Точные космологические решения в гравитации Лавлока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Чирков Дмитрий Михайлович

• Чирков Дмитрий Михайлович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Чирков Дмитрий Михайлович

Введение

I. Предварительные замечания

II. Актуальность

III. Цель работы

IV. Научная новизна

V. Положения, выносимые на защиту

VI. Научная и практическая значимость

VII. Апробация работы

VIII. Публикации и личный вклад автора

IX. Структура и объем диссертации

1 Устойчивость степенных решений в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне

1.1 Предварительные замечания

1.1.1 Степенные решения в ОТО и лавлоковской гравитации

1.1.2 Поведение степенных решений вблизи космологической сингулярности в ОТО

1.1.3 Параметризация метрики. Тензор энергии-импульса материи

1.2 Устойчивость степенных решений в многомерном обобщении ОТО

1.2.1 Динамические уравнения

1.2.2 Условия устойчивости

1.2.3 Численные расчеты

1.3 Устойчивость степенных решений в гравитации Гаусса-Бонне

1.3.1 Динамические уравнения

1.3.2 Условия устойчивости

1.3.3 Численные расчеты

1.4 Колебательный режим приближения к начальной космологической сингулярности

в гравитации Гаусса-Бонне

1.5 Выводы

2 Точные экспоненциальные космологические решения в гравитации Лавлока

2.1 Предварительные замечания

2.2 Действие модели, динамические уравнения

2.3 Решения с переменным объемом в гравитации Лавлока

2.3.1 Метод получения решений

2.3.2 Применение метода

2.3.2.А (5+1)-мерная модель

2.3.2.Б (7+1)-мерная модель

2.3.3 Решения в пространствах размерности (4+1) и (5+1)

2.3.3.А (4 + 1)-мерные решения

2.3.3.Б (5 + 1)-мерные решения

2.3.3.В Обобщение некоторых ЭГБ-решений на (О + 1)-мерный случай

2.3.4 Решения в пространствах размерности (6+1) и (7+1)

2.3.4.А (7+1)-мерные решения

2.3.4.Б (6+1)-мерные решения

2.3.5 Решения с трехмерным изотропным подпространством

2.3.5.А (7+1)-мерная модель

2.3.5.Б (6+1)-мерная модель

2.3.5.В (4+1)- и (5+1)-мерные модели

2.4 Решения с постоянным объемом в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне

2.4.1 Необходимые условия существования решений

2.4.2 Решения с двумя различными параметрами Хаббла

2.5 Выводы

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Литература

Приложение А. Вывод динамических уравнений лавлоковской гравитации для

диагонального метрического анзаца

Приложение Б. Доказательство утверждения

Введение.

I. Предварительные замечания.

В ноябре 1915 года А. Эйнштейн [1] опубликовал систему уравнений, описывающих гравитацию как результат искривления пространства-времени под влиянием материи:

= Ц, // = 0,3, (1)

где - тензор Эйнштейна, - тензор энергии-импульса материи, k - ньютоновская гравитационная постоянная, c - скорость света. Уравнения (1) легли в основу Общей Теории Относительности (ОТО), которая вскоре после своего появления стала одним из краеугольных камней современной физики. Несмотря на очевидный успех ОТО, уже в 1920-х гг. стали предприниматься попытки обобщить ее (с целью объединения гравитации и электромагнетизма - здесь в первую очередь следует отметить работы Г. Вейля [2-6], Т. Калуцы [7] и О. Клейна [8,9]) и даже предложить альтернативные варианты (аффинная теория А. Эддингтона [10]). Так было положено начало целому направлению в физике, которое сегодня принято называть модифицированной гравитацией (modified gravity). С годами число модифицированных теорий росло; сегодня существуют десятки различных моделей, которые, в основном, укладываются в три категории.

1. Модели с дополнительными пространственными измерениями.

Формально, точкой отсчета в истории развития представлений о пространствах с размерностью D > 3 можно считать работы по механике Лагранжа, в которых тот рассматривал 4-мерные конфигурационные пространства. В математике представления о многомерных пространствах появились в XIX столетии; идеи многомерности впервые были сформулированы в работах Б. Римана [11], Г. Грассмана [12], А. Кэли и других. После работ названных авторов понятие размерности в математике претерпело ряд этапов конкретизации вплоть до строгого топологического определения размерности, данного П. Урынсоном и К. Мен-гером [13] в начале XX века. В физике идея многомерия возникла вместе со Специальной Теорией Относительности (СТО), в рамках которой пространство и время были объединены в единое четырехмерное многообразие. Следующий шаг в развитии многомерных моделей был сделан в 1919 г., когда Т. Калуца предложил геометризовать электромагнитное

поле1 в духе эйнштейновской теории тяготения с помощью увеличения на единицу числа пространственных координат. Вслед за Т. Калуцей в 1920-х гг. 5-мерную единую теорию гравитации и электромагнетизма стали развивать О. Клейн [8,9], Л. де Бройль [14] и А. Эйнштейн [15]. В конце 1940-х - начале 1950-х интерес к 5-мерию был подогрет работами П. Йордана (см. ниже), а в 1970-х интерес к многомерным моделям снова резко возрос в связи с развитием теории калибровочных полей с одной стороны и теории струн - с другой.

Модели с дополнительными пространственными измерениями включают в себя два подкласса:

• модели с компактными дополнительными измерениями (примеры: теория Нордстре-ма [16], теория Калуцы-Клейна [7-9], а также теория (супер)струн [17,18] - претендент на объединение всех известных видов физических взаимодействий, включая гравитацию);

• модели с некомпактными дополнительными измерениями ("мир на бране" (braneworld paradigm); примерами могут служить: модель Аркани-Димопулоса-Двали [19,20], модели Рэндалл-Сандрума [21,22] с одной и двумя бранами, модель Двали-Габададзе-Поратти [23]).

2. Модели с дополнительными полями.

В конце 1940-х годов П. Йордан [24, 25] предложил отказаться от гипотезы о постоянстве компоненты метрики д55, соответствующей дополнительной пространственной координате, - так появилась первая модель гравитации со скалярным полем. В работах И. Тири [26], К. Юста [27], Г. Людвига [28] и других авторов было рассмотрено взаимодействие скалярного поля с обычными видами материи, найдены первые сферически-симметричные и космологические решения скалярно-тензорной теории гравитации, была сделана попытка обосновать с помощью скалярного поля гипотезу П. Дирака о возможном изменении гравитационной постоянной. Позднее К. Бранс и Р. Дикке предложили теорию со скалярным полем, не связанным рамками геометрии, что значительно расширило формальные возможности теории и позволило исследовать широкий круг задач - в частности, стали активно разрабатываться модели с дополнительными тензорными полями первого, второго и даже более высоких рангов [29,30].

Сегодня можно выделить следующие основные подклассы моделей с дополнительными полями:

• скалярно-тензорные модели гравитации (пример: теория Бранса-Дикке [31,32]);

Строго говоря, первым, кто построил модель, объединяющую гравитацию и электромагнетизм посредством введения дополнительного, пятого измерения, был Г. Нордстрем. Однако, эта модель основывалась на его собственной теории гравитации, и после появления ОТО была благополучно забыта.

• векторно-тензорные модели гравитации (примеры: теория Якобсона [33], теория Нордтведта-Уилла [34,35]);

• тензорно-тензорные модели (биметрическая гравитация); примеры: теория Розена [36, 37], теория Драммонда [38], массивная гравитация [39-46].

Отдельной строкой следует упомянуть теорию Эйнштейна-Картана-Скиама-Киббла [4751], представляющую собой, фактически, ОТО с кручением; достаточно всесторонний обзор указанной теории можно найти в работе Хэла [52].

3. Модели с уравнениями движения, содержащими производные выше второго порядка. Один из возможных путей расширения Общей Теории Относительности состоит в том, чтобы позволить динамическим уравнениям содержать производные компонент метрического тензора выше второго порядка. Такое допущение обеспечивает, например, более быстрое убывание гравитонного пропагатора, улучшая свойство перенормируемости теории при ее квантовании. В то же время этот подход имеет и свои недостатки, один из наиболее существенных среди которых - появление "духов" (полей, допускающих физические состояния с отрицательной энергией) [53-61]. Примерами моделей с производными высшего порядка могут служить: f (Я) теория [62-66], модель Хоравы-Лифшица [67-74].

