Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой, задаваемые в терминах преобразования Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Смирнова Ирина Юрьевна

• Смирнова Ирина Юрьевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Смирнова Ирина Юрьевна

и Д^(П)

3.4 Теорема типа Пэли-Винера

3.5 Теплицевы операторы с символами, зависящими от

у = 1ш 2 в Д^(П)

4 Глава

Весовые пространства на верхней полуплоскости со смешанной нормой, связанной с полярными координатами

4.1 Краткое содержание и предварительные сведения

4.2 Общее определение пространства аналитических функций со смешанной нормой

4.3 Пространства со смешанной нормой £д'р(П), Ь^р(г), Д?^(П) и Д^(П)

4.4 Теорема типа Пэли-Винера

4.5 Теплицевы операторы с символами, зависящими от

в = а^ г в Д^(П)

Список литературы

5 Приложение

5.1 Представление классического пространства Бергмана Дд(О). Эллиптический случай

5.2 Об обобщенных коэффициентах Фурье

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой, задаваемые в терминах преобразования Фурье»

1 Введение

В диссертационной работе вводятся и изучаются весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой, определенные в терминах преобразования Фурье (Меллина) в трех случаях (постановках). Эти три случая фактически характеризуются тремя типами гиперболической геометрии в единичном диске и связанными с ними системами координат - эллиптической, параболической и гиперболической. Первая описывается с точностью до автоморфизма диска полярными координатами в единичном диске, а вторая и третья - после конформного отображения на полуплоскость (для простоты восприятия) - преобразуются в декартовы и полярные координаты на полуплоскости, соответственно. Таким образом, рассматриваются пространства на единичном диске со смешанной нормой, связанной с полярными координатами, и на верхней полуплоскости со смешанной нормой, связанной с декартовыми и также с полярными координатами. Учитывая указанную выше мотивацию, эти три случая будем описывать как эллиптический, параболический и гиперболический. В указанных пространствах со смешанной нормой рассматриваются оператор Бергмана, а также операторы Теплица со специальными символами, также связанными с соответствующей геометрией.

Пространства аналитических р - интегрируемых функций на единичном диске или полуплоскости получили широкое распространение в анализе, и результаты, касающиеся функциональных свойств этих пространств и действия некоторых операторов в этих пространствах, в настоящее время являются классическими и составляют существенную часть ряда учебников по теории функций и теории операторов в комплексном анализе. В частности, опера-

торы с каноническими ядрами, теплицевы операторы, алгебры таких операторов в пространствах аналитических функций широко изучаются в рамках современной теории функций и теории операторов. Не претендуя на полный обзор, мы ссылаемся на книги [10, 11, 12, 36, 38, 39].

Весовые классические пространства аналитических функций в диске и на полуплоскости, со специальным выбором веса, согласованным с геометрией пространства, также получили особое внимание в связи с изучением специальных классов операторов Теплица в таких пространствах, см. цикл статей [1, 17, 18, 19, 20] и книгу [36].

Остановимся подробнее на этих исследованиях, поскольку они послужили мотивацией к исследованиям в данной диссертационной работе. В серии статей [1, 17, 18, 19, 20] была построена общая теория некоторых классов операторов Теплица со специальными (в общем случае неограниченными) символами в (весовых) гильбертовых пространствах аналитических функций (типа Бергмана), связанных с тремя типами гиперболической геометрии в единичном диске (эллиптическим, параболическим и гиперболическим типами геометрии). Разработанные методы и подходы эффективно работают в случае «плохого» поведения символа оператора Теплица (неограниченность, осцилляция при приближении к границе). Эти подходы основаны на изучении структурных свойств соответствующих функциональных пространств и на специальной характери-зации функций из этих пространств. Авторы использовали переход к образам Фурье для конструктивного описания подкласса аналитических функций, а также для характеристики спектра соответствующего оператора Теплица в каждом из трех упомянутых ранее случаев. Повторим, что это эффективно работает исключительно

в случае гильбертова пространства, когда переход к образам Фурье обоснован равенством Парсеваля. Наиболее полно эта теория и некоторые дальнейшие аспекты отражены в книге [36]. Данные исследования относятся к случаю не смешанной (весовой) Ь2 нормы. Собственно, сама идея связать геометрию пространства и различные системы координат с исследованием определенных классов операторов Теплица была предложена Н.Василевским, и им, вместе с соавторами и учениками, был решен целый ряд фундаментальных задач в данном контексте, см. подробнее книгу [36].

Одним из дальнейших обобщений теории аналитических функций в диске и на полуплоскости является рассмотрение (весовой) смешанной нормы. Прежде всего, в литературе изучается интегральная смешанная норма, мы ссылаемся на книгу [21] и некоторые более ранние статьи [15, 16] (см. также саму книгу [21] для дополнительных ссылок и исторического обзора).

Использование смешанной нормы при определении пространств функций обусловлено тем, что зачастую имеется необходимость характеризовать поведение функций с использованием различных норм по различным координатным направлениям в диске или полуплоскости.

С точки зрения теории функций комплексного переменного, введение смешанной нормы более чем оправдано тем, что часто возникает необходимость "измерить"поведение аналитической функции только при приближении к границе, скажем, в ортогональном направлении, а также измерить это поведение по некоторой специальной норме (которая может отличаться от нормы, используемой в другом направлении).

В современном анализе развивается также подход введения смешанной нормы так, что измеряются не сами функции, а их об-

разы Фурье по одной из переменных, которая, фактически, «отвечает» за аналитичность. Наиболее прозрачно эта ситуация проявляется в единичном диске. Он был реализован в ряде статей [22, 23, 24, 25, 28, 29], и были рассмотрены различные нормы, включая норму переменного пространства Лебега, Морри, Орлича, различные комбинации таких норм, и были показаны различные эффекты, возникающие из такого разнообразия норм - см. более подробную информацию в указанных выше статьях.

Таким образом, в отличие от большинства работ, имеющихся в настоящий момент по пространствам аналитических функций со смешанной нормой (см. книгу [21] и ссылки в этой книге), здесь используется подход, при котором смешанная норма берется от образа Фурье аналитической функции. То есть, пространства функций определяются в терминах принадлежности образа (Фурье) некоторому пространству со смешанной нормой.

