Уравнения состояния и алгоритмы расчета стержневых систем, содержащих жесткие и линейно-упругие элементы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Назарьев, Петр Павлович

• Назарьев, Петр Павлович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Назарьев, Петр Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Историческая справка

2. Обзор литературы по классической строительной механике.

3. Литературный обзор исследований по некоторым направлениям биомеханики.

4. Расчетная модель системы несущих конструкций.

5. Состав диссертации

ГЛАВА 1. Система абсолютно жестких тел, соединенных податливыми связями. Пространственная задача.

1. Жесткий стержень как элемент конструкции.

1.1. Кинематические уравнения стержня

1.2. Статические уравнения стержня

2. Присоединение стержня к узлам

2.1. Характер присоединения

2.2. Соотношения между реакциями связей и торцевыми усилиями стержней

3. Топология конструкции.

4. Условия совместности перемещений торцов стержней и перемещений инцидентных к ним узлов

5. Уравнения связей. Преобразование кинематических уравнений.

6. Уравнения равновесия узлов конструкции

7. Физические уравнения .s.

ГЛАВА 2. Полная система уравнений конструкции

1. Состав полной системы.

2. Уравнения равновесия

3. Кинематические уравнения конструкции

4. Физические уравнения конструкции

5. Разрешающие уравнения задачи.

5.1. Решение в перемещениях

5.2. Решение в силах.

5.3. Определение величин, не входящих в разрешающие уравнения.

6. Усилия и перемещения в текущих поперечных сечениях стержня.

ГЛАВА 3. Решение задач высокой размерности.

1. Введение

2. Оценки качества решения.

3. Однопараметрическая регуляризация неустойчивых решений линейных алгебраических уравнений.

ГЛАВА 4. Примеры расчета конструкций, содержащих абсолютно жесткие элементы.

1. Расчет деревянной срубовой конструкции

2. Расчет гибкой нити.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения состояния и алгоритмы расчета стержневых систем, содержащих жесткие и линейно-упругие элементы»

1. Историческая справка. В этом пункте рассматривается состояние строительной механики как раздела механики твердого деформируемого тела, в котором изучаются алгоритмы и методы расчета самого широкого класса силовых конструкций. Сегодня аппарат строительной механики находит широкое применение и в биомеханике, о чем еще речь будет идти ниже. Основные этапы развития строительной механики рассматриваются в хронологической последовательности.

К 60-м годам прошлого века теоретическая база строительной механики по существу уже сформировалась. Был не только завершен важный этап совершенствования теории, но и удалось предложить алгоритмы решения краевых задач, многие из которых работают и сегодня. К таковым относятся детально разработанные алгоритмы расчета многократно статически неопределимых стержневых конструкций. Основное внимание при этом уделялось расчету линейно деформируемых конструкций, что существенно упрощало вычислительный аппарат. Решение сложных физически и геометрически нелинейных задач, как правило, выполнялась итеративными методами, т. е. сводилось к рассмотрению определенной серии линейных задач.

Правда, в те времена грядущие возможности вычислительной техники представить себе было трудно, а потому зачастую вычислительные алгоритмы предлагались для упрощенных расчетных схем, например, плоских, а не пространственных. В упрощенных вариантах рассматривались и узловые соединения, в том числе и опорные. Утвердилось и вошло в нормативную литературу представление узловых сопряжений элементов -в виде одной из двух идеализированных схем: абсолютно жестких либо абсолютно податливых. Еще одна черта, характерная для рассматриваемого периода - выделение из сложной пространственной системы отдельных элементов, узлов или подконструкций, отражающих в наибольшей мере характер работы конструкции в целом. Такое выделение осуществлялось на основе экспериментальных многолетних исследований, а также при обобщении опыта проектирования и эксплуатации реальных сооружений.

Указанные направления перехода от реальной системы к ее расчетной схеме имели целью представить алгоритмы расчета в наиболее простом и по возможности в замкнутом виде, пригодном для применения специалистами различной квалификации без привлечения сложного математического аппарата. В строительной области такая методика традиционно закладывалась в нормативные документы - «Строительные нормы и правила» (СНИП).