Еще одна разновидность модифицированной гравитации, которую мы не упомянули выше, -гравитация Лавлока. Известно, что уравнения Эйнштейна могут быть заданы аксиоматически: для того, чтобы уравнения вида = описывали гравитационное поле необходимо, чтобв1

тензор А удовлетворял следующим четырем требованиям:

1. симметричность: = А^;

2. ковариантное постоянство: = 0 (по V идет суммирование, символ ';' означает ковари-антную производную);

3. зависимость только от компонент метрического тензора и их производных до второго порядка включительно;

4. линейная зависимость от вторых производных метрического тензора.

Можно показать, что единственным тензором, подчиняющимся всем четырем условиям является комбинация = С10^и + С2д^и, где — тензор Эйнштейна, — метрический тензор, 01,02 — постоянные. Д. Лавлок [75] предложил отказаться от последнего условия и нашел наиболее общее выражение для тензора, подчиняющегося условиям (1)-(3), а также лагранжиан, варьирование которого по метрике приводит к этому тензору. Лавлоковский лагранжиан представляет собой сумму всех возможных для рассматриваемого числа измерений эйлеровых плотностей:

а

-"О, >^П

п=0

Б

1 -Л

-1- л й, /Зъ 1 I т^гм, 1 п>п „ А /Я, ^

Л , ,—г!— — V - —Д^-й» ТТ о«28-1«2з д/Зь-./Зз,, _ J_s.Pi .. . Фчп (2)

¿-ЬоуеЬск — / /-п'^п, а — 2 ' /Х"'г ~~ 11 П1Ьа-ИЬа ' ...о2,г — „ГИ °а2„] ^

2п I I ДР1...Р2,, _ _А ■ ■ ■ Л' 2п

XX /Ззв-г/Ззв ' <*1—<Х2п „I [«1 а2п]

8=1

где D — размерность пространства,

D ~2

D в

— целая часть —, - компоненты тензора Римана,

,..., 5в22П — символы Кронекера, квадратные скобки подразумевают антисимметризацию по индексам а\,... , а2п. В обычном четырехмерном пространстве-времени (D = 3) лагранжиан (2) содержит только скалярную кривизну, и гравитация Лавлока совпадает с ОТО. В пяти- и шестимерных многообразиях (D = 4, 5) к скалярной кривизне добавляется еще одно слагаемое, известное как член Гаусса-Бонне:

LGauss-Bonnet = RaPj6— 4Ra/3R+ R2 , (3)

и так далее. В конце 1980-х Б. Цвейбах [76] и Б. Зумино [77] показали, что в низкоэнергетическом пределе теории гетеротических струн в лагранжиане возникают поправки по кривизне, причем квадратичная в точности совпадает с (3) - этот факт нередко служит весомым аргументом в пользу исследований гравитации Лавлока. Однако, совпадение лавлоковских поправок со струнными ограничивается лишь вторым порядком - уже кубические струнные поправки по кривизне не совпадают с кубическими лавлоковскими.

Интерес к модели Лавлока во многом связан с тем, что она представляет собой наиболее общую метрическую теорию гравитации с динамическими уравнениями не выше второго порядка. Это, в частности, позволяет говорить о том, что лавлоковский лагранжиан является естественным обобщением лагранжиана Гильберта-Эйнштейна, а тензор Лавлока - обобщением тензора Эйнштейна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные космологические решения в гравитации Лавлока»

II. Актуальность.

Попытки объединить различные силы природы, начавшиеся практически одновременно с появлением Общей Теории Относительности, привели к возникновению парадигмы многомерной Вселенной. За последние десятилетия достигнут значительный прогресс в построении единой теории фундаментальных взаимодействий, одним из наиболее перспективных кандидатов на роль которой является теория струн. Исследование многомерных космологических моделей позволяет рассмотреть космологический аспект этой теории и оценить (независимо от физики частиц), насколько та или иная модель, существующая в ее рамках, соотносится с реальностью.

В конце 1990-х годов было открыто ускоренное расширение Вселенной. Одно из возможных объяснений этого явления состоит в том, что законы, которым подчиняется гравитация, на космологических масштабах длин и времен отличаются от Общей Теории Относительности. Получение и исследование (в контексте существующих наблюдательных данных) космологических решений в рамках лавлоковской модели гравитации дает возможность понять, насколько данная модель является жизнеспособной, и может ли она выступать в роли более фундаментальной, чем ОТО, теории гравитации.

Чрезвычайная нелинейность как ОТО, так и гравитации Лавлока, делает крайне затруднительным предсказание каких-либо свойств и возможного физического смысла решений на основе лишь качественного анализа уравнений, лежащих в основе теории. В этой связи особенно важное значение приобретают поиск точных решений и разработка новых методов их получения.

III. Цель работы.

Были поставлены следующие цели:

• Исследование устойчивости степенных решений в рамках плоской анизотропной модели гравитации Гаусса-Бонне с магнитным полем.

• Получение точных космологических решений с экспоненциальной зависимостью масштабного фактора от времени, а также необходимых условий их существования, в рамках плоской анизотропной модели гравитации Лавлока.

IV. Научная новизна.

Все результаты, представленные в диссертации новые.

В рамках исследования плоских анизотропных космологических моделей гравитации Гаусса-Бонне с магнитным полем:

1. получены условия устойчивости степенных решений вблизи начальной космологической сингулярности для произвольного числа пространственных измерений;

2. в (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-, (8+1)-мерных моделях численно найдены решения, демонстрирующие колебательный характер приближения к точке начальной космологической сингулярности, отличный от известного колебательного режима, обнаруженного Белинским, Лифшицем и Халатниковым в рамках общей теории относительности.

В рамках исследования плоских анизотропных космологических моделей гравитации Лавло-ка с произвольным числом пространственных измерений:

1. разработан метод, позволяющий получать все возможные экспоненциальные решения с переменным объемом;

2. в явном виде получены все возможные точные экспоненциальные решения с переменным объемом в (4+1)-, (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-мерных моделях;

3. получены необходимые условия существования экспоненциальных решений с постоянным объемом в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с изотропной идеальной жидкостью.

V. Положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся:

1. условия устойчивости степенных решений вблизи начальной космологической сингулярности в плоских анизотропных моделях гравитации Гаусса-Бонне с магнитным полем для произвольного числа пространственных измерений;

2. найденные численно в рамках (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-, (8+1)-мерных плоских анизотропных моделей гравитации Гаусса-Бонне решения, демонстрирующие колебательный характер приближения к точке начальной космологической сингулярности;

3. метод, позволяющий получать все возможные экспоненциальные космологические решения с переменным объемом в рамках плоских анизотропных моделей гравитации Лавлока для произвольного числа пространственных измерений;

4. точные экспоненциальные космологические решения с переменным объемом в (4+1)-, (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-мерных плоских анизотропных моделях гравитации Лавлока;

5. анализ решений с трехмерным изотропным подпространством;

6. необходимые условия существования экспоненциальных космологических решений с постоянным объемом в плоских анизотропных моделях гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне с изотропной идеальной жидкостью для произвольного числа пространственных измерений.

VI. Научная и практическая значимость.

• Разработанный метод дает возможность получать точные экспоненциальные решения в рамках общей (то есть с произвольным количеством поправок по кривизне в лагранжиане) модели Лавлока для произвольного числа пространственных измерений и может быть использован в широком классе космологических задач.

• Найденные необходимые условия существования экспоненциальных решений позволяют сузить диапазон допустимых космологических моделей, облегчая дальнейшие исследования в этом направлении.

• Полученные экспоненциальные решения с трехмерным изотропным подпространством в дальнейшем могут быть использованы в космологических моделях реальной Вселенной для описания определенных этапов ее эволюции (например, первичной инфляции).

• Полученные условия устойчивости степенных решений вблизи начальной космологической сингулярности, а также численно обнаруженные осциллирующие решения могут быть полезны для исследований, посвященных изучению природы начальной космологической сингулярности.

VII. Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались соискателем на:

• международной конференции по физике высоких энергий "17th International Seminar on High Energy Physics Quarks-2012" , Ярославль, июнь 2012;

• международной конференции по теоретической и экспериментальной общей теории относительности, астрофизике и релятивистской теории поля "Thirteenth Marcel Grossmann Meeting" , Стокгольм (Швеция), июль 2012;

• международной конференции по физике высоких энергий "18th International Seminar on High Energy Physics Quarks-2014" , Суздаль, июнь 2014;

• международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике "RUSGRAV-15" , Казань, июль 2014.

VIII. Публикации и личный вклад автора.

Основные результаты диссертации изложены в 4 работах, опубликованных в российских и зарубежных изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией:

1. Chirkov D., Toporensky A. On the Stability of Power-Law Solutions in Multidimensional Gauss-Bonnet Cosmology // Gravitation and Cosmology. 2013. Vol. 19, No. 4. p. 275.