Этот подход не является новым в литературе, но применительно к пространствам аналитических функций он начал развиваться сравнительно недавно - в работах [6, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 34, 35]. Преимущество такого подхода в первую очередь в том, что он позволяет формулировать и доказывать критерии принадлежности аналитической функции соответствующему пространству в конструктивных терминах. Здесь мы имеем в виду, в первую очередь, представления типа Пэли-Винера. Он также позволяет эффективно исследовать операторы Теплица со специальными символами в рамках таких новых пространств и фактически развивать и обобщать результаты, полученные ранее для случая гильбертовых пространств. Обратим внимание, что развитие общей теории, разработанной в [27, 30], также представляет интерес в этой новой постановке.

Ситуация единичного диска имеет определенное преимущество в виде разложения аналитической функции в ряд Тейлора, сходящийся во всех точках диска. Именно благодаря этому можно однозначно и явно характеризовать аналитические функции из таких новых пространств, определенных в терминах коэффициентов Фурье, см. вышеупомянутые ссылки для более подробной информации.

До недавнего времени такое исследование не представлялось возможным в случае полуплоскости и смешанной нормы, связанной с декартовыми или полярными координатами. Основной вопрос состоит в том, как конструктивно описать аналитические функции в верхней полуплоскости, преобразования Фурье которых берутся из некоторых пространств со смешанной нормой. Недавно эта задача была решена в общем виде в [8], что открыло путь к изучению широкого класса функциональных пространств со смешанной нормой на верхней полуплоскости, по аналогии со случаем единичного диска.

Результаты во всех трех случаях представлены согласно одной схеме, однако эллиптический случай все-таки отличается от двух других. В этом случае мы не опираемся на общую теорию из работы [8]. Определение нового пространства со смешанной нормой дается, как и в двух других случаях, в терминах обобщенных функций, но фактически напрямую, используя технику гармонического анализа и анализа Фурье периодических функций. Это значительно упрощает изложение, однако для этого нам необходимо требовать некоторое дополнительное условие, которое тем не менее не влияет на основной объект изучения в диссертации в эллиптическом случае- подробнее см. замечание 2.1. Результаты диссертационной работы представлены в [6, 9, 28, 31, 34, 35].

Перейдем к изложению результатов диссертации по главам.

В первой главе диссертации рассматривается модельная ситуация эллиптической геометрии - полярные координаты в диске и, согласно этой системе координат, вводится смешанная норма в классе измеримых на диске функций (распределений). Именно, обобщенные коэффициенты Фурье /п = /п(г) функции / (распределения) предполагаются принадлежащими некоторому (общему) банахову пространству X на интервале (0,1) (как функции аргумента г) при каждом п и далее ряд \\/п\\Х(!) предполагается сходящимся. Таким образом, определяется пространство со смешанной нормой С У;Х (О), где норма (смешанная норма) вводится как

\\/Не?;*(О) = I ^ (I) I , 1 ^ Я <

\nez )

Подпространство аналитических функций Лд;Х (О) состоит только из тех функций / € С 9;Х(О), которые аналитичны в О.

Мотивация данного определения, равно как и аналогичных определений в двух других главах, состоит в том, что в случае гильбертова пространства Ь2(О) благодаря равенству Парсеваля мы имеем тождество

I/\\ Ь2(О) = I Н?п\\12( 1,2г(1г) I

\пе Z )

Таким образом, в случае X(I) = Ь2(1, 2гб,г) и д = 2 пространство С 9;Х(О), естественно, совпадает с Ь2(О) и соответствующее аналитическое подпространство Л^,х (О) есть классическое пространство Бергмана Л.2(О), изученное, как уже было отмечено, в работах многих авторов.

Случай единичного диска и полярных координат обладает пре-

имуществом по сравнению с двумя другими в виде наличия разложения аналитической функции в ряд Тейлора, сходящийся в диске. Это позволяет однозначно охарактеризовать коэффициенты Фурье для аналитических функций и конструктивно описать пространство А(1 ; х(О).

Указанное выше также позволяет решить ряд задач методами классического гармонического анализа и изучить пространства в наиболее общей постановке.

Фактически, первая глава состоит из двух частей. В первой части мы доказываем общие факты в случае, когда X(I) - произвольное банахово пространство, являющееся подпространством 1\(1), Л > —1 ( пространство измеримых по Лебегу функций интегрируемых с весом (1 — г2)х на интервале I = (0, 1) ), а во второй мы детально рассматриваем ситуацию весового лебегова пространства X(I) = ), 1 ^ р < ж. Эта схема в той или иной мере повторяется в двух других главах.

Итак, перечислим некоторые основные результаты первой главы. В случае, когда X(I) - произвольное банахово подпространство I), упомянем прежде всего следующее достаточное условие ограниченности проектора Бергмана :

Теорема 1.1 (Теорема 2.7 ) Пусть 1 ^ д < ж, X > —1 и X(I) С 1\(1). Пусть имеет место условие

пх+1

[ 1пд(1)(1 — 1)Х(И 'о

К\\х(/) < с\\д\\х{1), (1.1)

п ^ ж, д е X(I).

Тогда оператор В^ ограничен как проектор из ; х (О) на Лд; х

Отметим также, что в безвесовом случае этот результат доказан в [24]. Однако весовой случай также позволяет получить более общие результаты, как, например, теорема 2.10.

Для функции а = а(г) (здесь г = |^|) рассмотрим оператор Теплица, не обязательно ограниченный, но формально определенный следующим образом:

Т(Х)/(г) = БОЛ)а/(г), г е О.

Удается установить критерий ограниченности и компактности оператора Теплица с радиальным символом в Л^; х(О):

Теорема 1.2 (Теорема 2.13) Пусть 1 ^ (} < ж, \> —1. Функция а е I). Имеют место следующие утверждения.

1. Оператор Т^ ограничен на ; х (О) если и только если последовательность

^=в(П+;,л+1)I!*^>(1—^^пе

ограничена.

