Адаптивное управление по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Живицкий Андрей Юрьевич

• Живицкий Андрей Юрьевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Живицкий Андрей Юрьевич

Реферат

Synopsis

Введение

ГЛАВА 1. Постановка задачи диссертационного исследования и обзор методов управления в условиях

неопределенностей

1.1 Постановка задачи диссертационного исследования

1.2 Управление в условиях внешних воздействий

1.3 Управление в условиях неучтенной динамики

1.4 Выводы по главе

ГЛАВА 2. Адаптивное управление по выходу в условиях

внешних воздействий

2.1 Преобразование исходной модели системы

2.2 Синтез алгоритма адаптивного управления по состоянию

2.3 Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу

2.4 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Адаптивное управление по выходу в условиях

неучтенной динамики и внешних воздействий

3.1 Преобразование исходной модели системы

3.2 Синтез алгоритма адаптивного управления по состоянию

3.3 Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу

3.4 Выводы по главе

ГЛАВА 4. Исследование алгоритмов в задаче адаптивного

управления по выходу системами Эйлера-Лагранжа

4.1 Адаптивное управление по выходу надводным судном

4.2 Адаптивное управление по выходу манипуляционным роботом

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Тексты публикаций

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность и степень разработанности темы. Современные алгоритмы адаптивного управления играют важную роль в развитии современных технических систем и интеллектуальной робототехники. В условиях доминирования технологического прогресса как ключевого драйвера экономики особую значимость приобретает широкое внедрение таких алгоритмов в промышленные и сервисные робототехнические системы, повышая их автономность и эффективность, что является ключевым фактором для управления в непредсказуемых условиях.

Зачастую при синтезе законов управления разработчики сталкиваются с различными неопределенностями, представляющими собой отсутствие априорной информации о динамике объекта управления и действующей на него внешней среды. В зависимости от характера информации, необходимой для синтеза законов управления, выделяют ряд типовых неопределенностей, таких как функциональные, параметрические, сигнальные и структурные, которые соответственно предполагают наличие в модели неизвестных функций, параметров, сигналов и структур. Модель объекта в общем виде с может не отражать конкретную форму функций, описывающих его динамику. Параметры объекта могут быть неизвестны или, более того, меняться в процессе функционирования системы. Что касается внешних воздействий, в общем случае они могут содержать регулярную и нерегулярную компоненты, однако во многих задачах динамического позиционирования робототехнических систем доминирующую роль играют именно регулярные составляющие, описываемые детерминированными моделями, в то время как нерегулярные составляющие стохастического характера имеют пренебрежимо малую амплитуду. В некоторых задачах структура объекта может быть известна только частично или разработчики намерено пренебрегают тем или иным динамическим блоком для упрощения синтеза закона управления. В таких случаях говорят, что система характеризуется

структурными неопределенностями. Для решения задачи управления по выходу в условиях неопределенностей применяются адаптивные и робастные методы управления, ключевое преимущество которых заключается в способности обеспечивать желаемые свойства устойчивости для довольно широкого класса технических систем как с линейной, так и с нелинейной динамикой в условиях неопределенностей.

Адаптивные методы основаны на принципе самонастраиваемости регулятора за счет специальной структуры закона управления. Они позволяют адаптироваться к неизвестным параметрам системы и обеспечить достижение устойчивости замкнутой системы, а в некоторых случаях и заданного качества переходных процессов. Достоинством робастных методов является возможность обеспечения нечувствительности системы (робастности) по отношению к отклонениями характеристик объекта от номинальных значений модели, что может быть связанно с различными неопределенностями.

При моделировании сложных динамических систем нередко применяются упрощенные описания, что обусловлено стремлением учитывать лишь доминирующие динамические процессы, пренебрегая второстепенными процессами, динамика которых является устойчивой и достаточно быстро сходящейся. Однако подобные аппроксимации могут приводить к существенным погрешностям при синтезе системы управления и дальнейшем функционировании системы. Особую сложность представляют нелинейные системы, анализ которых требует применения продвинутого математического аппарата для строгого обоснования устойчивости замкнутой системы. Комбинирование адаптивных и робастных методов в рамках единой системы управления требует строгого доказательства устойчивости, что является необходимым условием для практической реализации подобных решений.

Проблема разработки адаптивных алгоритмов управления для нелинейных динамических систем, функционирующих в условиях параметрических и структурных неопределенностей, является предметом активных исследований в современной теории управления. Значительный вклад в развитие данного направления внесли, такие ученые как Бобцов А.А., Никофоров В.О., Фрадков

А.Л., Андриевский Б.Р., Фуртат И.Б., Пыркин А.А., Герасимов Д.Н., Исидори А., Ортега Р., Халил Х., Серрани А., Маркони Л. и др.

Разрабатываемая в диссертации методика направлена на комплексное решение обозначенных проблем, что открывает перспективы для создания систем управления для современных технических систем и роботов, способных гарантировать достижение целевого условия в условиях неучтенной динамики и внешних воздействий.

Цель диссертационной работы. Диссертационная работа направлена на развитие теории адаптивного управления нелинейными системами в задаче адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях параметрически неопределенных внешних воздействий.

В диссертационной работе ставятся следующие задачи:

1. Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами в условиях внешних воздействий.

2. Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий.

3. Исследование синтезированных алгоритмов в задачах адаптивного управления по выходу системами Эйлера-Лагранжа, представленными надводным судном и манипуляционным роботом, с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий.

Научная новизна работы. В диссертационной работе решена задача адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий. Научная новизна полученного решения заключается в развитии подхода к управлению по выходу на основе настраиваемой внутренней модели и наблюдателя с высоким коэффициентом усиления на более широкий класс систем, отличающихся многоканальной структурой, нелинейной динамикой и наличием неучтенной входной динамики (паразитной динамики), функционирующих в условиях параметрически неопределенных внешних воздействий. Разработанный алгоритм управления

применим в условиях существенного дефицита априорной информации о динамике объекта управления и внешней среды, что вносит вклад в развитие методов адаптивного управления нелинейными системами и расширяет границы их применимости.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории адаптивного управления нелинейными системами в задаче адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий. Предложены решения задач синтеза управления, в которых объект представлен многоканальной нелинейной системой, характеризующейся функциональными, параметрическими, сигнальными и структурными неопределенностями. В работе предложены и обоснованы алгоритмы управления, обеспечивающие полуглобальную устойчивость замкнутых систем в условиях неучтенной входной динамики и параметрически неопределенных внешних воздействий, что расширяет границы применимости данных методов к широкому классу нелинейных систем. Практическая значимость работы обусловлена применимостью синтезированных алгоритмов к техническим системам, описание которых соответствует рассмотренным в диссертации динамическим моделями и удовлетворяет принятым допущениям. Как подробно показано в работе, к таким системам, например, относятся надводные суда и манипуляционные роботы.

Методы исследования. В диссертационном исследовании использовались следующие методы современной теории систем управления: методы дифференциального и интегрального исчисления, метод пространства состояний, дифференциально-геометрические методы теории управления, принцип внутренней модели в задачах компенсации и слежения, наблюдатели с высоким коэффициентом усиления, метод функций Ляпунова, метод сингулярных возмущений. Для прикладного исследования синтезированных алгоритмов в задачах управления техническими системами применялось моделирование в среде БтиИпк на основе MATLAB.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами в условиях внешних воздействий.

2. Алгоритм адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

— 13th Symposium on Advances in Control Education, ACE 2022 (13-ый симпозиум по достижениям образования в области управления), г. Гамбург, Германия, 2022;

— 9th International Conference on Control, Decision and Information Technologies, CoDIT 2023 (9-я международная конференция по управлению, принятию решений и информационным технологиям), г. Рим, Италия, 2023;

— 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies, CoDIT 2024 (10-я международная конференция по управлению, принятию решений и информационным технологиям), Мальта, 2024;

— XIV Всероссийское совещание по проблемам управления, ВСПУ-2024, г. Москва, Россия,

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается:

— математическими доказательствами утверждений, предложенных в работе;

— результатами прикладного исследования синтезированных алгоритмов в задачах управления техническими системами в среде Simulink на основе MATLAB;

— публикациями в рецензируемых изданиях и апробацией результатов исследования на научных конференциях.

Личный вклад. Соискатель лично выполнял все этапы диссертационного исследования, включая формализацию постановок задач, обзор существующих

методов управления в рассматриваемом классе задач, разработку алгоритмов управления, проведения прикладных исследований применения предлагаемых алгоритмов в технических системах с помощью компьютерного моделирования, а также подготовку работ и научных докладов по теме исследования.

Публикации. По теме диссертационного исследования соискателем опубликовано 9 научных работ, среди которых 5 публикаций в изданиях, индексируемых базами данных Web of Science или Scopus [1-5], 3 публикации в изданиях из перечня ВАК [6-8], 1 публикация в иных изданиях [9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из рефератов на русском и английском языках, введения, четырех глав, заключения, списка литературы и оттисков публикаций. Полный объем диссертации составляет 198 страниц, включая 12 рисунков. Список литературы содержит 85 наименования.

Содержание работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивное управление по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий»

Во введении приведена общая характеристика диссертации.

В главе 1 приведена постановка задачи диссертационного исследования на тему адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий, которая в частных постановках рассматривалась в публикациях [1-9], а также выполнен обзор методов управления в условиях неопределенностей.

Рассмотрим многоканальную нелинейную систему

± = f (w,x,v,q), е = h(w,x,g),

где х Е Rn — вектор состояния, е Е Rm — вектор регулируемых переменных, V Е Rm — вектор управления, w Е Rd — вектор внешних воздействий, д Е RPg — вектор неизвестных параметров, f (w,x,u,q) и h(w,x,g) — гладкие нелинейные функции такие, что f (0,0,0,^) =0 и h(0,0,g) = 0 для всех д.

Вектор w является состоянием модели генератора внешних воздействий

w = S (p)w,

(2)

матрица состо-

где р Е — вектор неизвестных параметров, Б(р) Е яния, характеризующаяся параметрической неопределенностью р. Траектории движения системы (2) принадлежат множеству ^ С К. Вектор V является выходом модели неучтенной динамики

р>х о = А0х0 + В0и, V = СоХо,

(3)

где х0 Е КП0 — вектор состояния, и Е — вектор управляющих воздействий, д Е — параметр с малым значением, Л0 Е КП0ХП0, В0 Е Кп°хт, С0 Е КтхП0 — матрицы с неизвестными значениями такие, что А0 гурвицева и С0А—1В0 = —I, где I Е Ктхт — единичная матрица.

Допущение 1. Система (1) может быть преобразована к нормальной форме с векторной относительной степенью {г1,... ,гт} вида

г =

¿л = &+1, г = 1,...,ш, 2 = 1,...,гг — 1, гг ^ 1, = + В1(п),е,д)у1

е = со1(£1д,...,£т)1),

(4)

где г Е Мп- и £ = со1(£ь...,£т) Е К1при £ = со1(^>ь... ДГг) Е , /о^^^^) и — гладкие нелинейные функции такие, что /0(0,0,0,д) =

0 и ^¿(0,0,0,^) = 0 для всех д.

В1(п),е,д)

Допущение 2. Матрица В(и>,е,^) = . такая, что

Вт(п),е,д)

0 < Хтгп1 < В(у],е,д) < Хтах1,

где \т1п > 0 и \тах > 0 — минимальное и максимальное собственные числа матрицы В(п),е,д). Существует невырожденная матрица 13 Е Мтхт такая, что

В(и),е,д)В—1 + (В—1)1 В 1 (п),е,д) ^ I.

1

Допущение 3. Система (4) является минимально-фазовой и существует отображение ^ = ('ш,д) : ^ ^ К"-2 такое, что система, описываемая уравнениями

гЪ = 2 =

П) X

и входным воздействием £ устойчива по входу-состо-

с вектором состояния янию.

Допущение 4. Существуют отображения х = /к(п),д), х0 = /к0(п),д) и и = г^(п),д) такие, что к(0,д) = 0, = 0 и ф(0,д) = 0 для всех д, удо-

влетворяющие выражениям

^Г1 ^ (Р) = / (w,к(w,g),CоЩ(w,g),g), £ (р) = Аощ('ш,о) + Воф^^д), 0 = к(п),'к(п),д),д).

Замечание 1. Обратим внимание, что указанные допущения 1-4 в определенной степени ограничивают класс нелинейных систем общего вида. В частности, допущение 1 требует существование замены переменных, определяющей глобально или локально (в окрестности рабочей точки) обратимый диффеоморфизм. С учетом этого допущения в работе рассматриваются обратимые линеаризуемые по входу многоканальные системы вида (4). Допущение 2 накладывает ограничения на высокочастотную матрицу системы (4) и требует ее строгую положительность, с учетом чего существует ее аппроксимирующая оценка В. Заметим, что в системах Эйлера-Лагранжа высокочастотная матрица связана с матрицей инерции, которая с учетом ограничений исполнительных приводов, имеющих место в практических приложениях, удовлетворяет этому требованию. Допущение 3 означает устойчивость нуль-динамики системы (4) и ограниченность внешних воздействий, производимых генератором (2). Допущение 4 является расширением матричных уравнений Фрэнсиса [10] для линейных систем на нелинейные системы, предложенное в [11], и представляет собой условие существования решения задачи управления по выходу нелинейной системой.

Целью исследований является синтез алгоритма адаптивного управления по выходу, который в условиях внешних воздействий и неучтенной динамики обеспечивает сходимость нормы ошибки регулирования в сколь угодно малую область

lim ||е(^)П < (5)

t ^ж

где 0 < £ < ж — любое сколь угодно малое число.

Заметим, что класс многоканальных нелинейных систем (1) охватывает системы Эйлера-Лагранжа вида

§ = ш(Ф,и),

М ($,q)v + С ($,v,q)v + d($,v,q)v + д($,д) = v + Qdw, (6)

e = $ + Qr w,

где () E Rn — вектор состояния, e E Rm — вектор регулируемых переменных, v E Rm — вектор управления, w E Rd — вектор внешних воздействий, u(rd,v) — гладкая нелинейная функция такая, что w(0,0) = 0, Qd E Rmxd, M($,q) E Rmxm — матрица инерции, С($,v,q) E Rmxm — матрица кориолисо-вых сил, D(&,v,q) E Rmxm — матрица вязкого трения, д(&,д) E Rm — вектор гравитационных сил, Qd E Rmxd и Qr E Rmxd — матрицы выходов генератора внешних воздействий (2) по возмущающему и задающему сигналам. В частности, к системам Эйлера-Лагранжа относятся такие приложения, как надводные суда и манипуляционные роботы, которые рассмотрены в диссертационной работе в качестве примеров применения разработанных алгоритмов управления.

Таким образом, сформулируем следующие задачи диссертационного исследования.

Задача 1. Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами (1), (2), (3) в условиях внешних воздействий, обеспечивающий достижение (5) для р = 0.

Задача 2. Синтез алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами (1), (2), (3) с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий, обеспечивающий достижение (5) для ß > 0.

Задача 3. Исследование синтезированных алгоритмов в задачах адаптивного управления по выходу системами Эйлера-Лагранжа (6), (2), (3), представленными надводным судном и манипуляционным роботом, с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий, обеспечивающий достижение(5) для ц, ^ 0.

В главе 2 приведено решение задачи 1, заключающейся в синтезе алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами в условиях внешних воздействий, и обобщение результатов, опубликованных в [6-8].

Рассмотрим многоканальную нелинейную систему (1), (2), (3) при д = 0, тогда с учетом допущения 1 система (1) может быть преобразована к нормальной форме

..,гг — 1, гг ^ 1,

2 = fо(W,z£,Q),

¿л = г = 1,...,m, з = 1,.

= + В1(п),е,д)и1

е = со1(^1>1,...,^т>1).

Выполним глобальную замену переменных

С = Со1(С1,---,Ст), 0 = со1(йь--- &>п —1); 0 = со1(01 ,...,0т), 01 = ^>п + ,

(7)

(8)

где С, =

Сг>1 • • • С^>Г1 — 1

\Гг~ 1

— вектор-строка, состоящая из коэффициентов гур-

вицевого полинома Хч 1 + с.^г^Х1 2 + • • • + ^¿Х + Сг>1 = 0 После замены переменных система (7) примет вид

( = Н( + N0, 0 = д (п),х,С,0,д) + В (п),е,д)и,

(9)

= diag(H1,... ,Нт) состоит из гурвицевых матриц Н¡, N =

Я1(т,г,С,в,в) + С1(Н1(1 + N161)

где Н

diag(Nl,... ,Ыт) и д(п),х,С,,9,д) =

т)

Временно предположим, что р известно и выберем алгоритм номинального управления на основе «пост-обрабатывающей» внутренней модели

V = Р-Л + (п,р) + в),

и = -кВ-1(1 (г},р)+ в), ( )

где ^ = ... Л), ^с е Мйхй, С = ^(Со,... А), Со е М* 7(^,р) =

со\(^1(щ,р),... ,^т(цт,р)), ^г(т,р) е ц = со\(1]1 ,...^т),щ е ^, ^о —

гурвицева матрица, к > 0 - настраиваемый коэффициент усиления.

Применяя алгоритм управления (10) к системе (9), получим замкнутую систему

( = щ + N9,

ч ч , (11)

ц = ¥ц + С(7 (1],р) + в),

в = д^,г,(,в,д) - кВ^,е,д)В-1(>у(ц,р) + в). Выполняя необходимые преобразования и применяя соответствующие рассуждения, можно показать, что существует к* > 0 такое, что при к > к* система (11) полуглобально асимптотически устойчива.

Рассмотрим функцию 7(ц,д) = Г(р)ц, где Г(р) = ¿[щ(Г0(р),... ,Г0(р)), Г0(р) е + С0Г0(р) = 5(р) и вернемся к случаю, когда р неизвестно.

Выберем алгоритм адаптивного управления по состоянию на основе настраиваемой «пост-обрабатывающей» внутренней модели

ч = Р^ + в(Г ц + в),

и = -кВ ~1('Г^ + в), ( )

где Г — оценка матрицы Г(р) вида Г = ¿1а§(Г0,... ,Г0), Г0 е К1хВведем сигнал невязки Г = Г-Г(р), где Г = diag(Г0,... ,Г), Г0 е тогда замкнутая система с алгоритмом адаптивного управления (12) примет вид

х = fо(w,z,C,в,g),

( = щ + N9,

4 4 „ (13)

Ц = Рц + С(Г(р)-ц + в) + СГ ц,

в = д^,г,(,в,д) - кВ^,е,д)В-1(Г(р)^ + в) - кВ^,е,д)В-1Гц.

Выполним замену переменных х = 1 + 1 В 1(е,д)0 и 5 = ^ — (ъи,д), X = X — сг(ии,д) и получим систему

5 = /о(ии,5 + (ии,д),(,6,д) — /о(ы,пг (ги,д),0,0,д), ( = Н( + N0,

* = Рх — \{РСВ В—1(е,д)в — СВ В —\е,д)д('ш,5 + тгг К^СМ

—СВ| (В—1(е,д)) в + СВф(*и,д)) , (14)

в = д (и),5 + (ии,д),(,6,д)

—кВ(у),е,д)В—1 (Г(р) (х + — ¡СВВ—1(е,д)в) + в)

—кВ (ш,е, д)В—1Гг].

Заметим, что подсистема, описываемая первыми двумя уравнениями, в силу минимальной фазовости системы с учетом допущения 3 устойчива по входу-состоянию, а следовательно существуют положительно определенные функции У1(5,С), а1 (5,С) ^ А\\(5,С)\\2, где 01 > 0, такие, что |У1(5,С) < — «1(5,С).

Подсистема, описываемая первыми тремя уравнениями, в силу гурвицево-сти матрицы Г устойчива по входу-состоянию, а следовательно существуют положительно определенные функции У2(5,(),х) = У1(5,С,) + ХТРх, а2(5,(,х) ^ @2\\(5,(, ,Х)\\2, где Р = Рт > 0 удовлетворяет неравенству Ляпунова РЕТР <

0, 02 > 0, такие, что ^У2(5,(,)С) < —«2 (5Х,х).

Как было показано, система (14) при Г = 0 и достаточно высоком значении к > к* > 0 является полуглобально асимптотически устойчивой, а следовательно существуют положительно определенные функции У3(5,(,х,0) = У2(5,(,х) + ±вт0, а3(5,(,х,в) ^ Рз\Ш,х,0)\\2, где & > 0, такие, что ^У3(5,(,х,0) ^ —aз(5,(,X,

Вернемся к случаю, когда Г = 0 и рассмотрим кандидат-функцию Ляпунова У4(5,£,х,Г0) = У3(5,(,х,0) + ^Г0Г([, дифференцируя которую по траекториям системы (14), получим

)

-У4(5,(,х,Го) < —аз(5,(,х,0) — квтВ(у},е,д)В—1Гт? + ЩГ0т. (15)

Заметим, что ОтГг] = Го

1

Г]г

учетом чего выберем алгоритм адаптации Г т(г],0) как

о = Г0^2?=1 ЦгОг, а также Г° = Гс

' Т/

Г 0(г} $) =

1

Г]г

0 = ^2

¡=1

тогда неравенство (15) примет вид

-У4(г,(,х,Го) ^ -а3(~г,С,х,0) - квт(В(у},е,д)В-1 - 1)^,

где выберем матрицу В такую, что \\(В^,6^) - В)В-1^1 ^ |, 5 < 1, тогда

и

-У4(~г,(,х,Го) ^ -аз(г,Ш) + Ч^Гг]\\,

где с учетом аз(г,(,х,0) ^ Рз\\(г,(,х,Щ2 выберем Дз такой, что ^У~4(г,(,х,Го) < -а3(г,(,Х(,в), откуда следует полуглобальная асимптотическая устойчивость системы (14).

Полученный алгоритм адаптивного управления по состоянию имеет вид

т] = ^ + С(Гг] + в), Г = ^(Го,...,Го),

Гт =

Г о =

1

Г)г.

,

(16)

и = -кВ-1(Гг] + в),

на вход которого поступает сигнал , являющийся, в соответствии с заменой переменных (8), частичным состоянием системы. Если этот сигнал не измеряется, то применение такого алгоритма управления на практике может быть затруднено. В таком случае, однако, сигнал может быть заменен на оценку в, полученную с помощью наблюдателя с высоким коэффициентом усиления, на вход которого подается регулируемый сигнал . В таком случае алгоритм управления (16) примет вид

т] = ^ + С(Гг] + в), Г = ^(Го,...,Го),

Гт =

Го =

1

Г)г.

О,

(17)

и = -кВ-1(Гг1 + в).

Вернемся к представлению системы в нормальной форме с использованием переменных (7), тогда из (8) выразим компоненты сигнала в = ео1(в1,...,вт) относительно переменных ^ как вг = г. + сгд+----+ сг,г._1.

Для получения оценки 9 = со1(^1,...,9т) сигнала 9 = со1(в1,...,9т) построим наблюдатель с высоким коэффициентом усиления

Aobs,i £ + Bobs,i&1

&i = sat L(Cobs,iÇi),

(18)

где ^ — оценка вектора ва^(•) — функция насыщения с уровнем Ь, матрицы А0Ъв>г, ВоЬз>г, СоЬз>г имеют вид

A-obs.i

Kari Im Im 0 К, (Ir-j — 1 l'm 0 l'm

0 0

К

ri-1

a2Im 0 0

—Kria1Im 0 0

m 0

Bobs,i

Kan Im

К arj — 11'm

кп 1a 2ln кГ1((1 Im

CobsÂ

C-i.1 Im 1 m • • • Cir, — 1 Im. I ,

i-Ti — 11 m -1 m

где к > 0 — высокий коэффициент усиления, 1т Е К

mm

единичная матрица,

\.Гг~ 1

a1, • • • ,ar. и Ci-1} • • • ,Ci-r.—1 — коэффициенты гурвицевых полиномов \п+ar.Xri 1 +

• • • + а2Х + а,1 = 0 и \п—1 + агГ.—1\п—2 +----+ сг>2\ + сг>1 = 0.

Введем невязку оценивания 9 = со1((91,...,9т) = 9 — 9, с помощью которой заметим, что замена сигнала 9 на оценку 9 в алгоритме (16) влияет на выражения, описывающие регулятор, в то время как модель замкнутой системы (14) вместе с моделью внешних воздействий и динамикой алгоритма адаптации принимает вид

х = Т(х, е) + д (х, е)в,

(19)

где X = со1(и>,5,С,,'Х,9,Т() и Т(X,д), (X,д) — соответствующие функции.

Сформулируем доказанное в диссертационной работе следующее утверждение.

Утверждение 1. Рассмотрим систему (1), (2). Пусть V = —СоА'01Вои = и. Пусть допущения 1-4 выполняются. Применим алгоритм управления по выходу (17) с использованием наблюдателя (18). Пусть начальные условия

замкнутой системы (19) и наблюдателя (18) принадлежат некоторым ограниченным множествам X (0) Е X, £(0) Е тогда существуют к** > к* и е > 0 такие, что для всех к > к** выполняется Нш^\\е^)\\ ^ е.

В главе 3 приведено решение задачи 2, заключающейся в синтезе алгоритма адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий, и обобщение результатов, опубликованных в [6-8].

Рассмотрим многоканальную нелинейную систему (1), (2), (3) при р > 0, тогда с учетом допущения 1 система (1) может быть преобразована к нормальной форме

х = fо(w,z£, д),

¿Л = i = 1,...,m, j = 1,...,гг - 1 гг ^ 1

е = ео1(<^1,1, . . . ,Ст,1).

(20)

Выполним глобальную замену переменных аналогично (8) и получим систему

х = fо(w,z,C,в, g),

( = щ + N9, (21)

в = (¡(и), г,(,0, д) + В (и,е, д)у, где Н = 6.[^(Н1,... ,Нт) состоит из гурвицевых матриц Нг, N =

" Я1(и,г,С,в,д) + С1(Н1(1 + N^1) ¿[^(N1,...,^) и д(и,г,(,в,д) = .

Ят(и X $, О) + Ст(НтСт + т)

Выберем алгоритм адаптивного управления по состоянию на основе настраиваемой «пост-обрабатывающей» внутренней модели

ц = Рц + С(Гг] + в), и = -кВ-1(Гг) + в)

с алгоритмом адаптации для Г = diag(Г0,... ,Г0)

(22)

Г т =

Го =

1 . . . т

,

(23)

применяя который к системе (21), объединенной с неучтенной динамикой (3)

цх 0 = Аохо + Вои, V = Сохо,

получим замкнутую систему

х = fо(w,z,C,в, g), ( = Н( + N0,

ц = Рц + С(Гт] + в),

в = д^, г,(,0, д) + В (w,e, д)СоХо, цх0 = Аохо — кВ0В—1(Гг] + в),

которая с учетом невязки Г = Г — Г(р) принимает вид

х = fо(w,z,C,в, g), ( = Н( + N0,

Ц = Рц + С(Г(р)г] + в) + СГг1,

в = д^, г,(,0, д) + В д)СоХо, цх о = Аохо — кВоВ—1(Г(р)г] + 0) — кВоВ—1Гг].

Выполним замену переменных = хо- кА^ВоВ—1(Г(р)г1+в+Гг]) и получим систему

х = fo(w,z,C,в, g), ( = Н( + N0,

Ц = Рц + С(Г(р)г] + в) + СГг1,

0 = д^,г,(,в,д) — кВ д)В—1(Г(р)г] + 0) — кВ (w,е,д)В—1Гг] +В (и),е,д)Соу, цу = А0у — цкАъ 1В0В—1 | (Г(р)г1 + в + Гг1),

где заметим, что система, описываемая первыми четырьмя уравнениями, устойчива по входу-состоянию, поскольку при = 0 совпадает с системой (13), для которой показана полуглобальная асимптотическая устойчивость при достаточно высоком .

Выполним замену переменных 5 = ^ — (и),д), X = 1 + —1 (е,д)0 —

а^, д), у = у — щ д) и получим систему, объединяя которую с моделью

внешних воздействий и динамикой алгоритма адаптации, запишем в компактном виде

X = Т (X, д) + 01(Х,в)у, у = р-1Ао у + Q2(X, ^ Q),

где X = ео1(и,и Т(X,д), Я1 (X,у), Я2(Х,д) — соответствующие функции.

Определим множество А = {X Е № х х 1+-+^-т х х Кт х ^ : (х,С,,х,0Г) = 0}. Пусть начальные условия (X(0),у(0)) принадлежат компактному множеству X х У, где X включает А и У = {у Е Кт : \\у\\ ^ V}. Как показано выше, система X = Т(X,д) является полуглобально асимптотически устойчивой при достаточно высоком значении к, а следовательно инвариантное множество А устойчиво по Ляпунову и предельное множество равно А. Следовательно, для каждого е0 > 0 и е > 0 существует Т > 0 такое, что из ¿[б!^(0),Л) ^ е0 следует ¿[б!^(Ь),А) < е для всех I ^ Т. Обратим внимание, что Q2(X,0,д) = 0 для всех X Е А и Ао является гурвицевой матрицей. Таким образом, можно показать, что существует значение р* такое, что при 0 < р ^ р* все траектории системы (24) ограничены и Ишг¿[б!^(Ь),А) = 0, откуда следует 1Ш\\е(Ъ)\\ = 0.

Полученный алгоритм адаптивного управления по состоянию требует измерения сигнала в, что на практике не всегда возможно. В таком случае выполним синтез алгоритма адаптивного управления по выходу

г! = Рг] + С(Тт] + 0), Г = diag(fо,...,fо),

в, (25)

Т^т =

Го =

1 . . . т

1

и = -кВ (Гг/ + в),

где оценку в получим с учетом вг = п + Сгд +----+ Яп-1 п-1 с помощью

наблюдателя с высоким коэффициентом усиления

£г АоЬя,гХг + В0ь3,г с, (26)

в г = Ба1ь(Соъ з,г€г).

Повторим вычисления, аналогичные сделанным ранее, и с использованием невязки оценивания в = ео1(^1,...,9т) = в - в запишем модель замкнутой

системы (24) с неучтенной динамикой

Х = т (.X, д) + д (х, д)ё + б1(х, д)у, ъ = ц-% у + Я2(х, у,0) + &(х, 0,0),

где X = co\(w,и,Х,6,Г^) и Т(Х,д), д(Х,д), д^Х,д), &(Х,у,д), ЩХ,в,д) — соответствующие функции.

Сформулируем доказанное в диссертационной работе следующее утверждение.

Утверждение 2. Рассмотрим систему (1)-(3). Пусть допущения 1-4 выполняются. Применим алгоритм управления по выходу (25) с использованием наблюдателя (26). Пусть начальные условия замкнутой системы (27) и наблюдателя (26) принадлежат некоторым ограниченным множествам Х(0) е X, 1(0) е Е, у(0) е У, тогда существуют ц* > 0, к** > к* и £ > 0 такие, что для всех 0 < ц ^ ц* и к > к** выполняется ||е(1)\\ ^ е.

В главе 4 приведено решение задачи 3, заключающейся в исследовании синтезированных алгоритмов в задачах адаптивного управления по выходу системами Эйлера-Лагранжа, представленными надводным судном и манипу-ляционным роботом, с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий, и обобщение результатов, опубликованных в [1-5; 7-9].

Рассмотрим многоканальную нелинейную модель надводного судна

$ = Я(ф) и,

М (д)и + С (и,0)и + И( и,в)и = V + ((<№, (28)

е = $ + (гп),

где $ =

Х V Ф

т

Е К3 — вектор координат в базовой системе координат,

состоящий из линейных координат Х,У е К и курсового угла Ф е § := [0,2ж), т

=

Ух Уу О

е К3 — вектор скоростей, состоящий из линейных скоростей

в продольном и поперечном направлениях Ух ,Уу е К и угловой скорости по

т

е К3 — вектор регулируемых переменных,

курсу О е К, е =

т

=

Рх Ру Мф

ех е¥ еФ

е К3 — вектор управляющих воздействий, состоящий из

сил тяги в продольном и поперечном направлениях Рх ,Ру е К и момента силы

по курсу Мф Е К, динамика которых рассматривается как неучтенная (паразитная) и описывается моделью вида (3)

рх 0 = Аохо + Вои, V = Сохо,

(29)

и Е — вектор внешних воздействий, обусловленных задающим сигналом и влиянием внешних факторов, включая волны, ветер и течение, и описываемых моделью вида (2)

ии = 5 (р)и,

(30)

Я(Ф) Е К3х3 — матрица поворота на курсовой угол Ф вида

Я(Ф) =

еоБ Ф - вт Ф 0 вт Ф еов Ф 0 0 0 1

М(д) Е К3х3

матрица инерции вида

М( ) =

611 0 0

0 д22 923 0 д32 933

С(и,д) Е К3х3

матрица кориолисовых сил вида

С( , ) =

0 0

0 -д23^ - 922Уу

0

д32^ + д22Уу -дцУх

дцУх 0

И(и,д) Е К3х3

матрица вязкого трения вида

И( и,д) =

Оно+9т\Ух 1+9шУХ 0 0

0 д220 + 9221\Уу 1+б222Уу 9230 + 9231^1+9232^

0 д320 + 93211 Уу |+ 9322Уу 9330 + £331^| + 9332^

где *** — физические параметры маневрирования, характеризующие вязкое трение с точностью до членов второго порядка по модулю, Qd Е Е

— матрицы выходов генератора внешних воздействий (30) соответственно

Г 1 т

по возмущениям Qdw = т(п)) = тх) ту(п)) тфе К3 и задающему

г 1 т

сигналу = -$*(к)) = - Х*У*^) Ф*^) е К3.

Выполним компьютерное моделирование задачи динамического позиционирования надводного судна с нелинейной динамикой в условиях внешних воздействий. Управление надводным судном осуществляется с помощью исполнительных устройств, представленных пропульсивными установками, подруливающими устройствами и рулевыми механизмами, совокупная динамика которых принимается неучтенной.

Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу надводным судном приведены на рисунке 1 без неучтенной динамики и на рисунке 2 с неучтенной динамикой. На рисунках представлены графики изменения координат надводного судна, ошибок регулирования, внешних воздействий, управляющих воздействий, оценок и ошибок оценивания. В обоих случаях траектории системы ограничены и переходные процессы устойчивы. Результаты показывают, что наличие неучтенной динамики в системе повышает ее инертность, что влечет к увеличению времени переходного процесса, что особенно заметно по графику ошибок оценивания. В целом результаты моделирования иллюстрируют работоспособность полученного решения в обоих задачах.

Рассмотрим многоканальную нелинейную модель двухзвенного манипуляци-онного робота

М ($, е)ё + с е)& + д(&,в) = V+ ((<№,

е = $ + (г -ц),

(31)

где $ =

$1 $2

т

е К2 — вектор обобщенных координат, $ =

т

$1 $2

Т

е К2

вектор обобщенных скоростей, $ =

т

ных ускорений, е = е1 е2 е К2 т

$1 $2

е К2 — вектор обобщен-

вектор регулируемых переменных,

V = 1)1 у2 е К2 — вектор управляющих воздействий, w е — вектор внешних воздействий, обусловленных задающим сигналом и влиянием внешних факторов, включая вибрацию и внешние силы, приложенные к звеньям

5 4

3

Ч> 2 -

:

—X, м - -У, м Ф, ра4

О

10 20 I, с

1

0

и -1 -2 г

— -3

30 0

-ех, м еу, м еф, рад

10 20 1С

30

4

2

ь- 0

-2 -4

0

10 20 I, с

30

а) Координаты надводного б) Ошибки регулирования в) Внешние воздействия судна

40 20 з 0 -20 -40

—и^ Н и2. Н и3, Н*м

С. С "?-VI •' ^ <

0

10 20 I С

30

Ечо г.

о

10 20 I С

д) Оценки

30

-10 -20

10 20 1С

30

е) Ошибки оценивания

г) Управляющие воздействия

Рисунок 1 — Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу надводным судном без неучтенной динамики

5 4 3 2 1 0 -1

—X, м—У, м Ф, ра^

0

10 20 I, с

30

1

0

и -1 -2 г

-3

-ех, М еу, м еф, рад

0

10 20

I С

30

4

2 0 -2 -4

тх, м гу, м тф, рад

0

10 20 I, с

30

а) Координаты надводного б) Ошибки регулирования в) Возмущающие внешние

судна

воздействия

40 20 з 0 -20 -40

—и^ Н и2, Н и3, Н*м

0

10 20 I, С

30

25 20 15

5 0 -5

Ьо Г»

|Рч 0

10 20 I С

д) Оценка

30

-10 -20

10 20 1С

30

е) Ошибки оценивания

г) Управляющие воздействия

Рисунок 2 — Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу надводным судном с неучтенной динамикой

0

0

0

0

робота, Мд) Е К2х2 — матрица инерции вида

М ($,д) =

дг + 2д2 СОБ $2 Оз + 02 СОБ $2 дз + д2 соб $2 д4

СЕ К — матрица кориолисовых сил вида

С д) =

-д2$2 ЙШ $2 -92($\ + $2) ЙШ $2 д2$1 БШ $2

0

д('&,0) Е К2 — вектор гравитационных сил вида

дъ сое $г + д6 СОБ('&1 + $2) д7 соб('&1 + $2)

где д = {дг,... ,д7} — агрегированные физические параметры, Qd Е К2х^, Qr Е

— матрицы выходов генератора внешних воздействий (2) соответственно

Г 1т

по возмущениям QdW = т(т) = тг^) т2(,ш) Е К2 и задающему сигналу

г 1 т

QrW = -$*(>ш) = - Е К2.

Выполним компьютерное моделирование задачи траекторного управления манипуляционным роботом с нелинейной динамикой в условиях внешних воздействий. Управление манипуляционным роботом осуществляется с помощью исполнительных устройств, представленных электромеханическими приводами, динамика которых принимается неучтенной.

Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу манипуляционным роботом приведены на рисунке 3 без неучтенной динамики и на рисунке 4 с неучтенной динамикой. На рисунках представлены графики изменения обобщенных координат манипулятора, ошибок регулирования, внешних воздействий, управляющих воздействий, оценок и ошибок оценивания. В обоих случаях траектории системы ограничены и переходные процессы устойчивы. Результаты показывают, что наличие неучтенной динамики в системе повышает ее инертность, что влечет к увеличению времени переходного процесса, что особенно заметно по графику ошибок оценивания. В целом результаты моделирования иллюстрируют работоспособность полученного решения в обоих задачах.

3 2

Ъ 1 0 -1

рад 02, pa

-1

0

5 10 15 t, С

20

-2

—Cj, рад e2, рад

0 5 10 15 20 t, С

1

0.5

ь- 0

-0.5 -1

Ty Н*м т2, H*

0 5 10 15 20 t, С

а) Обобщенные б) Ошибки регулирования в) Внешние воздействия

координаты манипулятора

20 10 з 0 -10 -20

—иг Н*м u2, H*

ho

0 5

10 t, С

15 20

_

ho >t4

0 5

10 t, С

15 20

0 5

10 15 t, с

20

д) Оценка

е) Ошибки оценивания

г) Управляющие воздействия

Рисунок 3 — Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу манипуляционным роботом без неучтенной динамики

3 2 <& 1 0 -1

рад i?2, ра

-1

0

10 t, с

15 20

-2

—е,,рад е2, ра,

0 5

10 t, С

15 20

1

0.5 ^ 0 -0.5 -1

ту Н*М т2, Н*М

05

10 t, с

15 20

а) Обобщенные б) Ошибки регулирования в) Внешние воздействия

координаты манипулятора

20 10

:

0 -10 -20

—иг Н*м u2, н*м

0 5

10 t, С

4? 4

ho •t-l

15 20

0 5

10 t

15 20

0 5

10 t, с

15 20

д) Оценка

е) Ошибки оценивания

г) Управляющие воздействия

Рисунок 4 — Результаты моделирования системы адаптивного управления по выходу манипуляционным роботом с неучтенной динамикой

1

0

1

0

5

В заключении подведены итоги проведенных исследований. Диссертационная работа направлена на развитие теории адаптивного управления нелинейными системами в задаче адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях параметрически неопределенных внешних воздействий. В диссертационной работе решены три задачи, две их которых теоретические и заключаются в синтезе алгоритмов адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами 1) в условиях внешних воздействий и 2) в условиях неучтенной динамики и внешних воздействий. Третья задача заключается в проведении исследования синтезированных алгоритмов в задаче адаптивного управления по выходу системами Эйлера-Лагранжа, представленными надводным судном и манипуляционным роботом, с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий.

В результате проведенных исследований вынесены на защиту следующие положения:

1. Алгоритм адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами в условиях внешних воздействий.

2. Алгоритм адаптивного управления по выходу многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий.

В диссертационной работе предложены решения, развивающие предыдущие работы по дифференциально-геометрическим методам управления по выходу в условиях возмущений и в условиях неучтенной динамики. Основная новизна полученных в диссертационной работе решений заключается в обобщении известных подходов, предложенных для одноканальных и для линейных систем, и их развитии на более широкий класс многоканальных нелинейных систем, что расширяет применимость таких подходов на практике. В рамках решениях первых двух задач в диссертационной работе предложены утверждения 1 и 2 об обеспечении ограниченности траекторий замкнутых систем и сходимости ошибок регулирования в сколь угодно малую область. Практическая ценность полученных результатов показана в третьей задаче на примерах

применения алгоритмов в адаптивном управлении по выходу системами Эйлера-Лагранжа, представленными надводным судном и манипуляционным роботом, с неучтенной динамикой в условиях внешних воздействий. Полученные результаты показали работоспособность и эффективность предложенных алгоритмов управления в рассмотренных технических системах и подтвердили практическую значимость результатов, полученных в диссертационной работе.

Публикации по теме работы

В изданиях, индексируемых базами данных Web of Science или Scopus:

1. Zhivitskii Andrei, Borisov Oleg, Pyrkin Anton. Output Robust Control of a PMSM with Disturbance Cancellation and Anti-Windup Correction // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 2199-2203.

2. Yaw Control of A Surface Vessel / Andrei Yu. Zhivitskii, Alexandr D. Panin, Dmitrii N. Zakharov et al. // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 1453-1458.

3. Experimental Study of Trajectory Control Algorithms Under Incomplete Information on Parameters and State Variables of a Nonlinear Model of Mobile Robot Motion / Andrei Yu. Zhivitskii, Dmitrii N. Zakharov, Denis M. Kurovskii et al. // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 1584-1588.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Живицкий Андрей Юрьевич, 2025 год

Список литературы

1. Zhivitskii Andrei, Borisov Oleg, Pyrkin Anton. Output Robust Control of a PMSM with Disturbance Cancellation and Anti-Windup Correction // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 2199-2203.

2. Yaw Control of A Surface Vessel / Andrei Zhivitskii, Alexandr Panin, Dmitrii Za-kharov et al. // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 1453-1458.

3. Experimental Study of Trajectory Control Algorithms Under Incomplete Information on Parameters and State Variables of a Nonlinear Model of Mobile Robot Motion / Andrei Yu. Zhivitskii, Dmitrii N. Zakharov, Denis M. Kurovskii et al. // 2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2024. — Pp. 1584-1588.

4. Experimental Study on Output Robust Control of a Surface Vessel with Uncertainties and Exogenous Disturbances / Andrei Yu. Zhivitskii, Dmitrii N. Zakharov, Oleg I. Borisov et al. // 2023 9th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT). — 2023. — Pp. 1683-1687.

5. Surface Vessels Control: Case Study of a Complex Project with Related Courses / Andrei Yu. Zhivitskii, Vladimir A. Sivtsov, Alexander F. Ramos et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2022. — Vol. 55, no. 17. — Pp. 132-137. — 13th IFAC Symposium on Advances in Control Education ACE 2022.

6. Живицкий А. Ю., Борисов О. И. Адаптивное управление многоканальными нелинейными системами с неучтенной динамикой в условиях возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. — 2025. — Т. 68, № 4. — С. 303-309.

7. Робастное траекторное управление квадрокоптером по выходу на основе геометрического подхода / А. Ю. Живицкий, О. И. Борисов, М. А. Каканов,

А. А. Пыркин // Изв. вузов. Приборостроение. — 2021. — Т. 64, № 12. — С. 982-992.

8. Робастное управление надводным судном с адаптивной компенсацией параметрически неопределенных синусоидальных возмущений / А.Ю. Жи-вицкий, Ф.Б. Громова, О.И. Борисов, А.А. Пыркин // Изв. вузов. Приборостроение. — 2021. — Т. 64, № 12. — С. 993-1002.

9. Живицкий А.Ю., Борисов О.И. Робастное управление манипуляционным роботом по выходу с оценкой матрицы инерции // XIV Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2024 (Москва, 17-20 июня 2024 г.): труды [Электронный ресурс]. — 2024. — С. 440-444.

10. Francis Bruce A. The Linear Multivariable Regulator Problem // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1977. — Vol. 15, no. 3. — Pp. 486-505.

11. Isidori A., Byrnes C.I. Output regulation of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1990. — Vol. 35, no. 2. — Pp. 131-140.

12. Fossen Thor I. Models for Ships, Offshore Structures and Underwater Vehicles // Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control. — John Wiley & Sons, Ltd, 2011. — Pp. 133-186.

13. Gunckel T. L. II, Franklin Gene F. A General Solution for Linear, Sampled-Data Control // Journal of Basic Engineering. — 1963. — 06. — Vol. 85, no. 2. — Pp. 197-201.

14. Ortega Romeo, Spong Mark W. Adaptive motion control of rigid robots: A tutorial // Automatica. — 1989. — Vol. 25, no. 6. — Pp. 877-888.

15. Hill D., Moylan P. Connections between finite-gain and asymptotic stability // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1980. — Vol. 25, no. 5. — Pp. 931-936.

16. Davison E. The output control of linear time-invariant multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1972. — Vol. 17, no. 5. — Pp. 621-630.

17. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автомат. и телемех. — 1939. — Vol. 1. — Pp. 49-66.

18. Михайлов Л. Н. Некоторые замечания относительно теории полной компенсации возмущений // Автомат. и телемех. — 1940. — Vol. 5. — Pp. 145-154.

19. Кулебакин В. С. Общие основы автоматического регулирования // Автомат. и телемех. — 1940. — Vol. 4. — Pp. 3-21.

20. Лузин Н. Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автомат. и телемех. — 1940. — Pp. 3-66.

21. Красовский Н. Н. О стабилизации динамических систем дополнительными силами // Дифференц. уравнения. — 1965. — Vol. 1. — Pp. 5-16.

22. Francis B., Sebakhy O.A., Wonham W.M. Synthesis of multivariable regulators: The internal model principle // Applied Mathematics and Optimization. — 1974. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 64-86.

23. Davison E. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1976. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 25-34.

24. Davison E. A generalization of the output control of linear multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1975. — Vol. 20, no. 6. — Pp. 788-792.

25. Francis Bruce A. The linear multivariable regulator problem // 1976 IEEE Conference on Decision and Control including the 15th Symposium on Adaptive Processes. — 1976. — Pp. 873-878.

26. Hautus M.L.J. Linear matrix equations with applications to the regulator problem // Outils et modeles mathematiques pour l'automatique: l'analyse de systemes et le traitement du signal / edited byI.D. Landau, xx et al. — Editions du Centre National de la Recherche Scientifique, 1982. — Pp. 19-28.

27. Byrnes C.I., Isidori A. Output regulation for nonlinear systems: an overview // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control (Cat. No.98CH36171). — Vol. 3. — 1998. — Pp. 3069-3074 vol.3.

28. Benedetto M.D.D. Synthesis of an internal model for non-linear output regulation // International Journal of Control. — 1987. — Vol. 45, no. 3. — Pp. 1023-1034.

29. Huang Jie, Rugh Wilson J. On a nonlinear multivariable servomechanism problem // Automatica. — 1990. — Vol. 26, no. 6. — Pp. 963-972.

30. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб: Наука, 2003.

31. Nikiforov Vladimir, Gerasimov Dmitry. Adaptive Regulation: Reference Tracking and Disturbance Rejection. — Cham: Springer International Publishing, 2022.

32. Gerasimov D. N., Paramonov A. V., Nikiforov V. O. Algorithms of adaptive disturbance compensation in linear systems with arbitrary input delay // International Journal of Control. — 2020. — Vol. 93, no. 7. — Pp. 1596-1604.

33. Nikiforov V. O., Paramonov A. V., Gerasimov D. N. Adaptive Compensation of Unmatched Disturbances in Unstable MIMO LTI Plants with Distinct Input Delays // IFAC-PapersOnLine. — 2023. — Vol. 56, no. 2. — Pp. 9179-9184. — 22nd IFAC World Congress.

34. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semi-global nonlinear output regulation with adaptive internal model // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2001. — Vol. 46, no. 8. — Pp. 1178-1194.

35. Nonlinear Output Regulation by Post-processing Internal Model for Multi-Input Multi-Output Systems / Daniele Astolfi, Alberto Isidori, Lorenzo Marconi, Laurent Praly // IFAC Proceedings Volumes. — 2013. — Vol. 46, no. 23. — Pp. 295-300.

36. Isidori Alberto. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems. — Cham: Springer International Publishing, 2017.

37. Robust regulation in the presence of norm-bounded uncertainty / J. Abedor, K. Nagpal, P.P. Khargonekar, K. Poolla // Proceedings of 1994 American Control Conference - ACC '94. — Vol. 1. — 1994. — Pp. 773-777 vol.1.

38. Stoorvogel Anton A., Saberi Ali, Sannuti Peddapullaiah. Performance with regulation constraints // Automatica. — 2000. — Vol. 36, no. 10. — Pp. 1443-1456.

39. Koroglu Hakan, Scherer Carsten W. An LMI approach to Hж synthesis subject to almost asymptotic regulation constraints // Systems & Control Letters. — 2008. — Vol. 57, no. 4. — Pp. 300-308.

40. Ljung L. System Identification: Theory for the User. — Pearson Education, 1998.

41. Бобцов А. А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автомат. и телемех. — 2002. — № 11. — С. 108-117.

42. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing / S. Ara-novskiy, A. Bobtsov, R. Ortega, A. Pyrkin // Proceedings of the American Control Conference. — 2016. — Vol. 2016-July. — Pp. 6971-6976.

43. A new time-domain method for frequency measurement of sinusoidal signals in critical noise conditions / Leopoldo Angrisani, Massimo D'Apuzzo, Domenican-tonio Grillo et al. // Measurement. — 2014. — Vol. 49. — Pp. 368-381.

44. Benveniste Albert, Metivier Michel, Priouret Pierre. Adaptive Algorithms and Stochastic Approximations. Stochastic Modelling and Applied Probability. — 1

edition. — Springer Berlin, Heidelberg, 1990. — Pp. XI, 365. — Original French edition published by Masson, Paris, France, 1987.

45. Adaptive Internal Model Control Based on Parameter Adaptation / Peng Chen, Yunfeng Zhang, Jianhong Wang et al. // Electronics. — 2022. — Vol. 11, no. 23.

46. Jaramillo Jesse, Yucelen Tansel. Gradient Descent-Based Adaptive Control for Time-Varying Command Following // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2025. — Pp. 1-8.

47. Zouari F. Ben Saad K, Benrejeb M. Adaptive Internal Model Control of a DC Motor Drive System Using Dynamic Neural Network // Journal of Software Engineering and Applications. — 2012. — Vol. 5. — Pp. 168-189.

48. Kim Hyuntae, Park Gyunghoon, Shim Hyungbo. Robust disturbance rejection for uncertain linear system with time-varying exo-system: A disturbance observer approach // Automatica. — 2025. — Vol. 174. — P. 112100.

49. Ji Feifan, Li Yanjun, Xiang Ji. Synchronized output regulation of leader-following heterogeneous networked systems via repetitive controllers // ISA Transactions. — 2017. — Vol. 71. — Pp. 138-147.

50. Paunonen L., Pohjolainen S. Internal Model Theory for Distributed Parameter Systems // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2010. — Vol. 48, no. 7. — Pp. 4753-4775.

51. Marino R., Tomei P. Output regulation for linear systems via adaptive internal model // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2003. — Vol. 48, no. 12. — Pp. 2199-2202.

52. and GANG FENG. Robust adaptive control with internal model principle // International Journal of Systems Science. — 1994. — Vol. 25, no. 8. — Pp. 1323-1336.

53. Datta Aniruddha, Ochoa James. Adaptive internal model control: Design and stability analysis // Automatica. — 1996. — Vol. 32, no. 2. — Pp. 261-266.

54. Бобцов А. А., Никифоров В. О., Пыркин А. А. Адаптивное управление возмущенными системами. Учебное пособие. — СПб: Университет ИТМО, 2015. — 126 с.

55. Парамонов Алексей Владимирович. Алгоритмы прямой адаптивной компенсации детерминированных возмущений в системах с запаздыванием : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.01. — СПб., 2018. — 153 с.

56. Шаветов Сергей Васильевич. Адаптивные алгоритмы управления сложными мехатронными комплексами : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.01. — СПб., 2014. — 130 с.

57. Громова Фатимат. Управление по выходу параметрически неопределенным линейным объектом с неучтенной динамикой и возмущающими воздействиями: Ph.D. thesis / УНИВЕРСИТЕТ ИТМО. — Санкт-Петербург, 2022. — 12.

58. Pyrkin A., Isidori A. Adaptive output regulation of right-invertible MIMO LTI systems, with application to vessel motion control // European Journal of Control. — 2019. — Vol. 46. — Pp. 63-79.

59. Халил Х. К. Нелинейные системы. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 832 с.

60. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной динамикой // Автомат. и телемех. — 2009. — № 6. — С. 115-122.

61. Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автомат. и телемех. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

62. Taylor D.G., Kanellakopoulos I. Adaptive Regulation of Nonlinear Systems with Unmodeled Dynamics // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1989. — Vol. 34, no. 4. — Pp. 405-412.

63. Jiang Z.-P., Hill D.J. A robust adaptive backstepping scheme for nonlinear systems with unmodeled dynamics // IEEE Transactions on Automatic Control.

— 1999. — Vol. 44, no. 9. — Pp. 1705-1711.

64. Do M.H., Njiri J.G., Soffker D. Structural load mitigation control for nonlinear wind turbines with unmodeled dynamics // Proceedings of the American Control Conference. — 2018. — Vol. 2018-June. — Pp. 3466-3471.

65. Zou W, Xiang Z., Ahn C.K. Mean Square Leader-Following Consensus of Second-Order Nonlinear Multiagent Systems with Noises and Unmodeled Dynamics // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems. — 2019. — Vol. 49, no. 12. — Pp. 2478-2486.

66. Control of a solid oxide fuel cell stack based on unmodeled dynamic compensations / X. Wu, J. Wang, J. Hao, X. Li // International Journal of Hydrogen Energy. — 2018. — Vol. 43, no. 49. — Pp. 22500-22510.

67. Adaptive neural control of MIMO uncertain nonlinear systems with unmodeled dynamics and output constraint / T. Zhang, H. Liu, M. Xia, Y. Yi // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2018. — Vol. 32, no. 12. — Pp. 1731-1747.

68. Altiner B., Deliba§i A., Erol B. Modeling and control of flexible link manipulators for unmodeled dynamics effect // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part I: Journal of Systems and Control Engineering.

— 2019. — Vol. 233, no. 3. — Pp. 245-263.

69. Adaptive control of nonlinear switched output feedback systems with unmodeled dynamics and constraints / L. Shi, T. Zhang, M. Xia, Q. Shen // Chinese Control Conference, CCC. — 2018. — Vol. 2018-July. — Pp. 2869-2874.

70. Adaptive prescribed performance control of switched MIMO uncertain nonlinear systems subject to unmodeled dynamics and input nonlinearities / S.A. Malek, M. Shahrokhi, E. Vafa, A. Moradvandi // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2018. — Vol. 28, no. 18. — Pp. 5981-5996.

71. Cui M. Adaptive Output Feedback Stabilization of Random Nonlinear Systems with Unmodeled Dynamics Driven by Colored Noise // Mathematical Problems in Engineering. — 2019. — Vol. 2019.

72. Global stabilisation for a class of upper-triangular nonlinear systems with unmodelled dynamics and time-delay / W. Zhang, L.-R. Xue, Z.-G. Liu, Z.-Y. Sun // International Journal of Control. — 2020. — Vol. 93, no. 5.

— Pp. 1147-1158.

73. Non-smooth state feedback prescribed performance control for interconnected nonlinear systems with unmodelled dynamics / C. Hua, L. Wu, Y. Zhang, Y. Li // International Journal of Systems Science. — 2018. — Vol. 49, no. 14.

— Pp. 2888-2899.

74. Robust approximation-based adaptive control of multiple state delayed nonlinear systems with unmodeled dynamics / X. Shi, C.-C. Lim, S. Xu, P. Shi // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2018. — Vol. 28, no. 9. — Pp. 3303-3323.

75. Adaptive course control based on trajectory linearization control for unmanned surface vehicle with unmodeled dynamics and input saturation / D. Mu, G. Wang, Y. Fan et al. // Neurocomputing. — 2019. — Vol. 330. — Pp. 1-10.

76. Moradvandi A., Shahrokhi M, Malek S.A. Adaptive fuzzy decentralized control for a class of MIMO large-scale nonlinear state delay systems with unmodeled dynamics subject to unknown input saturation and infinite number of actuator failures // Information Sciences. — 2019. — Vol. 475. — Pp. 121-141.

77. Wang Z., Yuan Y, Yang H. Adaptive Fuzzy Tracking Control for Strict-Feedback Markov Jumping Nonlinear Systems with Actuator Failures and Unmodeled Dynamics // IEEE Transactions on Cybernetics. — 2020. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 126-139.

78. Su H., Zhang W. Adaptive fuzzy FTC design of nonlinear stochastic systems with actuator faults and unmodeled dynamics // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2018. — Vol. 32, no. 7. — Pp. 1081-1101.

79. Su H, Zhang W. Adaptive Fuzzy Control of Stochastic Nonlinear Systems With Fuzzy Dead Zones and Unmodeled Dynamics // IEEE Transactions on Cybernetics. — 2020. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 587-599.

80. Xia M, Zhang T. Adaptive neural dynamic surface control for full state constrained stochastic nonlinear systems with unmodeled dynamics // Journal of the Franklin Institute. — 2019. — Vol. 356, no. 1. — Pp. 129-146.

81. Oliveira T.R., Hsu L. Robustness of Smooth Sliding Control to Unmodeled Dynamics: Overcoming First-Order SMC and Super-Twisting Algorithm // Proceedings of IEEE International Workshop on Variable Structure Systems. — 2018. — Vol. 2018-July. — Pp. 486-492.

82. Бобцов А. А., Капитонов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автомат. и телемех.

— 2010. — № 12. — С. 3-10.

83. Bobtsov A.A., Faronov M.V. Output control of nonlinear delay systems with unmodeled dynamics // Journal of Computer and Systems Sciences International.

— 2011. — Vol. 50, no. 3. — Pp. 429-437.

84. Pyrkin Anton, Isidori Alberto. Output regulation for robustly minimum-phase multivariable nonlinear systems // 2017 IEEE 56th Annual Conference on Decision and Control (CDC). — 2017. — Pp. 873-878.

85. Marconi L., Praly L., Isidori A. Output Stabilization via Nonlinear Luenberger Observers // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2007. — Vol. 45, no. 6. — Pp. 2277-2298.

Тексты публикаций

2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies

CoDIT 2024 | Valletta, Malta / July 01-04, 2024 Technically co-sponsored by IEEE & IFAC

Output Robust Control of a PMSM with Disturbance Cancellation and

Anti-Windup Correction

Andrei Zhivitskii1, Oleg Borisov1, Anton Pyrkin1

Abstract—The problem in this paper is addressed to output regulation of saturated plant. Anti-windup technique used to prevent overshooting and oscillatory processes in system with physical signal limitations. The robust output control framework was modified in order to take into account physical properties of the plant. Simulations show effectiveness of the proposed method in case of motor regulation in the presence of disturbances and non-static gain coefficient.

I. INTRODUCTION

In recent years, Permanent Magnet Synchronous Motors (PMSM) have gained significant traction in various industrial, automotive, and renewable energy applications due to their high efficiency, power density, and precise control capabilities. The efficient operation of PMSM is paramount in ensuring performance and reliability across diverse applications. As such, advanced control methodologies play a crucial role in enhancing the performance and robustness of PMSM control systems. Expansion of use the PMSM in robotic systems require development of new control strategies and modifications of existing control techniques to increase performance or reduce factors such as presence of parametric uncertainties, external disturbances or input signal saturation. Traditional control methods, while effective to some extent, may struggle to address the dynamic and nonlinear nature of PMSM motors, leading to suboptimal performance and limited robustness.

Parameters of real systems often can be unknown, so design of robust regulators is important from practical point of view. One of the key advantages of the extended observer method suggested by [1] is its ability to provide accurate robust control and stabilization of nonlinear system in the presence of parameter variations, leading to improved tracking performance. The extended observer technique, as elucidated in works such as [2], [1], and [3], represents a pivotal methodological advancement within the realm of robust control approaches. This technique encompasses a suite of methodologies designed to enhance the robustness and performance of control systems in the face of uncertainties, disturbances, and nonlinearities. By extending the observer's capabilities beyond mere state estimation to encompass robust stability analysis and control synthesis, this technique enables engineers to develop sophisticated control strategies that can effectively address the challenges posed by complex dynamical systems. The latter enhancement turns out to be appropriate when certain "gains" that appear in

1Andrei Zhivitskii, Oleg Borisov, Anton Pyrkin are with Department of

Control Systems and Robotics, ITMO University, St. Petersburg, Russia

{zhivitckii,borisov,pyrkin}@itmo.ru

the chain of integrators between input and output are time-varying shown in [4]. Coupled with an internal model, well-known approach from works [5], also used by authors [6] to add disturbance rejection capabilities in control system has proven to be an effective strategy for achieving energy savings. As a result, the implementation of such control strategies facilitates significant energy savings, contributing to sustainability efforts and reducing overall operational costs in industrial and commercial applications.

In [7] a novel change of coordinates was introduced that effectively transforms the PMSM model into a normal form represents a significant methodological advancement within the realm of control theory. This transformation holds profound implications for the practical application of control methodologies by unlocking the potential to leverage geometry-based tools, early described in [8], which have been underutilized in this context. This paradigm shift offers a novel and scientifically rigorous approach to addressing the intricate regulation challenges inherent in PMSM systems. Through this transformative technique, we can systematically navigate the complexities of PMSM control with greater precision and efficacy, ushering in a new approaches of advancement in the field of electromechanical control systems.

The utilization of anti-windup represents a widely adopted approach across various applications aimed at mitigating the effects of input saturation. In the analysis conducted by [9] on aircraft control systems with input saturation, it was discovered that hidden oscillations may arise, posing a challenge to system stability. However, the application of an anti-windup scheme proved effective in compensating for these oscillations. Building upon this, [10] proposed an anti-windup approach based on the property of conver-gency specifically tailored for marginally stable linear plants with saturated input. This methodology was subsequently applied to aircraft control problems in the works of [11] and [12]. Similarly, in the study by [13], a ProportionalIntegral (PI) controller augmented with anti-windup mechanisms was successfully employed to regulate a manufacturing machine, showcasing the versatility and efficacy of anti-windup strategies across diverse control scenarios. Slightly different approach is proposed by [14] where antiwindup scheme consists in a dynamic augmentation to the baseline control system which, based on nonlinear analysis, is shown to induce global asymptotic stability and local exponential stability on the overall control scheme. In [15] provides a novel methodology for indirect digital design of the cascaded conventional anti-wind-up for effective digital control of the analog plant with input saturation constraint. Also

Authonzed9i7en-se-d35(e33-r7iii^7io-4Si?4e(?e:?sibu?pNa;i ш Hot«.....- - ----------------------- — - 2199 ■ -

Tech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:42:02 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

in the discrete-time setting, nonlinear anti-windup design techniques have been applied to Euler-Lagrange systems in [16] and [17]. In [18] results for global regulation under actuator torque constraints of robot manipulators. To solve this problem authors propose a simple controller whose structure has a saturated proportional and saturated derivative part plus a gravity compensation.

In this paper we modify the scheme of stabilizing control presented by enhanced extended observer coupled with the internal model by adding anti-windup scheme to reduce so-called windup effect appearing in presence of input saturation of the control object. When input signal is saturated integral calculations in the structure of the internal model may cause large overshooting or oscillations while control error is sufficient. Computer simulations were executed to illustrate effectiveness of proposed modification in case of saturated input signal. To compare methods, we employ a quadratic criterion.

Paper is organized as follows. In Section II state-space model of motor affected with external load torque which assumed to be described as regular external disturbance is considered. In Section III design of enhanced extended observer and internal model to cancel disturbances is shown. In Section IV presented the algorithm that modifies internal model design. In Section V procedure of the recursive calculation of the enhanced extended coefficients is provided and comparing of regulating results for different cases with and without time-varying coefficients are shown. In Section VI conclusions are drawn and future work is discussed.

II. PROBLEM STATEMENT

Consider the two-phase afi state-space model of the non-salient PMSM suggested in [7] given as

L ~n

-Ri — \mnpuJ C(è) + v

jù = — Bu + AmnpiTJC(#) — tl, è = ù.

J=

and

e(è):

cos(npè) sin(npè)

with known Se Rn

= Sw, =

and ^

R1

In practice all systems work under the condition of bounded control signal. Saturated (bounded) input satisfying

f vupp, if v(t) > vupp; v(i) = sat v(t) = < v(t), if viow < v(t) < Vupp\ (3) I viow, if v(t) < viow,

where viow and vupp are limits of the input voltages caused by the motor capabilities. Assumption 1: The disturbance w E L^ is bounded. Assumption 2: Saturation limits viow and vupp are equal in modulus but opposite in sign:

1 viow 1 1 vupp 1 ,

viow + vupp = 0. The goal is to design a control algorithm that relation holds

Urn |è(t)| = 0,

(4)

where è(t) = è(t) — è*.

III. CONTROL DESIGN From [7] it is known that due to global change of variables

£ = (£1 £2 £s) and z as

£1 = npè,

£2 = ù,

is = —Bu + XmnpiTJ C(è) — tl,

(5)

(1)

and, since the signal £i is measurable, applying the Park's transformation as

'a\ = ("cos £1 - sin £i\ (v

ysin £1 cos £i J Vvq

in which (Vd Vg)T is the new control signal in the rotating dq-frame, choosing vd = 0 the system (1) could be considered in normal form

where L > 0 is the stator inductance, R > 0 is the stator windings resistance, B > 0 is the coefficient of viscous friction, i = (ia E R2 are the currents, Xm > 0

is the magnetic flux constant, np E N is the number of pole pairs and J E R2 x 2 is the rotation matrix

(0 -0"

where

Z = fo(z,5,TL),

£l = 92^

£2 = 9s£s,

£3 = ï(Z,5,Tl,Tl) + bvq,

1 , Xmnp

92 = np, 9s = -, b = ——

(6)

, , . , RB + X2mn2 LB + Rj q(z,£,TL,TL) =----£2---£s — npZ£2

Lj

v> = (va v@) E R2 are the voltages, j > 0 is the rotor inertia, 6 E S := [0, 2n) is the rotor phase, u E R is the mechanical angular velocity, and tl E R is the time-varying load torque presented as the output of the exosystem

-TL — TL,

R

(2)

and unknown

initial conditions w(0) of the state vector w E Rn

fo(z,£,TL) = - LZ + + + npTL&.

In this case zero dynamics z is input-to state-stable, because the exogenous signal tl (t) = ^w(i) is a bounded periodic signal due to Assumption 1.

For the rejection of the exogenous input w we add the internal model of the form

n = Fn + G[rn + u], vq = rn + U,

(7)

z = \mnpiLe(è),

R

- 2200 -

Authorized licensed use limited to: St Petersburg Natl Uni of Info Tech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:42:02 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

in which u is a control law to be defined later, F E Rnw x nw is a Hurwitz matrix in the companion form, the vectors G =

(0 0 --- 0 i)T E Rnw and r e R1xnw are such that the pair (F, G) is controllable and the matrix $ = F + Gr has the same eigenvalues as the matrix S in the exosystem (2).

Following [7] choose the control law for U as

u = satN u = satN [b 1 (

—<t —

K<)],

(8)

where K = (ki and N > 0 are the design

parameters, b is a nonzero variable, for which the following relation holds

|[b - b]b-1| < <5< 1,

and i = (¿^i, ¿|2, )T and a are the states of the extended observer defined by the equations

<1 = g2<2 + «¿3 (g2 0 - <1 ),

<2

g3<3 + K2a2(g20 - <l),

r) = Fn + + u + vk],

Vq = rn + u,

K = Vq

Parameter [units] Value

Inductance L [mH] 20

Resistance R [Q] 7.2

Drive inertia j [kg - cm2] 0.55367

Viscous friction coefficient B [N - m - s/rad] 0.006

Pairs of poles np 8

Magnetic flux Xm [Wb] 0.06

Consider two cases of the parameter g3 in order to provide complete picture of the enhanced extended observer design framework making comprehensive simulation. Consider this parameter as a constant

g3 = 1/j

for first four runs and then switch it a time-depended sinusoidal function of the form

g3 = Bg + Ag sinQgt

with Bg = 1/j, Ag = 104, and Qg = 1 for the rest four. Note that g3 is bounded as

i gif

(9)

¿3 = a + bu + K3ai(g2^ - ¿i), a = K4aa(g2^ - ¿i),

in which a = (ao ai a2 a^ and k are the design parameters.

IV. ANTI-WINDUP SCHEME Following the anti-windup strategy (suggested in [19]) to eliminate windup and increase performance of the overall system use the so called back-calculation approach.

According to the anti-windup strategy add the mismatch signal between the saturated control and original one to the integral loop of internal model (7)

n „- min /<\ max

0 <ff3 < g3(t) < ff3

= Bg -Ag and g3ax = Bg + Ag.

I-as = 18061 +10000 nin(t) I

4 6

t[s]

(10)

: 103

where v is designed parameter, boundaries of input signal satisfy (3).

V. COMPUTER SIMULATION Consider the motor, which parameters are listed in Table I. Simulations were taken for four scenarios. First two is for enhanced extended observer alone and then coupled with internal model. Then third simulation was executed for enhanced extended observer coupled with internal model with input saturation. Last simulation executed for enhanced extended observer with internal model with input saturation and anti-windup correction.

TABLE I

Parameters of the motor used in the simulation

Fig. 1. Coefficient g3 can be considered as time-varying function

Use the control law (8), (9) with the parameters

b = 20, K = (1 3 3) , N = 107 and the coefficients

a = (ao ai a2 as)

recursively calculated as

as = bs, a2 = bsb2, ai = bsb2bi, ao = bsb2bibo,

in which bs, b2, bi, bo are chosen as

bo = 1,

b = Libogmax+bogmax

1 = gmin ,

, L2(smaXV2+2èièosmaX)+bi' b2 = -gmm-

bs

L3(gma^V'3+3b2bibogmax)+b2bibogm5

gmln

with Li = L2 = L3 = 1, fflmln = = 1, = g2, and for the first four runs, when g3 is a constant, glln = g3°ax = g3, while for the rest four, when g3 is a time-dependent

- 2201 -

Authorized licensed use limited to: St Petersburg Natl Uni of Info Tech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:42:02 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

0

2

8

10

function, g3™ = Bg - Ag and gmax = Bg + Ag

1

0.5

0

1-0.5 -1 -1.5

5

2.5 2

55-1.5 1

"> 1

0.5 0

0

EEOwithlM]

5

5

Fig. 2. Simulation results for the enhanced extended observer without and with internal model and static coefficient g3 = 1/j

0

-0.5 -1 -1.5 -2

5 t[B]

K —""' :

5

«W

5000 4000 3000 2000 1000 0

5

i[s]

Fig. 3. Simulation results the enhanced extended observer with the internal model with saturated input without and with anti-windup correction and static coefficient g3 = 1/j

1

0.5

0

[-0.5 -1 -1.5 -2

r

5 t[>]

5

«M

5

'W

Fig. 4. Simulation results for the enhanced extended observer without and with internal model and time-varying coefficient g3

1

0.5 0

-0.5 -1 -1.5

K

5

5

5000 4000 3000 2000 1000 0

5

Fig. 5. Simulation results the enhanced extended observer with the internal model with saturated input without and with anti-windup correction and time-varying coefficient g3

- 2202 -

Authorized licensed use limited to: St Petersburg Natl Uni of Info Tech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:42:02 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

x10

0

0

2

0

0

0

x10

8

6

^ 4

2

0

0

0

0

2

S 1

0

0

0

The controller then cascaded with the internal model (10) with the parameters

l010 \ M

F = I 0 0 1 I , G = f 0 J , r=(l2 3),

V-1 -3 -v W

and anti-windup coefficient

n = -80,

thus to cancel tl modelled as shown at Figure 6

i[s]

Fig. 6. External load-torque tl presented as biased sinusoudal signal

For comparative analysis we consider criterion

J(t)= i u2(t)dt o

to estimate the energy consumption of algorithms for producing control and rejecting disturbances. By evaluating the integral of the squared control signal over the entire time interval, we can quantify the total energy expended by each algorithm during the control process. This allows for a direct comparison of the energy consumption levels between different control strategies and provides insights into their efficiency and effectiveness in managing system dynamics and disturbances.

Figures show that the controller steers the output 0(t) to the given reference 0* as well as the internal model rejects effects caused by the nonzero load torque tl. Control goal remains achieved but the control signal produced by enhanced extended observer remarkably high and inapplicable to real physical motor. In case of saturated input presence of sufficient overshooting could be seen at Figure 3 while in scheme with anti-windup correction processes are smooth and in both cases the energy demand is significantly reduced by estimation of input signal.

VI. CONCLUSIONS

In this paper, a comprehensive study of a robust algorithm based on enhanced extended observer with anti-windup correction was conducted. Research underscore the potential of the proposed algorithm to contribute to energy savings and sustainability efforts in such applications where PMSM use as actuation. In summary, the robust algorithm based on enhanced extended observer with anti-windup correction

presents a promising approach for addressing the challenges of control system design in complex and uncertain environments. Future work will contain modification of the static anti-windup correction and replacing it with dynamic anti-windup.

VII. ACKNOWLEDGEMENT The work was written in ITMO University with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement No. 075-11-2023015, 10.02.2023, "Creation of high-tech serial production of energy-efficient synchronous electric motors with built-in intelligent position sensor and self-diagnostic functions for robotics and digital automation systems".

REFERENCES

[1] L. Freidovich and H. Khalil, "Performance recovery of feedback-linearization-based designs," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 53, no. 10, pp. 2324-2334, 2008.

[2] A. Isidori, L. Marconi, and A. Serrani, Fundamentals of Internal-Model-Based Control Theory. London: Springer London, 2003, pp. 1-58.

[3] J. Huang, Nonlinear Output Regulation. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.

[4] A. Isidori, A. Pyrkin, and O. Borisov, "An extension of a lemma of dayawansa and its application in the design of extended observers for nonlinear systems," Automatica, vol. 106, pp. 178-183, 08 2019.

[5] C. Byrnes, F. Priscoli, and A. Isidori, Output Regulation of Uncertain Nonlinear Systems, 01 1997.

[6] O. Borisov, M. Kakanov, A. Pyrkin, S. Shavetov, V. Gromov, and F. Karashaeva, "Robust output regulation of disturbed systems with uncertainties and input constraints," IFAC-PapersOnLine, vol. 52, no. 29, pp. 79-84, 2019.

[7] O. I. Borisov, A. A. Pyrkin, and A. Isidori, "Robust output regulation of permanent magnet synchronous motors by enhanced extended observer," IFAC-PapersOnLine, vol. 53, no. 2, pp. 4881-4886, 2020, 21st IFAC World Congress.

[8] W. Wonham, Linear Multivariable Controll: A Geometric Approach, 01 1979.

[9] B. Andrievsky, N. Kuznetsov, G. Leonov, and A. Pogromsky, "Hidden oscillations in aircraft flight control system with input saturation,"

IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), vol. 5, pp. 75-79, 01 2013.

[10] R. Berg, A. Pogromsky, and K. Rooda, "Convergent systems design: Anti-windup for marginally stable plants," 01 2007, pp. 5441 - 5446.

[11] A. Yu, A. Pogromsky, B. Andrievsky, and J. Rooda, "Aircraft flight control with convergence-based anti-windup strategy."

[12] G. Leonov, B. Andrievsky, N. Kuznetsov, and A. Pogromskii, "Aircraft control with anti-windup compensation," Differential Equations, vol. 48, 12 2012.

[13] W. Van den Bremer, B. RA, A. Pogromsky, and J. Rooda, "An anti-windup based approach to the control of manufacturing systems," vol. 17, 01 2008.

[14] F. Morabito, A. Teel, and L. Zaccarian, "Nonlinear antiwindup applied to euler-lagrange systems," IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 20, no. 3, pp. 526-537, 2004.

[15] Y. Chen, J. H. Tsai, L. Shieh, and M. Moussighi, "Digital redesign of anti-wind-up controller for cascaded analog system," ISA Transactions, vol. 42, no. 1, pp. 73-88, 2003.

[16] A. Bemporad, "Reference governor for constrained nonlinear systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 43, no. 3, pp. 415-419, 1998.

[17] D. Angeli and E. Mosca, "Command governors for constrained nonlinear systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, no. 4, pp. 816-820, 1999.

[18] V. Santibanez and R. Kelly, "On global regulation of robot manipulators: Saturated linear state feedback and saturated linear output feedback," European Journal of Control, vol. 3, no. 2, pp. 104-113, 1997.

[19] H. Fertik and C. Ross, "Direct digital control algorithm with anti-windup feature," ISA Transactions, vol. 6, pp. 317-328, 01 1967.

- 2203 -

Authorized licensed use limited to: St Petersburg Natl Uni of Info Tech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:42:02 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

2024 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies

CoDIT 2024 | Valletta, Malta / July 01-04, 2024 Technically co-sponsored by IEEE & IFAC

YAW CONTROL OF A SURFACE VESSEL

Alexandr D. Panin1, Dmitrii N. Zakharov1, Andrei Yu. Zhivitskii1, Artem M. Kurovskii1, Oleg I. Borisov1

P S

Abstract—In this article proposes methods for synthesizing control algorithms to solve the problem of tracking the course of a surface vessel. The problem of maintaining the vessel's course was solved using various algorithms. The proposed algorithms can be used in the future to solve dynamic positioning problems and route control problem.

I. INTRODUCTION

Vessel heading control plays a crucial role [1] in global logistics, as it is essential for ensuring navigation safety, optimizing routes, conserving fuel, and enhancing shipping efficiency.

The development of algorithms for controlling a vessel's course is of paramount importance in modern automatic vessel control systems. These algorithms need to be highly precise and capable of considering various factors such as weather conditions, currents, other vessels, and geographical features along the route.

The problem of controlling nonlinear systems under conditions of a significant lack of a priori information about both the dynamics of the object and the environment of its functioning is one of the current and most significant frontiers in the field of control systems theory. The challenge for researchers is to synthesize mathematically based control algorithms for systems characterized by complex nonlinear dynamics, which make it possible to achieve the desired stability properties with guaranteed quality indicators of transient processes in conditions of lack of information about the object and operating environment. A natural approach to solving such problems is to find a balance between the complexity of algorithms, the analytical justification of which requires the adoption of a number of assumptions, and their feasibility in practice. Often, the results of theoretical research and development to ensure the achievement of control goals require serious conditions and assumptions, the fulfillment of which in practice may be difficult, and therefore the implementation of such results in specific applications requires additional elaboration. Thus, scientific and technical results are in demand, which, being sufficiently advanced and having a strict analytical justification, take into account the possibility of further implementation in technical applications and practical application.

*This work is supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (passport of goszadanie no. 2019-0898)

1 Alexandr Panin, Dmitrii Zakharov, Andrei Zhivitskii, Artem Kurovskii, Oleg Borisov are with Faculty of Control Systems and Robotics, ITMO University, St. Petersburg, Russia {312 63 6,dnzakharov,zhivitckii, 312 569,borisov}@itmo.ru

Research in this field aims to create adaptive ([2], [3], [4], [5], [6], [7]) and robust [2] algorithms that can make optimal decisions in changing conditions to ensure safe and efficient navigation. These algorithms can be utilized in autonomous vessels as well as in decision support systems for vessel captains and crews.

The study of algorithms for vessel course control is crucial for advancing modern shipping practices and ensuring the safety and efficiency of maritime transport.

In this study, we will utilize a nonlinear vessel model and develop control algorithms based on it. These algorithms take into account factors such as mass-inertial parameters, hydrodynamic influences, and other relevant variables to simulate realistic conditions.

There are various approaches to solving the vessel course control problem. One approach involves reducing the number of variables and calculating them analytically, while another approach utilizes modern methods of adaptive and robust control.

This paper is structured as follows: Section II presents the vessel model form, Section III simplifies the model through linearization and develops linear control algorithms. Sections IV and V introduce robust control algorithms and adaptive strategies, respectively, which increase the complexity of the controller. Section VI showcases simulation results, followed by conclusions drawn in the final section.

II. PROBLEM STATEMENT

The main task in this article is to develop controls for the vessel. The first step is to form a model on the basis of which we will synthesize control. The vessel dynamics model, as outlined in references ([8], [9], [10]) and the additional sources to be included, incorporates various forces and moments that impact the vessel's motion. These influences can be categorized as follows:

1) Hydrodynamic influence (Xh,Yh,Mh);

2) Propeller influence (Tv);

3) Rudder influence (Xr, Yr,Mr);

4) Wind and wave influence (Fx,Fy, Mz).

Based on Newton's second law, a system of three differential equations can be formulated.

Vx

1.8Tv - Xh - Xr + m( 1 - k22)VyU + Fx

m( 1 + hi

Vy =

Y h + yr + Fy

m(1 + h22)

M H + Mr + Mz Jzz (1 + h66)

(1) (2) (3)

Authorizedfiien-ieiPise^yiiea^o-i^fi^JbJJ!?!©;? ffiiiW f^ech Mech & Optics. Downloaded on May 27,2025 at 12:43:42 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.

Xh = Ai (1 - n2) v;2, Yh = A2v;2ß + AsV;Wi - n2, MH = A4V2ß + A5V12n + A6V12n

(4)

(5)

| + ArV,2n |n|,

where the following auxiliary variables are used

V = « V2 + V2,

n =

V = /V2 + w2L2, wL

"V '

ß = -arctj ^

(6)

(7)

(8) (9)