Теория управления состояниями квадрупольных ядер с целью выполнения квантовых вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Шауро, Виталий Павлович

• Шауро, Виталий Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шауро, Виталий Павлович

Введение.

Глава 1. Квантовые вычисления на квадрупольных ядрах методом ЯМР

1.1. Кубиты, кудиты и квантовые логические операторы

1.2. Проблемы физической реализации квантовых вычислений

1.3. Гамильтониан и управление состоянием квадрупольного ядра

Глава 2. Методы реализации квантовых вентилей с помощью импульсов простой формы

2.1. Реализация вентилей с помощью селективных импульсов.

2.2. Селективные по квадрупольному расщеплению импульсы.

2.3. Квантовый алгоритм поиска порядка подстановки на двух кудитах.

Глава 3. Управление кудитами с d = 3, 4, 5, 6 с помощью неселективных импульсов

3.1. Построение эффективного гамильтониана селективного поворота.

3.2. Импульсные последовательности для селективного поворота.

3.3. Уменьшение ошибок с помощью составных импульсов.

3.4. Результаты моделирования.

Глава 4. Оптимизированные импульсы сложной формы.

4.1. Однокутритовые вентили и оптимальная по времени реализация.

4.2. Моделирование реализации вентиля SUM на кутритах с помощью оптимизированных импульсов

4.3. Управление состоянием квадрупольного ядра посредством сверхтонкого взаимодействия с электроном.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория управления состояниями квадрупольных ядер с целью выполнения квантовых вычислений»

В последнее время возрос интерес к управлению квантовыми системами, в частности, с целью реализации квантовых вычислений (обработки квантовой информации) [1, 2]. Одним из первых идею осуществления вычислений на квантовых системах высказал Ричард Фейнман в 1982 г. Фейнман заметил, что моделирование квантово-механических систем является экспоненциально сложной задачей для классических компьютеров. Если же перенести процесс вычислений на подобную же квантовую систему, то задача становится полиномиально сложной, а значит, существует эффективный алгоритм ее решения. Однако создание квантовых вычислительных машин, в которых используются квантовые операции, оказалось очень сложным. К тому же многие не были уверены, что квантовые эффекты позволят ускорить вычисления. Развитие данного направления шло крайне медленно. Так продолжалось вплоть до 1994 года, когда Питер Шор описал квантовый алгоритм разложения числа на простые множители за полиномиальное время [3]. Считается, что эффективного классического алгоритма факторизации не существует, хотя это и не доказано. Начиная с этого момента, число публикаций, посвященных квантовым вычислениям, растет лавинообразно.

Развитие идеи квантовых компьютеров во многом повторяло путь развития классических вычислительных машин. Первые электронные вычислительные машины в 30-40-х годах XX века строились на основе различных реализаций привычной для человека десятичной системы счисления и были предназначены, как правило, для решения определенного класса вычислительных задач. Но приемлемого варианта десятичного элемента для их построения найдено так и не было. В 1946 г. Джоном фон Нейманом была представлена первая универсальная ЭВМ, в основе которой лежала двоичная логика. Двоичная система счисления оказалась гораздо экономичнее и проще в аппаратном исполнении для того времени. Таким образом, проблемы построения электронной элементной базы изначально определили путь развития вычислительной техники. Это влияние оказывалось решающим на всех этапах ее дальнейшего развития и не всегда положительным. Примечательным исключением служит опыт создания компьютеров "Сетунь" (1959 г.) и "Сетунь 70" (1970 г.) в Московском университете им. М. В. Ломоносова, убедительно подтвердивший практические преимущества недвоичной (в данном случае троичной) цифровой техники.

