Управление с гарантией нахождения входных и выходных сигналов объекта в заданных множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Ба Хю

• Нгуен Ба Хю
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ба Хю

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Обзор существующих методов

1.1. Обзор методов управления системами при наличии внешних возмущений

1.2. Обзор методов управления системами с гарантией заданного качества регулирования

1.3. Обобщенная постановка задачи

1.4. Основные математические положения

1.5. Выводы по первой главе

Глава 2. Управление многоканальными линейными системами с гарантией нахождения выходных сигналов объектов

в заданных множествах

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод решения. Основной результат

2.2.1. Управление по состоянию

2.2.2. Управление по выходу

2.3. Численные примеры

2.3.1. Пример

2.3.2. Пример

2.4. Выводы по второй главе

Глава 3. Управление многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения выходных

сигналов объектов в заданных множествах

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод решения. Основной результат

3.2.1. Управление по состоянию

3.2.2. Управление по выходу

3.3. Численные примеры

3.3.1. Пример

3.3.2. Пример

3.4. Выводы по третьей главе

Глава 4. Управление динамическими системами с гарантией

нахождения входных и выходных сигналов объектов в заданных множествах

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод решения. Основной результат

4.2.1. Управление по состоянию с ограничениями на состояние

и управление

4.2.2. Управление по выходу с ограничениями на выход и управление

4.3. Численные примеры

4.3.1. Пример

4.3.2. Пример

4.4. Выводы по четвертой главе

Глава 5. Применение разработанных алгоритмов для

управления электромеханическими системами

5.1. Управление двигателем постоянного тока

5.1.1. Описание экспериментальной установки и идентификация параметоров модели двигателя

5.1.2. Синтез стабилизирующего регулятора

5.2. Управление скоростью вращения роторов вибрационного стенда

5.2.1. Описание вибрационного стенда

5.2.2. Синтез стабилизирующих регуляторов

5.3. Выводы по пятой главе

Заключение

Словарь основных терминов и обозначений

Список литературы

Приложение А. Публикации по теме диссертации

Реферат

Общая характеристика диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление с гарантией нахождения входных и выходных сигналов объекта в заданных множествах»

Актуальность темы исследования и ее степень разработанности. В

настоящее время задачи управления объектами с гарантией нахождения выходных переменных в заданных множествах являются актуальными. Например, в электроэнергетике требуется поддержание частоты и напряжения в заданных пределах, в нефтегазовой отрасли требуется стабилизация давления и расхода в скважинах в заданных пределах с целью обеспечения устойчивости процесса. Нарушение данных ограничений может привести к нежелательным последствиям, вплоть до выхода системы из строя.

Существующие методы управления, такие как адаптивное и робастное управление [С.В. Арановский, А.А. Бобцов, О.Н. Граничин, Д.В. Ефимов, С.А. Колюбин, В.О. Никифоров, А.А. Пыркин, А.Л. Фрадков, И.Б. Фуртат, А.М. Цыкунов, А. Annaswamy, K. Narendra, R. Ortega и др.], хотя и обеспечивают сходимость ошибки слежения к нулю или к заданному множеству, часто не гарантируют заданной точности в переходном режиме. Это может привести к значительным отклонениям регулируемых сигналов от требуемых значений, особенно при наличии неопределенности и возмущений в системе. Классические методы, такие как модальное и оптимальное управление, также не всегда применимы в условиях параметрической неопределенности и ограничений на сигналы.

Методы инвариантных эллипсоидов, полученные в работах В.В. Ажмяко-ва, Б.Т. Поляка, А.Е. Полякова, А.С. Позняка, М.В. Хлебникова, П.С. Щербакова и др., обеспечивают принадлежность фазовых траекторий системы некоторому эллипсоиду, но данный эллипсоид остается неизменным во времени, что может привести к грубому регулированию. Методы на основе барьерных функций [D. Llorente-Vidrio, K. Tee] и воронок (от англ. "funnel function method" [T. Berger, A. Ilchmann, D. Liberzon]) требуют дополнительных условий (измерение производных выходных сигналов, гладкость системы) или не гарантируют ограничения на входные сигналы. Метод управления с предписанными характеристиками (от англ. "prescribed performance control" [C. Bechlioulis]) требует

знание знака ошибки и множества начальных условий, а также не обеспечивает достаточной точности в переходном режиме.

В этой связи, разработка новых методов управления, позволяющих гарантировать нахождение не только выходных, но и входных сигналов объекта в заданных множествах, является актуальной задачей современной теории автоматического управления. Поэтому данная работа посвящена разработке методов и алгоритмов, которые обеспечат гарантированное нахождение входных и выходных сигналов объекта в заданных множествах в любой момент времени. В отличие от существующих методов, предложенные результаты основываются на преобразованиях переменных объекта, что позволяет свести задачу с ограничениями как задаче управления без ограничений. Для решения задачи управления по выходу обосновывается применимость наблюдателей состояния. Параметры регуляторов вычисляются на основе решения линейных матричных неравенств, что делает разработанные методы более пригодными с точки зрения практической реализации.

Цель исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке новых методов управления многоканальными динамическими системами с гарантией нахождения входных и выходных сигналов объекта в заданных множествах при наличии внешних неизвестных ограниченных возмущений.

Научные задачи. Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка методов управления многоканальными линейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени.

2. Разработка методов управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени.

3. Разработка методов управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения входного и выходного сигнала в заданных множествах в любой момент времени.

Методы исследования. В диссертационной работе для получения теоретических результатов применялись классические и современные подходы к син-

тезу систем управления. В частности, были использованы метод функций Ляпунова, методы синтеза на основе линейных матричных неравенств, методы синтеза с использованием наблюдателя Люенбергера, а также метод анализа устойчивости замкнутой системы по входу-состоянию. Иллюстрация эффективности полученных результатов осуществлялась посредством компьютерного моделирования в среде МАТЬАВ/ЗтиНпк и экспериментальных исследованиях на электромеханических установках.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методы и алгоритмы управления многоканальными линейными системами, обеспечивающие нахождение выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени.

2. Методы и алгоритмы управления многоканальными нелинейными системами, обеспечивающие нахождение выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени.

3. Методы и алгоритмы управления многоканальными нелинейными системами, обеспечивающие нахождение как входных, так и выходных сигналов в заданных множествах в любой момент времени.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что разработаны новые методы управления многоканальными динамическими системами, обеспечивающие нахождение входных и выходных сигналов объектов в заданных множествах. А именно:

1. Предложены методы и алгоритмы управления многоканальными линейными системами, обеспечивающие нахождение выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени. Получены методы синтеза закона управления как по состоянию, так и по выходу с использованием наблюдателя Люенбергера. Причем параметры регуляторов вычисляются путем решения оптимизационных задач.

2. Предложены методы и алгоритмы управления многоканальными нелинейными системами с некоторыми типами нелинейности, обеспечивающие нахождение выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени. Получены методы синтеза закона управления по состоянию и по выходу с использованием наблюдателя Люенбергера, где

параметры регуляторов определяются путем решения оптимизационных задач.

3. Предложены методы и алгоритмы управления многоканальными нелинейными системами, обеспечивающие нахождение как входных, так и выходных сигналов в заданных множествах в любой момент времени. Получены методы синтеза законов управления по состоянию и по выходу, где параметры регуляторов вычисляются на основе решения линейных матричных неравенств.

Теоретическая значимость. Научная значимость диссертационной работы состоит в том, что разработаны новые методы и алгоритмы управления, обеспечивающие заданное качество регулирования в условиях внешних неизвестных ограниченных возмущений для различных типов динамических моделей. Особенностью данной работы является рассмотрение многоканальных систем, а также определение параметров регуляторов на основе решения задач линейных матричных неравенств.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в потенциале использования разработанных методов и алгоритмов для создания алгоритмического обеспечения, применимого к широкому спектру технических задач. Данные подходы могут быть полезны в управлении двигателями в составе технических комплексов, электромеханическими системами, а также процессами управления в нефтегазодобывающей отрасли и т.п.

