Управление механической системой в фазе удара тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Галяев, Андрей Алексеевич

• Галяев, Андрей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галяев, Андрей Алексеевич

1 Введение

1.1 Описание систем с ударами.

1.1.1 Волновая теория удара

1.1.2 Дискретные модели. Метод конечных элементов

1.1.3 Комплементарный подход.

1.1.4 Метод функции штрафа в ударной механике

1.1.5 Численный анализ и моделирование.

1.1.6 Биллиарды.Устойчивость и хаос в динамических системах.

1.1.7 Управление в виде обратной связи.

1.1.8 Метод пространственно-временных преобразований для описания динамики систем с ударами как развитие метода пенальтизации.

1.2 Об управлении в сингулярной фазе (фазе нештатной ситуации или фазе удара).

2 Управление в механических системах с одиночными ударами

2.1 Постановка задачи удара тела о неподвижное препятствие

2.1.1 Математическое и физическое условия взаимодействия

2.1.2 Решение задачи удара тела о неподвижное препятствие, обладающее вязко-упругими свойствами

2.1.3 Выводы но разделу.ЗС

2.2 Управление в фазе удара тела о неподвижное препятствие

2.2.1 Два вида сохранения контакта.

2.2.2 Постановка задачи оптимального управления

2.2.3 Пространственно-временное преобразование

2.2.4 Решение задачи оптимального управления

2.2.5 Импульс, полученный телом в фазе удара.

2.2.6 Выводы по разделу.

2.3 Задача об остановке шарика вязко-упругой ракеткой

2.3.1 Уравнение движения с физическими условиями контакта.

2.3.2 Постановка задачи оптимального управления с физическими условиями контакта.

2.3.3 Решение задачи оптимального управления

2.3.4 Условия остановки шарика и специальное управление

2.3.5 Задача оптимального управления с математическими условиями окончания взаимодействия

2.3.0 Парадокс в математических условиях окончания взаимодействия.

2.3.7 Выводы по разделу.

2.4 Об устойчивости движения в системах с ударами

2.5 Выводы из главы.

3 Математические модели множественного удара

3.1 Виды множественного удара.

3.2 Математическая модель удара упругой цепочки материальных точек о неподвижное препятствие.

3.2.1 Уравнения движения цепочки.

3.2.2 Постановка задачи.

3.2.3 Определение частот и амплитуд колебаний, возникающих в фазе удара цепочки тел о неподвижное препятствие.

3.2.4 Время нахождения в фазе удара цепочки тел

3.2.5 Импульсная нагрузка на препятствие со стороны цепочки.

3.2.0 Зависимости скорости центра масс и кинетической энергии цепочки от времени.

3.2.7 Скорость изменения кинетической энергии цепочки

3.3 Задача оптимального управления в фазе удара упругой цепочки о движущееся препятствие.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Решение задачи оптимального управления

3.4 Выводы из главы.

А.1 Управление в фазе удара тела о препятствие.

АЛЛ Модели Максвелла и Кельвина-Фойгта для вязко-упругой среды.

АЛ .2 Доказательство теоремы 2Л.

АЛ.З Определение момента переключения управления

АЛЛ Случаи 1) и 2).

АЛ.5 Доказательство теоремы 2.2.

АЛ.6 Исследование случая а — к2 < 0.

А.2 Математическая модель удара упругой цепочки материальных точек о неподвижное препятствие.

А.2 Л Доказательство теоремы 3.1. Вывод рекуррентной формулы (3.6).

А.2.2 Многочлены Чебышева.

А.2.3 Доказательство теоремы 3.3.

А.2.4 Доказательство теоремы 3.4.

А.2.5 Пример цепочки, состоящей из 7 тел (АГ = 7)

Глава 1 Введение

Механическая система с односторонними ограничениями по ее состоянию описывается динамическими уравнениями вида х = Р(х,х,и), /(ж,г)>0, (1.1) где жбМ"- вектор обобщенных координат системы, и £ Мш - управление, которое в общем случае может задавать обратную связь системы. Механическая система состоящая из твердых, взаимодействующих друг с другом тел попадает в подкласс систем, которые могут быть описаны уравнениями (1.1). В общем случае решения (1.1) являются негладкими функциями времени. Эта негладкость возникает вследствие ударов при эволюции динамической системы, когда ее траектории достигают поверхности /(ж, £) = 0. Поэтому необходимо, чтобы траектории все время находились в разрешенной области координатного пространства Ф = {ж : /(ж,£) > 0}.

Динамические системы с ударами, которые относятся к классу негладких динамических систем, вызывали интерес исследователей еще со времен древних греков. В XVII и XVIII веках Декарт, Ньютон, Пуассон, Гаусс, Гюйгенс занимались изучением явления столкновения двух твердых тел. Позднее Дарбу и Карно внесли большой вклад в теорию ударных взаимодействий. Сейчас уже почти забыт тот факт, что динамика систем с ударами применялась к изучению моделей распространения частиц света. Подобные модели используются и сейчас для описания движения молекул идеального газа, а также для описания сложного динамического поведения систем, называемых биллиардами.

В настоящее время много задач, связанных с динамикой многосоставных механических систем с односторонними ограничениям, остаются нерешенными. Здесь есть математические задачи (существование, единственность продолженных решений, непрерывная зависимость от начальных данных, бифуркации, хаос), задачи численного анализа (как разбивать на составные части сложную смесь дифференциальных уравнений и алгебраических условий), механические задачи (множественные удары и их правильное моделирование, контакты с учетом силы трения (парадокс Пенлеве)), задачи системного анализа (управляемость, устойчивость).