2. Chirkov D., Pavluchenko S., Toporensky A. Exact exponential solutions in Einstein Gauss Bonnet flat anisotropic cosmology // Mod. Phys. Lett. A. 2014. Vol. 29, No. 18. p. 1450093.

3. Chirkov D., Pavluchenko S., Toporensky A. Constant volume exponential solutions in Einstein-Gauss-Bonnet flat anisotropic cosmology with a perfect fluid // Gen. Rel. Grav. 2014. Vol. 46, No. 10. p. 1799.

4. Chirkov D., Pavluchenko S., Toporensky A. Non-constant volume exponential solutions in higher-dimensional Lovelock cosmologies // Gen. Rel. Grav. 2015. Vol. 47, No. 11. p. 137.

В перечисленных работах соискателем выполнено следующее:

• в работе [1] проведен анализ устойчивости степенных решений для плоских анизотропных многомерных космологических моделей с однородным магнитным полем в рамках классической эйнштейновской гравитации и гравитации Гаусса-Бонне;

• в работе [2] найдены все возможные точные экспоненциальные космологические решения с переменным объемом в рамках (4+1)- и (5+1)-мерных плоских анизотропных моделей гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне;

• в работе [3] получены необходимые условия существования экспоненциальных космологических решений с постоянным объемом в плоских анизотропных моделях гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне с изотропной идеальной жидкостью для произвольного числа пространственных измерений;

• в работе [4] разработан метод, позволяющий получать все возможные экспоненциальные космологические решения с переменным объемом в рамках плоских анизотропных моделей гравитации Лавлока для произвольного числа пространственных измерений; получены все возможные точные экспоненциальные космологические решения с переменным объемом для (4+1)-, (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-мерных моделей; проанализированы решения с трехмерным изотропным подпространством.

IX. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, а также списка литературы, списка таблиц и списка рисунков. Диссертация содержит 90 страниц, 4 рисунка и 9 таблиц. Список литературы содержит 104 наименования.

Глава 1

Устойчивость степенных решений в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне.

1.1 Предварительные замечания.

1.1.1 Степенные решения в ОТО и лавлоковской гравитации.

Простейшей моделью плоской анизотропной Вселенной без материи является многообразие, оснащенное метрикой Казнера [78], которая при надлежащем выборе системы отсчета может быть представлена в виде

¿в2 = —¿г2 + г2р1 ¿х2 + г2р2 ¿у 2 + г2рз ¿г2 (1.1)

где р1,р2,р3 — любые три числа, удовлетворяющие соотношениям

Р1 + Р2 + Рз = 1, Р1Р2 + Р1Р3 + Р2Р3 = 0 (1.2)

Показатели Р1 ,Р2,Р3 не могут одновременно принимать одинаковые значения; равенство двух из них имеет место только в тройках значений (0,0,1) и 1,|,|) — во всех прочих случаях числа Р1 ,Р2,Р3 различны, причем одно из них отрицательно, а два других положительны. Если их расположить в порядке Р1 < Р2 < Р3, то их значения будут лежать в интервалах

1 2 2 , л

- 3 ^ о, (1.3)

Эти числа могут быть представлены в параметрическом виде:

—и 1+ и и(1 + и)

V цц) = 1 , , 2' рМ= 2, Рз{и)= , и^ 1 1.4

1 + и + и2 1 + и + и2 1 + и + и2

Все объемы в пространстве, описываемом метрикой (1.1), растут (с увеличением времени) пропорционально г, причем линейные расстояния вдоль двух осей (у, г) увеличиваются, а вдоль

одной (ж) убывают. Момент времени £ = 0 является особой точкой1 решения: метрика имеет в ней особенность, неустранимую никаким преобразованием системы отсчета, а инварианты тензора четырехмерной кривизны обращаются в бесконечность. Исключением является случай р1 = р2 = 0,р3 = 1, описывающий плоское пространство-время: преобразованием £вЬг = еЬг = т метрика (1.1) приводится к лоренцевой.

Метрика (1.1) является точным решением уравнений Эйнштейна для пустого пространства; следует отметить, однако, что вблизи особой точки при малых £ она остается приближенным (с точностью до членов главного порядка по £-1) решением и при наличии равномерно распределенной в пространстве материи. Решение Казнера легко обобщается на случай произвольного числа О измерений:

в

= + ^ £2рк<кс2к , (1.5)

к=1

числа р1,... , рв подчиняются соотношениям

в

= 1 ^ РР' = 0 (1.6)

к=1 КККВ

В работах Н. Дерюэль [79,80] в рамках модели гравитации Гаусса-Бонне было получено космологическое решение с метрикой (1.5) для О = 4, 5 и параметрами р1,... , рв, удовлетворяющими уравнениям

в

^Рт = 3, ^ РiРjРkРl = 0 (1.7)

т=1 1^i<j<k<l^в

А. Топоренский и П. Третьяков [81] продемонстрировали справедливость этого решения для О = 6, 7. С. Павлюченко [82] доказал, что решение с метрикой (1.5) и показателями р1,... ,рв, удовлетворяющими условиям

В 2В-1

£рт = 2О - 1, ^ = 0 (1.8)

т=1 1 «=1

справедливо для всех О > 3, пока в лагранжиане присутствует единственная - высшая для данного О - лавлоковская поправка; при добавлении в лагранжиан прочих существующих при выбранном О поправок указанное решение разрушается.

1.1.2 Поведение степенных решений вблизи космологической

сингулярности в ОТО.

В период с 1960 по 1972 гг. В.А. Белинским, Е.М. Лифшицем и И.М. Халатниковым [83] был опубликован ряд работ, посвященных вопросу о том, является ли существование особой точки

хМы будем называть ее также начальной космологической сингулярностью, или просто сингулярностью.

по времени обязательным свойством релятивистских космологических моделей, не зависящим от упрощающих предположений, лежащих в их основе. Авторы показали, что в общем космологическом решении уравнений Эйнштейна существует особенность, причем она имеет сложный колебательный характер.

Рассмотрим основные особенности2 колебательного режима приближения к особой точке на примере модели однородного пространства типа IX по классификации Бианки, не заполненного материей. Традиционно при изучении однородных пространств используют тетрадный формализм, позволяющий существенно упростить вычисления. В рамках тетрадного формализма метрику можно представить в виде

¿82 = + (а21г1] + Ъ2тгт] + С?ПгП] )ё,хгё,х]

(1.9)

где Iг, тг, пг - компоненты реперных векторов 1, т, п. Компоненты тензора Риччи Къс при Ъ = с обращаются в нуль тождественно, и система уравнений Эйнштейна сводится к четырем уравне-

1 — к>2 1 = Я2

ниям Я0 = Я1 = Я2 = Я3 = 0, которые после замены

Ъ

(1.10)

и преобразования временной переменной

¿Ь = аЪс ¿т

(1.11)

принимают вид

-(а+ 0 + 7)" = а'р' + О'У + /З'У

2 а''

е2в — е27

2 4а

— е ,

2 в''

е2а - е27)2 - е4в, 27''

е2а - е27)2 - е47,

(1.12) (1.13)

где штрих означает дифференцирование по т. В случае плоского пространства (тип Бианки I) правые части уравнений (1.13) отсутствуют, и система (1.13) имеет точное решение, представляющее собой решение Казнера3:

а = р1т, в = Ртт, 7 = рпт, или а = ЬР1, Ъ = €т, с = €п

(1.14)

где р1 + рт + рп = р2 + р2т + рП = 1. Появление у пространства кривизны приводит к нестабильности решения (1.14). Действительно, предположим, что в течение некоторого интервала времени (называемого обычно "казнеровской эпохой") правые части уравнений (1.13) настолько малы, что ими можно пренебречь, и имеет место казнеровский режим (1.14). Пусть р1 = р1, рт = р2, рп = р3, где р1, р2, р3 - числа, подчиняющиеся условиям (1.4). Поскольку р1 < 0, то при Ь ^ 0 функция а(Ь) возрастает, вызывая к рост правых частей уравнений (1.13) и,

2Подробное изложение этого вопроса можно найти в [84].

3Постоянные интегрирования можно опустить, не ограничивая общности получаемого результата.