Достоверность. Степень достоверности полученных результатов подтверждается следующими факторами:

• проведены строгие математические доказательства разработанных методов и алгоритмов;

• выполнено компьютерное моделирование в среде MATLAB/Simulink, демонстрирующее эффективность разработанных методов;

• предложенные алгоритмы реализованы для управления некоторыми техническими объектами;

• результаты работы представлены на международных и всероссийских конференциях, а также опубликованы в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в базах Web of Science (WoS), Scopus и ВАК.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

• 62nd IEEE Conference on Decision and Control (CDC 2023);

• 30th, 31st Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2022, MED 2023);

• 9th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT 2023);

• Всероссийская конференция "Конгресс молодых ученых" (ИТМО, Санкт-Петербург 2022);

• Конференция молодых ученых "Навигация и управление движением" с международным участием (ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург 2022, 2023, 2024);

• XIV Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ (ИПУ РАН, Москва 2024).

Результаты работы использовались при выполнении следующих НИР в ИПМаш РАН:

• Грант Российского научного фонда № 18-79-10104;

• Госзадание № FFNF-2024-0008 (№ 124041100006-1 в ЕГИСУ НИОКТР);

• Мегагрант (в рамках Постановление Правительства РФ от 9 апреля 2010 г. № 220), соглашение № 075-15-2021-573 от «31» мая 2021 г. «Теоретические основы цифровизации анализа и синтеза сложных механических систем, сетей и сред».

Личный вклад автора. Личный вклад соискателя заключается в активном участии на всех этапах исследования, включая анализ научной литературы, выбор тематики исследования, разработку методов и алгоритмов управления по состоянию и по выходу. Соискателем проведено компьютерное моделирование в MATLAB/Simulink для демонстрации эффективности предложенных алгоритмов. Кроме того, соискателем выполнены экспериментальные исследования для проверки работоспособности разработанных методов на реальных технических объектах. Соискатель активно участвовал в оформлении результатов

исследования для публикации в научных изданиях и подготовке материалов для представления на научных конференциях.

Публикации. По теме диссертационной работы соискателем опубликовано 11 печатных работ [1—11], из них 9 статьей опубликовано в изданиях, индексируемых в Scopus, 2 статьи опубликованы в изданиях, индексируемых в ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 258 страниц, включая 30 рисунков и список литературы содержит 115 наименований.

Основное содержание работы

Во введении диссертационной работ изложена актуальность темы исследования на основе анализа существующих научных работ и практической востребованности решения рассматриваемых проблем. Были сформулированы цель и задачи, научная новизна работы, ее теоретическая и практическая значимость.

В Главе 1 представлен обзор методов управления системами при наличии внешних возмущений и методов управления системами с гарантией заданного качества регулирования. В результате анализа актуальности темы и обзора существующих методов была сформулирована обобщенная постановка задачи в диссертационной работе.

Рассмотрим динамическую систему вида

х F (x,и, (1)

У = Н (x),

где t > 0, ж Е Rn — вектор состояния, и Е Ы С Rm — вектор сигнала управления, у = col{у\,..., ур} Е У С Rp — вектор выходного сигнала. Функции F и Н определены для всех ж, и и t, при этом F — кусочно непрерывная функция, ограниченная по t, а функция Н непрерывно дифференцируемая по ж.

В ходе работы рассмотриваются следующие задачи, в которых объекты управления могут быть описаны системой (1) в общем виде.

Задача 1. Разработка метода управления многоканальными линейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве. Пусть объект управления имеет вид

х(г) = Ах(Ь) + Ви(р) + В/(г), ж(0) = х0 е Х0,

у(1) = Сх(1), ( }

где х е Кп, х0 — неизвестное начальное условие, а Х0 — известное компактное множество всех возможных начальных значений ж(0); и е Кт; у е / е — внешнее неизвестное ограниченное возмущение, для которого |/(£)| < /; матрицы А е Кпхп, В е Кпхт, С е ^хп, В е Кпх/ — известны.

Требуется синтезировать закон управления, гарантирующий нахождение выходного сигнала у(Ъ) объекта (2) в следующем заданном множестве в любой момент времени:

р р

У = и^ - и {и е ^ > 0: др) < уг(1) < ш) , (3)

%=1 %=1

где и ~д() — дифференцируемые и ограниченные функции вместе с их производными. Данные функции выбираются разработчиками исходя из требований работы системы.

Задача 2. Разработка метода управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве.

Пусть объект управления имеет вид

±(г) = Ах(г) + Ви(г) + (г)) + в/(г), у(г) = Сх(г), г (г) = Мх(г), ж(0) = жо е Л0,

где х е Кп, х0 — неизвестное начальное условие, а Х0 — известное компактное множество всех возможных начальных значений ж(0); и(Ъ) е Кт; у е / е Кг; ^ е К9 — аргумент нелинейности (£(•) : К9 ^ К9; матрицы А е Кпхп,В е Кпхт, С е ^хп, В е Кпх/, С е — известны.

Требуется синтезировать закон управления, гарантирующий нахождение выходного сигнала у(Ъ) объекта (4) в множестве (3) в любой момент времени.

Задача 3. Разработка метода управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения входного и выходного сигнала в заданных множествах.

Рассмотрим объект управления вида

х = Ах + Мд (у, г) + Ви + И/, У = Сх,

где ж е X С Шп, и е и С Кт, у е У С функция •) е К* — неизвестная (известная) нелинейность. Матрицы А, В, С, И, N известны и имеют соотвествующие размерности.

Пусть множества X, Ы и У заданы следующим образом:

X = {х е Кп : хтРхх < Щ)},

и = {и е кт : итяии < 1и(г)}, (6)

у ± {уе № : УтРуУ < 1У(I)},

где Яи = 1,..., Гт} > 0, Рх > 0, Ру > 0, 1х(Ъ) > 0 к(Ь) > 0, и 1у(г) > 0

известны.

Требуется синтезировать закон управления, гарантирующий нахождение входного сигнала и(Ъ) и выходного сигнала у(Ъ) (или состояния х(Ъ)) объекта (5) в множествах Ы и У (или X), заданных в (6), соотвественно, в любой момент времени.

Задача 4. Применение предложенных алгоритмов для синтеза управления электромеханическими системами. Провести экспериментальные исследования на стендах по:

• управлению скоростью вращения ротора двигателей постоянного тока;

• управлению скоростью вращения роторов вибрационного стенда.

В главе 2 представлено решение первой задачи, а именно разработка методов управления многоканальными линейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени.

Допущение 1. Для заданного множества начальных значений Х0 функции д и ~д{ должны быть выбраны таким образом, чтобы охватывать все начальные значения выхода уо е У0 = {уо = С х0 : х0 е Х0}. Это означает, что д(0) < у0 < дг(0), для любого у0 е У0, г = 1, ...,р.

Допущение 2. Размерность выходного сигнала не превышает размерности управляющего сигнала и, то есть р < т. Для системы (2) вектор относительной степени равен \р.

Рассмотрим преобразование координат Ф, : у, х [0, ж) ^ R для каждого элемента yi(t) вектора выхода y(t) в следующей форме:

= фДVi, Ч = ^ ^^-77л Ь г = 1,■■■,P, (7)

\ 9i(t) - Ул1)/

где si е R — i-я компонента вспомогательной переменной £ £ Rp.

Для любого фиксированного времени t > 0 существуют следующие обратные функции:

i 9i(t)е£i + 9 (t)

у, = ф-1(еi,t) = у,( ) + ). (8)

еЬг + 1

Обозначив Ф-1(е, t) = col {ф-1(s1),...,ф-1(ер, t)}, обратные преобразования (8) можно записать в векторной форме следующим образом:

у = Ф-1(е, t). (9)

Взяв производную по времени от выхода y(t) в (9), получим

-ф-1 -ф-1 , ч

*=-дГЕ+-юг. (10)

Поскольку малриид ^f-1 = diaJ Ц--,..., с Ц-- = f > 0 е

R является обратимой, и принимая во внимание (2), получим динамику переменной следующим образом:

>-1\ -1

£ =

/-ф-1 у

С Ах + СВи + ф

(11)

где ф(£, г) — св/(г) - .