2. Оператор компактен на Лд,х (О) если и только если

1а,\Ы ^ 0, П ^ ж.

3. Спектром ограниченного оператора Теплица Т^ является множество е С : 7 = /уа,\(п), п е Z+} и его существенный спектр совпадает с замыканием этого множества:

езэ-эрТдЛ) = {^ е С : 7 = Ъ,\(п), п е Z+}.

Далее, во второй части первой главы рассматривается конкретный случай X(I) = ) и соответствующие весовые пространства со смешанной нормой. Для упрощения обозначений мы пишем С^Р(О) вместо символа ^'^^(О). То же самое касается и Д^(О). Здесь 1 < р,д< ж, Х> —1.

В серии теорем 2.16, 2.17, 2.18, 2.20, 2.21, 2.22 получена ха-рактеризация функций из (О) в различных терминах, включая эквивалентные нормы, вложение в пространство типа Харди (и наоборот) и в пространство Флетта со смешанной (интегральной) нормой, и также само пространство Л.Д'Р(О) описано как образ при действии оператора дробного дифференцирования от другого пространства. Приведем в качестве примера два из указанных выше результатов.

Символом Нр(О) обозначаем класс Харди, а символом ^ -непрерывное вложение. Справедлив следующий результат типа Харди - Литтлвуда:

Теорема 1.3 (Теорема 2.17) Пусть 1 ^ р < ж, X > —1.

1. Пусть 1 < д < 2. Тогда № (О) ^ ДД'Р(О), д(1 + ^) ^ 2;

2. Пусть 2 < д< ж. Тогда ЛДР (О) ^ № (О), д(1 + ЦД) < 2.

Для дальнейшего исследования мы будем использовать производную (или композицию) по Адамару. В интегральной форме этот оператор записывается в виде:

Г(1 + а) [ д(и) (Iи

(г)= \. -—, I <г< 1, а - 0,

У|и|=г (1 — 1+а и

г(х) обозначает Гамма-функцию.

Получаем следующий результат о представлении функции из Л.Д'Р(О) в виде дробной производной от аналитической функции с коэффициентами Тейлора, образующими последовательность в 1+_.

Теорема 1.4 (Теорема 2.20) Пусть 1 ^ Р,Я < ж, X > —1. Каждая аналитическая функция / € ДД'^(О) имеет вид

/ = в л+1 К

р

с некоторой аналитической функцией к(г) = такой

что [Нп}п&+ € 1+.

Случай д = 2 представляет особый интерес, а именно:

Арр(Щ = V Л+1 (Я 2(О)).

р

В заключение заметим, что из уже упомянутой теоремы 2.22 о вложении в пространство Флетта со смешанной нормой следует, что по крайней мере для 1 ^ д ^ 2 функции в наших пространствах регулярны в том смысле, что они имеют конечную смешанную норму типа Лебега.

Отметим, что в диссертационной работе особое внимание уделяется построению явного вида изометрических изоморфизмов, характеризующих функции из рассматриваемых пространств в терминах типа Пэли-Винера. В первой главе соответствущий результат (теорема Пэли-Винера) имеет вид:

Теорема 1.5 (Теорема 2.33) Пусть 1 ^ р,д < ж, X > -1. Изометрический изоморфизм

Я-1 = и-1Яо : 1+ Арр(Щ определяется соотношением

: {с-п}пеж+ —> сп(1\р(п)хП.

Обратный изоморфизм Яр : Ар,р(О) —> 1+ имеет вид

Яр : <р(г) <-/(п) [ ф)гп М^^ар^)) =

I 1 Jo ) nGz+

{

1 ¿Р\'»(п) [ ( ^(П)1-пгп{р-1^+1рх(г)(1а(1)(1г

Здесь dAр(г), и ^р(г) определяются формулами (2.2), (2.18)

и (2.20) соответственно.

Во второй главе диссертации рассматривается ситуация, когда образ Фурье аналитической функции по первой переменной принадлежит пространству функций со смешанной нормой, определенной в соответствии с декартовыми координатами на полуплоскости.

Символом ОЖ(М+) будем обозначать класс бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в М+.

Пусть X (М+) — комплексное банахово пространство распределений на М+, равномерно вложенное в пространство распределений

Ссж(М+)'.

Определим нормированное пространство

(П) = = ф,у) € Цос(Ш,Х(М+)) | \\ф, О\\х(к+) € ^(М)}

(П) = \\\М\х(м+)\\^(м)> 1 < Я < ж. Мы интерпретируем р € Ьд;Х(П) как распределения р(х,у) на П (см. ниже), такие, что отображение х ^ р(х, •) есть М ^ X(М+), а отображение х ^ \\р(х, -)\\х(м+) принадлежит пространству (М).

Более того, по лемме 5 из [8] мы имеем непрерывное вложение

ЬТ,Х(П) ^ А(П)'

в пространство распределений Р^(П)', которые являются "умеренными1^ первой переменной. Точнее,

А(П) = 5 (М) § Ссж(М+)

является тензорным произведением двух ядерных пространств: пространства функций Шварца на М и пространства тестовых функций на М+. Проще говоря, ^¿(П) — это пространство гладких функций, которые быстро убывают по переменной х и имеют компактный носитель по переменной у. Соответственно, Р^(П)' — это двойственное пространство распределений, которые умеренны по переменной х.

Пространство со смешанной нормой С;Х(П), 1 ^ д < ж, введем как пространство распределений / € Р^(П)' таких, что (обобщенное) преобразование Фурье по первой переменной (С,У), рассматриваемое как отображение £ ^ (£, •), является локально интегрируемой по Бохнеру функцией

/х^е: М ^ X (М+),

и следующая норма конечна:

I/ \\с*х (П)

Ь*х (П)

9

Х(м+) )

Другими словами,

С;Х(П) = {/ € А(П)'| Тх^ € Ь«;Х(П)} .

Следующая общая теорема является ключевой и дает понимание природы введенных пространств.

Теорема 1.6 (Теорема 3.1) Пусть 1 ^ д < ж. Пространство Сд;Х(П) является нормированным векторным пространством, непрерывно вложенным в Р^(П)' и изометрически изоморфным Ьд;Х (П) посредством преобразования Фурье по первой переменной:

1

§ I : Сд;Х(П) ^ (П).