а

1

е

е

а

с

как следствие, возмущение казнеровского режима. Воздействие возмущения приводит к смене одной "казнеровской эпохи" другой:

Отрицательный показатель (р1) после смены становится меньшим из двух положительных; меньший из двух положительных (рт) - отрицательным. Убывавшая прежде функция Ь(£) начинает возрастать, возраставшая а(£) — убывать; функция с(£) продолжает убывать. Возмущение, обеспечиваемое членами а4(£) в уравнениях (1.13), начинает убывать и затухает; дальнейшая эволюция метрики аналогичным образом приводит к росту возмущения, вызванного членами Ь4 (£), следующей смене казнеровских показателей и т.д. Последовательные смены с перебросом отрицательного показателя степени между направлениями 1 и т продолжаются до тех пор, пока не исчерпается целая часть начального значения и, т.е. и не станет меньше единицы. Значение и < 1 преобразуется в и > 1 согласно

В результате преобразования (1.16) показатель рп становится меньшим из двух положительных; тот из показателей Р1 и рт, который был отрицательным, сохранит свой знак. В следующей серии "казнеровских эпох" отрицательный показатель перебрасывается между направлениями п и 1 или п и т. Если начальное значение и иррационально, количество таких серий, именуемых "казнеровскими эрами" , бесконечно.

Таким образом, процесс эволюции модели в направлении к особой точке представляет собой последовательность "казнеровских эр" , в течение каждой из которых расстояния вдоль двух осей осциллируют, а вдоль третьей монотонно убывают; объем при этом убывает по закону, близкому к ~ При переходе от одной эры к другой направление, вдоль которого происходит монотонное убывание расстояний, переходит с одной оси на другую. Порядок этих переходов по мере приближения к особой точке приобретает характер случайного процесса. Такой же характер приобретает порядок чередования длин4 " казнеровских эр". Между любым конечным моментом времени £ и моментом £ = 0 заключено, вообще говоря, бесконечное множество колебаний. Более естественной переменной для описания временного хода этой эволюции оказывается поэтому не само время а его логарифм 1п по которому весь процесс приближения к особой точке растянут до —то.

В середине 80-х гг. прошлого века М. Энно [85] с соавторами доказал, что в пространствах с размерностью О ^ 10 на казнеровской сфере, задаваемой уравнениями (1.6), появляется открытая область, - назовем ее П, — для всех точек (р1,... ,рв) которой соответствующие степенные

4Под длиной "казнеровской эры" понимают количество "казнеровских эпох" , из которых она состоит.

Р1 = Р1(и) -> Р = Р2 (и — 1)

Рт = Р2 (и) -» р'т = Р1(и — 1)

Рп = Рз(и) -» РП = Рз(и — 1)

(1.15)

(1.16)

решения (1.5) устойчивы вблизи сингулярности по отношению к малым возмущениям. Это не означает, однако, что колебательные режимы исчезают в многомерных моделях вовсе — исследования Т. Фурусава [86], А. Томимацу [87] и Дж. Барроу [88] показали, что возможны ситуации, когда метрика (1.5) с показателями (pi,... ) </ П, эволюционируя, совершает конечное число осцилляций и приходит в состояние с показателями (pi,... ,pD) ^ П, т.е. попадает в "область устойчивости". Спустя десятилетие В. Леблан [89] на примере модели (3+1)-мерной вселенной, заполненной магнитным полем, продемонстрировал, что присутствие анизотропной материи может вызывать неустойчивость степенных решений (1.5) даже в плоских пространствах, приводя к появлению вблизи начальной космологической сингулярности осцилляций, аналогичных описанным выше. В начале 2000-х гг. Р. Бенини, А.А. Кириллов и Г. Монтани [90] обнаружили, что неустойчивость колебательного типа решений вида (1.5) возникает во всех однородных пространствах любой размерности при наличии безмассового векторного поля.

Цель настоящей главы состоит в обобщении этих результатов на многомерные модели гравитации Гаусса-Бонне с анизотропной материей и исследовании устойчивости степенных решений вблизи особой точки.

1.1.3 Параметризация метрики. Тензор энергии-импульса материи.

Мы будем работать в О-мерном плоском анизотропном пространстве, в синхронной системе отсчета. Принимая во внимание, что отсутствие пространственной кривизны позволяет путем преобразований поворота системы координат диагонализовать метрический тензор сразу во всем пространстве, и выбирая наиболее удобную для дальнейших выкладок параметризацию, запи-

5

шем метрику в виде

Б

= — + ^е2а*^, аъ...,ав ев 2(К) (1.17)

к=1

В качестве анизотропной материи мы рассмотрим многомерный аналог магнитного поля — антисимметричную 2-форму с отличными от нуля пространственными компонентами и нулевыми смешанными. Выясним, как в этом случае будут выглядеть компоненты тензора энергии-импульса. В общем случае тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид:

т? = ^ + (1.18)

где ^ - тензор Фарадея. Компоненты тензора Фарадея подчиняются следующим уравнениям:

= 0, , м (1.19)

^ = 0,

5По умолчанию греческие индексы пробегают значения от 0 до Б, латинские - от 1 до Б; в тех случаях, когда диапазон изменения индексов иной, это указывается непосредственно в тексте.

или, подробнее,

d^F^ + P^FAv + Г»а F^ = 0 , (dF)afh = 0, а < в < Y ,

(1.20)

где д^ = т^. Как известно,

(dF)аха2аз да\ аз да2 Fаl аз + даз Ба\а2 , (1.21)

так что мы можем переписать систему (1.20) в виде

d^F^ + r^xFXv + F»a = 0

(1.22)

даFfi1 - дв FаY + д7 Fав = 0, а< в <1

Запишем компоненты Римановой связности:

гг0 = г0г = аг(г), Г0] = й](г)в2а® (1.23)

Все прочие компоненты связности тождественно равны нулю. Так как мы рассматриваем однородное пространство, тензор Фарадея зависит только от времени ¿; тогда, с учетом (1.23) уравнения (1.22) примут вид:

' ^ + F0гJ2 ак = 0 ,

Fj = 0

(1.24)

Их решения:

— ак

F0m = фт е к , фт = const, (1 25)

F%j = i'ij = const

В дальнейшем мы будем рассматривать только магнитную составляющую тензора Фарадея, так что положим фт = 0; тогда

F0m = Fom = 0 (1.26)

Рассмотрение плоского пространства и выбор метрики в форме (1.17) приводят к диагональности тензора Эйнштейна, что, в свою очередь, заставляет нас предъявить требование диагональности к тензору энергии-импульса. Принимая во внимание (1.18) ,(1.25) и (1.26) получаем:

= 0, ¡л ф v FV1F^ = 0, ft ф v ^ £ е~2аНчЖм = 0 (1.27)

i

Функции e-2ai линейно независимы, так что из (1.27) следует, что

ФаФш = 0, г,к,1 = 1,П, гфк (1.28)

Таким образом, обращаются в ноль все попарные произведения таких параметров ф, у которых один из индексов первого, совпадает с одним из индексов второго. Отсюда следует, что, по крайней мере, один из параметров в каждом таком произведении равен нулю. Количество произведений, в которых встречается параметр с некоторой парой индексов (скажем, фг1]1), равно

2(В — 2); если ф 0, то все 2(1) — 2) параметров, с которыми может быть "спарен" должны быть равны нулю. Рассмотрим другую пару индексов (г2, ^2) такую, что г2 = = ¿1 = ^ъ так как индексы г1 исключаются из рассмотрения, количество произведений, в которых встречается параметр составит 2 (В — 4); если ф^^ ф 0, то обращаются в ноль все 2 (В — 4) параметров, с которыми можно "спарить" ф^2 . Продолжая приведенные рассуждения, найдем количество нулевых компонент магнитного поля:

2(£> - 2) + 2(£> - 4) + ... + 2 ^В - 2 = ^ ~ ^ , £> = 26+1, 6еМ (1.29)

2(В - 2) + 2(В - 4) + ... + 2 (в - 2 ^ = ^ , В = 26, 6 е N (1.30)

Общее количество компонент магнитного поля составляет ; тогда количество \ ненулевых

компонент магнитного поля

В(В - 1) (В - 1)2 В - 1 , , ,

х = 2 ~ 2 £ = 26 + 1, 6 ем, (1.31)

В(В - 1) В(В - 2) В , , ,

Х = 2 - 2 В = 26, 6 € N (1.32)

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать ненулевыми компоненты

"012' "034' • • •' "02,1-1 /г = 1'Х тензора Фарадея, прочие его компоненты будут предполагаться равными нулю. Тогда для тензора энергии-импульса запишем:

Т» = 0, (Л Ф и, Т0° =

_о 1=1,Х—2 __И 331

Тп = -ф2п_12пе-2^+а^ + £ ^ад-^.е-2^-1^0, п = 1, х 1 ' }

5=1,х

В дальнейшем будет удобно использовать обозначение

< п >= {2п - 1, 2/?,}, п = Т^х (1-34)

Мы будем полагать, что

г =< п > ^^ г = 2п - 1 Л г = 2п, к =< п > ^^ к = 2п - 1 V к = 2п (1.35)

1.2 Устойчивость степенных решений в многомерном обобщении

ОТО.