По аналогии с классическими компьютерами первые теоретические модели квантовых компьютеров также были основаны на двоичных логических элементах - кубитах (<qubit - quantum binary digit). К настоящему времени достигнуто значительное понимание в работе и принципах построения компьютеров на кубитах, и дальнейшее развитие данного направления в основном ограничено техническими возможностями экспериментальной реализации вычислений на многокубитовых квантовых системах [4]. Гораздо меньше внимания в литературе уделяется многоуровневым (¿/-уровневым) квантовым элементам - кудитам (qudit - quantum d-ary digit) [5-14], как со стороны теории квантовых вычислений, так и физической реализации вычислений на кудитах. В отличие от классических компьютеров, где изменение системы счисления требует кардинальной перестройки элементной базы, методы управления двухуровневыми и многоуровневыми квантовыми системами, как правило, не имеют принципиальных различий. Доказано [6, И], что с помощью универсального набора одно- и двухкудитовых элементарных логических операторов (вентилей) [6, 7, 10-12, 14] можно выполнить любой алгоритм. К числу элементарных вентилей на кудитах относятся селективный поворот, квантовое преобразование Фурье (КПФ), вентиль контролируемого сдвига фазы, вентиль SUM. Тем не менее, для кудитов получено очень мало конкретных квантовых схем, доведенных до элементарных операций и допускающих реализацию экспериментальными средствами. В связи с этим интересной является задача построения недвоичного квантового компьютера, использующего преимущества выполнения вычислений на кудитах.

Данная работа посвящена развитию методов управления многоуровневыми квантовыми системами с целью реализации квантовых вычислений на кудитах. Поскольку в настоящее время наиболее значительные экспериментальные результаты по квантовым вычислениям получены методом ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [15, 16], в качестве многоуровневых систем мы выбрали ядра со спином /> 1/2, помещенные в сильное магнитное поле. Зеемановское взаимодействие спина с постоянным магнитным полем и квадрупольное взаимодействие с градиентом аксиально-симметричного кристаллического поля приводят к образованию с! =21 +1 неэквидистантных энергетических уровней. Состояния, соответствующие этим уровням, выбираются в качестве вычислительного базиса кудита. Основными задачами были рассмотрение различных способов реализации элементарных логических операций для квантового компьютера с помощью метода ЯМР на квадрупольных ядрах и сравнение эффективности их работы в зависимости от параметров физической модели. Основными характеристиками, определяющими эффективность управления квантовой системой, являются ошибка полученных вентилей и время, затрачиваемое на их реализацию. Оценка этих характеристик в настоящей работе выполнялась путем численного моделирования эволюции квантовой системы под действием управляющего поля. Для некоторых предельных случаев были также получены приближенные аналитические оценки.

Отметим, что в работе не использовался формализм виртуальных кубитов [5], что позволяет раскрыть ожидаемые преимущества вычислений на кудитах по сравнению со схемами на кубитах.

Первая глава работы носит обзорный характер. Описываются основные концепции квантовых вычислений, вводятся понятия кубита, кудита и основных квантовых логических операторов, формулируется задача управления квантовой системой. Здесь же описывается исследуемая в работе физическая модель (квадрупольное ядро) и различные подходы к ее управлению в рамках ЯМР.

Вторая глава посвящена управлению состояниями квадрупольных ядер с помощью селективных по переходам импульсов радиочастотного (РЧ) магнитного поля. Рассмотрены два способа реализации вентиля SUM на кутритах: с помощью РЧ импульсов, селективных по спин-спиновому расщеплению спектра, и последовательности РЧ импульсов, селективных по квадрупольному расщеплению. Для последнего случая, в качестве примера применения, выполнено моделирование реализации квантового алгоритма поиска порядка подстановки на двух кудитах с(/] = 8и^ = 4 (спины /[=7/2 и /2=3/2), и выполнено сравнение с его аналогом на пяти кубитах.

В третьей главе на основе теории среднего гамильтониана выводятся последовательности из неселективных РЧ импульсов, разделенных интервалами свободной эволюции, которые выполняют селективные повороты на спинах 7=1, 3/2, 2, 5/2. Предложен составной импульс для квадрупольного ядра со спином произвольной величины, устраняющий линейный вклад в ошибку неселективных поворотов, вызванную квадрупольным взаимодействием. Выполнен анализ зависимости ошибки полученных селективных поворотов от различных параметров рассмотренной модели.