Таким образом, с помощью преобразования координат (7) исходная задача управления (2) с ограничением (3) по выходной переменной сводится к задаче управления без ограничений. Согласно свойству преобразования (7), отметим, что обеспечение ограниченности переменной £ в системе (11) гарантирует выполнение цели (3). В главе представлены два подхода к синтезу управления: синтез по состоянию и синтез по выходу с использованием наблюдателя.

Подход 1. Синтез закона управления по состоянию.

Раздел 2.2.1 посвящен синтезу закона управления, когда доступен измерению вектор состояния системы.

Допущение 3. Вектор состояния х(Ъ) системы (2) доступен для измерения.

Зададим закон управления в виде

и = -(С В )+[Ке + С Ах], (12)

где К е М.рхр. Матрица К регулятора (12) определяется с помощью применения метода функции Ляпунова в сочетании с техникой ЛМН и ^-процедуры. Идея нахождения К заключается в следующем.

Пусть £0 е — множество всех возможных начальных значений е(0). Очевидно, что является компактным множеством благодаря компактности Я0.

Рассмотрим функцию Ляпунова V(е) = 0,5£т£ и следующие множества О и П:

П ± {ее № : И < С1}, (13)

О = {ее ^ : И < С2}, ( )

где с1 = шах^0 |г(0)| и с2 < с1 является заданной положительной константой.

Отметим, что для фиксированных значений 1 и 2 вышеуказанные множества являются инвариантными. Более того, выполнены условия О С П и £о ^ П.

Чтобы стабилизировать траекторию замкнутой системы, полученную при замыкании системы (2) регулятором (12), начиная с любой начальной точки множества в множестве О, необходимо обеспечить отрицательную определенность производной У(е) для всех £ е П \ О при ограниченности возмущения ф(£). То есть потребуем, чтобы выполнялось следующее условие:

V < -2аУ,, У{е, ф} : ее П \ О, Щ<ф). (14)

Таким образом, применив ^-процедуру, можем сформировать условие (14) в виде задачи полуопределенного программирования, решение которой дает оптимальное значение К. Основной результат данного раздела изложен в теореме 2.1 и следствии 2.1, представленных в диссертационной работе.

Подход 2. Синтез управления по выходу.

Раздел 2.2.2 посвящен подходу синтеза управления по выходу.

Допущение 4. Вектор состояния х(1) системы (2) не доступен измерению. Доступен измерению только у(Ь). Пара (А, В) управляема и пара (А, С) наблюдаема.

Зададим закон управления в виде

и =

(С В )+[Ке + С Ах],

(15)

где К е Ктхт, х е Кп —вектор оценки состояния системы (2), сформированный с помощью наблюдателя Люенбергера

где К0 е Кпхт выбирается таким образом, чтобы матрица А — К0С была гур-вицевой. Подставив (15) в (11), получим

Аналогично подходу синтеза закона управления по состоянию, условие выбора К для регулятора (15), обеспечивающего выполнение цели (3), также определяется посредством решения оптимизационной задачи, полученной при анализе устойчивости по входу-состоянию замкнутой системы (17) с помощью Б-процедуры и техники ЛМН. Основной результат данного раздела изложен в теореме 2.2, которые представлены в диссертационной работе.

Результаты моделирования, проведенные в среде МАТЬАВ/ЗтиНпк, подтвердили теоретические выводы и продемонстрировали эффективность предложенных алгоритмов.

В главе 3 представлено решение второй задачи, а именно разработка методов управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения выходного сигнала в заданном множестве в любой момент времени. Методы синтеза управления для многоканальных линейных систем, полученные в предыдущей главе, были расширены на класс многоканальных нелинейных систем. Как и в предыдущей главе, предложенные в данной главе методы также основаны на использовании вектора состояния или применении наблюдателя в случаях, когда для измерения доступны только выходные сигналы системы.

Для сведения задачи управления системой (4) с ограничением (3) по переменной к задаче управления по переменной воспользуемся преобразованием

х(г) = ах (г) + Ви(г) + К0(у(г) — сх(г)),

(16)

где , ^ = СА[х(Ъ) — Х(Ь)\ + ф(е, ^ является ограниченной функцией с оценкой

с = 1СА1 (мырХо |х(0) — х(0)1 + ) + ф.

(7). С учетом (4) уравнение динамики для £ примет следующий вид:

-i\ -1

£ =

fd Ф-1\

С Ах + СВи + ССф)+ф

, z = Мх,

где ф(£, г) = св/(г) - ^^.

Подход 1. Синтез управления по состоянию.

Раздел 3.2.1 посвящен синтезу закона управления, когда доступен измерению вектор состояния. Допущения 1 и 2, рассматриваемые во второй главе, остаются справедливыми для системы (4). Наряду с данными допущениями рассмотрим следующие дополнительные допушения:

Допущение 5. Вектор состояния х(Ъ) системы (4) доступен для измерения.

Допущение 6. Функция нелинейности ф(^) : К9 ^ К9 не известна и удовлетворяет секторным ограничениям, то есть для всех г, ф(г) = ео1{ф1 (г1), ...,фч(гд)} £ К9 выполнены следующие условия:

kij <

фз(zi)

ЗУЗ, Z3

<k2j, V Zj = 0,j = l,...,q,

(19)

где k1. ,k2j — некоторые известные константы.

Применив метода функции Ляпунова, выберем закон управления для (18) в виде:

и = —(СВ)

К£ + С Ах + äKSign(£)

-i\ —i

fd Ф—1\

\СС\\\\М |||х|

(20)

где К g а = 1 maxi supt>0(gt(t) — g(t)) ; к = y/qmaxj{|ky|, ^|} —

коэффициент секторного ограничения векторной функции нелинейности.

Следует отметить, что вид регулятора (20) совпадает с регулятором (12) для линейных систем. Более того, последнее слагаемое регулятора (20) предназначено для компенсации нелинейности ф(г). Таким образом, применяя метод нахождения К из главы 2, получено условие выбора К для регулятора (18). Основной результат данного раздела изложен в теореме 3.1, которая представлена в диссертационной работе.

Подход 2. Синтез управления по выходу.

Раздел 3.2.2 посвящен подходу синтеза управления по выходу.

В случае, когда доступны для измерения только выходные переменные, применяется наблюдатель Люенбергера для восстановления вектора состояния и синтеза динамического регулятора управления.

Допущение 7. Доступен измерению только сигнал у(1).

Допущение 8. Функция р известна и глобально липшицева, то есть существует положительный коэффициент к/ > 0 такой, что

\р(— р(ъУ <к1^ — Х'2 е М. (21)

Рассмотрим наблюдатель Люенбергера следующего вида:

х = Ах + Ви + С(р(х) + Ь(у — Сх), = м х

(22)

где х е Мп — вектор оценки состояния х, х — вектор оценки переменной ^ и Ь е Мпхр — коэффициент усиления наблюдателя.

Принимая во внимание (4) и (22), получим динамику ошибки оценивания

е = х — х как

е = (А — ЬС)е + С[ф) — ф)] + И/, е(0) = ео. (23)

Зададим закон управления в виде

и = —(С В)+ [Ке + С Ах + ССф)], (24)

где К е Мрхр. Подставив (24) в (18), получим

\ —1

£ =

(дФ—1\

— Ке + САе + ССв + ф

(25)

где в = ф) — ф).

В результате получим замкнутую систему, заданную уравнениями (23) и (25). Применив ^-процедуру и технику ЛМН для анализа устойчивости системы (23), получим условие выбора матрицы Ь, при выполнении которого ошибка оценивания ( ) сходится к некоторому инвариантному эллипсоиду. Кроме того, с помощью способа нахождения К из главы 2, примененного для анализа устойчивости (25), получено условие выбора К регулятора (24) в виде решения оптимизационной задачи. Основной результат данного раздела изложен в теоремах 3.2 и 3.3, которые представлены в диссертационной работе.

Результаты моделирования, проведенные в среде МАТЬАВ/БтиИпк, проиллюстрировали теоретические выводы и продемонстрировали эффективность предложенных алгоритмов.