1.2.1 Динамические уравнения.

Запишем действие:

5 = Ъ /¿°+1ху/\д\(СЕ + £т), СЕ = И, Ст = В„/3В°/3, (1.36)

18

здесь Я и Fав - (О + 1)-мерные скалярная кривизна и тензор Фарадея соответственно. Динамические уравнения:

= где = (1.37)

Принимая во внимание (1.17), получим:

С = 0, ц = V, 00 = £ а г а3, сп = Е (аг + а2г) + Е а г а3 (1.38)

г<] г=п ¿<з

_2 _

Обозначим: ф2{_1 ^ = к2фг,{_1 г = Для четномерного пространства уравнения движения принимают вид:

£ + + Е ЪЪ = + Е п = Хх (1-39) В случае нечетного числа измерений к ним добавляется еще одно:

+ aj) + Е = Е Й-1.аде"2(0:у-1+0:у), " = 1, X (1-40)

i^L

Уравнение G0 — к2Т0 запишется как

i^D i<i 7=1 v

E Wi = Y^^er2^-^ (1.41)

j = 1,х

Это соотношение содержит только первые производные и представляет собой первый интеграл уравнений (1.39)-(1.40). Заметим, что каждое выражение (1.39) описывает уравнения с номерами 2n — 1 и 2n одновременно (мы использовали здесь обозначения (1.34)). В отсутствие материи уравнения (1.39) ,(1.41) переходят в

Е(а» + «¿) + Е ^з = Е^з = п = (1Л2)

i=n l<i i<j

Их решения имеют вид [78]:

а°к = рк ln(t) + Ск, Ск = const, к = T7D, = 1, = 0 (1.43)

k i<j

В соответствии с (1.43) компоненты метрического тензора подчиняются степенному закону:

ds2 = — dt2 + Е Ck2t2pkdxk, C2 = e2Ck, Y;Pk = !, EPiPj = 0 (1.44)

k k i<j

Это многомерное обобщение хорошо известного решения Казнера.

1.2.2 Условия устойчивости.

Появление материи приводит к тому, что (1.43) перестает быть точным решением уравнений Эйнштейна. Численные расчеты показывают, что существуют решения уравнений (1.39)-(1.40), близкие к казнеровским (1.43), которые переходят в казнеровские при £ ^ 0, то есть при приближении к начальной космологической сингулярности.

Мы будем рассматривать влияние магнитного поля как возмущение и искать решение уравнений (1.39)-(1.40) в виде:

ак{г) = а°к{г) + 1рк№, к=ил (1.45)

где аРк казнеровское решение (1.43), Е С2 (К) - отклонение от невозмущенного решения. Мы будем называть решение ак стабильным, если

lim ak(t) = a°k(t), k = l,D

t^Q

Другими словами, решение ak стабильно тогда и только тогда, когда

(1.46)

lim^fc(i) = 0, к = 1, D

t^Q

(1.47)

Утверждение 1.1. Казнеровские решения стабильны в окрестности начальной космологической сингулярности (точки £ = 0) тогда и только тогда, когда они подчиняются условиям

Р2п-1 + Р2п < 1, п = Доказательство.

Мы проведем доказательство для случая четного числа измерений, для нечетномерных пространств доказательство полностью аналогично.

1. Пусть решение |а0,...,а^} уравнений (1.42) стабильно; тогда существует решение |а1,..., ам} уравнений (1.39) ,(1.41) и функции ..., Е С2 (К) такие, что

ak(t) = a°k(t) + <pk(t), k=l,D

lim Vk (t) = 0, k = 1,D

t^Q

Из (1.49) следует, что

lim (tфк (t)) = 0, lim (t2 фк (t)) = 0, к = 1, D

Подставляя (1.43),(1.48) в (1.39) и (1.41) получим:

(1.48)

(1.49)

(1.50)

E Pi(Pi- 1) + E PjPk+

i=<n>

j<k j,k = <n>

+ t

i=<n>

j<k j,k=<n>

2n-1+^2n)

E PiV^i + E (pjФk + Pkvj) +t2 E fe + <A2) + E vk

^<n> j<k V / i=<n>\ ' j<k

i=<n>

j<k j,k = <n>

g-2(^2n-l+^2n)f2-2(p2n-l+P2n) I ^2 g-2(^2j-l+^2j )+2-2(p2j-1+P2j)

r 2n-l, 2n ' / J T2j — l,2j

3 = 1,X

(1.51)

• ' ) + = £ (1.52)

Пусть г ^ 0; складывая уравнения (1.51) для всех п = 1,О и учитывая (1.43),(1.49),(1.50), получим:

^п ) (1.53)

3 = 1,Х

о = ит(

Равенства (1.53) выполняются тогда и только тогда, когда

Р'2п—1 + р2п < 1, п =1,Х (1-54)

Первая часть утверждения доказана.

2. Пусть решение {а0,... , а0п} уравнений (1.42) удовлетворяет условиям р2п-1 + р2п < 1, п = 1, а функции <р1 (¿),..., <рн £ С2(Е) представляют малые отклонения от этих решений, такие, что

ак(г) = а1(г) + <рк(г), « К(г0)|, \ФкЫ\ < \т0)\, к = 1,Б (1.55)

где г0 > 0 - начальный момент времени. Подстановка (1.43) ,(1.55) в уравнения (1.39) и (1.41) даст нам уравнения (1.51)-( 1.52). Принимая во внимание (1.55) мы можем пренебречь слагаемыми, содержащими Ьфг, Ь2фгф3, в левых частях уравнений (1.51)-(1.52), а также слагаемыми, содержащими в правых частях этих уравнений. Пусть е - произвольное малое положительное число; тогда в е-окрестности точки Ь0 уравнения (1.51) запишутся в виде:

/2 £ - + £ + Сп, п = Ьх (1-56)

гф<п> 3 = 1,X

3=п

где

Сп = £ рг(рг - 1) + £ р^рк (1.57)

г=<п> 3<к

3,к = <п>

или, в матричных обозначениях,

АФ(г) = Я(г), г е (Ьо - е,Ьо + е) (1.58)

где

.1;:: 0. 1. /, /./: <1>л(/5 ф,М). ./.к 1.1) (1.59)

Пъ,-гЦ) = К2пЦ) = " Е ц-1,.зг2{Р2з-1+Р2з) + С«. ™ = ЪХ (1-60)

3=1,х

3=п

Несложно убедиться в том, что матрица A невырождена, так что уравнение (1.58) имеет решение

Ф(*) = A-1R(t), (1.61)

или,

Фк(1) = Е VkmtXm + 0ikl Oik = COllSt, Щт = COllSt, Am = -2(p2m-l + p2m), k=l,D, (1.62)

m=l,x

откуда следует, что

Mt)= E T^TtXm+1 + 0ikt, <pk(t)= E + °ft2 + Ookt, 0ok = const (1.63)

Am + I Am + z z

m=1,x m=1,x

Из условий p2m-i + p2m < 1, те. = 1, следует, что Am + 2 > 0; тогда

lim^fc(i) = 0, k=l,D, (1.64)

t—s- 0

а значит решения (1.43), подчиняющиеся условиям р2т-\ +р2т < 1, те = 1, стабильны. Вторая часть утверждения доказана.

Примеры.

• Рассмотрим (3+1)-мерное пространство-время; с учетом (1.31) мы имеем единственную ненулевую компоненту тензора Фарадея; в соответствии с принятыми нами в параграфе 1.1.3 договоренностями обозначим эту компоненту -012; из утверждения 1.1 следует, что стабильные решения Казнера подчиняются условиям р1 + р2 < 1. Заметим, что из р1 +р2 < 1 следует р3 > 0 - пространство расширяется вдоль направления магнитного поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чирков Дмитрий Михайлович, 2016 год

Литература

1. Einstein A. Die Feldgleichungen der Gravitation // Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, (Berlin), Seite 844-847. 1915.