Цель проделанной диссертационной работы состоит в том, чтобы ответить на некоторые поставленные выше вопросы, а именно, на вопросы управления и оптимального управления по энергии таких систем, математического моделирования множественных ударов и управления механической системой в фазе множественного удара.

Из вида уравнений (1.1) становится понятно, что механическая система по достижению в фазовом пространстве ограничения /(ж, ¿) = О в общем случае мгновенно перескакивает в другую точку с теми же пространственными координатами, но с другими значениями проекций скоростей, за исключением случая, когда решение ж(£) системы на некотором интервале времени удовлетворяет /(ж(£),£) = 0. Эти новые значения проекций скоростей задаются при помощи ньютоновского коэффициента восстановления, в то время как сам процесс удара (взаимодействия между телами) оказывается как бы скрыт в этом коэффициенте, поскольку длительность фазы удара полагается равной нулю. Управление в таких системах входит только в безударную фазу движения.

Основным отличием систем, рассмотренных в диссертационной работе, от подобных моделей является конечная (ненулевая) длительность фазы удара. Решение уравнений движения системы в фазе удара позволяет связать послеударные макроскопические характеристики системы (скорость центра масс, полную энергию и т.д.) с доударны-ми. Другой отличительной особенностью проделанного исследования является введение в фазу удара управляющего воздействия, которое, в частности, позволяет управлять коэффициентом восстановления и расширяет область достижимости в фазовом пространстве от одной точки (в случае отсутствие управления) до некоторой области.

Следует отметить, что идея рассмотрения ненулевой длительности фазы удара не нова. В частности, в [7| А.П.Иванов говорит о необходимости рассмотрения конечной длительности фазы удара в связи с возможностью применения в ней конечных управляющих сил.

1.1 Описание систем с ударами

Динамика механических систем с ударами сложна и многообразна. Она находит свое применение во многих инженерных приложениях: робототехнике [32], [36], [40], вибро-ударных механизмах [4], микромеханических системах [23] (это работы Mills, Nguen, Pfifer, Glocker, Tornambe, Бабицкого, Bohringer, Goldberg, Colin, Hower, Pisano). В последней из работ движение индуцируется именно посредством организованных ударов, через которые происходит управление системой. При рассмотрении систем с ударами используются два подхода, известные в литературе под названиями: волновая теория удара и дискретный подход.

1.1.1 Волновая теория удара

Основное отличие волновой теории удара от классической стереоме-ханики состоит в определении твердого тела (Иванов, [7]). Считается, что связи между точками допускают их относительные перемещения. Это обстоятельство приводит к резкому увеличению степеней свободы, т.е. числу независимых координат системы. На практике возникает проблема получения численного решения для систем, состоящих из сотни точек (Иванов, [7]), не говоря уже об аналитическом решении. В связи с этим используется представление о твердом теле как о сплошной среде.

Простой моделью коллинеарного удара твердого тела является соударение стержня длины L с абсолютно жестким препятствием (тела более сложной формы при ударе не будут двигаться поступательно). Зафиксируем инерциальную систему отсчета с осыо X, направленной вдоль стержня и обозначим и = и(х, t) смещение поперечного сечения с координатой х в момент времени t от начального, недеформирован-ного положения. Пусть препятствие расположено при х > 0. В случае упругого стержня для смещений и справедливо волновое уравнение где с- скорость распространения волны в стержне [12]. Чтобы решить уравнение (1.2) следует задать начальные и граничные условия. В начальный момент £ = 0 стержень не напряжен, скорости всех точек равны, за исключением точки х = 0, поэтому и(1,0) = £(х,0) = 0. (1.3) с) II

Граничные условия определяются как и(0,1) = 0 пока — (0, £) < 0 на ударяющемся конце, и —(£,,£) = 0 на свободном конце стержня.

Таким образом выбранные граничные условия априори привязывают решение уравнения (1.2) к точке удара. Какие явления происходят в точке контакта? Как вводить управление препятствием? Помочь ответить на эти вопросы может дискретная модель стержня как упругой цепочки, рассмотренная в работе.

1.1.2 Дискретные модели. Метод конечных элементов

Решения задач о коллинеарном ударе двух твердых тел на основе гипотезы Ньютона (комплементарный подход) и методами волновой теории могут рассматриваться как полярные и в смысле сложности вычислений, и в смысле соответствия результатов реальности. С практической точки зрения каждая из таких моделей обладает весьма существенными недостатками: первая слишком груба и не позволяет определить важные характеристики процесса удара, как его длительность максимальную нагрузку и т.п. Вторая модель в этом смысле более привлекательна, однако уравнения волновой теории, как правило, очень сложны для решения, поэтому в ее рамках остается открытым основной вопрос определения ударного импульса как функции начальных условий."(Иванов, [7|).

Переход от непрерывной модели описания деформируемого твердого тела к представлению его при помощи конечного числа связанных между собой подчастей носит название метода конечных элементов. Некоторые виды одномерных деформируемых элементов представлены в Приложении, раздел АЛЛ. В общем случае анализ дискретной многомерной системы требует использования численных методов исследования. Эти методы могут оказаться неэффективными при расчете моделей быстро повторяющихся (множественных) ударов. При рассмотрении дискретных систем используются два метода, известные в литературе под названиями: комплементарный подход и метод функции штрафов (в порядке исторического появления).