ж

Теперь перейдем к конкретной ситуации, когда X(М+) = Ьр(М+, (А + 1)(2у)Л^), 1 < р< ж, Х> —1. При указанном выборе X (М+) будем обозначать

СДР (П) = С9 ;Х (П), ЬДР (П) = Ь^Х (П),

в смысле определений, данных выше. Таким образом, Ьрр(п) = {<р = ф,у) € ь!ос(М,ЬР(М+, (X + 1)(2у)рйу),йх)

\\^(х, •)\ьр(М+,(Р+1)(2у)хйу) € (М) | ,

1М1^'Р(П) = \\Ы\ьР(Ж+,(Х+1)(2уУс1у)\\ьч(м^ 1 < Я < ж Мы интерпретируем р € Ьрр(П) как распределения <р(х,у) на П задаваемые отображениями х ^ р(х, •), действующими между

М ^ , (Л + 1)(2у)р^),

и такими, что отображения

Х^ \\р(Х, •)\\ьр(Ж+,(Р+1)(2у)х(1у)

принадлежат Ьд (М).

Пространство аналитических функций со смешанной нормой

ЛР'Р(П) = Но1(П) П Срр(п)

фактически является основным объектом нашего исследования во второй главе. В этой определенной ситуации результаты статьи [8] конкретизируются , а также формулируются и доказываются более точные утверждения.

Прежде всего, отметим следующий результат:

Теорема 1.7 (Теорема 3.2) Пусть 1 ^ р,Я < ж, X > -1. Нормированное подпространство аналитических функций Лр,р (П) С £Лрр (П) является полным.

Введем оператор

и1А : СД'Р(П) —^ ¿Д'*(П), 1 < р,д< ж, X > —1,

действующий посредством преобразования Фурье по первой переменной по правилу:

иы (х,у) = ух^е (^,у).

Пространство Л-1'Д(П) определим как замыкание подпространства пространства функций р = р(х,у), р € ЬД'^(П), для которых справедливо

=2(ж+=0

в слабом смысле (в смысле Р^(П)' -распределений). Оказывается, что Л-1'Л(П) изометрически совпадает с нашим исходным пространством ДД'^(П), таким образом, получаем следующую характериза-цию функций из пространства ДД'^(П) :

Теорема 1.8 (Теорема 3.4) Пусть 1 ^ Р,Я < ж, X > —1. Сужение изометрического изоморфизма ^д на пространство (П) является изометрическим изоморфизмом между ДД'^(П) и Л1'Д(П), то есть

\\/ \с^'р(П) = Г1'Д/\\^'Р(П).

В теореме 3.5 установлен изометрический изоморфизм пространства СД'-Р(П) на пространство Ь^'^(П), при котором проектор Бергмана эквивалентен оператору 1 § Ро, где Ро одномерный

проектор пространства Ьр(М+,йу) на Ц^(М+,йу) (одномерное под_у

пространство ^(М+^у), порожденное элементом 1о,р(у) = е р.)

Далее мы устанавливаем изометрический изоморфизм между Л-Д'^П) и ^ (М+) с помощью некоторых явных операторов типа

Фурье. Этот результат является аналогом (обобщением) теоремы Пэли-Винера для нашей ситуации.

Теорема 1.9 (Теорема 3.10) Пусть 1 ^ р,д < ж, X > -1. Изометрический изоморфизм

Я-1 : ^(М+) ЛРр(п)

определяется равенством

А±1

( д^)(г) = ^Щт»Г(€)€*^ (12)

м±

где г(х) обозначает Гамма-функцию. Обратный изоморфизм

яр : лрр(п) v(м+)

имеет вид:

1

2

= х+(х)х

х / / Ж + е-*^-^е-ж(р-2)^ 1(2т?)р^, (1.3)

ж

±

где Ор^(х) задается формулой (3.8), (1ир(ш) = (р+1) (2г])рс1г]с11;.

Как следствие, получим описание норм функций из пространства Лрр (П) :

Теорема 1.10 (Теорема 3.11) Пусть 1 ^ р,Я < ж, X > -1, / € Лр,р(П). Тогда

\\ ¡\\с^р(П) = \\ Яр / \\ьч (м±). 18

Наконец, мы применяем полученные результаты к изучению операторов Теплица с символами, зависящими от вертикальной переменной в ДД'^(П). Это иллюстрирует удобство и важность нашего подхода.

Для (1иД - измеримой функции а = а(х) на П рассмотрим оператор Теплица, не обязательно ограниченный, но формально определенный на ДД'^(П) следующим образом:

Т(Х)/ = В^а/.

Обозначим через Ь1х_р(М+,уД<Лу) класс функций а = а(у) таких, что для любого £ > 0 выполняется условие:

а(у)е—£у € Ь1(М+,уДАу).

Пусть функция = 7а'Д(ж) задается равенством: хД+1 [ж

1аД(х) = Г(Д + 1)у а (1/р) е—х 1Д(И, х € М+, (1.4)

а символ оператора Теплица а = а (у) принадлежит ^^(М^ уДй,у). Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1.11 (Теорема 3.14) Пусть 1 ^ Р,Я < ж, Х> —1. Оператор Теплица Т^ с символом а = а(у), действующий в ДД'^(П), посредством изометрических изоморфизмов яд, Я—1 эквивалентен оператору умножения

Ъ,д I=^та^я—,

действующему в Ьд(М+). Функция задается равенством

(1.4), а операторы яд, Я~—1 имеют вид (1.3), (1.2) соответственно.

Теорема 1.12 (Теорема 3.15) Пусть 1 ^ Р,Я < ж, X > —1, функция 7ад определяется равенством (1.4). Тогда имеют место следующие утверждения:

1. Оператор Теплица Т^ ограничен на ДД'^П) если и только если функция 7ад ограничена.

2. Спектром ограниченного оператора Теплица Т^ является множество

ч(Д)

sp ТД = Range 7а,л.

