.2.1 Методы поиска локального минимума

1.2.2 Генетический алгоритм

1.3 Методы функционала плотности

1.3.1 Теорема Кона

1.3.2 Уравнения Кона-Шэма

1.3.3 Свойства обменного и корреляционного функционалов

1.3.4 Локальное приближение

1.3.5 Гибридные функционалы. Функционал ВЗЬУР

1.4 Метод псевдопотенциала

1.4.1 Общая теория построения псевдопотенциала

1.4.2 Критерии выбора псевдопотенциала

2 Строение наклонных межзеренных границ

2.1 Постановка задачи

2.2 Классификация межзеренных границ

2.2.1 Дислокационная модель

2.2.2 Модель структурной единицы

2.3 Теоретическое исследование межзеренных границ

2.4 Выводы

3 Сегрегация точечных дефектов на межзеренных границах

3.1 Обзор экспериментальных данных

3.2 Методика

3.3 Нейтральная вакансия

3.4 Примеси атомов углерода, фосфора и бора

3.5 Выводы

4 Корреляция локальной структуры межзеренных границ и энергии сегрегации

4.1 Параметры локальной деформации

4.2 Корреляция энергии сегрегации дефектов с параметрами 771, 772,

и щ

4.3 Выводы

Заключение

Список иллюстраций

Список таблиц

Литература

Используемые сокращения

ФЭП фотоэлектрический преобразователь

ГА генетический алгоритм

МД молекулярная динамика

КШ Кона-Шэма (уравнения, орбитали или потенциал)

KB конфигурационное взаимодействие

АО атомная орбиталь

МО молекулярная орбиталь

DFT density-functional theory - метод функционала плотности

GGA generalised gradient approximation - обощенное градиентное приближение

МЗГ межзеренная граница

РСУ решетка совподающих узлов

аи атомная единица

CVD chemical vapor deposition - метод химического осаждения из газовой фазы

MOSFET metal-oxid-semiconducter field effect transistor - полевой транзистор метал-оксид-полупроводник

three dimension atomic probe - 3 мерное атомное зондирование с помощью лазера

atomic probe tomography - атомная зондовая томография electron beam indiced current - ток, возбужденный пучком электроннов light beam indiced current - ток, возбужденный пучком света

3D АР

APT

EBIC

LBIC

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование электронной и пространственной структуры наклонных межзеренных границ в кристаллическом кремнии»

Введение

Для развития солнечной энергетики требуется материал, из которого можно получить дешевые фотоэлектрические преобразователи. Одним из перспективных материалов на эту роль является мультикремний. Сырьем для его производства может служить дешевый металлургический кремний. Однако КПД ФЭП, на основе мультикремния, не велик.Возможности повышения КПД ограничены из-за наличия центров рекомбинации, в роли которых могут выступать как примеси, так и межзеренные границы (МЗГ), а также граничные дефекты и дислокации. Наличие таких дефектов приводит к появлению глубоких уровней в запрещенной зоне полупроводника. Для борьбы с ними используют методы пассивации и геттерирования.

Несмотря на многочисленные существующие модели границ, до сих пор нет единого мнения о том, что же главным образом отвечает за электрическую активность - граница, как таковая или какие-то внешние дефекты, например, дислокации, вакансии, примеси, сегрегированные на ней. Границам нередко приписывают координационные дефекты, такие как 3-х или 5 координированные атомы, т.е. имеющие ненасыщенные или оборванные связи. Такие дефекты, по мнению авторов [1], образуются вместе с границей и существуют при комнатной температуре. Авторы [2] полагают, что наличие координационных дефектов в особенности характерно для скрученных границ. В той же работе говорится о частичной амор-физации приграничного слоя. Однако другой группе авторов [3] удалось построить модели МЗГ без координационных дефектов, обладающие пространственной упорядоченностью и низкой энергией, в том числе и для скрученных границ. Таким образом, на сегодняшний момент в литературе нет единого мнения даже о

структуре бездефектных и беспримесных границ и вопрос об их строении является дискуссионным.

Аргументом в пользу одной из позиций может послужить моделирование произвольных границ с целью получить упорядоченную структуру без координационных дефектов. Если окажется, что такая структура возможна для случайно выбранной границы, то позиция авторов [3], утверждающая упорядоченность беспримесных границ и отсутствие на них координационных дефектов, получит дополнительное подтверждение. В противном случае подтверждение получает противоположная позиция. Не исключено, что правильный ответ на данный вопрос будет включать в себя обе эти точки зрения. Так, например, в работе [4] искусственно синтезировалась граница £5{310} с малым угловым отклонением от идеального для нее угла разориентации а. = 36.87°. Обнаружено, что электрическая активность границы отсутствует при нулевом отклонении и растет с величиной этого отклонения. То есть, возможно, существуют «идеальные» границы, без координационных дефектов, а малые угловые отклонения от них порождают на границе неупорядоченность, координационные дефекты и, как следствие, глубокие уровни.

Что касается сегрегации точечных дефектов, в экспериментах с помощью радиоактивных изотопов и авторадиографии высокого разрешения было качественно продемонстрировано, что сегрегация углерода и водорода в поликристаллическом кремнии имеет место только на ограниченном числе МЗГ [5]. В исследовании [6] анализировалось локальное электрохимическое травление пленки германия и кремния для просвечивающей электронной микроскопии. Показано, что число включенных в сегрегацию атомов зависит от вектора Бюргерса дислокации. Эксперименты [7] показывают, что проникновение примесей вдоль МЗГ зависит не только от угла разориентации или положения МЗГ, но и от направления внутри МЗГ, т.е. является анизотропным в плоскости границы. Таким образом, можно перечислить целый ряд важных вопросов касательно сегрегации примесей на МЗГ, ответов на которые на сегодняшний день нет: на каких типах границ будет наблюдаться сегрегация данной примеси? как граница влияет на кинетику диффузии данной примеси и на ее распределение в поликристалле? создаст ли примесь глубокие уровни? возникнут ли электростатические эффекты (объемный заряд

границы) и как это повлияет на перенос носителей заряда через границу?