В четвертой главе представлены расчеты, выполненные с помощью численного алгоритма GRAPE, для оптимизированных РЧ импульсов, реализующих вентили селективного поворота и КПФ на кутрите. Результаты расчетов позволили оценить минимальное время, необходимое для выполнения этих операторов. Рассмотрены два подхода к реализации вентиля SUM на кутритах с использованием оптимизированных импульсов. В первом варианте импульсы рассчитывались для отдельных кутритов без учета взаимодействия между спинами, во втором - для полного гамильтониана двухспиновой системы с учетом спин-спинового взаимодействия. Также в этой главе рассмотрена возможность управления спиновым состоянием квадрупольных ядер с помощью воздействия на электрон, связанный с ядром сверхтонким взаимодействием.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) Разработка способа избирательного управления состояниями квадрупольного ядра с помощью последовательности неселективных РЧ импульсов, разделенных интервалами свободной эволюции. Последовательности для реализации селективных поворотов на квадрупольных ядрах со спином 1-1, 3/2, 2, 5/2. Составной неселективный РЧ импульс, универсальный по спину.

2) Результаты исследования зависимости ошибки от длительности импульса при реализации одно- и двухкутритовых вентилей с помощью РЧ импульсов, форма которых определяется градиентным методом оптимизации.

3) Исследование различных схем реализации вентилей на оптимальность по времени. Разработка рекомендаций для их применения и способов уменьшения длительности вентилей, включая управление через сверхтонкое взаимодействие с электронным спином.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Шауро, Виталий Павлович

Основные результаты опубликованы в работах [65, 66, 69-71, 74, 79, 8892] и были представлены на следующих конференциях: International conference "Micro- and nanoelectronics", гг. Москва-Звенигород (2007 и 2009 г.); Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (2007-2011 г.); Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск (2006-2010 г.).

Выражаю особую благодарность В.Е. Зобову за постановку интересных задач, помощь в работе и обсуждение результатов. Благодарю заведующего лабораторией радиоспектроскопии и спиновой электроники Н.В. Волкова за поддержку, A.C. Ермилова и Д.И. Пехтерева за совместную работу, а также Российский фонд фундаментальных исследований и фонд "Династия" за финансовую поддержку.

Заключение

В ходе выполненных в настоящей работе исследований были развиты методы управления состояниями квадрупольных ядер с целью реализации квантовых вычислений на кудитах. Основные результаты сводятся к следующему:

1) Для реализации двухкудитного вентиля SUM на квадрупольных ядрах найдены последовательности селективных по переходам РЧ импульсов. Выполнено моделирование вентиля для системы из двух кутритов (спинов 1=1), а также для двух кудитов с числом уровней d\ = 8 и d2 = 4, представленных квадрупольными ядрами с 7=7/2 и 7=3/2 применительно к квантовому алгоритму поиска порядка подстановки. Изучены причины возникновения ошибки реализации вентилей и ее зависимость от параметров системы. Выработаны рекомендации по применению РЧ импульсов селективных по квадрупольному расщеплению или селективных по спин-спиновому расщеплению.

2) Разработан способ избирательного управления состояниями квадрупольного ядра с помощью последовательности неселективных РЧ импульсов, разделенных интервалами свободной эволюции. Предложен составной РЧ импульс, устраняющий линейный по величине квадрупольного взаимодействия (q/Q) вклад в ошибку неселективного поворота на ядрах с любым спином. Выполнено численное моделирование реализации селективных поворотов на квадрупольных ядрах со спином 7=1, 3/2, 2, 5/2 и исследованы зависимости ошибки от параметров внешних и внутренних взаимодействий. Сделан вывод, что минимальная длительность выполнения селективного поворота на квадрупольных ядрах с помощью таких последовательностей ограничена предельным значением Tw, которое определяется величиной квадрупольного взаимодействия q, а также зависит от величины спина и угла поворота.

3) Рассчитаны оптимизированные РЧ импульсы для основных однокутритных вентилей на квадрупольных ядрах со спином 7=1 и изучена зависимость ошибки реализации от их длительности. Установлено, что длительность Тса составного селективного поворота близка к оптимальной. Найдено, что при той же ошибке оптимизированный РЧ импульс для КПФ в несколько раз короче вентиля КПФ, составленного из селективных поворотов.