В главе 4 представлено решение третьей задачи, а именно разработка метода управления многоканальными нелинейными системами с гарантией нахождения входного и выходного сигнала в заданных множествах в любой момент времени. В настоящей главе будут обобщены результаты предыдущих глав на случаи, когда размерность выходного сигнала может превышать размерность входного сигнала. Рассматриваются следующие подзадачи:

• управление по состоянию с ограничениями на состояние и управление;

• управление по выходу с ограничениями на выходной сигнал и управление.

Допущение 9. Неизвестная нелинейная функция д(^, •) удовлетворяет следующему условию секторного ограничения:

\д(у,г)\< д\у\, д(у(0),0) = 0. (26)

Для того, чтобы иметь возможность влиять на все выходы с помощью доступных управляющих сигналов, вводится следующее преобразование координат:

т = Ъ(у(1 ),и(1), I), (27)

где 1;(1) е М — непрерывно дифференцируемая функция по I, Ф : Мр х Мт х М+ ^ М непрерывно дифференцируемая функция по всем аргументам и ограниченная по £.

Пусть существует закон управления и( ) такой, что обеспечено выполнение следующего условия:

т < а*) < ш (28)

для любого £ > 0, где д(Ъ) и ~д(Ъ) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и выбираются так, чтобы были учтены ограничения и еЫ и у е У. Тогда, ограничения (28) включают в себя ограничения на входные и выходные сигнала объекта (5). Таким образом, для того, чтобы обеспечить выполнение целевого условия (6) необходимо синтезировать закон управления, который обеспечит выполнение (28). Для этого, согласно результатам предыдущих глав, введем следующее преобразование координат:

Л Ш) — дШ дШ +Ш) е(1) = Ф(£, I) ± ) ) Т (0 + +У(), (29)

где £ £ К, Т(£) — строго монотонная функция, такая что —1 < Т(£) < 1 для любого £. Функция Ф(£, 1) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет следующим свойствам:

(а) существует обратное отображение

£ = ф—1(£, г), Уе £ К, г> 0; (30)

(б) > 0, Уе£ К и* > 0;

(в) д(г) < Ф—1(£, г) < д(г), У £г £ К и г > 0;

(г) ^ < 7 для £ и £ > 0. Параметр ^ > 0 известен, так как функция Ф выбирается разработчиком.

Для синтеза закона управления необходимо сформировать динамику ( ). Для этого найдем производные по времени для у(Ъ) и ^(Ъ) вдоль траекторий уравнений (5), (27) и (30). В результате получим

у = СХ,

I = ™ ¿ + ^, (31)

¿ = £ У + ^+ §.

Поскольку > 0, то выражение для £ можно получить из (31) в

виде

_ [дф-1 (е,^ 1

^ 1 де

МП, + + № _ дф(е,г) ду У + диа+ дЪ дЪ

(32)

Подзадача 1. Управление по состоянию с ограничениями на состояние и управление.

Раздел 4.2.1 посвящен решению подзадачи управления по состоянию с ограничениями на состояние и управление.

Допущение 10. Вектор состояния х(Ъ) системы (5) доступен для измерения. Пара (А, В) управляема. Матрица выхода С = I.

Во-первых, нормализуем правые части эллипсоидов X и Ы в (6). Для этого выберем сх > 0 и си > 0 так, что вир{сх1х(£)} = вир{си1и(£)}. Обозначим В = схВх и Я = сиЯи. Во-вторых, представим управление и в виде следующей суммы:

и = иа + иа, (33)

где иа необходимо для стабилизации системы (5), а ид гарантирует, что х и и принадлежат заданным ограничениям (6). Используя неравенство Юнга, рассмотрим следующие соотношения:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ба Хю, 2025 год

Литература

1. Furtat I., Nekhoroshikh A., Gushchin P. Synchronization of multi-machine power systems under disturbances and measurement errors // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2022. in press. https://doi.org/10.1002/acs.3372

2. Павлов Г.М., Меркурьев Г.В. Автоматика энергосистем / Центр подготовки кадров РАО «ЕЭС России». СПб.: Папирус, 2001. 388 с.

3. Веревкин А.П., Кирюшин О.В. Управление системой поддержания пластового давления с использованием моделей конечно-автоматного вида // Территория Нефтегаз. 2008. № 10. С. 14-19.

4. Буяхияуй К., Григорьев Л.И., Лаауад Ф., Хелласи А. Оптимальное нечеткое управление для снижения энергопотребления в дистил-ляционных колоннах // Автоматика и телемеханика. 2005. № 2. С. 36-45.

5. Ruderman M., Krettek J., Hoffmann F., Bertram T. Optimal state space control of DC // IFAC Proceedings Volumes. 2008. V. 42. N 2. P. 5796-5801. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00977

6. Фуртат И.Б., Гущин П.А. Управление динамическими объектами с гарантией нахождения регулируемого сигнала в заданном множестве // Автоматика и телемеханика. 2021. № 4. С. 121-139. https://doi.org/10.31857/S000523102104005X

7. Furtat I., Gushchin P. Nonlinear feedback control providing plant output in given set // International Journal of Control. 2021. in press. https://doi.org/10.1080/00207179.2020.1861336

8. Furtat I., Gushchin P. Control of dynamical systems with given restrictions on output signal with application to linear systems // IFAC-PapersOnLine. 2020. V. 53. N 2. P. 6384-6389. https://doi. org/10.1016/j.ifacol.2020.12.1775

9. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM, 1994. 198 p. (SIAM studies in applied mathematics; V. 15)

10. Herrmann G., Turner M.C., Postlethwaite I. Linear matrix inequalities in control // Lecture Notes in Control and Information Sciences. 2007. V. 367. P. 123-142. https://doi.org/10.1007/978-1-84800-025-4_4

11. Sontag E.D. Input to state stability: Basic concepts and results // Lecture Notes in Mathematics. 2008. V. 1932. P. 163-220. https://doi. org/10.1007/978-3-540-77653-6_3

12. Dashkovskiy S.N., Efimov D.V., Sontag E.D. Input to state stability and allied system properties // Automation and Remote Control. 2011. V. 72. N 8. P. 1579-1614. https://doi.org/10.1134/ S0005117911080017

13. Fridman E. A refined input delay approach to sampled-data control // Automatica. 2010. V. 46. N 2. P. 421-427. https://doi.org/10.1016/j. automatica.2009.11.017

14. Lofberg J. YALMIP: a toolbox for modeling and optimization in MATLAB // Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (IEEE Cat. No.04CH37508). 2004. P. 284-289. https://doi.org/10.1109/CACSD.2004.1393890

15. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones // Optimization Methods and Software. 1999. V. 11. N 1. P. 625-653. https://doi.org/10.1080/10556789908805766

практике. Результаты моделирования показали эффективность предложенного метода и подтвердили теоретические выводы.

Метод решения и основной результат получены за счет гранта Российского научного фонда N 18-79-10104 в ИПМаш РАН1.

1 Карточка проекта, поддержанного российским научным фондом [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://rscf.ru/ ргсуес^18-79-10104/ (дата обращения: 22.02.2022).

References

1. Furtat I., Nekhoroshikh A., Gushchin P. Synchronization of multi-machine power systems under disturbances and measurement errors. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2022, in press. https://doi.org/10.1002/acs.3372

2. Pavlov G.M., Merkurev G.V. Energy Systems Automation. St. Petersburg, Papirus Publ., 2001, 388 p. (in Russian)

3. Verevkin A.P., Kiriushin O.V. Control of the formation pressure system using finite-state-machine models. Oil and Gas Territor, 2008, no. 10, pp. 14-19. (in Russian)

4. Bouyahiaoui C., Grigoriev L.I., Laaouad F., Khelassi A. Optimal fuzzy control to reduce energy consumption in distillation columns. Automation and Remote Control, 2005, vol. 66, no. 2, pp. 200-208. https://doi.org/10.1007/s10513-005-0044-y

5. Ruderman M., Krettek J., Hoffmann F., Bertram T. Optimal state space control of DC. IFAC Proceedings Volumes, 2008, vol. 42, no. 2, pp. 5796-5801. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00977

6. Furtat I.B., Gushchin P.A. Control of dynamical plants with a guarantee for the controlled signal to stay in a given set. Automation and Remote Control, 2021, vol. 82, no. 4, pp. 654-669. https://doi. org/10.1134/S0005117921040044

7. Furtat I., Gushchin P. Nonlinear feedback control providing plant output in given set. International Journal of Control, 2021, in press. https://doi.org/10.1080/00207179.2020.1861336

8. Furtat I., Gushchin P. Control of dynamical systems with given restrictions on output signal with application to linear systems. IFAC-PapersOnLine, 2020, vol. 53, no. 2, pp. 6384-6389. https://doi. org/10.1016/j.ifacol.2020.12.1775

9. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM, 1994, 198 p. SIAM studies in applied mathematics; vol. 15.