В теоретических работах [8-10] успешно находятся энергии сегрегации и наиболее вероятные положения дефектов на границе. Но данные расчеты затрагивают всего несколько границ, £5 (130)[001] и ЕЗ (211)[011]. Главным образом это связано с вычислительными трудностями - ведь некоторые модели границ содержат от 500 атомов. Гасчет распределения примесей на таких моделях требует значительного времени. Поэтому, на наш взгляд, не было систематических попыток связать локальную структуру и сегрегацию на границах.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование межзе-ренных границ методами классической молекулярной механики и квантовой химии твердого тела, установления их геометрических моделей, зависимости энергии сегрегации от структуры.

Для достижения поставленной цели в работе необходимо было решить следующие задачи:

1. разработать программный комплекс, реализующий поиск оптимальной геометрии на основе генетического алгоритма;

2. найти оптимальные геометрии произвольных специальных границ;

3. на основе полученных структур произвести расчет энергии сегрегации;

4. проанализировать зависимость энергии сегрегации от структуры границ.

Научная новизна работы отражена в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Установлены модели асимметричных наклонных границ ЕЗ (211)/(255) [011], Е9 (211)/(255)[011], в которых отсутствуют дефекты координации, т.е. все атомы находятся в тетраэдрическом окружении.

2. В ряду возможных конфигураций нейтральной вакансии на наклонных МЗГ имеется следующие корреляционные зависимости: по мере убывания энергии сегрегации локальные уровни вакансии в запрещенной зоне смещаются

по энергии к зоне проводимости. Для наиболее энергетически выгодных конфигураций при энергиях сегрегации от -1.2 эВ и ниже данные уровни сдвигаются в зону проводимости и становятся квазилокальными. Одновременно с этим происходит уменьшение наименьших ближайших парных расстояний между атомами тетраэдрического окружения вакансии.

3. Существует корреляция между энергиями сегрегации примесей углерода, фосфора, а также вакансии на межзеренной границе и параметрами771, г]2,773, 774, характеризующих геометрию ближайшего тетраэдрического окружения атома, замещаемого дефектом. Линейные по параметрам771-4 аппроксимирующие функции для энергии сегрегации перечисленных дефектов позволяют полу количественно оценивать данные энергии, опираясь лишь на пространственное строение границы.

Достоверность полученных результатов определяется:

1. корректным использованием математических методов;

2. совпадение полученных результатов с экспериментальными и теоретическими данными других авторов в тех случаях, где сравнение возможно;

3. публикацией статей в реферируемых научных журналах;

4. апробацией основных научных результатов на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах.

Объект исследования - межзеренные границы в кристаллическом кремнии.

Практическая значимость работы.

Линейные по параметрам 771-4 аппроксимирующие функции для энергии сегрегации рассмотренных дефектов позволяют полуколичественно оценивать данные энергии, опираясь лишь на знание пространственного строения границы. Приближенные энергии сегрегации, полученные с помощью таких функций, можно использовать для:

• Анализа равновесного распределения примесей в поликристалле;

• Определения типов границ, активно захватывающих данную примесь;

• Моделирования диффузии примесей как в плоскости границы так и через нее кинетическим методом Монте-Карло;

• Прочих вариантов многомасштабного моделирования поликристалла с границами.

Апробация работы и публикации.

Материалы работы докладывались и обсуждались на Молодежной конференции "Современные проблемы геохимии" (Иркутск, 2009); 14ой Международной конференции "Спектроскопия высокого разрешения" (Листвянка, 2009); 7ой Международной конференции "Кремний 2010" (Нижний Новгород, 2010); 12ой Международной школе-семинаре по люминесценции и лазерной физике "ЛЛФ-2010" (Иркутск, 2010); Международной конференции - 2010" (Берлин, 2010).

Личный вклад соискателя в опубликованных статьях. Печатные работы, представленные диссертантом, основаны на теоретических результатах, в существенной мере полученных лично автором, и интерпретированных как лично им, так и вместе с соавторами.

Объем и структура работы.

Диссертация представлена на 101 странице, проиллюстрирована 32 рисунками и б таблицами, состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, содержащего 89 наименований.

Введение отражает актуальность, новизну и практическую значимость работы и ее основные цели и задачи.

В первой главе изложены теоретические основы современных методов расчета электронной структуры, таких как методы функционала плотности и метод псевдопотенциала, а также описаны современные методы оптимизации сложных структур.

Во второй главе представлены результаты теоретического исследования границ. Представлен генетический алгоритм поиска структур, реализованный автором работы. Данный алгоритм применялся для оптимизации случайно вы-

бранных наклонных границ. В результате кроме известных моделей границ были получены модели неисследованных ранее наклонных асимметричных границ £3 (211)/(255)[011], Е9 (211)/(255)[011],

£13(7 9 0)/(3 11 0)[001]. Все построенные модели не содержат 3 или 5 координированных атомов или координационных дефектов. В главе делается вывод о том, что для всех протяженных наклонных границ есть модели без координационных дефектов.

В третьей главе представлены расчеты сегрегации точечных дефектов на границах, а также электронная структура таких систем. В главе показано существование зависимости энергии сегрегации точечных дефектов и структурой границы. Выявлен сдвиг локальных уровней вакансии при сегрегации и корреляционная зависимость данного сдвига от энергии сегрегации.

В начале четвертой главы показывается отсутствие систематического исследования зависимости сегрегации и структуры границы, хотя данная зависимость замечается многими авторами. Предлагаются параметры, описывающие структуру границы путем разложения потенциала деформации, создаваемой границей, по неприводимым представлениям группы симметрии тетраэдра. В главе представлена выявленная корреляционная зависимость энергии сегрегации и предложенных параметров. Показано, что данная зависимость хорошо описывается линейной функцией.

В заключении представлены основные научные и практические выводы, полученные в данной работе.

Глава 1

Методы вычислительной химии

1.1 Молекулярная механика

Молекулярная механика - это совокупность методов априорного определения геометрического строения и энергии группы атомов, будь то молекула или твердое тело, на основе модели, в которой электроны системы явно не учитываются. Поверхность потенциальной энергии аппроксимируется определенными эмпирическими функциями разной степени сложности. К примеру, формула (1.1) представляет собой разложение потенциальной энергии по п-частичными потенциалам,

е{т) = с1-1)

где 11{ представляет собой внешнее поле, 17^ - двухчастичное взаимодействие, - трехчастичное взаимодействие, и т.д. Аналитическая форма потенциалов выбирается в зависимости от системы и конкретной задачи. Параметры для потенциалов либо оцениваются из квантовохимических расчетов, либо путем подгонки под эксперимент по каким-то свойствам. В простейшем случае параметрами являются равновесная длина связи и валентные углы, а также силовые постоянные. В многих случаях, например для диоксида кремния, взаимодействие ведет себя как и поэтому достаточно учета парного и трех-частичного взаимодействия.