1.1.3 Комплементарный подход

Комплементарный подход к задачам ударной механики восходит к Ныотону, который ввел в постановку задачи закон восстановления. При комплементарном подходе длительность удара полагается равной нулю. Одновременно с этим считается, что координаты системы являются непрерывными функциями времени, а скорости могут испытывать в точках ударов конечные скачки. В случае одномерного удара в общем виде задача может быть сформулирована следующим образом (ЗсУ^тап [37]). Пусть дана непрерывная функция Р из М х М х [О, Т] в К, которая Липшицева по двум первым аргументам. Также дана выпуклая область К, состоящая не из одной точки. С°([0, Т]; К)- пространство непрерывных функций из [О, Т] в К. со значениями в К. Тогда ищем функцию х € С°([0,Т];М), ограниченной вариации, и меру ц на [0,Т], которые удовлетворяют соотношениям с начальными условиями ж(0) = жо, ¿(0) = х\. Далее, для того чтобы задача (1.4)-(1.6) имела решение, необходимо задать закон восстановления. С этой целыо используется классическая модель Ныотона с коэффициентом восстановления е € [0,1].

Однако решение задачи (1.4)-(1.7) глобально не единственно. Ballard в [20] и Schatzinaii в [37], доказали, что если F- аналитическая функция, то глобальная единственность решения есть. хес°([0,т]-,к), х = F(x,x,t) + /i, ф - ж) < о, Vv 6 С°([0,Т]; К), x(t) е дК =ф x(t + 0) = -ex(t - 0).

1.1.4 Метод функции штрафа в ударной механике

Метод функции штрафа обосновывает комплементарный подход и является аналогом идеи введения сильного потенциального поля при описании гамильтоповой системы с голономными связями, развитой Арнольдом в [2], [3]. Для исследования уравнений движения тел в фазе удара в уравнения движения вводится параметризованная сила, в виде градиента потенциала U, которая отвечает за проникновение тела вглубь препятствия. Длительность фазы удара полагается ненулевой. Уравнения движения системы при наличии штрафного потенциала будут иметь вид х = F(x,x,u) - —, (1.8) uf2(X t) где U = при /(ж, i) < 0 и U = 0 при f(x, t) > 0. Эта сила зависит от параметра который в пределе полагается равным бесконечности (жесткость препятствия), что (в пределе) приводит к нулевой длительности фазы удара. Далее решаются полные уравнения движения, в конечных выражениях скоростей и координат, а затем осуществляется переход к пределу при жесткости стремящейся к бесконечности (Козлов и Трещев [10], Schatzman [37]). Этот подход будет использован в диссертационной работе.

1.1.5 Численный анализ и моделирование

Метод функции штрафов является по своей сути процедурой, через которую выводятся законы восстановления, вводящиеся априори или при помощи эксперимента, как при комлемеитарпом подходе. Однако, при расчете численных схем взаимодействия объектов в реальном времени возникает проблема, состоящая в том, что решения уравнений движения, параметризованных жесткостью, при разных значения параметра и мелкости разбиения схем численных алгоритмов, дают разные результаты. Так как реальные физические системы обладают быть может большой, но конечной жесткостью, то мелкость разбиения должна быть связана с жесткостью, чтобы приводить к единственным и корректным результатам. Наиболее известные примеры такого рода можно найти в работах Menini, Paoli, Schatzman, Tornambe, Stuard

19], [33], [34], [35], [37], [40].

1.1.6 Биллиарды.Устойчивость и хаос в динамических системах

Движение материальной точки в замкнутой ограниченной области пространства называется биллиардом, если при ударах о границу препятствия не происходит потерь энергии и угол падения равен углу отражения. Биллиарды, будучи чрезвычайно простыми по своей сути, демонстрируют всю сложность нелинейной динамики. В конце 18 века Э.Ф. Хладни положил начало экспериментам, которые предвосхитили все последующие работы, связанные с биллиардами. Хладни заметил, что если металлическую пластину заставить вибрировать с помощью скрипичного смычка, то мелкие песчинки, случайно рассыпанные по ее поверхности, самоорганизуются в геометрические фигуры (фигуры Хладни). Эти фигуры, в тех областях где они появляются, характеризуют систему как устойчивую по отношению к изменению начальных данных (Штокман [18]).

Рассмотрим эволюцию системы, описываемой N динамическими переменными х\,., Ждг. Под хп понимаются все компоненты радиус вектора, а также импульса частицы. Соответственно, для системы из Б частиц количество динамических переменных N = 65. Пусть теперь х(0) = (^1(0),., Ж]у(0))- вектор динамических переменных в начальный момент времени £ = 0. В любой последующий момент времени вектор х(£) можно рассматривать как функцию начальных условий и времени х(г) = с(х(о),г). (1.9)

При бесконечно малом изменении начального условия х(0) = х(0) + т (1.10) динамические переменные в момент времени £ будут определяться в соответствии с выражением х(0 = С(х(0)+£(0),0. (1.11)

В линейном приближении расхождение координат между исходной и возмущенной траекториями находится как = (1.12) где оператор градиента V действует на функцию, зависящую от начальных координат. Записав далее уравнение (1.12) по компонентно, получаем

Ш^ъгШ- (1.13)

Собственные значения матрицы М = ||<9С„/<9:гт|| определяют устойчивость траектории. Так, если модули всех се собственных значений меньше единицы, то траектория является устойчивой, и любые отклонения от исходной траектории со временем будут стремиться к нулю. Если же модуль хотя бы одного из собственных значений превышает единицу, то траектории будут экспоненциально удаляться друг от друга даже при малых начальных отклонениях £(0). Такое разбегание траекторий и является причиной возникновения классического хаоса.