Конечно, можно двигаться дальше в этом направлении, изучая алгебры таких операторов Теплица и другие свойства операторов и пространств ЛЛ,Р(П), аналогичные классической ситуации, см., например, [20].

В третьей главе диссертации приводятся результаты исследования в третьем случае (полярные координаты на полуплоскости). Естественно, учитывая геометрию, мы используем преобразование Меллина, которое в конечном счете пересчитывается в терминах Фурье, если говорить об общем подходе, развитом в работе [8]. Именно благодаря этой работе и появилась возможность строго обосновать определение таких новых функциональных пространств - подробнее в разделе 4.2 .

Пусть Г = Мх(0,^) С C — (открытая) горизонтальная полоса в комплексной плоскости, заданная точками т = ц + гв, где ^ Е R, в Е (0,ж). Отображение

exp : г -—> exp(r) = = гегв = z Е П

является биголоморфизмом.

Для каждого Л > —1 введем линейную биекцию

Тл : С (П) ^ С (Г), 20

полагая

(TA f)(r) = е(t+1)V(е т), Уте Г, V f е С(П).

Очевидно, Тд дает биекцию между голоморфными функциями,

ТЛ : Но1(П) ^ Но1(Г).

Биекция Тд связывает преобразование Меллина с преобразованием Фурье:

(( М ® /)/)(£, в) = е-^(1+1 )((F ® I) TA f)((, в),

V(С, 0) е г, V f е Сс(П),

где F : L2(R) ^ L2(R) - преобразование Фурье, Сс(П) - множество всех непрерывных функций с компактным носителем на П.

Символом (0,ж) обозначается класс бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в (0,ж).

Пусть X(0,ж) — комплексное банахово пространство распределений на (0,ж), равномерно вложенное в пространство распределений Сс°°(0,ж)'.

Рассмотрим сначала нормированное пространство

Lq;X(Г) = {p е Lloc(M,X(0,ж))| У(£, е L(R)} ,

\M\l«;*(г) = \\\М\х(о,п)\\ы(R), 1 < Q < ж.

Мы будем интерпретировать p е Lq;X(Г) как распределения p(^, 0) на Г (см. ниже), такие, что отображение £ ^ , •) есть R ^ X(0,ж), а отображение £ ^ ||p(£, (о,^) принадлежит Lq(R). Более того, по лемме 5 из [8] имеем непрерывное вложение

Lq]X(Г) ^ Vt^)'

в пространство распределений Р^(Г)', которые умерены по первой переменной. Точнее,

А(Г) = ^(М) § сж°(0,ж)

— тензорное произведение двух ядерных пространств: пространства функций Шварца на М и пространства тестовых функций на (0,^). Проще говоря, — это пространство гладких функций,

которые быстро убывают по переменной £ и имеют компактный носитель по переменной в. Соответственно, ^(Г)' — это двойственное пространство распределений, которые умеренны по переменной £.

На верхней полуплоскости П мы будем использовать тестовое функциональное пространство

А(П) = Т—1 А (Г)

с индуцированной локально выпуклой топологией и его двойственное пространство распределений Р^(П)'. Показывается, что

(м § I)А(П) = А(Г),

(М § IЩ(п)> = Vt(г)'. (1.5)

Введем пространство со смешанной нормой С9;Х (П), 1 ^ д < ж, как пространство распределений / € Р^(П)', таких что (обобщенное, то есть в смысле распределений) преобразование Мелли-на по первой переменной = (М § I)/, рассматриваемое как отображение £ ^ (£,'), является локально интегрируемой по Бохнеру функцией

: М ^ X(0,ж),

и следующая норма конечна:

С (П)

/г^ (С, •)

ЬЧ'Л (г)

х (0,п) )

Другими словами,

(П) = {/ € Vt(П)'

подробности см. в [8].

Аналогичным образом рассмотрим пространство

€Ь^Х(Г)} ,

Сд;Х(Г) = \ /€ Ъг(Г)'

^ € Ь*>х(Г) | ,

где /г]^ = (Р 0/)/ — преобразование Фурье по первой переменной, с нормой

\

С * ;х (г)

1

Ь ; х (г)

Теорема 1.13 (Теорема 4.1) Пусть 1 ^ д < ж. Пространство Сд;Х(П) является нормированным векторным пространством, непрерывно вложенным в Р^(П)' и изометрически изоморфным Ьд;Х(Г) посредством преобразования Меллина по первой переменной:

1

М 0 I: Сд;Л (П) ^ Ьд;л (Г).

"к

Пространство Сд,х(Г) является нормированным векторным пространством, непрерывно вложенным в ЗД(Г)' и изометрически изоморфным Ьд;Х(Г) посредством преобразования Фурье по первой переменной:

1

Р 01 : Сд;Х(Г) ^ (Г).

х,

Более того,

ТД : С9;Х(П) ^ С9;Х(Г)

является изометрическим изоморфизмом нормированных векторных пространств.

Теперь обратимся к конкретному случаю, выбрав

X(0,я-) = Ьр((0,п), 2Д(Л + 1)81пД в(Ю), 1 < р< ж, X > —1.

При указанном выборе X(0,к) будем обозначать

СД'Р(П) = С9;Х (П), ЬД'Р(Г) = (Г),

в смысле определений, приведенных выше. Следовательно,

Д

с нормой:

¿Д'Р(Г) = ^(М,ь^((0,^),2Д(л + 1)81пДем), ¿с)

\\ I \\^(г) = Ц И2Д(А + 1)81пД вМ^ Р ^ .

Пусть

Д'^(П) = НО1(П) п СД^(П)

будет множеством тех элементов СД'^(П), которые являются аналитическими на П.

Теорема 1.14 ( Теорема 4.2) Пусть 1 ^ Р,Я < ж, X > —1. Нормированное подпространство ДД'Р(П) С СД'Р(П) является полным.

Оператор ^д определим на функциях из СД'^(П) как результат сопоставления

^1'Л : /(г,в) —(—= § I) ^ (£,в) € ЬД'^(Г),

где - преобразование Меллина (4.1), действующее по пере-

менной г. Так что по определению

\\f \\с*'р (П) = \\иЫ \\ь*р (Г).

