Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Стадная, Надежда Павловна

• Стадная, Надежда Павловна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Стадная, Надежда Павловна

Содержание

Введение

1 Литературный обзор

2 Формализм матрицы плотности, и его использование для описания квантовых систем с запутыванием

2.1 Преобразование векторов состояний и операторов в гильбертовом пространстве

2.2 Матрица плотности. Основные понятия

2.3 Квантовая запутанность

2.3.1 Понятие запутанности в составных квантовых системах

2.3.2 Экспериментальная реализация запутанных состояний

2.3.3 Квантовая запутанность как информационный ресурс в квантовых вычислениях

2.3.4 Квантовые алгоритмы. Тслепортация

3 Исследование динамики спектроскопических переходов в излучательных атомных системах

3.1 Теоретические основы спектроскопических переходов

3.2 Гамильтониан системы. Основное расчётное уравнение метода

3.3 Реализация решения системы. Тестирование

4 Обсуждение основных результатов 76 Заключение 98 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием»

Введение

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена теоретическому исследованию явлений запутанности и декогеренции в квантовых системах. Данная задача является одной из фундаментальных проблем в квантовой оптике и её приложениях. Уравнение Линдблада (master-equation) является базовым для решения задач эволюции матрицы плотности. В рамках этого формализма удаётся проанализировать как обратимую унитарную динамику, характерную для замкнутых квантовых систем, так и процессы релаксации (декогеренции) для открытых квантовых систем, то есть систем, взаимодействующих с окружением (термостатом). В этом формализме поле вакуума рассматривается как окружение и поэтому можно исследовать процессы спонтанного распада (девозбуждения) системы [1]. Условиями применимости уравнения Линдблада являются: теория возмущений по взаимодействию с окружением и предположение о марковости процесса эволюции. В данной работе предлагается рассматривать электромагнитное поле как часть системы, поэтому необходимо решать уравнение фон Неймана на матрицу плотности. В этом случае наблюдаются характерные квантовые осцилляции Раби, а влияние состояния квантовой системы удаётся проанализировать в рамках теории спектроскопических переходов в простейших квантовых системах (например, два двухуровневых атома в квантованном электромагнитном поле).

Особый интерес представляет исследование временной динамики квантовых переходов в системах с запутыванием. В диссертации ставится задача о численной реализации уравнения фон Неймана для конкретной системы: два двухуровневых атома, взаимодействующих с электромагнитным полем вакуума, а так же - с окружением.

Цели исследования

Целью работы является численная реализация решения уравнения фон Неймана на матрицу плотности, которое позволяет проанализировать временную зависимость различных характеристик оптических переходов, а так же, при необходимости, учесть эффекты декогеренции.

Для достижения вышеуказанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение модели квантовой системы с запутыванием, взаимодействующей с электромагнитным полем с учетом окружения.

2. Получение и исследование в рамках предложенной модели решения уравнения фон Неймана па матрицу плотности

гП^ = Нр-рН

При этом элементы матрицы плотности используются в дальнейшем для вычисления различных динамических характеристик системы посредством нахождения частичного следа матрицы по соответствующим подсистемам, например, временная зависимость заселённости основного уровня атома может быть определена как = (0|рд|0), где /5д -

редуцированная матрица плотности:

3. Анализ проявления фактора запутанности на временную эволюцию различных зависимостей, например, засоленностей уровней, а также дипольных моментов перехода, энергии поглощения и других.

4. Рассмотрение в данной модели влияния окружения на динамику системы, начальное состояние которой запутано.

Научная новизна работы

1. Получено численное решение уравнения фон Неймана на матрицу плотности для системы двухуровневых атомов в электромагнитном поле.

2. Получены и проанализированы временные зависимости оптических характеристик системы: заселённостей уровней, дипольных моментов перехода, энергии поглощения.

3. Выявлено влияние эффекта запутанности начального состояния системы на дальнейшую динамику вышеуказанных характеристик.

4. Показано, что в случае запутанного начального состояния системы возможно существование коллапса и возрождения заселённостей.

5. Показано, что в модели с окружением, рассматриваемым как система невзаимодействующих осцилляторов, начальная запутанность квантовой системы сохраняется с течением времени (пленение заселённостей).

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы при разработке или построении квантовых схем вычислений на основе методик, использующих в качестве кубитов квантовые точки с конечным числом уровней. Управляющие воздействия, осуществляемые различными лазерными источниками, могут быть проанализированы с использованием развиваемой в данной работе модели. Модель обеспечивает расчёт, необходимый для практических приложений величин, таких как временная зависимость заселённостей и средняя поглощаемая энергия.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод основного уравнения (уравнение фон Неймана) для описания динамики замкнутых и открытых систем с учётом фактора запутанности квантовых состояний.

2. Проявление квантовой запутанности состояний составных систем в динамике и характеристиках спектроскопических переходов.

3. Моделирование коллапса и возрождения состояний в условиях запутанности.

4. Влияние окружения на динамику рассматриваемой системы с учётом фактора запутанности.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается использованием современных методов теоретической физики и согласием предельных случаев с известными в литературе.

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях:

1. Научные сессии Воронежского государственного университета (20102011).

2. XXII международная конференция «Релаксационные явления в твердых телах», 14.09 - 18.09, Воронеж, 2010.

3. XIII Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструткур, полупроводниковой опто- и наноэлсктронике, 21.11 - 25.11, Санкт-Петербург, 2011.

4. XX международная конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 23.09 - 27.09, Воронеж, 2013.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано пять печатных работ, из них две статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК и три публикации в сборниках трудов и тезисов конференции.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц, из них 99 страниц текста, включая 44 рисунка. Библиография включает 110 наименований на 11 страницах.