Рассмотрим другой пример - ротатор (маятник), движущийся под действием периодических толчков. Соответствующий гамильтониан записывается следующим образом:

Я(£) = ^ + ксозЩ^б^ - пТ). (1.14)

Первое слагаемое в правой части(1.14) описывает вращение маятника с моментом импульса Ь и моментом инерции /, а второе - периодические толчки или удары. Здесь Т - период, а параметр к определяет максимальное количество энергии, которое может быть получено системой за один удар. Поскольку Ь изменяется скачкообразно, уравнения движения сводятся к отображениям динамических переменных Ь и {}. Положим I и Т равными единице, тогда перед очередным ударом динамические переменные принимают значения

Ьп+1 = Ьп + К8П\()п.

Полученные соотношения определяют стандартное отображение Чи-рикова [18]. Это отображение оказалось удобным для исследования перехода от регулярного движения к хаотическому, так как переход происходит при изменении одного параметра к. При значениях к, не превышающих 0,2 движение ротатора регулярно практически при любых значениях $ и Ь. При этом изображающая точка движется в фазовом пространстве но, так называемым, инвариантным торам. С увеличением к торы постепенно разрушаются. Последний тор будет разрушен при значении к = 0,9716 [18]. Однако при этом в фазовом пространстве еще остаются небольшие области регулярного движения. Наконец, при к, > 5 подавляющая часть фазового пространства охвачена хаосом [18]. Наиболее полное изложение курса динамических систем можно найти в книгах А.Б. Катока и Б. Хассельблата [8], [9]. Примеры устойчивости и возникновения хаоса в дискретных системах будут приведены в работе, как результат введения управления в фазу удара.

1.1.7 Управление в виде обратной связи

Рассмотрим задачу управления механической системой с односторонними ограничениями. Под управлением системой понимается следующий процесс. В условиях, когда известны все входы и выходы системы, входы могут быть выбраны как функции в виде обратной связи, чтобы привести выходы к желаемой цели. Это общая задача для теории управления. Основным объектом исследования для таких задач является робот-манипулятор, который сталкивается с другой механической системой. Подобные системы удовлетворяют следующим условиям.

• Гладкие траектории остаются ограниченными и система движется по желаемой траектории между ударами.

• Существует последовательность моментов ударов конечная или бесконечная.

• Предел последовательности может быть конечный или бесконечный. Поэтому моменты ударов должны быть раздельные и обладать или конечной точкой накопления ударов, или бесконечной точкой накопления.

• Скорости ¿(£]ь) стремятся к требуемому значению £</.

• Координаты х(Ьк) стремятся к требуемому значению х^.

Джаглер является простейшей системой, которая была бы неуправляемой, если в ней не было бы ударов. Эта система представляет собой шарик, скачущий на вибрирующем столе. В такой системе в случае абсолютно упругого удара шарику можно сообщить сколь угодно большую скорость ^а1ауа, Вг^Па1ю [41]).

Задача остановки шарика является противоположной задаче раскачки. Шарик должен быть остановлен за конечное время, но, быть может, за бесконечное число ударов. Такая ситуация реализуется при ударе шарика о препятствие в поле тяжести с коэффициентом восстановления меньшим единицы. В этом случае шарик останавливается за конечное время, по есть точка накопления ударов.

В модели ускорителя Ферми шарик движется горизонтально между закрепленной и подвижной стенками. В упрощенной модели роль неподвижной стенки играет постоянная сила. Если стенка движется ио синусоидальному закону но времени, то дискретное отображение задастся соотношениями +аг„, (иб) хп+\ =£хп~1 СО 8уп + хп). где 7 > 0- некоторая константа. Такое отображение задает сложное динамическое поведение системы, но при е < 1 (динамическая система задает сжимающее отображение) скорость остается ограниченной и с течением времени система приходит в положение равновесия.

В подобного рода задачах (В1т^На<;о, Мешш, ТогпашЬе, Zalava [22], [29], [41]) управление системой заключено между моментами ударов, в самой же фазе удара управления нет. Его можно было бы ввести искусственно, если считать, что коэффициент восстановления зависит от некоторого управляющего параметра, что означало бы появление управления внутри фазы взаимодействия тел.

Задачи управления в фазе удара являются малоисследованными. Автору известно только, что Миллер и Венцман в [28] рассматривали задачу подкрутки шарика упругой ракеткой, а в [13] Миллер и Руби-нович рассматривали задачу управления шариком в математических условиях окончания взаимодействия. Задачи остановки тел при введении управления в фазе удара будут рассмотрены в работе.

1.1.8 Метод иространствешю-времеиных преобразований для описания динамики систем с ударами как развитие метода пенальтизации

В системах с ударами фазовые траектории являются разрывными функциями времени. Поскольку траектории систем разрывны, то их невозможно описывать обыкновенными дифференциальными уравнениями и поэтому естественно использовать более общий тип динамических уравнений, а именно: нелинейные дифференциальные уравнения с мерами. Эти уравнения являются универсальным средством строгого описания динамики дискретно-непрерывной системы (ДНС). Однако, управление такими системами в фазе удара представляет собой значительно более сложную задачу, чем управление чисто дискретными или непрерывными системами. В последние годы в задачах оптимального управления ДНС была предложена и детально разработана новая методология, применимая для широкого класса задач оптимального управления с различными типами ограничений.

Основой нового подхода является метод разрывной замены времени или, более обще, метод пространственно-временных сингулярных преобразований. В задачах импульсного управления с использованием специального преобразования времени исходная задача с импульсными управлениями и разрывными траекториями преобразуется к эквивалентной стандартной задаче оптимального управления с ограниченными входными воздействиями и непрерывными траекториями" (Миллер, Рубинович [13]).