2. Weyl H. Reine Infinitesimalgeometrie // Math. Z. 1918. Vol. 2. p. 384.

3. Weyl H. Elektrizitat und Gravitation // Phys. Z. 1920. Vol. 21. p. 649.

4. Weyl H. Feld und Materie // Ann. Phys. 1921. Vol. 65. p. 541.

5. Weyl H. Uber die physikalischen Grundlagen der erweiterten Relativitatstheorie // Phys. Z. 1921. Vol. 22. p. 473.

6. Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Springer, 1923.

7. Kaluza T. Zum Unitätsproblem in der Physik // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1921.

8. Klein O. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie // Phys. Z. 1926. Vol. 37. p. 895.

9. Klein O. The Atomicity of Electricity as a Quantum Law // Nature. 1926. Vol. 118. p. 516.

10. Eddington A. A generalisation of Weyl's theory of the electromagnetic and gravitational fields // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1921. Vol. 99. p. 104.

11. Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: МИР, 1979.

12. Grassmann H. Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Verlag Von Otto Wigand, 1844.

13. Гуревич В., Волмен Г. Теория размерности. М.: ИЛ, 1948.

14. De Broglie L. L'Univers a cing dimensions et la mecanique ondulatoire // Journ. Phys. Rad. 1927. Vol. 8. p. 65.

15. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, Т.2. М.: Наука, 1966.

16. Nordstrom G. On the possibility of unifying the electromagnetic and the gravitational fields // Phys. Z. 1914. Vol. 15. p. 504.

17. Green M., Schwarz J.H., Witten E. Superstring Theory. Cambridge University Press, 1987.

18. Polchinski J. String Theory. Cambridge University Press, 1998.

19. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter // Phys. Lett. 1998. Vol. B429. p. 263.

20. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with sub-millimeter dimensions and TeV scale quantum gravity // Phys. Rev. 1999. Vol. D59. p. 086004.

21. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimension // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. p. 3370.

22. Randall L., Sundrum R. An alternative to compactification // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. p. 4690.

23. Dvali G. R., Gabadadze G., M. P. 4D gravity on a brane in 5D Minkowski space // Phys. Lett. 2000. Vol. B485. p. 208.

24. Jordan P. Bemerkungen zur Kosmologie // Ann. der Phys. 1939. Vol. 36. p. 64.

25. Jordan P. Erweiterung der projectiven Relativitatshheorie // Ann. der Phys. 1947. Vol. 1. p. 219.

26. Thiry Y. Les equation de la theórie unitaire de Kaluza // Compt. rend. Akad. S. Paris. 1948. Vol. 226. p. 216.

27. Just K. Neue Feldgleichungen zur Jordanschen Gravitatiostheorie // Zeits. f. Physik. 1955. Vol. 140. p. 485.

28. Ludwig G. Fortshritte der projektiven Relativitatshheorie. Braunschweig, 1951.

29. Fradkin E., Vasiliev M. A. On the Gravitational Interaction of Massless Higher Spin Fields // Phys. Lett. 1987. Vol. B189. p. 89.

30. Vasiliev M. A. Consistent equation for interacting gauge fields of all spins in (3+1)-dimensions // Phys. Lett. 1990. Vol. B243. p. 378.

31. Brans C., Dicke R. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation I // Phys. Rev. 1961. Vol. 124. p. 925.

32. Brans C., Dicke R. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation II // Phys. Rev. 1962. Vol. 125. p. 2194.

33. Jacobson T. Einstein-aether gravity // PoS, QG-PH: 020. 2007.

34. Nordtvedt K., Will C. M. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism // Astrophys. J. 1972. Vol. 177. p. 775.

35. Nordtvedt K., Will C. M. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. II. Experimental Evidence to Rule Out Preferred-Frame Theories of Gravity // Astrophys. J. 1972. Vol. 177. p. 775.

36. Rosen N. General Relativity and Flat Space. II // Phys. Rev. 1940. Vol. 57. p. 150.

37. Rosen N. A bi-metric theory of gravitation // Gen. Rel. Grav. 1973. Vol. 4. p. 435.

38. Drummond I. Bimetric gravity and "dark matter-// Phys. Rev. 2001. Vol. D63. p. 043503.

39. Fierz M., Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. Lond. 1939. Vol. A173. p. 211.

40. Gabadadze G. General Relativity With An Auxiliary Dimension // Phys. Lett. 2009. Vol. B681. p. 89.

41. Ghosts in massive gravity / P. Creminelli, A. Nicolis, M. Papucci et al. // JHEP. 2005. Vol. 0509. p. 003.

42. Boulware D., Deser S. Can gravitation have a finite range? // Phys. Rev. 1972. Vol. D6. p. 3368.

43. De Rham C. Massive gravity from Dirichlet boundary conditions // Phys. Lett. 2010, volume = B688, pages = 137, language = english.

44. De Rham C., Gabadadze G. Selftuned Massive Spin-2 // Phys. Lett. 2010. Vol. B693. p. 334.

45. De Rham C., Gabadadze G. Generalization of the Fierz-Pauli Action // Phys. Rev. 2010. Vol. D82. p. 044020.

46. De Rham C., Gabadadze G., Tolley A. Resummation of Massive Gravity // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 106. p. 231101.

47. Cartan E. Sur une generalisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion // C. R. Acad. Sci. 1922. Vol. 174. p. 593.

48. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativitee generalisee I // Ann. Ec. Norm. Sup. 1923. Vol. 40. p. 325.

49. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativitee generalisee II // Ann. Ec. Norm. Sup. 1925. Vol. 42. p. 17.

50. Sciama D. The physical structure of General Relativity // Rev. Mod. Phys. 1962. Vol. 36. p. 463.

51. Kibble T. Lorentz invariance and the gravitational field //J. Math. Phys. 1961. Vol. 2. p. 212.

52. Hehl F., Von Der Heyde P., Kerlick G. General Relativity with Spin and Torsion: Foundations and Prospects // Rev. Mod. Phys. 1976. Vol. 48. p. 393.

53. Stelle K. Classical gravity with higher derivatives // Gen. Rel. Grav. 1978. Vol. 9. p. 353.

54. Calcagni G., Tsujikawa S., Sami M. Dark energy and cosmological solutions in second-order string gravity // Class. Quant. Grav. 2005. Vol. 22. p. 3977.

55. Hindawi A., Ovrut B. A., Waldram D. Consistent spin-two coupling and quadratic gravitation // Phys. Rev. 1996. Vol. D53. p. 5583.

56. Hindawi A., Ovrut B. A., Waldram D. Nontrivial vacua in higher-derivative gravitation // Phys. Rev. 1996. Vol. D53. p. 5597.

57. Chiba T. Generalized gravity and a ghost // J. Cosmology Astropart. Phys. 2005. Vol. 3. p. 8.

58. Navarro I., Van Acoleyen K. Consistent long distance modification of gravity from inverse powers of the curvature //J. Cosmology Astropart. Phys. 2006. Vol. 3. p. 8.

59. DeFelice A., Hindmarsh M., Trodden M. Ghosts, instabilities and superluminal propagation in modified gravity models //J. Cosmology Astropart. Phys. 2006. Vol. 8. p. 5.

60. Barth N. H., Christensen S. M. Quantizing fourth-order gravity theories: The functional integral // Phys. Rev. 1983. Vol. D28. p. 1876.

61. Nunez A., Solganik S. Ghost constraints on modified gravity // Phys. Lett. 2005. Vol. B608. p. 189.

62. Nojiri S., Odintsov S. Introduction to Modified Gravity and Gravitational Alternative for Dark Energy // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2007. Vol. 4. p. 115.

63. Nojiri S., Odintsov S. Unified cosmic history in modified gravity: from F(R) theory to Lorentz non-invariant models, :-144, Aug. 2011 // Phys. Rep. 2011. Vol. 505. p. 59.

64. Schmidt H. Fourth Order Gravity: Equations, History, and Applications to Cosmology // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2007. Vol. 4. p. 209.

65. Sotiriou T., Faraoni V. f(R) theories of gravity // Reviews of Modern Physics. 2010. Vol. 82. p. 451.

66. De Felice A., Tsujikawa S. f(R) theories // Living Reviews in Relativity. 2010. Vol. 13. p. 3.

67. Horava P. Membranes at Quantum Criticality // JHEP. 2009. Vol. 0903. p. 020.

68. Horava P. Quantum Gravity at a Lifshitz Point // Phys. Rev. 2009. Vol. D79. p. 084008.

69. Horava P. Spectral Dimension of the Universe in Quantum Gravity at a Lifshitz Point // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. p. 161301.