Личный вклад автора Содержание диссертации и результаты, составляющие положения, выносимые на защиту, получены автором лично. Подготовка публикаций полученных результатов проводилась совместно с соавторами, при этом вклад диссертанта был определяющим.

1 Литературный обзор

Теория спектроскопических переходов, связанная с исследованием взаимодействия атомов с полем излучения, составляет основу квантовой оптики. Среди задач, рассматриваемых в этой области, особое внимание отводится изучению двухуровневых атомов. Это обусловлено рядом причин.

Во-первых, данная система допускает простое теоретическое описание процессов взаимодействия с возможностью точного решения уравнения Шрёдингера.

Во-вторых, модель двухуровневого атома может быть обобщена для других подобных систем, которые могут находиться в двух состояниях, таких как квантовые точки, ядерные спины в магнитном поле, некоторые органические молекулы, фотоны с двумя возможными поляризациями и др.

В-третьих, с развитием лазеров, исследования в области взаимодействия двухуровневых атомов с полем излучения приобрели, кроме теоретического, широкий практический интерес.

Используя лазеры в качестве источников электромагнитного излучения, можно воздействовать па атом полем с частотой, близкой по частоте перехода между какими-либо парами уровней. В этом случае влиянием других уровней можно пренебречь и ограничиться рассмотрением двухуровневого атома. Так же, использование резонаторов высокой добротности приводит к тому, что атом, помещённый в такой резонатор, взаимодействует только с одной или несколькими модами поля, квантованного в объёме резонатора.

Интерес к исследованию двухуровневых систем в последние годы значительно вырос в связи с развитием теории квантовых вычислений, где объект с двумя возможными состояниями, рассматривается в качестве базового логического элемента квантового компьютера [2-6].

Описание процессов взаимодействия одного или нескольких атомов с одной или несколькими модами квантованного электромагнитного поля

проводится обычно в рамках резонаторной квантовой электродинамики (РКЭ). Теоретические представления РКЭ связаны в первую очередь с исследованием модели Джейнса-Каммиигса (МДК) и её обобщений. Это обусловлено тем обстоятельством, что указанная модель достаточно качественно описывает физические процессы и вместе с тем допускает точное решение [7].

Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением в рамках МДК хорошо изучены. Основу подхода составляет решение уравнения Шрёдингсра с гамильтонианом МДК:

HJc == + Тш)а+а^у(а+а + а+&) (1.1)

или его разновидностями и обобщениями. Гамильтониан в (1.1) записывается для модели взаимодействия двухуровневого атома с модой резонаторного поля в дипольиом приближении и приближении вращающейся волны (ПВВ) При этом

|0) и |1) - векторы состояний основного и возбуждённого уровня атома соответственно; а+ и а" - повышающий и понижающий операторы. ^ = ^ТГ*1 " частота перехода между уровнями.

7 = л/Щ-со - коэффициент взаимодействия атома с полем.

Как уже отмечалось, преимуществом данной модели является возможность точного решения уравнения Шрёдингсра с гамильтонианом (1.1). Исследованию МДК посвящено большое количество работ, например, [8-14]. В рамках указанной модели удаётся описать ряд явлений, таких как коллапс и возрождение квантовых осцилляций Раби, когерентное пленение заселённосетй [8] и др. Метод имеет разные обобщения, обусловленные включением миогомодовых полей [15-16], многофотонных переходов, многоуровневых атомов [17-18], многоатомных взаимодействий [19].

'В этом случае ограничиваются рассмотрением реальных переходов, в которых испускается фотон, тогда как атом переходит из верхнего состояния в нижнее, или, напротив, фотон поглощается, а атом переходит

из нижнего состояния в верхнее.

Важно отмстить, что квантовая система может совершить излучательный квантовый переход 2 из состояния |1) в состояние |0) только в том случае, когда сё нестационарная волновая функция представляет собой суперпозицию этих состояний:

|Ф) = Со|0) + С1|1>,

Здесь со и с\ - некоторые комплексные числа, причём 2 имеет смысл заселённости к-го уровня атома [20].

Коллапс и возрождение осцилляций Раби, пленение заселённостей и др. возможны только в том случае, когда начальное состояние атома до включения поля представляет собой когерентную суперпозицию состояний.

Вышеописанные процессы в рамках модели МДК рассматриваются в литературе в основном для одного атома (необязательно двухуровневого). взаимодействующего с полем, чаще всего когерентным. Обращает на себя внимание тот факт, что аналогичные явления в составных системах, содержащих более одного атома, исследованы недостаточно.

В том случае, когда имеются хотя бы два атома, взаимодействующих с полем, мы имеем дело с составной системой, которую можно рассматривать как открытую, так и закрытую, по отношению к полю излучения. При первом подходе описание состояния полной системы с помощью векторов состояний не всегда возможно, так как состояние может оказаться смешанным, и ему не будет соответствовать никакой вектор состояния в гильбертовом пространстве.

В этом случае прибегают к формализму матрицы плотности /3, введённой впервые в работах фон Неймана [21] и Л. Д. Ландау [22] в 1927 г. В том случае, когда поле излучения рассматривается внешним по отношению к системе атомов, для нахождения эволюции состояния и описания взаимодействия

2 Излучательный переход характеризуется изменением энергии системы в результате поглощения или испускания квантои ЭМИ.

пользуются известным уравнением Линдблада (master-equation) [6]:

ft = Я + Е (2^p£j - р}) (L2)

j

Оператор Lj характеризует процессы девозбуждения в системе и имеет вид [23-24]:

7 связан по смыслу с коэффициентом затухания колебаний в системе.