4) Выполнено моделирование и определены границы применимости двух вариантов реализации вентиля SUM: варианта из двух оптимизированных РЧ импульсов, рассчитанных для отдельных кутритов; и варианта из одного РЧ импульса, полученного прямой оптимизацией управляющего поля для полного гамильтониана двухспиновой системы. Установлена оптимальность по времени вентиля SUM, выполненного с помощью селективных по квадрупольному расщеплению РЧ импульсов, когда его длительность определяется величиной слабого спин-спинового взаимодействия. Показано, что длительность вентиля SUM можно существенно уменьшить для ядер, связанных с электронным спином сильным сверхтонким взаимодействием, если управление ядром осуществлять посредством воздействия на электронный спин оптимизированным МКВ импульсом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шауро, Виталий Павлович, 2011 год

1. Валиев К. А, Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 352 с.

2. Фрадков A. JL, Якубовский О. А. Управление молекулярными и квантовыми системами. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 416 с.

3. Ladd T. D., Jelezko F., Laflamme R. et al. Quantum computers. // Nature.-2010. -V. 464.-P. 45-53.

4. Кессель A. P., Ермаков В. JI. Многокубитный спин // Письма в ЖЭТФ.-1999.-Т. 70.-С. 59-63.

5. Gottesman D. Fault-Tolerant Quantum Computation with Higher-Dimensional Systems //Lect. Notes. Comput. Sci.-1999.-V. 1509.-P. 302-313.

6. Muthukrishnan A., Stroud C. R. Jr. Multivalued logic gates for quantum computation // Phys. Rev. A.-2000.-V. 62.-P. 052309(1-8).

7. Khitrin A. K., Fung В. M. NMR simulation of an eight-state quantum system //Phys. Rev. A.-2001.-V. 64.-P. 032306 (1-4).

8. Gottesman D., Kitaev A., Preskill J. Encoding a qubit in an oscillator // Phys. Rev. A. 2001. - V. 64. - P. 012310 (1-21).

9. Bartlett S. D., de Guise H., Sanders В. C. Quantum encodings in spin systems and harmonic oscillators // Phys. Rev. A.-2002.-V. 65.-P. 052316(1-4).

10. Vlasov A. Yu. Noncommutative tori and universal sets nonbinary quantum gates // J. Math. Phys.-2002.-V. 43.-P. 2959-2964.

11. Daboul J., Wang X., Sanders В. C. Quantum gates on hybrid qudits // J. Phys. A.: Math. Gen. -2003. -V. 36. P. 2525-2536.

12. Cereceda J. L. Generalization of the Deutsch algorithm using two qudits // ArXiv:quant-ph/0407253v4. 2004.

13. Brennen G. K., O'Leary D. P., Bullock S. S. Criteria for exact qudit universality //Phys. Rev. A.-2005.-V. 71.-P. 052318 (1-7).

14. Vandersypen L. M. K., Chuang I. L. NMR techniques for quantum control and computation//Rev. Mod. Phys.-2004.-V. 76.-P. 1037(1-33).

15. Jones J. A. Quantum Computing with NMR // Prog. NMR. Specrosc. -2011. -V. 59. P. 91-120.

16. Berman G.P., Doolen G. D., Mainieri R., Tsifrinovich V.l. Introduction to quantum computers. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1998. 187 p.

17. Риффель Э., Полак В. Основы квантовых вычислений // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. 2000. - Т. 1. - С. 4-57.

18. Deutsch D., Jozsa R. Rapid Solution of problems by quantum computation//Proc. R. Soc. Lond. 1992. - V. A439. -P. 553-558.

19. Grover L.K. Quantum mechanics help in searching for a needle in a haystack//Phys. Rev. Lett. 1997. -V.79, №2. - P. 325-328.

20. Vandersypen L. M. K., Steffen M., Breyta G. et al. Experimental realization of an order-finding algorithm with an NMR quantum computer // Phys. Rev. Lett.2000.-V. 85.-P. 5452 (1-4).

21. Vandersypen L. M. K., Steffen M., Breyta G. et al. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance //Nature.2001.-V. 414.-P. 883-887.

22. Зобов В. E., Ермилов А. С. Последовательности импульсов для реализации квантового преобразования Фурье на многоуровневых системах // Письма в ЖЭТФ.-2006.-Т. 83.-С. 539-542.

23. Ермилов А. С., Зобов В. Е. Представление квантового преобразования Фурье на многоуровневых базовых элементах с помощью последовательности операторов селективных поворотов //Оптика и спектроскопия.-2007.-Т. 103, № 6.-С. 994-1001.

24. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. М. Мир, 1977. 725 с.103

25. Izmalkov A., Grajcar M., van der Ploeg S.H.W. et al. Measurement of the ground-state flux diagram of three coupled qubits as a first step towards the demonstration of adiabatic quantum computation//Europhys. Lett.-2006. -V. 76. -P. 533-539.

26. Johnson M.W., S.Amin M.H., Gildert S. et al. Quantum annealing with manufactured spins //Nature. -2011. -V. 473. P. 194-198.

27. Kane В. E. A silicon-based nuclear spin quantum computer// Nature.-1998.-V. 393. P. 133-137.

28. Morton J. J. L., Tyryshkin A. M., Brown R. M. et al. Solid-state quantum memory using the 31P nuclear spin //Nature 2008. - V. 455. - P. 1085-1088.

29. Dreher L., Hoehne F., Stutzmann M., Brandt M. S. Nuclear spin dynamics of ionized phosphorus donors in silicon// ArXiv: cond-mat.mtrl-sci/1109.3864vl -2011.

30. Morley G. W., Lueders P., Mohammady M. H. et al. Pulsed nuclear-electronic magnetic resonance // ArXiv: quant-ph /1109.4269 . -2011.

31. Ermakov V. L., Fung В. M. Experimental realization of a continuous version of the Grover algorithm // Phys. Rev. A.-2002.-V. 66.-P. 042310(1-6).

32. Das R., Kumar A. Use of quadrupolar nuclei for quantum-information processing by nuclear magnetic resonance: Implementation of a quantum algorithm // Phys. Rev. A.-2003.-V. 68.-P. 032304(1-8).

33. Lee J.-S., Khitrin A. K. Pseudopure state of a twelve-spin system // J.Chem.Phys. 2005. - V. 122. - P. 041101(1-3).

34. Khaneja N., Reiss Т., Kehlet C. et al. Optimal control of coupled spin dynamics: design of NMR pulse sequences by gradient ascent algorithms // J. Magn. Reson.-2005. -V. 172. P. 296-305.

35. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса.-М.: Мир, 1981. 448 с.105

36. Das R., Mitra A., Kumar S. V., Kumar A. Quantum information processing by NMR: preparation of pseudopure states and implementation of unitary operations in a single-qutrit system // Int. J. Quantum Inf.-2003.-V. l.-P. 387394.

37. Gopinath T., Kumar A. Geometric quantum computation using fictitious spin-1/2 subspaces of strongly dipolar coupled nuclear spins // Phys. Rev. A 2006. -V. 73. -P. 022326(1-12).

38. Bowdrey M. D., Jones J. A. Single qubit gates with jump and return sequences // Phys. Rev. A.-2006.-V. 74.-P. 052324 (1-6).

39. Vosegaard T., Kehlet C., Khaneja N., Glaser S. J., Nielsen N. Chr. Improved excitation schemes for multiple-quantum magic-angle spinning for quadrupolar nuclei designed using optimal control theory // J. Am. Chem. Soc. -2005. -V.127. P. 13768-13769.

40. Lee J.-S., Regatte R. R., Jerschow A. Optimal nuclear magnetic resonance excitation schemes for the central transition of a spin 3/2 in the presence of residual quadrupolar coupling // J.Chem.Phys. -2008. -V. 129. P. 224510(1-6).

41. Maximov I.I., Salomon J., Turinici G., Nielsen N. Chr. A smoothing monotonic convergent optimal control algorithm for nuclear magnetic resonance pulse sequence design // J.Chem.Phys. -2010. -V.132. P. 084107(1-9).

42. Maday Y. and Turinici G. New formulations of monotonically convergent quantum control algorithms // J. Chem. Phys. 2003. - V. 118. -P. 8191 -8196.

43. Kampermann H. and Veeman W.S. Characterization of quantum algorithms by quantum process tomography using quadrupolar spins in solid-state nuclear magnetic resonance // J.Chem.Phys. -2005. -V. 122. P. 214108 (1-6).

44. Soares-Pinto D.O., Celeri L.C., Auccaise R. et al. Nonclassical correlation in NMR quadrupolar systems // Phys. Rev. A -2010. -V. 81 -P. 062118 (1-9).