70. Sotiriou T. Horava-Lifshitz gravity: a status report //J. Phys. Conf. Ser. 2011. Vol. 283. p. 012034.

71. Padilla A. The good, the bad and the ugly ...of Horava gravity //J. Phys. Conf. Ser. 2010. Vol. 259. p. 012033.

72. Weinfurtner S., Sotiriou T., Visser M. Projectable Horava-Lifshitz gravity in a nutshel //J. Phys. Conf. Ser. 2010. Vol. 222. p. 012054.

73. Mukohyama S. Horava-Lifshitz Cosmology: A Review // Class. Quant. Grav. 2010. Vol. 27. p. 223101.

74. Blas D., Pujolas O., Sibiryakov S. Models of non-relativistic quantum gravity: The Good, the bad and the healthy // JHEP. 2011. Vol. 1104. p. 018.

75. Lovelock D. The Einstein Tensor and Its Generalizations //J. Math. Phys. 1971. Vol. 12. p. 498.

76. Zwiebach B. Curvature squared terms and string theories // Phys. Lett. 1985. Vol. B156. p. 315.

77. Zumino B. Gravity theories in more than four dimensions // Phys. Lett. 1986. Vol. 137. p. 109.

78. Kasner E. Geometrical theorem on Einstein's cosmological equations // American Journal of Math. 1921. Vol. 43. p. 217.

79. Deruelle N. Geometrical theorem on Einstein's cosmological equations // Nucl.Phys. 1989. Vol. B327. p. 253.

80. Deruelle N., Farina Busto L. Geometrical theorem on Einstein's cosmological equations // Phys. Rev. 1990. Vol. D41. p. 3696.

81. Toporensky A., Tretyakov P. Power-law anisotropic cosmological solution in (5+1)-dimensional Gauss-Bonnet gravity // Grav. Cosmol. 2007. Vol. 13. p. 207.

82. Pavluchenko S. Power-law anisotropic cosmological solution in (5+1)-dimensional Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. p. 107501.

83. В.А. Белинский, И.М. Халатников, Е.М. Лифшиц. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии // УФН. 1970. Т. 102, вып.3. с. 463.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1987.

85. Demaret J., Henneaux M., Spindel P. Non-oscillatory behaviour in vacuum Kaluza-Klein cosmologies // Phys. Lett. 1985. Vol. B164. p. 27.

86. Furusawa T., Hosoya A. Is Anisotropic Kaluza-Klein Model of Universe Chaotic ? // Prog. Theor. Phys. 1985. Vol. 73. p. 467.

87. Tomimatsu A., Ishihara H. Pyrgon Annihilation in a Five-Dimensional Model Univers // Prog. Theor. Phys. 1985. Vol. 74. p. 1045.

88. Barrow J., Stein-Schabes J. Kaluza-Klein mixmaster universes // Phys. Rev. 1985. Vol. D32. p. 467.

89. LeBlanc V. Asymptotic states of magnetic Bianchi I cosmologies // Class. Quantum Grav. 1997. Vol. 14. p. 2281.

90. Benini R., A. K., G. M. Oscillatory regime in the multidimensional homogeneous cosmological models induced by a vector field // Class. Quant. Grav. 2005. Vol. 22. p. 1483.

91. Muller-Hoissen F. Spontaneous compactification with quadratic and cubic curvature terms // Phys. Lett. 1985. Vol. Bl63. p. 106.

92. Muller-Hoissen F. Dimensionally continued Euler forms: Kaluza-Klein cosmology and dimensional reduction // Class. Quant. Grav. 1986. Vol. 3. p. 665.

93. Madore J. On the nature of the initial singularity in a Lanczos cosmological model // Phys. Lett. 1985. Vol. A111. p. 283.

94. Madore J. Cosmological applications of the Lanczos Lagrangian // Class. Quant. Grav. 1986. Vol. 3. p. 361.

95. Weinberg S. Charges from extra dimensions // Phys. Lett. 1983. Vol. B125. p. 265.

96. Candelas P., Weinberg S. Calculation of gauge couplings and compact circumferences from self-consistent dimensional reduction // Nucl. Phys. 1984. Vol. B237. p. 397.

97. Wetterich S. Spontaneous compactification in higher dimensional gravity // Phys. Lett. 1982. Vol. Bl13. p. 377.

98. Ishihara H. Cosmological solutions of the extended Einstein gravity with the Gauss-Bonnet term // Phys. Lett. 1986. Vol. Bl79. p. 217.

99. Elizalde E., Makarenko A., Obukhov V. Stationary vs. singular points in an accelerating FRW cosmology derived from six-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys. Lett. 2007. Vol. B644. p. 1.

100. Maeda K., Ohta N. Inflation from superstring and M-theory compactification with higher order corrections // Phys. Rev. 2005. Vol. D71. p. 063520.

101. Maeda K., Ohta N. Cosmic acceleration with a negative cosmological constant in higher dimensions // JHEP. 2014. Vol. 1406. p. 095.

102. Canfora F., Giacomini A., Pavluchenko S. A. Dynamical compactification in Einstein-Gauss-Bonnet gravity from geometric frustration // Phys. Rev. 2013. Vol. D88. p. 064044.

103. Canfora F., Giacomini A., Pavluchenko S. A. Cosmological dynamics in higher-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Gen. Rel. Grav. 2014. Vol. 46. p. 1805.

104. Ivashchuk V. On cosmological-type solutions in multi-dimensional model with Gauss-Bonnet term // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2010. Vol. 7. p. 797.

Приложение А. Вывод динамических уравнений лавлоковской гравитации для диагонального метрического анзаца.

Пусть E и F - тензоры ранга (p,p); обозначим6:

F" = FQ..,Q F, п ^ 1; n times

(E F) =

(А.1)

Пусть Лх, Л2,... - некоторые математические объекты; мы будем считать, что

ri

ri

ri

\ Лг = 1, ri - ro = -1, П Лг = 0, ri - ro < -1, Х^Лг = 0, ri < Го (А.2)

r=ro

r=ro

r=ro

Действие модели гравитации Лавлока в (Д + 1)-мерном пространстве-времени имеет вид:

а

S

1

2K2

/ d п 1 п

+ Cm},C = J2СпПп, d = - , Пп = -Ц

n=0 L J s=1

(А.3)

где к2 - (Д +1)-мерная гравитационная постоянная, £т - лагранжиан материи, д - определитель метрического тензора, Яа^ - компоненты тензора Римана, сп - постоянные,

D

D ~2

целая часть

А - обобщенный символ Кронекера:

Введем метрику:

Нетрудно показать, что

AfcSn = det

D

5в1

"a1

5в1

a2n

1

a 2n

(А.4)

ds2 = -dt2 + ^e2afc (t) dxk, ai,... ,aD G C2

fc=i

R0i = ai + a 2, Rjj = алай, л л = o, {a,^ =

(А.5)

(А.6)

6Всюду, где не оговорено противное, мы используем правило суммирования Эйнштейна.

2

Произвольную компоненту тензора кривизны можно представить в виде:

= 1 £ + ак) + £ а,

г<3

Точка соответствует производной по времени ¿, квадратные скобки - антисимметризации по соответствующим индексам. Введем обозначения:

= = Апв = Аа/3 = 5°{аа23), Аа/3 = 6(аа,3)

.„„.„я ^ии 1-г .„„.„я 1

'а^ а ив

ав а ив

2

_ _ Л Г«/3 _ _ Л Г«/3 р№ _ _ Д та/3

лА<т — г) аР а/3 \а ' лА<т — г, -'Лст ' ЛА<т — у^а/З1 а/31 \а

(А.8)

(А.9)

Круглые скобки соответствуют симметризации по соответствующим индексам. Тензор Римана-Кристоффеля может быть представлен теперь следующим образом:

Н= 11011011

(А.10)

С учетом (А.1) и (А.10) п-й лавлоковский член запишется в виде:

1

Пг,

2г

(а, и"-) = + 1 + '2) + '3)

(А.11)

где

тг"0)

— (а, кЛ , 7г(г1} = — Га,ко к""1), К2) = — ( а, к о к""1

2" " 2" " 2"

Обозначим:

тг(3)

1

£ с-(а, (кекУок

«=2

0?)г = П2г-1'П2г, где Щг-1,Щг = О, I). &п = Д С\

п— 1

2

п — | | ^2п—2р р=0

Несложно убедиться в том, что

(А.12) (А.13)

(А.14)

Тогда

7г(1)

Дв1-в2п ТТ I(а)г IМг

Да1...а2„ Ц ^(в)г

4"