В большинстве работ по исследованию процессов взаимодействия систем атомов с полем применяется данный подход. При этом он позволяет таким же образом описывать взаимодействие системы с окружением (термостатом). Однако метод имеет определенные ограничения. Основное уравнение Линдблада записывается с использованием теории возмущений и марковского приближения. Несмотря на это, решение уравнения для различных систем позволяет проанализировать множество задач, связанных как с обратимой унитарной эволюцией, характерной для замкнутых квантовых систем, так и процессами релаксации (декогеренции) для открытых квантовых систем.

В случае, когда поле излучения рассматривается как часть замкнутой системы «атомы+поле», необходимо точно решать уравнение фон Неймана (аналог уравнения Шрёдиигера для матрицы плотности):

*nft={H,p] (1.3)

При таком рассмотрении поле интерпретируется как электромагнитный вакуум и выступает как «посредник»при передаче возбуждения между атомами системы.

Исследование литературы по данному вопросу показало, что вопрос о точном решении уравнения (1.3) для системы «атомы+поле излучения »недостаточно изучен.

В связи с этим была поставлена задача найти и проанализировать точное решение уравнения фон Неймана (1.3) для конкретной системы: два двухуровневых атома, взаимодействующих друг с другом через поле электромагнитного вакуума, с учётом окружения и без.

Метод, основанный на решении уравнения (1.3), позволяет определять временные зависимости элементов матрицы плотности при любых начальных состояниях системы и использовать их в дальнейшем для нахождения основных излучательных характеристик системы: дипольных моментов переходов, инверсий заселённостей, энергий излучения и поглощения, времён релаксации системы, тензора рассеяния, энтропии и др.

Особое внимание в работе мы бы хотели обратить на исследование динамики

¥

переходов в атомах в том случае, когда в начальный момент времени их состояния перепутаны.

Несмотря на то, что сам термин «запутанность», а точнее, «перепутанность», был введён ещё в 1934 г. Э Шрёдингером [25], повторный интерес к этому явлению возрос сравнительно недавно. Он связан с тем, что запутанность является главным информационным ресурсом при создании квантовых компьютеров.

Математически запутанное состояние составной системы характеризуется волновой функцией, представляющей суперпозицию квантовых состояний системы, которая не сводится к тензорному произведению состояний отдельных подсистем [26].

Запутанные состояния рассматриваются в приложениях, связанных с парадоксом ЭПР [27-28]. В связи с запутанностью двухчастичных состояний и, в частности, состояний Белла, вопрос о парадоксе формулируется в терминах неравенства Белла [29-30], а именно, для каких из двухчастичных состояний неравенство Белла выполняется, а для каких - нет [31-33].

Исследования влияния запутанности на эволюцию квантовой системы играют основополагающую роль в вопросах квантовой информации, таких

как квантовая тслепортацня, квантовая криптография, а также в проблеме создания квантовых компьютеров, где запутанность кубитов (элементарных ячеек памяти квантовых компьютеров) является основным информационным ресурсом. Эти вопросы подробно изложены, например, в [2-6, 34-42].

Особое внимание здесь необходимо обратить на тот факт, что запутанность - это свойство квантовой системы, проявляющееся на любом расстоянии между подсистемами, и, более того, его проявление никак не зависит от пространственного фактора.

Экспериментальная реализация запутанных состояний возможна для различных квантовых систем, на что указывает большое количество исследований в данной области.

Перепутанные состояния генерируются в результате спонтанных распадов фотонов в кристаллах (см. напр. [43-52]), алгоритмическим методом, реализуемом на ионах в ловушке и ядерных спинах в ЯМР-квантовых компьютерах (см. напр. [4,53]), на квантовых точках (см. напр. [54-57]).

С практической точки зрения актуальным является вопрос о приготовлении запутанного состояния и умении управлять им, то есть изменять степень запутанности. В связи с последним обстоятельством, необходимо выбрать некий критерий, характеризующий степень запутанности состояний. Обычно его определение связано с разложением Шмидта волновой функции и энтропией фон Неймана матрицы плотности [3-4,6].

В диссертации предлагается меру запутанности рассматривать как фактор, который может быть изменён в любой момент времени внешним воздействием на состояния атомов.

Экспериментальная реализация такой возможности на настоящий момент имеется. Этой проблеме посвящены ряд работ (см. напр. [58 -61]). Например, в [62] предлагается для изменения меры псрспутывания фотонной пары использовать бифотонное поле с широким спектром, при этом степень перепутывапия можно увеличить за счёт уширения

спектра. В экспериментальных задачах так же важно выбрать эквивалент «меры»запутывания. В работе [61] для количественного анализа степени перепутывания был использован параметр Я, введённый ранее М. В. Федоровым [60], определяемый как отношение ширины спектра единичных фотонов к ширине спектра совпадений фотоотсчстов.

Изменению меры запутывания в атомных системах посвящено меньшее количество работ, можно отметить [61-65].

В диссертации предполагается возможность управления мерой запутанности в атомных системах. Учет запутывания проводится введением фактора Л, который может принимать значения от —1 до 1, при этом максимально запутанному состоянию отвечает Л = 0, а матрица плотности, отвечающая начальному состоянию системы, имеет вид:

= (1 + Л)21Ф1><Ф1| - (1 - Л2)([Ф1)(Ф21 + [ФаХФхР + (1 - А)2|М>2)(Ф21 Р[ } 2(1 + Л2)

(1.4)

Для рассмотрения динамики спектроскопических переходов в системе двух атомов, взаимодействующих с полем излучения, применяется метод матрицы плотности для точного решения уравнения фон Неймана (1.3) с начальным условием (1.4). При этом меру запутывания можно изменять в любой момент времени.