Таблица 1.1: Параметры для потенциала Стилинджера-Вебера

б(еУ) 2.16826

А 7.049556277

В 0.6022245584

сг (А) 2.0951

7

соб в0

Р

А

а

4 1.80 21.0 1.20

-1/3

Для кремния существует большое множество различных потенциалов [11]. Наиболее популярные - это потенциал Стилинджера-Вебера [12] и Терсоффа [13]. Потенциал Стилинджера-Вебера представляет собой сумму парного и трехчастич-ного взаимодействия:

,где тц - длина связи между соседями, а собО^ - косинус угла между связями г] и Не. Параметры для этого потенциала приведены в таблице 1.1: Этот потенциал позволяет при необходимости учесть добавку к энергии при изменении как длины связи, так и угла между ближайшими соседями. Данный потенциал пригоден для описания структуры алмаза, при наличии большого количества дефектов или оборванных связей дает завышенный результат.

Потенциал Терсоффа лишен этого недостатка, т.к. он имеет неявную многоча-

в другом случае

(1.2)

стичную поправку:

Е = Е 1с{гц)[ац}ц{гц) + Ьг]и(гг])]

i>j

/д(г) = Aexp(-Air) /л (г) = —Бехр(—Л2г)

1 г <R-D

fc{r) = | - | sin f (r-R)/D R — D < r < R [ 0 r > R + D

hj = (i + /3nCS)"1/2n Q = E охр [Ajj(r2J - rlfc)3]

кфг,3

С2 С2

</(*) = 1 +

d2 d2 + [h-cos в}2 Oy = (l + aX)-1/2n

Ъз = E /с(ги')схР[Лз(г'у - Hfc)3]- (1.3)

кфг,3

где Гц - длина связи между г и j атомом , а - это угол между связями ij и гк атома. Одной из наиболее употребительных параметризаций этого потенциала является Терсофф III.Параметры для данного потенциала в случае кремния и углерода приведены в следующей таблице 1.2

1.2 Оптимизация геометрии сложных структур

Одной из основных задач молекулярной механики является нахождение такой конфигурации атомов, при которой потенциальная энергия системы будет минимальна. Для этого применяются различные численные алгоритмы поиска минимума такие, как методы ньютона, метод градиентного спуска и сопряженных градиентов, стохастические методы и пр.

Таблица 1.2: Параметры для потенциала Терсоффа III

& С

А (еУ) 1830.8 1393.6

В (еУ) 471.18 346.74

А"1 2.4799 3.48790

А2 А-1 1.7322 2.700

Аз А"1 1.7322 2.700

Я (А) 2.85 2.85

О (А) 0.15 0.15

а 0.0 0.0

(3 1.0999 х 10"6 0.15724 х 10~6

п 7.8734 х Ю-1 7.2751 х КГ1

с 1.0039 х 105 0.38049 х 105

Ь -5.9862 х Ю-1 -0.57058

1.2.1 Методы поиска локального минимума.

Пусть мы имеем систему из N частиц. Допустим, что потенциал, описывающий взаимодействие частиц имеет один минимум, который и требуется найти. Для этого случая можно применить алгоритм Ньютона, итеративную формулу которого можно записать как,

ж 1п+1] = х Н - Н"1 {хз)Чи{хз)

, где Н - матрица Гессе, £/ - функция потенциальной энергии, жИ = {ж^, ж^1', Жд1',...} - набор координат системы. Причем жо - это начальные координаты нашей системы. Применяя последовательно выше-представленную формулу, мы будем получать новые приближения, пока градиент потенциала не станет равным нулю, либо — ж^-1! < е, для заданной наперед малой величины е. У этого алгоритма есть несколько недостатков:

1. данный метод ищет минимум в параболической окрестности заданной конфигурации атомов

2. необходимо, чтобы конфигурация была близка к минимуму

3. невысокая точность решения

Если поверхность потенциальной энергии содержит множество локальных минимумов, то алгоритм даст только ближайший к начальной точке.

Точность определения минимума у метода сопряженных градиентов выше, однако он требует больше шагов итерации. Рассмотрим его подробнее. Метод сопряженных градиентов - метод нахождения локального минимума функции на основе информации о её значениях и её градиенте. В случае квадратичной функции вМ" минимум находится за п шагов. Определим терминологию:

Пусть 51,...,5пбХс Мп. —* —*

Вектора бх,.. .,£п называются сопряжёнными, если:

->т -т

HSj = 0, г ф э, г, з = 1,... Я^ ^ О, г = 1,...,п

где Я - матрица Гессе /(х). Нулевая итерация: Пусть

50 = -УС/(¿о) (1-4)

Тогда

—*

х1 = х0 + Ахбо (1.5)

—* _ —*

Определим направление = —УСДж!) + а;15отак, чтобы оно было сопряжено с 5о:

50 ТЯЙ = 0 (1.6)

Разложим Уи{х) в окрестности и подставим х = х\:

Уи(х[) - УЩх0) = Я (ж! - х0) = \iHSo Транспонируем полученное выражение и домножим на Я-1 справа:

(УЕ/(х!) - УЩх0))тН-1 = Ах50ТЯТЯ~1

В силу непрерывности вторых частных производных Нт = Н. Тогда:

50Т = (VII (х^ - Уи^УН^Хг

Подставим полученное выражение в ( 1.6):

(УС/(ж1) - ЧЩхо))ТЯ"1Я51Л1 = О

Тогда, воспользовавшись (1.4) и ( 1.5):

(УЩЦ) - Чи(х0))т{-Чи(х1) - илЧЩхо))) = 0 (1.7)

Если Л = а^тшд II(хо + ЛЙ'о), то градиент в точке х\ = жо + Лб'о перпендикулярен градиенту в точке хо, тогда по правилам скалярного произведения векторов:

(ЧЩх0),ЧЩ:Ё1)) = 0

Приняв во внимание последнее, получим из выражения (1.7) окончательную формулу для вычисления си:

и 1 =

||УС/(*0)||2

К-я итерация

На к-й итерации имеем набор Бд,..., Бк-г-

Тогда следующее направление вычисляется по формуле:

ЦУЕ^)

5*; = ~^и(х0) + шхБо + ... + ШкБк-ъ ^ =

где шк непосредственно рассчитывается на к-й итерации, а все остальные уже были рассчитаны на предыдущих.

Это выражение может быть переписано в более удобном итеративном виде:

= -УС/ (хк) + ШкЯк-1

Алгоритм

Пусть хо - начальная точка, го - направление антиградиента и мы пытаемся найти минимум функции Ц(х). Положим ¿о = го и найдем минимум вдоль —♦

направления 5о. Обозначим точку минимума х\.

Пусть на некотором шаге мы находимся в точке f^, и r]t - направление антиградиента. Положим Sk = г к + ^kSk-i, где Uk выбирают либо STk,rS* л (стан-

Vk—l^k — l)

дартный алгоритм - Флетчера-Ривса, для квадратичных функций с Н > 0), либо max(0, ^^ ) (алгоритм Полака-Райбера). После чего найдем минимум в направлении Sk и обозначим точку минимума Xk+i- Если в вычисленном направлении функция не уменьшается, то нужно забыть предыдущее направление, положив и>к = 0 и повторить шаг.

1.2.2 Генетический алгоритм

Генетический алгоритм (англ. genetic algorithm) - это алгоритм поиска, который используется для решения задач поиска экстремума и моделирования путём случайного перебора, комбинирования и вариации исходных данных путем имитации эволюции. Отличительной особенностью ГА является использование оператора "скрещивания", производящий операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.

Первым о генетическом алгоритма высказался Джон Холланд в своей книге "Адаптация в естественных и искусственных системах" (1975) [14].

Схему данного алгоритма можно представить следующим образом. Задача переформулируется так, чтобы решение было представимо как некий вектор - "генотип". Причем каждый элемент данного вектора может быть любым объектом: битом, числом и прочее. Число элементов генотипа может быть как фиксировано, так и варьироваться в процессе решения задачи. В начале ГА неким образом создается множество генотипов, каждый из которых оценивается с использованием "функции приспособленности", т.е. каждому генотипу ставиться в соответствие число. В соответствии с функцией приспособленности из полученного множества решений выбираются наилучшие решения, к которым применяют "генетические операторы", скрещивание и мутация, а затем производится отбор лучших решений в следующие поколение. Повторение таких действий итеративно приводит к появлению среди решений наилучшего, которое при достижении необходимой точности становится окончательным.

Оператор скрещивания или кроссовер по заданному методу смешивает генотип двух или более решений с целью получения третьего. Мутация применяется к одному решению, случайным образом изменяя генотип.

Генетический алгоритм служит для поиска решений в многомерных конфигурационных пространствах.

Таким образом, можно выделить следующие этапы генетического алгоритма:

1. Задать целевую функцию (приспособленности) для особей популяции

2. Создать начальную популяцию

3. Начало цикла

4. Размножение (скрещивание)

5. Мутирование

6. Вычислить значение целевой функции для всех особей

7. Формирование нового поколения (селекция)

8. Если выполняются условия останова, то (конец цикла), иначе (начало цикла).

Перед первым шагом нужно создать начальный набор генотипов. При этом не стоит руководствоваться значением функции приспособленности для всех генотипов. Итогом первого шага является популяция Н, состоящая из N особей.

Следующем этапом идет размножение, при этом подразумевается смешение генотипов двух или нескольких решений, производя таким образом новое решение-потомка. Способ смешения определяется самой задачей. К примеру, возможно разделить генотипы по случайному элементу, и в потомке соединить две разные части. Это так называемый одноточечный кроссинговинг.

После размножения происходит мутация. И далее происходит селекция. Для всего множества определяется функция приспособленности, по значениям которой отбираются наиболее лучшие решения для следующего этапа алгоритма.

1.3 Методы функционала плотности.

1.3.1 Теорема Кона

Методы функционала плотности, основываются на теореме, что свойства системы можно рассчитать, имея только одночастичную электронную плотность. Первой моделью, учитывающей этот факт, стала модель Томаса-Ферми, предложенная в 1927 г. (см., например, [15], стр. 312). Правда данная модель базируется на нестрогих выводах и предположениях, поэтому не имеет достаточной точности, так она не описывает химические связи. Но главным ее достоинством является простота.

Однако, начиная с 1964 года, после доказательства теоремы Кона в работе [16], данный метод уже получил право на существование. Суть данной теоремы состоит в утверждении, что основное состояние многоэлектронной системы однозначно определяется электронной плотностью р(г), и, соответственно, энергия основного состояния оказывается однозначно определенным функционалом плотности (density functional, отсюда английское название данного подхода - density functional theory (DFT)). Приведем доказательство этой теоремы, опубликованное в работах [17,18]. Переформулируем гамильтониан многоэлектронной системы в терминах оператора рождения и уничтожения ф+ (г), ф(г).

H = T + Vee + V

(1.8)

где

1 2

dr dr'

ф+(г)ф+(г')ф(г')ф{г) |г — г'\

У = у dr ь(г)ф+ (г)ф(г) представляют собой операторы кинетической энергии, электрон-электронного

взаимодействия и внешнего потенциала, в который помещена система. Кулонов-ское поле ядер в этом гамильтониане не выписано явно, но оно включено в потенциал у(г). Энергия некоторого состояния Ф может быть записана как

ЯФ = <Ф|Я|Ф> = \idr VrVr' pi(r, г') +\( dr dr' +

2 J r'=r 2 J lr -r I (1.9)

+ / drv(r)p{r)

Здесь мы ввели одночастичную матрицу плотности и двухчастичную плотность

Pi(r,r') = (Ф\ф+(г)ф{г')\Ф)^ ^

Р2(П,г2) = (Ф|^+(г1)^+(г2)^(г2)^(г1)|Ф)

причем pi(r,r) = p(r) ~ это просто электронная плотность. Плотность р(г) называется TV-представимой, если она реализуется в некотором состоянии с N электронами.

В соответствии с вариационным принципом энергию основного состояния можно найти, минимизируя (1.9) по всем iV-электронным волновым функциям Можно, однако, провести эту минимизацию в два этапа: сначала для заданной N-представимой плотности р(г) минимизировать энергию по всем состояниям, имеющим данную плотность, а затем уже по всем TV-представимым плотностям р:

Е = пип(Ф|Я|Ф) = min I min (Ф|Я|Ф) 1 =

ф р(г) J

= minj min (Ф|Г +Уее|Ф) + / drv{r)p(r)\ р{г) [ф->р(г) J )

Здесь мы использовали тот факт, что все волновые функции, дающие одну и ту же плотность р, дают также одну и ту же энергию (Ф|У|Ф). Если теперь ввести универсальный, не зависящий от внешнего потенциала функционал

F[p] = min <Ф|Г+Уее|Ф) (1.11)

ф—>р(г)

то энергию основного состояния можно представить в виде

Е = min Е[р] = min \ F[p] + dr v(r)p(r) i (1.12)

p{r) p{r) { J J

To есть энергию и электронную плотность основного состояния можно найти, не зная его волновой функции, минимизацией функционалаЕ[р]. Это утверждение и составляет сущность теоремы Кона. Главная трудность при этом - то, что вид функционала F[p] неизвестен и для него приходится строить приближения.

При минимизации Е[р] нужно помнить, что число электронов фиксировано и равно N\

N = J drp{r) (1.13)

Это условие можно формально учесть, введя лагранжев множитель р,:

J drv(r)p(r) - ц J drp(r) |=0 (1.14)

что эквивалентно уравнению Эйлера

ÖF

öp{r)

Данное уравнение показывает одно из важных следствий теоремы Кона - а именно, внешний потенциал v(r) однозначно определен плотностью основного состояния р(г) (с точностью до аддитивной константы - можно изменить v(r) на константу при том что р, изменяется на ту же константу).

1.3.2 Уравнения Кона-Шэма

Следующий шаг в развитии метода DFT был сделай в работе [19], где задачу о системе взаимодействующих электронов удалось свести к задаче о невзаимодействующих электронах в эффективном потенциале. Для заданной плотности р(г) введем кинетическую энергию невзаимодействующих электронов:

Tq[p] = min <Ф|Г|Ф) (1.16)

Введем также «классическую» кулоновскую энергию электронного газа (без учета обмена и корреляции):

U[P] = lJdrdr'f^l (М7)

Теперь запишем функционал (1.11) в виде

F[p] = TQ[p] + U[p] + Ехс[р) (1.18)

где Ехс[р] ~ обменно-корреляциопный функционал Данная формула фактически является определением обменно-корреляционного функционала. Слагаемые Tq[p] и U\p] можно вычислить точно, и только для неизвестного функционала Ехс[р] придется строить приближения. Выделение этих двух слагаемых оправданно, поскольку они дают значительно больший вклад в полную энергию, чем Ехс[р]-

Теперь уравнение Эйлера (1-15) можно переписать в виде ST0 / pir'i , SExc

J \r- r'\ 5p(r)

5р{г)

Если теперь ввести потенциал Кона-Шэма

= / + Ш + и(г) (1'20)

то задача (1.19) формально совпадет с задачей о системе невзаимодействующих электронов в потенциале укз(г)- Ее можно решить с помощью одноэлектронных уравнений Шредингера

-~V2 + vKS(r)

Фг(г) = 6гфг(г) (1.21)

Эти и есть уравнения Кона-Шэма (КШ). Одноэлектронные орбитали ф^г) называются орбиталями Кона-Шэма. С их помощью можно легко построить плотность

n

Р(г) = (1.22)

г

Формально уравнения КШ схожи с уравнениями Хартри-Фока, с той лишь разницей, что в уравнения ХФ входит точно вычисляемый обменный оператор , а в уравнения КШ - вариационная производная неизвестного функционала Ехс-Также, как и уравнения ХФ, уравнения КШ нужно решать самосогласованно, поскольку потенциал ькэ сам зависит от плотности р(г). Есть, однако, и различия: уравнения ХФ приближенные, получаемые с их помощью молекулярные орбита-ли имеют смысл одноэлектронных волновых функций, и используются для построения приближенной многоэлектронной волновой функции. Уравнения КШ, в принципе, точные (если бы был известен функционал Ехс), но из орбиталей Кона-Шэма не строится волновая функция системы, а только электронная плотность. Формальное сходство уравнений ХФ и КШ сильно облегчает реализацию этих методов в одном квантовохимическом пакете программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лазебных, Виталий Юрьевич, 2013 год

Литература

[1] Chan Tzu-Liang. Limits on Passivating Defects in Semiconductors: The Case of Si Edge Dislocations / West D., Zhang S. B.. // Physical Review Letters. - Vol. 107. - P. 035503-035507.

[2] Cleri F. Correlation between atomic structure and localized gap states in silicon grain boundaries / Cleri F., Keblinski P., Colombo L et al. // Physical Review B. - 1998. - Vol. 57. - P. 6247-6250.

[3] von Alfthan S. Are the Structures of Twist Grain Boundaries in Silicon Ordered at 0 K? / von Alfthan S., Haynes P.D., Kaski K., and Sutton A. P // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 96. - P. 055505-1 - 055505-4.

[4] Kutsukake K. Influence of structural imperfection of £5 grain boundaries in bulk multicrystalline Si on their electrical activities / Kutsukake K., Usami N., Fujiwara K., et al. // Journal of Applied Phisics. - 2007. - Vol. 101. - P. 063509-1 - 063509-5.

[5] O. Rallon. Influence of carbon and hydrogen segregation on the electrical properties of grain boundaries in polycrystalline silicon sheets / Rallon O., Autcouturier M., Texier-Hervo C., Mautref M., Belouet C. // Solar Cell. 1983. -Vol. 9. - P. 149.

[6] Seiji Takeda. An Atomic Model of Electron-Irradiation-Induced Defects on {113} in Si / Seiji Takeda // Japanese Journal of Applied Physics. - 1991. - Vol. 30. -P. L639-L642. Takeda S. Interstitial defects on {113} in Si and Ge Line defect configuration incorporated with a self-interstitial atom chain / Seiji Takeda,

Kohyama M. and Ibe К. // Philosophical Magazine A. - 1994. - Vol. 70. - P. 287-312.