Описание явления удара (т.е. резкого изменения скоростей) в терминах некоторого быстрого движения похоже па введение в систему импульсного управления. Тогда подобное пространственно-временное преобразование можно рассматривать, как некоторую модификацию метода разрывной замены времени (Варга [5]). Такой подход позволяет корректно описать результат единичного соударения. Однако исследование ситуации с бесконечным числом соударений, возникновением точек накопления моментов соударений и "слипания" тел вызывает серьезные трудности. Изучение подобных систем имеет большое значение вследствие развития в последнее время робототехники, точной механики и управления движением. Многие авторы, рассматривая задачи управления в системах с односторонними ограничениями, приходят к выводу, что ограничения присутствующие в системе дают некоторые дополнительные средства управления, позволяющего обеспечить устойчивость или изменить и расширить множество достижимости (Черноусько, Вп^Нак), Мешш [16], [29], [40], [41]). Если рассматривать фазу удара, как управляемый процесс, то можно пойти еще дальше. Управление в фазе удара подразумевает воздействия, которые происходят в темпе контакта, то есть достаточно быстро. Один из наиболее ярких примеров такого рода можно наблюдать при игре в настольный теннис, когда опытный игрок успевает за время контакта мяча с поверхностью ракетки быстро развернуть ее, придав мячу дополнительное, очень сильно вращение (этот удар называется топ-спин). Другой пример, это селективный захват или, наоборот, отталкивание металлического предмета, например, с помощью электромагнита. Ясно, что электромагнит нужно включать, создавая либо силу притяжения, либо отталкивания только тогда, когда предмет касается его поверхности. В такой постановке задачи управления в механических системах с односторонними ограничениями похожи па задачи импульсного управления.

Одной из основных трудностей при решении задач оптимального управления механическими системами с ограничениями является отсутствие робастности. В силу вышесказанного разработка математического аппарата для решения таких задач является актуальной задачей. Для иллюстрации типичных проблем, возникающих при управлении системой с ударами, рассмотрим следующий классический пример из [13].

Пример 1.1 Пусть мяч единичной массы движется вдоль вертикальной оси под действием гравитационной силы до момента частично упругого удара о горизонтальную поверхность (например теннисную ракетку), которая, в свою очередь, двиэ/сется вертикально с некоторой скоростью. Поскольку при ударе скорость мяча изменяется почти мгновенно, рассмотрим его движение, как движение подчиненное воздействию импульсной силы, возникающей в момент удара и приводящей к скачкообразному изменению скорости мяча.

Формализуем эту модель. Пусть у(£)~ текущая координата мяча, а х(Ь)- координата поверхности ракетки.

Свободное движение мяча может быть описано в терминах его координаты и скорости {у{Ь), у(£)), удовлетворяющих системе уравнений т = -9, № = у(1).

Аналогично, уравнения движения поверхности ракетки в терминах (ж(£),ги(£)) имеют вид где д - ускорение свободного падения, М 1 - масса ракетки и F(£)

- внешняя управляющая сила, подчиненная ограничениям

Fcnt(t)\ < Fq < оо.

Предположим, что у(0) > ж(0), так что мяч падает па поверхность ракетки сверху. Если в некоторый момент т > О мы имеем у{т) = х(т), тоо, принимая гипотезу Ньютона о частичном восстановлении нормальной скорости, получаем v(t) = -v(t-)£ + Цт)(1 + е), (1.17) где 0 < е < 1 коэффициент восстановления [16]. Принимая во внимание неравенство М 1, моэюно пренебречь изменением скорости ракетки. С учетом этого обстоятельства

Av(t) = v(t) - v(t—) = (w(t) - г;(г-))(1 + s), и, следовательно, движение мяча может быть описано уравнениями t) = -g+ ЕЫ-г) - v(r-))(l + e)6(t - г), T<t

1.18) m=v(t), где суммирование осуществляется по всем моментам т удара мяча о ракетку в течение времени t.

Задача оптимального управления Mooicem быть сформулирована, как задача выбора управляющей силы Fm^t), обеспечивающей достижение некоторой цели управления, например, минимизации \v(T)\, соответствующей задаче эффективного торможения или, наоборот, максимизации v(T), что отвечает задаче разгона, и т.п.

Данный пример показывает, что динамика ДНС, возникающей при исследовании описывается сложными нелинейными уравнениями, поскольку времена ударов не определены заранее и зависят от управляемого движения ракетки. Следует отмстить, что это еще не все сложности. В самом деле, описание движения остается все еще неоднозначным, поскольку уравнение (1.18) не дает полного описания всех возможных движений. Дополнительные трудности (появление точек накопления ударов) возникающие при изучении систем с ударами демонстрирует следующий пример, взятый в [13].

Пример 1.2 Рассмотрим движение, когда ж(0) = 0, «;(0) = О, = О, 7/(0) = К ^(0) = 0. В этом случае мяч ударяется о поверхностъ первый раз в момент Ь = \ — и его скорость после удара равна и^) = Еу/2дН. Следовательно следующий удар произойдет через время

Временной интервал между п-ым и (п+1)-ым ударами оказывается равным

2 — ¿1 = 2е\ а скорость Кроме того, tn+1 ^п — v(tn)=£1ly/2gh->0, n —► 00. tn+l = Î! + 2ii il + =

Поэтому, когда t>T* мяч достигнет состояния равновесия с y(t) = О, v(t) = 0, как показано на Рис. 1.1. Однако это состояние не может быть описано уравнениями (1.18), даже если мы положим x(t) = y(t) = 0.