Таким образом, вопросы, на которые мы бы хотели обратить внимание в данной работе следующие:

1) в качестве теоретического обзора:

• формализм матрицы плотности и уравнение фон Неймана для исследования динамики излучающих систем;

• понятие и критерии запутанности в квантовых системах, их экспериментальная реализации и практические приложения в квантовых вычислениях;

наследуемая часть:

разработка метода точного решения уравнения фон Неймана (1.3) для выбранной системы с учётом окружения и без;

численная реализация решения и его использование для нахождения излучатсльных характеристик системы;

построение временных зависимостей основных излучательных характеристик системы;

проявление фактора запутанности и его влияние на эволюцию системы с учётом окружения и без; обнаружение эффектов коллапса и возрождения осцилляций Раби, пленения заселённостей для системы, находящейся в запутанном состоянии;

анализ динамики системы для случая, когда мера запутывания изменяется во времени по гармоническому закону.

2 Формализм матрицы плотности, и его использование для описания квантовых систем с запутыванием

2.1 Преобразование векторов состояний и операторов в гильбертовом пространстве

Согласно основным принципам квантовой теории, состояние системы описывается вектором в гильбертовом пространстве Ь.

Гильбертово пространство Ь - это полное конечномерное линейное пространство комплексных, квадратично интегрируемых, функций, называемых также векторами, для которых введено скалярное произведение.

Каждому вектору |Ф) соответствует дуальный (комплексно сопряженный) вектор (Ф|.

Пусть |Ф) и (Ф| - два вектора из Ь. Скалярным произведением называют число:

Здесь £ - набор координат, количество которых соответствует размерности пространства; - элемент объёма пространства Ь, Ф* - функция, комплексно сопряжённая Ф.

Два вектора |Ф) и |Ф) называют ортонормированными, если:

Пусть размерность пространства Ь равно N. В этом пространстве всегда можно выбрать ортонормированиый базис \фп) из N векторов:

(2.1)

(2.2)

{'Фп\'Фт) = 5пт

(2.3)

Любую функцию |Ф) из Ь можно разложить по данному базису:

п

Существуют различные обозначения для векторов пространства. Мы в дальнейшем в работе будем использовать обозначения Дирака.

Состояние изолированной системы в квантовой теории описывается зависящим от времени вектором состояния |Ф(£)) в гильбертовом пространстве. Если система имеет конечное число степеней свободы, это пространство будет конечномерным векторным пространством3 над полем комплексных чисел, а физические состояния системы будут представлены нормированными векторами в этом пространстве с условием нормировки (2.2). Физический смысл такого описания состоит в том, что квантовая механика является линейной теорией: если система может находиться в двух различных состояниях |Фх) и | Ф2); то она может находиться в состоянии, описываемом произвольной линейной комбинацией |Ф) = с^Фх) + с2]Ф2), где с\ и с2 - комплексные коэффициенты с условием нормировки:

<Ф|Ф) = (с{<Фх| + с*(Ф2|) (С1|Фх) + с2|Ф2)) = |с1|2(Ф1|Ф1) + с^с2(ф1|ф2}+

+ф1(Ф2|Ф1) + |с2|2(Ф2|Ф2) - |с1|2(Ф1|Ф1) + |с2|2(Ф2|Ф2) = ы2 + |с2|2 = 1

Любой физической величине (наблюдаемой), определённой предписанием способа её измерения, отвечает линейный оператор в пространстве Ь [66]. Для системы с конечным числом степеней свободы оператор может быть представлен матрицей конечного размера в выбранном базисе.

По аналогии с векторами состояний операторы также могут быть представлены в виде разложения по компонентам [67]:

д = ^^\С\фк)\фМфк\

3,к

3такое пространство так же называют унитарным.

Вектор состояния эволюционирует со временем в соответствии с линейным дифференциальным уравнением Шрёдингера:

г^|Ф(0>=Я|Ф(0>

где Н - эрмитов оператор Гамильтона для данной системы. Вследствие этого эволюция вектора состояния за конечное время определяется уравнением

¡Ф(£)) = ¿/(¿)|Ф(0), где (¡{Ь) — ехр^— ¿г / Нв!^ есть некоторый, определяемый гамильтонианом, оператор эволюции. Эрмитовость оператора Гамильтона приводит к тому, что оператор эволюции является унитарным, то есть 0+и = ии+ = 1. Это гарантирует сохранение нормы вектора состояния и существование обратного оператора О-1 = то есть возможность по конечному состоянию восстановить начальное: |Ф(0)) = 0+ |Ф(£))- Таким образом, эволюция изолированной системы является унитарной и обратимой.

Так же существуют взаимодействия, называемые измерениями (или наблюдениями), при которых квантовомеханическая система перестаёт быть изолированной и вступает во взаимодействие с макроскопической классической системой, называемой измерительным прибором, у которой существует несколько (например, к) различимых состояний. В результате такого взаимодействия прибор переходит случайным образом в одно из возможных состояний с номером г = а система переходит в соответствующее

собственное состояние |Фг). Вероятность перехода в данное состояние Р{ зависит только от конструкции прибора (то есть измеряемой величины) и состояния системы |Ф) в момент измерения. Исходное состояние системы необратимо разрушается. Единственной информацией, которую удаётся измерить, является случайный номер состояния, в которое перешёл прибор (и, соответственно, система).

Пусть состояние системы описывается вектором состояния |Ф) в некотором гильбертовом пространстве Ь. Наблюдаемой называется любой набор подпространств Е1,Е2,...1Е}г С Ь, которые полностью подразделяют Ь и не

перекрываются:

Е1х Е2х ... х Ек = Ь,

для

г,<] = 1, ...,к, ¿ ф }

Любой вектор состояния |Ф) может быть представлен как линейная комбинация (суперпозиция) компонент, лежащих в каждом из подпространств Е^.