10. Herrmann G., Turner M.C., Postlethwaite I. Linear matrix inequalities in control. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 2007, vol. 367, pp. 123-142. https://doi.org/10.1007/978-1-84800-025-4_4

11. Sontag E.D. Input to state stability: Basic concepts and results. Lecture Notes in Mathematics, 2008, vol. 1932, pp. 163-220. https:// doi.org/10.1007/978-3-540-77653-6_3

12. Dashkovskiy S.N., Efimov D.V., Sontag E.D. Input to state stability and allied system properties. Automation and Remote Control, 2011, vol. 72, no. 8, pp. 1579-1614. https://doi.org/10.1134/ S0005117911080017

13. Fridman E. A refined input delay approach to sampled-data control. Automatica, 2010, vol. 46, no. 2, pp. 421-427. https://doi. org/10.1016/j.automatica.2009.11.017

14. Lofberg J. YALMIP: a toolbox for modeling and optimization in MATLAB. Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation (IEEE Cat. No.04CH37508), 2004, pp. 284-289. https://doi.org/10.1109/CACSD.2004.1393890

15. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones. Optimization Methods and Software, 1999, vol. 11, no. 1, pp. 62 5-6 5 3. https://doi. org/10.1080/10556789908805766

Авторы

Нгуен Ба Хю — исследователь, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Российская Федерация; аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, https://orcid.org/0000-0003-2076-7463, Ьеш^^206@ gmail.com

Фуртат Игорь Борисович — доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, заведующий лабораторией, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Российская Федерация; профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, 36349158600, йКрэ://огаа.ог£/0000-0003-4679-5884, [e-mail]

Authors

Ba Huy Nguyen — Researcher, Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation; PhD student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, https://orcid.org/0000-0003-2076-7463, [e-mail]

Igor B. Furtat — D.Sc., Full Professor, Chief Researcher, Head of lab., Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation; Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, 36349158600, https://orcid.org/0000-0003-4679-5884, [e-mail]

Статья поступила в редакцию 26.01.2022 Одобрена после рецензирования 09.02.2022 Принята к печати 17.03.2022

Received 26.01.2022

Approved after reviewing 09.02.2022

Accepted 17.03.2022

Работа доступна по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial»

European Journal of Control

European Journal of Control 76 (2024) 100944 Contents lists available at ScienceDirect

European Journal of Control

I I SI VII R journal homepage: www.sciencedirect.com/journal/european-journal-of-control

Nonlinear control providing the plant inputs and outputs in given sets

Igor B. Furtat *, Pavel A. Gushchin, Ba Huy Nguyen

Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences (IPME FAS), Bolshoj pr. V.O., 61, St Petersburg, 199178, Russia

ARTICLE INFO ABSTRACT

The paper considers the design of a novel control law that guarantees to find inputs and outputs in given (prescribed) sets. The proposed method is based on two coordinate changes. The first coordinate change transforms the output variable into a new one whose dimension is equal to or less than the dimension of the input. The second coordinate change transforms a constrained control problem into an unconstrained one. The proposed method is obtained to the solution of two tasks. A state feedback control is considered for sector-bounded nonlinear systems with state and input constraints. An output feedback control is proposed for multi-input and multi-output sector-bounded nonlinear systems with input and output constraints. The simulations confirm the theoretical results and illustrate the efficiency of the proposed method.

H>

Check tor update«

Recommended by T. Parisini

Keywords: Nonlinear control Restrictions Coordinate change Input-to-state stability

1. Introduction

The paper describes a novel control law that always guarantees inputs and outputs in given sets. Such a problem deals with the constraints in mechanical, electromechanical, chemical, information and

many other technical and physical systems. Since this problem covers a wide range of tasks, there are currently many methods for solving it.

The adaptive control laws (Miller & Davison, 1991; Wu & Zhang, 2021) guarantee that the output belongs to a given set. However, this set is sufficiently rough and approaches (Miller & Davison, 1991; Wu & Zhang, 2021) are only applicable to single-input and single-output systems.

The stabilisation problem of systems with state and input constraints is considered in Blanchini, Casagrande, Giordano, and Viaro (2016), Sun, Pan, Zhang, and Yu (2018) and Zhang, Xue, and Gao (2019) by using predictive control methods. Differently from Miller and Davison (1991) and Wu and Zhang (2021), the given set can be determined more precisely. However, the implementation of the proposed controllers requires large computational resources (Walczak, 2019).

The methods of barrier functions and barrier Lyapunov functions can define asymmetric constant (Llorente-Vidrio, Mera, Salgado, & Chairez, 2020; Tee, Ge, & Tay, 2009; Zhang, Niu, Duan, Zhao, & Wang, 2021) or time-varying (Cao, Nie, Wu, Xue, & Cao, 2021; Zhang et al., 2021) output constraints. These methods use less computational resources and can provide a similar performance to Blanchini et al. (2016), Sun et al. (2018) and Zhang et al. (2019).

The method of invariant ellipsoids (Khlebnikov, Polyak, & Kuntse-vich, 2011; Polyak, Tremba, Khlebnikov, Shcherbakov, & GV, 2015)

ensures that the outputs belong to the smallest invariant ellipsoid that can be determined. The advantage of Khlebnikov et al. (2011), Polyak et al. (2015) over (Blanchini et al., 2016; Sun et al., 2018; Zhang et al., 2019) is the use of linear control laws and linear matrix inequalities (LMIs), which simplifies the implementation of the control scheme. However, the solution of LMIs can lead to an overestimation of the size of the minimal ellipsoid under parametric uncertainties and disturbances.

The funnel function method (Ilchmann, Ryan, & Sangwin, 2002; Ilchmann, Ryan, & Townsend, 2007) guarantees the tracking error in a given set. This method is applied in Liberzon and Trenn (2013) to output tracking control based on the bang-bang controller for uncertain nonlinear systems with arbitrary known relative degree. Continuous funnel control is generalised in Berger, Le, and Reis (2018) for multi-input and multi-output (MIMO) nonlinear systems with arbitrary relative degree. However, the implementation of the controllers (Berger et al., 2018; Ilchmann et al., 2002, 2007; Liberzon & Trenn, 2013) requires the measurement of the output derivatives and the right-hand side of the system equation is smooth enough.

The prescribed performance control method (Bechlioulis & Rovithakis, 2008, 2014) is based on a special change of the output variable such that a constrained problem is transformed into an unconstrained one. However, the implementation of the control laws (Bechlioulis & Rovithakis, 2008, 2014) requires knowledge of the sign and the set of initial conditions. Therefore, the upper and lower prescribed functions for transients may be rather rough, because it is determined by the same function with different signs. In addition, the

* Corresponding author.

E-mail address: [e-mail] (I.B. Furtat).

https://doi.Org/10.1016/j.ejcon.2023.100944

Received 6 December 2022; Received in revised form 1 August 2023; Accepted 20 December 2023 Available online 5 January 2024

0947-3580/© 2024 European Control Association. Published by Elsevier Ltd. All rights reserved.

prescribed functions in Bechlioulis and Rovithakis (2008, 2014) should asymptotically converge to some constants.

Recently, a new nonlinear feedback control law has been proposed in Furtat and Gushchin (2020, 2021a, 2021b) to provide the plant output in a given set. Differently from Bechlioulis and Rovithakis (2008, 2014), the given set in Furtat and Gushchin (2020, 2021a, 2021b) can be described by functions that are independent of the sign of the plant initial conditions and only require knowledge of the set of initial conditions. Unlike (Bechlioulis & Rovithakis, 2008, 2014; Miller & Davison, 1991) the configuration of a given set can be described by arbitrary continuously differentiable functions for which asymptotic convergence is not required. Differently from Berger et al. (2018) and Liberzon and Trenn (2013), the measurement of output derivatives are not necessary. Unlike (Bechlioulis & Rovithakis, 2008, 2014; Berger et al., 2018; Ilchmann et al., 2002, 2007; Khlebnikov et al., 2011; Liberzon & Trenn, 2013; Miller & Davison, 1991; Polyak et al., 2015) the method (Furtat & Gushchin, 2020, 2021a, 2021b) also ensures that the output belongs to a given set under parametric uncertainties and disturbances. However, the method (Furtat & Gushchin, 2020, 2021a, 2021b) does not take into account input constraints and the input dimension must not be less than the output dimension.

In practice, there are many problems where the input dimension is smaller than the output dimension and there are input constraints. For example, the control of underactuated systems: walking robots, programmed machines, aircraft, watercraft, some pendulum systems, etc. The methods (Astrom, Block, Mark, & Spong, 2007; Chen & Sun, 2020; Harandi, Taghirad, Molaei, & Romero, 2021; Liu, Nazmul Huda, Sun, & Yu, 2020; Liu & Yu, 2013; Olfati-Saber, 2001; Ortega, Spong, Gomez-Estern, & Blankenstein, 2002; Saleem & Hasan, 2021; Spong, Corke, & Lozano, 2001; Sun, Su, Xia, & Wu, 2020; Wang, Lai, Zhang, & Wu, 2021) guarantee the given performance, but only asymptotically.

In the present paper we generalise the results of Furtat and Gushchin (2020, 2021a, 2021b) to the solution of the following problems:

(i) control with both input and output constraints;

(ii) the output dimension can be greater than the input one;

(iii) design of the control law parameters is based on LMI approaches.

The paper is organised as follows. Section 2 describes the scheme of a control law design. Two types of coordinate transformations are given. The first one gives a new output variable whose dimension does not exceed the input dimension. The second coordinate change transforms a problem with input and output constraints into a control problem without constraints. Section 3 describes state-feedback control law design for sector-bounded nonlinear systems with state and input constraints. Section 4 proposes an output feedback control problem for sector-bounded nonlinear MIMO systems with input and output constraints. Sections 3 and 4 also consider the simulations and illustration of efficiency of the proposed theoretical results.

Notations, definitions, and theorems. Throughout the paper the superscript T stands for matrix transposition; R " denotes the n dimensional Euclidean space with vector norm | • |, induced corresponding matrix and transfer function norms denoted by || • ||; R"xm is the set of all nxm real matrices; I is the identity matrix of corresponding order; A* is the adjugate of the matrix A; P > 0 is a positive definite matrix; sign(-) is the sign function; p = d/dt is a differential operator; Amm{/} is a minimum eigenvalue of a positive definite matrix.

Definition 1 (Demyanov & Rubinov, 1990; Dolgopolik & Fradkov, 2017). The function u ^ G(y, u, t) is called differentiable in the point u e Rm in the direction v e Rm, if there exists the finite limit

W/ G( y,u + a v, t)-G( y,u, t)

G'(y,u,t;v) = li^ ^-—- .

a^+0 a

If the function u ^ G(y,u, t) is differentiable at the point u in any direction v e Rm, then it is called directional differentiable at the point u, and the function v ^ G'u(y,u,t;v) is called the directional derivative of the function u ^ G(y,u, t).

Let the function G( , , ) be locally Lipschitz, continuously differ-entiable with respect to and , as well as directional differentiable with respect to . Then for any absolutely continuous functions ( ) and ( ), the function G( ( ), ( ), ) will also be absolutely continuous. Moreover, according to directional derivative of a multivariable function (Demyanov & Rubinov, 1990; Dolgopolik & Fradkov, 2017), one gets

j-G(y(t), u(t), t) = <£y + G'u(y(t),u(t),t; u(t)) + f

for almost all t > 0. Here G'(y(t), u(t), t; u(t)) is a derivative of the function u ^ G(y(t),u, t) at the point u(t) in the direction u(t).

Therefore, if the function G is not a differential in , but directional differentiable in u, then дG(>'('J•"('),f) u(t) can be replaced by G'u(y(t), u(t), t; u(t)) in the paper.

In addition, the dynamics of systems with discontinuous right-hand sides are throughout defined in the sense of Filippov (1988).

Theorem 1 (Theorem 4.4 in Khalil (2002)). Let D = {x e R" : ||x|| < r} and suppose that f(t, x) is piecewise continuous in t and locally Lipschitz in x, uniformly in t, on [0, &) x D. Let V : [0, <x>)xD ^ R be a consciously differentiable function such that

W1(x) < V(t,x) < W2(x),

* = It + fj(*,» < -for all t >0 and x e D, where W1(x) and W2(x) are continuous positive definite functions and W3 is a continuous positive semidefinite function on D. Let p < mm|x|=rW1(x). Then all solutions of x = f(x,t) with x(0) e {x e Br : W2(x) < p} are bounded and satisfy W3(x(t)) ^ 0 as t ^

2. General scheme for the control law design

In this section, we present a general outline of the study. In the following sections, the proposed control scheme will be applied to sector-bounded nonlinear systems with specific results of the control law performance.

2.1. Problem formulation

Consider a dynamical system of the form

x = F(x,u, t),

y = H(x,u, t),

where t > 0, x e R" is the state, u e V c Rm is the control signal, y = col{yi,... ,yt} e y c R1 is the output signal, the functions F and H are defined for all , and , is the piecewise continuous function bounded in , the function H is continuously differentiable with respect to all arguments and bounded in . The system (1) has the uniform relative degree 1.

Suppose the system (1) is controllable and observable for u e V and ye y.

Unlike (Furtat & Gushchin, 2020, 2021a, 2021b) in this paper we consider the systems (1) with dimu > dimy. However, in order to be able to influence all outputs with the available controls, the following change of coordinates is introduced

(1)

H(t) = <F(y(t), u(t), t),

(2)

where { = col{... ,ÇV} and v < m, the function W is continuously differentiable with respect to all arguments and bounded in t.

It is required to design a control law such that the following condition holds

git) <Ut) <S (), i=1, . , v

(3)

for any t > 0, where g (t) and ~g,(t) are continuously differentiable functions. Also, the functions W, g and g, in (2), (3) are chosen such that u e V and y e y. Thus, the restrictions (3) together with the

transformation (2) must contain the constraints u e V and y e y. Furthermore, by choosing the functions g (t) and g](t), one can specify the transients of (,(t). The next sections will show how to choose these functions.

To summarise, we need to design the control law that ensures (3). The type of determines the behaviour of the signals and . In Sections 3 and 4, the functions ^ are given in quadratic form. Thus, according to (3), it will be required that the variables and must be found in spheres with radii depending on g (t) and g'¡(t).

2.2. Coordinate transformation

According to Furtat and Gushchin (2020, 2021a, 2021b) and the restriction (3), introduce the change of variable in the form

Hit )_$(e(t), t),

(4)

where { = col{Ç1,... ,ÇV}, e(t) e R" is a continuously differentiable function in t, 0(e, t) = coI{01(e,t),... ,0v(e, 0) satisfies the following conditions:

(a) g(t) < 0t(e,t) <g,(t), i = 1,...," for all t> 0 and e e R";

(b) 0(e, t) is a continuously differentiable function in all arguments and det (+ 0 for all t> 0 and e e R";

(c) l0^ | < y for all t > 0 and £ e R ". The parameter y > 0 is known because the function 0 is chosen by the designer.

To design the control law, it is necessary to derive the dynamics of ( ). To do this, we find the time derivatives of ( ) and ( ) along the trajectories of (1), (2) and (4). As a result, we have

dH „ , dH . , dH

y _ 1HF + H + h

(5)

i — ,t) z | ,t)

i de dt ,

i d— ■ . d- ■ . d-

^ dy* du dt

According to the inverse function theorem (Baxandall & Liebeck, 1986) and condition (b), the inverse function e — y, t) exists for all ye y and t > 0. Since det () # 0 (see condition (b)), then e can be expressed from (5) in the form

._/d<P(e, t)\ 1 ïçfFH f + ( VF H + + FH + ÊL - d0(s,' ) 1

£ _ \ de ) [ dy dx + \ dy du + du )U + dy dt + dt dt

(6)

Remark 1. If only the signal is available for measurement (i.e. is unmeasured), then the following expression

, _ ( d®(e,t) ) 1 [ d¥. + d¥. + d¥ - 30(s,t) 1

' _ V ¡¡e. ) [dy' + d u" + dt dt J

(7)

can be used to design the control law, where (7) is obtained from the last two expressions in (5).

In the next sections, the Eqs. (6) and (7) will be used to design control laws. Now we state the main result of this section.

Lemma 1. Let the conditions (a)-(c) hold and there exists a piecewise continuous in t , locally Lipschitz in y and e the control law u = u(t, y, e) e V, proposed for (7), and Lyapunov function V(t, e) such that

Wi(E)< V(t, E)<W2(E),

(8)

V dt + de\ de ) [dy' + du" + dt dt J - VV3(E)

for all t >0 and e e R", where W[(£) and W2(e) are continuous positive definite functions, W3(e) is a continuous positive semidefinite function. Choose r > 0 such that Br = {e e R" : ||£|| < r} and let p < mmiei=rW1(£). If x(0) and u(0) are given such that ((0) e S = {feB¥,t > 0 : W2(@-1(S,t)) < p}, then the inequality (3) holds, where *P : Br ^ Bw is given by (4).

Proof. According to Theorem 1, the trajectories of the system (7) are bounded if e(0) e {e e Br : W2(e) < p}. Considering the condition (a) and the transformation (2), the inequality (3) holds if (0) and (0) are given such that (0) e S.

As a result, Lemma 1 allows one to transform the control of (1) with constraints into the control of (6) or (7) without constraints.

Remark 2. The conditions of Lemma 1 remain valid under weaker assumptions about the differentiability of the function f (Dolgopolik & Fradkov, 2017). In this case f must be locally Lipschitz in all variables, continuously differentiable in and , and differentiable in directions in . Then, on the right-hand side of the third equality in (5) the second term is replaced by f'( y,u, t; it), where f'( y,u, t; v) is the derivative of the function u ^ f (y, u, t) at the point u in the direction v. Therefore, the equalities (5)-(7) will only be satisfied for almost all t. As a consequence, in (6) and (7) it is necessary to replace ^u with the corresponding directional derivative and to consider all calculations for almost all . Therefore, in the proofs of Theorems 2 and 3 below, the corresponding (in)equalities hold for almost all .

Example 1. Consider an example of the transformation (4). Let ¡P(e, t) be of the form

(9)

where e e R, T(e) is a strictly monotone function such that -1 < T(e) < 1 for any .

Compared to Furtat and Gushchin (2020, 2021a, 2021b), the advantage of the transformation (9) is the separation of the functions g(t), g(t) and T(e). The functions g(t) and g(t) define a prescribed set. The function T(e) defines a coordinate change. In particular, T(e) can be chosen as T(e) = j+j^, T(e) = = th(0, 5e), T(e) = ^ atan(e ), etc.

In the following, we will consider the application of the proposed method to the same types of models as in Furtat and Gushchin (2021b).

3. State feedback control with state and input constraints

Consider a system of the form x _ Ax + Nw(x, t) + Bu + Df,

(10)

where x e X c R" is the measured state, u e V c Rm is the control, w e Rz is an unknown nonlinear function with parametric uncertainty and |w(x, 01 ^ W\x|, f e Rk is a disturbance function and | ft | < fj, j = 1,..., k. The matrices A, B, N, and D are of appropriate dimensions. The pair (A,B) is controllable.

Let the sets X and V be given by

x < lx(t), u Ruu < iu(t),

(11)

> 0, Ix(t) > 0, and Iu(t) > 0 are

where Px > 0, Ru = diag{r1,... known matrices and functions.

Before introducing and a goal, some preliminary steps should be considered. First, normalise the right-hand sides of the ellipsoids (11). To do this, choose cx> 0 and cu > 0 such that sup{cxlx(t)} = sup{culu(t)}. Denote by P = cxPx and R = cuRu. Second, represent the control u as the following sum

u = us + ug, (12)

where us is needed to stabilise of (10) and ug ensures that x and u belong to the given constraints (11). Using Young's inequality, consider the following relations

(u s + ug )TR(u s + ug) = ujRus + 2uT,Rug + uTRug

< (1 + d)uTRus + (1 + d-1)uTRu

where d > 0.

Now we introduce the variable in the form

m

( = xTPx + uTrsus + £ rgt(|ugl |2 + S)2, t=1

where Rs = (1 + d)R, rgl = rlcu(\ + d-1) and S > 0. Rewrite the goal set (3) as follows

g(t) < {(t) < g(t).

(14)

(15)

Choosing ~g(t) in the form ~g(t) < inf{cxlx(l),culu(l)}, we have that the condition (15) includes the restrictions (11). The transition from the inequalities (11) to (15) makes the proposed solution rough. However, similar transitions are used in many problems where the number of control variables is less than the number of controlled ones, see e.g. Liberzon (2012).

According to (15), we have restrictions on the state and the control u, while the methods (Furtat & Gushchin, 2020, 2021a, 2021b) consider restrictions on only one component of the state vector without any restriction on the control.

Let us formulate the main result of Section 3.

Theorem 2. Let the conditions (a)-(c) hold for the transformation (2), > 0 for all e and t, g(0) < Ç(0) < g(0). Given S > 0, d > 0, 0 > 0, k > 0 c > 0, Px> 0, Ru>"0 there exist Y e Rmx", W = WT > 0, n> 0, a > 0, t, > 0, i = 1,..., 6 such that for each vertex v = col{v1,..., vk}, v, = ± f,, i= 1,... ,k the following linear inequalities are satisfied

-a+ 0.5 r1 0.5 v -0.5

-r2I 0

c T1 >X*j=i ■tj'^'2 + Y2^'¿,

0,

(16)

W AT + A W + B + T BT + W N B D kww

* - 2 0 0 0

* * - T4I 0 0

* * * -T5I 0

* * * * -I

0,

W W

l* H

0,

0,

H>P,

I* T6 J

mmii! > jnf{fw} r + Yk f2,

im,n{P}P - m min{ rs, }T4 + ^J=1 Jj T5, lmin{R}(1+i) 6 - 1+i '

(17)

(18)

where H = W 1. Additionally, if the system (10) is started from the

ellipsoid xl(0)Hx(0) < us = Kx,

inf sit)

then the control law (12) with

ùg, = sign(«g,) [aE + 2xTP„Aex + 2xTPeBug

+ H-1sign(E)xT PeDTDPex + 2sign(E)w II PeN |||x|],

(19)

' = 1,

ensures goal (15), where Ae = A + BK, Pe = P + KTRSK and K = YW-1.

Proof. Taking into account (12) and (19), rewrite (1) and (14) as follows

x = A ,x + Nw(x, t) + Bug + Df,

a = xTpex + sm=i , (I "g g2 + s)2.

Considering (10) and (14), represent (6) in the form

t = ( ^^ ) 1 [2xTPeA,x + 2xTPeNw(x, t) + 2xTPeBug + 2xTP,Df + 2 Zm= 1 gsign(«g,)Ug, - ].

(20)

To analyse the stability of (21), introduce Lyapunov function

V1 = 0.5e 2. (22)

Taking the derivative of (22) along the trajectories of (21) and using Young's inequality, we get

V1= E ( ^^ ) 1 [2xTPeA,x + 2xTPeBu + 2xTPeNw + 2xTP,Df

+ 2X m=1 rg, sign(« g ,) u.

/ d®(e,t) )-1 _T

d0(E, t)

s' dt I

[2xl PeAex + 2xT PeBu + 2sign(E)w || PeN |||x| + H-1sign(E)xTPeDTD Pex + 2 £ m=1 rgt sign(«s, ) ug,

T f - №(e,t)

+ H sign(E )fTf

Substituting ug, given by (19) into (23), we have

V,<E

I d0(s,t) ^

- + sign( ) T

T f - d0(E,t) I

(23)

(24)

Given the constraints fTf < 2j=1 ff and ( - f'2 (see the

problem statement and condition (c)), we require the fulfilment of V1 < 0 for V1 > c. Since > 0 does not affect the sign in (24),

rewrite these conditions as follows

(25)

he2 + „Esign(E) fT f -E< 0 v (e J,^ ) : 5e2 > c, fTf < z;!i fj, (^)2 < r2. Denoting by z = col j e , f, d®(t't ^, represent (25) in the matrix form

0. 5 sign( ) *0

0.5 0 0

0, T

0

Il2

-0.5 1 *

*

0 0

00 00 *0

z < y2t3.

z < - c Ti,

(26)

Using S-procedure and the conditions for solvability of linear matrix inequalities with polytopic uncertainty sign( ) (Fridman, 2010; Polyak et al., 2015), the expressions (26) hold simultaneously if the conditions (16) hold. Thus, ( ) is ultimately bounded. According to Lemma 1, the goal (15) holds. Thus, the signals x, us, ug, and u are bounded.

Although, the condition (15) can be satisfied when tends to zero and x tends to the boundary of the ellipsoid xTPxx = g(t). Despite this case satisfies the goal (15), in practice, it can be computationally difficult. To avoid this situation, we find additional conditions for the choice of the matrix K in (19) by using Lyapunov function

2 = T H .

(27)

inf{ №)}

, f f < S;=1 fj, and

Considering the constraints u^ug < wTw < w2xTx, we require the fulfilment of V2 < 0 and H > P for . Thus, the initial conditions of the system (10) must be in

2

inf Sit) n{P}

inf m)

. The condition H means that

the ellipsoid xT(0)Hx(0) < Â {F}. the ellipsoid T H = 1 is contained inside the ellipsoid T = 1. Let us rewrite these conditions as follows

V2 = xT(ATH + HAe)x + 2xTHNw + 2xTHBug + 2xTHDf < 0 V(x,ug, f) :

T

wTw <w2xTx, xTHx > f^} ,T" ff < ^=1 fj-

UlU„ < , r ,

s s m min{ r„i}

*

T

*

*

T

T

Denoting by s = col{x,w,ug, f}, rewrite (28) in the forms

ATH + HA,

HN

0

*

*

H B 0

0

*

H D 0 0 0

0,

2 2 0 0 0

* 0 0

* * 0 0

* * * 0

H 0 0 0

* 0 0 0

<

* * 0 0

* * * 0

0,

(29)

0 0

t4i

*

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

its

used as an auxiliary control that additionally stabilises the system (10) by taking into account the constraints (15). In the example, we will demonstrate the main differences between the control laws (12) and u = u g.

Remark 5. It can be seen from (19) that the second component of the control law contains sign function. Therefore, the chattering can occur in the derivative of ur However, ug is continuously differentiable, consequently the control law u = us + ug given by (12) is continuous.

The use of the sign component can be avoided by choosing a new variable { in (14), for example, in the form { = xTPx + uTRsus +

Zm, r ,,(uv + &)2, where 0 <v < 1 and uv is an even function. However,

=1

in this case, the expression of the control law is more cumbersome, therefore, it is not used in the derivations.

Example 2. Consider the unstable system (10) with known parameters

jnSML.;

m min{ rgl}

A =

D =

0 1 0

0 0 0.5

1 3 3

■ 1"

-2 , x (0) = 2.5 1

N = , B =

00 01 10

(32)

Estimate (11) as follows Amm{RJuTu < uTRau < sup{IU(1)}. Requiring and unknown functions the fulfilment of uTu < (1 + d)uIus + (1 + d-1)uTug < sup{lu(t)},

one gets uls us <

sup{ 'u(t)}

(1+d)Amln{R,

inequalities (29) and xTKTKx <

(1+i)lpm{Ru} satisfied, if the following inequalities hold

H > ,

. Using S-procedure (Fridman, 2010), the

"P{ l'(f)} under XTHX > InZm. are

w( , ) =

^min{-P}

0.01 0.03

-0.03 -0.01

0 0.01

0.05 sin(i) sin(x 1) 0.05cos(1.3x2) 0.07 sin(3i) sin(0.6x3)

f(t) = 0.03[sign(sin(1.3i)) + sin(0.7t) + sat{d(t )}].

(33)

(A + BK)TH + H (A + BK) + 0H + K2W2I H N H B H D

* - 2 0 0

* * - 4 0

* * * -t5I

0,

inf{ f(')} 1,

inf{ f(<)}

B >

mm{-P} mmin{r.t}

U ft^

6 ^ 1+A .

lmin{R}(1+<i)

(30)

Taking into account Y = KHand W = H-1, as well as pre- and post-multiplying of (30) by W (the first two LMIs) and diag{W,I,1,1} (the third LMI), we have

W > WPW, HTYTYH < r6H,

W (A + BK)T + (A + BK)W + /1W + K2W2W 2 N B D

* - 2 0 0

* * - 4 0

* * * -r5I

0.

(31)

Applying Schur complement to (31), we get (17) and (18). Theorem 2 is proved.

Remark 3. The inequalities (16) and (17) are always feasible if the pair ( A, B) is controllable, because there always exists K such that the matrix A + B K is Hurwitz.

Remark 4. According to the proof of Theorem 2, the control law u = ug can be used only (i.e. us = 0, K = 0 and Rs = 0). The function us is

Here sat{-} is a saturation function, d(t) is a signal simulated in Matlab Simulink by using the "Band-Limited White Noise'' block with the noise power 0.5 and sampling time 0.1 s.

The control scheme consists of a sequential change of the coordinates (4) and (14), and the control laws (12), (19).

Let Px = 0.11, Ru = 0.0011, lx(t) = 9.5e-°.°5' + 0.5, and lu(t) = 1 in (11).

Choose cx = 1, cu = 10, and d = 0.01. Let S = 0.01 in (14), as well as T(e) = ¿+1, g(t) = 9.9e-01' + 0.1, and g(t) = ie-01 + 0.01

in (15). Given d = 0.01, calculate y = = 1.475. Considering

c = 1 and fl = 0.1, the inequalities (16), (17) have solutions, e.g., for

K = [-O.19 -0.°6 ^.^l, a = 7.88, and, = 0.05 in (19).

[-1.24 -1.08 -2.81\, , "

Figs. 1, 2 show the phase portraits for (x1, x2), (x1, x-3), (x2, x3), and (u1, ug), as well as the transients in £(t). In Figs. 1 the larger ellipses correspond to the projections of xTPxx = g(0) and uTRuu = g(0) on the corresponding planes, and the smaller ellipses are projections of xTPxx = inf{g(/)} and uRuu = inf{g(/)} on the corresponding planes. From Figs. 1, 2 it can be seen that the phase trajectories start in the given large ellipse, reach small ellipses and remain there for 60 s.

According to Remark 4, only the control law u = ug can be used. In Fig. 3 the transient of £(t) with u = ug are given for g(t) = 9.9e-0A' + 15, g(t) = e-t0A,+0.01, R = 10-71, rgl = rtcu, and K = 0. All other parameters remain the same. The simulations have shown that the control law u = ug increases computational load (see Fig. 3), whereas the additional use of the control law us reduces the computational load (see Fig. 2). Also, according to Remark 5, the control law is continuously differentiable without chattering, see Fig. 2.

If there are additive measurement noises in the outputs, then the stability can be lost. However, if the noise is small enough, the closed-loop system remain stable. In this example, the closed-loop system provides the goal with additive band-limited white noise with the noise power less than 10-4 and a sampling time greater than 0.1 s.

T

T

T

0

T

T

KT K 6 H

§ o-

0

u¡

Fig. 1. The projections of phase trajectories in the closed-loop system.

-m —№