Y(t) Y(0) = h t, t2 . tk Г

Рис. 1.1: Прыгающий мяч, стремящийся к равновесному состоянию

Этот пример показывает, что в состоянии равновесия необходимо как-то ввести дополнительную силу, которая компенсировала бы гравитационную силу. Наличие такой силы не следует непосредственно из уравнений (1.18). Ситуация могла бы быть еще более сложной, если бы на некотором интервале выполнялось равенство х(£) = у(£) ф 0, что, вообще говоря, является допустимым. Этот случай требует введения в уравнения движения некоторой дополнительной не импульсной силы и соответствующего расширения уравнений (1.18). Обычно эти уравнения можно вывести из полной системы уравнений, описывающей динамику удара при конечном значении жесткости и устремлении его затем к бесконечности (метод функции штрафа). При предельном переходе получаются уравнения предельного движения в форме комплементарных уравнений или дифференциальных уравнений с мерами, локализованными на границе ограничения, [41]. В этих уравнениях, однако, необходимо определять одновременно и решение и соответствующую меру, что приводит к отсутствию единственности решения. Как было выше сказано, известные результаты о единственности решения применимы лишь при условии аналитичности внешнего управляющего воздействия как функции времени [20], [37], что может являться чрезмерно сильным требованием для задач управления. Более того, отсутствие единственности решения для систем с ударами не является чем-то экзотическим, а, наоборот, скорее является обычным свойством этого класса дифференциальных уравнений с мерами ([13]). Миллер и Бенцман в [28], [30] и [31] представили обобщенные решения для широкого класса динамических систем с односторонними ограничениями.

Метод пространственно-временного преобразования будет использоваться в работе.

1.2 Об управлении в сингулярной фазе (фазе нештатной ситуации или фазе удара)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление механической системой в фазе удара»

Механическая система с одиосторо1ни1ки1 ограииченняли! но ее со-стояиию оиисывается дииa^иIчecкими уравнениями вндаx^F{x,x,u), f{x,t)>0, (1.1)где ж е М" - вектор обобщенных коордннат снстемы, и е Ш"^ - унравленне, которое в общем случае может задавать обратную связь снстемы. Механическая система состояния нз твердых, взанмодействующих друг с другом тел нонадает в нодкласс снстем, кото1)ые могут быть оиисаны уравнениями (1.1). В общем случае решения (1.1)являются иегладкими фyикция^нI временн. Эта негладкость возннкает вследствне ударов нрн эволюцни динакн1ческой системы, когда еетраектории достигают новерхности /(х, t) = 0. Поэтому необходимо,чтобы траектории все время находились в разрешенной области координатного пространства Ф = {х : f{x,t) > 0}.Диналн1ческне снстемы с ударами, которые отиосятся к классунегладких динамическнх снстем, вызывалн ннтерес нсследователейеще со времен древннх греков. В ХУП и XVni веках Дека1)т, Пьютон,Пуассон, Гаусс, Гюйгенс заннмались нзученнем явлення столкновеннядвух твердых тел. Позднее Дарбу н Карно внеслн больнюй вклад в теорию ударных взанмодействнй. Сейчас уже ночтн забыт тот факт, чтодннa^нIкa систем с ударами нрименялась к нзучению моделей раси1Юстранення частиц света. Подобные моделн нснользуются н сейчас дляоннсания движения молекул идеального газа, а также для онисаннясложного дина\н1ческого иоведения систем, называемых бнллнардалн1.В иастоян1,ее время лпюго задач, связанных с дннa^нIкoй многосоставных механнческнх снстем с односторонннми ограниченням.остаются нерешенньти!. Здесь есть математическне задачи (существование, единственность нродолженных решений, иеирерывиая зависимость от иачальиых даииых, бифуркации, хаос), задачи числеиногоаналнза (как разбивать на составные частн сложную смесь диффе1)еицнальных уравненнй н алгебранческнх условий), мехаиические задачи(лиюжествеиные удары н их иравильиое моделироваиие, коитакты сучетом силы трення (иарадоке Пенлеве)), задачи систелнюго aHajHoa(унравляемость, устойчнвость).Цель проделанной диссертационной работы состоит в том, чтобы ответить на иекоторые иоставленные выше вонросы, а именно, на вонросы унравления и оитимальиого уиравлеиия но эиергии таких систем,математического моделировання ^июжecтвeиныx ударов и унравленнямеханнческой системой в фазе ^нюжecтвeннoгo удара.Из вида уравнений (1.1) становится понятно, что механическая система но достиженню в фазовом нространстве ограинчення /(ж, t) = 0в общем случае лн^новенно нерескакнвает в другую точку с теми жен})остранственныли1 коордннатамн, но с Д1)угнлн1 значениями! ироекций скоростей, за исключением случая, когда решеиие x{t) системына некотором интервале временн удовлетворяет f{x{t),t) = 0. Эти новые значення проекций скоростей задаются ири иомощи иьютоновского коэффнциента восстановлення, в то время как сам нроцесс удара(взаимодействия между тeлa^нI) оказывается как бы скрыт в этом коэффициеите, поскольку длительность фазы удара нолагается равнойнулю. Унравление в такнх системах входит только в безударную фазудвнження.Основным отлнчием снстем, рассмотренных в днссертацнонной работе, от нодобпых моделей является конечная (ненулевая) длительность фазы удара. Решение уравнений движення снстемы в фазе удара нозволяет связать нослеударные макросконические характеристикисистемы (скорость центра масс, нолную энергню н т.д.) с доуда1)ными. Другой отлнчптельпой особенностью нроделанного псследованняявляется введенне в фазу удара унравляющего воздействня, которое,в частностн, позволяет унравлять коэффнцнентом восстановлення нрасширяет область достижимости в фазовом иространстве от однойточки (в случае отсутствие уиравлеиия) до некоторой областн.Следует отметить, что ндея рассмштрення ненулевой длнтельностнфазы удара не нова. В частностн, в [7| А.П.Иванов говорнт о необходимости расслютрення конечной длительностн фазы удара в связи свозможностью применения в ней конечных унравляюпцгх сил.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Галяев, Андрей Алексеевич

3.4 Выводы из главы

При исследовании удара упругой цепочки о неподвижное препятствие были получены следующие закономерности.