Вместе с тем развивались и алгоритмы расчета силовых конструкций, ориентированные на применение вычислительной машин недалекого, как затем выяснилось, будущего. Более того, именно задачи механики твердого деформируемого тела стали одним из наиболее мощных стимулов появления и развития электронной вычислительной техники, включая как аппаратную, так и программную части. Первым шагом, ведущим к формализации вычислительного аппарата механики, было предложенное в конце 40-х годов Аргиросом представление классических методов расчета стержневых конструкций в матричной форме. В дальнейшем эти схемы были логически завершены рядом исследователей таким образом, чтобы пользователю не приходилось вручную выполнять промежуточные .вычисления, часто весьма трудоемкие, связанные с обработкой входных данных. Таким громоздким этапом, например, является построение эпюр в основной системе при расчете статически неопределимых стержневых систем. Но указанные алгоритмы были по-прежнему ориентированы на использование упрощенных линейных схем с идеализированными узловыми сопряжениями и рассмотрением отдельных частей сооружений. Обобщение таких хорошо формализованных методов расчета на более сложные случаи, приближенные к реальным конструкциям, было реализовано для ряда частных задач в основном на теоретическом уровне, поэтому ни в нормативную литературу, ни в массовую расчетную практику эти методы не вошли.

Важным этапом был переход от чисто физического представления механических систем к абстрактным математическим, осуществлявшийся в 60-е и 70-е годы прошлого века. Именно тогда получили распространение формулировки расчетных задач в терминах теории графов и линейной алгебры, сетевые методы. Тогда же в основном сложилась современная терминология вычислительной механики, существенным образом опиравшаяся на лексикон уже упоминавшихся разделов математики и функционального анализа (метрика пространства состояний, скалярное произведение эпюр, инциденции, смежность, матрицы достижимости и др.), что свидетельствовало о самом широком применении при решении задач строительной механики аппарата теории графов и линейной алгебры.

Следующий этап развития прикладной механики твердого деформируемого тела, берущий начало в 80-е годы XX века, связан как с массовым распространением вычислительной техники, так и с повсеместным 'обращением в расчетной практике к методу конечных элементов. Последний предполагает безусловную компьютерную реализацию. В библиотеках конечноэлементных программных комплексов в настоящее время реализован весьма широкий набор отдельных типов конечных элементов для моделирования различных видов конструкций, материалов и узловых соединений.

Серьезное развитие к началу 90-х годов прошлого века испытала такая область механики, как биомеханика, в частности, механика опорно-двигательного аппарата человека. Выяснилось, что сложившийся классический, аппарат механики твердого деформируемого тела не вполне пригоден для анализа в столь специфичной области, поэтому биомеханика создала важный стимул к развитию теоретической части вычислительной механики. Ниже будет сосредоточено внимание на том аспекте биомеханики, который связан с механикой твердого деформируемого тела. С начала 70-х годов в многочисленных публикациях обсуждалась проблема моделирования скелетно-мышечного аппарата человека. Естественным было применить для этого хорошо разработанный аппарат классической вычислительной механики. Поэтому с ростом интереса к этой междисциплинарной отрасли и приходом в нее большого числа квалифицированных специалистов-механиков резко увеличилось количество публикаций по биомеханике человека. Развитие информационных технологий сделало популярным в этой области компьютерное моделирование (преимущественно с использованием метода конечных элементов).