4

Г=1

7г"0)

_д/31-/32,г ТТ 4, ч т(а<)гт(ц)г _ _

Д/1 ...М2п ТТ 7' (ДМ1 ..."2п Ц +

(,)г а ■ <а ■

и'2г-Г 32г

Г=1

г=1

2п 2п

2п Е ... Е Д,1...,2: П а,г = 2"вп Е П а,г

п

4п

31 <32 32п-1<32п Г=1

п

а2 ГМ1М2 | I А _ т(а) г Т(")

31<...<32п Г=1 п

А/31.../32п А таюз ТТ д 7-(«)г т-Ыг _ „ /,2 ТТ тСЛг • •

Да1 ...а2п Ц А(^)г 1(м)г 1(в)г = ПДМ1 ...М2п /"2)11 (Х32г-1 а32г

г=2

г=2

2п 2

п2п&п—1Т, а к Е П а 3г

к 31 <---<32п-2 Г=1

к = 31,---,32п-2

(А.15)

(А.16)

(А.17)

2

п

7г(2)

'vra

n

4«

Ав1-"в2п A Ia1a2 ГМ1М2 TT 4 I(a)r I(,)r = nA^1 ...M2n X0 a > П f(j)r a • a

A«1 ...a2n ^в1в2 Ц J(e)r = nAM1 ...M2n "^ОЦ J(,)r aj2r-1 aj2r

d

r=2

7г(3)

2n-2

n2nafc £ П ajr = n2n6«-i

k j1 <---<j2n-2 r=i (

r=2 2n-i

d, \ E П

j1<...<j2n-1 r=i

1

4(

дА-fcn Y^f^TT f~A, , 4- 4, ч ^ т^УгЛ^г TT 7 rKrMi

31...P2n

2n / у Cn

s=2 r=i n s

2n \ CS *M1...^2n ^ n

s=2 r=i

A^1 ...^2n y^ Cs П

Д1...Д2П ^ n II

50,

(,2r-1 ,2r ) + X(!u2r-1 a^2r )

p=s+i n

П jaj

p=s+i

(А.19)

2s .„

2a(...(vs+1...v2sM2s+1...^2n y^ cs n Ta2 + a 1 П j(j):a a. =0

2A0...0 VS + 1...V2S M2s+1...M2n Cn П LaV2r + aV2^J П J(,): aj2:-1 aj2: =0

s=2 r=s+i

Из (А.11) и (А.16)-(А.19) следует, что

УШКг, 2п

&n e ^ ^ Е !la jr +

p=s+i

2n

J1<...<j2n r=i

+nSn- i

2n i

2n-2 d i «_, ^^

»?• >: + | E П

^ II U3r ' 7,

k j1 <...<j2n-2 r=i dt

k=J1 v,J2n-2

■Jr

I j1<...<j2n-1 r=i

E«i

(А.20)

(Sn - 2n2Sn-i)e

2n d

2n i

J1<...<j2n r=i

dt

E П

j1<...<j2n-1 r=i

jr

Последний член в (А.20) представляет собой полную производную по времени некоторой функции; он не дает вклада в уравнения движения и может быть опущен. Обозначим:

2n

1

d

еп = 2п (6n - 2n2e„_i) , K™d = 6n Е 11 ^mod = ^Ec'^0d (А.21)

n=0

n jr

J1<...<J2n r=i

Верхний индекс 'mod' означает "модифицированный"; именно модифицированный лагранжиан (А.21) мы будем использовать в дальнейших рассуждениях; нетрудно заметить, что он зависит только от функций a0(t),..., aD(t) и их производных первого порядка. Считая, что лагранжиан материи Lm зависит только от функций a0(t),..., aD(t), запишем уравнения движения в виде:

5a,

da.

(£mod + Cm)y/\g\

d dlc^^Wi

dt

da,

0

(А.22)

Пользуясь определением тензора энергии-импульса, получим:

9 [£m \Ai\

da,

2 e2"M

9 (£my/\g\

e2aM =

. . (А.23)

Мы воспользовались тем, что, в силу диагональности метрического тензора, дммТ= Т^ (нет суммирования) и = е2"^. В итоге, уравнения движения принимают вид:

а ( 2га—2 2га

ЕСп <Е(Й* + а к) Е П + (2п - 1) Е ГК= к2тт (А.24)

n=i I k=m

{j1<...<J2n-2}=k,m r=i

{j1<...<J2n}=m r=i

e

где (п = сп2п (&п — 2п26п—1). Варьирование по а0 дает интеграл движения:

2п

£(2п — 1)<п £ Да 3г = к2Т0

п=1

31 <...<32п Г=1

Примеры.

1. Для того, чтобы получить уравнения Эйнштейна, необходимо сохранить первые два члена в уравнениях (А.24)-(А.25):

Л — Е (йк + ак) — Е а^а

к=т

л — у) 3

г<3

¿<3

К2

_грт 2 т

К

(А.26)

■а п

Мы заменили Л = 00/201; Т^М ^ Т00/о1 ^ Т00.

2. Уравнения Эйнштейна-Гаусса-Бонне могут быть получены сохранением первым трех членов в уравнениях (А.24)-(А.25):

Л — Е (йк + а к) — Е ai а 3 —

к=т

¿<3

¿,3 = т

< —а Е (йк + ак) Е а31а32 — За Е а31а32 а3за34

к=т

31 <32 к,т=31,32

31<...<34

т=31, — ,34

К2

грт 2 т

К3

31<...<34

Л - Е - За' Е «31^2«33«34 = -у^о

(А.27)

Мы снова заменили Л = с0/2с1; а = 4о2/с1; 1т/с1 ^ Т™, 10°/с1 ^ Т0.

3

2

Приложение Б. Доказательство утверждения 2.1.

Утверждение 2.1 Если Еi Н = 0 и Т/ = ... = Т^ = Т, то система уравнений

4 ( 2п—2 2п

- л2 £ ТТя3г + (2п — 1) V Пя3г= к2тт

Ее- я2 Е Пя3г + (2п—1) Е Пя3г= к2тт (Б.1)

п=1 I к=т {31 <...<32п-2}=к,т Г=1 (31<...<32п}=тг=1

эквивалентна единственному уравнению

4 ( 2п—2 2п

ЕСп <Е Нк2 Е ПЯ3г + (2п — 1) Е ПЯ3г= К2Т (Б.2)

п=1 I к 31 <...<32п-2 Г=1 31 <...<32п г=1

к. ^=31 '...'32п-2

Доказательство.

Пользуясь соотношением ^i Я,^ = 0, преобразуем каждое из слагаемых, стоящих в скобках в левой части (Б.1):

2п 2

Е я2 Е П Нг =

к=т 31 <...<32п-2 г=1

й,т = 3'1 ,...,3'2П-2

2п—2 2п—2 2п—3

Ея| Е П Н3г — я2 Е П я*. — Е Н Е П я^.

к 31<...<32п-2 Г=1 31<...<32п-2 Г=1 к=т 31 <...<32п-3 г=1

^=31,...,3'2п-2 т=31 ,...,3'2п-2 ^,т=31 ,...,32п-3

(Б.3)

2п

(2п — 1) Е Пя>

31 <...<32п Г=1 т = 31 ,...,32п

2п 2п—1

(2п — 1) Е ПН3г — (2п — 1)Нт Е ПЯ3г =

31<...<32п Г=1 31 <... <32п-1 г=1

т=31,...,32п-1

2п 2п—2

(2??, — 1) £ ПЯ>-7^)ТЯт Е 11Е

31 <...<32п г=1 ' 31=...=32п-2 Г=1 32п-1=31,...,32п-2,т

т=31,...,32п-2

2п 1 2п— 2 / 2п—2

= (2/?, — 1) ^ ПЯ> + 7^^)ТЯ™ Е Пя> К+Ея>

31 <...<32п Г=1 ' 31=...=32п-2 Г=1 \ Г = 1

т=31,...,32п-2

2п 1 2га—2 1 2га—3

(2п—1) £ -я^ X] Пя>+——X] И ч,

Г=1 ' Г = 1 ' к=т Л = --=:*2п —3 Г=1

2га. 2га—2 2га—3

(2п - 1) £ ПН* + нт £ Пн> + нт£ Як2 Е Пн> (Б.4)

Л<...<72п г=1 ^1<...<^2п-2 Г=1 к=т Л <...<^'2п-3 Г=1

т=Л '■■■ '^2п —2 >■■■ '^2п —3

Складывая (Б.3) и (Б.4), получим: