Центры полугрупповых колец над полугруппами IS_n и IO_n тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Попов, Иван Николаевич

• Попов, Иван Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Иван Николаевич

Введение.

Глава 1. Центр полугруппового кольца над произвольной полугруппой.

1.1. Определение полугруппового кольца.

1.2. Центр полугруппового кольца.

1.3. Тривиальные полугрупповые кольца.

Глава 2. Центр полугруппового кольца над полугруппой 13п

2.1. Определение и свойства полугруппы 75п.

2.2. Центр полугруппы /5„.

2.3. Количественные характеристики полугруппы /¿>п.

2.4. Полугрупповое кольцо над полугруппой 13п.

2.5. Центральные элементы кольца К[13п] с групповым носителем

2.6. Центральные элементы кольца К[13п] со смешанным носителем

2.7. Способы получения центральных элементов кольца К[13п] со смешанным носителем.

2.8. Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца К[13п].

2.9. Необходимые условия центральности элемента полугруппового кольца К[13п].

2.10. Строение центральных элементов ранга 1 полугруппового кольца К[13п].

2.11. Строение центральных элементов ранга 2 полугруппового кольца К[13п].

2.12. Строение центральных элементов полу группового кольца К[1Б'з].

2.13. Строение центральных элементов с групповым носителем полу группового кольца К[13п].

Глава 3. Центр полугруппового кольца над подполугруппами полугруппы 75п.

3.1. Подполугруппы полугруппы 1Бп.

3.2. Определение и свойства полугруппы Юп.

3.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой 10п.

3.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца К[Юп].

3.5. Центр полугруппы 10.

Глава 4. Центр полугруппового кольца над полугруппой

4.1. Определение и свойства полугруппы /З^.

4.2. Центр полугруппы 15оо.

4.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой 75оо.

4.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Центры полугрупповых колец над полугруппами IS_n и IO_n»

Целью данной работы является выяснить строение центров полугрупповых колец над полугруппами ISn и 10п над произвольным кольцом с единицей характеристики 0.

Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами.

Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугруппового кольца относительно того или иного радикала; наличие или отсутствие особых элементов колец; строение идеалов того или иного типа.

Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец.

Изучением строения центров полугрупповых колец занимались такие математики, как Потемкин JI.B., Руколайне A.B., Понизовский И.О., а также Crabb J.N., Munn W.D. и другие.

В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полугрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугруппового кольца.

Это сочетание теории полугрупп и классической теорией колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (например, этому посвящены работы A.B. Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования.

Строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Поэтому авторы работ по данной теме ограничиваются исследованиям центров полугрупповых колец над "более простыми" полугруппами.

В работах Понизовского И.С. (в частности [27]) исследуется вопрос о строении центров полугрупповых колец над инверсными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами с конечным числом идемпо-тентов.

Известен результат о строении центра полугруппового кольца над би-циклической полугруппой ([17], proposition 19.40). В работе [6] этот результат обобщается на полугруппу Рейли.

Ряд работ Krempa J. были также направлены на исследование центров полугрупповых колец (работы [20] и [21]).

Особую роль в изучении строения центров полу групповых колец сыграли, так называемые, идемпотенты Руколайна A.B. (работы [30], [31], [32]).

В работах [28] и [29] дается описание центра полугруппового кольца над полугруппами всех преобразований и частичных преобразований конечного множества X. Предложенные формулы строения центрального элемента имеют большую теоретическую значимость, но для практического применения достаточно сложны (даже для малых рангов центральных элементов или определенного типа элементов полугруппы, например, групповых).

В данной же работе показывается, какими свойствами должны обладать элементы из носителя и коэффициенты центрального элемента полугруппового кольца над полугруппой ISn и ее подполугруппами, в частности полугруппой 10п.

Обозначения и часть терминологии, используемых в работе, взяты из работ [18] и [19].

В качестве методов исследования используются некоторые общеполу-групповые и общекольцевые методы, а так же методы комбинаторной алгебры.

Данная работа посвящена полугрупповыми кольцам над полугруппой ISn всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества N = {1; 2;.; п} в себя и над подполугруппами полугруппы ISn, в частности над полугруппой 10п всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества в себя, которые сохраняют естественный порядок на множестве N.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация теорем, лемм и примеров общая внутри всей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Иван Николаевич, 2004 год

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.

2. Клифорд Г., Престон А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.: Мир, 1971.

3. Клифорд Г., Престон А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. М.: Мир, 1971.

4. Общая алгебра. Т. 1/ В.А. Артамонов, В.Н. Салий, Л.А. Скорняков и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

5. Общая алгебра. Т. 2/ В.А. Артамонов, В.Н. Салий, Л.А. Скорняков и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

6. Попов И.Н. Центр полугруппового кольца полугруппы Рейли над коммутативным кольцом с единицей// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 5. Архангельск: Поморский государственный университет, 2002. С.41-50.

7. Попов И.Н. Строение центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца К13п]// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 6 Архангельск: Поморский государственный университет, 2003. С.5-30.

8. Munn W.D. On semigroup algebras// Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 1955. P. 1-15.

9. Passman D.S. The algebraic structure of group rings. New York, Wiley-Interscience, 1977.

10. Petrich M. Inverse semigroups. New York, John Wiley & Sons, 1984.

11. Ponizovskii J.S. Semigroup ring// Semigroup Forum, Vol. 36, 1987. P. 1-46.

12. Pot'jomkin L.V. Semigroup rings of symmetric transformation semigroups // Izv. vyss. uc. zav., Matem. 10, 1972. P. 63-74.

13. Pot'jomkin L.V. Semigroup rings of symmetric partial transformation semigroups// Dop. Akad. Nauk UkSSR, A, 1, 1973. P. 41-43.

14. RukolaYne A.V. On characters of finit inverse semigroups // Zap. naucn. semin. LOMI 74, 1977. P. 207-215.

15. Rukolaine A.V. The center of semigroup algebra of finite inverse semigroup over the field of comlex number// Zap. naucn. semin. LOMI 75, 1978. P. 154-158.

16. Rukolaine A.V. Semigroup algebra of finite inverse semigroup over arbitrary fields, Modules and linear groups// Zap. naucn. semin. LOMI 103, 1980. P. 117-123.