к

¿=1

где аг есть произвольные комплексные коэффициенты с условием нормировки 1а'г|2 = 1- Тогда результат наблюдения вектора состояния |Ф) посредством наблюдаемой будет следующим:

а) будет случайно выбрано одно из Е{ с вероятностью

б) исходный вектор состояния |Ф) превратится («коллапсируст») в фв1 (нормированный);

в) единственной полученной информацией является номер выбранного подпространства г.

Отсюда следует, что при повторном измерении мы всегда получим в точности тот же результат, поскольку вектор состояния уже лежит в Е{.

Таким образом, операция измерения также преобразует квантовомеханичсскую систему, однако оператор преобразования обычно называемый проектором, не является ни унитарным, ни обратимым.

2.2 Матрица плотности. Основные понятия

Любое состояние квантового объекта может быть описано матрицей плотности р, которая содержит информацию о возможных результатах измерения над объектом.

Одним из основных преимуществ использования метода матрицы плотности является возможность описывать все квантовомеханические состояния, как полностью, так и не полностью определенные, а также работать с составными системами.

Таким образом, описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания систем.

В том случае, когда состояние системы определено не полностью, то есть, другими словами, не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам, описание системы возможно только с помощью матрицы плотности. Такие состояния называют смешанными [22,68].

Смешанные состояния возникают при рассмотрении открытой системы, то есть взаимодействия некоторой замкнутой системы с окружением. В качестве последней может выступать, например, измерительная система. Подобное взаимодействие приводит к флуктуациям (шумам) макроскопических характеристик, необратимым процессам диссипации энергии квантовой системы и к необратимому квантовому эффекту - разрушению квантовой когерентности (декогерентизации) квантовых состояний. В конечном счёте квантовая система достигает термодинамического равновесия с окружением [3].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стадная, Надежда Павловна, 2013 год

Список литературы

I.Scully М, О. Quantum optics / М. О. Scully, М. S. Zubairy. - Cambridge: University Press, 1997. - 630 p.

2. Килин С. Я. Квантовая информация/Я. С. Килин// Успехи физических наук. - 1999. - Т. 169. - № 5. - С.507-527.

3. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность/К. А. Валиев, А. А. Кокин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2001. - 352 с.

4. Валиев К. А., Кокин А. А. От квантов к квантовым компьютерам/К. А. Валиев, А. А. Кокин// Природа. - 2002. - № 12,- С.28-36.

5. Валиев К. А. Квантовые компьютеры/ К.А.Валиев//Успехи физических наук. - 2005,- Т. 175. - № 1. - С.4-39.

6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: [пер. с англ.]/М. Нильсен, И. Чанг. - М.: Мир, 2006. - 824 с.

7. Алискендеров Э. И., Шумовский А. С. Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением/Э. И. Алискендеров, А. С, Шумовский//Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1993. - Т.24. - Вып.2. - С. 409 -462.

8. Yoo Н. I., Eberly J. Н. Dynamical theory of an atom with two or three levels interacting with quantized cavity fields/H. I. Yoo, J. H. Eberly//Physics Reports. -1985. - Vol.118. - pp. 239-337.

9. Meschede D. Radiating atoms in confined space: From spontaneous emission to micromasers/ D. Meshede//Physics Reports. - 1992. - Vol.211. - pp. 201-250.

10. Han F. Entanglement dynamics and transfer in a double Jaynes- Cummings model. Chin Sci Bull, 2010, 55: 1758-1762.

II. Sainz I, BjEok G. Entanglement invariant for the double Jaynes- Cummings model. Phys Rev A, 2007, 76: 042313

12. An N B, Kim J, Kim K. Entanglement dynamics of three interacting two-level

atoms within a common structured environment. Phys Rev A, 2011, 84: 022329

13. Киктенко E. О. Запутанность и причинность в модели Джсйнса-Каммингса/ Е. О. Киктенко//Молодсжпый научно-технический вестник. - 2012. -Вып. 8. -С. 77-84.

14. Козловский А. В. Коллапс и возрождение осцилляций Доплера-Раби, движущегося в резонаторе атома/А. В. Козловский//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 134. - Вып.5(11). - С. 876-886.

15. Gou S. C.Quantum behavior of a two-level atom interacting with two modes of light in a cavity/S. C. Gou//Physical Review A. - 1989. - Vol.40. - pp. 5116-5128.

16. Singh S. Field statistics in some generalized Jaynes-Cummings models/S. Singh//Physical Review A. - 1982. - Vol.25. - pp. 3206-3216.

17. Kozicrowski M. Shumovsky A. S. Photon statistics in an N-level (N-l)-modc systcm/M. Kozicrowski//Physica A. - 1987. - Vol.145. - p. 290.

18. Abdel-Hafez A. M., Obada A. S. F., Ahmed M. M. A. N-level atom and N-l modes: Statistical aspects and interaction with squeezed light/A. M. Abdel-Hafez//Physical Review A. - 1987. - Vol.35. - p. 1634-1642.

19. Barnett S. M., Knight P. L. Dissipation in a fundamental model of quantum optical resonancc/S. M. Barnett//Physical Review A. - 1986. - Vol.33. - p. 2444-2448.

20. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы: [пер. с англ.]/Под ред. B.J1. Стрижевского. - М.: Мир, 1978. - 223 с.

21. Neumann J. von. In Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaft zu Gottingen aus dem Jahre 1927/J. von Neumamann// Mathematisch-Physikalishe Klasse. Weidmannsche Buchhandlung. - Berlin, 1928. - p.l, 246, 273.

22. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц; 4-е изд. - Москва: Физматлит, 2003. - Т. 3: Квантовая механика (нерелятивистская теория). - 768 с.

23. Давыдов A.C. Квантовая механика/А. С. Давыдов; 2-е изд. - М.: Наука, 1973. - 704 с.

24. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках: [пер. с англ.]/ К. В. Гардинер. - М.: Мир, 1986. - р. 538.

25. Schrodinger Е. The Present Status of Quantum Mechanics/E. Schrodinger.//Naturwissenschaftcn. - 1935. - Vol. 23. - № 48. - p. 844-849

26. Качаев. И. А. Квантовые вычисления/ И. А. Качаев//Препринт ИФВЭ 2001-12. - Протвино, 2001. - 24 с.

27. Einstein A., Podolsky В., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?/A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen//Physical Review. - 1935. - Vol. 47. - Is.10. - p.777-780.

28. Bohr N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?/N. Bohr// Physical Review. - 1935. - Vol. 48 - p.696-702.

29. Bell J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox/J. S. Bell//Physics. - 1964. - Vol. 1. - p. 195-200.

30. Werner R.F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model/R. F. Werner// Physical Review. - 1989. - Vol.40 - p. 4277-4281.

31. Popescu S. Telcportation versus Bell's inequalities. What is nonlocality?/S. Popescu// Physical Review Letters. - 1994. - Vol. 72. - p. 797-800.

32. Манько В. И., Андреев В. А. Двухчастичные спиновые состояния/В.А.Андреев, В.И.Манько//Письма в журнал эксперименальной и теоретической физики. - Т. 72. - Вып. 2. - С. 130 - 135.

33. Андреев В.А./Томография спиновых состояний, критерий перепутанности и неравенства Бслла//В. А. Андреев, В.И. Манько, О.В. Манько, Е.В. Щукин//Теореггичсская и математическая физика. - 2006 - Т. 146. - С. 172 -185.

34. Bouwmeester D. The physics of Quantum Information/D. Bouwmeester, A. K. Ekert, A. Zeilinger [et al.j. - Berlin: Springer. - 2000. - p. 314.

35. DiVincenzo David P. Quantum Computation/ David P. DiVincenz// Science. -1995. - Vol. 270. - № 5234. - p. 255-261.

36. Morsch О. Quantum Bits and Quantum Secrets: How Quantum Physics is revolutionizing Codes and Computers/ O. Morsch. - Physics Textbook, 2008. -p.189.

37. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления: [пер. с англ.] в 2 т./Дж. Прескилл. - М.: Мир, 2006. - 824 с.

38. Wiesner Karoline. Nature computes: Information processing in quantum dynamical systems/ Karoline Wiesner//Chaos. - 2010. - Vol. 20. - p. 317-327.

39. Sych D., Lcuchs G. Coherent State Quantum Key Distribution with Multi Letter Phase-Shift Keying/ D. Sych, G. Lcuchs// New Journal of Physics - 2010. -Vol. 12.

40. Kim Keun Ai. Decoherence Effects on the Entangled States in a Noisy Quantum Channel/ Ai Kim Keun [et al.]// Journal of the Korean Physical Society. - 2004. -Vol. 45, № 2. - p. 273 - 280.

41. Cirac J. I. Distributed Quantum Computation over Noisy Channels/J. I. Cirac, A. K. Ekert, S. F. Huelga, C. Macchiavello//Physical Review A. - 1999. - Vol. 59. -p. 4249-4253.

42. Makhlin Yu. Quantum-state engineering with Josephson-junction deviccs/Yu. Makhlin [et al.]// Reviews of Modern Physics. - 2001. - Vol.73. - pp.357-400.

43. Калашников Д. А. Генерация перепутанных состояний в полидоменных кристаллах дигидрофосфата калия/Д. А. Калашников, В. П. Карасёв [и др.]//Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. -Т. 87. - Вып. 1. - С. 66-71.

44. Wineland D. J. Atom cooling, trapping, and quantum manipulation/ D. J. Wineland [et al.]// Reviews of Modern Physics. - 1999. - Vol. 71. - Is. 2. -pp.253-262.

45. Barz S. Heralded generation of entangled photon pairs/ Barz, S., Cronenberg, G., Zeilingcr, A., Walther P.//Nature Photonics. - 2010. - Vol. 4. - pp. 553-556.

46. Fedorov M. V. Short-pulse or strong-field breakup processes: a route to study entangled wave packets/ M. V. Fedorov [et al.]//Journal of ohysics B: atomic,

molecular and optical physics. - 2006. - Vol. 39. - pp. 467-483.

47. Brida G. Testing ultrafast two-photon spectral amplitudes via optical fibres/ G. Brida [et al.]//Optics Express. - 18 - № 12. - pp.916-924.

48. Chckhova M. V., Trifono A. S., and Shih Y. H. , «Entangled Two-PhotonWavc Packet in a Dispersive Medium «/ M. V. Chckhova, A. S. Trifono and Y. H. Shuh// Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 88. - pp. 601-610.

49. Chen K. Experimental realization of one-way quantum computing with two-photon four-qubit cluster states/ Chen K. [et al.]// arxiv.org/pdf/0705.0174.pdf

50. Kurtsicfcr C. Stable solid-state source of single photons/ Kurtsicfcr C., Mayer S., Zarda P., Wcinfurtcr H.// Physical Review Letters - 2000. - Vol. 85. - p. 290-293.

51. Lu C. Experimental entanglement of six photons in graph states/ C. Lu , X. Zhou [et al.]//Nature Physics. - 2007. - Vol. 3. - p. 643-646.

52. Eiscnberg H. S. Quantum entanglement of a large number of photons/ H. S. Eisenberg, G. Khoury // Physical Review Letters - 2004. - Vol. 93. - p.901-910.

53. Galve F. Creation and manipulation of entanglement in spin chains far from cquilibrium/F.Galvc, D. Zueco, G. M. Rcuther, S. Kohler, P. Hanggl//Europcan Physical Journal - Special Topics - 2010. - Vol 180. - pp.237 - 246.

54. Алдошин С. M. Квантовая запутанность в нитрозильных комплексах жслеза/С. М. Алдошин, Э. Б., Фельдман, М. А. Юрищев// Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 134. - Вып. 5 (11). - С. 940-948.

55. Nakamura Y. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box/ Y. Nakamura, Pashkin Yu. A., Tsai J. S.// Nature. - 1999. - Vol. 398. - p. 786-788

56. Michler P. A quantum dot single-photon turnstile device/ P. Michler, A. Kirazfet al.]// Science. - 2000. - Vol. 290. - pp. 2282-2285.

57. Orlando T. P. Superconducting persistent-current qubit/ T. P. Orlando [et al.]//Physical Review A. - Vol. 60. - № 22. - pp.398-413.

58. Hnilo A. A. Three-photon frequency down-conversion as an event-ready source

of entangled states/ A. A. Hnilo//Physical Review A. - 2005. - Vol. 71. - pp. 325-328.

59. Кок P., Braunstein S. Limitations on the creation of maximal entanglement/ Кок P., Braunstein S.// Physical Review A. - 2000. - Vol. 62. - pp. 301-315.

60. Mikhailova Yu. M., Volkov P. A. and Fedorov M. V. Biphoton wave packets in parametric ^down-conversion: Spectral and temporal structure and degree of entanglement/Yu. M. Mikhailova, P. A. Volkov, and M. V. Fedorov//Physical Review A. - 2008. - Vol.78. - Issue 6. - pp. 327-344.

61. Катамадзс К. Г., Кулик С. П. Управление спектром бифотонного поля/К. Г. Катамадзс, С. П. Кулик//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 139. - Вып. 1. - С. 26 - 45.

62. Wootters W К. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits/W. K. Wootters// Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 80. - pp. 2245-2248.

63. Гуляев А. В., Тихонова O.B. Поляризационный отклик взаимодействующих атомных систем в интенсивном резонансном лазерном поле/ А. В. Гуляев, О. В. Тихонова//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2012. -Т. 141. - Вып.5. - С.882-898.

64. Duan L. Entanglement dynamics of two qubits coupled individually to Ohmic baths/ L. Duan, H. Wang [et al.] //The Journal of chemical physics. - 2013. - Vol. 139. - pp. 1-15.

65. An N B, Kim J, Kim K. Nonperturbative analysis of entanglement dynamics and control for three qubits in a common lossy cavity. Phys Rev A, 2010, 82: 032316.

66. MAN ZhongXiao. Stationary entanglement of two atoms in a common reser-voir/ZhongXiao [et al.]//Chinese Science Bulletin. - 2013. - Vol. 58. - №20. -p.2423-2429.

67. Боум А. Квантовая механика: основы и приложения/А. Боум. - М.: Мир. -1990. - 720 с.

68. Шуберт М., Вильгельм Б. Введение в нелинейную оптику/М. Шуберт М.,

Б. Вильгельм. - М. Мир, 1979. - 511 с.

69. Блум К. Теория матрицы плотности и её приложения: [пер. с англ.] / К. Блум. - М.: Мир, 1983. - 248 с.

70. Доронин С. И. Роль и значение квантовой теории в свете ее последних достижений/ С. И. Доронин//Квантовая Магия. - 2004. - Т. 1. - Вып. 1. - С. 1101-1122.

71. Ghirardi G.C., Marinatto L. «А general criterion for the entanglement of two indistinguishable particles »/G.C.Ghirardi, L. Marinatto// arXiv:cond-mat/0401065.

- 2007.

72. Клышко Д. H. Фотоны и нелинейная оптика/Д. Н. Клышко. - М.: Наука. -1980.- 254 с.

73. Vandersypen L. М. К. Ph. D. Thesis. - Stanford, Calif.: Stanford Univ. - 2001/ quant-ph/0205193.

74. Monroe C. «Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate »/C. Monroe [et al.]//Physical Review Letters. - 1995. - Vol. 75. 25. - pp. 4714-4720.

75. Bennett С. H. Tcleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Roscn channcl/C. H. Bennett//Physical Review Letters. - 1993.

- Vol. 70. - p. 1805-1898

76. Plcnio Martin В., Virmani Shashank. An introduction to entanglement measures/ Martin B. Plenio, Shashank Virmani//Quantum Information and Computation. - 2007. - Vol.7. - N.l. - pp.1-23.

77. Sarkar S. Perfect Entanglement Transport in Quantum Spin Chain Systems/ S. Sarkar// Journal of Quantum Information Science. - 2011. - Vol. 1, pp. 105-110.

78. Bandyopadhyay S., Lidar D. A. Entangling capacities of noisy two-qubit Hamiltonians/ S. Bandyopadhyay, D. A. Lidar//Physical review A. - 2004. - Vol. 70. - pp. 301-304.

79. Bennett С. H. Purification of noisy entanglement and faithful teleportation via noisy channels/ С. H. Bennett [et al.]// Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 76.

- pp. 722-725.

80. Bouwmeester D. Experimental quantum teleportation/ D. Bouwmeester, J.-W. Pan [et al.]// Nature. - 1997. - Vol. 390, pp. 575-579.

81. Gasparoni S. Realization of a photonic cnot gate sufficient for quantum computation/ Gasparoni S., Pan J.-W., Walther P., Rudolph Т., Zcilinger A. // arxiv.org/pdf/1306.0053.

82. James D. Measurement of qubits/ James D. [ct al.] // Physical Review A. -2001. - Vol. 64. (052312).

83. Jermewein T. Quantum cryptography with entangled photons/ Jennewein Т., Simon C., Weihs G., Weinfurter H., Zcilinger A.// Physical Review Letters - 2000.