Пространство Л1'Д(Г) определим как замыкание функций р = р(^,в) из ЬД'^(Г), для которых справедливо равенство

(— (2 + 1))7 + 4) =

в слабом смысле (в смысле ЗД(Г)' распределений). Таким образом,

^?;Л(Г) = М£,0) = I(£¥лЛ)е—(е+(1+*)г)0 : /(О € ^(М)},

где

^Л л) =

г( л+2 + ^

е 2 ,

Г(А + 2)

г(х) обозначает Гамма-функцию.

Теорема 1.15 (Теорема 4.4) Пусть 1 ^ р,д < ж, Х> —1. Сужение изометрического изоморфизма , д на пространство ЛДР (П) является изометрическим изоморфизмом между ДД'Р(П) и Л1'Д(Г). то есть

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смирнова Ирина Юрьевна, 2025 год

Список литературы

[1] Василевский, Н. Л. Динамика свойств теплицевых операторов на весовых пространствах Бергмана / Н. Л. Василевский, С. М. Грудский, А. Н. Карапетянц // Сиб. электрон. матем. изв. -2006. - № 3. - С. 362-383.

[2] Виноградов, С.А. Мультипликативные свойства степенных рядов с последовательностью коэффициентов из 1Р. / С.А. Виноградов // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 254, № 6. - С. 1301-1306.

[3] Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - 5-е изд. - М.: Физматгиз, 1971.

- 1108 с.

[4] Джрбашян, М.М. О каноническом представлении функций, ме-роморфных в единичном круге / М.М.Джрбашян // Доклады АН Арм. ССР. - 1945. - Т.3, № 1. - С. 3 - 9.

[5] Джрбашян, М.М. О проблеме представимости аналитических функций / М.М.Джрбашян // Сообщ. Института матем. и мех. АН Арм. ССР. - 1948. - Т. 2. - С. 3-40.

[6] Карапетянц, А. Н. Характеризация весовых пространств аналитических функций со смешанной нормой, определенных в терминах условий на коэффициенты Фурье/ А. Н. Карапетянц, И. Ю. Смирнова // Известия вузов. Математика. — 2022. — № 1.

- С. 57-64.

[7] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев.

- Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

[8] Avetisyan, Z. Mixed - Fourier - norm spaces and holomorphic functions / Z.Avetisyan, A.Karapetyants // Режим доступа: https://doi.org/10.48550/arXiv.2411.15379 (дата обращения 15.04.2025).

[9] Avetisyan, Z. Mixed Fourier norm spaces of analytic functions on the upper half-plane and Toeplitz operators / Z. Avetisyan, A. Karapetyants, I. Smirnova // Mathematical Notes. - 2025. - Vol. 117, no. 3. - P. 345-356.

[10] Bergman, S. The kernel function and conformal mapping (second, revised edition) / S. Bergman. - Providence, RI.: AMS, Mathematical Surveys and Monographs 5, 1970. - 120 pp.

[11] Djrbashian, A.E. Topics in the theory of APa spaces / A.E. Djrbashian, F.A. Shamoian. - Leipzig: B.G. Teubner, Teubner-Texte zur Mathematik, 1988. - 199 p.

[12] Duren, P. Bergman Spaces / P. Duren, A. Schuster. - American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs, 2004. -Vol. 100. - 318 pp.

[13] Duren, P. A Paley-Wiener theorem for Bergman spaces with application to invariant subspaces / P. Duren, E. A. Gallardo-Gutierrez, A. Montes-Rodríguez // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2007. - Vol. 39, № 3. - P. 459-466.

[14] Flett, T.M. The dual of an inequality of Hardy and Littlewood and some related inequalities / T.M. Flett //J. Math. Anal. Appl. - 1972. - Vol. 38, No 3. - P. 746-765.

[15] Gadbois, S. Mixed norm generalizations of Bergman spaces and duality / S. Gadbois // Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - Vol. 104, no. 4. - P. 1171-1180.

[16] Gu, D. Bergman projections and duality in weighted mixed norm spaces of analytic functions / D.Gu // Michigan Math. J. - 1992. -T. 39. - C. 71 - 84.

[17] Grudsky, S.M. Toeplitz operators on the unit ball in Cn with radial symbols / S.M.Grudsky, A.N.Karapetyants, N.L.Vasilevski //J. Operator Theory. - 2003. - T. 49, № 2. - C. 325-346.

[18] Grudsky, S.M. Dynamics of properties of Toeplitz operators with radial symbols / S.M.Grudsky, A.N.Karapetyants, N.L.Vasilevski // Integral Equations Operator Theory. - 2004. - T. 50, № 2. - C. 217 - 253.

[19] Grudsky, S.M. Dynamics of properties of Toeplitz operators on the upper half plane: hyperbolic case / S.M.Grudsky, A.N.Karapetyants, N.L.Vasilevski // Bol. Soc. Mat. Mexicana (3).

- 2004. - T. 10, № 1. - C. 119 - 138.

[20] Grudsky, S.M. Dynamics of properties of Toeplitz operators on the upper half plane: parabolic case / S.M.Grudsky, A.N.Karapetyants, N.L.Vasilevski //J. Operator Theory. - 2004. - T. 52, № 1. - C. 185 - 214.

[21] Jevtic, M. Taylor Coefficients and Coefficient Multipliers of Hardy and Bergman-Type Spaces / M. Jevtic, D. Vukotic, M. Arsenovic.

- Springer, RSME Springer Series Book 2, 2016. - 339 pp.

[22] Karapetyants A. Mixed norm Bergman - Morrey type spaces on the unit disc / A. Karapetyants, S. Samko // Math. Notes. - 2016.

- Vol. 100, № 1. - P. 38-48.

[23] Karapetyants, A. Mixed norm variable exponent Bergman space on the unit disc / A. Karapetyants, S. Samko // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2016. - Vol. 61, № 8. - P. 1090-1106.

[24] Karapetyants A. Mixed norm spaces of analytic functions as spaces of generalized fractional derivatives of functions in Hardy type spaces / A. Karapetyants, S. Samko // Fract. Calc. Appl. Anal.

- 2017. - № 5. - P. 1106-1130.

[25] Karapetyants, A.N. On mixed norm Bergman-Orlicz-Morrey spaces / A.N.Karapetyants, S.G.Samko // Georgian Mathematical Journal. - 2018. - Vol. 25, № 2. - P. 271-282. - DOI: https://doi.org/10.1515/gmj-2018-0027.

[26] Karapetyants, A. Fractional Integrodifferentiation and Toeplitz Operators with Vertical Symbols / A. Karapetyants, I. Louhichi // Birkhauser, Operator Theory: Advances and Applications. - 2020.

- Vol. 279.

[27] Karapetyants, A. Toeplitz Operators with Radial Symbols on Weighted Holomorphic Orlicz Space / A. Karapetyants, J. Taskinen // Birkhauser, Operator Theory: Advances and Applications. -2020. - Vol. 279.

[28] Karapetyants, A. Weighted holomorphic mixed norm spaces in the unit disc defined in terms of Fourier coefficients/ A. Karapetyants, I. Smirnova // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2021.

- Vol. 67, № 7. - P. 1543-1553.

[29] Karapetyants, A. On mixed norm holomorphic grand and small spaces / A. Karapetyants // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2021. - Vol. 67, № 3. - P. 633-641. -https://doi.org/10.1080/17476933.2021.1947260.

[30] Karapetyants, A. Toeplitz Operators with Radial Symbols on General Analytic Function Spaces / A. Karapetyants, J. Taskinen

// Complex Analysis and Operator Theory. - 2022. - Vol. 16, № 8. - P. 16. - https://doi.org/10.1007/s11785-022- 01294-9.

[31] Karapetyants, A. N. Weighted spaces of analytic functions with mixed-Fourier-norm and Toeplitz operators: a survey of recent advances / A. N. Karapetyants, I. Yu. Smirnova // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. — 2025.

[32] Kiryakova, V.S. Generalized Fractional Calculus and Applications /V. S. Kiryakova. - Longman, Pitman Research Notes in Mathematics, 1994. - Vol. 301. - 388 pp.

[33] Lueking, D. Representation and duality in weighted spaces of analytic functions / D. Lueking // Indiana Univ. Math. J. 34. -1985. - P. 319-336.

[34] Smirnova, I. Yu. On a Class of Mixed Norm Bergman Type Space / coefficients / I. Yu. Smirnova // Материалы докладов международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -VII Ростов-на-Дону, 24-28 апреля 2017 года. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2017. - С. 54.

[35] Smirnova, I. Yu. Weighted mixed norm holomorphic spaces defined in terms of Fourier coefficients / I. Yu. Smirnova // Tenth International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis -X0THA-2021, Rostov-on-Don, [22-27 August], 2021 : Book of Abstracts. - Rostov-on-Don, 2021. - С. 57.

[36] Vasilevski, N. Commutative Algebras of Toeplitz Operators on the Bergman Space / N. Vasilevski. - Birkhäuser, Series: Operator Theory: Advances and Applications, 2008. - Vol. 185. - 417 pp.

[37] Yudell, L. Luke. The Special Functions and Their Approximations/ L. Luke.Yudell. - New York and London: Academic Press, 1969. -348 pp.

[38] Zhu, K. Operator theory in function spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics / K. Zhu. - New York: Marcel Dekker, 1990. - 254 pp.

[39] Zhu, K. Spaces of holomorphic functions in the unit ball. Graduate texts in Mathematics / K. Zhu. - Springer, 2004. - 268 pp.

5 Приложение

5.1 Представление классического пространства Бергмана Эллиптический случай.

Здесь мы приводим некоторые основы классической теории, связанной с представлением гильбертова пространства Ь2(Р) и его замкнутого подпространства - пространства Бергмана А2 (О) в случае выбора в диске полярной системы координат (эллиптический случай). Это прояснит нашу мотивацию и схему определения новых пространств в терминах образов Фурье во всех трех случаях. Два остальных случая - параболический и гиперболический - осуществляются по аналогичной схеме с заменой дискретного преобразования Фурье на непрерывное преобразование Фурье (параболический случай) и преобразование Меллина (гиперболический случай). Результаты ниже взяты из [18].

Пусть /(г) = /(Н) на О, имеем

ЫьЦЩ = ^ I/и|2^а(г)2ыг 1 2 .

Здесь <!т(Ь) = Ц -дифференциал единичной окружности, а функция и а определяется по формуле (2.20).

Весовое классическое пространство Бергмана ДА(О) является замкнутым подпространством пространства ЬА(О), состоящим из аналитических в О функций.

Полагая £ = е га, имеем (1 т (¿) = (1а и

ьа(о) = Ь2 (т,ь2а(1)) =

Ь2(Т, Ь2([0,1], иА(г)2г(1г), 1с1т(г)) =

п

Ь2([0, 2п], Ь2([0,1], иА(г)2гАг), -йо).

к

Соответственно, оператор Л запишется в виде

А- \(А (А 1

дг 2 удх ду J 2 удг г да J 2 удг г дЪ J Введем унитарный на Ь2 (О) оператор

и1>х = : Ь2(Т, Ь\(1)) 12(Ь2Х(1)),

где Т- дискретное преобразование Фурье, действующее по переменной из множества Т. Образ оператора и\ Х представляет собой

пространство, состоящее из последовательностей, компоненты ко-

2

^ = »Ш - Я) ч-1

торых принадлежат Ь^(1). Действие оператора

(д - £ 1 ^

д - д

на пространстве /2(Ь2(/)) осуществляется следующим образом: {сп(г)}пе% ^ ^ Сп(Т)^

пе ъ

^ Е 2(1 — Ш ^

пеЪ 4 7

Е — п) "

пеЪ

^ {4иьеъ

= ^ IX 2 (£—п)

п\

пеЪ ^ 7 ) кеъ

^ е а - т) ^

пеЪ 4 7 и т ) кеъ

Поскольку

'т

{

I 2п, п - к + 1 = 0,

и 0, п - к + 1 = 0,

то

{4иьеъ = { -1 ( ^ — -) сп(г)2тг

Ч сп(г)2л / ^ 1

1 / д к- 1 ,

Ск-1(г)

2^дг г ' *ке Ъ

Отсюда имеем:

2 (I— и—лКмь^ = {2 (дгг— Сп{г)}пеъ ■

Известна следующая теорема (оператор ^2,А введен в разделе 2.6.1).