Отдельно следует упомянуть о вычислительных аспектах задач механики. Весьма важная составляющая современного состояния механики - это ветвь вычислительной математики, ориентированная на компьютерное применение и тесно связанная с ним специфическая проблема компьютерного представления как исходных данных, так и результатов расчета (визуализация). Традиционным для механики стало представление данных как разреженных матриц. Соответствующий математический аппарат, ориентированный на такие структуры данных, получил название «технология разреженных матриц». Программные реализации соответствующей технологии сейчас имеются во всех промышленных конеч-ноэлементных программных комплексах, например, в таких средах, как Cosmos/M, Ansys, MSC/Nastran, Staad Pro, ЛИРА, SCAD и т. д. Глядя на предельные размерности систем линейных алгебраических уравнений, которые способны решать эти программы на персональных компьютерах (для Cosmos/M, например, - более 1 ООО ООО уравнений), можно сказать, что именно такой аппарат позволил решать задачи очень большой размерности на широко распространенной вычислительной технике, а не только на специализированных ЭВМ. Оборотной стороной увеличения размерности является совершенно необозримый объем как входных, так и выходных данных. Поэтому к настоящему времени немыслимы программные реализации решения задач механики, не обладающие средствами манипулирования с числовыми массивами сколь угодно большой размерности. К подобным средствам относятся, в первую очередь, средства ввода информации о геометрии и материале конструкции (преимущественно стержневой) и внешних воздействиях на нее. Во-вторых, максимально автоматизирована процедура генерации сетки конечных элементов. Эта возможность актуальна, в основном, для нестержневых конструкций. Основополагающие результаты, позволяющие получить гарантированно качественную сетку, были опубликованы только в середине 90-х годов прошлого •века, а компьютерные реализации появились только в конце названного десятилетия (можно сравнить генерацию сетки в разных версиях какой-либо из наиболее развитых программ, упомянутых выше, например, в версиях Cosmos/M). Алгоритмы генерации сеток в настоящее время чрезвычайно популярны, о чем можно судить, например, по количеству издаваемой литературы и объему материалов в системе Internet. В-третьих, визуализация результатов позволяет быстро оценить как адекватность модели представлениям о ее поведении, так и найти области, важные для оценки напряженно-деформированного состояния системы. Поэтому в качестве стандартных средств анализа результатов расчета используются изображения деформированной схемы конструкции, анимация параметров состояния (перемещений, напряжений, форм собственных колебаний, форм потери устойчивости), цветовые поля напряжений и деформаций и другие.

Несмотря на то, что во всех рассмотренных выше разделах механики получены впечатляющие результаты, считать, что решены все проблемы, представляющие практический интерес, нельзя. По-прежнему остается острой проблема ввода информации о системе сложной структуры (смешанной), проблема отслеживания неустойчивых решений и их коррекция и другие. Более подробно об этом, как и о задаче, поставленной в настоящей диссертации, говорится в п. 1.3, т. е. после того, как будет дан ретроспективный обзор наиболее важных, с нашей точки зрения, публикаций.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Назарьев, Петр Павлович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Построена математическая модель для систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями.

2. Получена полная и разрешающие системы уравнений для указанной модели, на их основе построены алгоритмы решения задачи.

3. Предложены средства для оценки вычислительной устойчивости.

4. Предложена схема расчета, с помощью которой на основе предварительного анализа можно установить принципиальную возможность применения того или иного метода (в силах или перемещениях) с последующим выбором наиболее подходящего с точки зрения точности для данной задачи метода решения.

5. Математическая модель апробирована на ряде задач, в том числе для расчета деревянных срубов и гибких нитей. При этом показана как принципиальная применимость указанной модели, так и адекватность традиционным моделям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Назарьев, Петр Павлович, 2006 год

1. Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства. М.,МГУ, 1982.-248 с.

2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М., Мир, 1969.

3. Бате К., Вильсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., 1982.

4. Бахвалов Н. С. Численные методы. М., Наука, 1975., 632 с.

5. Безухов Н. И. К теории статически неопределимых систем // Труды Московского автомобильно-дорожного института. Вып. 3. 1936.

6. Безухов Н. И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука // Труды Московского автомобильно-дорожного института. Вып. 4. Автотрансиздат. 1936.

7. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы и движение. Очерк по мышечному сокращению.-М., Мир, 1970.

8. Бернштейн Н. А. Биомеханика и физиология движений: избранные психологические труды. М.; Воронеж, 1998.

9. Бернштейн С. А. Основы расчета статически неопределимых систем. M.-JL, Главн. ред. строительной литературы, 1936.

10. Верещагин А. Н. Новые методы расчета статически неопределимых систем // Строительная промышленность. № 9. 1925.

11. Галеркин Б. Г. К расчету жестких рам // Вестник инженеров и техников. 1924. № 10.

12. Галеркин Б. Г. К вопросу о выборе лишних неизвестных в строительной механике // Вестник инженеров и техников. 1925. № 5.

13. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., Мир, 1984.

14. Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. М., МИИТ, 1927.

15. Гвоздев А. А., Мурашов В. И. Инструкция по расчету железобетонных рам и каркасов. М., Стройиздат. 1932.

16. Герман Дж., Либовиц Г. Механика разрушения кости//В кн. Разрушение. Том 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Часть 2. Органические материалы. М., Мир, 1976. - С. 391 - 463.

17. Гольдштейн 10. Б. Локальные единичные состояния метода сил и циклический базис графа стержневой конструкции. // Деп. в ВИНИТИ 29.05.85, №4207-85, Петрозаводск, 1985.

18. Гольдштейн Ю.Б. Статика стержневых конструкций. Петрозаводск: Издательство ПетрГУ, 1997.

19. Гольдштейн Ю. В., Шулькин 10. Б. Геометрический анализ методов расчета статически неопределимых стержневых систем. // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1971.

20. Гольдштейн Ю. Б., Шулькин Ю. Б. К построению методов расчета статически неопределимых стержневых систем на основе представлений геометрии конечномерных пространств. // Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л., Стройиздат, 1973.

21. Горбунов Б. Н. К расчету пространственных замкнутых контуров. // Сб. «Рамы и фермы пространственные и плоские» под ред. проф. И. М. Рабиновича, М., Госстройиздат, 1933.

22. Городецкий А. С., Олин А. И., Батрак Л. Г., Домащенко В. В., Мас-нуха А. М. «ЛИРА-ПК» программный комплекс для расчета и проектирования конструкций на персональных компьютерах. Киев, вып. НИИАСС, 1988.

23. Городецкий А. С., Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Интеллектуальная расчетная программная система. Прогноз новых возможностей. // Системы автоматизированного проектирования объектов строительства (САПР-ОС).-Киев, Будивэльник, 1989.-С.43-56.

24. Гофман Ш. М. Способы группового и секционного уравновешивания // Доклады АН Узб. ССР, вып. I, 1950.

25. Гребень Е. С. Вопросы матричного расчета многократно статически неопределимых систем //Прочность и колебания конструкций:Сб. тр., Вып. 172/ЛИИЖТ.Л., 1960.

26. Гребень Е. С. Расчет на подвижную нагрузку неразрезного балочного пролетного строения моста. // Прочность и колебания конструкций. Л., Изд-во ЛИИЖТ, Вып. 190, 1962.

27. Гутьеррес П. О применении теории n-мерного линейного пространства к расчету статически неопределимых систем // Строительная механика и расчет сооружений, № 5, 1966.

28. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. 8-е изд., М., Высшая школа, 1986.

29. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М., 1976.

30. Домерщиков П. П. Методы расчета каркасов многоэтажных зданий // Стальные каркасы многоэтажных зданий. М., Госстройиздат, 1939.

31. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения систем нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.- 440 с.

32. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.,-528 с.

33. Жемочкин Б. Н. Расчет рам. М., Госстройиздат, 1933.

34. Жемочкин Б. Н. О решении системы линейных уравнений. М., Изд. ВИА, 1947, 1957.

35. Зациорский В. М., Аруин А. С., Селуянов В. Н. Биомеханика двигательного аппарата человека. М.: Физкультура и спорт, 1981.

36. Зациорский В.М., Прилуцкий Б.И. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению // Современные проблемы биомеханики. Нижний Новгород: Институт прикладной физики РАН, 1992,-Вып. 7.-С. 81-123.

37. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

38. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М., Мир, 1986.

39. Исследование и реставрация Преображенской церкви на о.Кижи. Отчет по научно-исследовательской работе научно-производственного центра строительных конструкций.- Киров.:, 1994.

40. Карпиловский В. С., Кудашов В. И., Цветков Д. Н. Библиотека изопараметрических конечных элементов вычислительного комплекса «ЛИРА».// Известия ВУЗов. Строительство и архитектура., 1987, Ж, с.28-32.

41. Карпиловский В. С., Криксунов Э. 3., Перельмутер А. В., Перельму-тер М. А. Интегрированная система анализа конструкций Structure CAD (SCAD). // САПР и графика.- 1998.- №10.-с.15-18.

42. Клемперт Ю. 3., Филин А. П. О связи между сетевым и матричным подходом в строительной механике // Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л., Стройиздат, 1973., с.233-244.

43. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига: Зинатне, 1980.

44. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата человека. // Тезисы докладов V Всероссийской конференции по биомеханике. Н. Новгород, 29 мая - 2 июня 2000 г. - С. 84.

45. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JI., 1977.

46. Криксунов Э. 3., Перельмутер А. В. О расчетных моделях сооружений и возможностях их анализа.// http://www.cadmaster.ru/articles/ 03methods ofanalysysbuildig^ projects.cfm

47. Крон Г. Исследования сложных систем по частям диакоптика. М., Наука, 1972. 544 с.

48. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом'основании. М., изд. АН СССР, 1930.

49. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

50. Масленников А. Н. Расчет строительных конструкций методом конечных элементов. Л., Изд-во Ленингр. инж.- строит, института, 1977.

51. Матевосян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). Госстройиздат, 1961.

52. Мацелинский Р. П. Статический расчет гибких висячих конструкций. М., Стройиздат, 1950.

53. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити.-М., Наука, 1980.-240 с.

54. Методические рекомендации по использованию дополнительных возможностей вычислительного комплекса «ЛИРА». Киев, НИИ-АСС Госстроя УССР, 1984.

55. Методические рекомендации по использованию возможностей вычислительного комплекса "ЛИРА"при описании и решении задач. Киев, НИИАСС Госстроя УССР, 1988.

56. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М., 1981.

57. Назарьев П. П. Полная система уравнений шарнирной цепи и ее решение. // Деп. В ВИНИТИ 10.05.06 №613-В2006, с. 1-37.

58. G2. Нарец Jl. К. Расчет статически неопределимых систем машинными методами // Труды Таллинского политехнического института, серия А, № 54, 1954.

59. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М., Мир, 1981.

60. Нудельман Я. Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. Техтеоретиздат, 1949.

61. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М., 1976.

62. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

63. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. II. Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. Л., Гос. изд. судостроительной промышленности, 1941.

64. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. I, т. I, Подбор профилей. Расчет статически неопределимых балок. Расчет плоских рам, составленных из прямых стержней. М., Морской транспорт, 1945.

65. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. I. т. II, Криволинейные рамы. Перекрестные связи. М.-Л., Морской транспорт, 1947.

66. Перельмутер А. В. Основы расчета вантово-стержневых систем. М., Стройиздат, 1969.-190 с.

67. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете дополнительных связей. //Метод конечных элементов и строительная механика. Ленинград, 1976.

68. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев, ВПП «Космос», 2001.

69. Перелынтейн Н. Л. Приближенные методы расчета рам. Промстрой-проект. Справочник инженера-проектировщика промышленных сооружений, т. II, М.-Л., Госстройиздат, 1934.

70. Подлубная З.А. Состав, структура и структурные переходы в толстых нитях поперечно-полосатых мышц позвоночных. Биофизика, 1999, том 44, вып.4, с.700-707.

71. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов. Л., 1974.

72. Постнов В. А. и др. Метод суперэлементов. Л., 1979.

73. Рабинович И. М. О некоторых соотношениях между перемещениями точек упругого тела // Труды МИИТ. Вып. 3. 1927.

74. Рабинович И. М. Методы расчета рам. М., Госстройиздат, 1931-1937. т. 1, 2, 3.

75. Рабинович И. М. К расчету многоярусных рам // Труды Высшего инж.-строит, училища, М., Гостехиздат, 1931.

76. Рабинович И. М. Обобщения метода сил // Рамы и фермы пространственные и плоские. М., Госстройиздат, 1933.

77. Рабинович И. М. Курс строительной механики стержневых систем, ч. 1. Статически определимые системы. 1938.

78. Рабинович И. М. Об одном способе решения системы линейных уравнений в задачах строительной механики // Исследования по теории сооружений, вып. VI, М., Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1954.

79. Рабинович И. М. Инварианты статически неопределимых систем и некоторые их приложения // Исследования по теории сооружений. Вып. 12. Госстройиздат, 1963.

80. Радциг Ю. А. Применение общих положений теории форм при расчете статически неопределимых систем строительной механики // Сборник трудов Казанского авиационного института. № 10. 1940.

81. Ратов И.П., Попов Г.И. ,Иванов В.В. Этапы и основные показатели работы лаборатории биомеханики ВНИИФК.-Теория и практика физической культуры, 1998.

82. Резников Р. А. Решение задач строительной механики на ЭЦМ. М., Стройиздат, 1971.

83. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига, Зинатне, 1988.

84. Розин JI. А. Автоматизация алгоритма метода сил в строительной механике. //Строительная механика и расчет сооружений, №4,1976.

85. Розин П. А. О методе сил в строительной механике. //Тр. ЛПИ им. М. И. Каланина, Ленинград, №349, 1976.

86. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М., 1977.

87. Сегаль А. И. Упрощения при расчете циклических систем. // Проект и стандарт. № 3, 1937.

88. Сегаль А. И. Расчет замкнутого кольца как статически определимой системы // Исследования по теории сооружений. № 3, М.-Л., Гос. изд. строительной литературы, 1949.

89. Сегаль А. И. Некоторые итоги решения циклических задач // Расчет пространственных конструкций. Вып. Ill, М., Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1955.

90. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М., 1975.

91. Сеппо А.И. Металлический остеосинтез переломов костей на основе точных клинико-технических наук. Таллинн: Периодика, 1978.

92. Сергеев Н. Д. К вопросу формализации расчета статически непреде-лимых систем методом сил // Статические и динамические расчеты конструкций с учетом нелинейных свойств материалов: Межвуз. те-мат. сб. тр./ЛИСИ. Л., 1991. с.56-70.

93. Сергеев Н. Д. О формировании системы локализованных базисных циклов непланарного графа в связи с формализацией метода сил //

94. Статические и динамические расчеты конструкций с учетом нелинейных свойств материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. Л., 1991. с.70-83.

95. Локализация координатных функций метода сил для систем с подвижными соединениями // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./СПбГАСУ. Санкт-Петербург., 1997. с.Зб-44.

96. Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М., Трансжелдориздат, 1947.

97. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. Трансжелдориздат, 1958.

98. Смирнов А. Ф., Александров А. В. Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Стержневые системы. М., Стройиз-дат, 1981. ' '

99. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Под ред. А. П. Филина. М., Судпромгиз, 1961.

100. Сосис П. М. Методы и приемы расчета статически неопределимых инженерных конструкций. Киев, Изд. Киевского инж.-строит. института, 1951.

101. Сосис П. М. Расчет рам способом перераспределения начальных значений неизвестных. Киев, Гостехиздат УССР, 1952.

102. Стрелецкий Н. С. К расчету сложных статически неопределимых систем. М., Изд. Высшего технического комитета НКПС, 1921.

103. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., Мир, 1977.

104. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980.

105. Тананайко О. Д., Шварц М. А. Смешанный метод расчета стержневых систем на прочность, колебания и устойчивость. //Тр. ЛИИЖТ, вып. 40. Ленинград, 1976.

106. Тананайко О. Д., Шварц М. А. О выборе системы замкнутых контуров и их рациональной нумерации при расчете стержневых конструкций методом сил. //Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций. Хабаровск, Изд-во ХабИИЖТ, 1977.

107. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979. Изд. 2-е.-285 с.

108. Уманский А. А. О решении трехчленных уравнений // Рамы и фермы пространственные и плоские. М., Госстройиздат, 1933.

109. Уманский А. А. О расчете конструкций с большим числом одинаковых пролетов // Исследования по теории сооружений. Вып. 3. М.-Л., Гос. изд. строит, литературы, 1939.

110. Уманский А. А. Пространственные системы. М., Стройиздат, 1948.

111. Филин А. П. Алгоритм построения матрицы b при расчете произвольных пространственных (с жесткими контурами) систем методом сил. // Строительная механика., М., Стройиздат, 1966.

112. Филин А. П., Гребень Е. С. Расчет многократно статически неопределимых систем при помощи ортонормированных функций // Исследования по теории сооружений, вып. 8,Госстройиздат, 1959.

113. Филин А. П., Тананайко О. Д., Чернева И. М., Шварц М. А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. Ленинград, Стройиздат, 1983.

114. Хечумов Р. А., Кепплер X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. Издательство ассоциации строительных ВУЗов, М., 1994.

115. Хилл А. Механика мышечного сокращения. Старые и новые опыты. М., Мир, 1972.

116. Чирас А. А. Строительная механика. М., Стройиздат, 1989.

117. Шардаков И. Н., Труфанов Н. А., Матвеенко В. П. Метод геометрического погружения в теории упругости. Екатеринбург, 1999.

118. Шестаков Д.А., Цатурян А.К. Математическая модель механических свойств волокон скелетной мышцы с учетом растяжимости ак-тиновых нитей. Биофизика, 1998, том 43, вып.2, с.329-334.

119. Шулькин 10. Б. Теория упругих стержневых конструкций. М., «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984.

120. Шулькин 10. Б., Кунцевич А. О. Численный анализ равновесия упругой нити // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр., Ленингр. инж.-стр. ин-т. Л., 1991. с. 75-85.

121. Янсон X. А. Биомеханика нижней конечности человека. Рига: Зи-натне, 1975.

122. Argyris J. Н. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engineering, 26, 1954.

123. Argyris J. H. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engineering, 27,1955.

124. Argyris J. H. The matrix theory of statics // Ingr. Arch., 25, 1957.

125. Argyris J. H., Kelsey S. Structural analysis by the matrix force method with applications to aircraft wings // Wiss. Ges. Luftfahrt Jahrb., 1956.

126. Energy theorems and structural analysis. Butterworth,London, 1960.

127. Argyris J. H., Kelsey S., Kamel H. Recent advances in matrix methods of structural analysis // Progress in the Aeronautical Sciences, vol.4, Pergamon Press, Oxford,1964.

128. Chao, E. Y. and An, K. N. (1978) Graphical interpretation of the solution to the redundant problem in biomechanics. J. biomech. Eng. 100, 159-167.

129. Clough R. W. The Finite Element in Plane Stress Analysis 11 Proceedings 2nd A. S. С. E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg Pa. Sept. 1060.

130. Courant R. Variational methods for the solutions of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 49, № 1, 1943.

131. Crowninshield, R. D. and Brand, R. A. (1981) A physiologically based criterion of muscle force prediction in locomotion. J. Biomechanics 14, 793-801.

132. Dostal W.F., Andrews J.G. A three-dimensional biomechanical model of hip musculature// J. Biomechanics, v. 14, 1981, pp. 803-812.

133. Gentaro Taga(1998) A model of the neuro-musculo-skeletal system for anticipatory adjustment of human locomotion during obstacle avoidance. Biological Cybernetics, v.78, pp. 9-17.

134. Hughes, R. E. (2000) Effect of optimization criterion on spinal force estimates during asymmetric lifting. Journal of Biomechanics 33, pp. 225-229.

135. Keyak JH, Rossi SA, Jones KA, Skinner HB (1997) Prediction of femoral fracture load using automated finite element modeling. J. Biomech. 31:125-133.

136. Kron G. Tensor analysis of networks. John Wiley and sons, N. Y., 1939.

137. Marsh A.P., Martin P. E., Sanderson D.J. (2000) Is a joint moment-based cost function associated with preferred cycling cadence? Journal of Biomechanics 33, pp.173-180.

138. Martins J.A.C., Pires E.B., Salvado L.R., Dinis P.B. (1998) A numerical model of passive and active behavior of skeletal muscles, Сотр. Methods Appl. Mechs. Eng., Vol. 151 (3-4), pp.419-433.

139. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. P. Stiffness and deflection analysis of complex structures // J. Aeron. Sci.,23, № 9, 1956.

140. Watermann Pamela J. FEA Over the Web. //http://www.deskeng.com/articles/01/mar/FEA/index.htm

141. Yamaguchi G.T., Moran D.W.,Si J. (1995) A computationally efficient method for solving the redundant problem in biomechanics. J. Biomechanics, Vol.28, No.8, pp.999-1005.