- Vol. 84. - p. 4729-4732.

84. Zhang Q. Experimental quantum teleportation of a two-qubit composite system/ Q. Zhang, [ct al.]// Nature Physics. - 2006. - Vol.2. - p. 678-682.

85. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования/Ф. А. Березин; 2-е изд., доп.

- М.: Наука, 1986. - 320 с.

86. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применение/А. М. Переломов. - М.:Мир, 1987. - с. 273.

87. Уилкинсон С. Электронные корреляции в молекулах/ С. Уилкинсон. - М.: Мир, 1987. - 304с.

88. Мандель JL, Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика/Л. Мандель, Э. Вольф. - М.:Физматлит, 2000. - 896 с.

89. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации/ А. С. Холево. -М.: МЦНМО, 2002. - 502 с.

90. Горбачев В. Н., Трубилко А. И. Перенос квантовых корреляций со света на атомы при необратимой эволюции/В. Н. Горбачев, А. И. Трубилко//ЖЭТФ. -2010. - т. 138. - Вып. 4 (10). - С. 616 - 630.

91. Юрищсв М. А. Флуктуации энтропии запутанности в квантовых цепочках Изинга/М. А. Юрищев//Журнал экспериментальной и теоретической физики.

- 2010. - Т. 138. - Вып. 4(10). - С. 595 - 604.

92. Стадная Н. П. Анализ динамики переходов в системе двух квантовых

точек в случае запутанного начального состояния/ Н. П. Стадная // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. -2013. - Т. 1. - С. 108 - 113.

93. Динамика спектроскопических переходов между запутанными квантовыми состояниями/Н.П. Стадная, А.Ф. Клинских//XX международная конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 23.09 - 27.09.2013, Воронеж: Тезисы докладов.

94. Коллапс и возрождение состояний квантовой точки в поле классического тока/ Стадная Н. П.//XIII Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, 21.11 - 25.11.2011 Санкт-Петербург: Тезисы конференции.

95. Banaszek К. Maximum-likelihood estimation of the density matrix/K. Banaszek, D'Ariano, G. M., Paris, M. F. Sacchi// Physical Review A. - 1999. - Vol. 61(1). -pp. 1-4.

96. Coffman V. Distributed entanglement/ Coffman, V., Kundu, J. Wootters, W. K.// Physical Review A. - 2000. - Vol. 61. - № 5. - pp.306-310.

97. Bellomo B, Franco R L, Maniscalco S, et al. Entanglement trapping in structured environments. Phys Rev A, 2008, 78: 060302(R).

98. Pittman T. Heralded two-photon entanglement from probabilistic quantum logic operations on multiple parametric down-conversion sources/ T. Pittman, M. Donegan// IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. - 2003. - Vol. 9. - p. 1478-1482.

99. Prevedel R. Experimental realization of dicke states of up to six qubits for multiparty quantum networking/ R. Prevedel [et al.]// Physical Review Letters. -2009. - Vol. 103. - p. 503-508.

100. Walthcr P. Heralded generation of multiphoton entanglement / P. Walther, M. Aspelmeyer , A. Zcilinger// Physical Review A. - 2007. - Vol. 75. - p. 313-321.

101. Стадная, H. П. Флексоэлектрический эффект и низкотемпературны!! предел времени диэлектрической релаксации/Н. П. Стадная, А. Ф.

Клинских//XXII международная конференция «Релаксационные явления в твердых телах», 14.09 - 18.09, Воронеж, 2010.

102. Стадная Н. П. Флексоэлектрический эффект и низкотемпературный предел времени диэлектрической релаксации/Н. П. Стадная, А. Ф. Клинских//Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74 № 9. - С. 1277 - 1278.

103. Дирак. П. А. М. Лекции по квантовой теории поля: [пер. с англ.]/Под ред. А. А. Соколова. - М.: «Мир», 1971. - 241 с.

Böhm А. Quantum Mechanics: Foundations and Applications/A. Böhm. - SpringerVerlag, 1986.- p. 725

104. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц; 4-е изд. - Москва: Физматлит, 2003. - Т. 1: Механика.

- 214 с.

105. Федоров М. В., Волков П. А., Михайлова Ю. М. Кутриты и кукварты в спонтанном параметрическом рассеянии света,корреляции и перепутыванис состояний/М. В. Федоров,П. А. Волков, Ю. М. Михайлова//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 142. - Вып.1(7).

- С. 20-43.

106. Fedorov М. V., Volkov P. A., Mikhailova Yu. М. «Spectral Entanglement in Parametric Down-Conversion with Nondegenerate Frequencies«/M. V. Fedorov, P. A. Volkov, Yu. M. Mikhailova// Advanced Science Letters 2. - 2009. - p.511 - 515.

107. Клпмонтович Ю. Л. Энтропия открытых систсм/Ю. Л. Климонтович//Успехи физических наук. - 1999. - Т.169. - №4. - С. 443452.

108. Planat М., Kibler М. Unitary reflection groups for quantum fault tolerance/M. Planat and M. Kibler// arXiv:0807.3650 (quantph).

109. Фельдман Э. В., Юрищев M. А. Флуктуации квантовой запутанности./Э. Б. Фельдман, М, А, Юрищев//Письма в журнал экспериментальной и

теоретической физики. - 2009. - Т.90. - Вып. 1 -С. 75-79.

110. Guo-Qiang Z., Xiao-Guang W. Quantum Dynamics of Bound Entangled State/Z. Guo-Qiang, W. Xiao-Guang//Community Theoretical Physics (Beijing, China). - 2008. - Vol.49. - №.2. - p. 343-346.