Теорема 5.1 (см. [18]). Пусть Л е (—1, Унитарный опе-

ратор и а = ,А осуществляет изометрический изоморфизм

пространства ЬА(О) на 12(Ь2([0,1], 2г(1г)) при котором

1. пространство Бергмана ЧА(О) отображается на Ь0 ® /+ :

их : ЛА(О) /+ ® Ьр0,

где Ь0-одномерное подпространсво Ь2([0,1], 2г¿г), порожденное элементом £0,2(1") = 1.

2. проектор Бергмана унитарно эквивалентен проектору Р+ ®Ро :

иА^Ч-1 = Р+ ®Р0,

где Ро-одномерный проектор Ь2([0,1], 2г(1г) на Ь^

5.2 Об обобщенных коэффициентах Фурье

Результаты, представлненные в данном разделе для безвесового случая Л = 0 приведены в [24] (см. также [28]). Здесь мы приводим обобщение на весовой случай Л > —1 для полноты изложения. Для функции

/М = /(г, е*а) е ЬА(О)

114

коэффициенты Фурье, определяемые равенством

1 Л ••

fn(r) = — f(r, еш)е-mada, п е Z, W о

существуют для почти всех г е I = (0,1).

Теория рядов Фурье 2^ - периодических функций, т.е., анализ Фурье на единичном круге, хорошо известен. Для наших целей нам понадобится понятие коэффициента Фурье распределения / на D, который мы будем определять, естественно, в смысле обобщённых функций. Этот коэффициент рассматривается как распределение (обобщенная функция) на интервале I.

Мы не будем останавливаться на общей теории распределений и обобщенного преобразования Фурье в полном объеме и скорее ограничимся необходимыми для наших целей фактами.

Введем пространство пробных функций & = S(D) как множество функций

ш = ш(г, ега) еСTO(D)

таких, что

Лтьт2(ш) = SUP д^П1д^^2ш(г, ега) < то, т\,т2 е Z+.

г,а

Множество & является линейным топологическим пространством с топологией, заданной счетным набором полунорм Лт1,т2(•). Для любого 7 > 0 коэффициенты Фурье функции ш е & удовлетворяют оценкам

sup Ыг)1 <С 1п— (5.1)

ге1

с постоянной С > 0 зависящей только от ш и 7.

Введем пространство & = S'(D) как множество всех линейных непрерывных функционалов (распределений) на &. Через (/,ш)\, f е &, ш е & обозначим значение функционала f на тестовой функции ш выбранной так, что для функции f е L1^(D)

билинейная форма будет совпадать с интегралом

(у»Л = /(г) и(г)аах(г) ,/в

= ( Л + 1)^ ^1 [ ¡(г, О и(г, е{а) йа) (1 - г2)л2г (1г.

'0 \27Т Jо

Пусть теперь а = а(1) будет множеством тестовых функций V Е Стаких, что

Лт(и) = 8ИР

у(т\г)

< ж, т Е Z+.

Таким образом, пространство тестовых функций а является линейным топологическим пространством с топологией, определяемой счетным множеством полунорм Лт(-).

Через а' = а'(/) мы обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов (распределений) на а. Аналогично вышесказанному, (д, у) л будет представлять соответствующую билинейную форму в случае «регулярных» функционалов д :

(д, у)Л = (Л + 1) / д(г) г°(г) (1 — г2)л2г(1г.

0

Фиксируя распределение / Е &, мы определяем его обобщенный коэффициент Фурье /п Е а' по правилу

(и, у)л = (у>ета)л, V Е а, п Е Z. (5.2)

Функция Vегпа принадлежит &, поэтому правая часть этого равенства корректно определена для любого / Е &'. Если / Е ¿Л(О), тогда равенство (5.2) справедливо в обычном смысле, когда обе стороны заменены соответствующими интегралами. Этот факт обосновывает определение (5.2).

Теорема 5.2 Пусть /п Е 1\(1), п Е Z, Л> —1, и предположим, что

II/пЦ(!) < С|пР 116

для некоторого 7 ^ 0 и абсолютной постоянной С > 0. Тогда ряд

^ Шета

пеЪ

сходится к распределению / в &. Обобщенные коэффициенты Фурье / - это элементы /п, то есть обобщенное разложение / в ряд Фурье единственно.

Доказательство. Пусть и е &. Ввиду (5.1) имеем (возьмем 7 + 2 вместо 7 в этой формуле):

(fn(r)e та,ш )х = (Л + 1)

г 2ж

I fn(r)(1 - r2)x2rdr da

х / егпаш(г, eia) —

Л ( ' ) 2^

= (Л + 1)

I fn(r) шп(г) (1 - r2)x2rdr < СInl7Н-^-2 = СInl-2, п = 0. Следовательно, предел

/ N \ N

lim У Шета= lim V (fn(r)eina(5.3)

N^ж \ z—' / N^ж z—' v 7 д

\n=-N / д n=-N

существует для любого ш Е S, и таким образом определяет распределение f из &.

Покажем, что fn является обобщенным коэффициентом Фурье для f. Действительно, пусть

ш(г, ега) = v(r)ег1а Е S

для некоторого фиксированного I Е Z. Ввиду ортогональности и

(5.3) мы получим: (¡,и)л = | Ит > ' Ш егпа, и

(Нт У Шета,и)

\ N^ж /

V п=—N / Л

1

= 11т ( Л + 1) [ (— ( V /п(г)етау(г)ег1а^

Л п=—N )

N^ж '0 \ 2П J о п=_

х (1 — г2)л2г(1г

= (Л + 1)^ (¡1 (г)(1 — г2)л2г(к

г 1

= (Л + 1) / ¡1 (г)у(г)(1 — г2)Л2гйг = (¡1, у) Л. 0

Совпадение в смысле распределений п-го коэффициента Фурье функции /с /п теперь очевидно. □