[7] Herbeuval I. Influence de la structure intercristalline sur la diffusion du zinc dans des joints symetriques de flexion de l'aluminium / Herbeuval I. Biscondi M., Goux C. // Mémoires Scientifiques Rev. Metallurg. - 1973. - Vol. LXX. - №1. -P. 39-46.

[8] Arias T. A. Electron trapping and impurity segregation without defects: Ab initio study of perfectly rebonded grain boundaries / Arias T. A., Joannopoulos J. D. // Physical Review B. - 1994. - Vol. 49. - P. 4525-4531.

[9] Shi T.T. First-principles study of iron segregation into silicon S5 grain boundary / Shi T.T., Li Y.H., Ma Z. Q., G. H. Qu, Hong F. // Journal of Applied Physics. - 2010. - Vol. 107. - P. 093713.

[10] Feng C.B. Structure and effects of vacancies in S3 (112) grain boundaries in si / Feng C.B., Nie J.L., Zu X.T. et al // Journal of applied physics. - 2009. - Vol. 106. - P. 113506-1 - 113506-4.

[11] Balamane H. Comparative study of silicon empirical interatomic potentials / Balamane H., Halicioglu T. and Tiller W. // Physical Review B. - 1992. - Vol. 46. - P. 2250-2279.

[12] Stillinger F. H. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon / Stillinger F. H. and Weber, T. A. // Physical Review B. - 1985. - Vol. 31. - P. 5262-5271.

[13] Tersoff J. Empirical interatomic potential for silicon with improved elastic properties / Tersoff J.// Physical Review В - 1988. - Vol. 38. - P. 9902-9905.

[14] J. H. Holland. Adaptation in natural and artificial systems / J. H. Holland. -Ann Arbor:University of Michigan Press, 1975 - с 235.

[15] JI.Д. Ландау. Теоретическая физика. Том III. Квантовая механика. Неряли-тивисткая теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1989 г. - 767с.

[16] P. Hohenberg. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Physical Review. - 1964. - Vol. 136. - No. 3B. - pp. B864-B870.

[17] Percus, J. K. The role of model systems in the few-body reduction of the N-fermion problem / Percus, J. K. // International Journal of Quantum Chemistry.

- 1978. - Vol. 13. - P. 89-124.

[18] M. Levy. Universal variational functionals of electron densities, first-order density matrices, and natural spin-orbitals and solution of the v-representability problem / M. Levy. // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. -1979. - Vol. 76. - No. 12. - P. 6062-6065.

[19] W. Kohn. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L.J. Sham // Physical Review. - 1965. - Vol. 140. - No. 4A. - P. A1133-A1138.

[20] O. Gunnarsson. Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density-functional formalism / O. Gunnarsson, B.I. Lundqvist// Physical Review B. - 1976. - Vol. 13. - No. 10 - P. 4274-4298.

[21] D.C. Langreth. The exchange-correlation energy of a metallic surface / D.C. Langreth, J.P. Perdew // Solid State Communications. - 1975. - Vol. 17. - No. 11.

- P. 1425-1429.

[22] J. Harris. The surface energy of a bounded electron gas / J. Harris, R.O. Jones // Journal of Physics F. - 1974. - Vol. 4. - No. 8. - P. 1170-1186.

[23] M. Levy. Hellmann-Feynman, virial, and scaling requisites for the exact universal density functionals. Shape of the correlation potential and diamagnetic susceptibility for atoms / M. Levy, J.P. Perdew // Physical Review A. - 1985. -Vol. 32. - No. 4. - P. 2010-2021.

[24] M. Gell-Mann. Correlation energy of an electron gas at high density / M. GellMann, K.A. Brueckner // Physical Review. - 1957. - Vol. 106. - No. 2. - P. 364-368.

[25] R.A. Coldwell-Horsfall. Zero-Point Energy of an Electron Lattice / R.A. Coldwell-Horsfall, A.A. Maradudin // J. Math. Phys. - 1960. - Vol. 1. - P. 395-404.

[26] S.H.Vosko. Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculations: a critical analysis / S.H.Vosko, L.Wilk, M.Nusair // Can. J. Phys. - 1980. - Vol. 58. - P. 1200-1211.

[27] J.P. Perdew. Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy / J.P. Perdew, Y.Wang // Physical Review B. - 1992. - Vol. 45. - No. 23. - P. 13244-13249.

[28] J.P. Perdew. Atoms, molecules, solids and surfaces: Application of the generalised gradient for exchange and correlation / J.P. Perdew, J.A. Chevray, S.H. Vosko, K.A. Jackson, M.R. Pederson, D.J. Singh, C. Fiolhais // Physical Review B. -1992. - Vol. 46. - No. 11. - P. 6671-6687.

[29] C. Lee. Development of Colle-Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density / C. Lee, W. Yang, R.G. Parr // Physical Review B. -1988. - Vol. 37. - No. 2. - P. 785-789.

[30] O. Gunnarsson. Density functional theory and molecular bonding. I. First-row diatomic molecules / O. Gunnarsson, J. Harris, R.O. Jones// Journal of Chemical Physics. - 1977. - Vol. 67. - No. 9. - pp. 3970-3979.

[31] O. Gunnarsson. Band model for magnetism of transition metals in the spin-density-functional formalism / O. Gunnarsson // Journal of Physics F. - 1976. -Vol. 6. - No. 4. - P. 587-606.

[32] N.D. Lang. The density-functional formalism and the electronic structure of metal surfaces / N.D. Lang // Solid State Phys. - 1973. - Vol. 28. - P. 225-300.

[33] D.C. Langreth. Theory of nonuniform electronic systems. I. Analysis of the gradient approximation and a generalization that works / D.C. Langreth, J.P. Perdew // Physical Review B. - 1980. - Vol. 21. - No. 12. - P. 5469-5493.

[34] J.P. Perdcw. Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems / J.P. Perdew, A. Zunger // Physical Review B. - 1981.

- Vol. 23. - No. 10 - pp. 5048-5079.

[35] A.D. Becke. Correlation energy of an inhomogeneous electron gas: A coordinate-space model / A.D. Becke // Journal of Chemical Physics. - 1987. - Vol. 88. -No. 2. - P. 1053-1062.