45. Fortunato E.M., Pravia M.A., Boulant N. et al. Design of strongly modulating pulses to implement precise effective Hamiltonians for quantum information processing // J.Chem.Phys. 2002. -V.l 16. - P. 7599 -7606.

46. Araujo-Ferreira A. G., Brasil C. A., Soares-Pinto D. O. et al. Quantum state tomography and quantum logical operations in a three qubits NMR quadrupolar system // ArXiv:cond-mat/l 108.5353 -2011.

47. Schirmer S. G., Pemberton-Ross P. J., Wang X. Comparative analysis of control strategies /' Proc. of PhysCon 2007, IP ACS Electronic Library, 2007.

48. Machnes S., Sander U., Glaser S. J. Comparing, optimizing, and benchmarking quantum-control algorithms in a unifying programming framework // Phys. Rev. A -2011. -V. 84 -P. 022305 (1-23).

49. Greentree A. D., Shirmer S. G., Green F. et al. Maximizing the Hilbert space for a finite number of distinguishable quantum states // Phys. Rev. Lett .-2004.-V. 92.-P. 097901(1-4).

50. Шауро В.П., Пехтерев Д.И, Зобов В.Е. Сравнительный анализ двух способов реализации элементарных логических операторов для квантового компьютера на кутритах // Изв. вузов. Физика.-2007.-№6.-С. 41-47.

51. Зобов В. Е., Шауро В.П., Ермилов А. С. Выполнение квантового алгоритма поиска порядка подстановки на двух кудитах // Письма в ЖЭТФ.-2008.-Т. 87.-С. 385-390.

52. Berman G. P., Doolen G. D., Lopez G. V., Tsifrinovich V. I. Nonresonant effects in the implementation of the quantum Shor algorithm // Phys. Rev. A.-2000. -V. 61.-P. 042307(1-7).

53. Klimov A.B., Guzman R., Retamal J. C., Saavedra C. Qutrit quantum computer with trapped ions // Phys. Rev. А.-2003,- V. 67.-P. 062313(1-7).

54. Зобов В. E., Шауро В. П. Избирательное управление состояниями трехуровнего квадрупольного ядра с помощью неселективных радиочастотных импульсов //Письма в ЖЭТФ.-2007.-Т. 86.-С. 260-264.

55. Zobov V. Е., Shauro V. P. Selective control of states of a three-level quadrupolar nucleus using non-selective radio-frequency pulses // Proc. SPIE. -2008. V.7023. - 70230N. - 10 p.

56. Зобов В. Е., Шауро В. П. Избирательное управление состояниями многоуровневых квантовых систем с помощью неселективных операторов поворота // ЖЭТФ. -2009. -Т. 135. С. 10-23.

57. Hatano N. and Suzuki М. Finding exponential product formulas of higher orders / Quantum annealing and other optimization methods; Eds. A. Das and B.K. Chakrabarti. Berlin: Springer, 2005. P. 37-68.

58. Levitt M.H., Suter D., Ernst R.R. Composite pulse exitation in three-level systems //J.Chem.Phys.-1984.-V. 80.-P. 3064-3068.

59. Rebentrost P., Wilhelm F.K. Optimal control of a leaking qubit // Phys. Rev. В -2009. -V.79. -P. 060507 (1-4).

60. Motzoi F., Gambetta J.M., Rebentrost P., Wilhelm F.K. Simple pulses for elimination of leakage in weakly nonlinear qubits // Phys. Rev. Lett. -2009. -V. 103. -P.110501 (1-4).

61. Schulte-Herbruggen Т., Sporl A., Khaneja N., Glaser S.J. Optimal control-based efficient synthesis of building blocks of quantum algorithms: A perspective from network complexity towards time complexity // Phys. Rev. A -2005.-V.72 -P.042331 (1-7).

62. Shauro V. P., Zobov V. E. Time-optimal control of quantum dynamics of a quadrupole nucleus by NMR techniques //Quantum Computers and Computing. -2009. -V.9. -P. 11-18.

63. Khaneja N., Brockett R., Glaser S. J. Time optimal control in spin systems // Phys. Rev. A -2001. V.63. -P. 032308 (1-13).

64. Ryan C. A., Negrevergne C., Laforest M. et al. Liquid-state nuclear magnetic resonance as a testbed for developing quantum control methods // Phys. Rev. A -2008. -V.78 -P. 012328 (1-14).