• Эволюция дискретной системы, введенной в разделе при фиксированном N, описывается при помощи конечного спектра собственных частот колебаний.

• Каждая частота этого спектра может быть легко найдена аналитически при помощи формулы (3.9).

• Для соответственных амплитуд колебаний цепочки получена формула (3.21), что сильно упрощает задачу математического моделирования этих колебаний (рис. 3.8).

Следствие 3.2 может быть применено к пулям Хк многочленов Чсбышева степени N, что дает формулы

N N

2 - 2хк) = 2ЛГ; ц(2 - 2хк) = 2. к=1 к=1

Первая формула очевидна, а вторая появилась как следствие нахождения собственных значений матрицы ||Фг^||.

Множественный удар был приведен к одной ударной фазе контакта, что сделало возможным перейти к случаю упругого стержня.

Для случая одномерного упругого стержня получено время нахождения в фазе удара формула (3.24), которое, как оказалось, зависит от свойств системы и не зависит от начальной скорости соударения.

Получена форма импульса воздействия упругого протяженного элемента на неподвижное абсолютно жесткое препятствие во время фазы удара, уравнение (3.28).

Интерпретирована и решена задача оптимального управления поверхностью препятствия с целыо минимизации полной энергии стержня.

Заключение

При рассмотрении задачи оптимального управления при ударе материального тела об упругую среду управляющее воздействие, приложенное к поверхности среды сообщало или отбирало кинетическую энергию ударяющегося тела. Так как при неуправляемом ударе кинетическая энергия тела достигала своего локального максимума в момент отрыва от препятствия, то по сути решались две задачи шах шах и min шах где и- управляющее воздействие, т(и)~ и т(и) и т{и) время окончания удара, Ек- кинетическая энергия тела. При рассмотрении модели множественного удара упругой одномерной цепочки о неподвижное препятствие кинетическая энергия такой многомерной системы почти полностью перетекла в потенциальную энергию взаимодействия тел друг с другом, а потом в момент отрыва от препятствия опять почти полностью перешла в кинетическую энергию. Ограничение в виде препятствия играло роль управления, которое влияло на распределение полной энергии системы. Все решенные задачи описывались при помощи гамильтонова формализма, что сделало возможным введение в системах понятия функции энергии.

Цель диссертационной работы заключалась в исследовании возможности применения управления внутри сингулярной фазы для механических систем с ударами, в описании множества допустимых управлений, соответствующих реальным, физическим условиям контакта в фазе удара, и в исследовании модели множественного удара упругой, однородной цепочки, состоящей из произвольного числа тел.

В диссертации показано, что учет нефизических условий контакта может приводить к несуществующим и парадоксальным явлениям. Решенные в диссертации задачи управления в фазе удара показывают, что оптимальные управления имеют внутреннюю структуру переключений, что не позволяет в рамках рассмотренных моделей осуществить предельный переход к жесткости препятствия, стремящейся к бескоценности, т.е. к равной нулю длительности фазы удара, с сохранением этой структуры.

В силу того, что все реальные объекты имеют, быть может очень большую, но конечную жесткость, этот факт еще раз подчеркивает актуальность физического рассмотрения подобных задач. Именно жесткость (амплитуда силы взаимодействия между объектами) задает темп изменений в системе, и чтобы иметь возможность эффективно управлять внутри фазы удара, требуется прикладывать силовое воздействие в темпе таких изменений.

Для модели множественного удара оказалось, что введение дополнительного упругого элемента, отвечающего за контакт цепочки с препятствием, дало возможность аналитически описать данную систему. Этот аналитический результат для систем с множественным ударом, в свою очередь, дает возможность понять природу кратности частот собственных колебаний для упругого стержня с одним закрепленным концом, и сопрягает дискретный подход к такой задаче с волновым, проявляя, таким образом, подобие корпускулярно-волиового дуализма, а также позволяет найти форму импульса воздействия па препятствие со стороны упругой цепочки. Однако, применяя волновой подход, невозможно без дополнительных эмпирических соображений найти время удара упругого стержня о барьер, которое получилось в работе из допредельной цепочки. Определение предельного перехода от упругой цепочки к стержню привело к корректной постановке задачи оптимального управления стержнем в фазе удара о препятствие и ее решению.

Проделанная диссертационная работа является исследованием возможности применения теории оптимального управления в механических системах с ударами. В рамках одного интервала взаимодействия были поставлены и решены задачи оптимального управления. Однако, в случае повторяющихся контактов применение теории оптимального управления сильно затруднено. Повторяющиеся контакты ведут к появлению одной из разновидностей гибридных систем, когда исходная система описывается на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями, а моменты переключения между уравнениями заранее неизвестны. Необходимость решения такого класса задач в ударной механике и в теории динамических систем определяет обширную область для дальнейших исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галяев, Андрей Алексеевич, 2006 год

1. Апдрисвский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории фвто-матического управления. С-Пб.: Наука, 1999.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нсйштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

4. Бабицкий В.И. Теория вибро-ударных систем: Приближенные методы. М.: Наука, 1988.

5. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. Пер. с англ. М.: Наука, 1977.

6. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. С-Пб.: Наука, 2005.

7. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997.

8. Каток А.Б., Хасссльблат Б. Введение в теорию динамических систем (с обзором последних достижений). М.: МЦНМО, 2005.

9. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

10. Козлов В.В., Трсщсв Д.В. Биллиарды. (Генетическое введение в динамику систем с ударами). М.: МГУ, 1991.

11. Корн Г., Кори Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.

12. Ландау Л.Д., Лпфшпц ЕМ. Теоретическая физика. Т. VII. М.: Физматлит, 2003.

13. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005.

14. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис, 1998.

15. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. С-Пб.: Наука, 2003.

16. Черноусько Ф. Л. Оптимальное прямолинейное движение двух-массовой системы. //Прикладная математика и механика, 66, N1, 3-9, 2002.

17. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И.М., Рсшмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физмат-лит, 200G.

18. Штокман X. Квантовый хаос. М.: Физматлит, 2004.

19. Abadic М. Dynamic Simulation of Rigid Bodies: Modelling of frictional Contact. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 61-144, Germany, Springer, 2000.

20. Ballard P. The Dynamics of Discrete Mechanical Systems with Perfect Unilateral Constraints. //Arch. Rational Mech. Anal., 154, 199-274, 2000.

21. Bentsman J., Miller В., Rubinovich E. Modeling and control of dynamical systems with active singularities and sensing in a singular motion phase. //Preprints submitted to Automatica Dec. 2005.

22. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Models, Dynamics and Control. London, Springer-Verlag, Communications and Control Engeneering Series, 1999.

23. Kunzc M., Monteiro Marques M. An Introduction to Moreau's Sweeping Process. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 1-60, Germany, Springer, 2000.

24. Miller B., Bentsman J. The singularity opening approach to control of mechanical systems with constraints.// Proc. of the 2nd IFAC Workshop on Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, LHMNLC'03, April 3-5, 2003, Seville, SPAIN

25. Mcnini L., Tornambc A. Control of (otherwise) uncontrolable linear mechanical systems through non-smooth impacts. //System and control letters, V. 49, 311-322, 2003.

26. Miller B., Bentsman J. Optimal control problems in hibrid systems with active singularities. //Nonlinear Analysis, 1-19, 2005

27. Miller B., Bentsman J. Representation of motion of controlled dynamic systems with unilateral constraints. //Preprints

28. Mills J.K., Nguen C. Robotics manipulator collision: modelling and simulation. //Trans. ASME J. Dyn. Sys. Meas. and Contr., V. 114, No.2, 650-659, 1993.

29. Paoli L., Schatzman M. A numerical scheme for impact problems I: the one-dimensional case.// SIAM J. Nurner. Anal., V. 40, No.2, P. 702-733, 2002.

30. Paoli L., Schatzman M. A numerical scheme for impact problems II: the multidimensional case.// SIAM J.Numer. Anal., V. 40, No.2, P. 734-768, 2002.

31. Paoli L., Schatzman AI. Penalty approximation for dynamical systems submitted to multiple non-smooth constrains.// Multibody System Dynamics, V.8, P.347-366, Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 2002.

32. Pfifcr F., Glocker C. Multi-body Dynamics with Unilateral Constraints. Wiley, New-York, 1996.

33. Schatzmau M. Uniqueness and Continuos Dependence on Data for One-dimensional Impact Problems.// Mathl. Comput. Modelling, V. 28, No. 4-8, P. 1-18, 1998.

34. Schatzmau M. Penalty method for impact in generalized coordinates.// Phil. Trans. R. Soc. Lond, 359, P. 2429-2446, 2001.

35. Stronge W. Contact problems for elasto-plastic impact in multi-body systems. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 188— 234, Germany, Springer, 2000.

36. Tornambc A. Modelling and control of impact mechanical systems: theory and experimental results. //IEEE Trans. Automat. Control, V. 44, No.2, 294-309, 1999.

37. Zalava A., Brogliato B. Direct adaptive control design for one-degree-of-freedoin complementary slackness jagller. //Automatica, V. 37, 1117-1123, 2001.

38. Галяев А. А. Оптимальное импульсное управление динамической системой в фазе удара. //Автоматика и Телемеханика, №1, 75-88, 2006.

39. Галяев А. А. О математической модели импульсного воздействия, вызванного ударом системы материальных точек об абсолютно жесткое препятствие. //Автоматика и Телемеханика, №6, 27-40, 2006.

40. Galyaev A. A., Miller В. М., Rubinovich Е. Ya. OPTIMAL IMPULSIVE CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEM IN AN IMPACT PHASE// Proc. of the 4th Contact Mechanics International Symposium, CMIS'05, Jule 4-6, 2005, Hannover, Germany.

41. Галяев А. А. ДИНАМИКА МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОГО УДАРА // Тезисы V Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" , SICPRO'OO, 30 янв.-2 фев., 2006, Москва, Россия.

42. Галяев А. А. ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОГО УДАРА // Тезисы российского симпозиума с международным участием "Управление упругими колебаниями" , 31 янв.-2 фев., 2006, Переславль-Залесский, Россия.

43. Bentsman J., Galyaev A.A., Miller B.M., Rubinovich E.Ya. About control of dynamical systems in a singular motion phase // Тезисы международного симпозиума по обобщенным решениям в задачах управления, GSCP-06, Июль 5-7, 2006, Улан-Удэ, Россия.

44. Galyaev A.A., Miller В.М, Rubinovich E.Ya. Optimal impulsive control of dynamical system in an impact phase. // Lecture notes in Applied and Computational Mechanics, Springer, Vol.27, pp. 385386, 2006.