[36] A.D. Becke. Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior / A.D. Becke // Physical Review A. - 1988. - Vol. 38. -No. 6. - P. 3098-3100.

[37] A.D. Becke. Density-functional thermochemistry. III. The role of exact exchange / A.D. Becke // Journal of Chemical Physics. - 1993. - Vol. 98. - No. 7, pp. 56485652.

[38] A.D. Becke. A new mixing of Hartree-Fock and local density-functional theories / A.D. Becke.// Journal of Chemical Physics. - 1993. - Vol. 98. - No. 2. - P. 13721377.

[39] P.J. Stephens. Ab Initio Calculation of Vibrational Absorption and Circular Dichroism Spectra Using Density Functional Force Fields / P.J. Stephens, F.J. Devlin, C.F. Chablowski, M.J. Frisch // Journal of Physical Chemistry. - 1994.

- Vol. 98, No. 45. - P. 11623-11627.

[40] S.-K. Ma. Correlation Energy of an Electron Gas with a Slowly Varying High Density / S.-K. Ma, K.A. Brueckner// Physical Review. - 1968. - Vol. 165. -No. 1. - P. 18-31.

[41] E.Engel. Exact exchange-only potentials and the virial relation as microscopic criteria for generalized gradient approximations / E.Engel, S.H.Vosko // Physical Review B. - 1993. - Vol. 47. - P. 13164-13174.

[42] J.P.Perdew. Generalized Gradient Approximation Made Simple / J.P.Perdew,

K.Burke, M. Ernzerhof // Physical Review Letters. - 199C. - Vol. 77. - P. 38653868.

[43] Payne M. C. Iterative minimization techniques for ab initio total-energy calculations: molecular dynamics and conjugate gradients / Payne M. C., Teter M. P., Allan D. C. et al. // Rev. Mod. Phys. - 1992. - Vol. 64. - №4. - P. 1045-1097.

[44] Fermi E. Sopra lo spostamento per pressione delle righe elevante delle serie spettrali / Fermi E.// Nuovo Cimento. - 1934. - V.U. - P.157-166.

[45] Chelikowsky J. R. The Pseudopotential-Density Functional Method (PDFM) Applied to Nanostructures / Chelikowsky J. R. // J. Phys. D: Appl. Phys. -2000. - V. 33. - P. R33-R50

[46] Харрисон У. Теория твердого тела / Харрисон У. - М.:Мир. - 1972. 616 с.

[47] Hamann D. R. Norm-Conserving Pseudopotentials / Hamann D. R., Schlter M., Chiang С.// Phys. Rev. Lett. - 1979. - V. 43. - P. 1494-1497.

[48] Troullier N. Efficient pseudopotentials for plane-wave calculations / Troullier N., Martins J. L.// Phys. Rev. - 1991. - V. B43. - P. 1993.

[49] Fuchs M. Ab initio pseudopotentials for electronic structure calculations of polyatomic systems using density-functional theory / Fuchs M., Scheffler M. // Comp. Phys. Commun. - 1999. - V. 119. - P. 67.

[50] Ястребов JI.И. Основы одноэлектронной теории твердого тела / Ястребов Л.И., Канцнельсон A.A. М.: Наука. - 1981. - 320 с.

[51] Bachelet G. Pseudopotentials that work: From H to Pu / Bachelet G., Hamann D. R., Schlüter M. // Ibid. - 1982. - V. B26. P. 4199.

[52] Fraas, L. M. Basic grain-boundary effects in polycrystalline heterostructure solar cells / Fraas, L. M. // Journal of Applied Physics. - 1978. - Vol. 49. - P. 871-877.

[53] Seto John Y. W. The electrical properties of polycrystalline silicon films / Seto John Y. W. // Journal of Applied Physics. - 1975. - Vol. 46. - P. 5247-5256.

[54] Nikolaeva A.V. Investigation of the electronic structure of the £5(210) grain boundary in silicon by the linear muffin-tin orbitals/tight-binding method / Nikolaeva A.V., Artemyev A.V., Vekilov Yu.H. et. al.// Journal of Physics: Condensed Matter. - 1992 - Vol. 4. - P. 2775-2791.

[55] Huang Wen Lai. Atomic and electronic structures of Si[001](130) symmetric tilt grain boundaries based on first-principles calculations / Huang Wen Lai, Ge Wei, Li Chengxiang et al.// Computational Materials Science. - 2012. - Vol. 58 - P. 38-44.

[56] Morris J. R. First-principles determination of the £ = 13 510 symmetric tilt boundary structure in silicon and germanium / Morris J. R., Lu Z.-Y., Ring D. M et al. // Physical Review B. - 1998. - Vol. 58. - P. 11241-11245.

[57] Shenderova 0. A. Atomistic simulations of structures and mechanical properties of polycrystalline diamond: Symmetrical <001> tilt grain boundaries / Shenderova 0. A., Brenner D. W., Yang L. H. // Physical Review B. - 1999.

- Vol. 60. - P. 7043-7052.

[58] Morris J. R. Tight-binding study of tilt grain boundaries in diamond / Morris J. R., Fu C. L., Ho K. M. // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54. - P. 132-138.

[59] Zapol P. Tight-binding molecular-dynamics simulation of impurities in ultrananocrystalline diamond grain boundaries / Zapol P., Stenberg M., Curtiss Larry A., Frauenheim Thomas, Gruen Dieter M. // Physical Review B. - 2001.

- Vol. 65. - P. 045403-1 - 045403-11.

[60] Steneg P. Missing-atom structure of diamond £5 (001) twist grain boundary / Steneg P., Chirita V., Dubrovinskaia N., Dubrovinskaia L., Abrikosov I.A. // Physical Review B. - 2011. - Vol. 84. - P. 144112-1 - 144112-4.

[61] Read W. T. Dislocation models of crystal grain boundaries / Read W. T., Shockley W. // Physical Review. - 1950. - Vol. 78. - P. 275

[62] Hornstra J. Models of grain boundaries in the diamond lattice. I. Tilt about <110> / Hornstra J.// Physica. - 1959. - Vol. 25. - P. 409-422.

[63] Hornstra J. Models of grain boundaries in the diamond lattice: II. Tilt about <001> and theory / Hornstra J. // Physica. - 1960. - Vol. 26. - P. 198-208.

[64] Marklung S. On the Core Structure of the Glide-Set 90? and 30° Partial Dislocations in Silicon / Marklung S. // Physics Status Solidi (b). - 1980. -Vol. 100. - P. 77-85.

[65] Bishop G.H. Dislocation structure and contrast in high angle grain boundaries / Bishop G.H., Chalmers B. // Philosophical Magazine. - 1971. - Vol. 29 - P. 515-526.

[66] Hornstra J. Dislocations in the diamond lattice / Hornstra J. // Journal of Physics and Chemistry of Solids. - 1958. - Vol. 5. - P. 129-141.

[67] Papon A.M. Structure of the £ = 9,11 symmetrical tilt grain boundaries in germanium Electron microscopy observation / Papon A.M, Petit M.P., Bacmann J.J. // Philosophical Magazine A. - 1984. - Vol. 49 - P. 573 - 589.

[68] Jian Zhang. Finding the low-energy structures of Si[001] symmetric tilted grain boundaries with a genetic algorithm / Jian Zhang, Cai-Zhuang Wang, and Kai-Ming Ho. // Physical Review B. - 2009. - Vol. 80. - P. 174102-1 - 174102-6.

[69] Kohyama M. The atomic and electronic structure of a <001> tilt grain boundary in Si / Kohyama M., Yamamoto R., Watanabe Y., et al.// Journal of Physics C: Solid State Phys. - 1988. - Vol. 21. - P. 3205-3215.

[70] Gale J.D. The General Utility Lattice Program / Gale J.D., Rohi A.L. // Molecular Simulation. - 2003. - Vol. 29. - P. 291-241.

[71] Tersoff J. Carbon defects and defect reactions in silicon / Tersoff J. // Physical Review Letters. - 1990. - Vol. 64. - P. 1757-1760.

[72] Kohyama M., Yamamoto R., Watanabe Y., et al. The atomic and electronic structure of the £ = 3 (211) twin boundary in Si / Kohyama M., Yamamoto R., Watanabe Y., et al. // Journal of Physics C: Solid State Phys. - 1988. - Vol. 21. - P. L695-L700.

[73] Rouviere J.L. Analysis of structures of symmetrical [001] tilt grain boundaries in silicon and germanium / Rouviere J.L., Bourret A. // Physique Colloques. -1990. - VOL 51. - P. CI-329-C1-334.

[74] Watkins G. D. Lattice Vacancies and Interstitials in Silicon / Watkins G. D. // Chinese journal of physics. - 1977. - Vol. 15. - P 92-101.

[75] Perdew J.P. Generalized Gradient Approximation Made Simple / Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. // Physical Review Letter. - 1996. - Vol. 77. - P. 38653868.

[76] Kresse G. From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented wave method / Kresse G., Joubert J. // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 59. - P. 1758-1775.

[77] Monkhorst H.J. Special points for Brillouin-zone integrations / Monkhorst H.J., Pack J.D. // Physical Review B. - 1976. - Vol. 13. - P. 5188-5192.

[78] El-Mellouhi F. Sampling the diffusion paths of a neutral vacancy in silicon with quantum mechanical calculations / El-Mellouhi F., Mousseau N., Pablo Ordejon. // Physical Review B. - 2004. - Vol. 70. - P. 205202.

[79] Mandurah M.M. Dopant segregation in polycrystalline silicon / Mandurah M.M., Saraswat K.S, Helms C.R.,Kamins T.I. // Journal of Applied Physics. - 1980. -Vol. 51. - P. 5755-5763.

[80] K. Inoue. Dopant distribution in gate electrode of n- and p-type metal-oxide-semiconductor field effect transistor by laser-assisted atom probe / Inoue K.,

Yano F, Nishida A., Takamizawa H., ct al // Journal of Applied Physics Letter. - 2009. - Vol. 95. - P. 043502.

[81] Ishiharaa R. Electrical property of coincidence site lattice grain boundary in location-controlled Si island by excimer-laser crystallization / Ishiharaa R., Hea T, M., Ranaa V., Hiroshimab Y., et al. // Thin Solid Films. - 2005. - Vol. 487. -P. 97-101.

[82] Duguay S. Direct imaging of boron segregation to extended defects in silicon / Duguay S., Philippe T., Cristiano F., Blavette D. // Applied Physics Letters. -2010. - Vol.97. - P. 242104.

[83] Jin S. B segregation to grain boundaries and diffusion in polycrystalline Si with flash annealing / Jin S., Jones K.S., Law M.E., Camillo-Castillo R. // Journal of Applied Physics. - 2012. - Vol. Ill, No. 4. - pp. 044508.

[84] Bouchet D. Relation between electrochemical reactivity and structure of grain boundaries correlated to intergranular sulfur segregation in ultra pure nickel / Bouchet D., Beanier L., Colliex C., Trebbia P. et al. // D. Bouchet. Journal de Physique. - 1985. - Vol. 46. - P. C4-505-C4-515.

[85] Chen J. Recombination activity of S3 boundaries in boron-doped multicrystalline silicon: Influence of iron contamination / Chen J., Yang D., Xi Z., et al. // Journal of Applied Physics. - 2005. - Vol. 97. - P. 033701.

[86] Martinuzzi S. Segregation phenomena in large-size cast multicrystalline Si ingots / Martinuzzi S., Perichaud I., Palais O. // Solar Energy Materials and Solar Cells. - 2007. - Vol. 91 - P. 1172-1175.

[87] Hara K. Photothermal signal and surface potential around grain boundaries in multicrystaline silico solar cells investigated by scanning probe microscopy / Hara K., Takahashi T. // Applied Physics Express. - 2012. - Vol. 5. - P. 022301-1 -022301-3.

dfrf

[88] Chen J. Electron-beam-induced current study of small-angle grain boundaries in multicrystalline silicon / Chen J., Sekiguchi T., Xie R., Ahmet P. et al. // Scripta Materialia. - 2005 - Vol. 52. - P. 1211-1215.

[89] Sakaguchi N., Miyake M., Watanabe S., et al. EELS and Ab-initio Study of Faceted CSL Boundary in Silicon / Sakaguchi N., Miyake M., Watanabe S. et al. // Materials Transactions. - 2011. - Vol. 52. - P. 276-279.