65. Khaneja N., Heitmann В., Sporl A. et al. Shortest paths for efficient control of indirectly coupled qubits // Phys. Rev. A -2007. -V.75 -P. 012322(1-10).

66. Khaneja N. Switched control of electron nuclear spin systems // Phys. Rev. A -2007.-V.76 -P. 032326(1-8).

67. Zeier R., Yuan H., Khaneja N. Time-optimal synthesis of unitary transformations in a coupled fast and slow qubit system // Phys. Rev. A -2008. -V. 77 -P.032332 (1-8).

68. Hodges J. S., Yang J. C., Ramanathan C., Cory D. G. Universal control of nuclear spins via anisotropic hyperfine interactions // Rhys. Rev. A -2008. -V.78 -P.010303(1-4).

69. Zhang Y., Ryan C.A., Laflamme R., Baugh J. Coherent control of two nuclear spins using the anisotropic hyperfine interaction // ArXiv:quant-ph/1107.2884vl.-2011.

70. Merkel S.T., Jessen P.S., Deutsch I. H. Quantum control of the hyperfine-coupled electron and nuclear spins in alkali-metal atoms // Rhys. Rev. A -2008. -V.78 -P.023404(1-12).

71. Шауро В. П. Сравнительный анализ различных способов реализации элементарных логических операторов для квантового компьютера на кутритах // ВНКСФ-13: Тезисы докладов/ Екатеринбург: изд. АСФ России, 2007. С. 649.

72. Шауро В. П. Моделирование квантового алгоритма поиска порядка подстановки на кудитах// ВНКСФ-14: Тезисы докладов/ Екатеринбург, изд. АСФ России, 2008. С. 565.

73. Шауро В. П. Поиск оптимального управляющего радиочастотного магнитного поля для обработки квантовой информации на квадрупольных ядрах// ВНКСФ-15: Тезисы докладов/ Екатеринбург, изд. АСФ России, 2009.-С. 581.

74. Шауро В. П. Расчет оптимального управляющего поля для реализации квантовых логических операций на квадрупольных ядрах со спином 1=1методом ЯМР // ВНКСФ-16: Тезисы докладов/ Екатеринбург, изд. АСФ России, 2010.-С. 682.

75. Шауро В. П. Расчет оптимизированных радиочастотных импульсов для реализации квантового логического оператора SUM на кутритах, представленных квадрупольными ядрами // ВНКСФ-17: Тезисы докладов/ Екатеринбург, изд. АСФ России, 2011. С. 550.

76. SUMn^) = {E®QFTT'-Pn{$)-{E®QFT) (П1.2)для отдельных блоков, соответствующих различным значениям проекции 7lz. Тогда, при 7lz = 1 след первого блока равен

77. S, -Spi^E ■ QFT~1 • exp(-i^/2z(l-£))• QFt) = = l + exp(4^(l-£)) + exp(/^(l-£)) = l + 2cos(^(l-£))'при 7lz = 0 след второго блока

78. S2 =Sp(x- QFT~X • exp(-z^/2z) ■ exp(^f) • QFT} =1 + exp(/^3) + exp(z^)exp(-/^) = 3а при 7lz = -1 след третьего блока

79. Sp^X2 ■ QFT~X ■ exp(~i^I2z (1 + £)) ■ exp(-^f) • QFT) = = l + exp(^(l-£)) + exp(/^(l-£)) = l + 2cos(^(l-£)) Точность оператора (П1.2) определяется суммой рассчитанных следов:0 = (Sl+S2 + S3 f / Sp2( 1) = I + |cos(^(l = [l -1 sin2 (f (1 - {)jf

80. Подставляя это выражение в формулу (1.30), получаем искомую зависимость ошибки от параметра £ (2.19).

81. Для расчета ошибки, возникающей при уменьшении интервалов свободной эволюции в последовательности (3.23) в £е0,1. раз, рассмотрим оператор эволюции с гамильтонианом :ехр {^МХ + 1Х))1. П2.1)

82. При £ = 1 в соответствии с (3.7) мы получим идеальный селективный поворот кутрита на угол <9:О1. Г^"1=ехр(^|(Мх+/х))=сов"! -/БШ"! -гвШ"! со8-|О